La Tierra y su campo de gravedad. Gravedad real y gravedad ...

La Tierra y su campo de gravedad. Gravedad real y gravedad del modelo. Anomalía y perturbación de la

gravedad. Desviación de la vertical.

*Bibliografía -Bernhard Hoffman – Wellenhof Helmut Moritz (2005). Physical Geodesy. Springer WienNewYork. -Torge W., 2001. Geodesy. 3rd Edition. Walter de Gruyter – Berlin – New York.

El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.

Anomalía y perturbación de la gravedad.

Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.

*La Tierra y su campo de gravedad

*Gravedad real y gravedad del modelo

*Anomalía y perturbación de la gravedad

*Desviación de la vertical




La Tierra y su campo de gravedad

¿Porque requiere la Geodesia el conocimiento del campo de la gravedad?

La figura de la Tierra ha sido modelada por el campo de la gravedad

Es la referencia natural para muchas mediciones geodésicas

Los satélites artificiales se mueven en torno de la Tierra según su campo de la gravedad

Aportará al conocimiento de la estructura interna de la Tierra





1 22

.m mGl l

= − ⋅ ⋅F l

lmGV .

=

0 Vr

lim=

∞→

dvlρGV

Tierra∫∫∫= . )(r 0 lim

=∞→V

r

Para una masa puntual m1=m y m2=1

Para todo el planeta

l.2lmG

=F

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

= kzVji

xV ⌣⌣⌣ ;

yV;F

Es la clave del problema …. Densidad(x,y,z)

Potencial gravitacional





zzyyxx VVVV ++=Δ

0=ΔV Ecuación de Laplace

En el interior de la Tierra:

ρπ ...4 GV −=Δ Ecuación de Poisson

En el exterior de la Tierra:

V es armónica en el exterior de las masas

Laplaciano





W grad=gV grad=a Zgrad=c

La aceleración de la gravedad es el resultado de la atracción gravitatoria (a) más la aceleración centrífuga (c) debida a la rotación terrestre.

cag +=

22

Tierra

p2ωdv

lρGZVW +=+= ∫∫∫

W: Potencial de la Gravedad

Potencial Centrífugo

Vertical del Lugar

Potencial Gravitacional

Potencial de la Gravedad

ΔZΔVZ)Δ(VΔW +=+=

Z No es armónico y por lo tanto, tampoco W. Pero Z es conocido … Luego, nuestro interés se limita a determinar V

W grad=gV grad=a Zgrad=c

La aceleración de la gravedad es el resultado de la atracción gravitatoria (a) más la aceleración centrífuga (c) debida a la rotación terrestre.

cag +=

22

Tierra

p2ωdv

lρGZVW +=+= ∫∫∫

W: Potencial de la Gravedad

Potencial Centrífugo Potencial Gravitacional

Potencial de la Gravedad





En el exterior de la Tierra, la solución de la ecuación de Laplace :

dvlρGV

Tierra∫∫∫= . )(r La función 1/l es armónica y se desarrolló en

términos de Legendre

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⋅

= ∑∑∞

= =1l

l

0mlmm,lm,l

l

cosP.msinSmcos.Cra1

rMGPV ϑλλ

Si el origen del sistema coincide con el Geocentro, l=2

Coeficientes armónicos esféricos

Funciones asociadas de Legendre

http://www.uni-stuttgart.de/gi/research/projects/project8/fig2_Spherical_Harmonics.png

Zonales (Lat)

Sectoriales (Long)

Tesserales (Lat, Long)

Término central

320 10C −=

Resto …10-6

Térm Central = 1




Geoide: es la superficie equipotencial (W = Wo) que mejor ajusta al nivel medio del mar de una determinada época (Mather, 1978; Rapp, 1995).


*Las superficies equipotenciales del campo de la gravedad (W = cte) no son paralelas entre sí. Tienden a separarse en el Ecuador, indicando un gradiente menor que en los polos.

W grad=g poloecuador gg <

*Las sup equipotenciales son interceptadas perpendicularmente por la línea de la plomada

9.83 m/s2

9.78 m/s2

9,80 m/s2 = 980 Gal




Es la forma de aproximarnos al campo de la gravedad real … desde el “campo del modelo”. Lo hacemos a partir de un elipsoide de nivel cuyo potencial es idéntico al del Geoide.

El campo de la gravedad normal

Elipsoide de nivel (Uo)

Geoide (Wo) N Ondulación del Geoide

00 UW =




Este potencial U se genera a partir de:

*un elipsoide de revolución (a, b)

*de masa total M (igual a la Tierra)

*velocidad angular (rotación de la Tierra)


Análogamente al campo real:

ZeVeU +=

)U(gradγ = )W(gradg =

hU∂∂

=γHWg∂∂

=

Surge la relación con el Sistema de Referencia Geodésico (ej. WGS84)





ZeVeU +=

Surge la relación con el Sistema de Referencia Geodésico (ej. WGS84)




El campo de la gravedad normal *Expresando la Ec. de Laplace en coordenadas elipsoidales se obtiene una solución de Ve en armónicos elipsoidales.

*Pero lo más usual es expresarlo en armónicos esféricos. En términos de los Polinomios de Legendre:

θω

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑∞

=

222

1nn2n2

n2

sinr2

)(cosPJra1

rGMU

Para n=1 (l=2, m=0)

a

2amγω

= m25βf =+ Aprox. al Teorema de Clairaut

)1(γγ 2a0 ϕβ+= sin

Conocidos valores de γ sobre el elipsoide (reducciones …) podemos determinar γa ,γb y β. A partir de un valor de “a” se calcula “m” y el T de Clairaut permite obtener el aplanamiento geométrico.

Aprox. al Teorema de Pizetti ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−γ= m23f1aGM a

2




El campo de la gravedad normal *Expresando la Ec. de Laplace en coordenadas elipsoidales se obtiene una solución de Ve en armónicos elipsoidales.

*Pero lo más usual es expresarlo en armónicos esféricos. En términos de los Polinomios de Legendre:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ

ω−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −θ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=ϕ 232

22

2

2 sinrGM2

1cos23J

ra.31

rGM)γ(

θω

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑∞

=

222

1nn2n2

n2

sinr2

)(cosPJra1

rGMU

Para n=1 (l=2, m=0)

a

2amγω

= m25βf =+ Aprox. al Teorema de Clairaut

)1(γγ 2a0 ϕβ+= sin

Conocidos valores de γ sobre el elipsoide (reducciones …) podemos determinar γa ,γb y β. A partir de un valor de “a” se calcula “m” y el T de Clairaut permite obtener el aplanamiento geométrico.

Aprox. al Teorema de Pizetti ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−γ= m23f1aGM a

2

f = (a-b) / a β = (γb -γa) / γa

La primera expresión de Clairaut ( de Newton), toma un valor aproximado de:

g ≈ 978gal (1+0.0053.sen2φ) Bruns y Helmart a principios del siglo XX (y fines del anterior) establecieron formulas mas precisas tanto en el establecimiento de tÈrminos como en la determinación de sus constantes; el profesor G. CASSINIS en base a esos antecedentes obtuvo una expresión, que fue adoptada por la Unión Geodésica y Geofísica Internacional (UGGI), reunida en Estocolmo, en 1930. La misma reducida al elipsoide adoptado en Madrid 1924 por la misma Unión (a = 6378388 m; 1/f = 297) y fue denominada expresión de la gravedad normal.

γ = 978.0490 gal (1+0.0052884 sen2φ - 0.0000059 sen2 (2φ))

Posteriormente (en 1978) en Canberra (Australia) se consideró que debÌa actualizarse y de allí surgió el SISTEMA DE REFERENCIA GEODESICO 1980 (GRS80) con lo parámetros elipsódicos

a = 6378137m 1/f = 298.2572

γ =978.0327gal(1+0.0053024.sen2φ−0.0000058.sen2(2φ))





*A partir del desarrollo en serie γ en potencias de h (próx a la superficie), en el espacio exterior obtuvimos:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +ϕ−++−= 22

2a0 h

a3hf2mf1

a21γγ .sin

*Para γ=9,81 ms-2 y a=6378 km se obtiene:

mmGal30860h

/. −=∂γ∂




El campo Perturbador

)ZV()ZV()P(U)P(W)P(T ee +−+=−=

*Las diferencias entre W y U se limitan a la componente gravitacional V y reflejan la diferencia entre la Tierra Real y el modelo.

*El campo normal Ve contiene únicamente términos Zonales (Lat)

*En consecuencia, T(P) no contendrá el término central y diferirá de W(P) solo en los términos Zonales pares (simétricos con respecto al Ecuador)

0T =Δ*En el exterior de las masas:

eVVT(P) −=




Anomalía de la gravedad

Qo

Po Geoide

Elipsoide

γ

g N

W=Wo

U=Wo

QoPo γgg −=Δ

Vector anomalía de la gravedad

QoPo γgg −=Δ

Anomalía de la gravedad ε

La diferencia de dirección es la Desviación de la Vertical

ϕ−Φ=ζ

( ) ϕλ−Λ=η cos

Normal elipsoidal n’ (ϕ, λ)

Normal geoidal n (Φ, Λ)

n’ n

OBSERVABLES

P




Perturbación de la gravedad

(h)PP γgg −=δ

Definimos además, el vector perturbación de la gravedad

Pp γgg −=δ

Perturbación de la gravedad

La diferencia de dirección es la misma Desviación de la Vertical, pues

la dirección de γP coincide con la de

γQ

Normal elipsoidal n’ (ϕ, λ)

Normal geoidal n (Φ, Λ)

Qo

Po Geoide

Elipsoide

γ

g N

W=Wo

U=Wo ε

n’ n

OBSERVABLES

P

h (GPS) H




Fórmula de Bruns

Pero WP = UQ

Qo

Po Geoide

Elipsoide

γ

g N

W=Wo

U=Wo ε

n’ n

NγUnUUU QoQoQoPo .'

−=∂∂

+=

PoQoQoPoPoPo TNγUTUW +−=+= .

N.γT QP =γ

=TN

Fórmula de Bruns




Ecuación Fundamental de la Geodesia Física

hT

nTg

∂∂

−=∂∂

−=δ

)T(grad)U(grad)W(gradPp =−=−=δ γgg

nU

nW

'nU

nWγgg Pp ∂

∂+

∂∂

−≈∂∂

+∂∂

−=−=δ

)Nh

(ggnT

QPPP ∂γ∂

+γ−=γ−=∂∂

−

Nh

gnT

∂γ∂

−Δ=∂∂

− Por Bruns … NT=

γ

Th

1hTg

∂γ∂

γ+

∂∂

−=ΔhTg∂∂

−=δ




Ecuación Fundamental de la Geodesia Física

)T(grad)U(grad)W(gradPp =−=−=δ γgg

nU

nW

'nU

nWγgg Pp ∂

∂+

∂∂

−≈∂∂

+∂∂

−=−=δ

Th

1hTg

∂γ∂

γ+

∂∂

−=Δ

*Relaciona la cantidad medible (g) con el Potencial Perturbador (incógnita)

*Pero g es conocida sobre la Tierra y puede reducirse al Geoide. Es decir, no es conocida en todo el espacio exterior. La ecuación puede ser usada solo como una condición de contorno y no es suficiente por si sola para calcular T

*Pero fuera del Geoide, es válida la Ec de Laplace

0zT

yT

xTT 2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ

*Con ambas es posible determinar T a partir de observaciones gravimétricas. Aplicando Bruns, se obtiene el parámetro geométrico más importante de la Geodesia Física (N).

γ=TN

La Tierra y su campo de gravedad. Gravedad real y gravedad ...

Documents

Transcript of La Tierra y su campo de gravedad. Gravedad real y gravedad ...