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Estructuras debarras

articuladas

Felipe

Gabaldon

Introduccion

Metododirecto.Formulacion1D

Metododirecto:Estructuras en2D y 3D

Metodo deelementosfinitos

GMC

METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.Estructuras de barras articuladas

Felipe Gabaldon Castillo

Madrid, 23 de Noviembre de 2006


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Introduccion




GMC Indice

1 Introduccion

2 Metodo directo. Formulacion 1D

3 Metodo directo: Estructuras en 2D y 3D

4 Metodo de elementos finitos

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GMC Introduccion

El Metodo de los Elementos Finitos (M.E.F.) es unprocedimiento numerico para resolver ecuacionesdiferenciales de manera aproximada

El dominio en el que esta definido el problema se divide ensubdominios denominados elementos finitos

El conjunto de elementos finitos que discretizan el dominiose denomina malla

Se abordan problemas de contorno (estatica) y problemasde valor inicial (dinamica)


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GMC Introduccion

En general, la variable continua queda definida por susvalores aproximados en puntos discretos, denominadosnodos

La aproximacion de esta variable en puntos distintos de losnodos (dentro de cada elemento) se interpola mediantefunciones de forma (generalmente polinomicas)

Los grados de libertad son variables definidas en losnodos (temperaturas, desplazamientos, etc). Tambien se

denominan incognitas primarias o variables de estado.

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GMC Ejemplo: distribucion de temperaturas en una barra

2 3 4 5

Solucion exactaSolucion aproximada

Interpolacion lineal

1 2

1

3 4


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Introduccion




GMC Motivacion

El analisis de las estructuras de barras articuladas esesencialmente unidimensional. La barra elastica lineal

cargada en direccion axial es el modelo basico que sirve departida, y que posteriormente se generaliza a 2D y 3D.

Se presentan dos descripciones alternativas para el analisisdel equilibrio de sistemas barras:

1 Metodo directo, basado en conceptos ya conocidos de laMecanica de Materiales, para expresar el equilibrio defuerzas, las ecuaciones constitutivas y las ecuaciones decompatibilidad.

2 Formulacion debil del problema de contorno como base departida para el desarrollo metodo de elementos finitos.

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GMC Motivacion


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GMC Cuestiones generales

1 23

F3u2 u3

1 2

F2F1u1

k1 k2

x

Fison las fuerzas nodales directamente aplicadas en losnodos.

uison los desplazamientos nodales.

Las constantes kison las rigideces correspondientes a cadaelemento

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GMC Cuestiones generales

Considerando solo un elemento:

P12

11 2 NN

k1P11

u11 u12

P

e

i es la fuerza nodal elemental correspondiente al nodolocalidel elemento e

uei son los desplazamientos del nodo local i del elemento e

N yNson las fuerzas internas


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Introduccion




GMC Ecuaciones (elemento 1)

Ley constitutiva (Hooke)

N=k(u2 u1) k=EA

L

Equilibrio en los nodos del elemento 1:

P11 = N P11 = k1(u12 u11 )P12 =N P12 =k1(u12 u11 )

k1 k1k1 k1 u1

1u12 = P11P12

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GMC Expresion matricial elemental

Para el elemento 2

k2 k2k2 k2 u2

1u22 = P21P22

Las ecuaciones anteriores se puede generalizar para unelementoe, expresandose:

Kede =Pe

donde:

Ke : Matriz de rigidez del elemento e(sim. y def. pos.)

de : Vector elemental de desplazamientos (nodales)

Pe : Vector elemental de fuerzas


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Introduccion




GMC Compatibilidad y equilibrio. Ensamblaje

Considerando la compatibilidad de desplazamientos:

u1 =u11 u2 =u

12 =u

21 u3 =u

22

y el equlibrio de fuerzas:

F1 =P11 F2=P

12 +P

21 F3 =P

22

los sistemas matriciales expresados anteriormente para loselementos 1 y 2, se ensamblan mediante la suma paraobtener el sistema global:

k1 k1 0k1 k1+k2 k20 k2 k2

u1

u2u3

=

F

1

F2F3

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GMC Condiciones de sustentacion (apoyos)

det(K) = 0 existen desplazamientos de solido rgido(el sistema estructural carece de la sustentacion suficiente)

Para evitarlo es suficiente imponer u1= 0:

k1+k2 k2

k2 k2

u2u3

=

F2F3

u1 = 0 (c.c. de tipo esencial)


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GMC Metodologa

A continuacion se generaliza la formulacion 1D para el caso deestructuras en dos y tres dimensiones

Para la formulacion 2D/3D, la metodologa es la misma que ladescrita anteriormente:

1 Ecuaciones de equilibrio en cada elemento (propiedadesconstitutivas y condiciones de equilibrio)

2 Compatibilidad (topologa y conectividad)

3 Equilibrio de la estructura completa

4 Condiciones de contorno

5 Solucion del sistema completo de ecuaciones

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GMC Ejemplo

Definicion de la Estructura

3

1 2

2

1

3

fy3= 1

fx3= 2

E3A3= 400

2

L1= 10E1A1 = 100

L2= 10E2A2= 50

L3= 10

2


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GMC Ejemplo

Equilibrio del elemento 3

y x

x

y

1Px1u

x1

Px3u

x3

3Py1u

y1

3

N

NPy3u

y3

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GMC Ejemplo

Equilibrio del elemento 3 en ejes locales

E3A3L3

1 0 1 00 0 0 0

1 0 1 00 0 0 0

(Ke)

ux1uy1ux3uy3

=

Px1Py1Px3Py3

Relacion entre ejes locales y ejes globales uxuy

=

cos sensen cos

LT

uxuy

; LTL= 1


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GMC Ejemplo

Equilibrio del elemento (en ejes globales)

ue =LT(ue)

Pe =LT(Pe)

resultando:

Ke =LT(Ke)L

= E

3A

3L3

0BB@

cos2 sen cos cos2 sen cos

sen cos sen

2

sen cos

sen

2

cos2 sen cos cos2 sen cos

sen cos sen2 sen cos sen2

1CCA

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GMC Ejemplo

Matrices de rigidez elementales

Ke=1 =

10 0 10 00 0 0 0

10 0 10 00 0 0 0

Ke=2 =

0 0 0 00 5 0 50 0 0 00 5 0 5

Ke=3 = 20 20 20 2020 20 20 2020 20 20 20

20 20 20 20


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GMC Ejemplo

Ensamblaje

K=

10 +20 20 10 0 20 2020 20 0 0 20 20

10 0 10 0 0 00 0 0 5 0 5

20 20 0 0 20 2020 20 0 5 20 5 +20

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GMC Ejemplo

Condiciones de contorno

ux1 = 0 uy1= 0 uy2 = 0

K=

30 20 10 0 20 2020 20 0 0 20 20

10 0 10 0 0 00 0 0 5 0

5

20 20 0 0 20 2020 20 0 5 20 25


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Introduccion




GMC Solucion del sistema de ecuaciones

El metodo menos eficiente es el de invertir la matriz derigidez:

Kd= f d= K1

f

Metodologa: Eliminacion de GaussPartiendo del sistema global de ecuaciones:

k11 k12 . . . k1nk21 k22 . . . k2n

... ... . . .

...

kn1 kn2 . . . knn

d1d2...

dn

=

f1f2...

fn

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GMC Metodo directo: Estructuras en 2D y 3D

Mediante operaciones con pivotes en filas, se llega alsistema:

k11 k

12 . . . k

1n

0 k22 . . . k

2n...

... . . ....

0 0 . . . knn

d1d2...

dn

=

f1f2...

fn

cuya solucion es:

dn= fnknn

; dn1= fn1 kn1 ndn

kn1 n1; . . . d1 =

f1 ni=2k1idik11

Ejemplo: Solucion

ux2= 0,0 ux3 = 0,3 uy3= 0,2


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GMC Problema de contorno

Las ecuaciones que, de acuerdo con la mecanica de medioscontinuos, rigen el comportamiento de la barra articulada sonlas siguientes:

ddx

+b= 0

=du

dx=E

(0) = tu(L) =u

b dVx

+d

dx

Las condiciones de contorno naturalesse expresan en terminosde las derivadas de u. Las condiciones de contorno esencialesseexpresan directamente en terminos de u.

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GMC Formulacion fuerte

Sea = la parte del eje local xocupado por la barraarticulada ( = (0, L), = [0, L] y el contorno de la barra:x= 0 y x=L). La formulacion fuerte del problema seestablece en los siguientes terminos:Dados b: R y las constantes u R, t R, encontrar elcampo de desplazamientos u R que cumple:

Ed2u

dx2 +b= 0 en

u(L) =u

Edu

dx

x=0

= t


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GMC Formulacion debil

Dados b: R y las constantes u R t R, encontrar elcampo de desplazamientos u | w cumple:

L0 E A

dw

dx

du

dxdx= L

0 wb dx+w(0)t

donde:

=

w | w H1, w(L) = 0 ; = u| u H1, u(L) =usiendoH1 el espacio de Sobolev de orden 1 y grado 2:

H1 =

u(x) : R | L0

dudx

2dx<

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GMC Metodo de Galerkin

La formulacion de Galerkin es el punto de partida delmetodo de elementos finitos: permite obtener una solucion

aproximada de la formulacion debil.El primer paso es la construccion de los subespacios h yh, que son aproximaciones de dimension finita de y :

h (wh h wh )h (uh h uh )

El metodo de Galerkin establece que los elementosuh

h

se construyen a partir de los elementos vh h mediante:uh =vh +uh

dondeuh es una funcion dada que verifica uh(L) =u

La idea clave es que los espacios h y h contienen

las mismas funciones con la unica excepcion de uh


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GMC Metodo de Galerkin

La aproximacion de Galerkin del problema de contorno seobtiene expresando la formulacion debil en terminos de lossubespacios de dimension finita h y h:

L0

E Adwh

dx

d(vh +uh)

dx dx=

L0

whb dx+wh(0)t

y operando:

L0

E Adwh

dx

dvh

dx dx=

L0

whb dx+wh(0)t L

0E A dw

h

dxduh

dx dx

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GMC Formulacion de Galerkin

Dados b: R y las constantes u R t R, encontrarel campo de desplazamientos uh =vh +uh

h, con

vh h, tal quewh h se cumple: L0

E Adwh

dx

dvh

dx dx=

L0

whb dx+wh(0)t L0

E Adwh

dx

duh

dx dx (1)

En el metodo de Galerkin las funciones vh

wh

pertenecenal mismo subespacio h. Existen otros metodos,denominados metodos de Petrov-Galerkin, en los cualeslas funciones vh no pertenecen a h. Dichos metodos seemplean principalmente en el contexto de la Mecanica deFluidos Computacional


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GMC Formulacion matricial

Con las expresiones:

wh =n

A=1cANA u

h =vh +uh =n

A=1dANA+uNn+1

la formulacion de Galerkin resulta:

L0

E A

nA=1

cAdNAdx

nB=1

dBdNBdx

dx=

L

0

n

A=1cANA

b dx+

n

A=1cANA(0)

t

L0

E A

nA=1

cAdNAdx

u

dNn+1dx

dx

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Teniendo en cuenta que los coeficientes cA son arbitrarios, se

obtiene:n

A=1

cAGA= 0

siendo:

GA=n

B=1 L

0

E AdNAdx

dNBdx

dx dB L

0

NAb dxNA(0)t+ L

0E A

dNAdx

udNn+1

dx dx


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Finalmente, se puede poner:

Kd= f

siendo:

KAB=

L0

E AdNAdx

dNBdx

dx

fA= L

0NAb dx+NA(0)t

L

0E A

dNAdx

udNn+1

dx dx

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GMC Elementos 1D

Funciones de interpolacion lineal

NA(x) =

xxA1hA1

xA1

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GMC Elementos 1D

Interpolacion del campo de desplazamientos

uh(x) =uANA(x) +uBNB(x) (4)

uh() =u1N1() +u2N2() (5)

Relacion entre coordenadas locales y globales

(x) =2x xA xB

he (6)

xe() =he+xA+xB

2 =

2a=1

Na()xea

=1

2((1 )xA+ (1 +)xB) (7)


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GMC Elementos 1D

Integracion en coordenadas locales

Keab=

+11

Na,()EANb,() 1x

d (8)

sustituyendo:

Na, =

1

2(1 +a)

=

1

2a (9)

x

=

he+xA+xB

2

=

he

2 (10)

en (8), resulta:

Ke =EA

he

1 11 1

(11)

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GMC Para ampliar este tema . . .

[1] Felippa, C.A. Home Page.

Introduction to Finite Element Methods (ASEN 5007) -Fall 2004 Department of Aerospace Engineering SciencesUniversity of Colorado at Boulder.http://caswww.colorado.edu/courses.d/IFEM.d/Home.html

Hughes, T.J.R.

The Finite Element Method. Linear Static and DynamicFinite Element Analysis.

Dover Publications Inc., 2000.Onate, E.

Calculo de Estructuras por el Metodo de ElementosFinitos. Analisis estatico lineal.CIMNE. Segunda edicion, 1995.

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