LA RECTA1. DefiniciónSe llama vector director de una recta a todo vector diferente de cero, tal que sea paralelo a la recta

Nota: Decir que v⃗ es paralelo a 𝓛, indica cualesquiera de las dos cosas: v⃗ ⊂ 𝓛 o que v⃗ /¿L ,siendo que v⃗ está contenido en otra recta.ECUACION VECTORIAL DE LA RECTALa ecuación vectorial de una recta 𝓛, que pasa por el punto P0 (x0, y0, z0) y con un vector director v⃗= (a1, a2, a3), es P = P0 + tv⃗, t ∊ IRDemostración:1 Sea P un punto variable de 𝓛 2 Como P0 es un punto fijo de 𝓛 v⃗ el vector director de 𝓛; en el triángulo OP0P se tiene la siguiente suma vectorial:O⃗P=O⃗ P0+ P⃗0 P…….. (2*)3 Pero O⃗P=P−O

¿ ( x , y , z )−(0 ,0 ,0)

¿ ( x−0 , y−0 , z−0 )=( x , y , z )=P

OP0=P0−0 ¿ (x0 , y0, z0 )−(0 ,0 ,0 )=(x0−0 , y0−0 , z0−0 )=(x0 , y0 , z0 )=P04 Sustituir (3) en (2*), obtenemos la ecuación vectorial:

P = P0 + tv⃗, t ∊ IRLa ecuación de la recta queda bien definida (bien determinado), si:a) Se conocen un punto P0 y su vector director v⃗.b) Se conocen dos puntos P0 y P1. En este caso el vector director se halla por la diferencia entre P1 y P0: v⃗ = P1 – P0ECUACIÓN PARAMETRICA Si en la ecuación P = P0 + tv⃗, reemplazamos los puntos P, P0 y el vector v⃗ por sus componentes:{ P=(x , y , z )P0=(x0 , y0 , z0)v⃗=(a1 , a2 ,a3)

Obtenemos: ( x , y , z )=(x0 , y0 , z0)+ t (a1 , a2 , a3 )

¿ (x0 , y0 , z0)+ (t a1 , t a2 , t a3 )

¿ (x0+t a1 , y0+t a2 , z0+t a3 )

ECUACION DE SIMETRIADespejando la ecuación paramétrica tenemos:t=x−x0a1

t=x−x0a2

t=x−x0a3

x−x0a1

=x−x0a2

=x−x0a3FORMA GENERAL DE LAS ECUACIONES DE LA RECTAEn este caso afirmamos que una recta 𝓛 queda bien definida si se intersecan dos planos diferentes cualesquiera, cuyas ecuaciones en forma general son:

L {A1 x+B1 y+C1 z+D1=0A2 x+B2 y+C2 z+D2=0DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS EN R3

Sean L1: P = P0 + sa⃗ y L2: P = Q0 + sa⃗ dos rectas paralelas.Entonces:d (L1 , L2 )=√‖⃗P0Q0‖2‖a⃗‖2−(⃗P0Q0 . a⃗)

2

‖a⃗‖Demostración:‖⃗P0Q0‖

2=d2 (L1 L2 )+‖Proy a⃗⃗P0Q0‖

2

d2 (L1L2 )=‖⃗P0Q0‖2−‖Proya⃗ P⃗0Q 0‖

2

d2 (L1L2 )=‖⃗P0Q0‖2−|Compa⃗ P⃗0Q 0|

2

d2 (L1L2 )=‖⃗P0Q0‖2−

( P⃗0Q0 . a⃗)2

‖a⃗‖2

d (L1 , L2 )=√‖⃗P0Q0‖2‖a⃗‖2−(⃗P0Q0 . a⃗)2

‖a⃗‖