NOMBRE: - CARRILLO TIRO CARLOS MATERIA: TRANSFORMADA DE FUNCIONES PROFESOR: JOSE ALEJANDRO NOGUCHI RUIZ MEXICOD.F.A20DE SEPTIEMBRE DEL 2011.ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD CULHUACAN LAPLACE PARA ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES Y VARIABLES Suma y Resta (linealidad) Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces: L { f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s) Multiplicacin por una constante Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces: L { kf(t)} = kF(s) Diferenciacin Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el lmite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es: L { df(t)/dt} = sF(s) - lmt 0f(t) = sF(s) - f(0)

En general, para las derivadas de orden superior de f(t): L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0). Primer teorema de traslacin: Teorema de la transformada de la derivada: Teorema de la integral de la transformada: Teorema de la derivada de la transformada: Transformada de la funcin escaln: Segundo teorema de traslacin: Transformada de una funcin peridica: Teorema de convulcin: Cuando se especifican las condiciones iniciales, la transformada de Laplace de cada ecuacin en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes reduce el sistema de ED a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultneas en las funciones transformadas. Se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas para cada una de las funciones transformadas, y luego se determinan las transformadas de Laplace inversas en la manera usual. te y y y= + + 2 ' 3 ' '0 ) 0 ( ' ) 0 ( = = y y] [ ] 2 ' 3 ' ' [te L y y y L= + +11] [ 2 ) 0 ( 3 ] [ 3 ) 0 ( ' ) 0 ( ] [2+= + + sy L y y sL y sy y L s11) 2 3 ]( [2+= + +ss s y L11] [ 2 ] ' [ 3 ] ' ' [+= + +sy L y L y LSeparamos por linealidad: . (A) Derivamos: Simplificamos: 1 ) 1 2 ( ) 2 ( ) 2 3 (2 2= + + + + + + + s s C s B s s A1 2 2 2 32 2= + + + + + + + C Cs Cs B Bs A As AsC A C A = = + 02 ) 1 ( 1 ) 2 ( ) 1 (12 2+++++=+ + sCsBsAs s||.|

\|+ +=) 2 ( ) 1 (1) (21s sL t yDespejamos a L[y]: Aplicamos transformada inversa: .. (B) Resolvemos la transformada por el mtodo de fracciones parciales: Efectuamos las operaciones para A, B, C: Agrupamos los coeficientes para tener el valor de A, B, C: ) 2 ( ) 1 (1] [2+ +=s sy L((

+++++ =21) 1 (111) (21s s sL t yt t te te e t y2) ( + + =1 2 20 2 31 2 20 2 3= + + == + + = + += + +C C CC BC B CC B AC B A1 = C 1 = A 1 = B Sustituimos en (B): Efectuamos directamente la transformada inversa de cada expresin: La transformada de Laplace tambin puede utilizarse para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables teniendo en cuenta que: )] ( [ ) 1 ( )] ( L[t) ( ) ( rt y Ldsdt ynrrr n =0 2 ' ) 2 1 ( ' ' = + y y t ty2 ) 0 ( '1 ) 0 (==++yy0 ] [ 2 ] ' [ 2 ] ' [ ] ' ' [ = + y L ty L y L ty L)) 0 ( ) ( ( ] ' [ ] ' [, 1 ) ( ) 0 ( ) ( ] ' [y s sYdsdy Ldsdty Ls sY y s sY y L = = = =Tomando la transformada de laplace: (A) Denotando L[y]=Y(s), se tiene: 0 ) ( 2 ) ( 2 ) 1 ) ( ( 1 1 ) ( 22= |.|

\|+ + +|.|

\| + s YdsdYs s Y s sYdsdYs s sY|.|

\| + = = = =|.|

\|+ = 1 ) ( 2 ) 2 ) ( ()) 0 ( ' ) 0 ( ) ( ( ] ' ' [ ] ' ' [, ) ( ) 1 ) ( (2 22dsdYs s sY s s Y sdsdy sy s Y sdsdydsdty LdsdYs s Y s sYdsd( ) 020 ) ( 22= = + sdsYdYs sYdsdYs s Sustituyendo estas expresiones en A: Reordenando obtenemos una ecuacin diferencial de variables separables: 2) ( ln ) 2 ln( ) ln(= = +sCs Y C s YtCesCLsCL t y2 1 1212) ( =((

=((

= te t yCy2) (11 ) 0 (== =La solucin a esta ecuacin diferencial es: Tomando la transformada inversa de Laplace: Exigiendo que se satisfaga la condicin inicial y(0)=1, se obtiene C=1. Por tanto :