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Lecci´ on 23: Extremos relativos para funciones de dos o m´ as variables Introducci´on al C´ alculo Infinitesimal I.T.I. Gesti´ on
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Leccion 23: Extremos relativos para funciones
de dos o mas variables
Introduccion al Calculo Infinitesimal
I.T.I. Gestion
Extremos relativos
f : R2 → R funcion, (a, b) ∈ R2
• f tiene un mınimo relativo en (a, b) si f (a, b) ≤ f (x, y),
para todo (x, y) en un entorno Bε(a, b)
Extremos relativos
f : R2 → R funcion, (a, b) ∈ R2
• f tiene un mınimo relativo en (a, b) si f (a, b) ≤ f (x, y),
para todo (x, y) en un entorno Bε(a, b)
• f tiene un maximo relativo en (a, b) si f (a, b) ≥ f (x, y),
para todo (x, y) en un entorno Bε(a, b)
Extremos relativos
f : R2 → R funcion, (a, b) ∈ R2
• f tiene un mınimo relativo en (a, b) si f (a, b) ≤ f (x, y),
para todo (x, y) en un entorno Bε(a, b)
• f tiene un maximo relativo en (a, b) si f (a, b) ≥ f (x, y),
para todo (x, y) en un entorno Bε(a, b)
- archivo de Maple: optimizacion.mws
Figure 1: Maximo relativo
X
Y
Z
O
P(a,b,f(a,b))
(a,b)
Figure 2: Mınimo relativo
Calculo de extremos relativos:
f : R2 → R funcion
Calculo de extremos relativos:
f : R2 → R funcion
1. Hallar los puntos crıticos:
- puntos donde f no es diferenciable
- puntos donde ∇f (x, y) =(∂f
∂x(x, y),
∂f
∂x(x, y)
)= (0, 0)
→ Sistema de dos ecuaciones y dos incognitas
Calculo de extremos relativos:
f : R2 → R funcion
1. Hallar los puntos crıticos:
- puntos donde f no es diferenciable
- puntos donde ∇f (x, y) =(∂f
∂x(x, y),
∂f
∂x(x, y)
)= (0, 0)
±2±1
01
2 x
±2
0
2
y
±0.4
±0.2
0
0.2
0.4
±4
02
4
x ±4±202 y
±40
±20
0
20
40
60
80
Plano tangente horizontal en los puntos crıticos
- archivo Maple: optimizacion.mws
Calculo de extremos relativos:
f : R2 → R funcion
1. Hallar los puntos crıticos
2. Estudiamos los puntos crıticos donde f admita derivadas
parciales segundas (continuas)
Calculo de extremos relativos:
f : R2 → R funcion, (a, b) ∈ R2 punto crıtico donde
f admite derivadas parciales segundas continuas
Sea H =
∂2f∂x2
(a, b) ∂2f∂x∂y(a, b)
∂2f∂y∂x(a, b)
∂2f∂y2
(a, b)
Criterio:
Calculo de extremos relativos:
f : R2 → R funcion, (a, b) ∈ R2 punto crıtico donde
f admite derivadas parciales segundas continuas
Sea H =
∂2f∂x2
(a, b) ∂2f∂x∂y(a, b)
∂2f∂y∂x(a, b)
∂2f∂y2
(a, b)
Criterio:
Si det(H)> 0, ∂2f∂x2
(a, b) > 0 ⇒ (a, b) mınimo local de f
Calculo de extremos relativos:
f : R2 → R funcion, (a, b) ∈ R2 punto crıtico donde
f admite derivadas parciales segundas continuas
Sea H =
∂2f∂x2
(a, b) ∂2f∂x∂y(a, b)
∂2f∂y∂x(a, b)
∂2f∂y2
(a, b)
Criterio:
Si det(H)> 0, ∂2f∂x2
(a, b) > 0 ⇒ (a, b) mınimo local de f
Si det(H)> 0, ∂2f∂x2
(a, b) < 0 ⇒ (a, b) maximo local de f
Calculo de extremos relativos:
f : R2 → R funcion, (a, b) ∈ R2 punto crıtico donde
f admite derivadas parciales segundas continuas
Sea H =
∂2f∂x2
(a, b) ∂2f∂x∂y(a, b)
∂2f∂y∂x(a, b)
∂2f∂y2
(a, b)
Criterio:
Si det(H)> 0, ∂2f∂x2
(a, b) > 0 ⇒ (a, b) mınimo local de f
Si det(H)> 0, ∂2f∂x2
(a, b) < 0 ⇒ (a, b) maximo local de f
Si det(H)< 0⇒ (a, b) punto de silla de f
Calculo de extremos relativos:
f : R2 → R funcion, (a, b) ∈ R2 punto crıtico donde
f admite derivadas parciales segundas continuas
Sea H =
∂2f∂x2
(a, b) ∂2f∂x∂y(a, b)
∂2f∂y∂x(a, b)
∂2f∂y2
(a, b)
Criterio:
Si det(H)> 0, ∂2f∂x2
(a, b) > 0 ⇒ (a, b) mınimo local de f
Si det(H)> 0, ∂2f∂x2
(a, b) < 0 ⇒ (a, b) maximo local de f
Si det(H)< 0⇒ (a, b) punto de silla de f
Resto de situaciones ⇒ Sin informacion
±1±0.8±0.4
00.20.40.60.81x
±1
±0.5
0
0.5
1
y
±1
±0.8
±0.6
±0.4
±0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
±0.4
±0.2
0
0.2
0.4
x
±0.4 ±0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Dos ejemplos de puntos de silla
- archivo Maple: optimizacion.mws
Ejercicios:
1. f (x, y) = −x2y
2. f (x, y) = xyex+2y
3. f (x, y) = xy + x + y
4. f (x, y) = xy +2
x+
4
y
Extremos relativos para funciones de tres o mas variables:
f : Rn → R funcion de n variables
Extremos relativos para funciones de tres o mas variables:
f : Rn → R funcion de n variables
Puntos crıticos:
- puntos donde f no es diferenciable
- puntos donde ∇f (x1, . . . , xn) = (0, . . . , 0)
Extremos relativos para funciones de tres o mas variables:
f : Rn → R funcion de n variables
Puntos crıticos:
- puntos donde f no es diferenciable
- puntos donde ∇f (x1, . . . , xn) = (0, . . . , 0)
Criterio: Para a = (a1, . . . , an) punto crıtico, donde f admite
derivadas parciales segundas continuas
Sea H =
∂2f∂x21
(a) . . . ∂2f∂x1∂xn
(a)
... ...∂2f
∂xn∂x1(a) . . . ∂2f
∂x2n(a)
Extremos relativos para funciones de tres o mas variables:
f : Rn → R funcion de n variables
Criterio: Para a = (a1, . . . , an) punto crıtico, donde f admite
derivadas parciales segundas continuas
Sea H =
∂2f∂x21
(a) . . . ∂2f∂x1∂xn
(a)
... ...∂2f
∂xn∂x1(a) . . . ∂2f
∂x2n(a)
- Sean di ≡ determinantes de las submatrices principales de H,
para i = 1, . . . , n
secuencia (1, d1, . . . , dn)
Extremos relativos para funciones de tres o mas variables:
f : Rn → R funcion de n variables
Criterio: Para a = (a1, . . . , an) punto crıtico, donde f admite
derivadas parciales segundas continuas
- Sean di ≡ determinantes de las submatrices principales de H,
para i = 1, . . . , n
secuencia (1, d1, . . . , dn)• Signos (+,+,+, . . . ,+)⇒ Mınimo relativo
• Signos (+,−,+,−, . . . )⇒ Maximo relativo
• Anteriores secuencias, con algun cero ⇒ Sin informacion
• Otra secuencia distinta ⇒ Sin extremo en a
