Las ecuaciones de segundo grado: conceptos y resolución

7/30/2019 Las ecuaciones de segundo grado: conceptos y resolucin

1/18


2/18

2013Antonio Garca MegaLas ecuaciones de segundo gradoAngarmegia: Ciencia, Cultura y Educacin. Portal de Investigacin y docenciahttp://[email protected]
http://angarmegia.com/http://angarmegia.com/mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/es/legalcode.eshttp://www.safecreative.org/work/1309025690258mailto:[email protected]://angarmegia.com/


3/18

Las ecuaciones de

segundo gradoConceptos y resolucin

Notas y recursos didcticos para las clases de Matemticasde Educacin Primaria y Secundaria

Una propuesta deAntonio Garca Mega


4/18


5/18

El presente documento forma parte del proyecto del Portal de Educacin yDocencia Angarmegia, Ciencia, Cul tur a y Educacin (http://angarmegia.com).Propone algo ms que unos apuntes para orientar a nuestros alumnos deEducacin Secundaria en sus estudios sobre el tema.Junto a un el texto muy simplificado y centrado en aspectos esenciales paracompletar, o diversificar, los contenidos recogidos en su libro base, el proyectodispone de vdeos relacionados y de actividades interactivas para mejorar yreforzar las adquisiciones.

Los vdeos estn localizables en la seccin Vdeos del Portal o en elCanal Angarmegia de YouTube. Las direcciones son:

Vdeos en el Portal:http://angarmegia.com/videos.htm

Angarmegia en YouTube:http://www.youtube.com/user/angarmegia

Las actividades interactivas se encuentran en la seccin Refuerzo alestudio.

http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm

Esta misma informacin en formato html est accesible desde lassecciones Matemticas

http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm y Matemticas fciles, que recoge las fichas esquemticas de todoslos contenidos de la Educacin Secundaria obligatoria realizadas por elProfesor Bienvenido Ayala:

http://angarmegia.com/menumatematicas.htm

Agradecemos cualquier crtica o sugerencia que tengan a bien hacernos. Nuestramayor satisfaccin estriba en conocer que nuestro trabajo puede contribuir amejorar el nivel educativo de las generaciones que habrn de sustituirnos.

Antonio Garca MegaMaestro, Diplomado en Geografa e Historia, Licenciado en Filosofa y Letras,

Doctor en Filologa Hispnica.
http://angarmegia.com/http://angarmegia.com/videos.htmhttp://www.youtube.com/user/angarmegiahttp://www.youtube.com/user/angarmegiahttp://angarmegia.com/refuerzoestudio.htmhttp://angarmegia.com/refuerzoestudio.htmhttp://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htmhttp://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htmhttp://angarmegia.com/menumatematicas.htmhttp://angarmegia.com/menumatematicas.htmhttp://angarmegia.com/menumatematicas.htmhttp://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htmhttp://angarmegia.com/refuerzoestudio.htmhttp://www.youtube.com/user/angarmegiahttp://angarmegia.com/videos.htmhttp://angarmegia.com/


6/18


7/18

CONTENIDO

Introduccin: ________________________________________________________________ 9

Resolucin: _________________________________________________________________ 10

Ecuaciones incompletas _____________________________________________________ 10Ecuaciones completas ______________________________________________________ 10

Algunas ecuaciones resueltas ___________________________________________________ 11

Ecuacin 1 _______________________________________________________________ 11Ecuacin 2 _______________________________________________________________ 12

Ecuacin 3 _______________________________________________________________ 12Ecuacin 4 _______________________________________________________________ 13Ecuacin 5 _______________________________________________________________ 13

Algunos problemas razonados y planteados _______________________________________ 13

Problema 1 _______________________________________________________________ 13Problema 2 _______________________________________________________________ 14Problema 3 _______________________________________________________________ 14Problema 4 _______________________________________________________________ 14Problema 5 _______________________________________________________________ 15


8/18


9/18

DR.D. ANTONIO GARCA MEGASERIE APOYOS DIDCTICOSLAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

_____9

INTRODUCCIN:Se denominan ecuaciones de segundo grado a aquellas en que la incgnita aparece elevada a lasegunda potencia como mayor exponente.

32 + 4 = 30Las ecuaciones con una incgnita, una vez preparadas, solamente pueden tener tres trminos:termino con la incgnita elevada al cuadrado (ax2), trmino con la incgnita elevada a laprimera potencia (bx), y trmino numrico independiente (c).

2 + + = 0Se dice de la ecuacin completa, cuando constan los tres trminos anteriores, e incompleta sifalta la incgnita en grado 1, el trmino independiente, o ambos. Son incompletas:

2 + = 02 = 0Antes de resolver una ecuacin de segundo grado es preciso prepararla hasta alcanzar la forma:

2 + + = 0El proceso pasa las siguientes fases:

2 2 + 2 3 = 81722

+2 3 = 817

22 + 2 12 = 3268

ELIMINARPARNTESIS

SUPRIMIRDENOMINADORES

TRANSPONERTRMINOS

DESPEJARINCGNITA

REDUCIR TRMINOS SEMEJANTES


10/18


_____10

22 + 2 12 3268 = 022 + 2 3280 = 0

En este caso concreto, al ser todos los miembros divisible entre 2, puede simplificarse la ecuacinquedando definitivamente as:

2 + 1640 = 0ES IMPORTANTE ADVERTIR QUE LAS ECUACIONES DE ESTE TIPO, SALVO CASOS EXCEPCIONALES, TIENENDOS SOLUCIONES CORRESPONDIENTES A LOS SIGNOS + Y -.

RESOLUCIN:ECUACIONES INCOMPLETAS

TIPO 1: 2 = 0Despejando la incgnita:

2 = 0 = 0Extrayendo la raz cuadrada de ambos miembros: = 0 = 0

TIPO 2:

2 +

= 0

Pasando c al segundo miembro:2 = Despejando la incgnita:2 =

Extrayendo la raz cuadrada de ambos miembros:

= SOLUCIONES:

Extrayendo la raz cuadrada de ambos miembros:

1 = + 2 =

ECUACIONES COMPLETAS

Las ecuaciones de segundo grado completas se resuelven siempre aplicando la siguientefrmula:

=

2

4

2


11/18


_____11

Que produce las dos soluciones:

1 = + 2 42

2 = 2

4

2 JUSTIFICACIN:

+ + = Pasando c al segundo miembro:2 + =

Multiplicando ambos trminos por4a se obtiene la igualdad equivalente:422 + 4 = 4

Sumando b2 a ambos miembros de la igualdad se obtiene la equivalente [1]:422 + 4 + 2 = 2 4

El primer miembro se corresponde con el desarrollo del cuadrado de una suma + 2 = 2 + 2 + 2En este caso:2 + 2 = 422 + 2 + 4

Sustituyendo en [1] queda:2 + 2 = 2 4Hallando la raz cuadrada de ambos miembros:

2 + = 2

4Trasponiendo el coeficiente b:2 = 2 4Despejando la incgnita:

=

ALGUNAS ECUACIONES RESUELTASADVERTENCIA: Alcanzar las soluciones para las ecuaciones de este tipo precisa el dominio de ciertashabilidades bsicas de clculo.

ECUACIN 1 + =

Quitando denominadores:12

2 + 10

2

120 = 10680

5

2

Trasponiendo trminos:122 + 102 + 52 120 10680 = 0


12/18


_____12

Reduciendo trminos:272 1800 = 0

SOLUCIONESEcuacin tipo

2

+ = 01 = + = +180027 = +400 = 202 = = 180027 = 400 = 20

ECUACIN 2

+ + = Trasponiendo trminos y reduciendo:22 + 3 + 1 3 = 0

22 + 3 2 = 0SOLUCIONES

Ecuacin completa

1 = + 2 42 =3 + 9 4 2 2

4=3 + 9 + 1 6

4=3 + 5

4=

2

4=

1

2

2 = 2

4

2 =3 9 4 2 2

4 = 3

9 + 1 6

4 = 3

5

4 = 8

4 = 2

ECUACIN 3 + = + Trasponiendo trminos y reduciendo:

62 3 20 + 4 82 = 06

2

23

78 = 0

SOLUCIONESEcuacin completa

1 = + 2 42 =23 + 529 24 78

12=

23 + 529 + 187212

=2 3 + 4 9

12=

72

12= 6

2 = 2 42 =23 529 24 78

12=

23 529 + 187212

=23 49

12= 26

12


13/18


_____13

ECUACIN 4 + = Quitando denominadores

5

2 +

150 = 500

12600

Trasponiendo trminos y reduciendo:52 + 150 500 + 12600 = 0

52 499 + 12450 = 0SOLUCIONES

Ecuacin completa

1 = + 2 42 ==

499 + 249001 451245010

=499 + 24901 24900

10=

499+1

10= 50

2 =

2 42

=

=499 249001 4512450

10=

499 24901 2490010

=499 1

10= 498

ECUACIN 5 = + Quitando parntesis:2 = 120 +

Trasponiendo trminos y reduciendo:2 120 = 02 2 120 = 0SOLUCIONES

Ecuacin completa

1 = + 2 42 =2 + 4 4 120

2=

2 + 4+4802

=2 + 2 2

2=

24

2= 12

2 = 2 42

=2 4 4 120

2=

2 4+4802

=2 22

2=20

2= 10

ALGUNOS PROBLEMAS RAZONADOS Y PLANTEADOS

PROBLEMA 1Se incrementa un nmero en cuatro unidades y se disminuye tambin en cuatro unidades. Si semultiplican entre s estos resultados se obtiene 609. Cul es el nmero original?


14/18


_____14

PLANTEAMIENTO

Incgnita principal: Nmero buscado = x

Datos conocidos: = + 4

=

4

Producto de ambos nmeros = + 4 ( 4) = 609Ecuacin final: + =

PROBLEMA 2Se precisa encontrar las dimensiones de un rectngulo de 2520 m2 de superficie sabiendo que

su longitud excede en 18 m a su anchura.

PLANTEAMIENTO

Incgnita principal: Anchura del rectngulo = x

Datos conocidos: = = + 18 = 2520 2Ecuacin final: + =

PROBLEMA 3La diferencia entre dos nmeros es 14. Si la suma de sus cuadrados asciende a 436, de qunmeros se trata?

PLANTEAMIENTO

Incgnita principal: Numero mayor = x

Datos conocidos: = 142 = 22 = ( 14)2

= 436

Ecuacin final: + =

PROBLEMA 4El rea de un rectngulo es de 1000 m

2. Si su permetro mide 140 m, cules son sus

dimensiones?

PLANTEAMIENTO

Incgnita principal: Lado a = x

Datos conocidos: = = 1000 2


15/18


_____15

= 140 = 70 = + = 70 Ecuacin final: ( ) =

PROBLEMA 5La altura de un tringulo mide la tercera parte de la longitud de su base. Si el rea deltringulo es de 4225 m

2, cunto mide su base?

PLANTEAMIENTO

Incgnita principal: Base = x

Datos conocidos:

=

3

= 2 = 42252

Ecuacin final: =


16/18


17/18

Vdeos relacionados en:http://angarmegia.com/videos.htm

http://www.youtube.com/user/angarmegia

Actividades interactivas en:http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm

Informacin en formato html, y fichas resumen del profesor Bienvenido Ayala, en:http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm

http://angarmegia.com/menumatematicas.htm

Ms documentos imprimibles relacionados en:http://angarmegia.com/apoyos_imprimibles.htm#Matematicas

2013Antonio Garca MegaLas ecuaciones de segundo grado

Angarmegia: Ciencia, Cultura y Educacin. Portal de Investigacin y docenciahttp://[email protected]
http://angarmegia.com/videos.htmhttp://www.youtube.com/user/angarmegiahttp://angarmegia.com/refuerzoestudio.htmhttp://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htmhttp://angarmegia.com/menumatematicas.htmhttp://angarmegia.com/menumatematicas.htmhttp://angarmegia.com/apoyos_imprimibles.htm#Matematicashttp://angarmegia.com/apoyos_imprimibles.htm#Matematicashttp://angarmegia.com/http://angarmegia.com/mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/es/legalcode.eshttp://www.safecreative.org/work/1309025690258mailto:[email protected]://angarmegia.com/http://angarmegia.com/apoyos_imprimibles.htm#Matematicashttp://angarmegia.com/menumatematicas.htmhttp://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htmhttp://angarmegia.com/refuerzoestudio.htmhttp://www.youtube.com/user/angarmegiahttp://angarmegia.com/videos.htm


18/18

Las ecuaciones de segundo grado: conceptos y resolución

Documents

Transcript of Las ecuaciones de segundo grado: conceptos y resolución