Lección 1: La relación de la suma y la resta...Lección 3: La relación de la multiplicación y la...

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 1 6 4

Lección 1: La relación de la suma y la resta

Trabajo en clase Ejercicio inicial

a. Dibuja un diagrama de cintas que represente la siguiente expresión: 5 + 4.

b. Escribe una expresión para cada diagrama de cintas.

Ejercicios 1. Predice qué ocurrirá cuando un diagrama de cintas tenga una gran cantidad de cuadrados, se le

quiten algunos cuadrados y luego se le vuelva a sumar la misma cantidad de cuadrados.

2. Crea un diagrama de cintas con 10 cuadrados.a. Quita seis cuadrados. Escribe una expresión que represente el diagrama de cintas.

b. Agrega seis cuadrados al diagrama de cintas. Modifica la expresión original para que representeel diagrama de cintas actual.

Lección 1: La relación de la suma y la resta S.1

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1


c. Evalúa la expresión. 3. Utilizando variables, escribe una ecuación que represente las identidades que demostramos con

diagramas de cintas. 4. Completa cada uno de los espacios en blanco utilizando tus conocimientos sobre identidades.

a. 4 + 5 - _____ = 4 b. 25 - _____ + 10 = 25 c. _____ + 16 - 16 = 45 d. 56 - 20 + 20 = _____

5. Completa cada uno de los espacios en blanco utilizando tus conocimientos sobre identidades.

a. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 - _____ = 𝑎𝑎 b. 𝑐𝑐 - 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 = _____ c. 𝑒𝑒 + _____ - 𝑓𝑓 = 𝑒𝑒 d. _____ - ℎ + ℎ = 𝑔𝑔

Lección 1:

La relación de la suma y la resta S.2


2

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 1 6 4 Conjunto de problemas 1. Completa cada espacio en blanco.

a. _____ + 15 - 15 = 21 b. 450 - 230 + 230 = _____ c. 1289 - ______ + 856 = 1289

2. ¿Por qué se les llama identidades a las ecuaciones 𝑤𝑤 - 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = 𝑤𝑤 y 𝑤𝑤 + 𝑥𝑥 - 𝑥𝑥 = 𝑤𝑤?

Lección 1:

La relación de la suma y la resta S.3


3


Lección 2: La relación de la multiplicación y la división Trabajo en clase Ejercicio inicial Haz una representación gráfica de los problemas de división y de multiplicación utilizando un diagrama de cintas.

a. 8 ÷ 2 b. 3 × 2

Desafío de exploración Trabaja en pares o en grupos pequeños a fin de determinar ecuaciones para mostrar la relación entre la multiplicación y la división. Utiliza diagramas de cintas para proporcionar una justificación para tus resultados. 1. Crea dos ecuaciones para mostrar la relación entre la multiplicación y la división. Estas ecuaciones

deberían ser identidades e incluir variables. Utiliza los cuadrados para desarrollar estas ecuaciones. 2. Escribe tus ecuaciones en una hoja grande. Muestra una serie de diagramas de cintas para defender

cada una de tus ecuaciones. Utiliza los siguientes criterios para opinar sobre los otros carteles educativos.

1. Nombre del grupo sobre el que estás opinando. 2. Ecuación sobre la que estás opinando. 3. Si crees o no que las ecuaciones son verdaderas, y los motivos correspondientes.

Lección 2:

La relación de la multiplicación y la división S.4


4

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 2 6 4 Conjunto de problemas 1. Completa cada espacio en blanco para hacer que la ecuación sea verdadera.

a. 132 ÷ 3 × 3 = _____ b. _____ ÷ 25 × 25 = 225

c. 56 × _____ ÷ 8 = 56 d. 452 × 12 ÷ _____ = 452

2. ¿En qué se parece la relación de la suma y la resta a la relación de la multiplicación y la división?

Lección 2:

La relación de la multiplicación y la división S.5


5


Lección 3: La relación de la multiplicación y la suma Trabajo en clase Ejercicio inicial Escribe dos expresiones diferentes que se puedan representar con el diagrama de cintas que se muestra. Una expresión debería incluir la suma, mientras que la otra debería incluir la multiplicación.

Ejercicios 1. Escribe la suma y la multiplicación que describan el modelo.

Lección 3:

La relación de la multiplicación y la suma S.6


6

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 3 6 4 2. Escribe una expresión equivalente para demostrar la relación de la multiplicación y la suma.

a. 6 + 6

b. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3

c. 4 + 4 + 4 + 4 + 4

d. 6 × 2

e. 4 × 6

f. 3 × 9

g. ℎ + ℎ + ℎ + ℎ + ℎ

h. 6𝑦𝑦

Lección 3:



7

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 3 6 4 3. Roberto no está familiarizado con los diagramas de cintas y cree que puede mostrar la relación de la

multiplicación y la suma en una línea numérica. Ayuda a Roberto a demostrar que la expresión 3 × 2 equivale a 2 + 2 + 2 en una línea numérica.

4. Indica si las siguientes ecuaciones son verdaderas o falsas. Luego, explica tu razonamiento.

a. 𝑥𝑥 + 6𝑔𝑔 - 6𝑔𝑔 = 𝑥𝑥 b. 2𝑓𝑓 - 4𝑒𝑒 + 4𝑒𝑒 = 2𝑓𝑓

Lección 3:



8

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 3 6 4 5. Escribe una expresión equivalente para demostrar la relación entre la suma y la multiplicación.

a. 6 + 6 + 6 + 6 + 4 + 4 + 4 b. 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 + 𝑤𝑤 + 𝑤𝑤 + 𝑤𝑤 + 𝑤𝑤 + 𝑤𝑤 c. 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑐𝑐 + 𝑐𝑐 + 𝑐𝑐

Lección 3:



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UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 3 6 4 Conjunto de problemas Escribe una expresión equivalente para mostrar la relación de la multiplicación y la suma. 1. 10 + 10 + 10 2. 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 3. 8 × 2 4. 3 × 9 5. 6𝑚𝑚 6. 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑

Lección 3:



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Lección 4: La relación de la división y la resta Trabajo en clase Ejercicio 1 Crea ecuaciones de resta utilizando las ecuaciones indicadas. El primer ejemplo ya está hecho por ti. Ecuación de

división El divisor indica el tamaño

de la unidad Diagrama de cintas ¿A cuánto equivale x, y o z?

12 ÷ x = 4 12 - x - x - x - x = 0 12 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0; x = 3 unidades en cada grupo

x = 3

18 ÷ x = 3

35 ÷ y = 5

42 ÷ z = 6

Ecuación de

división El divisor indica la cantidad

de unidades Diagrama de cintas ¿A cuánto equivale x, y o z?

12 ÷ x = 4 12 - 4 - 4 - 4 = 0 12 - 4 - 4 - 4 = 0; x = 3 grupos

x = 3

18 ÷ x = 3

35 ÷ y = 5

42 ÷ z = 6

Lección 4:

La relación de la división y la resta S.11


11

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 4 6 4 Ejercicio 2 Responde cada pregunta utilizando lo que aprendiste sobre la relación de la división y la resta.

a. Si 12 ÷ x = 3, ¿cuántas veces tendría que restarse x de 12 para que la respuesta sea cero? ¿Cuál es el valor de x?

b. 36 - 𝑓𝑓 - 𝑓𝑓 - 𝑓𝑓 - 𝑓𝑓 = 0. Escribe una división para esta resta repetida. ¿Cuál es el valor de f? c. Si 24 ÷ b = 12, ¿qué número se resta 12 veces para que la respuesta sea cero?

Lección 4:



12

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 4 6 4 Conjunto de problemas Crea ecuaciones de resta utilizando las ecuaciones indicadas.

Ecuación de división

El divisor indica el tamaño de la unidad Diagrama de cintas ¿A cuánto

equivale x, y o z?

1. 24 ÷ x = 4

2. 36 ÷ x = 6

3. 28 ÷ y = 7

4. 30 ÷ y = 5

5. 16 ÷ z = 4

Ecuación

de división El divisor indica la

cantidad de unidades Diagrama de cintas ¿A cuánto equivale x, y o z?

1. 24 ÷ x = 4

2. 36 ÷ x = 6

3. 28 ÷ y = 7

4. 30 ÷ y = 5

5. 16 ÷ z = 4

Lección 4:



13


Lección 5: Exponentes Trabajo en clase Ejercicio inicial

Al evaluar estas expresiones, pon atención a la manera en la que llegaste a tus respuestas. 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 9 + 9 + 9 + 9 + 9 10 + 10 + 10 + 10 + 10

Ejemplos 1 a 5

Escribe cada expresión en forma exponencial. 1. 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 2. 2 × 2 × 2 × 2 = Escribe cada expresión en forma desarrollada. 3. 83 = 4. 106 =

Lección 5:

Exponentes S.14


14

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 5 6 4 5. 𝑔𝑔3 = Vuelve a los ejemplos 1 a 4 y utiliza una calculadora para evaluar las expresiones. ¿Cuál es la diferencia entre 3𝑔𝑔 y 𝑔𝑔3?

Ejemplos 6 a 8

6. Escribe la expresión en forma desarrollada y luego evalúa. (3.8)4 =

7. Escribe la expresión en forma exponencial y luego evalúa.

2.1 × 2.1 = 8. Escribe la expresión en forma exponencial y luego evalúa. 0.75 × 0.75 × 0.75 = La base también puede ser una fracción. Convierte los decimales de los ejemplos 7 y 8 en fracciones, y evalúa. Deja tu respuesta en forma de fracción. ¡Recuerda cómo se multiplican las fracciones!

Lección 5:

Exponentes S.15


15


Ejemplos 9 y 10

9. Escribe la expresión en forma exponencial y luego evalúa.

12

x 12

x 12

=

10. Escribe la expresión en forma desarrollada y luego evalúa.

�23�

2 =

Ejercicios

Completa el cuadro proporcionando la expresión faltante.

1. Completa la expresión faltante de cada fila. Para bases enteras y decimales, utiliza una calculadora para encontrar la forma estándar del número. Para bases de fracciones, deja tu respuesta en forma de fracción.

Forma exponencial Forma desarrollada Forma estándar

32 3 x 3 = 9

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

45

34

x 34

1.5 x 1.5 =

2. Escribe cinco elevado al cubo en las tres formas: forma exponencial, forma desarrollada y forma

estándar.

Lección 5:

Exponentes S.16


16


3. Escribe catorce y siete décimos elevados al cuadrado en las tres formas.

4. Un estudiante pensó que dos a la tercera potencia era igual a seis. ¿Qué error crees que cometió y cómo lo ayudarías a arreglarlo?

Lección 5:

Exponentes S.17


17


Resumen de la lección

NOTACIÓN EXPONENCIAL PARA EXPONENTES ENTEROS: siendo 𝑚𝑚 un número entero distinto de cero, para cualquier número 𝑎𝑎, la expresión am es el producto de 𝑚𝑚 factores de 𝑎𝑎, es decir,

𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 ∙ … ∙ 𝑎𝑎. m veces

El número 𝑎𝑎 se llama base, y 𝑚𝑚 se llama exponente o potencia de 𝑎𝑎.

Cuando 𝑚𝑚 sea 1, “el producto de un factor de 𝑎𝑎” simplemente significa 𝑎𝑎, es decir, 𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎. Elevar cualquier número 𝑎𝑎 distinto de cero a la potencia 0 se define como 1, es decir, 𝑎𝑎0 = 1 para 𝑎𝑎 ≠ 0.

Conjunto de problemas

1. Completa la tabla llenando las celdas en blanco. Utiliza una calculadora cuando sea necesario.

Forma exponencial Forma desarrollada Forma estándar

35

4 x 4 x 4

(1.9)2 =

�12

�5

2. ¿Por qué los números enteros elevados a un exponente se vuelven más grandes, mientras que las

fracciones elevadas a un exponente se vuelven más pequeñas?

3. Las potencias de 2 que se encuentran en el rango entre 2 y 1000 son 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 y 512. Encuentra todas las potencias de 3 que se encuentren en el rango entre 3 y 1000.

4. Encuentra todas las potencias de 4 en el rango entre 4 y 1000.

5. Escribe una expresión equivalente para n x a utilizando solo la suma.

6. Escribe una expresión equivalente para wb utilizando solo la multiplicación. a. Explica qué es w en esta nueva expresión. b. Explica qué es b en esta nueva expresión.

7. ¿Cuál es la ventaja de utilizar la notación exponencial?

8. ¿Cuál es la diferencia entre 4x y x4? Evalúa las dos expresiones cuando x = 2.

Lección 5:

Exponentes S.18


18


Lección 6: El orden de las operaciones Trabajo en clase

Ejemplo 1: Expresiones solo con suma, resta, multiplicación y división

¿Qué operaciones se evalúan primero? ¿Qué operaciones se evalúan siempre al final? Ejercicios 1 a 3

1. 4 + 2 × 7 2. 36 ÷ 3 × 4 3. 20 - 5 × 2

Lección 6:

El orden de las operaciones S.19


19


Ejemplo 2: Expresiones con cuatro operaciones y exponentes

4 + 92 ÷ 3 × 2 - 2 ¿Qué operación se evalúa primero? ¿Qué operaciones se evalúan a continuación? ¿Qué operaciones se evalúan siempre al final? ¿Cuál es la respuesta final? Ejercicios 4 y 5

4. 90 - 52 × 3 5. 43 + 2 × 8

Lección 6:



20


Ejemplo 3: Expresiones con paréntesis

Piensa en una familia de 4 integrantes que va a un partido de fútbol. Los boletos cuestan $5.00 cada uno. La mamá también compró un refresco por $2.00. ¿Cómo escribirías esta expresión? ¿Cuánto costará esta salida? Piensa en un escenario diferente: la misma familia va al partido como antes, pero cada miembro de la familia quiere un refresco. ¿Cómo escribirías esta expresión? ¿Por qué sumarías el 5 y el 2 primero? ¿Cuánto costará esta salida? ¿Cuántos grupos hay?

Lección 6:



21

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 6 6 4 ¿Cómo está formado cada grupo? Ejercicios 6 y 7

6. 2 + (92 - 4) 7. 2 · (13 + 5 - 14 ÷ (3 + 4))

Ejemplo 4: Expresiones con paréntesis y exponentes

2 × (3 + 42)

¿Qué valor calcularemos primero dentro del paréntesis? Evalúa. Evalúa el resto de la expresión.

Lección 6:



22

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 6 6 4 ¿Qué crees que ocurrirá cuando el exponente de esta expresión esté fuera del paréntesis?

2 × (3 + 4)2

¿La respuesta será la misma? ¿Qué evaluaríamos primero? Evalúa. ¿Qué ocurre de manera diferente aquí que en nuestro último ejemplo? ¿Cuál debería ser nuestro siguiente paso? Evalúa para encontrar la respuesta final. ¿Qué adviertes acerca de las dos respuestas?

Lección 6:



23

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 6 6 4 ¿En qué se diferenciaban las dos expresiones? ¿A qué conclusiones puedes llegar sobre la evaluación de expresiones con paréntesis y exponentes? Ejercicios 8 y 9

8. 7 + (12 - 32) 9. 7 + (12 - 3)2

Lección 6:



24



EXPRESIÓN NUMÉRICA: una expresión numérica es un número o cualquier combinación de sumas, restas, multiplicaciones o divisiones de números que dan como resultado un número.

Enunciados como “3 +” o “3 ÷ 0” no son expresiones numéricas porque ninguna representa un punto en la línea numérica. Nota: elevar números a potencias enteras también se considera una expresión numérica, ya que la operación es solo una forma abreviada de multiplicación: 23 = 2 · 2 · 2.

VALOR DE UNA EXPRESIÓN NUMÉRICA: el valor de una expresión numérica es el número que se encuentra al evaluar la expresión.

Por ejemplo: 13 · (2 + 4) + 7 es una expresión numérica, y su valor es 9.

Conjunto de problemas Evalúa cada expresión.

1. 3 × 5 + 2 × 8 + 2 2. ($1.75 + 2 × $0.25 + 5 × $0.05) × 24 3. (2 × 6) + (8 × 4) + 1 4. ((8 × 1.95) + (3 × 2.95) + 10.95) × 1.06 5. ((12 ÷ 3)2 - (18 ÷ 32)) × (4 ÷ 2)

Lección 6:



25


Lección 7: Reemplazo de letras con números Trabajo en clase

Ejemplo 1

¿Cuál es la longitud de un lado de este cuadrado? ¿Cuál es la fórmula del área de un cuadrado? ¿Cuál es el área del cuadrado expresada como una multiplicación? ¿Cuál es el área del cuadrado? Podemos contar las unidades. Sin embargo, miremos este otro cuadrado. Su longitud lateral es de 23 cm. Eso representa demasiadas unidades pequeñas para dibujar. ¿Qué expresión podemos formular para encontrar el área de este cuadrado?

¿Cuál es el área del cuadrado? Utiliza una calculadora si fuera necesario.

Lección 7:

Reemplazo de letras con números S.26


26

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 7 6 4 Ejercicio 1 Completa la siguiente tabla para ambos cuadrados. Nota: estos dibujos no están hechos a escala.

Longitud de un lado del cuadrado Área del cuadrado escrita en

forma de expresión Área del cuadrado escrita en

forma de número

Ejemplo 2

¿Qué representa la letra b en este rectángulo azul? Con un compañero, responde la siguiente pregunta: dado que el segundo rectángulo está dividido en cuatro partes iguales, ¿qué número representa la x?

Lección 7:



27

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 7 6 4 ¿Cómo llegaste a esta respuesta? ¿Cuál es la longitud total del segundo rectángulo? Dile a un compañero cómo lo sabes. Si los dos rectángulos grandes tienen largos y anchos iguales, encuentra el área de cada rectángulo. Conversa con tu compañero acerca de cómo se pueden utilizar las fórmulas de área de los cuadrados y rectángulos para evaluar el área de una figura en especial. Ejercicio 2

Completa la siguiente tabla para ambos rectángulos. Nota: estos dibujos no están hechos a escala. Puedes utilizar una calculadora.

Largo del rectángulo Ancho del rectángulo Área del rectángulo escrita

en forma de expresión Área del rectángulo escrita

en forma de número

Lección 7:



28


Ejemplo 3

¿Qué representa la l en el primer diagrama? ¿Qué representa la w en el primer diagrama? ¿Qué representa la h en el primer diagrama? Como sabemos que la fórmula para encontrar el volumen es V = l × w × h, ¿qué número podemos sustituir por l en la fórmula? ¿Por qué? ¿Qué otro número podemos sustituir por l? ¿Qué número podemos sustituir por w en la fórmula? ¿Por qué?

Lección 7:



29

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 7 6 4 ¿Qué número podemos sustituir por h en la fórmula? Determina el volumen del segundo prisma rectangular recto sustituyendo las letras de la fórmula con sus números correspondientes. Ejercicio 3

Completa la tabla para ambas figuras. Puedes utilizar una calculadora.

unidades

unidades

unidades

Largo del prisma rectangular

Ancho del prisma rectangular

Alto del prisma rectangular

Volumen del prisma rectangular escrito en

forma de expresión

Volumen del prisma rectangular escrito

en forma de número

Lección 7:



30



EXPRESIÓN: una expresión es una expresión numérica o el resultado de reemplazar algunos números (o todos) de una expresión numérica con variables. Hay dos maneras de crear expresiones: 1. Podemos comenzar con una expresión numérica, como 1

3 · (2 + 4) + 7, y reemplazar algunos de los

números con letras para obtener 13 · (x + y) + z.

2. Podemos crear esas expresiones desde cero, como en x + (y - z), y observar que si en la expresión se colocaran números para las variables x, y y z, el resultado sería una expresión numérica.


1. Reemplaza la longitud lateral de este cuadrado con 4 pulgadas y encuentra el área.

2. Completa la tabla para cada una de las figuras proporcionadas.

Largo del rectángulo Ancho del rectángulo Área del rectángulo escrita

en forma de expresión Área del rectángulo en

forma de número

3. Encuentra el perímetro de cada cuadrilátero de los problemas 1 y 2. 4. Utilizando la fórmula V = l × w × h, encuentra el volumen de un prisma rectangular recto si el largo del

prisma es de 45 cm, el ancho es de 12 cm y el alto es de 10 cm.

3.5 yd

Lección 7:



31


Lección 8: Reemplazo de números con letras Trabajo en clase

Ejercicio inicial

4 + 0 = 4 4 × 1 = 4 4 ÷ 1 = 4 4 × 0 = 0

1 ÷ 4 = 14

¿Cuántos de estos enunciados son verdaderos? ¿Cuántos de esos enunciados serían verdaderos si el número 4 se reemplazara con el número 7 en cada una de las cuentas? ¿Serían verdaderas las cuentas si reemplazáramos el número 4 con cualquier otro número? ¿Qué ocurriría si reemplazáramos el número 4 con el número 0? ¿Sería verdadera cada una de las cuentas? ¿Qué ocurre si reemplazamos el número 4 con la letra g? Escribe las 4 expresiones a continuación reemplazando cada 4 con una g.

Lección 8:

Reemplazo de números con letras S.32


32

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 8 6 4 ¿Son todas verdaderas (excepto por g = 0) al realizar las divisiones?

Ejemplo 1: Propiedad de identidad de la suma de cero

𝑔𝑔 + 0 = 𝑔𝑔

Recuerda que, en una expresión matemática, una letra representa un número. ¿Podemos reemplazar g con cualquier número? Elige un valor para g y reemplaza g con ese número en la ecuación. ¿Qué observas? Repite este proceso varias veces, cada vez con un número diferente para g. ¿Todos los valores de g darán como resultado una cuenta verdadera? A continuación, escribe el lenguaje matemático de esta propiedad.

Lección 8:



33


Ejemplo 2: Propiedad de identidad de la multiplicación de uno

𝑔𝑔 × 1 = 𝑔𝑔

Recuerda que, en una expresión matemática, una letra representa un número. ¿Podemos reemplazar g con cualquier número? Elige un valor para g y reemplaza g con ese número en la ecuación. ¿Qué observas? ¿Todos los valores de g darán como resultado una cuenta verdadera? Prueba con diferentes valores antes de hacer tu afirmación. A continuación, escribe el lenguaje matemático de esta propiedad.

Ejemplo 3: Propiedad conmutativa de la suma y de la multiplicación

3 + 4 = 4 + 3

3 × 4 = 4 × 3 Reemplaza los 3 de estas cuentas con la letra a. Elige un valor para a y reemplaza a con ese número en cada una de las ecuaciones. ¿Qué observas?

Lección 8:



34

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 8 6 4 ¿Todos los valores de a darán como resultado una cuenta verdadera? Prueba con diferentes valores antes de hacer tu afirmación. Ahora vuelve a escribir las ecuaciones, esta vez reemplazando el número 4 con una variable, b. ¿Todos los valores de a y de b darán como resultado cuentas verdaderas para las primeras dos ecuaciones? Prueba con diferentes valores antes de hacer tu afirmación. A continuación, escribe el lenguaje matemático de esta propiedad.

Ejemplo 4

3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3

3 ÷ 4 = 34

Reemplaza los 3 de estas cuentas con la letra a.

Lección 8:



35

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 8 6 4 Elige un valor para a y reemplaza a con ese número en cada una de las ecuaciones. ¿Qué observas? ¿Todos los valores de a darán como resultado una cuenta verdadera? Prueba con diferentes valores antes de hacer tu afirmación. Ahora vuelve a escribir las ecuaciones, esta vez reemplazando el número 4 con una variable, b. ¿Todos los valores de a y de b darán como resultado cuentas verdaderas para las ecuaciones? Prueba con diferentes valores antes de hacer tu afirmación.

Lección 8:



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UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 8 6 4 Conjunto de problemas 1. Enuncia la propiedad conmutativa de la suma utilizando las variables a y b. 2. Enuncia la propiedad conmutativa de la multiplicación utilizando las variables a y b. 3. Enuncia la propiedad de la suma de cero utilizando la variable b. 4. Enuncia la propiedad de identidad de la multiplicación de uno utilizando la variable b. 5. Demuestra la propiedad que aparece en la primera columna completando la tercera columna de la tabla.

Propiedad conmutativa de la suma 25 + c =

Propiedad conmutativa de la multiplicación l x w =

Propiedad de la suma de cero h + 0 =

Propiedad de identidad de la multiplicación de uno v x 1 =

6. ¿Por qué no hay propiedad conmutativa para la resta ni para la división? Muestra ejemplos.

Lección 8:



37


Lección 9: Escritura de expresiones de suma y de resta Trabajo en clase

Ejemplo 1

Crea un diagrama de barras para mostrar 3 más 5. ¿Cómo se vería esto si se te pidiera mostrar 5 más 3? ¿Son equivalentes estas dos expresiones?

Ejemplo 2

¿Cómo puedes mostrar un número aumentado en 2? ¿Puedes probar esto utilizando un modelo? De ser así, dibuja el modelo.

Lección 9:

Escritura de expresiones de suma y de resta S.38


38


Ejemplo 3

Escribe una expresión para mostrar la suma de m y k. ¿Qué propiedad se puede utilizar en los ejemplos 1 a 3 para mostrar que ambas expresiones proporcionadas son equivalentes?

Ejemplo 4

¿Cómo podemos mostrar 10 menos 6?

Dibuja un diagrama de barras para mostrar esta expresión.

¿Qué expresión representaría este modelo?

¿Podríamos también utilizar 6 - 10?

Ejemplo 5

¿Cómo podemos escribir una expresión para mostrar 3 menos que un número?

Comienza dibujando un diagrama para mostrar la resta. ¿Estamos restando del 3 o del número desconocido? ¿Qué expresión representaría este modelo?

Lección 9:



39


Ejemplo 6

¿Cómo escribiríamos una expresión para mostrar la resta del número c de la suma de a y b?

Comienza escribiendo una expresión para "la suma de a y b".

Ahora muestra la resta de c de la suma.

Ejemplo 7

Escribe una expresión para mostrar el número c menos la suma de a y b. ¿Por qué los paréntesis son necesarios en este ejemplo y no en los otros? Reemplaza las variables con números para ver si c - (a + b) es igual a c - a + b. Ejercicios

1. Escribe una expresión para mostrar la suma de 7 y 1.5.

Lección 9:



40

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 9 6 4 2. Escribe dos expresiones para mostrar w aumentado en 4. Luego, dibuja modelos para demostrar que

ambas expresiones representan lo mismo. 3. Escribe una expresión para mostrar la suma de a, b y c. 4. Escribe una expresión y un modelo que muestren 3 menos que p. 5. Escribe una expresión para mostrar la resta de 3 y p.

Lección 9:



41

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 9 6 4 6. Escribe una expresión para mostrar 4 menos que la suma de g y 5. 7. Escribe una expresión para mostrar 4 disminuido en la suma de g y 5. 8. ¿Los ejercicios 6 y 7 deberían tener expresiones diferentes? ¿Por qué sí o por qué no?

Lección 9:



42

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 9 6 4 Conjunto de problemas 1. Escribe dos expresiones para mostrar un número disminuido en 11. Luego, dibuja modelos para

demostrar que ambas expresiones representan lo mismo. 2. Escribe una expresión para mostrar la suma de x e y. 3. Escribe una expresión para mostrar h disminuido en 13. 4. Escribe una expresión para mostrar k menos que 3.5. 5. Escribe una expresión para mostrar la suma de g y h disminuido en 11. 6. Escribe una expresión para mostrar 5 menos que y, más g. 7. Escribe una expresión para mostrar 5 menos que la suma de y y g.

Lección 9:



43


Lección 10: Escritura y ampliación de expresiones de multiplicación Trabajo en clase

Ejemplo 1

Escribe cada expresión utilizando la menor cantidad de símbolos y de caracteres. Utiliza términos matemáticos para describir las expresiones y las partes de la expresión.

a. 6 × 𝑏𝑏 b. 4 · 3 · ℎ c. 2 × 2 × 2 × 𝑎𝑎 × 𝑏𝑏 d. 5 × 𝑚𝑚 × 3 × 𝑝𝑝 e. 1 × 𝑔𝑔 × 𝑤𝑤

Lección 10:

Escritura y ampliación de expresiones de multiplicación S.44


44


Ejemplo 2

Para desarrollar expresiones de multiplicación, reescribiremos las expresiones volviendo a incluir el “·” en las expresiones.

a. 5𝑔𝑔 b. 7𝑎𝑎bc c. 12𝑔𝑔 d. 3ℎ · 8 e. 7𝑔𝑔 · 9ℎ

Ejemplo 3

a. Encuentra el producto de 4f · 7g. b. Multiplica 3de · 9yz. c. Duplica el producto de 6y y 3bc.

Lección 10:



45



UNA EXPRESIÓN EN FORMA DESARROLLADA: se dice que una expresión que está escrita como sumas (o restas) de productos, cuyos factores sean números, variables o variables elevadas a potencias enteras, está en forma desarrollada. También se considera que un único número, variable o producto de números o variables está en forma desarrollada.


1. Reescribe la expresión en forma estándar (utiliza la menor cantidad de símbolos y de caracteres que puedas).

a. 5 · 𝑦𝑦 b. 7 · 𝑑𝑑 · 𝑒𝑒 c. 5 · 2 · 2 · 𝑦𝑦 · 𝑧𝑧 d. 3 · 3 · 2 · 5 · 𝑑𝑑

2. Escribe las siguientes expresiones en forma desarrollada.

a. 3𝑔𝑔 b. 11𝑚𝑚p c. 20𝑦𝑦z d. 15𝑎𝑎bc

3. Encuentra el producto.

a. 5𝑑𝑑 · 7𝑔𝑔 b. 12𝑎𝑎b · 3cd

Lección 10:



46


Lección 11: Factorizado de expresiones

Trabajo en clase

Ejemplo 1

a. Utiliza el modelo para responder las siguientes preguntas.

¿Cuántos cincos hay en el modelo?

¿Cuántos tres hay en el modelo?

¿Qué representa la expresión en palabras?

¿Qué expresión podríamos escribir para representar el modelo?

b. Utiliza el modelo nuevo y el modelo anterior para responder las siguientes preguntas.

¿Cuántos cincos hay en el modelo?

¿Cuántos tres hay en el modelo?

¿Qué representa la expresión en palabras?

¿Qué expresión podríamos escribir para representar el modelo?

Lección 11:

Factorizado de expresiones S.47


47

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 11 6 4 c. ¿El modelo de la parte (a) es equivalente al modelo de la parte (b)? d. ¿Qué relación vemos que ocurre a ambos lados del signo igual? e. En 5.° grado y en el módulo 2 de este año, has utilizado razonamientos similares para resolver

problemas. ¿Cuál es el nombre de la propiedad que se utiliza para decir que 2(5 + 3) es igual a 2 × 5 + 2 × 3?

Ejemplo 2

Ahora echaremos un vistazo a un ejemplo con variables. Conversa acerca de las preguntas con tu compañero.

¿Qué representa el modelo en palabras? ¿Qué significa 2a? ¿Cuántas letras a hay en el modelo? ¿Cuántas letras b hay en el modelo?

Lección 11:



48

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 11 6 4 ¿Qué expresión podríamos escribir para representar el modelo?

¿Cuántas letras a hay en la expresión? ¿Cuántas letras b hay en la expresión? ¿Qué expresión podríamos escribir para representar el modelo? ¿Son equivalentes las dos expresiones?

Ejemplo 3

Utiliza el MCD y la propiedad distributiva para escribir expresiones equivalentes. 1. 3𝑓𝑓 + 3𝑔𝑔 = ______________________

¿Qué es lo que la pregunta nos pide hacer? ¿Cómo se vería el problema 1 si desarrolláramos cada término? ¿Cuál es el MCD del problema 1? ¿Cómo podemos utilizar el MCD para reescribir esto?

Lección 11:



49

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 11 6 4 2. 6𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = ______________________

¿Qué es lo que la pregunta nos pide hacer? ¿Cómo se vería el problema 2 si desarrolláramos cada término? ¿Cuál es el MCD del problema 2? ¿Cómo podemos utilizar el MCD para reescribir esto?

3. 3𝑐𝑐 + 11𝑐𝑐 = ______________________

¿Hay un MCD en el problema 3? Reescribe la expresión utilizando la propiedad distributiva.

4. 24𝑏𝑏 + 8 = ______________________

Explica cómo utilizaste el MCD y la propiedad distributiva para reescribir la expresión del problema 4. ¿Por qué hay un 1 en el paréntesis? ¿Cómo se relaciona esto con los primeros dos ejemplos?

Lección 11:



50

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 11 6 4 Ejercicios

1. Aplica la propiedad distributiva para escribir expresiones equivalentes. a. 7𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 b. 15𝑔𝑔 + 20ℎ c. 18𝑚𝑚 + 42𝑛𝑛 d. 30𝑎𝑎 + 39𝑏𝑏 e. 11𝑓𝑓 + 15𝑓𝑓 f. 18ℎ + 13ℎ g. 55𝑚𝑚 + 11 h. 7 + 56𝑦𝑦

2. Evalúa cada una de las siguientes expresiones.

a. 6𝑥𝑥 + 21𝑦𝑦 y 3(2𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦) 𝑥𝑥 = 3 e 𝑦𝑦 = 4 b. 5𝑔𝑔 + 7𝑔𝑔 y (5 + 7) 𝑔𝑔 = 6

Lección 11:



51


c. 14𝑥𝑥 + 2 y 2(7𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 = 10 d. Explica cualquier patrón que observes en los resultados de las partes (a) a (c). e. ¿Qué ocurriría si se proporcionaran otros valores para las variables?

Cierre

¿Cómo puedes utilizar tus conocimientos sobre el MCD y la propiedad distributiva para escribir expresiones equivalentes? Encuentra el valor faltante que haga que las dos expresiones sean equivalentes. 4𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 _____(𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦) 35𝑥𝑥 + 50𝑦𝑦 _____(7𝑥𝑥 + 10𝑦𝑦) 18𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 _____(2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) 32𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 _____(4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) 100𝑥𝑥 + 700𝑦𝑦 _____(𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦) Explica cómo determinaste el número faltante.

Lección 11:



52



UNA EXPRESIÓN EN FORMA FACTORIZADA: se dice que una expresión que es un producto de dos o más expresiones está en forma factorizada.

Conjunto de problemas 1. Utiliza modelos para demostrar que 3(a + b) equivale a 3a + 3b. 2. Utiliza el MCD y la propiedad distributiva para escribir expresiones equivalentes en forma factorizada

de las siguientes expresiones. a. 4𝑑𝑑 + 12𝑒𝑒 b. 18𝑥𝑥 + 30𝑦𝑦 c. 21𝑎𝑎 + 28𝑦𝑦 d. 24𝑓𝑓 + 56𝑔𝑔

Lección 11:



53


Lección 12: Distribución de expresiones Trabajo en clase

Ejercicio inicial

a. Crea un modelo para mostrar 2 × 5. b. Crea un modelo para mostrar 2 × b o 2b.

Ejemplo 1

Escribe una expresión que sea equivalente a 2(a + b). Crea un modelo para representar (a + b). La expresión 2(a + b) nos indica que tenemos 2 de (a + b). Crea un modelo que muestre 2 grupos de (a + b). ¿Cuántas letras a y cuántas letras b ves en el diagrama?

Lección 12:

Distribución de expresiones S.54


54

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 12 6 4 ¿Cómo se vería el modelo si agrupáramos las a y luego las b?

¿Qué expresión podríamos escribir para representar el nuevo diagrama? ¿A qué conclusión podemos llegar a partir de los modelos sobre expresiones equivalentes? Haz que a = 3 y b = 4. ¿Qué ocurre cuando duplicamos (a + b)?

Ejemplo 2

Escribe una expresión que sea equivalente al doble de (3x + 4y).

¿Cómo podemos reescribir el doble de (3x + 4y)? ¿Esta expresión está en forma factorizada, en forma desarrollada o en ninguna de ellas? Comencemos con este problema de la misma manera en la que comenzamos con el primer ejemplo. ¿Qué deberíamos hacer?

Lección 12:



55

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 12 6 4 ¿Cómo podemos cambiar el modelo para mostrar 2(3x + 4y)? ¿Hay términos que podamos combinar en este ejemplo? ¿Qué expresión equivalente podemos utilizar para representar 2(3x + 4y)? Resume cómo resolverías esta pregunta sin el modelo.

Ejemplo 3

Escribe una expresión en forma desarrollada que sea equivalente al siguiente modelo.

¿Qué expresión factorizada está representada en el modelo? ¿Cómo podemos reescribir esta expresión en forma desarrollada?

Lección 12:



56


Ejemplo 4

Escribe una expresión en forma desarrollada que sea equivalente a 3(7d + 4e). Ejercicios

Crea un modelo para cada una de las siguientes expresiones. Luego, escribe otra expresión equivalente utilizando la propiedad distributiva.

1. 3(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) 2. 4(2ℎ + 𝑔𝑔)

Lección 12:



57

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 12 6 4 Aplica la propiedad distributiva para escribir una expresión equivalente en forma desarrollada.

3. 8(ℎ + 3) 4. 3(2ℎ + 7) 5. 5(3𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦) 6. 4(11ℎ + 3𝑔𝑔) 7.

8. a(9𝑏𝑏 + 13)

Lección 12:



58

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 12 6 4 Conjunto de problemas 1. Utiliza la propiedad distributiva para escribir las siguientes expresiones en forma desarrollada.

a. 4(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) b. 8(𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏) c. 3(2𝑥𝑥 + 11𝑦𝑦) d. 9(7𝑎𝑎 + 6𝑏𝑏) e. c(3𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) f. y(2𝑥𝑥 + 11𝑧𝑧)

2. Crea un modelo para mostrar que 2(2x + 3y) = 4x + 6y.

Lección 12:



59


Lección 13: Escritura de expresiones de división

Trabajo en clase

Ejemplo 1

Escribe una expresión que muestre 1 ÷ 2 sin usar el símbolo de división. ¿Qué podemos determinar a partir del modelo?

Ejemplo 2

Escribe una expresión que muestre a ÷ 2 sin utilizar el símbolo de división. ¿Qué podemos determinar a partir del modelo? Cuando escribimos expresiones de división utilizando el símbolo de división, representamos _________________. ¿Cómo se vería esto si escribimos expresiones de división utilizando una fracción?

Lección 13:

Escritura de expresiones de división S.60


60


Ejemplo 3

a. Escribe una expresión que muestre a ÷ b sin utilizar el símbolo de división. b. Escribe una expresión para g dividido la cantidad h más 3. c. Escribe una expresión para el cociente de la cantidad m disminuido en 3 y 5.

Ejercicios

Escribe cada expresión de dos maneras: utilizando el símbolo de división y en forma de fracción.

a. 12 dividido entre 4. b. 3 dividido entre 5. c. a dividido entre 4. d. El cociente de 6 y m. e. Siete dividido la cantidad x más y. f. y dividido la cantidad x menos 11. g. La suma de la cantidad h y 3 dividido 4. h. El cociente de la cantidad k menos 10 y m.

Lección 13:



61

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 13 6 4 Conjunto de problemas 1. Reescribe las expresiones utilizando el símbolo de división y como fracción.

a. Tres dividido entre 4. b. El cociente de m y 11. c. 4 dividido entre la suma de h y 7. d. La cantidad x menos 3 dividido entre y.

2. Dibuja un modelo para mostrar que 𝑥𝑥 ÷ 3 es igual a 𝑥𝑥

3.

Lección 13:



62


Lección 14: Escritura de expresiones de división

Trabajo en clase

Ejemplo 1

Completa los tres cuadrados restantes de manera que todos los cuadrados contengan expresiones equivalentes.

Expresiones equivalentes

Ejemplo 2

Completa una copia en blanco de los cuatro casilleros utilizando las palabras "dividendo" y "divisor" de manera que se pueda utilizar para cualquier ejemplo.


Lección 14:



63


Ejercicios Completa los espacios faltantes de cada conjunto de rectángulos.









Lección 14:



64

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 14 6 4 Conjunto de problemas Completa los espacios faltantes de cada conjunto de rectángulos.





Lección 14:



65


Lección 15: Lectura de expresiones en las que las letras representan

números Trabajo en clase

Ejercicio inicial

Completa el organizador gráfico con términos matemáticos que indiquen cada operación. Algunos términos pueden indicar más de una operación.

SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN EXPONENTES

Ejemplo 1

Escribe una expresión utilizando palabras.

a. 𝑎𝑎 - 𝑏𝑏 b. 𝑥𝑥y

Lección 15:

Lectura de expresiones en las que las letras representan números S.66


66


c. 4𝑓𝑓 + 𝑝𝑝 d. 𝑑𝑑 - 𝑏𝑏3 e. 5(𝑢𝑢 - 10) + ℎ f. 3

𝑑𝑑+𝑓𝑓

Ejercicios

Encierra en círculos todas las palabras que se podrían utilizar para describir la expresión proporcionada.

1. 6ℎ - 10

SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN 2. 5𝑑𝑑

6

SUMA DIFERENCIA PRODUCTO COCIENTE

3. 5(2 + 𝑑𝑑) - 8

SUMAR RESTAR MULTIPLICAR DIVIDIR 4. abc

MÁS QUE MENOS QUE VECES CADA

Lección 15:



67

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 15 6 4 Escribe una expresión utilizando palabras para representar cada expresión proporcionada.

5. 8 - 2𝑔𝑔 6. 15(𝑎𝑎 + c) 7. 𝑚𝑚+𝑛𝑛

5

8. 𝑏𝑏3 - 18 9. 𝑓𝑓 − 𝑑𝑑

2

10. 𝑢𝑢

𝑥𝑥

Lección 15:



68

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 15 6 4 Conjunto de problemas 1. Enumera cinco términos diferentes que se podrían utilizar para describir cada expresión proporcionada.

a. 𝑎𝑎 - 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 b. 20 - 3𝑐𝑐

c. 𝑏𝑏𝑑𝑑+2

2. Escribe una expresión utilizando términos matemáticos para cada una de las siguientes expresiones.

a. 5𝑏𝑏 - 18 b. 𝑛𝑛

2

c. 𝑎𝑎 + (𝑑𝑑 - 6) d. 10 + 2𝑏𝑏

Lección 15:



69


Lección 16: Escritura de expresiones en las que las letras representan


Ejercicio inicial

Subraya las palabras clave de cada enunciado.

a. La suma de dos veces b y 5. b. El cociente de c y d. c. a elevado a la quinta potencia y luego aumentado en el producto de 5 y c. d. La cantidad de a más b dividido 4. e. 10 menos que el producto de 15 y c. f. 5 veces d, luego aumentado en 8.

Ejercicio de modelos matemáticos 1

Muestra cómo cambiar las expresiones proporcionadas en el ejercicio inicial de palabras a variables y números.

a. La suma de dos veces b y 5. b. El cociente de c y d. c. a elevado a la quinta potencia y luego aumentado en el producto de 5 y c. d. La cantidad de a más b dividido 4.

Lección 16:

Escritura de expresiones en las que las letras representan números S.70


70


e. 10 menos que el producto de 15 y c. f. 5 veces d, luego aumentado en 8.

Ejercicio de modelos matemáticos 2

Muestra cómo cambiar cada escenario del mundo real a una expresión utilizando variables y números. Subraya el texto para mostrar las palabras clave antes de escribir la expresión.

Marcus tiene 4 dólares más que Yaseen. Si y es la cantidad de dinero que tiene Yaseen, escribe una expresión para mostrar cuánto dinero tiene Marcus. A Mario le falta terminar la mitad de sus tareas. Si a representa la cantidad de tareas, escribe una expresión para mostrar cuántas tareas le faltan terminar a Mario. El peso de Kamilah se triplicó desde su primer cumpleaños. Si w representa el peso de Kamilah en su primer cumpleaños, escribe una expresión para mostrar cuánto pesa Kamilah ahora.

Lección 16:



71

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 16 6 4 Nathan llevó cupcakes a la escuela y se los dio a sus cinco mejores amigos, quienes los compartieron en partes iguales. Si c representa la cantidad de cupcakes que Nathan llevó a la escuela, escribe una expresión para mostrar cuántos cupcakes recibió cada uno de sus amigos. La señora Marcus combinó sus atlas y diccionarios, y luego los dividió entre 10 mesas diferentes. Si a representa la cantidad de atlas y d representa la cantidad de diccionarios que tiene la señora Marcus, escribe una expresión para mostrar cuántos libros habría en cada mesa. Para mejorar en baloncesto, el entrenador de Ivan le dijo que necesitaba practicar cuatro veces más lanzamientos libres y cuatro veces más lanzamientos en suspensión todos los días. Si f representa la cantidad de lanzamientos libres y j representa la cantidad de lanzamientos en suspensión que Ivan practica a diario, escribe una expresión para mostrar cuántos lanzamientos necesitará practicar a fin de mejorar en baloncesto. Ejercicios

Marca el texto subrayando las palabras clave y luego escribe una expresión utilizando variables o números para cada enunciado.

1. b disminuido en c al cuadrado.

Lección 16:



72

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 16 6 4 2. 24 dividido el producto de 2 y a.

3. 150 disminuido en la cantidad de 6 más b.

4. La suma de dos veces c y 10.

5. Marlo tenía $35, pero luego gastó $m.

6. Samantha ahorró dinero y pudo cuadruplicar el monto original (m).

7. Veronica aumentó su calificación (g) en 4 puntos y luego la duplicó.

8. Adbell tenía m caramelos y comió 5. Luego, dividió los caramelos restantes en partes iguales entre

4 amigos.

9. Para averiguar cuánta pintura necesita, el señor Jones debe elevar al cuadrado la longitud lateral (s)

de la puerta y luego restar 15.

10. Luis llevó x latas de cola a la fiesta, Faith llevó d, y De'Shawn llevó h. ¿Cuántas latas de cola llevaron

en total?

Lección 16:



73

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 16 6 4 Conjunto de problemas Marca el texto subrayando las palabras clave, y luego escribe una expresión utilizando variables y números para cada uno de los siguientes enunciados.

1. Justin puede mecanografiar w palabras por minuto. Melvin puede mecanografiar 4 veces más la cantidad de palabras que mecanografía Justin. Escribe una expresión que represente la tasa a la que Melvin mecanografía.

2. Ayer, Yohanna nadó y yardas. Sheylin nadó 5 yardas menos que la mitad de las yardas que nadó

Yohanna. Escribe una expresión que represente la cantidad de yardas que Sheylin nadó ayer.

3. Un número es d disminuido en 5 y luego duplicado.

4. Nahom tenía n tarjetas de béisbol, y Semir tenía s tarjetas de béisbol. Ellos juntaron sus tarjetas de

béisbol y luego vendieron 10.

5. La suma de 25 y h se divide por f al cubo.

Lección 16:



74


Lección 17: Escritura de expresiones en las que las letras representan


Ejercicios

Estación uno

1. La suma de 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏.

2. Cinco más que dos veces el número 𝑐𝑐.

3. Martha compró 𝑑𝑑 manzanas y luego comió 6.

Estación dos

1. 14 disminuido en 𝑝𝑝.

2. El total de 𝑑𝑑 y 𝑓𝑓, dividido 8.

3. Rashod anotó 6 menos que 3 veces la cantidad de canastas de Mike. Mike anotó 𝑏𝑏 canastas.

Estación tres

1. El cociente de 𝑐𝑐 y 6.

2. Triplica la suma de 𝑥𝑥 y 17.

3. Gabrielle tenía 𝑏𝑏 botones, pero luego perdió 6. Gabrielle tomó los botones restantes y los dividió en partes iguales entre sus 5 amigos.

Lección 17:



75


Estación cuatro

1. 𝑑𝑑 duplicado.

2. Tres más que 4 veces un número 𝑥𝑥.

3. Mali tenía 𝑐𝑐 caramelos. Duplicó la cantidad de caramelos que tenía y luego regaló 15.

Estación cinco

1. 𝑓𝑓 al cubo.

2. La cantidad de 4 se aumenta en 𝑎𝑎, y luego esa suma se divide por 9.

3. Tai ganó 4 puntos menos que el doble de los puntos de Oden. Oden ganó 𝑝𝑝 puntos.

Estación seis

1. La diferencia entre 𝑑𝑑 y 8.

2. 6 menos que la suma de 𝑑𝑑 y 9.

3. Adalyn tenía 𝑥𝑥 pantalones y 𝑠𝑠 camisetas. Luego, los juntó y vendió la mitad de ellos. ¿Cuántas prendas vendió Adalyn?

Lección 17:



76

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 17 6 4 Conjunto de problemas Escribe una expresión utilizando letras o números para cada uno de los siguientes problemas.

1. 4 menos que la cantidad de 8 veces 𝑛𝑛. 2. 6 veces la suma de 𝑦𝑦 y 11. 3. El cuadrado de 𝑚𝑚 disminuido en 49. 4. El cociente que resulta de dividir la cantidad de 17 más 𝑝𝑝 por 8. 5. Jim ganó 𝑗𝑗 en propinas, y Steve ganó 𝑠𝑠 en propinas. Juntaron sus propinas y luego las dividieron en

partes iguales. 6. Owen tenía 𝑐𝑐 tarjetas de colección. Él cuadruplicó la cantidad de tarjetas que tenía y luego las juntó

con Ian, que tenía 𝑖𝑖 tarjetas de colección. 7. Rae corrió 4 veces más que la cantidad de millas que corrieron Madison y Aaliyah juntas. Madison

corrió 𝑚𝑚 millas, y Aaliyah corrió 𝑎𝑎 millas. 8. Mary Jo pudo disminuir el precio de venta de sus artículos de almacén (𝑔𝑔) en $125 utilizando cupones. 9. Para calcular el área de un triángulo, encuentra el producto de la base y la altura, y luego divídelo por 2. 10. La temperatura de hoy fue de 10 grados menos que el doble de la temperatura de ayer (𝑡𝑡).

Lección 17:



77


Lección 18: Escritura y evaluación de expresiones - Suma y resta Trabajo en clase

Ejercicio inicial

¿Cómo puedes mostrar un número aumentado en 2? ¿Puedes probar esto utilizando un modelo?

Ejemplo 1: La importancia de ser específico al nombrar variables

Al nombrar las variables de expresiones, es importante ser muy claro acerca de lo que representan. Si se mide algo, se deben incluir las unidades de medida. Ejercicios

1. Lee la variable de la tabla y mejora la descripción proporcionada, haciéndola más específica.

Variable Descripción incompleta Descripción completa con unidades

Velocidad de Joshua (J) J = velocidad de Joshua

Altura de Rufus (R) R = altura de Rufus

Leche vendida (L) L = cantidad de leche vendida

Tiempo de Colleen en los 40 metros con obstáculos (C)

C = tiempo de Colleen

Edad de Sean (S) S = edad de Sean

Lección 18:

Escritura y evaluación de expresiones - Suma y resta S.78


78

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 18 6 4 2. Lee cada variable de la tabla y mejora la descripción proporcionada, haciéndola más específica.

Variable Descripción incompleta Descripción completa con unidades

Discos compactos de Karolyn (K) K = discos compactos de Karolyn K = cantidad de discos compactos

que tiene Karolyn

Insignias al mérito de Joshua (J) J = insignias al mérito de Joshua

Tarjetas para intercambiar de Rufus (R)

R = tarjetas para intercambiar de Rufus

Dinero de leche (M) M = cantidad de dinero de leche

Ejemplo 2: Escritura y evaluación de expresiones de suma y resta

Lee cada problema. Identifica la cantidad desconocida y escribe la expresión de suma o de resta que se describe. Finalmente, evalúa tu expresión utilizando la información proporcionada en la columna cuatro.

Problema Descripción con

unidades Expresión

Evalúa la expresión si:

Muestra tu trabajo y evalúa

Gregg tiene dos dólares más que su hermano Jeff.

Escribe una expresión para la cantidad de

dinero que tiene Gregg.

𝑗𝑗 = dinero de Jeff en dólares

j + 2 Jeff tiene $12.

j + 2 12 + 2

14 Gregg tiene $14.

Gregg tiene dos dólares más que su hermano Jeff.

Escribe una expresión para la cantidad de

dinero que tiene Jeff.

𝑔𝑔 = dinero de Gregg en dólares

g - 2 Gregg tiene $14.

g - 2 14 - 2

12 Jeff tiene $12.

Abby leyó 8 libros más que Kristen en el primer período de calificación. Escribe una expresión

para la cantidad de libros que leyó Abby.

Kristen leyó 9 libros en el

primer período de calificación.

Lección 18:



79


Abby leyó 6 libros más que Kristen en el segundo

período de calificación. Escribe una expresión para

la cantidad de libros que leyó Kristen.

Abby leyó 20 libros en el

segundo período de calificación.

Daryl ha estado enseñando un año más que Julie.

Escribe una expresión para la cantidad de años que

Daryl ha estado enseñando.

Julie ha estado

enseñando durante 28 años.

Ian anotó 4 goles menos que Julia en la primera mitad de la temporada.

Escribe una expresión para la cantidad de goles que

anotó Ian.

Julia anotó 13

goles.

Ian anotó 3 goles menos que Julia en la segunda mitad de la temporada.

Escribe una expresión para la cantidad de goles que

anotó Julia.

Ian anotó 8 goles.

Johann visitó las cataratas del Niágara 3 veces menos

que Arthur. Escribe una expresión para la cantidad de veces que Johann visitó las cataratas del Niágara.

Arthur visitó las

cataratas del Niágara 5 veces.

Lección 18:



80

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 18 6 4 Conjunto de problemas 1. Lee el problema. Identifica la cantidad desconocida y escribe la expresión de suma o de resta que se

describe. Finalmente, evalúa tu expresión utilizando la información proporcionada en la columna cuatro.

Problema Descripción con unidades

Expresión Evalúa la expresión si:

Muestra tu trabajo y evalúa

Sammy tiene dos pelotas de béisbol más que su

hermano Ethan.

𝑒𝑒 = la cantidad de pelotas que tiene

Ethan e + 2

Ethan tiene 7 pelotas de

béisbol.

𝑒𝑒 + 2 7 + 2

9 Sammy tiene 9

pelotas de béisbol.

Ella escribió 8 historias más que Anna en quinto

grado.

Anna escribió 10 historias en quinto grado.

Lisa ha estado bailando 3 años más que Danika.

Danika ha estado bailando durante

6 años.

Los New York Rangers anotaron 2 goles menos

que Buffalo Sabres anoche.

Los Rangers

anotaron 3 goles anoche.

George ha ido de campamento 3 veces

menos que Dave.

George ha ido de campamento

8 veces.

2. Si George fue de campamento 15 veces, ¿cómo podrías averiguar cuántas veces fue Dave de campamento?

Lección 18:



81


Lección 19: El uso de la sustitución para evaluar expresiones de suma y

de resta Trabajo en clase

Ejercicio inicial

Mi hermana mayor tiene exactamente dos años más que yo. Compartir un cumpleaños es divertido, pero también molesto. Cada año hacemos una fiesta para nuestro cumpleaños, lo cual es divertido, pero ella siempre se jacta de que tiene dos años más que yo, lo cual es molesto. A continuación, hay una tabla de nuestras edades, que comienza desde el momento en que yo nací:

Mi edad (en años) La edad de mi hermana (en años)

0 2

1 3

2 4

3 5

4 6

a. Mirando la tabla, ¿qué patrones ves? Dile a un compañero.

b. El día que cumplí 8 años, ¿cuántos años tenía mi hermana?

c. ¿Cómo lo sabes?

d. El día que cumplí 16 años, ¿cuántos años tenía mi hermana?

e. ¿Cómo lo sabes?

f. ¿Necesitamos ampliar la tabla para calcular estas respuestas?

Lección 19:

El uso de la sustitución para evaluar expresiones de suma y de resta S.82


82


Ejemplo 1


0 2

1 3

2 4

3 5

4 6

a. ¿Qué ocurre si no sabes qué edad tengo? Utilicemos una variable para mi edad. Haz que 𝑌𝑌 = mi

edad en años. ¿Puedes desarrollar una expresión para describir cuántos años tiene mi hermana? b. Agrega eso a la última fila de la tabla.

Ejemplo 2


0 2

1 3

2 4

3 5

4 6

a. ¿Qué edad tenía yo cuando mi hermana tenía 6 años?

b. ¿Qué edad tenía yo cuando mi hermana tenía 15 años?

c. ¿Cómo lo sabes?

Lección 19:



83


d. Mira la tabla del ejemplo 2. Si sabes la edad de mi hermana, ¿puedes determinar mi edad?

e. Si utilizamos la variable 𝐺𝐺 para la edad de mi hermana en años, ¿qué expresión describiría mi

edad en años?

f. Completa la última fila de la tabla con las expresiones.

g. Con un compañero, calcula qué edad tenía yo cuando mi hermana tenía 22, 23 y 24 años.

Ejercicios

1. Noah y Carter están juntando tapas de cajas para su escuela. Cada uno llevó 1 tapa de caja por día desde el primer día de escuela. Sin embargo, Carter tuvo una ventaja porque su tía le envió 15 tapas de cajas antes de que comenzara la escuela. La abuela de Noah guardó 10 tapas de cajas, y Noah las sumó en su primer día.

a. Completa los valores faltantes que indiquen la cantidad total de tapas de cajas que llevó cada niño a la escuela.

Día escolar Cantidad de tapas de cajas que

tiene Noah Cantidad de tapas de cajas que

tiene Carter 1 11 16 2 3 4 5

b. Si hacemos que 𝐷𝐷 sea la cantidad de días desde que comenzó el nuevo año escolar, el día 𝐷𝐷 de

escuela, ¿cuántas tapas de cajas habrá llevado Noah a la escuela?

c. El día 𝐷𝐷 de escuela, ¿cuántas tapas de cajas habrá llevado Carter a la escuela?

d. El día 10 de escuela, ¿cuántas tapas de cajas habrá llevado Noah a la escuela?

e. El día 10 de escuela, ¿cuántas tapas de cajas habrá llevado Carter a la escuela?

Lección 19:



84

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 19 6 4 2. Cada semana, la escuela primaria recicla 200 libras de papel. La escuela intermedia también recicla la

misma cantidad, pero tiene un remanente de 300 libras de la escuela de verano. El conserje de la escuela intermedia agregó estas 300 libras adicionales a la primera semana de reciclaje.

a. Enumera las semanas y anota la cantidad de papel reciclado por ambas escuelas.

Semana Cantidad total de papel reciclado por la escuela primaria este año

escolar en libras

Cantidad total de papel reciclado por la escuela intermedia este año

escolar en libras

b. Si esta tendencia continúa, ¿cuál será la cantidad total recolectada por cada escuela en la semana 10?

3. Shelly y Kristen comparten el día de cumpleaños, pero Shelly es 5 años mayor.

a. Haz una tabla que muestre sus edades por año, que comience desde el momento en que nació Kristen.

b. Si Kristen tiene 16 años, ¿qué edad tiene Shelly? c. Si Kristen tiene 𝐾𝐾 años, ¿qué edad tiene Shelly? d. Si Shelly tiene 𝑆𝑆 años, ¿qué edad tiene Kristen?

Lección 19:



85

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 19 6 4 Conjunto de problemas 1. Suellen y Tara están en sexto grado, y ambas toman clases de danza en Twinkle Toes Dance Studio.

Este es el primer año que Suellen toma clases de danza, mientras que, para Tara, es el quinto año. Ambas niñas planean continuar tomando clases durante la escuela secundaria. a. Completa la tabla con la cantidad de años que las niñas han bailado en el estudio.

Grado Años de experiencia en danza de Suellen

Años de experiencia en danza de Tara

Sexto Séptimo Octavo Noveno Décimo

Décimo primero Décimo segundo

b. Si Suellen ha estado tomando clases de danza durante 𝑌𝑌 años, ¿cuántos años ha estado tomando

clases Tara? 2. Daejoy y Damian coleccionan fósiles. Antes de salir de viaje en búsqueda de fósiles, Daejoy tenía 25

fósiles en su colección, y Damian tenía 16 fósiles en la suya. En un viaje de 10 días en búsqueda de fósiles, cada uno recogió 2 fósiles nuevos por día. a. Haz una tabla que muestre cuántos fósiles tenía cada uno en su colección al final de cada día.

b. Si este patrón de hallazgo de fósiles continúa, ¿cuántos fósiles tendrá Damian cuando Daejoy

tenga 𝐹𝐹 fósiles?

c. Si este patrón de hallazgo de fósiles continúa, ¿cuántos fósiles tendrá Damian cuando Daejoy tenga 55 fósiles?

Lección 19:



86

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 19 6 4 3. Un tren tiene tres tipos de vagones: furgones, una locomotora y un vagón de cola. La relación entre

los tipos de vagones se demuestra en la siguiente tabla.

Cantidad de furgones Cantidad de vagones en el tren 0 2 1 3 2 4

10 12 100 102

a. Tom escribió una expresión para la relación que se muestra en la tabla como 𝐵𝐵 + 2. Theresa escribió una expresión para la misma relación como 𝐶𝐶 - 2. ¿Es posible tener dos expresiones diferentes para representar una relación? Explica.

b. ¿Qué crees que representa la variable de la expresión de cada estudiante? ¿Cómo las definirías? 4. David tenía 3 años cuando nació Marieka. Completa la tabla.

Edad de Marieka en años Edad de David en años 5 8 6 9 7 10 8 11

10 20

32 M D

5. Caitlin y Michael están jugando a las cartas. En la primera ronda, Caitlin obtuvo 200 puntos, y Michael

obtuvo 175 puntos. En cada una de las siguientes rondas, obtuvieron 50 puntos cada uno. Su hoja de puntajes se encuentra a continuación.

Puntos de Caitlin Puntos de Michael 200 175 250 225 300 275 350 325

a. Si esta tendencia continúa, ¿cuántos puntos tendrá Michael cuando Caitlin tenga 600 puntos? b. Si esta tendencia continúa, ¿cuántos puntos tendrá Michael cuando Caitlin tenga 𝐶𝐶 puntos? c. Si esta tendencia continúa, ¿cuántos puntos tendrá Caitlin cuando Michael tenga 975 puntos? d. Si esta tendencia continúa, ¿cuántos puntos tendrá Caitlin cuando Michael tenga 𝑀𝑀 puntos?

Lección 19:



87

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 19 6 4 6. La banda de marcha de la escuela secundaria tiene 15 tamborileros este año. El director de la banda

insiste en que debe haber 5 trompetistas más que tamborileros en todo momento. a. ¿Cuántos trompetistas hay en la banda de marcha este año?

b. Escribe una expresión que describa la relación entre la cantidad de trompetistas (𝑇𝑇) y la cantidad de tamborileros (𝐷𝐷).

c. Si solo hay 14 trompetistas interesados en unirse a la banda de marcha el próximo año, ¿cuántos tamborileros querrá que haya en la banda el director?

Lección 19:



88


Lección 20: Escritura y evaluación de expresiones - Multiplicación y división Trabajo en clase

Ejemplo 1

1. El mercado de agricultores está vendiendo bolsas de manzanas. En cada bolsa, hay 3 manzanas. a. Completa la tabla.

Cantidad de bolsas Cantidad total de manzanas

1 3

2

3

4

B

b. ¿Qué ocurriría si el mercado tuviera 25 bolsas de manzanas para vender? ¿Cuántas manzanas

representa eso en total? c. Si llegara un camión con una cantidad (𝑎𝑎) más de manzanas, ¿cuántas bolsas utilizarían los

empleados para embolsarlas? d. Si llegara un camión con 600 manzanas más, ¿cuántas bolsas utilizarían los empleados para

embolsarlas? e. ¿En qué se diferencia la parte (d) de la parte (b)?

Lección 20:

Escritura y evaluación de expresiones - Multiplicación y división S.89


89


1. En el estado de Nueva York, hay un depósito de cinco centavos para todas las latas y botellas de bebidas carbonatadas. Cuando devuelves la lata o la botella vacía, recibes los cinco centavos de regreso.

a. Completa la tabla.

Cantidad de envases devueltos Devolución en dólares

1

2

3

4

10

50

100

C

b. Si hacemos que 𝐶𝐶 represente la cantidad de latas, ¿cuál es la expresión que muestra cuánto

dinero se devolvió? c. Utiliza la expresión para averiguar cuánto dinero recibiría Brett si devolviera 222 latas. d. Si Gavin necesita ganar $4.50 por devolver latas, ¿cuántas latas necesita juntar y devolver? e. ¿En qué se diferencia la parte (d) de la parte (c)?

Lección 20:



90

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 20 6 4 2. La tarifa de un subterráneo o de un autobús local es de $2.50.

a. Completa la tabla.

Cantidad de viajes Costo de los viajes en dólares

1

2

3

4

5

10

30

R

b. Si hacemos que 𝑅𝑅 represente la cantidad de viajes, ¿cuál es la expresión que muestra el costo de

los viajes? c. Utiliza la expresión para averiguar cuánto dinero costarían 60 viajes. d. Si un pasajero gastó $175.00 en viajes de subterráneo o de autobús, ¿cuántos viajes realizó el

pasajero? e. ¿En qué se diferencia la parte (d) de la parte (c)?

Lección 20:



91


Problema de desafío

3. Un péndulo oscila una cantidad determinada de ciclos en un tiempo determinado. Owen hizo unpéndulo que oscila 12 veces cada 15 segundos.

a. Haz una tabla que muestre la cantidad de ciclos que oscila el péndulo. Incluye datos de hasta unminuto. Utiliza la última fila para 𝐶𝐶 ciclos y escribe una expresión para el tiempo que le toma alpéndulo hacer 𝐶𝐶 ciclos.

b. Owen y su equipo del péndulo pusieron su péndulo en movimiento y contaron 16 ciclos. ¿Cuántotiempo pasó?

c. Escribe una expresión para la cantidad de ciclos que oscila el péndulo en 𝑆𝑆 segundos.

d. En un experimento diferente, Owen y su equipo del péndulo contaron los ciclos del péndulodurante 35 segundos. ¿Cuántos ciclos contaron?

Lección 20: Escritura y evaluación de expresiones - Multiplicación y división S.92


92

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 20 6 4 Conjunto de problemas 1. Una estación de radio reproduce 12 canciones por hora. Nunca se detiene para pasar comerciales,

noticias, el clima o informes de tránsito. a. Escribe una expresión que describa cuántas canciones reproduce la estación de radio en 𝐻𝐻 horas.

b. ¿Cuántas canciones se reproducirán en un día entero (24 horas)?

c. ¿Cuánto tiempo le toma a la estación de radio reproducir 60 canciones consecutivas? 2. Un área de esquí tiene una aerosilla de alta velocidad que puede trasladar a 2400 esquiadores por

hora hasta la cima de la montaña.

a. Escribe una expresión que describa a cuántos esquiadores se puede subir en 𝐻𝐻 horas.

b. ¿A cuántos esquiadores se puede trasladar hasta la cima de la montaña en 14 horas?

c. ¿Cuánto tiempo tomará trasladar 3600 esquiadores hasta la cima de la montaña?

3. Polly escribe una columna para una revista, por la que gana $35 por hora. Crea una tabla de valores

en la que se muestre la relación entre la cantidad de horas que Polly trabaja (𝐻𝐻) y la cantidad de dinero que gana en dólares (𝐸𝐸).

a. Si sabes cuántas horas trabaja Polly, ¿puedes determinar cuánto dinero ganó? Escribe la

expresión correspondiente.

b. Utiliza tu expresión para determinar cuánto ganó Polly después de trabajar durante 3 12 horas.

c. Si sabes cuánto dinero ganó Polly, ¿puedes determinar cuánto tiempo trabajó? Escribe la expresión correspondiente.

d. Utiliza tu expresión para determinar cuánto tiempo trabajó Polly si ganó $52.50.

Lección 20:



93

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 20 6 4 4. Mitchell entrega periódicos después de la escuela, por lo que gana $0.09 por periódico. Crea una

tabla de valores en la que se muestre la relación entre la cantidad de periódicos que entrega Mitchell (𝑃𝑃) y la cantidad de dinero que gana en dólares (𝐸𝐸).

a. Si sabes cuántos periódicos entregó Mitchell, ¿puedes determinar cuánto dinero ganó? Escribe la expresión correspondiente.

b. Utiliza tu expresión para determinar cuánto ganó Mitchell por entregar 300 periódicos.

c. Si sabes cuánto dinero ganó Mitchell, ¿puedes determinar cuántos periódicos entregó? Escribe la expresión correspondiente.

d. Utiliza tu expresión para determinar cuántos periódicos entregó Mitchell si ganó $58.50 la semana pasada.

5. Randy es un comerciante de arte que vende reproducciones de pinturas famosas. Las copias de la

Mona Lisa se venden a $475.

a. El año pasado, Randy vendió $9,975 en reproducciones de la Mona Lisa. ¿Cuántas vendió?

b. Si Randy quiere aumentar sus ventas a, al menos, $15,000 este año, ¿cuántas copias necesitará vender (sin cambiar el precio de cada pintura)?

Lección 20:



94


Lección 21: Escritura y evaluación de expresiones - Multiplicación y suma

Trabajo en clase

Ejercicio de modelos matemáticos

El restaurante Italian Villa tiene mesas cuadradas que los mozos pueden unir para ubicar a los clientes. Solo entra una silla en el lateral de una mesa cuadrada. Haz un modelo de cada situación para determinar cuántas sillas entrarán alrededor de varias mesas rectangulares.

Cantidad de mesas cuadradas Cantidad de asientos en la mesa

1

2

3

4

5

50

200

T

¿Hay otras maneras de pensar en soluciones para este problema? No es práctico hacer un modelo en el que se juntan 50 mesas para formar un gran rectángulo. Si tuviéramos un rectángulo tan largo, ¿cuántas sillas entrarían en los laterales largos de la mesa? ¿Cuántas sillas entran en los extremos de la mesa larga?

Lección 21:

Escritura y evaluación de expresiones - Multiplicación y suma S.95


95


¿Cuántas sillas entran en total? Anótalo en tu tabla.

Trabaja con tu grupo para determinar cuántas sillas entrarían alrededor de una mesa rectangular muy larga si se unieran 200 mesas cuadradas.

Si hacemos que 𝑇𝑇 represente la cantidad de mesas cuadradas que forman una mesa rectangular larga, ¿cuál es la expresión para la cantidad de sillas que entrarán alrededor de ella?

Ejemplo 1

Mira el ejemplo 1 con tu grupo. Determina el costo de diferentes cantidades de pizzas y también la expresión que describe el costo de entregar 𝑃𝑃 pizzas.

a. Pizza Queen tiene una oferta especial de pizzas para el almuerzo: cada una cuesta $4.00. Cobran$2.00 por la entrega, independientemente de la cantidad de pizzas que se pidan. Determina elcosto de diferentes cantidades de pizzas y también la expresión que describe el costo deentregar 𝑃𝑃 pizzas.

Cantidad de pizzas entregadas Costo total en dólares 1 2 3 4

10 50 P

¿Qué operaciones matemáticas necesitaste realizar para encontrar el costo total?

Suponte que nuestro director quisiera comprar una pizza para todos los de nuestra clase. Determina cuánto costaría esto.

Lección 21: Escritura y evaluación de expresiones - Multiplicación y suma S.96


96


b. Si el club de apoyo tuviera $400 para gastar en pizzas, ¿cuál es la mayor cantidad de pizzas que podrían pedir?

c. Si el precio de la pizza subió a $5.00 y el precio de entrega subió a $3.00, crea una tabla que

muestre el costo total (pizza más entrega) de 1, 2, 3, 4 y 5 pizzas. Incluye la expresión que describe el nuevo costo de pedir 𝑃𝑃 pizzas.

Cantidad de pizzas entregadas Costo total en dólares

1

2

3

4

5

P

Lección 21:



97

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 21 6 4 Conjunto de problemas 1. Los discos compactos (CD) cuestan $12 cada uno en Music Emporium. La empresa cobra $4.50 por el

envío y la entrega, independientemente de la cantidad de discos compactos que se compren.

a. Crea una tabla de valores en la que se muestre la relación entre la cantidad de discos compactos que compra Mickey (𝐷𝐷) y la cantidad de dinero que gasta en dólares (𝐶𝐶).

Cantidad de discos compactos que compra Mickey (D)

Costo total en dólares (C)

1 2 3

b. Si sabes cuántos discos compactos pide Mickey, ¿puedes determinar cuánto dinero gasta?

Escribe la expresión correspondiente.

c. Utiliza tu expresión para determinar cuánto gasta Mickey al comprar 8 discos compactos. 2. La clase del señor Gee pide libros de tapa blanda a un club de lectores. Los libros cuestan $2.95 cada uno.

Los cargos por envío se fijan en $4.00, independientemente de la cantidad de libros que se compren.

a. Crea una tabla de valores en la que se muestre la relación entre la cantidad de libros que compra la clase del señor Gee (𝐵𝐵) y la cantidad de dinero que gasta en dólares (𝐶𝐶).

Cantidad de libros pedidos (B) Cantidad de dinero gastado en

dólares (C) 1 2 3

b. Si sabes cuántos libros pide la clase del señor Gee, ¿puedes determinar cuánto dinero gasta?

Escribe la expresión correspondiente. c. Utiliza tu expresión para determinar cuánto gasta la clase del señor Gee al comprar 24 libros.

Lección 21:



98


3. Sarah está ahorrando dinero para hacer un viaje a Oregon. Recibió $450 en regalos de graduación yahorra $120 a la semana por trabajar.

a. Escribe una expresión que muestre cuánto dinero tiene Sarah después de trabajar 𝑊𝑊 semanas.

b. Crea una tabla que muestre la relación entre la cantidad de dinero que tiene Sarah (𝑀𝑀) y lacantidad de semanas que trabaja (𝑊𝑊).

Cantidad de dinero que tiene Sarah (M) Cantidad de semanas trabajadas (W) 1 2 3 4 5 6 7 8

c. El viaje costará $1,200. ¿Cuántas semanas tendrá que trabajar Sarah para ganar lo suficientepara el viaje?

4. La clase de Lengua y Literatura del señor Gee lleva un registro de la cantidad de palabras por minuto quecada estudiante lee en voz alta. Recaba estos datos de fluidez de lectura oral cada mes. A continuación,se encuentran los datos recabados de un estudiante durante los primeros cuatro meses de escuela.a. Imagina que este aumento en la fluidez de lectura oral continúa a lo largo del resto del año escolar.

Completa la tabla para proyectar la tasa de lectura de este estudiante durante el resto del año.

Mes Cantidad de palabras leídas en voz alta en un minuto

Septiembre 126 Octubre 131

Noviembre 136 Diciembre 141

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

b. Si este aumento en la fluidez de lectura oral continúa a lo largo del resto del año escolar,¿cuándo alcanzaría este estudiante la meta de leer 165 palabras por minuto?

c. La expresión de la fluidez de lectura oral de este estudiante es 121 + 5𝑚𝑚, donde 𝑚𝑚 representa lacantidad de meses del año escolar. Utiliza esta expresión para determinar cuántas palabras porminuto leería el estudiante después de 12 meses de instrucción.

Lección 21: Escritura y evaluación de expresiones - Multiplicación y suma S.99


99

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 21 6 4 5. Cuando las semillas de maíz germinan, tienden a crecer 5 pulgadas en la primera semana y luego 3

pulgadas por semana durante el resto de la temporada. A continuación, se muestra la relación entre la altura (𝐻𝐻) y la cantidad de semanas desde la germinación (𝑊𝑊).

a. Completa los valores faltantes de la tabla.

Cantidad de semanas desde la germinación (W) Altura de la planta de maíz (H) 1 5 2 8 3 11 4 14 5 6

b. La expresión para esta altura es 2 + 3𝑊𝑊. ¿Qué tan alta será la planta de maíz después de 15

semanas de crecimiento? 6. La empresa Honeymoon Charter Fishing Boat solamente admite parejas recién casadas en sus viajes

al amanecer. Hay un capitán, un primer oficial y un marinero de cubierta que tripulan el barco en estos viajes. a. Escribe una expresión que muestre la cantidad de personas que hay en el barco cuando hay

𝐶𝐶 parejas registradas para el viaje.

b. Si el barco puede albergar un máximo de 20 personas, ¿cuántas parejas pueden ir al viaje de pesca al amanecer?

Lección 21:



100


Lección 22: Escritura y evaluación de expresiones - Exponentes Trabajo en clase

Ejemplo 1: Hoja para plegar

Ejercicios 1. Predice cuántas veces puedes plegar una hoja a la mitad.

Mi predicción: ______________ 2. Antes de realizar cualquier pliegue (cero pliegues), solo hay una capa de papel. Esto se anota en la

primera fila de la tabla. Pliega tu hoja a la mitad. Anota la cantidad de capas de papel que quedan. Continúa todo lo que puedas.

Cantidad de pliegues Cantidad de capas de papel

que quedan Cantidad de capas de papel escritas como potencia de 2

0 1 20

1

2

3

4

5

6

7

8

a. ¿Puedes continuar plegando la hoja infinitamente? ¿Por qué sí o por qué no? b. ¿Cómo podrías utilizar una calculadora para encontrar el siguiente número de la serie?

Lección 22:

Escritura y evaluación de expresiones - Exponentes S.101


101


c. ¿Cuál es la relación entre la cantidad de pliegues y la cantidad de capas? d. ¿Cómo se representa esta relación en la forma exponencial de la expresión numérica? e. Si pliegas una hoja 𝑓𝑓 veces, escribe una expresión para mostrar la cantidad de capas de papel.

3. Si la hoja se tuviera que cortar en lugar de plegar, la altura de la pila se duplicaría en cada etapa

sucesiva y sería posible continuar.

a. Escribe una expresión que describa cuántas capas de papel quedan luego de 16 cortes. b. Evalúa esta expresión escribiéndola en forma estándar.

Ejemplo 2: Infección bacteriana

Las bacterias son organismos microscópicos unicelulares que se reproducen de un par de maneras diferentes, una de las cuales se llama fisión binaria. En la fisión binaria, una bacteria aumenta su tamaño hasta que es lo suficientemente grande como para dividirse en dos partes idénticas. Estas dos crecen hasta que son lo suficientemente grandes como para dividirse en dos bacterias individuales. Esto continúa mientras las condiciones de crecimiento sean favorables.

Lección 22:



102


a. Anota la cantidad de bacterias que quedan luego de cada generación.

Generación Cantidad de bacterias Cantidad de bacterias

escrita como potencia de 2 1 2 21

2 4 22 3 6 23

4

5

6

7

8 9

10

11

12

13

14

b. ¿Cuántas generaciones harían falta para que haya más de un millón de bacterias presentes? c. En las condiciones de crecimiento adecuadas, muchas bacterias se pueden reproducir cada 15

minutos. En estas condiciones, ¿cuánto tiempo le tomaría a una bacteria reproducirse en más de un millón de bacterias?

d. Escribe una expresión para la cantidad de bacterias que habría presentes después de 𝑔𝑔 generaciones.

Lección 22:



103


Ejemplo 3: Volumen de un sólido rectangular

Esta caja tiene un ancho (𝑤𝑤). El alto de la caja (ℎ) es de dos veces el ancho. El largo de la caja (𝑙𝑙) es de tres veces el ancho. Es decir, el ancho, el alto y el largo de un prisma rectangular tienen una razón de 1:2:3.

Para sólidos rectangulares como este, el volumen se calcula multiplicando el largo por el ancho por el alto.

𝑉𝑉 = 𝑙𝑙 · 𝑤𝑤 · ℎ 𝑉𝑉 = 3𝑤𝑤 · 𝑤𝑤 · 2𝑤𝑤 𝑉𝑉 = 3 · 2 · 𝑤𝑤 · 𝑤𝑤 · 𝑤𝑤 𝑉𝑉 = 6𝑤𝑤3

Sigue el ejemplo anterior para calcular el volumen de estos sólidos rectangulares, de acuerdo con el ancho (𝑤𝑤).

Ancho en centímetros (cm) Volumen en centímetros cúbicos (cm3)

1

2

3

4

w

Lección 22:



104



1. Un tablero de ajedrez tiene 64 cuadrados.

a. Si se coloca un grano de arroz en el primer cuadrado, 2 granos de arroz en el segundo cuadrado, 4 granos de arroz en el tercer cuadrado, 8 granos de arroz en el cuarto cuadrado, etc. (cada vez duplicando la cantidad), completa la tabla para mostrar cuántos granos de arroz hay en cada cuadrado. Escribe tus respuestas en forma exponencial en la siguiente tabla.

Cuadrado del tablero de

ajedrez

Granos de arroz


ajedrez

Granos de arroz


ajedrez

Granos de arroz


ajedrez

Granos de arroz

1 17 33 49 2 18 34 50 3 19 35 51 4 20 36 52 5 21 37 53 6 22 38 54 7 23 39 55 8 24 40 56 9 25 41 57

10 26 42 58 11 27 43 59 12 28 44 60 13 29 45 61 14 30 46 62 15 31 47 63 16 32 48 64

b. ¿Cuántos granos de arroz habría en el último cuadrado? Representa tu respuesta en forma exponencial y en forma estándar. Utiliza la tabla anterior para ayudarte a resolver el problema.

c. ¿Hubiera sido más fácil escribir tu respuesta a la parte (b) en forma exponencial o en forma estándar?

2. Si una cantidad de dinero se invierte a una tasa de interés anual del 6%, se duplica cada 12 años. Si Alejandra invierte $500, ¿cuánto tiempo tomará que su inversión alcance los $2,000 (suponiendo que no aporte ningún monto adicional)?

Lección 22:



105

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 22 6 4 3. El director de Atletismo de la escuela de Peter ha creado una cadena telefónica que se utiliza para

notificar a los jugadores del equipo en caso de que se tenga que cancelar o reprogramar un partido. La cadena telefónica se inicia cuando el director llama a dos capitanes. Durante la segunda etapa de la cadena telefónica, los capitanes llaman a dos jugadores cada uno. Durante la tercera etapa de la cadena telefónica, estos jugadores llaman a otros dos jugadores cada uno. La cadena continúa hasta que se haya notificado a todos los jugadores. Si hay 50 jugadores en los equipos, ¿cuántas etapas tomará notificar a todos los jugadores?

Lección 22:



106


Lección 23: Cuentas verdaderas y falsas Trabajo en clase

Ejercicio inicial

Determina qué representa cada símbolo y proporciona un ejemplo.

Símbolo Qué representa el símbolo Ejemplo

=

>

<

≤

≥

Ejemplo 1

Para cada ecuación o desigualdad que muestre tu maestro, escribe la ecuación o la desigualdad, y luego reemplaza cada 𝑥𝑥 por 3. Determina si la ecuación o la desigualdad da como resultado una cuenta verdadera o una falsa.

Lección 23:

Cuentas verdaderas y falsas S.107


107


Reemplaza el valor indicado en la variable e indica (en una cuenta completa) si la cuenta resultante es verdadera o falsa. Si es verdadera, encuentra un valor que daría como resultado una cuenta falsa. Si es falsa, encuentra un valor que daría como resultado una cuenta verdadera.

1. 4 + 𝑥𝑥 = 12. Reemplaza 𝑥𝑥 por 8.

2. 3𝑔𝑔 > 15. Reemplaza g por 4 12.

3. 𝑓𝑓4 < 2. Reemplaza 𝑓𝑓 por 8.

4. 14.2 ≤ ℎ - 10.3. Reemplaza ℎ por 25.8.

5. 4 = 8ℎ

. Reemplaza ℎ por 6.

6. 3 > 𝑘𝑘 + 14. Reemplaza k por 1 1

2.

7. 4.5 - 𝑑𝑑 > 2.5. Reemplaza 𝑑𝑑 por 2.5.

8. 8 ≥ 32𝑝𝑝. Reemplaza 𝑝𝑝 por 12.

9. 𝑤𝑤

2 < 32. Reemplaza 𝑤𝑤 por 16.

10. 18 ≤ 32 - 𝑏𝑏. Reemplaza 𝑏𝑏 por 14.

Lección 23:



108



CUENTA: una cuenta es un enunciado de igualdad (o de desigualdad) entre dos expresiones numéricas. VALORES DE VERDAD DE UNA CUENTA: se dice que una cuenta que es una ecuación es verdadera si ambas expresiones numéricas dan como resultado el mismo número; de lo contrario, se dice que es falsa. Verdadero y falso se denominan valores de verdad. Las cuentas que son desigualdades también tienen valores de verdad. Por ejemplo, 3 < 4. 6 + 8 > 15 - 12 y (15 + 3)2 < 1000 - 32 son todas cuentas verdaderas, mientras que la cuenta 9 > 3(4) es falsa.

Conjunto de problemas Reemplaza el valor en la variable e indica (en una cuenta completa) si la cuenta resultante es verdadera o falsa. Si es verdadera, encuentra un valor que daría como resultado una cuenta falsa. Si es falsa, encuentra un valor que daría como resultado una cuenta verdadera.

1. 3 56 = 1 2

3 + ℎ. Reemplaza ℎ por 2 1

6.

2. 39 > 156𝑔𝑔. Reemplaza 𝑔𝑔 por 14.

3. 𝑓𝑓4 ≤ 3. Reemplaza 𝑓𝑓 por 12.

4. 121 - 98 ≥ 𝑟𝑟. Reemplaza 𝑟𝑟 por 23.

5. 54𝑞𝑞

= 6. Reemplaza q por 10.

Crea una cuenta utilizando la variable y el símbolo proporcionados. La cuenta que escribas debe ser verdadera para el valor proporcionado de la variable.

6. Variable: 𝑑𝑑 Símbolo: ≥ La cuenta es verdadera cuando 𝑑𝑑 se reemplaza por 5. 7. Variable: 𝑦𝑦 Símbolo: ≠ La cuenta es verdadera cuando 𝑦𝑦 se reemplaza por 10. 8. Variable: 𝑘𝑘 Símbolo: < La cuenta es verdadera cuando 𝑘𝑘 se reemplaza por 8. 9. Variable: 𝑎𝑎 Símbolo: ≤ La cuenta es verdadera cuando 𝑎𝑎 se reemplaza por 9.

Lección 23:



109


Lección 24: Cuentas verdaderas y falsas

Trabajo en clase

Ejercicio inicial

Indica si cada cuenta es verdadera o falsa. Si la cuenta es falsa, explica por qué.

a. 4 + 5 > 9 b. 3 · 6 = 18

c. 32 > 644

d. 78 - 15 < 68 e. 22 ≥ 11 + 12

Ejemplo 1

Escribe verdadero o falso si el número con el que se reemplaza 𝑔𝑔 da como resultado una cuenta verdadera o falsa.

Reemplaza g con

4g = 32 g = 8 3g ≥ 30 g ≥ 10 𝑔𝑔2

> 2 g > 4 30 ≥ 38 - g g ≥ 8

8

4

2

0

10

Lección 24:



110


Ejemplo 2

Indica cuándo las siguientes ecuaciones o desigualdades serán verdaderas y cuándo serán falsas.

a. 𝑟𝑟 + 15 = 25 b. 6 - 𝑑𝑑 > 0

c. 12 𝑓𝑓 = 15

d. 𝑦𝑦

3 < 10

e. 7𝑔𝑔 ≥ 42 f. 𝑎𝑎 - 8 ≤ 15

Ejercicios

Completa los siguientes problemas en pares. Indica cuándo las siguientes ecuaciones y desigualdades serán verdaderas y cuándo serán falsas.

1. 15𝑐𝑐 > 45

Lección 24:



111

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 24 6 4 2. 25 = 𝑑𝑑 - 10 3. 56 ≥ 2𝑒𝑒

4. ℎ5 ≥ 12

5. 45 > ℎ + 29 6. 4𝑎𝑎 ≤ 16 7. 3𝑥𝑥 = 24 Identifica todos los signos de igualdad y de desigualdad que se pueden colocar en los espacios en blanco para hacer que la cuenta sea verdadera.

8. 15 + 9 ______ 24

Lección 24:



112

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 24 6 4 9. 8 · 7 ______ 50

10. 152

______ 10

11. 34 ______ 17 · 2 12. 18 ______ 24.5 - 6

Lección 24:



113

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 24 6 4 Conjunto de problemas Indica cuándo las siguientes ecuaciones y desigualdades serán verdaderas y cuándo serán falsas. 1. 36 = 9𝑘𝑘 2. 67 > 𝑓𝑓 - 15 3. 𝑣𝑣

9 = 3

4. 10 + 𝑏𝑏 > 42 5. 𝑑𝑑 - 8 ≥ 35 6. 32𝑓𝑓 < 64 7. 10 - ℎ ≤ 7 8. 42 + 8 ≥ 𝑔𝑔 9. 𝑚𝑚

3 = 14

Lección 24:



114


Lección 25: Hallazgo de soluciones para hacer ecuaciones verdaderas Trabajo en clase

Ejercicio inicial

Identifica un valor para la variable que haría que cada ecuación o desigualdad sea una cuenta verdadera. ¿Es la única respuesta posible? Indica cuándo la ecuación o la desigualdad es verdadera utilizando símbolos de igualdad y de desigualdad.

a. 3 + 𝑔𝑔 = 15 b. 30 > 2𝑑𝑑

c. 15𝑓𝑓

< 5

d. 42 ≤ 50 - 𝑚𝑚

Lección 25:

Hallazgo de soluciones para hacer ecuaciones verdaderas S.115


115


Ejemplo 1

Cada uno de los siguientes números, si reemplaza a la variable, hace que una de las siguientes ecuaciones sea una cuenta verdadera. Une el número con la ecuación: 3, 6, 15, 16, 44.

a. 𝑛𝑛 + 26 = 32 b. 𝑛𝑛 - 12 = 32 c. 17𝑛𝑛 = 51 d. 42 = 𝑛𝑛 e. 𝑛𝑛

3 = 5

Lección 25:



116



VARIABLE: una variable es un símbolo (como una letra) que representa un número (es decir, es un marcador de posición para un número). Una variable es un marcador de posición para "un número" que no "varía".

EXPRESIÓN: una expresión es una expresión numérica o un resultado que se obtiene al reemplazar algunos números (o todos) de una expresión numérica con variables.

ECUACIÓN: una ecuación es un enunciado de igualdad entre dos expresiones. Si 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 son dos expresiones de la variable 𝑥𝑥, entonces 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 es una ecuación de la variable 𝑥𝑥.


Encuentra la solución de cada ecuación. 1. 43 = 𝑦𝑦 2. 8𝑎𝑎 = 24 3. 32 = 𝑔𝑔 - 4 4. 56 = 𝑗𝑗 + 29

5. 48𝑟𝑟

= 12

6. 𝑘𝑘 = 15 - 9

7. 𝑥𝑥 · 15 = 60

8. 𝑚𝑚 + 3.45 = 12.8 9. 𝑎𝑎 = 15

Lección 25:



117


Lección 26: Ecuaciones de un paso - Suma y resta

Trabajo en clase

Ejercicio 1

Resuelve cada ecuación. Utiliza tanto diagramas de cintas como métodos algebraicos para cada problema. Utiliza la sustitución para verificar tus respuestas.

a. 𝑏𝑏 + 9 = 15 b. 12 = 8 + 𝑐𝑐

Lección 26:

Ecuaciones de un paso - Suma y resta S.118


118

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 26 6 4 Ejercicio 2

Dada la ecuación 𝑑𝑑 - 5 = 7:

a. Demuestra cómo resolver la ecuación utilizando diagramas de cintas. b. Demuestra cómo resolver la ecuación de manera algebraica. c. Comprueba tu respuesta.

Lección 26:



119

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 26 6 4 Ejercicio 3

Resuelve cada problema y muestra tu trabajo. Puedes elegir qué método (diagramas de cintas o manera algebraica) prefieres. Comprueba tus respuestas después de resolver cada problema.

a. 𝑒𝑒 + 12 = 20 b. 𝑓𝑓 - 10 = 15 c. 𝑔𝑔 - 8 = 9

Lección 26:



120

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 26 6 4 Conjunto de problemas 1. Encuentra la solución de la siguiente ecuación utilizando diagramas de cintas. Comprueba tu respuesta.

𝑚𝑚 - 7 = 17

2. Encuentra la solución de la siguiente ecuación de manera algebraica. Comprueba tu respuesta. 𝑛𝑛 + 14 = 25

3. Encuentra la solución de la siguiente ecuación utilizando diagramas de cintas. Comprueba tu respuesta.

𝑝𝑝 + 8 = 18

4. Encuentra la solución de la ecuación de manera algebraica. Comprueba tu respuesta. 𝑔𝑔 - 62 = 14

5. Encuentra la solución de la ecuación utilizando el método que prefieras. Comprueba tu respuesta.

𝑚𝑚 + 108 = 243

6. Identifica el error del siguiente problema. Luego, corrígelo. 𝑝𝑝 - 21 = 34

𝑝𝑝 - 21 - 21 = 34 - 21 𝑝𝑝 = 13

7. Identifica el error del siguiente problema. Luego, corrígelo.

𝑞𝑞 + 18 = 22 𝑞𝑞 + 18 - 18 = 22 + 18

𝑞𝑞 = 40

8. Une la ecuación con la solución correcta de la derecha.

𝑟𝑟 + 10 = 22 𝑟𝑟 = 10

𝑟𝑟 - 15 = 5 𝑟𝑟 = 20

𝑟𝑟 - 18 = 14 𝑟𝑟 = 12

𝑟𝑟 + 5 = 15 𝑟𝑟 = 32

Lección 26:



121


Lección 27: Ecuaciones de un paso - Multiplicación y división Trabajo en clase

Ejemplo 1

Resuelve 3𝑧𝑧 = 9 utilizando diagramas de cintas y la manera algebraica. Luego, comprueba tu respuesta.

En primer lugar, dibuja dos diagramas de cintas (uno para cada lado de la ecuación). Si 9 tuviera que dividirse en tres grupos, ¿qué tan grande sería cada grupo? Demuestra el valor de 𝑧𝑧 utilizando diagramas de cintas. ¿Cómo podemos demostrar esto de manera algebraica? ¿Cómo nos indica esto el valor de 𝑧𝑧? ¿Cómo podemos comprobar nuestra respuesta?

Lección 27:

Ecuaciones de un paso - Multiplicación y división S.122


122


Ejemplo 2

Resuelve 𝑦𝑦4

= 2 utilizando diagramas de cintas y de manera algebraica. Luego, comprueba tu respuesta.

En primer lugar, dibuja dos diagramas de cintas (uno para cada lado de la ecuación). Si el primer diagrama de cintas muestra el tamaño de 𝑦𝑦 ÷ 4, ¿cómo podemos dibujar un diagrama de cintas que represente a 𝑦𝑦? Dibuja este diagrama de cintas. ¿Qué valor representa cada sección de 𝑦𝑦 ÷ 4? ¿Cómo lo sabes? ¿Cómo puedes utilizar un diagrama de cintas para mostrar el valor de 𝑦𝑦?

Lección 27:



123

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 27 6 4 ¿Cómo podemos demostrar esto de manera algebraica? ¿Cómo nos ayuda esto a encontrar el valor de 𝑦𝑦? ¿Cómo podemos comprobar nuestra respuesta? Ejercicios

1. Utiliza diagramas de cintas para resolver el siguiente problema: 3𝑚𝑚 = 21. 2. Resuelve el siguiente problema de manera algebraica: 15 = 𝑛𝑛

5.

Lección 27:



124

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 27 6 4 3. Calcula la solución de la ecuación utilizando el método que prefieras: 4𝑝𝑝 = 36. 4. Examina el siguiente diagrama de cintas y escribe una ecuación que este represente. Luego, calcula la

solución de la ecuación utilizando el método que prefieras.

5. Escribe una ecuación de multiplicación cuya solución sea 12. Utiliza diagramas de cintas para

demostrar que tu ecuación tiene una solución de 12. 6. Escribe una ecuación de división que tenga una solución de 12. Demuestra que tu ecuación tiene una

solución de 12 utilizando métodos algebraicos.

Lección 27:



125

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 27 6 4 Conjunto de problemas 1. Utiliza diagramas de cintas para calcular la solución de 30 = 5𝑤𝑤. Luego, comprueba tu respuesta.

2. Resuelve 12 = 𝑥𝑥

4 de manera algebraica. Luego, comprueba tu respuesta.

3. Utiliza diagramas de cintas para calcular la solución de 𝑦𝑦

5 = 15. Luego, comprueba tu respuesta.

4. Resuelve 18𝑧𝑧 = 72 de manera algebraica. Luego, comprueba tu respuesta.

5. Escribe una ecuación de división que tenga una solución de 8. Demuestra que tu solución es correcta

utilizando diagramas de cintas.

6. Escribe una ecuación de multiplicación que tenga una solución de 8. Resuelve la ecuación de manera

algebraica para demostrar que tu solución es correcta.

7. Al resolver ecuaciones de manera algebraica, Meghan y Meredith obtuvieron una solución diferente.

¿Quién tiene razón? ¿Por qué la otra persona no obtuvo la respuesta correcta?

Meghan Meredith 𝑦𝑦2

= 4 𝑦𝑦2

= 4 𝑦𝑦2

∙ 2 = 4 ∙ 2 𝑦𝑦2

÷ 2 = 4 ÷ 2

y = 8 y = 2

Lección 27:



126


Lección 28: Problemas de dos pasos - Todas las operaciones

Trabajo en clase

Ejercicio de modelos matemáticos

Juan aumentó 20 libras desde el año pasado. Ahora pesa 120 libras. Rashod es 15 libras más pesado que Diego. Si Rashod y Juan pesaban lo mismo el año pasado, ¿cuánto pesa Diego? Haz que 𝑗𝑗 represente el peso de Juan del último año en libras y que 𝑑𝑑 represente el peso de Diego en libras.

Dibuja un diagrama de cintas para representar el peso de Juan. Dibuja un diagrama de cintas para representar el peso de Rashod. Dibuja un diagrama de cintas para representar el peso de Diego. ¿Cómo se vería la combinación de los tres diagramas de cintas? Escribe una ecuación para representar el diagrama de cintas de Juan. Escribe una ecuación para representar el diagrama de cintas de Rashod.

Lección 28:

Problemas de dos pasos - Todas las operaciones S.127


127

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 28 6 4 ¿Cómo podemos utilizar el diagrama de cintas final o las ecuaciones anteriores para responder la pregunta formulada? Calcula el peso de Diego. Podemos utilizar identidades para defender nuestro pensamiento de que 𝑑𝑑 + 35 - 35 = 𝑑𝑑. ¿Tiene sentido tu respuesta?

Ejemplo 1

Marissa tiene el doble de dinero que Frank. Christina tiene $20 más que Marissa. Si Christina tiene $100, ¿cuánto dinero tiene Frank? Haz que 𝑓𝑓 represente la cantidad de dinero que tiene Frank en dólares y que 𝑚𝑚 represente la cantidad de dinero que tiene Marissa en dólares.

Dibuja un diagrama de cintas para representar la cantidad de dinero que tiene Frank. Dibuja un diagrama de cintas para representar la cantidad de dinero que tiene Marissa. Dibuja un diagrama de cintas para representar la cantidad de dinero que tiene Christina.

Lección 28:



128

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 28 6 4 ¿Qué diagrama de cintas proporciona información suficiente para determinar el valor de la variable 𝑚𝑚?

Escribe y resuelve la ecuación. Las identidades sobre las que hemos conversado a lo largo del módulo reafirman que 𝑚𝑚 + 20 - 20 = 𝑚𝑚.

¿Qué representa 80? Ahora que sabemos que Marissa tiene $80, ¿cómo podemos utilizar esta información para averiguar cuánto dinero tiene Frank? Escribe una ecuación. Resuelve la ecuación. Una vez más, las identidades que hemos utilizado a lo largo del módulo pueden reafirmar que 2𝑓𝑓 ÷ 2 = 𝑓𝑓.

¿Qué representa 40? ¿Tiene sentido 40 en el problema?

Lección 28:



129

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 28 6 4 Estación uno: Utiliza diagramas de cintas para resolver el problema.

Raena tiene el doble de edad que Madeline, y Laura es 10 años mayor que Raena. Si Laura tiene 50 años, ¿qué edad tiene Madeline? Haz que 𝑚𝑚 represente la edad de Madeline en años y que 𝑟𝑟 represente la edad de Raeana en años.

Lección 28:



130

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 28 6 4 Estación dos: Utiliza diagramas de cintas para resolver el problema.

Carli tiene 90 aplicaciones en su teléfono. Braylen tiene la mitad de aplicaciones que Theiss. Si Carli tiene tres veces la cantidad de aplicaciones que Theiss, ¿cuántas aplicaciones tiene Braylen? Haz que 𝑏𝑏 represente la cantidad de aplicaciones de Braylen y que 𝑡𝑡 represente la cantidad de aplicaciones de Theiss.

Lección 28:



131

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 28 6 4 Estación tres: Utiliza diagramas de cintas para resolver el problema.

Reggie corrió 180 yardas durante el último partido de fútbol americano, lo que representa 40 yardas más que su récord personal anterior. Monte corrió 50 yardas más que Adrian durante el mismo partido. Si Monte corrió la misma cantidad de yardas que corrió Reggie en un partido para lograr su récord personal anterior, ¿cuántas yardas corrió Adrian? Haz que 𝑟𝑟 represente la cantidad de yardas que corrió Reggie durante su récord personal anterior y que 𝑎𝑎 represente la cantidad de yardas que corrió Adrian.

Lección 28:



132

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 28 6 4 Estación cuatro: Utiliza diagramas de cintas para resolver el problema.

Lance monta su bicicleta cuesta abajo a un ritmo de 60 millas por hora. Cuando Lance monta su bicicleta cuesta arriba, lo hace a 8 millas por hora más despacio que en caminos planos. Si la velocidad cuesta abajo de Lance es 4 veces más rápida que su velocidad en caminos planos, ¿qué tan rápido monta su bicicleta cuesta arriba? Haz que 𝑓𝑓 represente el ritmo de Lance sobre caminos planos en millas por hora y que 𝑢𝑢 represente el ritmo de Lance cuesta arriba en millas por hora.

Lección 28:



133

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 28 6 4 Conjunto de problemas Utiliza diagramas de cintas para resolver cada problema.

1. Dwayne anotó 55 puntos en el último partido de baloncesto, lo que representa 10 puntos más que su récord personal anterior. Lebron anotó 15 puntos más que Chris en el mismo partido. Lebron anotó la misma cantidad de puntos que el récord personal anterior de Dwayne. Haz que 𝑑𝑑 represente la cantidad de puntos que anotó Dwayne durante su récord personal anterior y que 𝑐𝑐 represente la cantidad de puntos de Chris. a. ¿Cuántos puntos anotó Chris durante el partido? b. Si estos son los únicos tres jugadores que anotaron, ¿cuál fue la cantidad total de puntos del

equipo al final del partido? 2. La cantidad de clientes en Yummy Smoothies varía a lo largo del día. Durante la hora pico de

almuerzo del sábado, había 120 clientes en Yummy Smoothies. La cantidad de clientes en Yummy Smoothies que había durante la hora de la cena era de 10 clientes menos que la cantidad de clientes que había durante el desayuno. La cantidad de clientes en Yummy Smoothies que había durante el almuerzo era 3 veces mayor que la que había durante el desayuno. ¿Cuántas personas había en Yummy Smoothies durante el desayuno? ¿Cuántas personas había en Yummy Smoothies durante la cena? Haz que 𝑑𝑑 represente la cantidad de clientes en Yummy Smoothies durante la cena y que 𝑏𝑏 represente la cantidad de clientes en Yummy Smoothies durante el desayuno.

3. Karter tiene 24 camisetas. Karter tiene 8 pares de zapatos menos que pantalones. Si la cantidad de

camisetas que tiene Karter es el doble de la cantidad de pantalones que tiene, ¿cuántos pares de zapatos tiene Karter? Haz que 𝑝𝑝 represente la cantidad de pantalones que tiene Karter y que 𝑠𝑠 represente la cantidad de pares de zapatos que tiene.

4. Darnell hizo 35 flexiones de brazos en un minuto, lo que representa 8 más que su récord personal

anterior. Mia hizo 6 flexiones de brazos más que Katie. Si Mia completó la misma cantidad de flexiones de brazos que completó Darnell durante su récord personal anterior, ¿cuántas flexiones completó Katie? Haz que 𝑑𝑑 represente la cantidad de flexiones de brazos que hizo Darnell durante su récord personal anterior y que 𝑘𝑘 represente la cantidad de flexiones de brazos que hizo Katie.

5. Justine nada estilo libre a un ritmo de 150 vueltas por hora. Justine nada estilo pecho 20 vueltas por

hora más despacio que lo que nada estilo mariposa. Si la velocidad en estilo libre de Justine es tres veces más rápida que su velocidad en estilo mariposa, ¿qué tan rápido nada estilo pecho? Haz que 𝑏𝑏 represente la velocidad en estilo mariposa de Justine en vueltas por hora y que 𝑟𝑟 represente su velocidad en estilo pecho en vueltas por hora.

Lección 28:



134


Lección 29: Problemas de múltiples pasos - Todas las operaciones

Trabajo en clase

Ejemplo 1

El bibliotecario de la escuela, el señor Marker, sabe que la biblioteca tiene 1,400 libros, pero quiere reorganizar la manera en que se muestran los libros en los estantes. El señor Marker necesita saber cuántos libros de ficción, de no ficción y de recursos hay en la biblioteca. Sabe que la biblioteca tiene cuatro veces más libros de ficción que de recursos y la mitad de libros de no ficción que de ficción. Si estos son los únicos tipos de libros que hay en la biblioteca, ¿cuántos libros de cada tipo hay en la biblioteca? Dibuja un diagrama de cintas para representar la cantidad total de libros que hay en la biblioteca. Dibuja dos diagramas de cintas más: uno para representar la cantidad de libros de ficción que hay en la biblioteca y otro para representar la cantidad de libros de recursos que hay en la biblioteca.

Libros de recursos:

Libros de ficción: ¿Qué variable deberíamos utilizar a lo largo del problema? Escribe la relación que hay entre los libros de recursos y los libros de ficción de manera algebraica.

Lección 29:

Problemas de múltiples pasos - Todas las operaciones S.135


135

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 29 6 4 Dibuja un diagrama de cintas para representar la cantidad de libros de no ficción. ¿Cómo decidiste cuántas secciones tendría este diagrama de cintas? Representa la cantidad de libros de no ficción que hay en la biblioteca de manera algebraica. Utiliza los diagramas de cintas que dibujamos para resolver el problema. Escribe una ecuación que represente el diagrama de cintas. Determina el valor de 𝑟𝑟. ¿Cuántos libros de ficción hay en la biblioteca?

Lección 29:



136

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 29 6 4 ¿Cuántos libros de no ficción hay en la biblioteca? Prepara una tabla con cuatro columnas y nombra cada una de ellas. ¿Cuántos libros de ficción hay en la biblioteca? ¿Cuántos libros de no ficción hay en la biblioteca? ¿Cuántos libros de recursos hay en la biblioteca? ¿La biblioteca tiene cuatro veces más libros de ficción que de recursos? ¿La biblioteca tiene la mitad de libros de no ficción que de ficción? ¿La biblioteca tiene 1,400 libros?

Lección 29:



137

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 29 6 4 Ejercicios 1 a 4

Resuelve cada uno de los siguientes problemas utilizando tablas y métodos algebraicos. Luego, comprueba tu respuesta con el problema.

1. La escuela media Indiana Ridge quería agregar un nuevo deporte escolar. Para ello, encuestó a los estudiantes a fin de determinar qué deporte era el más popular. Los estudiantes podían elegir entre fútbol, fútbol americano, lacrosse o natación. La misma cantidad de estudiantes eligieron lacrosse y natación. La cantidad de estudiantes que eligieron fútbol fue el doble de la cantidad de estudiantes que eligieron lacrosse. La cantidad de estudiantes que eligieron fútbol americano fue el triple de la cantidad de estudiantes que eligieron natación. Si 434 estudiantes completaron la encuesta, ¿cuántos estudiantes eligieron cada deporte?

2. En la escuela primaria Prairie, se les pide a los estudiantes que elijan su almuerzo con anticipación

para que el personal de cocina sepa qué preparar. El lunes, la cantidad de estudiantes que eligió hamburguesas fue de 6 veces más que la cantidad de estudiantes que eligió ensaladas. La cantidad de estudiantes que eligió lasaña fue un tercio de la cantidad de estudiantes que eligió hamburguesas. Si 225 estudiantes pidieron almuerzo, ¿cuántos estudiantes eligieron cada opción si hamburguesas, ensalada y lasaña eran las únicas tres opciones?

Lección 29:



138

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 29 6 4 3. El maestro de Arte, el señor Gonzalez, se estaba preparando para un proyecto. A fin de que los

estudiantes tuvieran los útiles correctos, el señor Gonzalez necesitaba 10 veces más marcadores que cartulinas. Necesitaba la misma cantidad de botellas de pegamento que de cartulinas. La cantidad de tijeras que se necesitaba para el proyecto era la mitad que la cantidad de cartulinas. Si el señor Gonzalez juntó 400 elementos para el proyecto, ¿qué cantidad juntó de cada útil?

4. La maestra de Matemáticas, la señora Zentz, está comprando las herramientas de matemática

adecuadas para utilizar a lo largo del año. Planea comprar el doble de reglas que de transportadores. La cantidad de calculadoras que planea comprar es un cuarto de la cantidad de transportadores. Si la señora Zentz compra 65 elementos, ¿cuántos transportadores compra?

Lección 29:



139

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 29 6 4 Conjunto de problemas Resuelve los problemas y luego comprueba tus respuestas con el problema. 1. En promedio, un bebé utiliza tres veces la cantidad de pañales grandes que pequeños y el doble de

pañales medianos que pequeños. a. Si el bebé promedio utiliza 2,940 pañales de tamaño grande y pequeño, ¿cuántos utilizaría de

cada tamaño?

b. Justifica tu respuesta con ecuaciones.

2. Tom tiene tres veces más lápices que plumas, pero tiene un total de 100 útiles para escribir. a. ¿Cuántos lápices tiene Tom? b. ¿Cuántos lápices más que plumas tiene Tom?

3. La mamá de Serena está planeando su fiesta de cumpleaños. Compró globos, platos y vasos. Compró el doble de platos que de vasos. La cantidad de globos que compró fue la mitad de la cantidad de vasos. a. Si la mamá de Serena compró 84 elementos, ¿cuántos elementos compró de cada tipo? b. Tammy llevó 12 globos a la fiesta. ¿Cuántos globos había en total en la fiesta de Serena? c. Si se usó la mitad de los platos y solo quedaron cuatro vasos durante la fiesta, ¿cuántos platos y

vasos se utilizaron?

4. Elizabeth tiene muchas alhajas. Tiene cuatro veces más aros que relojes de pulsera, pero la mitad de collares que de pendientes. Elizabeth tiene la misma cantidad de collares que de brazaletes.

a. Si Elizabeth tiene 117 alhajas, ¿cuántos pendientes tiene? b. Justifica tu respuesta con una ecuación.

5. Claudia estaba preparando el desayuno para toda su familia. Preparó el doble de panqueques con chispas de chocolate que de panqueques comunes. Solo preparó la mitad de panqueques con arándanos que de panqueques comunes. Ella también sabe que a su familia le gustan las salchichas, por lo que hizo el triple de salchichas que de panqueques con arándanos.

a. ¿Cuántas unidades de cada tipo preparó Claudia si cocinó 90 unidades en total? b. Después de que todos comieran el desayuno, quedaban 4 panqueques con chispas de chocolate,

5 panqueques comunes, 1 panqueque con arándanos, y no quedaba ninguna salchicha. ¿Cuánto comió la familia de cada tipo de comida?

6. Durante un partido de baloncesto, Jeremy anotó el triple de puntos que Donovan. Kolby anotó el doble de puntos que Donovan. a. Si los tres niños anotaron 36 puntos en total, ¿cuántos puntos anotó cada niño? b. Justifica tu respuesta con una ecuación.

Lección 29:



140


Lección 30: Problemas de un paso del mundo real

Trabajo en clase

Ejercicio inicial

Dibuja un ejemplo de cada término y escribe una breve descripción. Agudo Obtuso Recto Llano Reflejo

Lección 30:

Problemas de un paso del mundo real S.141


141


Ejemplo 1

∠𝐴𝐴BC mide 90°. El ángulo se separó en dos ángulos. Si un ángulo mide 57°, ¿cuál es la medida del otro ángulo?

¿Cómo se relacionan estos dos ángulos? ¿Qué ecuación podríamos utilizar para resolver 𝑥𝑥? Ahora resolvámosla.

Ejemplo 2

Michelle está diseñando un estacionamiento. Determinó que uno de los ángulos debería ser de 115°.

¿Cuál es la medida del ángulo 𝑥𝑥 y del ángulo 𝑦𝑦? ¿Cómo se relaciona el ángulo 𝑥𝑥 con el ángulo de 115°? ¿Qué ecuación utilizaríamos para mostrar esto?

¿Cómo resolverías esta ecuación? ¿Cómo se relaciona el ángulo y con el ángulo que mide 115°?

Lección 30:



142


Ejemplo 3

Un haz de luz se refleja en un espejo. A continuación, hay un diagrama del haz reflejado. Determina la medida angular faltante.

¿Cómo se relacionan los ángulos de esta pregunta? ¿Qué ecuación podríamos escribir para representar la situación? ¿Cómo resolverías una ecuación como esta? Ejercicios 1 a 5

Escribe y resuelve una ecuación en cada uno de los problemas.

1. ∠𝐴𝐴BC mide 90°. Se dividió en dos ángulos, ∠𝐴𝐴BD y ∠DBC. La medida de los dos ángulos tiene una razón de 2:1. ¿Cuáles son las medidas de cada ángulo?

2. Resuelve 𝑥𝑥.

Lección 30:



143

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 30 6 4 3. Candice está armando un cerco rectangular según los planos que le dio su jefe. Uno de los ángulos no

está marcado. Escribe una ecuación y utilízala para determinar la medida del ángulo desconocido.

4. Rashid golpeó un disco de hockey contra la pared en un ángulo de 38°. El disco golpeó la pared y se

desplazó en una nueva dirección. Determina el ángulo faltante del diagrama.

5. Jaxon está creando un diseño de mosaicos sobre una mesa rectangular. Agregó dos piezas a una de

las esquinas. La primera pieza tiene un ángulo que mide 38° y se coloca en la esquina. Una segunda pieza tiene un ángulo que mide 27° y también se coloca en la esquina. Dibuja un diagrama para mostrar la situación. Luego, escribe una ecuación y utilízala para determinar la medida del ángulo desconocido de una tercera pieza que podría agregarse a la esquina de la mesa.

Lección 30:



144

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 30 6 4 Conjunto de problemas Escribe y resuelve una ecuación para cada problema. 1. Resuelve 𝑥𝑥.

2. ∠BAE mide 90°. Resuelve 𝑥𝑥.

3. Thomas está colocando un piso de cerámicas y necesita determinar los ángulos en los que se deberían cortar las cerámicas para que encajen en la esquina. El ángulo de la esquina mide 90°. Una cerámica tendrá una medida de 24°. Escribe una ecuación y utilízala para determinar la medida del ángulo desconocido.

4. Resuelve 𝑥𝑥.

Lección 30:



145

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 30 6 4 5. Aram ha estado estudiando la matemática de las máquinas de pinball. Hizo el siguiente diagrama de

una de sus observaciones. Determina la medida del ángulo faltante.

6. Las medidas de dos ángulos suman 90°. Las medidas de los ángulos tienen una razón de 2:1.

Determina las medidas de ambos ángulos. 7. Las medidas de dos ángulos suman 180°. Las medidas de los ángulos tienen una razón de 5:1.

Determina las medidas de ambos ángulos.

Lección 30:



146


Lección 31: Problemas en términos matemáticos

Trabajo en clase

Ejemplo 1

Marcus lee durante 30 minutos cada noche. Quiere determinar la cantidad total de minutos que leerá durante el transcurso de un mes. Escribió la ecuación 𝑡𝑡 = 30𝑑𝑑 para representar la cantidad total de tiempo que pasó leyendo, donde 𝑡𝑡 representa la cantidad total de minutos que pasó leyendo y 𝑑𝑑 representa la cantidad de días que lee durante un mes. Determina qué variable es independiente y cuál es dependiente. Luego, crea una tabla para mostrar cuántos minutos ha leído durante los primeros siete días.

Variable independiente _______________

Variable dependiente ________________

Lección 31:

Problemas en términos matemáticos S.147


147


Ejemplo 2

Kira diseña sitios web. Puede crear tres sitios web diferentes por semana. Kira quiere crear una ecuación que le indique la cantidad total de sitios web que puede diseñar según la cantidad de semanas que trabaje. Determina la variable independiente y la dependiente. Crea una tabla para mostrar la cantidad de sitios web que puede diseñar durante las primeras 5 semanas. Finalmente, escribe una ecuación para representar la cantidad total de sitios web que puede diseñar cuando se proporciona cualquier cantidad de semanas. Variable independiente ____________________________

Variable dependiente ______________________________

Ecuación _________________________________________

Ejemplo 3

Priya ve películas a través de una empresa que le cobra una tarifa de $5 por mes más $1.50 por película. Determina la variable independiente y la dependiente, escribe una ecuación para mostrar la situación y crea una tabla para mostrar el costo total por mes si ella viera entre 4 y 10 películas por mes. Variable independiente _____________________________

Variable dependiente _______________________________

Ecuación _________________________________________

Lección 31:



148


1. Sarah está comprando lápices para compartir. Cada paquete contiene 12 lápices. La ecuación 𝑛𝑛 = 12𝑝𝑝, donde 𝑛𝑛 representa la cantidad total de lápices y 𝑝𝑝 representa la cantidad de paquetes, se puede utilizar para determinar la cantidad total de lápices que compró Sarah. Determina qué variable es dependiente y cuál es independiente. Luego, haz una tabla que muestre la cantidad de lápices que habrá si compra entre 3 y 7 paquetes.

2. Charlotte lee 4 libros por semana. 𝑏𝑏 es la cantidad de libros que lee por semana, y 𝑤𝑤 es la cantidad de

semanas que lee. Determina qué variable es dependiente y cuál es independiente. Luego, escribe una ecuación para mostrar la situación y haz una tabla que muestre la cantidad de libros leídos en menos de 6 semanas.

Lección 31:



149

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 31 6 4 3. Un campo de golf en miniatura tiene una tarifa especial para grupos. Puedes pagar $20 más $3 por

persona cuando tienes un grupo de 5 amigos o más. 𝑓𝑓 es la cantidad de amigos, y 𝑐𝑐 es el costo total. Determina qué variable es independiente y cuál es dependiente, y escribe una ecuación que muestre la situación. Luego, haz una tabla para mostrar el costo que pagarán entre 5 y 12 amigos.

4. Carlos está comprando útiles escolares. Compra una caja de lápices por $3 y también necesita

comprar anotadores. Cada anotador cuesta $2. 𝑡𝑡 representa el costo total de los útiles y 𝑛𝑛 es la cantidad de anotadores que compra Carlos. Determina qué variable es independiente y cuál es dependiente, y escribe una ecuación que muestre la situación. Luego, haz una tabla para mostrar el costo que tienen entre 1 y 5 anotadores.

Lección 31:



150

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 31 6 4 Conjunto de problemas 1. Jaziyah vende 3 casas por mes. A fin de determinar la cantidad de casas que puede vender en

cualquier cantidad de meses determinada, ella utiliza la ecuación 𝑡𝑡 = 3𝑚𝑚, donde 𝑡𝑡 es la cantidad total de casas vendidas y 𝑚𝑚 es la cantidad de meses. Nombra la variable independiente y la dependiente. Luego, crea una tabla para mostrar cuántas casas vende en menos de 6 meses.

2. Joshua pasa 25 minutos por día leyendo. 𝑑𝑑 es la cantidad de días que lee, y 𝑚𝑚 representa los minutos

totales de lectura. Determina qué variable es independiente y cuál es dependiente. Luego, escribe una ecuación que muestre la situación. Haz una tabla que muestre la cantidad de minutos que pasó leyendo durante 7 días.

3. Cada paquete de panecillos para hot dogs contiene 8 panecillos. 𝑝𝑝 es la cantidad de paquetes de

panecillos para hot dogs, y 𝑏𝑏 es la cantidad total de panecillos. Determina qué variable es independiente y cuál es dependiente. Luego, escribe una ecuación que muestre la situación y haz una tabla que muestre la cantidad de panecillos para hot dogs que hay en 3 a 8 paquetes.

Lección 31:



151

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 31 6 4 4. Emma recibió 5 conchas marinas. Cada semana juntó 3 más. 𝑤𝑤 es la cantidad de semanas que Emma

junta conchas marinas, y 𝑠𝑠 es la cantidad de conchas marinas que tiene en total. ¿Qué variable es independiente y cuál es dependiente? Escribe una ecuación para mostrar la relación y haz una tabla para mostrar cuántas conchas marinas tiene desde la semana 4 hasta la semana 10.

5. Emilia está comprando productos frescos en el mercado de agricultores. Compró una sandía por $5 y

también quiere comprar pimientos. Cada pimiento cuesta $0.75. 𝑡𝑡 representa el costo total de los productos, y 𝑛𝑛 representa la cantidad de pimientos que compró. Determina qué variable es independiente y cuál es dependiente, y escribe una ecuación que muestre la situación. Luego, haz una tabla para mostrar el costo que tienen entre 1 y 5 pimientos.

6. Un servicio de taxi cobra una tarifa plana de $7 más un adicional de $1.25 por milla conducida.

Muestra la relación entre el costo total y la cantidad de millas conducidas. ¿Qué variable es independiente y cuál es dependiente? Escribe una ecuación para mostrar la relación y haz una tabla para mostrar el costo que tendrán entre 4 y 10 millas.

Lección 31:



152


Lección 32: Problemas de múltiples pasos del mundo real

Trabajo en clase

Ejercicio inicial

Xin está comprando bebidas que vienen en paquetes de 8 para una fiesta. 𝑝𝑝 es la cantidad de paquetes que Xin compra, y 𝑡𝑡 es la cantidad total de bebidas. La ecuación 𝑡𝑡 = 8𝑝𝑝 se puede utilizar para calcular la cantidad total de bebidas cuando se conoce la cantidad de paquetes. Determina la variable independiente y la dependiente de este escenario. Luego, haz una tabla utilizando valores de números enteros donde 𝑝𝑝 sea menor que 6.

Cantidad de paquetes (p) Cantidad total de bebidas

(t = 8p)

0

1

2

3

4

5

Ejemplo 1

Haz un gráfico para la tabla del ejercicio inicial.

Lección 32:

Problemas de múltiples pasos del mundo real S.153


153


Ejemplo 2

Utiliza el gráfico para determinar cuál es la variable independiente y cuál es la dependiente. Luego, indica la relación que hay entre las cantidades representadas por las variables.

Cant

idad

de

mill

as

Viaje en automóvil

Cantidad de horas

Ejercicios

1. Quentin gana $30 por semana. Si ahorra este dinero, crea un gráfico que muestre la cantidad total de dinero que Quentin ahorró desde la semana 1 hasta la semana 8. Escribe una ecuación que represente la relación que hay entre la cantidad de semanas en las que Quentin ahorró su dinero (𝑤𝑤) y la cantidad total de dinero en dólares que ahorró (𝑠𝑠). Luego, nombra la variable independiente y la dependiente. Escribe una oración que muestre esta relación.

Lección 32:



154

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 32 6 4 2. Zoe está juntando libros para donar. Comenzó con 3 libros y juntó dos más cada semana. Ella está

utilizando la ecuación 𝑏𝑏 = 2𝑤𝑤 + 3, donde 𝑏𝑏 es la cantidad total de libros juntados y 𝑤𝑤 es la cantidad de semanas que pasó juntando libros. Nombra la variable independiente y la dependiente. Luego, crea un gráfico para representar cuántos libros coleccionó Zoe si 𝑤𝑤 es 5 o menos.

3. Eliana planea visitar la feria. Ella debe pagar $5 para ingresar al recinto ferial y un adicional de $3 por

atracción. Escribe una ecuación para mostrar la relación que hay entre 𝑟𝑟 (la cantidad de atracciones) y 𝑡𝑡 (el costo total). Indica qué variable es dependiente y cuál es independiente. Luego, crea un gráfico que muestre la ecuación.

Lección 32:



155

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 32 6 4 Conjunto de problemas 1. Caleb comenzó a ahorrar dinero en un tarro de galletas. Comenzó con $25. Agregó $10 al tarro de

galletas cada semana. Escribe una ecuación en la que 𝑤𝑤 sea la cantidad de semanas durante las que Caleb ahorró su dinero y 𝑡𝑡 sea la cantidad total en dólares en el tarro de galletas. Determina qué variable es la variable independiente y cuál es la dependiente. Luego, grafica la cantidad total del tarro de galletas para que 𝑤𝑤 sea menor que 6 semanas.

2. Kevin toma un taxi desde el aeropuerto hasta su casa. Hay una tarifa plana de $6 por subir al taxi.

Adicionalmente, Kevin también debe pagar $1 por milla. Escribe una ecuación en la que 𝑚𝑚 sea la cantidad de millas y 𝑡𝑡 sea el costo total en dólares del recorrido en taxi. Determina qué variable es independiente y cuál es dependiente. Luego, grafica el costo total cuando 𝑚𝑚 sea menor que 6 millas.

Lección 32:



156

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 32 6 4 3. Anna comenzó con $10. Ahorró $5 adicionales cada semana. Escribe una ecuación que se pueda

utilizar para determinar la cantidad total ahorrada en dólares (𝑡𝑡) después de una cantidad determinada de semanas (𝑤𝑤). Determina qué variable es independiente y cuál es dependiente. Luego, grafica la cantidad total que ahorró durante las primeras 8 semanas.

4. Aliyah está comprando productos en el mercado de agricultores. Ella planea comprar $10 en papas y

manzanas. Las manzanas cuestan $1.50 por libra. Escribe una ecuación que muestre el costo total de la compra, donde 𝑇𝑇 sea el costo total en dólares y 𝑎𝑎 sea la cantidad de libras de manzanas. Determina qué variable es dependiente y cuál es independiente. Luego, grafica la ecuación.

Lección 32:



157


Lección 33: De ecuaciones a desigualdades

Trabajo en clase

Ejemplo 1

¿Qué valor(es) tiene que representar la variable para que la ecuación o la desigualdad dé como resultado una cuenta verdadera? ¿Qué valor(es) tiene que representar la variable para que la ecuación o la desigualdad dé como resultado una cuenta falsa?

a. 𝑦𝑦 + 6 = 16 b. 𝑦𝑦 + 6 > 16 c. 𝑦𝑦 + 6 ≥ 16 d. 3𝑔𝑔 = 15 e. 3𝑔𝑔 < 15 f. 3𝑔𝑔 ≤ 15

Lección 33:

De ecuaciones a desigualdades S.158


158


Ejemplo 2

¿Cuál(es) de los siguientes números, si hubiera alguno, hace(n) que la ecuación o desigualdad sea verdadera: {0, 3, 5, 8, 10, 14}?

a. 𝑚𝑚 + 4 = 12 b. 𝑚𝑚 + 4 < 12 c. 𝑓𝑓 - 4 = 2 d. 𝑓𝑓 - 4 > 2

e. 12ℎ = 8

f. 12ℎ ≥ 8

Lección 33:



159


Del siguiente conjunto de números, elige el(los) número(s), si hubiera alguno, que haga(n) que la ecuación o la desigualdad sea verdadera: {0, 1, 5, 8, 11, 17}.

1. 𝑚𝑚 + 5 = 6 2. 𝑚𝑚 + 5 ≤ 6 3. 5ℎ = 40 4. 5ℎ > 40

5. 12𝑦𝑦 = 5

6. 12𝑦𝑦 ≤ 5

7. 𝑘𝑘 - 3 = 20 8. 𝑘𝑘 - 3 > 20

Lección 33:



160

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 33 6 4 Conjunto de problemas Del siguiente conjunto de números, elige el(los) número(s), si hubiera alguno, que haga(n) que la ecuación o la desigualdad sea verdadera: {0, 3, 4, 5, 9, 13, 18, 24}.

1. ℎ - 8 = 5 2. h - 8 < 5 3. 4g = 36 4. 4g ≥ 36

5. 14y = 7

6. 14y > 7

7. m - 3 = 10 8. m - 3 ≤ 10

Lección 33:



161


Lección 34: Escritura y representación gráfica de desigualdades en

problemas del mundo real

Trabajo en clase

Ejemplo 1

Enunciado Desigualdad Gráfico

a. Caleb tiene, al menos, $5. ________________

b. Tarek tiene más de $5. ________________

c. Vanessa tiene, como máximo, $5. ________________

d. Li Chen tiene menos de $5. ________________

Ejemplo 2

Kelly trabaja en Quick Oil Change. Si los clientes tienen que esperar más de 20 minutos por un cambio de aceite, la empresa no cobra el servicio. El cambio de aceite más rápido que Kelly hizo alguna vez tomó 6 minutos. Muestra los posibles tiempos de espera de los clientes en los que la empresa les cobre.

Ejemplo 3

Gurnaz ha estado cortando césped para ahorrar dinero para un concierto. Necesitará trabajar, al menos, seis horas para ahorrar suficiente dinero, pero debe trabajar menos de 16 horas esta semana. Escribe una desigualdad para representar esta situación y luego grafica la solución.

Lección 34:

Escritura y representación gráfica de desigualdades en problemas del mundo real S.162


162


Ejercicios 1 a 5

Escribe una desigualdad para representar cada situación. Luego, grafica la solución.

1. Blayton se encuentra, como máximo, a 2 metros por encima del nivel del mar.

2. Edith debe leer durante un mínimo de 20 minutos.

3. Travis ordeña sus vacas cada mañana. Nunca obtuvo menos de 3 galones de leche; sin embargo,

siempre obtiene menos de 9 galones.

4. Rita puede preparar 8 pasteles por día para una pastelería. Hasta el momento, ella tiene pedidos por

más de 32 pasteles. Ahora, Rita necesita más de cuatro días para preparar los 32 pasteles.

5. Rita debe entregar todos los pedidos que se están realizando en este momento en 7 días o menos.

¿Cómo cambiará esto tu desigualdad y tu gráfico?

Lección 34:



163

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 34 6 4 Ejercicios adicionales posibles 6 a 10

6. Kasey ha estado cortando césped para ahorrar dinero para un concierto. Gana $15 por hora y necesita, al menos, $90 para ir al concierto. ¿Cuántas horas debería cortar césped?

7. Rachel puede preparar 8 pasteles por día para una pastelería. Hasta el momento, ella tiene pedidos

por más de 32 pasteles. ¿Cuántos días le tomará completar los pedidos?

8. Ranger ahorra $70 por semana. Necesita ahorrar, al menos, $2,800 para irse de viaje a Europa.

¿Cuántas semanas necesitará ahorrar?

9. Clara tiene menos de $75. Quiere comprar 3 pares de zapatos. ¿Qué precio de zapatos puede costear

Clara si todos los zapatos tienen el mismo precio?

10. Un gimnasio cobra $25 por mes más un adicional de $4 para nadar en la piscina durante una hora. Si

un miembro solo tiene $45 para gastar por mes, ¿cuántas horas como máximo puede nadar?

Lección 34:



164

UNA HISTORIA DE RAZONES Lección 34 6 4 Conjunto de problemas Escribe y grafica una desigualdad para cada problema.

1. Al menos 13.

2. Menos de 7.

3. Chad necesitará, al menos, 24 minutos para completar la carrera de 5 kilómetros. Sin embargo, quiere

terminarla en menos de 30 minutos.

4. Eva ahorra $60 por semana. Como tiene que ahorrar, al menos, $2,400 para irse de viaje a Europa,

necesitará ahorrar durante, al menos, 40 semanas.

5. Clara tiene $100. Quiere comprar 4 pares de los mismos pantalones. Debido a los impuestos, Clara

puede costear pantalones que cuesten menos de $25.

6. Un gimnasio cobra $30 por mes más un adicional de $4 para nadar en la piscina durante una hora.

Como un miembro solo tiene $50 para gastar en el gimnasio cada mes, el miembro puede nadar 5 horas como máximo.

Lección 34:



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Lección 1: La relación de la suma y la resta...Lección 3: La relación de la multiplicación y la...

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