Laboratorio Fisica 5 Dinamica Rotacion

Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería de Petróleo, Gas Natural y Petroquímica

.

Laboratorio de Física I Página 1

Laboratorio N ° 5

DINAMICA DE ROTACION

Facultad::

Integrantes:

Profesor:

Ciclo:

Fecha de realizacion:

Fecha de entrega:

Lima - Peru

2011

FIPP

Limaylla Cirineo, Alexander Jhampier 20111273J

Medina Guerrero, José Nenil 20112632C

Urcia Escarate, Francisco Jesús 20112619G

Gaspar Guevara, Franklin Luis 20110424D

Gregorio Cortez

2011-II

Jueves 12 am – 3 pm

24 de noviembre

Viernes 9 de diciembre

Curso: Física PF111A


Índice

Pagina

1. Caratula …………………………………………………………....… 1

2. Índice ……………………………………………………...…..…..…. 2

3. Introducción ………………………………………………………… 3

4. Objetivos del Experimento………………………………….....….…. 4

5. Fundamento Teórico………………………………………….....….. 4 -8

6. Equipo utilizado, diagrama de flujo del experimento realizado.…...8 - 12

7. Procedimiento experimental, toma de datos …………………..… 12 – 16

8. Cálculos y resultados ……………………………………………...17 - 22

9. Conclusiones y recomendaciones………………….……………. 22 - 23

10. Bibliografía………………………………….…………………... 23




Cuando un objeto real gira alrededor de algún eje, su movimiento no se puede analizar como si fuera una particular, porque en cualquier instante, diferentes partes del cuerpo tienen velocidades y aceleración distintas. Por esto es conveniente considerar al objeto real como una gran numero de partículas, cada una con su propia velocidad, aceleración.


01. – Objetivos del experimento:

Observar el movimiento de rodadura de una rueda de Maxwell y a partir de las mediciones efectuadas determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad. Además, se debe considerar la conservación de energía la cual nos ayudará a encontrar el valor de aquel momento de inercia experimentado.

02. – Fundamento teórico:

El movimiento de rotación está presente en todas partes. La tierra gira alrededor de su

eje. Las ruedas, los engranajes, las hélices, los motores, el eje de transmisión de un

coche, los discos compactos, los patinadores sobre hielo cuando realizan sus piruetas,

todo gira.

La energía cinética de un sistema es la suma de la energía cinética de las partículas que

lo forman. Cuando un sólido rígido gira en torno a un eje que pasa por su centro de

masas las partículas describen un movimiento circular en torno a dicho eje con una

velocidad lineal distinta según sea la distancia de la partícula al eje de giro pero todas

giran con la misma velocidad angular ω, ya que en caso contrario el sólido se

deformaría. La relación entre ambas velocidades aparece en la figura siguiente:

La energía cinética del sólido causada por el movimiento de rotación será entonces:



El sumatorio es el momento de inercia del sólido con respecto al eje de rotación, luego:

Esta energía corresponde a la energía cinética interna, ya que tiene está referida al

centro de masas. Si éste a su vez se está moviendo con respecto a un origen, la energía

cinética total del sólido se calculará sumando la energía cinética de rotación y la de

traslación del centro de masas (energía cinética orbital):

A la hora de aplicar el Teorema de Conservación de la Energía habrá

que tener en cuenta estos nuevos términos.

VARIACIÓN DE ENERGÍA CINÉTICA

Imaginemos un sistema formado por dos partículas, sobre las que actúan fuerzas

externas (en verde) y fuerzas internas (en rojo).



En cada instante, la energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de

cada partícula; por tanto, la variación de energía cinética del sistema en un intervalo de

tiempo será:

Aplicando para cada partícula que la variación de su energía cinética es igual al trabajo

de todas las fuerzas que actúan sobre ella:

Sumando ambas variaciones, obtenemos finalmente que:

Es importante destacar que aunque la suma de las fuerzas internas siempre es cero,

no lo es la suma de los trabajos realizados por ellas, ya que para calcular el trabajo

hay que tener en cuenta la trayectoria que describe cada partícula.

Energía propia

Teniendo en cuenta que las fuerzas internas suelen ser conservativas, por ser centrales,

el trabajo realizado por ellas se puede expresar en función de una energía potencial

asociada. Utilizando la relación anterior, queda entonces:



Definimos una nueva magnitud, llamada energía propia (U) como la suma de la

energía cinética y la potencial interna:

Conviene hacer notar que la energía cinética debe estar referida a un sistema de

referencia inercial, ya que se calcula a partir de las velocidades. Sin embargo, la energía

potencial interna es independiente del sistema de referencia, ya que sólo depende de las

distancias relativas entre las partículas.

Conservación de la energía

En términos de la energía propia, el trabajo de las fuerzas externas es:

Podemos distinguir tres casos:

Sistema aislado (no actúan fuerzas externas): el trabajo de las fuerzas externas es nulo

de lo que se deduce que en un sistema aislado la energía se conserva.

Las fuerzas externas son conservativas: en este caso el trabajo de dichas fuerzas se

expresa en función de una energía potencial externa. Sustituyendo:

La energía mecánica de un sistema es la suma de la energía cinética, la potencial interna

y la potencial externa.



Entonces, cuando las fuerzas internas y externas son conservativas, la energía

mecánica del sistema se conserva.

Actúan fuerzas de rozamiento (no conservativas): en el término del trabajo de las

fuerzas externas hay que considerar también el trabajo realizado por las fuerzas de

rozamiento, y la expresión final queda:

Es decir, cuando actúan fuerzas de rozamiento, la variación de energía mecánica es

igual al trabajo de las fuerzas de rozamiento.

03. – Equipo utilizado, diagrama de flujo del experimento realizado:

Equipo utilizado

1. Balanza

2. Pie de rey


Imagen (1.1)

Imagen (1.2)


3. Rueda de maxwell

4. Cronometro

5. Soporte con dos varillas paralelas


Imagen (1.3)

Imagen (1.4)

6. Tablero de MAPRESA con

tornillos de nivelación

Imagen (1.5) Imagen (1.6)


7. Regla milimetrada

8. Nivel de mano


Imagen (1.7)

Imagen (1.8)


Diagramas de flujo`


Momento de inercia de la rueda de Maxwell

(Experiencia 1)

Al recoger los materiales con los cuales se trabajaran, se procede a acoplar las varillas sobre el tablero de MAPRESA, luego, se utilizan los tornillos de abajo para poder nivelar el tablero. Se debe asegurar que la volante (Rueda de Maxwell) no se escape para los costados, para esto se regula con el uso del nivel el cual indica si el tablero está debidamente alineado. Así es la manera de llegar al perfecto balance del tablero.

A continuación, se segmenta el soporte con las medidas requeridas para la experiencia, de tal manera que se puedan efectuar las medidas de tiempo con el cronómetro. Estos resultados luego se insertan en las tablas requeridas en la guía del laboratorio. Para poder obtener los resultados deseados, el ángulo de inclinación de las varillas no debe exceder el límite que haga que la rueda de Maxwell se deslice en vez de que gire. En la eventualidad que esto suceda, se debe disminuir la pendiente para asegurar que la volante realice el movimiento deseado.

La primera forma de segmentar las varillas es separando los puntos A0, A1, A2, A3, A4, cada uno con 10 centímetros de separación entre ellos. Luego, se utiliza el cronómetro para tomar las medidas de tiempo que toma a la volante de deslizarse desde el punto A0, hasta A1. Se repite el procedimiento 3 veces y se anota en una tabla. Luego, se repite el procedimiento para los tamos A0A2, A0A3 y para A0A4 se toman 10 mediciones.

Imagen (2.1)



Momento de inercia de la rueda de Maxwell

(Experiencia 2)

Antes de pasar a la segunda parte de la experiencia, se debe medir la altura del punto A0 con respecto al tablero de MAPRESA, también la del punto A4. Se toma ese lugar como referencia, debido que el tablero ha sido nivelado con respecto a la mesa. La medida del peso de la volante también debe ser tomado, para esto se utiliza la balanza.

Para la segunda experiencia, se modifica la inclinación de las varillas, de tal manera que tenga mayor pendiente. En este caso, se vuelven a tomar medidas de tiempo, pero solo desde A0 hasta A4, y solo 3 repeticiones. Por otro lado, las alturas de los puntos son también medidas, y anotadas.

Finalmente, se indica tomar las dimensiones de la rueda de Maxwell de tal manera que luego, se pueda calcular el momento de inercia de toda la volante. Para esto, se utiliza el vernier, el cual es un instrumento de medición preciso para pequeñas medidas. Así es como se estudia también el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre las rieles.

Además, de la mayor cantidad de valores de la rueda. Por ejemplo, se considera la rueda externa, la rueda interna, las barras que se encuentran entre ambas ruedas y el eje cilíndrico del medio. Estas 4 secciones, forman la rueda de Maxwell.


04. – Procedimiento experimental, toma de datos:

1. DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DEL MOMENTO DE INERCIA

Para obtener el momento de inercia de un cuerpo en forma experimental, permitiremos que este ruede sin resbalar por un plano inclinado. Además, debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:

a) La conservación de la energía mecánica.b) Los conceptos de energía cinética de rotación y de traslación.c) El desplazamiento del cuerpo debe ser sólo por rodadura sin deslizamiento. La

posición del cuerpo está representada por la posición de su centro de masa "G".

Fig. 3.1 Disco con un eje que rueda sobre un riel

Si el cuerpo pasa de la posición Go a la posición G4, tendremos por el Teorema trabajo-energía:

(Ep + Ec) o = (Ep + Ec)4 + Wfrición

Donde Wfrición se refiere al trabajo realizado por fuerzas las externas; en nuestro caso debido a la fuerza de fricción.

En el caso que el cuerpo parta del reposo en Go tendremos que el trabajo realizado por la fricción estará dado por:

mgho = mgh4 + Ec4 + Wf …………………………. (4)



Para escribir esta ecuación hemos tenido en cuenta el esquema de la figura 1. La ecuación (4) representa la pérdida de energía mecánica por rozamiento.

Ahora, si tenemos en cuenta las condiciones exigidas para este experimento, tendremos Wf = 0, es decir, como la rueda no resbala podemos asumir que la pérdida de energía mecánica por fricción es despreciable. Además, la ausencia de deslizamiento significa que el punto de contacto del eje juega el papel del centro instantáneo de rotación de modo que:

vG = ωG r …………………………………. (5)

Donde vG es la velocidad lineal del cuerpo en alguna posición G, mientras que ωG

representa la velocidad angular del cuerpo en la misma posición G respecto a su eje de simetría o de rotación; y r el radio del eje de giro.

Luego, teniendo en cuenta las ecuaciones (1), (2), (4) y (5) se obtiene la siguiente ecuación:

mgho - mgh4 = ½ mv42 + ½ IGv4

2/r2 ………………….. (6)

Es decir, si conocemos la velocidad del cuerpo en el punto 4 (v4) prácticamente estaría determinado el momento de inercia (IG) del cuerpo con respecto al eje de simetría.

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Considerando que el movimiento del centro de masa del cuerpo es uniformemente acelerado (ver pregunta del cuestionario) y que parte del reposo, tendremos las siguientes ecuaciones que permiten determinar v4 directamente del experimento:

Desplazamiento: x = ½ at2

Velocidad instantánea: v = at

Donde x es la distancia recorrida y a la aceleración del movimiento.

Combinando las ecuaciones tendremos la velocidad del cuerpo:

v = 2x/t ……………………………… (7)



2. TOMA DE DATOS

Primera Inclinación

H0= 7.3 cm H4= 3.3 cm

∆H = 4 cm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tprom

A0A1 t1 6.77 6.70 6.75 - - - - - - - 6.74

A0A2 t2 9,93 9,03 9,85 - - - - - - - 9,60

A0A3 t3 12,46 12,47 12,42 - - - - - - - 13,13

A0A4 t4 13,94 13,92 13,93 13,96 14.11 14.07 14,24 14.30 14,13 13,99. 14.05

Segunda Inclinación

H0= 9,3 cm H4= 4.1 cm

∆H = 5,2 cm

tprom

A0A4 t4 13,09 13,17 13,13 13,13

Medidas de la Rueda de Maxwell


Los datos tomados y los cálculos realizados se truncaron en las centésimas, todo esto por cifras significativas.

Masa de la rueda de Maxwell 356,5 g



0.635 cm15.240 cm

0.72 cm1.058 cm

3.72 cm

grosor

9.83 cm12.33 cm 2.66 cm

grosor2.70 cm 2.635 cm


05. – Cálculos y resultados:

I. Considerando los tiempos promedios pata t1, t2, t3, y t4, grafique los puntos (0,0), (t1,A0A1),… (t4,A0A4). ¿Es el movimiento de traslación uniformemente acelerado?

Grafica d vs t

TRAMO A0A1 A0A2 A0A3 A0A4d(cm) 10 20 30 40t(s) 6.74 9.60 12.45 13.13

6.74 9.6 12.45 13.130

5

10

15

20

25

30

35

40

45

13.13; 40

Series1

tiempo

dist

ancia

Grafica v vs t

d(cm) 10 20 30 40

t(s) 6.74 9.6 12.45 13.13

v(cm/s) 2.67 4.1666 4,819 6.0929



6.74 9.6 12.45 13.130

1

2

3

4

5

6

7

13.13; 6.0929

Series1

velocidad

tiem

po

Se aproxima a un movimiento acelerado, ya que en cada tramo; si bien las aceleraciones son distintas estas difieren muy poco. Por lo tanto se puede decir que se trataría de un movimiento acelerado.

¿Qué significado tiene la pendiente de esta gráfica?

Hemos obtenido en una gráfica de v vs t una pendiente que indica que la

velocidad cambia de forma constante en el tiempo es decir, dvdt es constante.

Concluimos que la aceleración a lo largo del recorrido es constante.

II. Grafique también d vs. t2

TRAMO A0A1 A0A2 A0A3 A0A4

D(cm) 10 20 30 4045.4276 92.224 155 172.397

20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Series2Linear (Series2)

tiempo al cuadrado

dist

ancia



III. Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la desviación Standard y propagación de errores, calcular:

A.) Aceleración del centro de masa:

aCM=0.432526cm/s2

B.) La velocidad de traslación, V4, del centro de masa en posición G4.

V CM=aCM . t 4=0.432526 x (13.13± 0.04 )=5.68 ± 0.02cm / s

C.) La velocidad angular de la rueda en el instante t4.

ω=V CM

r=5.68± 0.02cm /s cm /s

0.434 ± 0.025=13.09 ± 0.08 rad /s

D.) El momento de inercia de la volante, usando la ecuación 5.

Hallamos I CM, despejando de la ecuación:

Mgh0=Mgh4+12

M V G2 +

12

I G V G2

r2

356.3 x981 x7.3=356.3 x 981 x3.3+ 12

356.3 x (5.68 ± 0.02 )2+ 12

I CM∗x / (0.434 ± 0.025)2

I CM=2830004.914 g . cm2

E.) ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del momento de inercia?

Algunos de los factores que introducen mayor número de incertidumbre en las mediciones son: la desigualdad de los rieles sobre las cuales la rueda de Maxwell se desliza, creando un cambio en los diferentes tramos. Además, las medidas tomadas con el pie de rey, a pesar de ser un instrumento de gran exactitud, se pueden cometer errores. Por otro lado, las mediciones que se pueden dar son la medición del tiempo con el cronometro el cual nunca es exacto pues depende de la reacción humana. Al momento de efectuar los cálculos del centro de masa, el medidor se puede equivocar porque las medidas son muy pequeñas.



Por más que los investigadores deseen aproximar las condiciones lo mayormente posible a condiciones perfectas, la fricción es una fuerza que no se puede menospreciar en experimentos de laboratorio. Por lo tanto, se pierde energía a través del deslizamiento de la rueda de Maxwell. Obviamente, se asume como despreciable, pero como se menciona, esto es tan solo en un caso ideal, el cual no se da en la realidad. Es más, la fuerza de gravedad y la resistencia del aire, pueden ser minúsculos, pero también tendrán un efecto en la rueda.Otro de las causas de incertidumbre sería el error observado al medir la masa de la rueda de Maxwell.

F.) ¿Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de I? Para responder a esta pregunta, compare el valor de I obtenido de las mediciones en los puntos G1, G2, G3, y G4.

Tenemos 4 puntos, A1 , A2 , A3 , A4. Haremos la siguiente comparación, Tenemos la altura de cada uno de los puntos en el plano inclinado, consideramos una aceleración constante y podemos calcular su velocidad, por lo tanto su velocidad angular. Entonces hallaremos el momento angular de cada uno de los puntos para obtener la respuesta.De la fórmula:

Mgh0=Mgh4+12

M V G2 +

12

I G V G2

r2

12

IG ωG2 =Mg∆ h−1

2M ωG

2

En su forma general I G=2

ω2 (Mg ∆ h−12

M ωG2 )

Hallando los datos:

Tramo A0-A1

h0=7.3 cm

h1=5.7 cm

V 1=2.67 cm

s

ω1=6.1512 rads

M=356.3 g



g=981 cms2

Tramo A0-A2

h0=7.3 cm

h2=4.3cm

V 2=4.1666 cms

ω2=9.6 rads

M=356.3 g

g=981 cms2

Tramo A0-A3

h0=7.3 cm

h3=3.6 cm

V 3=4.819 cms

ω3=11.1036 rads

M=356.3 g

g=981 cms2

Tramo A0-A4

h0=7.3 cm

h4=3.3cm

V 4=6.0929 cms

ω4=14.0389 rads



M=356.3 g

g=981 cms2

Hemos obtenido que

I 1=¿29204.42711g . cm2

I 2=22399.57891 g . cm2

I 3=¿20622.9g . cm2

I 4=13831 .29 cm2

El momento de inercia hallado en cada uno de los puntos es casi el mismo, con pequeñas diferencia que podemos considerar despreciables, por lo tanto, podemos afirmar que el momento de inercia es el mismo a lo largo del recorrido de la rueda de

Maxwell, aproximadamente I 1+ I 2+ I 3+ I 4

4=I prom.=¿211514.549g . cm2

G.) ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de I?

No influye en lo absoluto. Recordemos que por definición el momento de inercia es ∑ mi r i

2, si realizamos un cálculo infinitesimal, obtenemos la formula ∫ x2 dm, podemos concluir que el cálculo del momento de inercia en cualquiera de los puntos del recorrido es el mismo, ya que el momento solo depende de la distancia de un punto al eje, y de la masa de dicho punto.

06. –Conclusiones y Recomendaciones:

1. Conclusiones

Se puede concluir que el momento de inercia no tiene cambio alguno a lo largo de toda la trayectoria del móvil, mientras desciende la pendiente. No hay ningún efecto en el móvil cuando la pendiente se cambia debido que la fórmula empleada para hallar el momento de inercia no tiene ninguna parte que explique eso. Además, solo depende de otros factores.

Esto quedó demostrado al momento de estudiar los valores de los tiempos finales en las dos inclinaciones del riel. La pendiente no tendrá efecto alguno en los resultados y siempre se conservará un momento de inercia similar.

Al momento de calcular los resultados, es importante tomar en cuenta la cantidad de décimas a las cuales se están aproximando los resultados. Esto se debe al hecho que los



momentos varían por minúsculos valores los cuales no tienen efecto aparente, pero cuando se analizan detenidamente, si logran a tener un resultado distinto.

Al momento de ajustar una curva, en la cual se encuentran los valores encontrados en las experiencias del laboratorio, es importante poder saber que estos ayudan a encontrar una uniformidad en los resultados que siempre puede variar debido a los errores existentes. Por este motivo, las curvas se ajustan a valores promedio que pueden dar un comportamiento aceptable de los hallazgos en el laboratorio.

A pesar de no haber sido empleado mucho en el informe de laboratorio, la teoría del Teorema de Steiner, es una forma muy común para poder hallar los momentos de inercia de un nivel de referencia uniforme, del cual se desprenden diferentes valores. Mediante esa teoría se puede hallar fácilmente los resultados porque se toma un eje de referencia y a partir de ese, se muestran los diferentes resultados.

2. Recomendaciones

Sería recomendable pensar en formas de disminuir la cantidad de error en el trabajo por medio de mediciones más exactas. Esto se puede lograr por medio de menores porcentajes de error al momento de medir las dimensiones de los aparatos. Además de mayor exactitud en algunas medidas tomadas. Mejor calibración de los instrumentos podría hacer que los resultados fuesen más precisos. Como asegurarse que la rueda de Maxwell ruede sobre un mismo trayecto(esto se puede lograr roseando con polvo de tiza sobre los rieles del tablero MAPRESA y asi lograr que la rueda rote y no deslice) y no se desvíe a los lados. Estas cosas se deben considerar para hallar valores más cercanos al momento de inercia teórico.

07. – Bibliografía

Humberto Leyva N. “Fisica I Teoría y problemas resueltos” paginas 190 – 195. R. A. Serway, Fisica, Tomo I, 4ª Edición, McGraw Hill, 1997, Cap. 10. W. E. Gettys, F. J. Keller, M. J. Skove, FISICA: Clásica y Moderna, McGraw

Hill, 1991, Secciones 12.1 a 12.8, Sección 13.4. R.C.HIBBELER “Ingeniería Mecánica Dinámica”, 7ma edición, Cap. 16 - 17 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html http://kwon3d.com/theory/moi/moi.html http://www.terra.es/personal/jdellund/ayuda/inercia.htm


http://www.terra.es/personal/jdellund/ayuda/inercia.htm

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http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html

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