FORMULACIÓN DE LAGRANGE

1. Considérese un sistema con N grados de libertad descrito por el conjunto de coordenadas generalizadas qi (i=1,...,N), cuyas energías cinética y potencial, T y V, vienen dadas por

( ) ( i

N

iiii

N

ii qVVqqfT ∑∑

====

1

2

1 , & )

Demuéstrese que las ecuaciones de Lagrange son separables, de modo que los distintos grados de libertad no están acoplados y redúzcase el problema a cuadraturas.

A partir de la lagrangiana, L = T − V, calculemos las derivadas

2 iii

fqqL

&&

=∂∂

2dd2

dd 2

iii

ii

i

fqqfq

qL

t&&&

&+=

∂∂

dd

dd 2

i

ii

i

i

i qVq

qf

qL

−= &∂∂

Así pues la ecuación de Lagrange para cada grado de libertad qi es

0=dd2

dd 2

i

iiii

i

i

qVqfq

qf

++ &&&

que como vemos sólo depende del propio grado de libertad qi, de manera que los distintos grados de libertad están desacoplados y cada cual evoluciona independientemente de los demás. En particular, la energía contenida en cada grado de libertad

2iiii VqfE += &

se conserva constante durante la evolución como es fácil ver, pues

dd

dd 2

i

ii

i

i

i

i

qVq

qf

qE

+= &∂∂

2 iii

i fqqE

&&

=∂∂

resultando que

=2+dd

dd

dd

dd

dd

3iiii

i

ii

i

ii

i

ii

i

iii qqfqqV

qqf

tq

qE

tq

qE

tE

tE

&&&&&&

&+=++=

∂∂

∂∂

∂∂

0=2+dd

dd

= 2

+ ii

i

ii

i

ii qf

qV

qqf

q &&&&

3

Así pues, las energías Ei son constantes determinadas por las condiciones iniciales, , 00 , ii qq &

( ) ( ) 0200 iiiiii qVqqfE += &

de manera que la evolución de cada grado de libertad viene dada por la integral

tf

VEqq

t

i

iiii d

00 ∫−

±=−

----------------------------------------------

2. Un punto de masa M describe, en el plano 0XY, una curva dada por la ecuación y = f(x) cuando está sometida a un potencial que sólo depende de y. Si v0 es la proyección de la velocidad sobre el eje 0X, se pide:

a) hallar una expresión general del potencial en función de f.

b) Aplique la expresión obtenida en el apartado anterior al caso de que la ecuación de la curva sea ay2 = x3.

a) Sea V(y) el potencial pedido. La lagrangiana de la masa puntual será

( ) ( )yVyxML −+= 22

2&&

de donde se obtienen las ecuaciones de Lagrange

( )

( )

−=

=

yVyM

t

xMt

dd

dd

0dd

&

&

Integrando dos veces la primera ecuación se obtiene que la proyección del movimiento sobre el eje 0X es un movimiento uniforme con velocidad . La integral de la segunda ecuación con respecto de y determina el potencial

0vx =&

∫−= yyMCV d &&

donde C es una constante arbitraria. Como por otra parte

( ) ( )

( ) 20

0

dd

vxfy

vxfxxxf

y

′′=

′==

&&

&&

la expresión del potencial es

( ) yxfMvCV d 20 ∫ ′′−=

y, para realizar la integral, hay que sustituir . )(1 yfx −=

4

b) Para el caso particular en que la función es axy

3

= , la función inversa es

, de manera que ( ) 3/12ayx =

( )

( ) 3/13/24

34

3

23

−==′′

=′

yaax

xf

axxf

Sustituyendo en la ecuación del apartado anterior y realizando la integral se llega al resultado.

-------------------------------------------------

3. Considérese una transformación desde un sistema estacionario de ejes cartesianos Oxyz a otro Ox’y’z’ que gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje Oz. Transforme la lagrangiana de una partícula considerada libre en el sistema Oxyz a la correspondiente en el sistema Ox’y’z’, e identifique en esta última los términos que corresponden a las fuerzas de Coriolis y centrífuga.

La transformación de Oxyz a Ox’y’z’ es:

txtyytytxx

ϖϖϖϖ

sin cossin cos′+′=

′−′=

La energía cinética de la partícula viene dada por:

)(~21)(~)(

21)(

21 222222222 yxmyxyxmzyxmzyxmT ′+′+′′−′′+′+′+′=++= ωω &&&&&&&&

La expresión que aparece en las ecuaciones de Lagrange puede considerarse como una fuerza ficticia que aparece debida a las peculiaridades del sistema de coordenadas. En nuestro caso:

iqT ∂∂ /

xmymxT ′+′=′∂

∂ 2~~ ωω &,

con una expresión similar para (la correspondiente parcial con respecto a z’es nula). Los dos términos de la expresión anterior pueden identificarse como las componentes de la mitad de las fuerzas de Coriolis y centrífuga, respectivamente. La

otra mitad de la fuerza de Coriolis procede del término

iyT ′∂∂ /

∂∂

iqT

dtd

& de las ecuaciones

de Lagrange.

------------------------------------------

5

4. Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circular de radio a. El alambre, situado verticalmente en un campo gravitatorio, gira alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω. Para una velocidad angular ω mayor que un cierto valor crítico ωc, la cuenta tiene un punto de equilibrio mecánico estable en una posición dada por un ángulo θ0 respecto de la vertical. Se pide:

a) Encontrar ωc y θ0 ;

b) Obtener las ecuaciones del movimiento para pequeñas oscilaciones alrededor de θ0 y encontrar su periodo.

a) La energía cinética de la cuenta es:

2222 )sen (21

21

θωθ ammaT += & .

La ecuación de Lagrange nos lleva a:

0sen cos sen 2 =−+ θθωθθ aga &&

En el punto de equilibrio,

0=θ&& , g = aω 2 cos θ, ó.: ω 2 = g/(a cos θ).

Esta última ecuación tiene una solución para ω sólo si ω 2 ≥ g/a, con lo que la velocidad angular crítica es

ag

C =ω

y el ángulo de equilibrio es

= 20 cos arc

ωθ

ag

b) Si la cuenta efectúa pequeñas oscilaciones alrededor de θ0, podemos describir el movimiento en términos de un pequeño parámetro ε = θ − θ0. La ecuación del movimiento se transforma en

0) (sen )( cos )(sen 002

0 =++−++ εθεθωεθε aga &&

Para pequeños valores de ε, . Teniendo en cuenta esto y el valor obtenido de θ0, la ecuación anterior queda en

1 cosy sen ≈≈ εεε

6

01 42

22 =

−+ ε

ωωε

ag

&&

La frecuencia de oscilación será:

42

2

1ω

ωa

g−=Ω

---------------------------------------------

5. Un elemento diferencial de arco de una cierta superficie se puede poner de la forma

221

21

2 )( dqqadqds +=

Se pide:

a) La ecuación que cumplen las líneas geodésicas de la superficie

b) Demostrar que las curvas q son geodésicas cte. 2 =

c) ¿Qué dependencia con el tiempo tiene, en el caso contemplado en b), la coordenada ? (Nota: las geodésicas son las trayectorias que sigue un punto sobre la superficie en ausencia de toda fuerza).

1q

a) En ausencia de toda fuerza, y considerando m=1,

( )221

21 )(

21 qqaqTL && +==

La coordenada q es cíclica; luego 2

212

)( qqaCqT

&&

==∂∂ (1)

donde C es una constante. Por otra parte, la energía total:

( 221

21 )(

21 qqaqE && += ) (2)

es también una constante del movimiento. Eliminando dt de (1) y (2), se obtiene una ecuación diferencial entre las coordenadas q y que es precisamente la ecuación de las geodésicas. Integrando dicha ecuación se obtiene:

1 2q

∫

−

=

)(1)(2

121

12

qaC

qaE

dqq

b) Las curvas , recorridas con la ley horaria cte. 2 =q EtqEq 2,2 11 ==& , son soluciones de las ecuaciones (1) y (2).

7

c) De acuerdo con lo visto en b), la coordenada evoluciona según un movimiento uniforme.

1q

-----------------------------------------------

6. Si el sistema solar estuviese sumergido en una nube esférica uniforme de partículas sólidas, los objetos en el sistema solar experimentarían una fuerza gravitatoria total que sería

brrkFr −−= 2

Podemos asumir que la fuerza extra debida a la presencia de la nube es débil )( 3rkb << . Encuentre la frecuencia de las oscilaciones radiales de una órbita

cuasicircular (ésta es una órbita con pequeñas desviaciones radiales de la órbita circular).

La ecuación de movimiento es:

drrdV

rm ef )(−=&&

Si la partícula está en una órbita circular de radio , se cumple: 0r

020

30

2

0

)(br

rk

mrl

drrdV

rr

ef −−=−=

Estamos interesado en perturbaciones alrededor de esta órbita circular. Si esta perturbación es pequeña, podemos expandir el potencial efectivo alrededor de , 0r

L+′′−+′−+= )()(21)()()()( 0

20000 rVrrrVrrrVrV efefefef

Si utilizamos esta expansión en la expresión del lagrangiano, encontramos:

),()(21

21

02

02 rVrrrmL ef′′−−= &

donde hemos eliminado el término constante. La expresión anterior es el lagrangiano de un oscilador armónico, de frecuencia

mrVef )( 02

′′=ω

Diferenciando dos veces el potencial efectivo encontramos, para la frecuencia de las pequeñas oscilaciones radiales alrededor de la órbita circular,

21

30

4

+=

mb

mrk

ω

-----------------------------------------------

8

7. Una cuenta de masa m puede deslizar sin rozamiento a lo largo de una varilla rectilínea. La varilla gira en un plano vertical, teniendo a uno de sus extremos como centro de giro y con velocidad angular constante, ω. En presencia de un campo gravitatorio constante, calcúlese la posición radial, r, de la cuenta como función del tiempo, si las condiciones iniciales son: . r R r( ) ; &( )0 0= = v

Si θ es al ángulo que forma la varilla con respecto a la horizontal, y r es la posición de la cuenta a lo largo de la varilla, la energía cinética en coordenadas polares es:

( ) ( )222222

21

21

ωθ rrmrrmT +=+= &&&

y la lagrangiana

( ) tmgrrrmL ωω sen21 222 −+= &

La ecuación del movimiento resulta:

tgrr ωω sen2 −=−&& ,

siendo su solución

+−+= tsen

2senh

2cosh 22 ω

ωω

ωωω

gtgvtRr

---------------------------------------

8. La lagrangiana para una partícula cargada moviéndose en un campo electromagnético es, en coordenadas cartesianas,

vA ⋅+−=ceeTL φ

a) Evaluar cuál es la dependencia en y A de los campos eléctrico y magnético, para que L genere la conocida ecuación newtoniana de movimiento en un campo electromagnético.

φ

b) Seguidamente, demostrar que los campos son invariantes bajo la transformación (conocida como gauge)

).,(1),,(

ttc

t

r

rAA

Ψ−→

Ψ∇+→

∂∂

φφ

A partir de la lagrangiana dada se verifica que:

,

,

3

1

3

1

++=+=

+−=

∑

∑

=

=

k

i

k

iki

ii

i

k i

kk

ii

tA

rA

vcem

dtdA

cevm

vL

dtd

rA

vce

re

rL

∂∂

∂∂

ν∂∂

∂∂

∂∂φ

∂∂

&&&

9

quedando la ecuación del movimiento:

−+

−−= ∑

= k

i

i

k

kk

i

ii r

ArA

vce

tA

crevm

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂φ 3

1

1& .

Comparando con la conocida forma,

( )iii BvceeEvm ×+=& ,

queda,

).,(),(

),,(1),(),(

tt

ttc

tt

r

r

rArB

rArrE

×∇=

−−∇=∂∂

φ

Una vez conocidas estas expresiones para los campos, verificar que son invariantes bajo la transformación gauge anterior es un ejercicio simple.

------------------------------------

9. Si dos lagrangianas, L y L’, son tales que:

( ) ( ) ;),(,,,,dt

tdMtLtL qqqqq +=′ &&

a) demostrar que llevan a las mismas ecuaciones del movimiento.

b) Comprobar que la transformación de potenciales del problema anterior pertenece a este caso, si L es la lagrangiana ahí detallada.

Calculamos para L y L’ las ecuaciones de Lagrange, pudiendo observar que para que sean idénticas debe cumplirse que:

.0=

−

dtdM

qdtd

q kk &∂∂

∂∂

El ejercicio es trivial. Por otra parte, el efecto de la transformación gauge sobre la lagrangiana del problema anterior es:

),(21 t

ce

dtdL

tceL

ceemL rvAvvv Ψ+=

Ψ∇⋅+

Ψ+=′⋅+′−⋅=′

∂∂

φ ,

tal como queríamos demostrar.

---------------------------------------------

10. Hallar y resolver las ecuaciones de Lagrange para el sistema formado por dos péndulos acoplados según indica la figura. Las varillas de longitud y son L L′

10

rígidas de masa nula, mientras que la barra horizontal rígida de longitud tiene una masa . D bm

a=

21

=

cosθ

Posición de los puntos de la barra:

Dxayxx ≤′≤−=′+ 0;cos;sin θθ

θθθθ &&&& sin;cos ayax ==

Energía cinética barra 22

0

22

2θθρ && a

maxd

Db∫ =′

T= )(21 2222 amLmmL b+′′+θ&

)(cos)coscos( LmmLamgLmmLamgV bb ′′++−=′′++−= θθθ

Se comporta como un péndulo simple de longitud λ y masa tal que: µ

2222 amLmmL b+′′+=µλ

amLmmL b+′′+=λµ

Entonces:

amLmmLamLmmL

b

b

+′′++′′+

=222

λ

222

2)(amLmmL

amLmmL

b

b

+′′++′′+

=µ

-------------------------------------

11. Estudiar y resolver por el método de Lagrange el movimiento de la máquina de Atwood compuesta de la figura, en donde las masas de las poleas son y . 0 2m

Como las longitudes de los hilos son constantes, tenemos las ligaduras:

DConstxxxxCConstxx

==−+−==+

.)()(.

2324

21

11

de donde:

134

12

22 xxCDxxCx

−−+=−=

Además, la polea 2, de radio R gira a una velocidad angularω , de modo que su energía cinética rotativa es:

)( 231 xxR && −= −

223 )(

21 xxTp && −= α

donde la constante α esta relacionada elementalmente con m . 2

Así, pues, usando y como las dos coordenadas independientes: 1x 3x

2134

233

222

211

213

244

233

222

211

)2(21

21

21

21)(

21

41

21

21

21

xxmxmxmxmxx

xmxmxmxmTT p

&&&&&&&

&&&&

++++++

=++++=

α - energía cinética.

)( 44332211 xmxmxmxmgV +++−= - energía potencial

)2(( 134331211 xxmxmxmxmgV +−+−−= + Constante-irrelevante.

Finalmente:

))()2(( 4334211 mmxmmmxgV −+−−−=

Ambos grados de libertad y están uniformemente acelerados, mientras que la energía es una función cuadrática de las velocidades.

1x 3x

---------------------------------------

12. Consideramos la evolución de un cuerpo puntual de masa , constreñido a moverse sin rozamiento sobre un anillo fijo circular en presencia de una aceleración uniforme . El anillo tiene radio , se encuentra en un plano vertical y su espesor es despreciable.

m

g R

Puesto que el cuerpo se mueve sobre una curva (unidimensional),el número de grados de libertad del problema es la unidad (dos para una superficie, tres para un volumen).

12

Claramente, la posición del móvil la fija una sola variable, el ángulo θ , por ejemplo. Habrá pues una única ecuación de Lagrange. Construyámosla.

La energía cinética T para una partícula de masa que se mueve en el plano es: m yx −

),( 22 yxmT && +=

de modo que, escribiendo e en función de y θ , x y R

,cos;sin θθ RyRx −== (1)

y derivando respecto del tiempo, resulta para las energías cinética y potencial V en función de θ ,

T

2

22 θ&mRT = (2)

.cosθmgRmgyV −==

Así pues, la ecuación de Lagrange (solo una para un problema con un solo grado de libertad) correspondiente al Lagraniano . L

)cos2

(2

θθ

+=−=g

RmgRVTL&

(3)

es:

.0sin =+ θθg

R&&

(4)

Nótese que, gracias a las ligaduras, un problema plano que en principio hubiera requerido dos ecuaciones de segundo orden para e , se ha despachado en términos de una sola para θ .Pero caben simplificaciones mayores aún, de resultas de las simetrías (o invariancias) presentes. Obsérvese que el Lagrangiano de hecho no depende del tiempo t . Ello implica automáticamente que la energía T se conserva , y la ecuación (4) puede reducirse a una de primer orden. Efectivamente, introduciendo la nueva variable dependiente

x y

),( tL θV+

θ&=p , (5)

y usando a θ como la nueva variable independiente (fórmula tradicional para reducir ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la variable independiente , t aquí , no aparece explícitamente)

θθθ

ddp

dd

dtd

dtd

== (6)

de modo que (4), que era de segundo orden, se vuelve de primer orden:

pR .0sin =+ θθ

gddp (7)

Integrando, se obtiene la ecuación de la energía

teConsEg

pR tancos2

2

==− θ (8)

13

La solución ahora se reduce a una cuadratura, puesto que al ser conocida (ecuación 8), (5) se convierte en la ecuación separable (y por tanto integrable)

)(θp

REgd

pddt

/)cos(2)( θ

θθθ

−== (9)

-----------------------------------------

13. Péndulo plano de masa , cuyo punto de suspensión (de masa ) puede desplazarse en el mismo plano sobre una recta horizontal.

2m 1m

− Hay dos grados de libertad, que pueden caracterizarse por la coordenada de la primera masa, y por el ángulo θ entre la varilla del péndulo y la vertical.

1x

2

21

11xmT&

= ;V 01 =

)(2

22

22

22 yx

mT && += ; 222 mgyV =

Pero , , de modo que θcos2 Ry −= θsin12 Rxx +=

[ ]21

222 )cos()sin(

2θθθθ &&& RxR

mT ++=

.cos22 θgRmV −=

El Lagrangiano resulta inmediatamente de su definición, , y análogamente resultarían las ecuaciones de Lagrange (el alumno deberá escribirlas como ejercicio).

2121 VVTTL −−+=

Nótese que no depende ni del tiempo t (se conserva la energía total), ni de ( es

coordenada cíclica ,

L x x

0=∂∂

−xL , y se conserva su cantidad de movimiento conjugada,

xLp

∂∂

= ). El sistema de las ecuaciones de Lagrange de cuarto orden (dos de segundo

orden), pueden pues reducirse a una de segundo orden. Las dos integrales primeras asociadas a las consideraciones anteriores son

ConstRmmmxxLp =++=

∂∂

= θθ cos)( 22111

&&&

(4)

.2121 ConstVVTTE =+++= (5)

14

La ecuación (4) es fácil de interpretar como el hecho de la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección (como siempre, esta propiedad resulta de la invariancia del problema ante traslaciones en la dirección ).

xx

.2211 xmxmp && += (6)

Para mayor simplificación, esta última ecuación también admite otra integración exacta (Problema para alumnos imaginativos: a ver quien es capaz de interpretar este hecho matemático como la invariancia de algún ente físico ante una transformación de alguna clase), igual que en el movimiento de una partícula libre(la suma de fuerzas en la dirección es nula). x

.sin)( 2121 ConstRmxmmtp =+++− θ (7)

Así pues, el problema queda reducido a uno de primer orden. Bastaría con resolver la ecuación de la energía total en la que la única variable desconocida sería , ya que y

pueden expresarse en función de y mediante las ecuaciones (6) y (7). θ 1x

1x& θ θ&

El lector deberá terminar el problema en detalle. Para ello, hacemos notar que esta única ecuación pendiente de resolución toma la forma más sencilla en el sistema de referencia que se mueve en la dirección con la velocidad constante del centro de masa de las dos partículas. Usando como coordenadas

x

)()(

21

2211

mmxmxm

c++

= y , θ

c (la coordenada horizontal del centro de gravedad) resulta ser también cíclica, y la integral de la energía se reduce a:

22θ&R [ ]2

22 cos2sincosmEgRa =−+ θθθ ,

donde ).( 21

1

mmm

a+

=

El problema queda pues reducido a una cuadratura, como los anteriores,

2

22

cos2

sincos

mEgR

aRddt+

+=

θ

θθθ .

Ahora podemos pasar a completar la descripción del problema. Empezamos por :

θθθθθθθ cos)cos2cossin(21

21

212222

12222

11 gRmxRRxRxmVTL +++++=−= &&&&&& =

θθθθ coscos21

2 21222

221

21 gRmxRmRmxmm

++++ &&&&

Ecuaciones de Lagrange:

15

[ ] 0cos)(0 22111

=++⇒=∂∂

−

∂∂ θθ&&&

Rmxmmdtd

xL

xL

dtd

0sincos 2

2

21 =−++

⇒ θθθθ &&&&&xRmmm

θθθθθθθ

sinsin)cos(0;0 122122

2&&&&&

&xRmgRmxRm

dtdRmLL

dtd

+++==∂∂

−

∂∂

0sincos1 =++ θθθ gxR &&&&

Coordenadas del centro de masas: ⇒−=++

= 2121

2211 ; xxrmm

xmxmc eliminando

y en función de y :

1x

2x c r

rmm

mcxr

mmm

cx21

12

21

21 ;

+−=

++=

222

222

211 2

121

21 ymxmxmT &&& ++=

Pero

=

+

++

++

+

++

−=+ 22

21

2

21

22122

21

1

21

122

222

211 )(2

2)(

221

22r

mmm

rcmm

mc

mr

mmm

rcmm

mcm

xmxm&&&&&&&&

&&

2)(

21 2

221

rcmm&

& µ++

con 21

21

mmmm

+≡µ y =2

2221 ym & =θcos2 Ry −= .sin

21 222

2 θθ &Rm

Así pues,

θ

θθµθ

cos

)sincos(22

)(

2

22

222

212

gRmV

mRmmcT

−=

+++

=&&

c es coordenada cíclica )0( =∂∂

cL de modo que Además se conserva la

energía de modo que

.constc =&

EconstgRmmR ≡=−+ θθθµθ cos2)sincos( 22

2222 & (el doble de la energía total)

θθµ

θθ

22

2

2

sincos

cos2

mR

gRmE

+

+=&

θθθµ

θcos2sincos

2

22

2

gRmEm

Rddt+

+=⇒

-------------------------------------

16

14. Considérese el regulador ilustrado en la figura. ¿Cuántos grados de libertad hay? En función de los ángulos y , obténgase el Lagrangiano del sistema y escríbanse las ecuaciones de Lagrange. Utilizando las simetrías, redúzcase el problema a una cuadratura. Interprétense físicamente cada una de las ecuaciones de conservación (o integrales del movimiento) obtenidas.

θ φ

φθ cossin1 Rx =

φθ sinsin1 Ry =

121 2;cos zzRz =−= θ

φθφφθθ sinsincoscos1 RRx &&& −=

φθθ sincos1 Ry && = 2222221

21

21 sincossin φθθφφθ &&&&&& RRzyxR +=++⇒+

θθ && sin1 Rz =

)sin4sin( 22222222 θθφθθ &&& RRRmT ++=

θcos6)(2 21 mgRzzmgV −=+=

El Lagrangiano es:

θθθφθθ cos6)sin4sin( 222222 mgRmRL +++= &&&

Nuevamente hay una variable cíclica, .0: =∂∂φ

φ L Evidentemente, si se varia en una

cantidad fija (por ejemplo girando el eje x a un ángulo dado ), el sistema no se inmuta. Es invariante ante desplazamientos constantes de la variable . Se conserva

pues la cantidad

φ

φ∆

φ

φθφ

&&

222 sin2mRLp =

∂∂

= , fácilmente identificable con el momento

angular en la dirección vertical. Nuevamente, eliminando

φ& en términos de (constante) y haciendo uso de la ecuación de la energía, 2p

,sin4

)sin41(cos6 22

22222

θθθθ

mRpmRmgRVTE +++−=+= &

El problema se reduce a dos cuadraturas (o meras integrales):

17

θ

θθ

θθ ⇒

−+

+=∫ ∫

22

22

22

sin4cos6

)sin41(

mRpmgRE

mRddt )(tθ=

----------------------------------

15. Dos puntos de masa están unidos por una varilla rígida sin peso de longitud ,el punto medio de la cual está obligado a moverse sobre una circunferencia

de radio . Escríbase la energía cinética en coordenadas generalizadas. Obténgase el Lagrangiano del sistema y escríbanse las ecuaciones de Lagrange. Utilizando las simetrías existentes, redúzcase el problema a una cuadratura. Interprétense físicamente cada una de las ecuaciones de conservación (o integrales del movimiento) obtenidas. Toda la acción ocurre en el plano vertical; la constante gravitatoria es .

mb2

R

g

+r =posición pto. superior = ; ji ++ + yx

=−r posición pto. inferior = ji −− + yx

Para simplificar el álgebra, introducimos la notación compleja (no es absolutamente imprescindible)

)1( −=+= iiyxr

−−−+++ +=+= iyxriyxr ;

Claramente 21Re θθ ii ber ±= −

±

2121 Re θθ θθ ii eibir &&& ±=± .

*rr=⋅ rr , donde es el complejo conjugado de ; *r r iyxr −=*

=±±= −−± )Re)(Re( 2121

21212 θθθθ θθθθ iiii beber &&&&&

)( )()(21

22

221

2 1221 ϑθθθθθθθ −− +±+= ii eeRbbR &&&&

)()(21 2

222

1222 θθ &&&& bRmrrmT +=+= −+

18

121 sin2)( θmgRyymgV =+=

)sin2( 122

221

2 θθθ RgbRmL −+= &&

Nótese que es coordenada cíclica, pues 2θ .02

=∂∂θL

2θ

En otras palabras, al sistema no le

afecta que se le dé a la variable un desplazamiento constante ∆ . Es por tanto “invariante ante traslación (giro)” de la variable . Se conserva pues

2θ θ

2p

teconsmbLp tan2 22

22 ==

∂∂

= θθ

&&

,

tmbp

22

202 2+=θθ

claramente asociado al momento de giro del sistema de las dos masas alrededor de su centro. También el momento angular de la Tierra alrededor del eje polar se conserva indepedientemente de su giro alrededor del Sol. El resto del problema es trivial, reduciéndose al de un péndulo simple plano.

----------------------------------------

16. Una partícula de masa m, sometida al campo gravitatorio terrestre, se mueve sin rozamiento sobre la superficie interior de un paraboloide de revolución colocado verticalmente.

a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservan durante el movimiento.

b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y discútase el tipo de órbitas.

c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita sea circular?

d) Calcúlese la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud en torno a esta órbita circular.

19

a) Sea ( )22 yxkz += la ecuación del paraboloide. Utilicemos coordenadas cilíndricas (ρ,ϕ) como se indica en la figura.

m

ϕ

ρ

z

y

x

Así pues,

===

2

cos

ρϕρϕρ

kzseny

x

===

2222

222

222

4

cos

ρρϕρϕρ

&&

&&

&&

kzseny

x

⇒ ⇒

=+=−=

ρρϕϕρϕρϕϕρϕρ

&&

&&&

&&&

kzseny

senx

2cos

cos

+−

222

222

2cos2

ϕϕρρϕϕϕϕρρϕϕρ

&&&

&&&

sensensen

++

coscos

ϕρϕ

De modo que la energía cinética de la partícula es

( )222222 421

21

ρρϕρρ &&& kmmT ++=≡ 2v .

Siendo la energía potencial 2ρmgkmgzV =≡ .

En la lagrangiana L=T−V, la coordenada ϕ es cíclica, luego el correspondiente momento generalizado se conserva

l&&

≡=∂∂

ϕρϕ

2mL ,

que corresponde a la componente vertical del momento angular. Además, como la lagrangiana no depende del tiempo, la energía total se conserva.

b) La energía total de la partícula, suponiendo que l , 0≠

( ) 22

2222

241

21

ρρ

ρρ mgkm

kmVTE +++=+≡l

&

20

depende de una sola coordenada, ρ, y puede tomarse como la energía de un problema unidimensional equivalente donde

( ) 2224121

ρρ &kmTef +≡

juega el papel de energía cinética, siendo ρ cierta coordenada curvilínea (no cartesiana), y

22

2

2ρ

ρmgk

mVef +=

l

el de energía potencial. En la figura se han representado los dos términos que contribuyen a este potencial efectivo, en el caso particular . 322 /2 kgm=l

La expresión de la energía total permite escribir la relación

ρρ

d)(2)41(

d22

efVEkm

t−

+= ,

cuya integración proporciona la ley horaria del movimiento. Así, para cada valor de l, los valores permitidos de la energía han de ser tales que , y para cada uno de estos valores existen dos valores extremos (máximo y mínimo) de ρ, que son las raíces

de la ecuación

efVE ≥

22

2

2ρ

ρmgk

mE +=

l . Cuando el valor de la energía total E coincide con

el mínimo de Vef, el movimiento es circular con radio ρ= ρc, que se obtiene de la condición de mínimo,

02d

d3

2

=−=c

cmín

ef

mmgk

Vρ

ρρ

l ,

es decir,

gkmc 22 l

=ρ .

21

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0

4

8

12

PotencialGravitatorio

PotencialCentrífugo

PotencialEfectivo

Vef /(mg/k)

c) En la órbita circular, como el radio es constante, se tiene evidentemente . Por otra parte, utilizando la expresión obtenida para el radio de la órbita, ρ

0=cρ&

c, en la de la componente vertical del momento angular resulta el valor de la componente azimutal de la velocidad de la partícula,

gkc 2=ϕ& .

Así pues para conseguir que la partícula se mueva según una trayectoria circular con determinado valor del radio, , hay que imprimirle una velocidad de componente únicamente azimutal y de módulo

cρρ =

cgk ρ2 .

d) Para escribir la ecuación del movimiento general de la partícula, calculemos las derivadas

+=∂∂

−+=∂∂

ρρρρ

ρρρϕρρ

&&&

&&

22

222

4

24

mkmL

mgkmkmL

La ecuación de Lagrange correspondiente conduce a la ecuación:

( ) 02441 3

22222 =+−++ ρ

ρρρρρ mgk

mmkkm l

&&& .

Supongamos ahora que el movimiento se aparta poco de una órbita circular, de manera que

( ερρ += 1c ) , con ε « 1.

Sustituyendo en la ecuación del movimiento y despreciando los términos en ε de orden superior al primero, se llega a la ecuación

0

241

82 =

++ εε

gkmk

gkl

&&

que es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia

gkmk

gk

241

82

2

l+

=ω .

------------------------------------------

17. Plantee las ecuaciones del movimiento para el péndulo doble en el caso de pequeñas oscilaciones, escogiendo como coordenadas las longitudes de arco descritos por cada uno de los péndulos. Halle las frecuencias de los modos

22

normales en el caso en el que la masa del péndulo superior es mucho mayor que la del péndulo inferior.

La forma usual de abordar este problema puede quedar resumida en lo siguiente. Si describimos el problema en las variables generalizadas dadas por los ángulos de los péndulos daremos con una formulación que puede englobarse en la siguiente forma general de lagrangiano:

)()(21

,qUqqqML j

jiiji −= ∑ &&

con un punto de equilibrio en . El estudio de las desviaciones pequeñas alrededor del punto de equilibrio equivale a tomar sólo los términos lineales en las ecuaciones del movimiento, o lo que es lo mismo, la aproximación cuadrática a L:

0=iq

jji

ijijji

iji qqKqqTL ∑∑ −=,, 2

121

&&

El problema de hallar las frecuencias de los modos normales es el de resolver la ecuación especial de valores propios:

kkk AKAT ⋅=⋅2ω

en donde T no es una matriz diagonal. Para evitar el complicado problema de la diagonalización en este estadio, podemos en algunos casos diagonalizar la energía cinética ya de partida, en el lagrangiano cuadrático. Esto es lo que pasa en el problema presente. Veamos cómo podemos hacerlo.

El problema nos plantea un péndulo doble, con el superior de longitud L, y masa M, y el inferior,

de longitud l y masa m. La energía cinética no es difícil de hallar:

[ ])-cos(221

21 222222 θϕϕθϕθθ &&&&& LllLmMLT +++=

Para pequeños valores de θ y ϕ, podemos aproximar el coseno por 1. Como hay un término producto de sus derivadas temporales, estas coordenadas no son ortogonales (no diagonalizan la energía cinética), pero podemos hacerlas ortogonales sumando un múltiplo apropiado de θ a ϕ. De hecho, es fácil ver que una pareja de coordenadas ortogonales está dada por los desplazamientos

ϕθθ lLyLx += = ,

que no son otra cosa que las longitudes de arco descritos por cada una de las masas de ambos péndulos. Es fácil ver que, entonces, la energía cinética se convierte en:

2212

21 ymxMT && +=

En función de estas nuevas coordenadas ortogonales es fácil ver que las ecuaciones del movimiento son:

23

ylgx

lgy

ylM

mgxlM

mgmL

gmMx

−=

+

+

+=

&&

&&)(

Hallar la ecuación característica para las frecuencias de los modos normales es relativamente trivial, sobre todo en el límite M>>m, quedando:

lg

Lg

≈≈ 22 y ωω

-----------------------------------------

18. Una partícula de masa unidad que puede moverse libremente en el plano XY, se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas y está sometida a la fuerza que deriva del potencial V(x,y). El potencial es analítico cerca del origen, admitiendo el desarrollo

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

21, 3

2

2

22

2

2232 rO

yxVxy

yVy

xVx

yVy

xVxrOVVyxV +++++≡+∇⋅+∇⋅=

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂rr

Estúdiense los instantes iniciales del movimiento, desarrollando las ecuaciones de Lagrange en torno a la condición inicial. Resuélvanse estas ecuaciones suponiendo que, durante estos instantes, el desplazamiento es de la forma ( ) ( ) 5432 tOtttt +++= cbar , y determínense los vectores constantes a, b y c. Calcúlese, así mismo, la trayectoria durante este tiempo y la expresión de la lagrangiana.

La lagrangiana de la partícula es L = T − V, siendo ( )22212

21 yxT && +== v . Así pues,

cerca del origen, se tiene

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

000 ;

000 ; 2

2

2

2

2

2

−−−==

−−−==

yxVx

yVy

yV

yLy

yL

yxVy

xVx

xV

xLx

xL

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

&&

&&

lo que conduce a las ecuaciones de movimiento de Newton:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

000

000 2

2

2

2

2

2

−−−=

−−−=

yxVx

yVy

yVy

yxVy

xVx

xVx

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

&&

&&

con las condiciones iniciales

( ) ( ) ( ) ( ) 00000 ==== yxyx &&

Por otra parte, según el enunciado, se tiene

24

( ) 1262 32 tOtt +++= cbar&&

Sustituyendo r y en las ecuaciones del movimiento e igualando las potencias del mismo orden en t, se obtienen los vectores buscados:

&&r

( )021

xVax ∂

∂−=

0=xb

( ) ( ) ( ) ( )

+= 0000

241

2

2

2

yxV

yV

xV

xVcx ∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

Haciendo en estas expresiones el intercambio x↔y, se obtienen las componentes y correspondientes.

Para calcular la trayectoria, x = x(y), hay que eliminar el tiempo t entre las componentes x e y de la ley de movimiento r(t). Para ello invertimos la serie de una de las componentes, la componente x por ejemplo, suponiendo para t un desarrollo de la forma

( ) 22/32/1 xOxxxt +++= γβα

de manera que

( ) 2 22/322 xOxxt ++= αβα

( )M

22/333 xOxt += α

Sustituyendo en la ley de movimiento, se tiene:

( ) ( ) 2 22/32 xOxxax x ++= αβα

de donde, igualando las potencias del mismo orden en x se encuentran los coeficientes del desarrollo de t,

, 0= , 2/1Kβα −= xa

lo que llevado a la componente y de la ley de movimiento, y = ayt2 + ..., proporciona la trayectoria pedida

( ) // 2

0

xOxxVyVy

x

+

=

=∂∂∂∂

que puede calcularse consecutivamente a todos los órdenes

---------------------------------------

19. Considérese un sistema formado por dos esferas de masa m unidas por una varilla rígida de masa despreciable y longitud 2l. El conjunto puede girar libremente en torno al punto medio de la varilla, equidistante de ambas esferas. Este punto está forzado a moverse sobre una circunferencia de radio R colocada verticalmente en el campo gravitatorio terrestre. Determínense las coordenadas generalizadas apropiadas para describir el movimiento del

25

sistema y calcúlese la expresión de su lagrangiana, si la gravedad es la única fuerza presente. Escríbanse las ecuaciones de Lagrange correspondientes y discútase el movimiento del sistema.

z

y

x

θ

ϕ

α

g

Para especificar el movimiento del sistema, lo más conveniente es dar la posición del centro de masas y referir a éste las posiciones de las dos esferas. Como el centro de masas está forzado a moverse sobre una circunferencia, su posición queda determinada dando el ángulo α que forma su radio vector. En cuanto a las esferas, como están unidas por una barra rígida, la distancia que las separa es fija y basta con especificar los ángulos polares esféricos (ϕ,θ) que determinan la orientación de la barra en el espacio. Así, como coordenadas generalizadas del sistema pueden tomarse los tres ángulos (α,ϕ,θ).

Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el centro de la circunferencia de radio R, como en la figura, las posiciones de las esferas son:

cos

coscos

1

1

1

+=+=

=

θαϕθα

ϕθ

lRsenzsenlsenRy

lsenx

coscos

cos

2

2

2

−=−=

−=

θαϕθα

ϕθ

lRsenzsenlsenRy

lsenx

Calculando por derivación temporal las velocidades respectivas, resultan las siguientes expresiones para las energías cinéticas:

( )[ ]θαθϕθαϕϕθαθααθϕθ sensensensensenRlRsenllm

mT

coscoscos22

21

2222222

211

&&&&&&& ++−++=

=≡ v

( )[ ]θαθϕθαϕϕθαθααθϕθ sensensensensenRlRsenllm

mT

coscoscos22

21

2222222

222

&&&&&&& +++++=

=≡ v

de modo que la energía total del sistema es

( ) ( ) ( )[ ]22221 αθϕθ &&& RsenllmTTT ++=+=

Por otra parte, las energías potenciales de las esferas y la energía potencial total son

26

( )θα cos 11 lRsenmgmgzV +==

( )θα cos 22 lRsenmgmgzV −==

αmgRsenVVV 2 21 =+=

A partir de la lagrangiana, L ≡ T − V, calculemos las derivadas

=

=

=

θϕϕ∂

∂

θθ∂

∂

αα∂

∂

22

2

2

2

2

2

senmlL

mlL

mRL

&&

&&

&&

=

=

=

0

cos2

cos2

22

∂ϕ∂

θθϕ∂θ∂

α∂α∂

L

senmlL

mgRL

&

La ecuación asociada al grado de libertad α,

( ) 0cos22dd 2 =− αα mgRmRt

&

está desacoplada de θ y de ϕ. Esta ecuación es precisamente la ecuación del péndulo simple,

cos ααRg

=&&

de manera que el centro de masas de las esferas ejecuta un movimiento pendular independientemente de como estén girando las esferas. Es decir, el sistema en conjunto se comporta como un péndulo de masa 2m con dos grados de libertad internos que determinan el movimiento relativo de las dos esferas respecto de su centro de masas.

Por otra parte, la coordenada ϕ es cíclica de manera que una constante del movimiento es

CsenmlL== θϕ

ϕ∂∂ 222 &&

de donde, despejando, se obtiene

2

22 θϕ

senmlC

=&

La ecuación para θ es

( ) 0cos22dd 222 =− θθϕθ senmlmlt

&&

es decir, sustituyendo el resultado anterior,

0cot2

2

2 =

− θθ

mlC&&

que es la ecuación que determina el movimiento relativo de las esferas.

-----------------------------------------

27

20. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de una esfera de radio R y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre.

a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservan durante el movimiento.

b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y discútase el tipo de órbitas.

Tomemos un sistema de coordenadas cartesianas centrado en la esfera, tal como se indica en la figura

m R θ

ϕ

Utilizando coordenadas esféricas, la posición y velocidad de la partícula vendrán dadas por

−=

+=

−=

===

θθ

ϕθϕϕθθ

ϕθϕϕθθ

θϕθϕθ

sen cos sen sen cos sen sen cos cos

cos sen sen cos sen

&&

&&&

&&&

RzRRyRRx

RzRyRx

de manera que las energías cinética y potencial de la partícula son, respectivamente,

( ) ( ) sen21

21

21 22222222 θϕθ &&&&& +=++== mRzyxmmT v

θcos 00 mgRVmgzVV +=+=

A partir de la lagrangiana, L = T − V, las ecuaciones correspondientes a los ángulos de orientación son

0dd

=−

∂θ∂

θ∂∂ LL

t &

0dd

=−

∂ϕ∂

ϕ∂∂ LL

t &

Como la coordenada ϕ es cíclica su momento conjugado se conserva constante, lo que traduce la conservación de la componente correspondiente del momento angular, es decir,

28

sen 22 lmR =θϕ&

y la ecuación para θ se escribe como:

sen

cossen 33

2

θθ

θθmR

lmgmR +=&&

Definiendo el potencial efectivo

( ) sen2

cos1 22

2

θθ

mRlmgRVef ++=

la ecuación para θ queda en la forma

d

d1 2 θθ efV

mR−=&&

Una gráfica de Vef permite obtener cualitativamente una perspectiva general del tipo de órbitas.

0

1

2

3

4

ππ/2

θ

Vef

5(R/g)

En la figura se ha representado la función (R/g)Vef para el caso particular . La curva a trazos corresponde al término gravitatorio y la curva a trazos y puntos al término centrífugo. La suma de ambos es la curva continua. Como puede verse, las órbitas posibles corresponden a trayectorias acotadas comprendidas entre dos valores, uno máximo y otro mínimo, del ángulo θ que dependen de la energía total de la partícula, la otra constante del movimiento. Para el valor de ésta correspondiente al mínimo de la curva de V

2 322 gRml =

ef, los dos valores de θ colapsan y la trayectoria corresponde a una circunferencia horizontal.

---------------------------------------------

21. Si se multiplica el lagrangiano por una constante las ecuaciones del movimiento no se ven afectadas. Suponga ahora que el potencial es una función homogénea

29

de grado m de las coordenadas: V . Si

se reescala simultáneamente el tiempo (por un factor:

( ) ( ) ( )nrrrVmnrrrVnrrr ,,2,1,,2,1,,2,1 KKK αααα =′′′=

β=tt' ) y las

coordenadas espaciales (por dicho factor: α=′l ll , con señalando una

coordenada con dimensiones de longitud), una elección apropiada de ambos factores puede tener como efecto neto el de multiplicar el lagrangiano por una constante.

a) ¿Cuál es la relación entre y para que así suceda? α βb) Una vez obtenida ésta derive a partir de ella, como función de m, las relaciones entre l

l′ y cada uno de las reescalamientos siguientes: tiempos (

tt′ ), velocidades ( v

′v ), energía ( EE ' ) y momento angular ( J

J ′ ). c) Obtenga de las relaciones del apartado b) lo siguiente: - la tercera ley de Kepler, - la relación cuando el potencial gravitatorio se aproxima por mgh

( ) 2 constante tl ×=

- la independencia del período con la amplitud en el oscilador armónico

a) Si el potencial reescala como , la energía cinética lo hace como mα 22

βα . Para sacar

factor común a ambos términos del lagrangiano

= 22 βααm , o ( )21 m−= αβ

b) las relaciones solicitadas son:

21

;;2;21 m

ll

JJm

ll

EE

m

ll

vv

m

ll

tt +

′

=

′

′

=

′

′

=

′−

′

=

′

c)

- En el potencial gravitatorio . Sustituyendo en la primera relación en b), obtenemos

1−=m( ) ( )32 lltt ′=′ , que es la ley de Kepler (las distintas órbitas se transforman

unas en otras mediante reescalamientos en el tiempo y el la longitud)

- En el caso del potencial mgh, 1, encontramos la clásica relación parabólica entre distancia y tiempo.

=m

- Aquí m . El período debe ser independiente de la amplitud. 2=

22. Considérese un circuito clásico ( inductor-condensador) sin generador,

estudiado en Física General. Recordando que la energía almacenada en el inductor es

LC

2L21 I , siendo la corriente que circula por él, y que la almacenada

en el condensador es

I

CQ2

21 , establezca una analogía entre estos conceptos

eléctricos y los correspondientes de un sistema mecánico simple. A

30

continuación plantee el Lagrangiano del sistema y obtenga la ecuación diferencial y la frecuencia intrínseca de este circuito resonante.

CL

2Q

m

El problema es muy simple. La analogía puede establecerse de la siguiente forma:

Posición – carga

Velocidad – corriente

Fuerza – diferencia de potencial

Masa – inductancia L

Constante del muelle – inversa de la capacitancia 1/C

La energía almacenada en el inductor 221 L I puede asociarse formalmente a un término

de energía “cinética”. Por su parte, la energía almacenada en el condensador es asimilable, también desde un punto de vista formal, al término de energía potencial de un muelle. En definitiva:

( )212

21 1QL CVTL −=−= &

de la que se obtiene la ecuación: ( ) 0L1 =+ QCQ&& ,de la que sigue fácilmente la frecuencia.

--------------------------------------------- 23. Una esfera uniforme de masa y radio se halla encastrada en un agujero

practicado en una fina lámina plana infinita, con una masa por unidad de área de valor , de forma a que el plano de la lámina coincida con el plano ecuatorial de la esfera. Un objeto de masa de masa se mueve sin rozamiento a lo largo del eje z (véase figura), perpendicular a la lámina y que pasa por el centro de la esfera. Construya el Lagrangiano del sistema

M R

σ

Z

La dificultad en este pr

partícula. Una vez obte

Consecuentemente, nos

separamos las contribu

simplemente, a una dis

oblema reside en encontrar el campo al que se ve sometida la

nido éste, la construcción del Lagrangiano es inmediata.

concentraremos únicamente en el primer objetivo. Para ello,

ciones del plano y de la esfera. Esta última es inmediata:

tancia del centro de la esfera, a lo largo del eje , z z

31

2zGM

−

La contribución del plano puede calcularse de la forma siguiente. Tomemos un anillo de

radio , alrededor del centro de la esfera.. Por razón de simetría, sólo tendremos que

calcular la componente del campo producido por el anillo a la misma distancia

anterior . En definitiva,

ρ

z

z

( )( )( ) 22222

ρρρσπρ

++−

z

zz

dG

El campo total producido por el plano resultará de integrar la expresión para el anillo en

el intervalo : [ )∞,R

22

2

Rz

zG

+−

σπ

--------------------------------------------- 24. Sabemos que el oscilador armónico tiene como parámetro característico la

frecuencia ω , que es independiente de las condiciones iniciales. Por el contrario, su amplitud máxima A sí que depende de estas últimas. Sin embargo, existen osciladores en los cuales los papeles de la frecuencia y amplitud máxima se invierten, en el sentido de pasar la frecuencia a ser dependiente de condición inicial y, al contrario, la amplitud máxima convertirse en un parámetro característico del sistema, independiente de la condición inicial. Un caso semejante ocurre en el sistema de la figura, en el que dos masas iguales están unidas por un eje rígido de masa nula. cada una de las masas se mueve sin rozamiento, y en ausencia de gravedad, a lo largo del eje correspondiente, bien sea el x, bien sea el y. Plantee el lagrangiano del sistema, y demuestre que lo aseverado es cierto: la frecuencia con la que oscila cada masa depende de la condición inicial, mientras que su amplitud máxima es siempre la misma.

x

y

A

Al no estar el sistema sometido a fuerzas, fuera de las ligaduras geométricas, el

lagrangiano y la energía cinética coinciden: son iguales a la energía cinética que tiene cualquiera de las partículas, en el instante en que pasa por el origen y la otra está en su

posición de equilibrio,

( )2

22

22

22um

xAxmAL =

−=

& (1)

donde es la velocidad de una partícula cuando pasa por el origen. Ordenando de nuevo términos en la ecuación (1), llegamos a:

u > 0

32

222

2222222 uxAuxuAxuxA =

+⇒=+ &&

La ecuación final expresa la conservación de la energía de un oscilador armónico cuya frecuencia y amplitud máxima son, respectivamente, u

A y . El movimiento es el de oscilador armónico, pero en el cual la frecuencia depende de la condición inicial (a través de , mientras que la amplitud máxima es siempre constante.

A

u

--------------------------------------------- 25- Suponga que el lagrangiano para un cierto movimiento unidimensional viene

dado por

−= 22

21

21e kqqmtL &γ .

a) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde? b) ¿Existe alguna constante del movimiento? c) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles

Suponga seguidamente que se define una nueva coordenada, , dada por S

qtS

=

2exp γ .

d) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde? e) ¿Existe alguna constante del movimiento? f) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles g) ¿Cómo pondría en relación ambas descripciones?

Nota aclaratoria. En el enunciado propuesto en la hoja de examen se deslizó un error. Se sugería el cambio en lugar del que aparece en el presente enunciado. Está claro que con este último cambio el resultado carece de interés conceptual, tal como ha podido constatar la mayoría de los alumnos. La corrección, evidentemente, se ha hecho según el enunciado del examen, y no con el que aparece aquí. Sin embargo, sí que da interés al problema el cambio propuesto aquí, por lo que será aquél sobre el que elaboraremos. Para terminar, quiero felicitar a los tres alumnos que se han dado cuenta del “buen” cambio. Así lo han hecho constar en el examen a título de comentario y su iniciativa ha sido debidamente valorada a la hora de calificar.

( tqS γexp= )

a) La ecuación de Lagrange lleva a:

( ) 0=++ kqqmqme t &&& γγ , o

0=++ qmkqq &&& γ ,

b) Aparentemente, podríamos contestar que no existe constante del movimiento al depender explícitamente del tiempo. Pero esta respuesta es un poco precipitada. Veamos por qué. En un sistema mecánico, podemos disponer, en principio, de funciones que permanecen constantes a lo largo del movimiento: =constante. Estas se denominan constantes del movimiento o integrales primeras. Sin embargo, la definición de estas cantidades es más general,

L

( ) ( )( tqtqF &, )

33

englobando una posibles dependencia explícita del tiempo, de forma que: = constante. Nada , en principio, excluye la existencia de este último caso de constante del movimiento, aunque, bueno es decirlo, se piensa en la primera forma al hablar de constante del movimiento. Lo que sí queda claro es que, si existe = constante, no es aparente. Sigamos la evolución del problema para aclarar este extremo.

( ) ( )( )ttqtqF ,, &

( )( )tt ,&( ) qtqF ,

c) Para una solución general del tipo , obtenemos la ecuación característica teq α∝

02 =++mkαγα

con soluciones

mk

−

±−=

2

22γγα

Las distintas posibilidades de movimiento nos vendrán dadas por el valor del

discriminante mk

−

=∆

2

2γ , siempre que . 0>γ

Primer caso: . En este caso, la solución general queda como un movimiento

oscilatorio amortiguado 0<∆

( )tBtAeqt

∆+∆=−

sencos2γ

Segundo caso: . Movimiento puramente amortiguado 0=∆

20

t

eqqγ

−=

Tercer caso: ∆ . Movimiento también puramente amortiguado 0>

( )ttt

BeeAeq ∆−∆−+= 2

γ

d) Escribimos el lagrangiano en función de la nueva variable

22

21

21

21 kSSSmL −

−= γ& ,

del que se obtiene la siguiente ecuación del movimiento

02

22

=

−+ S

mkS γ&& .

e) Ahora, sí que podemos hablar de una constante del movimiento. La ecuación anterior es la del oscilador armónico, que tiene formalmente la constante

cte2

2

222 =

−+ S

mkS γ&

Llegados a este punto, enlazamos con el apartado b). La expresión anterior, una vez desecho el cambio , nos proporciona la contestación a la pregunta que nos hacíamos ahí.

Sq →

34

f) Es fácil responder a este apartado manejando el signo de 2γ−mk , al igual que hicimos en el apartado c). Sin embargo, a la hora de hacer un análisis completo no deberá olvidarse el factor exponencial en la definición de . S g) Ambas descripciones son totalmente equivalentes. La única diferencia es que en la segunda se enmascara el factor exponencial –que no por ello ha desaparecido- pudiéndose con ello poner en evidencia la constante del movimiento –cosa que no era trivial en la primera descripción.

---------------------------------------------

26- Tres puntos de masa pueden deslizarse sobre un círculo de radio b , tal como indica la figura de la izquierda, sometidos a fuerzas derivables del potencial

m

( ) ( )γβαγβα −− ++= ee,, 0VV −e −los ángulos de separación son medidos en

radianes. Cuando

γβα ,,

32πγβα ==

21 ,,θθ

=

3θ

, el sistema se halla en equilibrio. Encuentre las frecuencias de los modos normales del sistema para pequeños desplazamientos del equilibrio (ángulos ilustrados en la figura de la derecha)

Los ángulos , y , en términos de y , son: α β γ 21 ,θθ 3θ

1232 θθπα −+= ,

2332 θθπβ −+= ,

3132 θθπγ −+= .

Por su parte, el potencial queda:

−−+

−−+

−−−=

31231232

0θθθθθθ

π

eeeeVV

Habida cuenta de que estamos hablando de pequeños valores de y , esta expresión del potencial puede aproximarse por

21,θθ 3θ

( ) ( ) ([ 3123123

2

0 3 θθθθθθπ

−−−−−−≈−

eVV )

35

( ) ( ) ( ) −+−+−+ 2

312

232

12 21

21

21 θθθθθθ

La energía potencial va a ser dependiente de las velocidades lineales de las tres partículas. Como el radio b es constante, éstas serán , para i . En definitiva, el lagrangiano quedará

ibθ& 3,2,1=

( )13322123

22

21

32

0

3

1

3 θθθθθθθθθθπ

−−−++++= ∑=

eVmbLi

i& ,

con sus correspondientes ecuaciones de Lagrange

( ) 02 3213

2

01 =−−+ θθθθπ

eVmb &&

( ) 02 1323

2

02 =−−+ θθθθπ

eVmb &&

( ) 02 2133

2

03 =−−+ θθθθπ

eVmb &&

Proceder en el análisis de modos normales es relativamente trivial, por lo que se dejan los detalles como ejercicio. La ecuación característica resulta ser

032

232

02 =

+− ωω

π

mbeVmb

con soluciones

=−

3031

0

πωe

mV

b

siendo la segunda degenerada.

---------------------------------------------

27.- En un sistema dinámico de 2 grados de libertad la energía cinética es 22

22

2

21

21

)(2qq

bqaq

T &&

++

=

222 )2)(( kqkq +−

, y la energía potencial esta dada por U , con a, b,

c y d constantes. Mostrar que en función del tiempo es una ecuación de la forma con h, k y constantes.

2dqc +=

2qt− 2

0 )(th= 0t

NOTA: bxab

bxabxa

xdx+

−−=

+∫ 23)2(2

Dado que la energía cinética y la potencial no dependen ni del tiempo ni de la

coordenada tenemos 2 constantes del movimiento: y 1q VTE +=1q

L&∂

∂ , es decir:

ctepa

qqL

=+

=∂∂

11

1

&

& bq2

=

36

cdqqqbqap

dqcqqbqa

qEVT ++++=+++

+==+ 2

22

222

21

222

22

2

21

21)(

221

)(2&&

&

que podemos rescribir como: 221

22

22 CqCqq =−&

con C y C constantes: , . 1 2 dbpC 2211 −−= capEC 22 2

12 −−=Y de ahí integrar:

22

21222 q

qCCq

+=& → 0

212

22 ttdtqCC

dqq−==

+ ∫∫

21221

2120 3

)2(2qCC

CqCC

tt +−

−=−

que conduce directamente a la ecuación que queremos encontrar con 1

2

CC

−=k y

149 Ch = .

--------------------------------------------- 28.- Una partícula de masa y carga se mueve bajo la influencia de campos eléctrico y magnético uniformes, mutuamente ortogonales. En un sistema de ejes cartesianos, estos campos son E

rr y B

rr. Encuentre las ecuaciones de

movimiento y la trayectoria en el caso en el que la partícula se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas.

m e

jE= kB=

Las relaciones siguientes le pueden servir de ayuda

( ) ( Avvv

AB

AE

⋅−−⋅=

×∇=∂∂

−−∇=

φ

φ

emL

t

21 )

Los potenciales escalar y vectorial que dan los campos correctos, son

Ey−=φ

( )jiA xyB +−=21

El correspondiente lagrangiano queda

( ) ( )xyyxeBeEyzyxmL &&&&& −++++=21

21 222

Las ecuaciones de Lagrange correspondientes quedan 0=− eBxm && eExeBym =+ &&&

0=zm && Queda claro de la tercera ecuación y de las condiciones iniciales y , que el movimiento está confinado al plano . Las ecuaciones para e son lineales, por lo que podemos considerar una solución general del tipo exp , quedando la ecuación característica como

( ) 00 =zx y

( )tλ

( ) 00 =z&xy

37

022242 =+ λλ Bem con autovalores

2

222

2,1 ,0mBe

−=λ

Con estos resultados en mano, podemos escribir la solución para la trayectoria de la partícula

−= t

meB

eBmEt

BEx sen2

−= t

meB

eBmEy cos12

Es fácil dibujar la correspondiente trayectoria. Es un cicloide con cúspides sobre el eje , separadas por una distancia x 22 eBmEπ . Esta distancia es la velocidad promedio en

la dirección , x BE , multiplicada por el período, eBmπ2 , de los términos sinusoidales.

x

y E

---------------------------------------------

29.- Razónese si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: a) Las lagrangianas y ),,(1 tqqL & ttqAtqqLL ∂∂+= ),(),,(12 & son equivalentes, esto es, proporcionan las mismas ecuaciones de movimiento. a) La elección del Lagrangiano de un sistema nunca es única y dada una función lagrangiana, cualquier función de la forma ),,(1 tqqL & dttqdFtqqLL ),(),,(12 += & , también lo es (Sección 1.4 Goldstein, puede mostrarse por sustitución directa en las

ecuaciones de Lagrange de y de 2LtFq

qF

dtdF

∂∂

+∂∂

= & ).

Por tanto para que sea cierto en el caso que preguntado tendría que cumplirse que la función añadida solo dependiera del tiempo: . )(tA

--------------------------------------------- 30. Suponga por un momento que no sabe usted qué forma tiene la energía cinética y desconoce también las Leyes del movimiento de Newton. Le dicen a usted que el punto de partida para describir el movimiento de una partícula viene dado por las ecuaciones de Lagrange, cuya forma le dan, especificándole, sin más detalles, que el lagrangiano es un funcional de la forma . Le piden que con estos datos descubra usted las leyes del movimiento de la partícula libre en coordenadas

),,( tqqLL ii&=

38

cartesianas. Usted sabe que ésta es una partícula en el espacio vacío sin fuerzas actuando sobre ella y le dan como pista el concepto de sistema inercial y el principio de relatividad de Galileo. 1. Explique por qué el lagrangiano no puede ser función de z, y, x , ni de cada una de las componentes de la velocidad, , , por separado. Tampoco del tiempo. ¿Sobre qué propiedades del espacio se basará su argumentación?

xv yv zv

Usted llega a la conclusión de que , donde es la velocidad de la partícula en un sistema inercial K y quiere descubrir la forma exacta. Para ello toma un segundo sistema inercial K’ que se mueve con velocidad constante infinitesimalmente pequeña respecto de K .

)( 2vL vr

ε−2. Pruebe que L _(a constante). Le puede ayudar hacer una expansión en serie de Taylor, despreciar los términos cuadráticos en _ y recordar la propiedad

de invariancia bajo transformación

2avL =

dtdFLL +→ ' L .

3. Pruebe que es una elección consistente para el lagrangiano en cualquier sistema K’ que se mueva con velocidad finita

r respecto de K ; es decir, se

satisface el principio de relatividad de Galileo.

2'' vL =

0V−

Los datos del problema son: A) El Lagrangiano es funcional de la forma: . ),,( tqqLL ii &=

B) Ecuaciones de Lagrange: 0=∂∂

−∂∂

ii qL

dtd

qL

&.

C) Estudiamos el movimiento en un sistema inercial. En este sistema de referencia una partícula libre permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme por tiempo ilimitado. Esto es equivalente a decir que para este sistema el espacio es homogéneo e isótropo y el tiempo uniforme y de hecho esta es una de las posibles maneras de definir un sistema inercial (basta pensar, en el caso de la isotropía por ejemplo, que con una partícula de velocidad inicial no nula es imposible definir una dirección privilegiada del espacio, dado que sea cual sea la dirección inicial de la partícula el tipo de comportamiento siempre es el mismo). Por supuesto los sistemas inerciales son indistinguibles entre si por lo que las ecuaciones del movimiento han de ser iguales en todos ellos. D) Principio de relatividad de Galileo aplicado a un sistema de referencia inercial K’ se desplaza con velocidad infinitesimal respecto a otro sistema inercial K nos informa que si la partícula libre se mueve con velocidad r en el sistema K lo hará con velocidad

r en el sistema K’.

ε−v

εr−v

1) Con los datos A) y C) es directo. La inclusión de una dependencia explicita respecto a las coordenadas o al tiempo implicaría que las ecuaciones del movimiento no respetarían la homogeneidad del espacio y el tiempo. Cualquier referencia a una dirección privilegiada, como sería una dependencia de la dirección del vector velocidad, no respetaría la isotropía del espacio. Por tanto el Lagrangiano solamente puede depender del módulo de la velocidad, es decir: . )( 2vLL =

39

2) Siguiendo las indicaciones del enunciado desarrollamos en serie el Lagrangiano para el sistema K’:

)(2)()2()'( 22

2222 εεεε OvvLvLvvLvL +

∂∂

−=+−=rrrr ,

y de la última afirmación de C) y la otra pista del enunciado del problema tenemos que

dtdFvLvL += )()'( 22 y para que esto se cumpla en la ecuación anterior tenemos que

cteavL

==∂∂

2 , de modo que , donde es el vector posición de la partícula. arF εrr2−= rr

3) Siguiendo el mismo razonamiento que en el anterior apartado tenemos que

)2()(2)(')'(' 200

2200

220

22 tVVrdtdvLVVvvVvvvL +−+=+−=−==

rrrrrr

que comprueba que los Lagrangianos de ambos sistemas son compatibles.

--------------------------------------------- 31. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de un cono de ángulo α

(ver figura) y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre. a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservan

durante el movimiento. b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y

discútase el tipo de órbitas c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita sea

circular? d) Suponga la masa m en una órbita circular tratada en el apartado anterior.

Suponga que se le imprime un muy pequeño impulso en dirección contraria al vértice del cono. ¿ Qué tipo de trayectoria piensa usted que seguirá el sistema después de hacer esto? En el caso de seguir una trayectoria consistente en la composición de la trayectoria circular original y de una pequeña oscilación alrededor de ésta, calcule la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud en torno a la órbita circular. Hágalo sólo en el caso en que piense que esta trayectoria tiene sentido.

a) Siguiendo la figura, tenemos:

θ

α

z

y

x

R

40

,,sin,cos

zzRyRx

===

θθ

como la partícula tiene que moverse en la superficie del cono, tenemos una ligadura expresada por la ecuación:

ZR

zhR

=−

=αtan dónde definimos , siendo h la distancia del origen al

vértice del cono.

zhZ −=

Elegimos como coordenadas generalizadas a Z (que sólo tendrá sentido para ) y θ y definiendo obtenemos

0≥Zαβ tg≡

,

),cossin(

)sincos(

ZzZZy

ZZx

&&

&&&

&&&

−=

+−=

−−=

θθθβ

θθθβ

con lo que el lagrangiano tiene la forma

( )( ) mgZZZmL +++= 22222 121 θββ && ,

en que la coordenada θ es cíclica y el correspondiente momento conjugado se conserva

θβθθ

&&

22mZLp =∂∂

=

que corresponde a la componente vertical del momento angular. Como la lagrangiana no depende del tiempo, también se conserva la energía. b) Si sustituimos la ecuación anterior en la ecuación del movimiento para la otra variable tenemos

( ) )(1 22 gZmZm +=+ θββ &&& Distinguimos ahora dos casos:

1) Inicialmente el momento angular es nulo, , bien por estar situados en el vértice del cono, , o por no tener velocidad inicial en el plano xy, . En este caso el problema se reduce al movimiento de un cuerpo sobre un plano

inclinado. La ecuación anterior se simplifica a

0=θp0=Z 0=θ&

( )12 +=

βgZ , es decir es un

movimiento uniformemente acelerado en la coordenada Z. El potencial efectivo

es:

&&

Zgeff α

β2

2 cos1+

= gZ =V .

2) Si p podemos despejar de la ecuación del momento angular 0≠θ

22 βθ θ

mZp

=& , que introducimos en la ecuación para la variable Z

+

+= 232

2

211

ββθ

Zmp

gZ&& ,

y si tomando como potencial efectivo la función tal que

ZV

Z eff

∂

∂−=&& , obtenemos

41

−

+= gz

Zmp

Veff 222

2

2 211

ββθ .

Si dibujamos este potencial obtenemos una función monótonamente decreciente como la siguiente:

con V en trazo continuo y las dos componentes en trazo punteado. Este potencial para la variable Z corresponderá a un movimiento acelerado, independientemente de las condiciones iniciales la masa tenderá a caer hacia Z cada vez mayores, que corresponden a z cada vez más negativos en la variable original. Por tanto el movimiento será una composición de un giro en el plano xy, dado por la variable , que por conservación del momento angular tendrá cada vez menor velocidad angular a medida que aumente el radio de giro, y de un movimiento acelerado en la dirección del eje negativo de la variable z.

eff

θ

c) Con el potencial calculado no pueden existir órbitas circulares dado que V nunca alcanza un mínimo. El único equilibrio que puede alcanzar la partícula vendría de considerarla en reposo sobre el vértice del cono. También podemos darnos cuenta de

esto al intentar calcular el valor de Z que anula

eff

ZVeff

∂

∂, obtendremos sólo valores de Z

negativos, para los que nuestras ecuaciones ya no son válidas. d) Si consideramos la partícula sobre el vértice del cono cualquier pequeña perturbación la sacará de su equilibrio inestable para producir un movimiento de caída acelerado como los descritos en el apartado b). Es decir no tiene sentido considerar pequeñas oscilaciones para potenciales sin mínimos.

---------------------------------------------

42

32. La relación entre las leyes cuánticas y clásicas puede expresarse en la forma en la que se trata en este problema. Para ello tomemos un sistema de un grado de libertad. La frecuencia de la radiación emitida por este sistema de acuerdo con las leyes cuánticas viene dada por hE∆=cuanν , siendo . Estos estados estacionarios de energía se calculan con ayuda de la condición de cuantización de la acción,

kn EEE −=∆

∫ == nhpdqI . En consecuencia, . Si , es decir,

examinamos dos estados vecinos: . Combinando esta expresión con la que nos da la frecuencia cuántica, obtenemos

( )hkn −= nII kn −

hI k =−

1=− k

II k=∆ +1

IE ∆∆=cuan*ν (1)

para dos estados contiguos. Obtenga el equivalente clásico de la expresión (1) para el caso del oscilador armónico. ¿Encuentra usted alguna similitud entre las dos expresiones? ¿Podría comentar algo sobre las posibles diferencias?

( )dqVEmpdqI ∫ ∫ −== 2 Tanto la acción como la energía clásicas son funciones continuas. Busquemos la derivada de una respecto de la otra:

( )dq

VEmm

dEdI

∫ −=

2

que, para el caso del oscilador armónico, queda

∫∫∫ ==== Tdtqdqdq

pm

dEdI

&

en donde T es el período de oscilación. En consecuencia,

dIdE

T==

1*clasν

a comparar con (1). Tanto en mecánica clásica como cuántica las frecuencias vienen dadas por la relación de incrementos de la energía y de la acción, aunque en clásica estos incrementos son infinitamente pequeños mientras que en cuántica son finitos. De hecho, este resultado, demostrado para el oscilador armónico, es válido para todos los sistemas periódicos de un grado de libertad, aunque no haremos la demostración aquí.

--------------------------------------------- 33. Consideremos la definición general de sistema conservativo. A saber, aquel que cumple las siguientes tres condiciones: 1) es válida la forma estándar (holónoma o no holónoma) del lagrangiano; 2) el lagrangiano no es función explícita del tiempo; 3) las ecuaciones de ligadura pueden expresarse en la forma

( los coeficientes son nulos). Por otra parte, si el lagrangiano se

expresa en la forma estándar holónoma y la energía cinética es una forma cuadrática homogénea de las ’s, un sistema conservativo es además natural.

0l k kk

a dq =∑ l ta

jq&a) Demostrar que la definición anterior de sistema conservativo lleva a la

conservación de la llamada función energía: jj j

Lqq

∂−

∂∑ &&

L (integral de Jacobi),

que se reduce a la energía total en el caso de un sistema natural.

43

b) Ahora sea una masa m desliza sin rozamiento dentro de un tubo circular de radio r (véase figura). El tubo gira alrededor de su diámetro vertical (eje Z) con una velocidad angular constante . En las coordenadas polares de la figura, compare los sistemas de referencia asociados a un observador externo y a otro que gira con el tubo, respectivamente. ¿En cuál de los dos es este sistema simplemente conservativo y en cuál es también natural? Justifique su respuesta.

ω

c) Describa el sistema anterior en coordenadas esféricas. ¿Es el sistema ahora conservativo? Justifique su respuesta. En caso de no serlo, ¿cuál es la razón física para ello?

z

O r

θm

Si , entonces 2 1 0L T T T V= + + − 2 0jj j

L L T Tq

∂= − = −

∂∑ &&

V′ ′

h q . Si reagrupamos

términos:

V+

2 0V

V T T′

− = +h T== +

Todo el truco del problema reside en “manejar” apropiadamente los términos en el Lagrangiano. Empecemos con los términos T y V en polares

2 2 2 2 212 ( se

cosT m r rV mgr

θ ωθ

= +

=

& n )θ

dando el lagrangiano en sistema “laboratorio” 2 2 2 2 21

2 ( sen )L m r r mgrθ ω θ= + −& cosθ (1) Cumplimos las condiciones impuestas a un sistema conservativo y, por tanto, lo es. La integral de Jacobi es:

2 2 2 2 212 ( sen )h m r r mgrθ ω θ= − +& cosθ ,

que NO ES la energía total. Sin embargo, si escribimos de nuevo (1) de forma que L T V′ ′= − con

2 212 2

2 2 20 cos sen

T T mr

V V T mgr r

θ

θ ω

′ = =

′ = − = −

&

θ

′

)

T’ es la energía cinética relativa a un sistema que gira con el tubo. La energía potencial V’ incluye el término gravitacional y el término que tiene en cuenta la fuerza centrífuga. En este caso nuestro sistema es natural y h T , la energía total (¡cuidado, no en el sistema inercial!)

0T−V′= +

En el caso de coordenadas esféricas tenemos ( , ,r θ φ2 2 2 2 21

2 ( secos

T m r rV mgr

θ φθ

= +

=

& & n )θ

44

con la ligadura . El sistema en esta representación NO ES conservativo ya que . Además, la expresión de Jacobi (T , en este caso) no es constante

ya que la ligadura efectúa trabajo sobre el sistema.

0d dtφ ω− =0

k ta ω= − ≠ V+

45