Lección 33 Geometría Plana.pdf
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La Escuela en su Casa
Departamento de Educación a Distancia
CURSO:
MATEMATICA III Grado:
Tercer Semestre Básicos por
Madurez
Programa de Estudio:
Descripción del Curso:
Geometría (del griego geō, 'tierra'; metrein,
'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y
geometría no euclídea.1
Contenido:
1"Geometría", Enciclopedia Microsoft® Encarta® 99. © 1993-1998 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
1) GEOMETRÍA PLANA
2) CUADRILATEROS
3) TRIANGULOS
4) TEOREMA DE
PITÁGORAS
5) CIRCULOS
6) FIGURAS
COMPUESTAS
7) GEOMETRÍA SÓLIDA
8) GEOMETRÍA
COORDINADA
9) LA DISTANCIA EN
UNA CUADRICULA
COORDINADA
EVALUACION: ZONA: Todos los ejercicios del
manual tienen un valor de 40 puntos,
recuerde que se califica EL
PROCEDIMIENTO PARA HACER
CADA EJERCICIO y no la respuesta.
EVALUACIÓN FINAL (60 PUNTOS)
ESA ESTA AL FINAL DE SU
MANUAL DE CURSO.
2
LECCIÓN 33
GEOMETRÍA PLANA
Un carpintero utiliza un cepillo para
“aplanar” una tabla. El departamento del
Petén es un departamento plano en su
mayor parte. La palabra PLANO tiene
un nuevo significado para usted ahora que
comienza a estudiar Geometría.
Cada cosa en la vida tiene ciertas palabras
que se relacionan entre si para darle
significado.
En Geometría hay ciertas palabras que
debemos aprender con el fin de
comprender esta fascinante materia.
La Geometría es utilizada todos
los día en nuestra vida, usted no podría
dormir en una cama redonda, duerme en
una cama rectangular.
Usted tiene un escritorio donde
labora , rectangular también.
Incluso las herramientas de la
agricultura como el azadón o la piocha
han sido construidas basados en la
geometría. Por ejemplo: la piocha;
tiene un pico en forma de triangulo con
el que Ud. puede cavar hoyos.
DEFINICIONES
PUNTO: Un punto imaginario o escrito
como el que finaliza esta frase.
3
Pero en Geometría el punto es la parte
más pequeña que usted se puede imaginar
de un punto.
LINEA: Una serie de puntos conectados
unos con otros de manera recta. La línea
en geometría está hecha de puntos.
SEGMENTO DE LÍNEA:
En cualquier línea el segmento es una
parte con principio y fin.
RECTA: En una línea, una parte que
consiste de un punto inicial y todos los
puntos de esa línea desde ese lugar donde
está el punto. Una RECTA no tiene
punto final. Imagine una recta como una
luz de una linterna apuntada hacia el
cielo. El punto inicial es la linterna y la
luz viaja hacia el infinito.
POLÍGONO: Una figura cerrada hecha
de tres o más segmentos de línea.
ANGULOS Si dos rayas inician desde el mismo
punto hacia distintos lados usted obtiene
un ángulo. El punto donde comienzan
las dos rayas se llama VÉRTICE DEL
ANGULO. Las dos rayas se llaman
lados del ángulo.
Lados
Vértice
ROTULANDO ANGULOS
Los ángulos pueden ser rotulados o
nombrados utilizando letras.
4
Fíjese en los tres puntos marcados en el
ángulo, uno en cada lado y otro en el
vértice. Cualquier ángulo puede ser
rotulado marcando estos tres puntos. Es
importante hacer ver que al nombrar los
ángulos el vértice siempre queda entre los
puntos de los lados. Este ángulo que
ahora estamos estudiando puede ser
nombrado como ∠ ABC o ∠CBA.
Ese signo que usted ve antes de las tres
letras significa ángulo. De esa forma
cuando usted lea cualquier otro
documento que hable de ángulos sabrá de
que se trata. Cuando lea diga “ángulo
CBA” o “ángulo ABC”.
Otra forma de rotular ángulos es usando
la letra del vértice solamente, ∠ B
por ejemplo: pero si la figura tiene
más ángulos con vértices B entonces no
puede usar esta forma.
Una tercera forma de nombrar ángulos es
utilizar letras minúsculas dentro de la
figura como las del ejemplo siguiente.
e f
HÁGALO USTED
Escriba 4 nombres distintos para este
ángulo. B
C D
1) __________________________
2) __________________________
3) __________________________
4) _________________________
5
Usando los puntos de los lados usted
debió escribir ∠ BCD y ∠DCB para
los primeros dos nombres. En la tercera
forma como la figura tiene solo un vértice
con la letra C debió usar ∠C para
la tercera forma, y para la último debió
usar la misma letra pero minúscula. ∠ c.
¡Usted ya está aprendiendo Geometría!
_________________________________
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Piense en cada lado de un ángulo como si
fueran las manecillas de un reloj
despertador, de esos de cuerda.
Imagine que usted necesita darle cuerda al
reloj porque se le terminó y que hay que
ponerle la hora exacta. Los números o
signos que hay alrededor del reloj le
ayudarán a mover las manecillas tanto
como lo necesite.
La unidad para medir un ángulo es
el grado y el instrumento para medir
ángulos es el transportador.
El transportador es una regla curva que
está dividida en 180 partes iguales. La
de arriba es una gráfica que ilustra como
debemos utilizar el transportador para
medir un ángulo.
El ángulo ABC que está siendo
medido en esta gráfica mide 60°.
Como dije al principio, en
Geometría debe acostumbrarse a términos
y signos propios de la Geometría. No se
preocupe si no se los memoriza todos
rápidamente, solo trate de conservar este
libro, no prestarlo, no fotocopiarlo, de
esa forma le durará bastante y cada vez
que necesite recordar algo podrá venir
hasta aquí y consultarme.
6
Volvamos a la imagen ahora.
El vértice del ángulo se coloca
exactamente en el medio del
transportador, el lado del ángulo
marcado con la letra A ha sido colocado
exactamente en la posición 0° (Cero
grados) y el lado marcado C nos
muestra la medida del ángulo. 60°. Para
abreviar medida en geometría usamos la
letra minúscula m.
Toda esa palabrería que nos ha ocupado
esta columna se puede abreviar
simplemente así. m ∠ABC = 60°.
m = medida.
∠ = ángulo
ABC = nombre del ángulo
60 = lo que mide el ángulo.
° = Este circulito pequeñito significa
grados.
_________________________________
ANGULO RECTO
Es un ángulo especial cuyos lados forman
una esquina cuadrada. Un ángulo recto
mide exactamente 90°
90°
En diagramas usted puede mostrar que un
ángulo es recto escribiendo 90° dentro de
él. Otra forma es poner el símbolo de
ángulo recto (un pequeño cuadrito en la
esquina) dentro del ángulo.
_________________________________
ANGULO LLANO
Este es un tipo especial de ángulo. Sus
lados apuntan exactamente en sentidos
opuestos formando una linea recta. Si
usted mide un ángulo llano con un
transportador encontrará que miden
exactamente 180°. Esta es la medida
7
más grande que cualquier ángulo puede
tener.
180°
_________________________________
TÉRMINOS GEOMÉTRICOS
GRADO: La unidad utilizada para medir
ángulos.
TRANSPORTADOR: El instrumento
utilizado para encontrar los grados de un
ángulo.
ANGULO RECTO: Un ángulo cuya
medida da exactamente 90 grados. Un
ángulo recto forma una esquina cuadrada
.
ANGULO LLANO: Un ángulo cuya
medida es exactamente 180°. Un ángulo
llano forma una linea recta.
HÁGALO USTED:
Dé el nombre y medida de cada ángulo.
Diga también que clase de ángulo es
debido a su medida.
E G
110°
F
S
90°
R T
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
Nombro el primer ángulo ∠ f , ∠ F
∠ EFG, ∠GFE?, este mide 110°.
Nombro el segundo ángulo ∠ s , ∠ S
∠ RST, ∠ TSR?, este mide 90°. Y
es un ángulo recto.
Si lo hizo así sin ver la explicación vamos
bien. Despacio se llega lejos.
8
_________________________________
PARES ESPECIALES DE ÁNGULOS
Algunos ángulos son comúnmente
encontradnos en pares. Los tres pares
mas importantes son explicados de aquí
en adelante.
Ángulos complementarios:
Si dos ángulos juntos totalizan 90° se les
llama ángulos complementarios.
A
D
60° 30° C B
Vea este ejemplo, los ángulos en este
diagrama están de lado a lado pero los
ángulos pueden ser complementarios sin
necesidad que estén de lado a lado.
En el ejemplo anterior podemos ver que
sumando las medidas de ambos 60 + 30 =
90.
Dicho en términos geométricos:
m ∠ABD + m ∠DBC = 60° + 30° =
90°
A partir de ahora utilizaremos más las
abreviaturas, trate de memorizar que
quiere decir cada símbolo y tenga en
mente que las letras señalan los puntos
del ángulo.
Ángulos Suplementarios: Si dos
ángulos juntos miden 180° se les llama
suplementarios.
E
60° 120° A B C
m ∠ABE + m ∠EBC = 60° + 120° = 180°
_________________________________
ANGULOS VERTICALES
Es otro par importante de ángulos. Son
ángulos opuestos formados donde dos
líneas rectas cruzan. Los ángulos
verticales siempre tienen la misma
medida.
a
c 15° d 15°
b
9
Estudie este diagrama, vea que los dos
ángulos ∠c y ∠d son ángulos
verticales porque están de lados opuestos.
También ∠a y ∠b forman otro par de
ángulos verticales. Estos ángulos son
llamados también ángulos opuestos por
el vértice.
Hágalo Usted:
1) Que tamaño de ángulo sería
complementario a otro de 47°?
2) Que tamaño de ángulo sería
suplementario a uno de 105°?
3) Estudie este diagrama:
Nombre dos pares de ángulos verticales.
RESPUESTAS:
1) Recuerde que para que sea
complementario tiene que
sumar 90° entre los dos, por lo
tanto hace falta un ángulo de
43°.
2) Recuerde que para que sea
suplementario deben sumar
ambos 180° por lo tanto hace
falta otro de 75°.
3) ∠m y ∠p, y ∠n y ∠q
Algunas veces es difícil no confundir los
términos complementario y
suplementario, recuerde que las primeras
letras de ambas palabras son C y S y que
C en el alfabeto está antes que S lo
mismo que 90° viene primero que 180°
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EJERCICIO G1
Nombre Los complementos para cada uno
de los siguientes ángulos
complementarios.
1) 36°
2) 10°
3) 89°
Nombre los suplementos para cada uno
de los siguientes ángulos.
4) 100°
5) 1°
6) 90°
7) Explique con sus propias palabras
como se forman los ángulos
verticales y que tienen de especial
las medidas en cada ángulo
vertical.
Respuestas: 1) 54° 2) 80° 3) 1° 4) 80° 5) 179° 6) 90° 7) Ángulos verticales son formados por dos líneas cruzándose.
Siempre tienen la misma medida.
________________________________________
ANGULOS FORMADOS POR LINEAS
PARALELAS Y TRANSVERSALES
Líneas paralelas son como las líneas que
un estudiante hace con su regla en un
cuaderno para dibujar una línea de
ferrocarril que cruza una planicie. Líneas
paralelas se mantienen siempre a la
misma distancia una de la otra y nunca se
unen. He aquí un ejemplo:
Por el otro lado, una línea transversal es
una que cruza por sobre dos o más líneas
paralelas como el siguiente ejemplo:
Transversal
11
Ángulos especiales se forman cuando dos
líneas paralelas son cruzadas por otra
transversal.
TERMINOS:
Líneas Paralelas: Líneas que van una al
lado de otra, siempre a la misma
distancia pero que nunca se juntan.
Como las líneas del ferrocarril.
Línea Transversal:
Una línea que corta o cruza dos o más
líneas paralelas. Algunos matemáticos
las llaman secantes.
Ejemplo:
En los siguientes ejemplos, usted verá
tres pares especiales de ángulos que se
forman cuando las líneas paralelas son
cruzadas o cortadas por una transversal.
La primer clase se llama ángulos
correspondientes. El diagrama de la
siguiente página muestra que ∠a y ∠e
son ángulos correspondientes.
Ángulos correspondientes ∠a y ∠e
están en un mismo lado de la transversal,
ambos ven hacia la misma dirección,
tiene la misma medida en grados. En
este mismo diagrama hay otros tres pares
de ángulos correspondientes, revise
usted para hallarlos. ∠c y ∠g,
∠b y ∠f, y ∠d y ∠h.
12
ANGULOS ALTERNATIVOS
EXTERIORES
En el diagrama siguiente ∠h y ∠a son
llamados ángulos alternativos
exteriores.
Exterior quiere decir fuera de la línea
paralela y alternativo quiere decir con los
lados opuestos de la transversal. Ángulos
alternativos exteriores ven hacia el
espacio de afuera no de adentro de las dos
líneas paralelas.
Estos ángulos están a los lados opuestos
de la transversal y tienen la misma
medida en grados.
Cuando dos líneas paralelas son cortadas
por una transversal, hay dos pares de
estos ángulos. En el diagrama anterior el
otro par de ángulos alternativos exteriores
son ∠b y ∠g.
ANGULOS ALTERNATIVOS
INTERIORES
Aquí tiene un par de ángulos alternativos
interiores. ∠c y ∠f.
Interior quiere decir adentro, alternativo
quiere decir en los lados opuestos de la
transversal. Los ángulos alternativos
interiores siempre tienen la misma
medida en grados. También hay dos
pares de ellos, en el diagrama de arriba el
otro par es ∠d y ∠e.
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Ahora mire bien este diagrama que sigue:
Los cortes transversales sobre la línea
paralela son en ángulo recto. Todos los
ángulos miden 90°. Cuando una linea
cruza a otra y forma ángulos rectos se les
llama Línea Perpendicular. Si una
transversal es perpendicular a una de las
líneas paralelas lo es también a la otra.
Y otro detalle importante: Si dos líneas
son ambas perpendiculares a una misma
tercera línea, entonces ambas líneas
perpendiculares son también paralelas.
Para comprender mejor esto ultimo
simplemente fíjese en la línea
perpendicular de la que hablamos
primero, luego visualice la línea
perpendicular como una línea horizontal
donde las dos paralelas la cruzan ahora.
_________________________________
TERMINOS
Ángulos correspondientes: Dos ángulos
en el mismo lado de una transversal
mirando hacia la misma dirección.
Ángulos correspondientes son siempre de
la misma medida.
Ángulos Alternativos Exteriores: Dos
ángulos en los lados opuestos de una
transversal viendo hacia los lados de
fuera de la línea transversal. También
tienen siempre la misma medida.
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Ángulos Alternativos Interiores: Dos
ángulos del lado opuesto de la transversal
viendo hacia dentro de las líneas
paralelas. Tienen también la misma
medida.
Líneas Perpendiculares: Dos líneas que
forman ángulos rectos. (Como las
intersecciones de las calles)
HÁGALO USTED
Este diagrama muestra dos líneas
paralelas cruzadas por una transversal y
los ocho ángulos que se forman.
e f p q g h r s
Identifique lo siguiente:
a) El par de ángulos
correspondientes.
b) El par de ángulos
alternativos exteriores.
c) El par de ángulos
alternativos interiores.
Respuestas:
a) (∠e y ∠p) ó (∠f y ∠q) ó
(∠g y ∠r) y por último (∠h y ∠s).
b) ∠e y ∠s, y ∠g y ∠q
c) ∠f y ∠r y ∠h y ∠p.
Si tiene cosas un tanto confusas bien vale
la pena volver a leer toda la lección, si
aún así no comprende exactamente puede
comunicarse con su tutor quién debe estar
en la capacidad de resolver sus dudas y si
después de todo esto todavía tiene dudas
entonces llame al IED de 7am. A 7 pm.
15
De lunes a sábado para hablar con el
catedrático de matemáticas.
Si usted es alumno regular del IED o de
alguno de sus centros de tutoría puede
llamar y dé su número de estudiante. El
servicio de Tutoría para usted no tiene
ningún costo.
Si usted obtuvo este manual por otro
medio puede registrarse como estudiante
al IED enviando una carta de solicitud de
ingreso y un pago de Q60.00 lo que le da
derecho a asistencia por teléfono mientras
dure su estudio.
Si se registra puede recibir el Diploma de
Matemática Básica al aprobar los
exámenes que van incluidos en este
mismo libro.
16
IED La Escuela en su Casa Lote 4 Manzana H Sector 1 Villahermosa II San Miguel Petapa
Tel. 418-1635
HOJA DE REGISTRO PARA ESTUDIANTES QUE NO ESTÁN INSCRITOS EN
EL IED O EN ALGUNO DE SUS CENTROS DE TUTORIA.
Propósito:
Sabemos que este libro por ser tan fácil es distribuido de distintas maneras para ayudar a
cientos de estudiantes de cientos de establecimientos educativos e incluso por personas que
solo desean aprender la matemática que les daba temor antes. IED La Escuela en su Casa
no se opone al deseo y necesidad urgente que millones de personas tienen de superarse, es
más los animamos. Pero recuerden algo, envíe este formulario para que nosotros
podamos ayudarlo más, no le va a costar mucho y si le va a sacar adelante en sus dudas.
Envíe el formulario con su pago, si está dentro de la Republica de Guatemala envíe un
cheque a nombre de IED NUEVA VIDA por Q60.00, si no tiene manera de enviar
cheque pague ese dinero en la cuenta 01-042989-4 del Banco G&T la que se encuentra a
nombre de IED NUEVA VIDA luego envíe por King Express o Cargo Expreso este
formulario, la copia del depósito que le dan en el banco y fotocopia de su fe de edad o
cédula. Eso es todo.
Si vive en cualquier país que no es Guatemala envíe un Giro Bancario a nombre de IED
NUEVA VIDA por la cantidad de $15.00 (15 dólares) , los giros se compran en cualquier
banco de su país.
No utilice el correo nacional, en su país podrá funcionar bien pero aquí en Guatemala es
pésimo, utilice UPS, Federal Express ó DHL, si ninguna de esas compañías trabaja en
su país comuníquese al IED NUEVA VIDA porque a partir del año 2001 estamos
asociándonos con instituciones de Latinoamérica para que se hagan cargo de los servicios
de tutoría en cada país.
17
HOJA DE REGISTRO ESTUDIANTIL:
Nombre: __________________________________________________________________
(tal y como aparece en su documento de identificación)
Dirección Exacta ___________________________________________________________
(Calle, número de casa, colonia, municipio, provincia o departamento)
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Forma de pago: ____________________________________________________________
Fecha de envío: ____________________________________________________________
Grado de Estudio que actualmente tiene: ________________________________________
Firma: _________________________________________________
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EJERCICIO G2
Fíjese en el siguiente diagrama, las líneas
horizontales son paralelas. Si ∠a es 35°
de las medidas del resto de ángulos.
a b c d e f g h
1) ∠b 2) ∠f
3) ∠c
4) ∠g
5) ∠d
6) ∠h
7) ∠e
Respuestas:
1) 145° 2) 145° 3) 145° 4) 145° 5) 35° 6) 35° 7) 35°
EJERCICIO G3
Para las preguntas 1 a 5 encuentre las
medidas en grados para el ángulo
rotulado como ∠x. Circule la respuesta
correcta.
1)
x
35°
1) 55° 2) 145° 3)155°
2)
x
70°
1) 20° 2) 70° 3) 110°
19
3) 45° x
1) 40° 2) 50° 3)150°
4) x
50°
5)
20° X 10° 1) 30° 2) 45° 3)60°
6) Qué es verdad acerca de estos pares de
ángulos: Vertical, Correspondientes,
Alternativos interiores y Alternativos
exteriores?
1) Son formados por dos líneas
cruzadas.
2) Cada par siempre tiene la
misma medida.
3) Exactamente cada uno de
esos pares es formado cuando
dos paralelas son cruzadas
por una transversal.
7) En la siguiente figura, la línea X es
paralela a la línea Y. Si ∠g mide 30°
entonces ∠b medirá:
a b x c d
e f y g h
20
1) 15° 2)30° 3)60°
8) En el diagrama de abajo, ¿Cuál es
la medida de ∠3?
1 2
3 4 5 6 7 8 1) 30° 2) 60° 3) 90° PARA LAS PREGUNTAS ANTERIORES
CHEQUEE SUS RESPUESTAS EN LA
SIGUIENTE COLUMNA. Si tuvo todas
correctas puede seguir con la siguiente unidad, si
perdió por lo menos una vuelva a estudiar la
lección, repita el test concientemente; recuerde
que usted no debe engañarse solo.
Respuestas:
1) 2
2) 1
3) 1
4) 3
5) 3
6) 2
7) 2
8) 3
21