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Las competencias matemticas en el informe PISA 2003: el caso de la geometraLuis Rico24 de julio de 2006

II ESCUELA DE EDUCACIN MATEMTICA MIGUEL DE GUZMN En torno a la geometra de Miguel de Guzmn.1El Programa Internacional de Evaluacin de Estudiantes (PISA) es un programa cooperativo, de carcter cclico, con un sistema internacional de control y gestin desarrollado por la OCDE. The OCDE Programme for International Student Assessment PISA 2003Desde 1997 la OCDE se propone estudiar el rendimiento de los sistemas educativos mediante nuevos indicadores de desarrolloy de bienestar.El capital social en educacin lo constituyen los conocimientos, destrezas, competencias y otros rasgos individuales de sus ciudadanos, que son relevantes para el bienestar personal, socialy econmico. La educacin muestra el desarrollo de una sociedad 2La informacin procede de los resultados obtenidos en pruebas estandarizadas de papel y lpiz, que proporcionan los estudiantes de 15 aos. Las pruebas son comunes, siguen procedimientos de aplicacin comunes y se llevan a cabo por evaluadores externos.Se propone establecer en qu medida los jvenes de 15 aos al fin de la escolaridad obligatoria estn preparados para satisfacer los desafos de las sociedades de hoy.El programa PISA permite generar indicadores del capital y de los logros en educacin y se lleva a cabo mediante una evaluacin internacional.3La evaluacin PISA permite obtener indicadores sobre alfabetizacin de los escolares en trminos de los conocimientos y destrezas necesarios para la vida adulta.Las evaluaciones se llevan a cabo cada tres aos. Ofrecen a los responsables de la poltica educativa de los pases participantes informacin relevante. Dan seguimiento a los resultados de los estudiantes a lo largo del tiempo. Evalan las fortalezas y debilidades de sus propios sistemas. Establecen la relacin con los resultados de otros pases.4La evaluacin se orienta a valorar el rendimiento acumulado de los sistemas educativos; pone su foco en la alfabetizacin o formacin bsica en los dominios cognitivos de lectura, matemticas y ciencias.La finalidad de la evaluacin PISA/OCDE consiste en establecerindicadores que expresen el desarrollo de una sociedad al considerar el modo en que los sistemas educativos preparan a los estudiantes de 15 aos para desempear un papel como ciudadanos activos.5Algunos datos de PISA 2003:Han participado 273. 566 alumnos de 42 pasesEntre 5.000 y 10.000 alumnos por pas de, al menos, 150 centros diferentesEn Espaa participaron 10.791 estudiantes, de un total de 418.005 alumnos escolarizados de 15 aos de edad.Castilla y Len, Catalua y Pas Vasco incrementaron su muestra,con el fin de hacer un estudio diferenciado.6

Pases participantes:7

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Definicin de las areas de conocimiento:9Cuatro puntos fundamentales del marco para matemticas1. Dominio que se evala: Alfabetizacin Matemtica de los estudiantes (no el currculum).2. Componentes que establecen el dominio: Contenido, Contexto, Competencias.3. Variables y Niveles de complejidad en los instrumentos.4. Estudio emprico: anlisis y escalamiento de las competencias en seis niveles. 10I Definicin del DominioEl dominio sobre matemticas que se estudia en el proyecto PISA 2003 se conoce como Alfabetizacin Matemtica (Mathematical Literacy), tambin como Competencia Matemtica.Este dominio se refiere a la capacidades de los estudiantes para: analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemticos en una variedad de dominios y situaciones.11Para el estudio OCDE/PISA:Alfabetizacin o Competencia Matemtica es la capacidad de un individuo para identificar y entender el papel que las matemticas tienen en el mundo, hacer juicios bien fundados y usar e implicarse con las matemticas en aquellos momentos en que se presenten necesidades para su vida individual como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo.Hay una apuesta considerable por entender las matemticascomo un proceso que proporciona respuestas a problemas. La concepcin de las matemticas considera que stas consistenen tareas de encontrar (problemata), no en tareas de probar (teoremata)12En sus relaciones con el mundo real los ciudadanos se enfrentan regularmente a situaciones matemticas cuando compran, viajan, cocinan, gestionan sus finanzas y juzgan cuestiones. En estas y muchas otras ocasiones usan el razonamiento cuantitativo o espacial y muestran su competencia matemtica para clarificar, formular y resolver problemas. La competencia en matemticas se considera parte principal de la preparacin educativa, puesto que ideas y conceptos matemticos son herramientas para actuar sobre la realidad. Por ello, la evaluacin en matemticas se centra sobre estas competencias como un componente esencial del programa PISA. La competencia matemtica se muestra siempre por su ejercicio en contexto.13El trmino alfabetizacin se ha elegido para subrayar que el conocimiento matemtico y las destrezas, tal como estn definidos en el currculo tradicional de matemticas, no constituyen el foco principal de atencin. Por supuesto, para que este uso sea posible y viable, son necesariosuna buena cantidad de instrumentos matemticos bsicos y de destrezas; tales conocimientos y destrezas forman parte de esta definicin de alfabetizacin.Por el contrario, el nfasis en el proyecto PISA se pone en el conocimiento matemtico puesto en funcionamiento en una multitud de contextos diferentes, por medios reflexivos, variados y basados en la intuicin personal.14Para ayudarnos a entender PISA vamos a considerar el marco curricular que sustenta el estudio. La pregunta Por qu enseamos matemticas? hace referenciaal objetivo del estudio, a su finalidad. El estudio PISA sostiene que el fin prioritario de la enseanza de las matemticas consiste en desarrollar la competencia matemtica de los escolares, su alfabetizacin.El Marco Matemtico toma posicin y da respuesta a los interrogantes bsicos de cualquier plan de formacin: Por qu ensear matemticas? Qu matemtica ensear? Cmo ensear matemticas?15El objetivo general del estudio PISA 2003 consiste en determinar cmo los estudiantes pueden utilizar lo que han aprendido en situaciones usuales de la vida cotidiana y no slo, ni principalmente, en conocer cules contenidos del currculo han aprendido.Alfabetizacin o competencia matemtica se refiere a las capacidades de los estudiantes para analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemticos en una variedad de dominios y situaciones.Un buen nivel en el desempeo de estas capacidades muestra que un estudiante est matemticamente alfabetizado o letrado.Atreverse a pensar con ideas matemticas es la descripcin de un ciudadano matemticamente ilustrado.El informe lo reitera en diversos momentos y de diversos modos:16PISA destaca las ideas y conceptos matemticos comoherramientas, susceptibles de una pluralidad de significados, segn el contexto de uso y segn su modo de representacinLos conocimientos y destrezas evaluados no proceden del ncleo comn de los currculos nacionales, prioritariamente, sino de aquello que los expertos juzgan esencial para la vida adulta. PISA proporciona tambin respuesta a la cuestin Qu matemticas ensear? 17Modelo funcionalLa consideracin de las matemticascomo modo de hacer y la nocin de alfabetizacin responden a un modelo funcional sobre aprendizaje de las matemticas. Este modelo postula: unas tareas, unas herramientas conceptuales, un sujeto.

Cuando el sujeto tratar de abordar las tareas mediante las herramientas disponibles, moviliza y pone de manifiesto su competencia en la ejecucin de los procesos correspondientes18La cuestin Cmo ensear matemticas? se aborda atendiendo a que las tareas propuestas se fundamentan enlos procesos de modelizacin y resolucin de problemas, presentados bajo el epgrafe comn de matematizacin.El marco matemtico del estudio PISA se sostiene en la creencia de que aprender a matematizar debe ser un objetivo bsico para todos los estudiantes.Esto se refiere a la actividad de los matemticos, que se puede caracterizar como compuesta por tres fases distintas.Actividad matemtica: actividad de matematizacin: resolucin de problemas19La primera fase implica traducir problemas desde el mundo real alMatemtico, proceso que se denomina Matematizacin HorizontalHacer matemticas horizontalmente incluye actividades como:Identificar las matemticas que pueden ser relevantes en un contexto general.Plantear interrogantes.Enunciar problemas.Representar un problema de un modo diferente.Comprender la relacin entre el lenguaje natural, el lenguaje simblico y el formal.Encontrar regularidades, relaciones y patrones.Reconocer isomorfismos con problemas ya conocidos. Traducir el problema a un modelo matemtico.Utilizar herramientas y recursos adecuados.20Una vez traducido el problema a una expresin matemtica el proceso puede continuar. El estudiante puede plantearse cuestiones en las que utiliza conceptos y destrezas matemticas.Esta segunda fase del proceso se denomina Matematizacin Vertical. La matematizacin vertical incluye:Usar diferentes representaciones.Usar el lenguaje simblico, formal y tcnico y sus operaciones.Refinar y ajustar los modelos matemticos; combinar e integrar modelos.Argumentar.Generalizar.21La ltima fase en la resolucin de un problema implica reflexionar sobre el proceso completo de matematizacin y sus resultados. Los estudiantes deben interpretar los resultados con actitud crtica y validar el proceso completo.Algunos aspectos de este proceso de validacin y reflexin son:Entender la extensin y lmites de los conceptos matemticosReflexionar sobre los argumentos matemticos y explicar y justificar los resultados.Comunicar el proceso y la solucin.Criticar el modelo y sus lmites.22La estructura curricular del estudio PISA se esquematiza as: Evaluacin: Tareas que destacan el carcter funcional de las matemticas; con diversos niveles de complejidad Metodologa: resolucin de problemas y procesos de modelizacin Objetivos: desarrollo de Competencias, dominio de procesos cognitivos Contenidos: Conceptos y procedimientos matemticos en contexto (herramientas) 23Competencias o dominio de procesos cognitivos de los estudiantesLos estudiantes, cuando resuelven problemas matemticos ponen en juego diversos tipos de competencias, capacidades de anlisis, razonamiento y comunicacin, que activan procesos y conectan el mundo real, donde surgen los problemas, con las matemticas para resolver la cuestin planteada.Estas competencias o procesos establecen distintos valores de latercera dimensin del modelo funcional, aquella que afecta a los modos en que el sujeto se enfrenta a un problema. En un caso el foco de atencin est en los propios procesos, mientras que en el otro parece destacarse al sujeto que los pone en prcticaObjetivos24Las competencias que establece un plan de formacin se constituyen en elementos determinantes para establecer su calidad y permiten llevar a cabo su evaluacin. La calidad de un programa de formacin viene dada por la relevancia de las competencias que se propone, mientras que su eficacia responde al modo en que se logran a medio y largo plazo. El proyecto PISA enfatiza que la educacin debe centrarse en la adquisicin por los alumnos de 15 aos de unas competencias generales determinadas, al trmino del periodo de la educacin obligatoria, competencias que tienen por finalidad formar ciudadanos alfabetizados matemticamente.25Las competencias elegidas por el proyecto PISA son:Pensar y razonarArgumentarComunicarModelizarPlantear y resolver problemasRepresentar Utilizar el lenguaje simblico, formal y tcnico y las operacionesUsar herramientas y recursos26Las competencias o procesos dan concrecin a la competencia global o alfabetizacin matemtica inicialmente descrita. Las personas trabajan las matemticas en contextos en los quees necesario mostrar su riqueza cognitiva, no slo informacin y dominio mecnico de herramientas.

Cuando los sujetos actan en cada fase de la matematizacin, muestran sus capacidades y habilidades cognitivas. Los usos de capacidades y habilidades muestran que un sujeto es competente en matemticas, son expresin de su competencia matemtica.27Los objetivos de aprendizaje expresan de manera concreta lashabilidades que se necesitan para un determinado tema y en un determinado momento.Los objetivos contribuyen a la consecucin de una o varias competencias; son expresin de las prioridades formativas en un determinado momento.Las competencias marcan metas a largo plazo, que responden a ciclos formativos ms amplios y comprensivos.La evaluacin del sistema educativo se centra as en el estudiante, en su aprendizaje y en su significado funcional, que se expresa mediante capacidades mostradas sobre unas competencias generales28COMPETENCIASEjemplo de ObjetivoXLSRRPMCAJPRXCapacidad para elaborar argumentos que justifiquen la construccin de una figura geomtrica. XAl desarrollo de qu competencias contribuye esa capacidad29Instructional programs from prekindergarten through grade 12 should enable all students to:

1. Analyze characteristics and properties of two- and three-dimensional geometric shapes and develop mathematical arguments about geometric relationships.Geometry Standard NCTMPreK- 2 Expectations:In prekindergarten through grade 2 all students should: recognize, name, build, draw, compare, and sort two- and three-dimensional shapes; describe attributes and parts of two- and three-dimensional shapes; investigate and predict the results of putting together and taking apart two- and three-dimensional shapes.30Grades 35 Expectations:In grades 35 all students should:

identify, compare, and analyze attributes of two- and three- dimensional shapes and develop vocabulary to describe the attributes; classify two- and three-dimensional shapes according to their properties and develop definitions of classes of shapes such as triangles and pyramids; investigate, describe, and reason about the results of subdividing, combining, and transforming shapes; explore congruence and similarity; make and test conjectures about geometric properties and relationships and develop logical arguments to justify conclusions.31Grades 68 Expectations:In grades 68 all students should:

precisely describe, classify, and understand relationships among types of two- and three-dimensional objects using their defining properties;

understand relationships among the angles, side lengths, perimeters, areas, and volumes of similar objects;

create and critique inductive and deductive arguments concerning geometric ideas and relationships, such as congruence, similarity, and the Pythagorean relationship.32Grades 9-12 Expectations:In grades 9-12 all students should:

analyze properties and determine attributes of two- and three-dimensional objects; explore relationships (including congruence and similarity) among classes of two- and three-dimensional geometric objects, make and test conjectures about them, and solve problems involving them; establish the validity of geometric conjectures using deduction, prove theorems, and critique arguments made by others; use trigonometric relationships to determine lengths and angle measures.332. Specify locations and describe spatial relationships using coordinate geometry and other representational systems3. Apply transformations and use symmetry to analyze mathematical situations4. Use visualization, spatial reasoning, and geometric modeling to solve problems34Contenidos Matemticos y Matemticas EscolaresLas ideas, estructuras y conceptos matemticos se han inventado como herramientas para organizar los fenmenos de los mundos natural, social y mental. Las escuelas organizan el currculo de matemticas mediante contenidos temticos: aritmtica, geometra, lgebra, etc, y sus tpicos que reflejan ramas bien establecidas del pensamiento matemtico y facilitan el desarrollo estructurado de un programa.No obstante, los fenmenos del mundo real que llevan a un tratamiento matemtico no estn organizados lgicamente.35La estrategia asumida consiste en definir el rango del contenido que puede evaluarse haciendo uso de una aproximacin fenomenolgica para describir las ideas, estructuras y conceptos matemticos.Esto significa describir el contenido en relacin con los fenmenos y los tipos de problemas de los que surgieron, es decir, organizar los contenidos atendiendo a grandes reas temticas

36El objetivo de la evaluacin PISA consiste en medir hasta qu punto los alumnos a los que se les presentan problemas pueden activar sus conocimientos y competencias matemticas para resolverlos con xito.Evaluacin: InstrumentosEl programa OCDE/PISA ha elegido preparar un conjunto de temsque evalen diferentes partes del proceso de matematizacin. Cada uno de estos tems, o grupo de ellos, propone una tarea vinculada a un contexto y que puede tratarse como un problema matemtico.La estrategia escogida para construir tems que contemplen el dominio general tiene en cuenta las tres componentes queestablecen el dominio y las considera como variables o dimensiones.37II Componentes que caracterizan el dominio1. El contenido matemtico que se debe utilizar para resolver el problema, que ya hemos enunciado y ahora describimos.2. La situacin o contexto en que se localiza el problema.3. Las competencias que deben activarse para conectar el mundo real, donde surge el problema, con las matemticas.Para mejor describir las tareas que evalan el dominio se distinguen tres variables:381. Contenidos matemticos:Las ideas fundamentales que satisfacen las condiciones de respetar el desarrollo histrico, cubrir el dominio y contribuir a la reflexin de las lneas principales del currculo escolar son:IncertidumbreCantidadEspacio y formaCambios y relacionesEstos cuatro grandes campos de herramientas matemticas sonlos escogidos por el Proyecto PISA para estudiar la competenciamatemtica de los estudiantes al trmino de la educacin obligatoria.39Cantidad. Estas herramientas responden a las necesidades de cuantificar, medir, ordenar, simbolizar y operar como vas para entendery organizar el mundo. Incluye la comprensin de tamaos relativos, reconocimiento de patrones numricos, uso de nmeros para representar cantidades y atributos cuantificables de los objetos del mundo real.La cantidad se refiere al reconocimiento, procesamiento ycomprensin de nmeros, que se presentan de varios modos.El razonamiento cuantitativo incluye el sentido numrico,la representacin de nmeros de varios modos, la comprensin del significado de las operaciones, clculo mental y estimacin.40

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43Espacio y formaEspacio y forma hacen referencia a fenmenos y relacionesgeomtricos y espaciales, vinculados usualmente con la disciplina curricular de geometra. Este dominio requiere observar similitudes y diferencias, analizarlas componentes de las formas y reconocer formas en diferentesrepresentaciones y diferentes dimensiones, as como entender las propiedades de los objetos y sus posiciones relativas. Las regularidades se encuentran en todas partes: en el habla, la msica, los vdeos, el trfico, las construcciones y el arte. Las formas pueden considerarse como regularidades: casas, edificios de oficinas, puentes, estrellas de mar, copos de nieve, callejeros, hojas de trbol, cristales y sombras. Las regularidades geomtricas pueden servir como modelosrelativamente simples de muchas clases de hechos, y su estudioresulta posible y deseable en todos los niveles.44El estudio de las formas est estrechamente vinculado alconcepto de percepcin espacial. Esto comporta aprender a reconocer, explorar y conquistar, para vivir, respirar y movernos con mayor conocimiento en el espacio en que vivimos.Tambin presupone entender la representacin en dos dimensionesde los objetos tridimensionales, la formacin de las sombras y cmointerpretarlas, qu es la perspectiva y cmo funciona. Para conseguirlo es preciso comprender las propiedades de losobjetos y sus posiciones realtivas. Debemos ser conscientes de cmo vemos las cosas y de por qu las vemos de ese modo. Debemos aprender a orientarnos por el espacio y a travs de lasconstrucciones y formas. Ello significa entender la relacin entreformas e imgenes, o representaciones visuales, tales como la relacin entre una ciudad real y fotografas y callejeros de la ciudad.45

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47Cambios y relacionesCada fenmeno natural es una manifestacin del cambio; el mundo en nuestro entorno muestra una multitud de relaciones temporales y permanentes entre fenmenos.Algunos de los procesos de cambio pueden ser descritos y modelados directamente mediante funciones matemticas: lineales, exponenciales, peridicas o logsticas, discretas o continuas.Las relaciones matemticas tienen usualmente la forma de ecuaciones o de desigualdades, pero tambin se presentan relaciones de naturaleza mas general.El pensamiento funcional, es decir, pensar en trminos de y acerca de relaciones, es una de las metas disciplinares fundamental en la enseanza de las matemticas.48

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50Incertidumbre.Por incertidumbre se quieren entender dos tpicos relacionados: tratamiento de datos y azar. Estos fenmenos son la materia de estudio de la estadstica y de la probabilidad, respectivamente.Los conceptos y actividades que son importantes en esta rea son la recoleccin de datos, el anlisis de datos y sus representaciones, la probabilidad y la inferencia.51EXAMEN DE CIENCIASPregunta 1: EXAMEN DE CIENCIASM468Q01En el colegio de Irene, su profesora de ciencias les hace exmenes que se puntan de 0 a 100. Irene tiene una media de 60 puntos de sus primeros cuatro exmenes de ciencias. En el quinto examen saca 80 puntos.Cul es la media de las notas de Irene en ciencias tras los cinco exmenes?Media: 52

532. Situaciones y Contextos que caracterizan las tareasUtilizar y hacer matemticas en una variedad de situaciones y contextos es aspecto importante de la Alfabetizacin Matemtica. Trabajar con cuestiones que llevan por s mismas a un tratamiento matemtico, a la eleccin de mtodos matemticos y representaciones depende frecuentemente de las situaciones en las cuales se presentan los problemas.La situacin es aquella parte del mundo del estudiante en la cual se sita la tarea. Las situaciones permiten establecer la localizacin de un problema en trminos de los fenmenos de los que surge54 Personales, Educativas y Ocupacionales, Pblicas, Cientficas. La segunda variable se refiere a la situacin y toma cuatrovalores, que se identifican en la delimitacin de tareasmatemticas y en la construccin de tems.PISA considera cuatro tipos de situaciones:55Las situaciones personales estn relacionadas con las actividades diarias de los alumnos. Se refieren a la forma en que un problema matemtico afecta inmediatamente al individuo y al modo en que el individuo percibe el contexto del problema.Las situaciones educativas, ocupacionales o laborales las encuentra el alumno en el centro escolar o en un entorno de trabajo. Se refieren al modo en que el centro escolar o el lugar de trabajo proponen al alumno una tarea que le impone una actividad matemtica para encontrar su respuesta.56Las situaciones pblicas se refieren a la comunidad local u otra ms amplia, con la cual los estudiantes observen un aspecto determinado de su entorno. Requieren que los alumnos activen su comprensin, conocimiento y habilidades matemticas para evaluar los aspectos de una situacin externa con repercusiones importantes en la vida pblica.Finalmente, las situaciones cientficas son ms abstractas y pueden implicar la comprensin de un proceso tecnolgico, una interpretacin terica o un problema especficamente matemtico.573. Competencias en las tareasEl proyecto PISA considera que para alcanzar el logro en la resolucin de problemas que se presentan en las tareas deevaluacin, los estudiantes deben dominar un conjunto decompetencias matemticas generales.El concepto de competencia pone el acento en lo que el alumno es capaz de hacer con sus conocimientos y destrezas matemticas, ms que en el dominio formal de dichos conceptos y destrezas.De este modo el proyecto PISA enfatiza que la educacin deber centrarse en la adquisicin de competencias por parte del alumno. Se trata de centrar la educacin en el estudiante, en su aprendizaje y en el significado funcional de dicho proceso.58III Complejidad en las CompetenciasLos tems que se disean proponen tres clases de tareas, quese diferencian por el grado de complejidad que requieren en las competencias. Primera clase: Reproduccin y procedimientos rutinarios.Segunda clase: Conexiones e integracin para resolverproblemas estandarizados.Tercera clase: Razonamiento, argumentacin, intuicin y generalizacin para resolver problemas originales.59Los indicadores para la complejidad de las tareas en cada una de las categoras se resumen en la siguiente tabla:REPRODUCCINCONEXINREFLEXIN Contextos familiares Conocimientos ya practicados Aplicacin de algoritmos estndar Realizacin de operaciones sencillas Uso de frmulas elementales. Contextos menos familiares Interpretar y explicar Manejar y relacionar diferentes sistemas de representacin Seleccionar y usar estrategias de resolucin de problemas no rutinarios Tareas que requieren comprensin y reflexin Creatividad Ejemplificacin y uso de conceptos Relacionar conocimientos para resolver problemas complejos Generalizar y justificar resultados obtenido60En este caso la competencia hace relacin a la complejidad de la tarea.El requerimiento de procesos mas complejos, creativos oestructurados delimita distintos tipos de competencias en losestudiantes que, en principio, se concretan en esas tres clases. Alumnos ms competentes llevarn a cabo procesos de mayor complejidad; alumnos menos competentes slo trabajarn procesos de complejidad menor. En este caso la competencia de los estudiantes se refiere a las capacidades individualmente desarrolladas, que se ponen de manifiesto por el tipo de tareas abordadas con xitoSe acepta la hiptesis de que los estudiantes que alcancen a dar respuesta a tareas de alta complejidad, muestran un alto nivel de competencia matemtica con las herramientas utilizadas y en la situacin considerada.61

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69Cmo determinar entonces el nivel de competencia matemtico alcanzado por un estudiante concreto? Y por un grupo de estudiantes? Y por los estudiantes de un pas?La respuesta del Informe PISA es una respuesta emprica.Establece los niveles de complejidad de acuerdo con los resultados de la evaluacin realizada; las tareas mas complejas tienen una doble caracterizacin: terica y emprica.IV Resultados Empricos70Los mejores alumnos muestran en su actividad distintos niveles de dominio en la ejecucin de las tareas. De este modo se determinan empricamente seis niveles de competencia, que admiten una descripcin general y tambin una descripcin por cada uno de los campos de contenido.Cada nivel de competencia se caracteriza por lo que saben hacer losalumnos, en grupos de tareas de dificultad creciente. De este modo es posible entender cada nivel en relacin con la descripcin del tipo de competencia matemtica que el alumno necesita alcanzar.71Esto se confirma con el escalamiento que se produce en las respuestas de los estudiantes: alumnos que resuelven problemas de mayor complejidad tambin responden a los problemas de complejidad inferior.Los datos empricos muestran mayor riqueza de niveles que el planteamiento terico en tres categoras. Los mejores alumnos muestran en su actividad distintos niveles de dominio en la ejecucin de las tareas. De este modo se determinan empricamente seis niveles de competencia, que admiten una descripcin general y tambin una descripcin ms detallada por cada uno de los campos de contenido. 72NivelesCompetencias123456Pensar y razonarResponder a cuestiones en contextos muy conocidosResponder a cuestiones en contextos poco familiaresResponder a cuestiones complejas en multitud de contextosArgumentar y JustificarElaborar argumentos basados en acciones Formular razonamientos desarrolladosElaborar argumentos desde su propia reflexinComunicarDescribir resultados obtenidosRealizar explicaciones sencillasComunicar conclusiones con precisinIndicadores de las competencias segn los niveles empricos73ModelizarUsar modelos explcitos en situaciones concretasDesarrollar y usar modelos en mltiples situacionesResolver problemasResolver con datos sencillosSeleccionar y aplicar estrategias sencillasSeleccionar, comparar y evaluar estrategiasGeneralizar resultados de problemasRepresentarLeer datos de tablas o figurasUsar un nico tipo de representacinConocer y usar diferentes sistemasVincular diferentes sistemas, incluido el simblicoRelacionar y traducir con fluidez diferentes sistemasLenguaje SimblicoRealizar operaciones bsicasUsar algoritmos y frmulas elementalesAplicar procedi-mientos descritos con claridadRepresentar por smbolos situaciones realesDominar con rigor el lenguaje simblico74Tres nociones centrales en el Informe PISAConcepcin instrumental de las matemticas escolares, como modo de entender el hacer matemticas y la propia naturaleza del conocimiento Matemtico.Nocin de Competencia, con cuatro significados diferentesLa nocin de competencia es central en el estudio PISA y desempeadiferentes funciones: Expresa una finalidad prioritaria en la enseanza de las matemticas. Expresa un conjunto de procesos cognitivos que caracterizan unesquema pragmtico de entender el hacer matemticas. Concreta variables de tarea para los tems en la evaluacin; destaca por los grados de complejidad. Marca niveles de dominio en las tareas de hacer matemticas.75Marco curricular del estudio.Atiende a las cuestiones bsicas: por qu ensear matemticas? qu matemticas hay que aprender y ensear? cmo ensear y aprender matemticas? cmo evaluar el aprendizaje ? El marco matemtico de PISA se sustenta en una propuesta curricular, basada en un modo singular de interpretar el conocimiento matemtico y sostenida por una nocin amplia de competenciaMuchas gracias76