Leccion 3: Aproximacion de funciones

por polinomios. Formula de Taylor para

funciones escalares

3.1 Introduccion

Cuando es difcil trabajar con una funcion complicada, tratamos a veces de hallar una funcion

mas sencilla que, en cierto sentido, aproxime a la dada. Es facil trabajar con funciones lineales y por

lo tanto es natural hallar en principio una aproximacion lineal de la funcion dada.

Si consideramos la funcion f(x) derivable en x = a. La ecuacion de la recta tangente a la grafica

en (a, f(a)) es y = f(a) + f (a)(x a). Si aproximamos la grafica de la funcion por su tangente enx = a, tenemos lo que llamamos aproximacion lineal de la funcion en un entorno de a:

f(x) f(a) + f (a)(x a) con x proximo a a

Ejemplo 3.1.1 Los economistas Samuelson y Swamy estudiaban el comportamiento de la funcion

f(x) =(1 +

3

2x +

1

2x2

) 12

en un entorno de x = 0. Para ello podemos hacer la aproximacion lineal en dicho entorno es decir

f(x) = f(0) + f (0)(x 0)

y como

f (x) =1

2

(1 +

3

2x +

1

2x2

) 12

(3

2+ x

) f (0) = 3

4; f(0) = 1

tenemos que f(x) 1 + 34

x.

1

Ocurre que la mayora de las veces las aproximaciones por funciones lineales no son lo suficientemente

precisas y por lo tanto parece natural ensayar con aproximaciones mediante polinomios de grado

superior, ya que las funciones polinomicas son sencillas en el sentido que para calcular el valor de

una funcion en un punto solo tenemos que efectuar un numero finito de sumas y multiplicaciones.

3.2 Aproximaciones de funciones por polinomios. Desar-

rollo de Taylor

Dada la funcion real de variable real y = f(x), la idea consiste en tomar un valor a para el cual

sea conocido f(a) y construir un polinomio de grado n, que representaremos por Pn(x), cuya grafica

pase por el punto (a, f(a)) y aproxime bien a la grafica de la funcion en un entorno de a. Ahora

bien, la utilidad de las aproximaciones polinomicas es limitada a menos que sepamos el error a que

dan lugar. Parece natural exigir que f(x) Pn(x) tienda a cero cuando x tienda a a, pero es unaexigencia muy debil. Vamos a exigir que la diferencia f(x) Pn(x) se haga pequena comparada con(x a)n cuando x tienda a a, es decir que lim

xaf(x) Pn(x)

(x a)n = 0 .Para comenzar, tomamos en un intervalo de centro x = a el polinomio

Pn(x) = a0 + a1(x a) + a2(x a)2 + + an(x a)n

y observamos que Pn(a) = a0. Derivando Pn(x) y sustituyendo x = a tenemos que

P n(x) = a1 + 2a2(x a) + + nan(x a)n1 P n(a) = a1

Derivando P n(x) y sustituyendo x = a tenemos que

P n (x) = 2a2 + 3 2a3(x a) + + n(n 1)an(x a)n2 P n (a) = a2 a2 =P n (a)

2

Derivando y sustituyendo sucesivamente tendramos que

P n)n (a) = n(n 1)(n 2) 2 an an =P n)n (a)

n(n 1)(n 2) 2 1

Por tanto podemos escribir

Pn(x) = Pn(a) +P n(a)

1!(x a) + P

n (a)

2!(x a)2 + + P

n)n (a)

n!(x a)n

2

Podemos generalizar esta idea a una funcion real de variable real.

Definicion 3.2.1 Sea y = f(x) una funcion real de variable real definida en un intervalo abierto I

que contenga a a (f : I IR IR) n veces derivable en a. Llamamos Polinomio de Taylor de lafuncion en a:

Pn(x) = f(a) +f(a)

1!(x a) + f

(a)

2!(x a)2 + + f

n)(a)

n!(x a)n

Teorema 3.2.1 Sea f : I IR IR n veces derivable en a y tal que la derivada n-esima de lafuncion sea continua en a. Sea Rn(x) = f(x) Pn(x), donde Pn(x) es el polinomio de Taylor de lafuncion en a, entonces lim

nRn(x)

(x a)n = 0 .A Rn(x) se le llama resto o termino complementario.

Demostracion:(T.C.)

limn

Rn(x)

(x a)n = limnf(x) f(a) + f

(a)

1!(x a) + f

(a)

2!(x a)2 + + f

n)(a)

n!(x a)n

(x a)n

Si aplicamos la Regla de LHopital sucesivamente llegaremos a

limn

Rn(x)

(x a)n = limnfn)(x) fn)(a)

n!=

0

n!= 0

Nota 3.2.1 En este caso decimos que Rn(x) es un infinitesimo de orden (x a)n y lo expresamosRn(x) = (x a)n

A la expresion

f(x) = f(a) +f(a)

1!(x a) + f

(a)

2!(x a)2 + + f

n)(a)

n!(x a)n + (x a)n

se le llama Formula de Taylor con resto en forma infinitesimal.

Ejemplo 3.2.1 Hallar el desarrollo de Taylor hasta grado n de la funcion f(x) = ln(x) en un

entorno de x = 1 dando el resto en forma infinitesimal.

Calculamos las derivadas hasta orden n de la funcion en el punto x = 1

f(x) = ln(x) f(1) = ln(1) = 0

3

f (x) =1

x f (1) = 1

f (x) = 1x2

f (1) = 1

f (x) =2

x3 f (1) = 2...

fn)(x) = (1)n+1 (n 1)!xn

fn)(1) = (1)n+1(n 1)!

Sustituyendo en la formula de Taylor

f(x) = (x 1) 12(x 1)2 + 1

3(x 1)3 + (1)

n+1(n 1)!n!

(x 1)n + (x 1)n

Por ejemplo

f(x) (x 1) 12(x 1)2 + 1

3(x 1)3

sera una aproximacion por un polinomio de grado tres.

El teorema que viene a continuacion suministra una formula explcita para el resto.

Teorema 3.2.2 Sea f : [a, b] IR IR y f derivable con continuidad n veces (f es de clase Cn) enun entorno de a y supongamos que exista fn+1)(a), entonces existe c (a, b) tal que

f(b) = f(a) +f(a)

1!(b a) + f

(a)

2!(b a)2 + + f

n)(a)

n!(b a)n + f

n+1)(c)

(n + 1)!(b a)n+1

Demostracion:(T.C.) Sea

g(x) = f(b) f(x)n

k=1

fn)(x)

k!(b x)k

(n + 1)!(b x)n+1

donde es tal que g(a) = 0. La funcion g verifica el Teorema de Rolle, luego c (a, b)/g(c) = 0.Derivando y simplificando en la expresion de g(x) tenemos que

g(x) = fn+1)(x)

n!(b x)n +

n!(b x)n

Como g(c) = 0, entonces

fn+1)(c)

n!(b c)n +

n!(b c)n = 0 = fn+1)(c)

con lo que queda demostrado el teorema.

4

Nota 3.2.2 El Teorema de Rolle nos dice que si f : [a, b] IR IR y f es (n + 1) veces derivableen (a, b) con f(a) = f(b), entonces c (a, b)/f (c) = 0.

Si en la expresion anterior cambiamos b por x, tenemos que

f(x) = f(a) +f(a)

1!(x a) + f

(a)

2!(x a)2 + + f

n)(a)

n!(x a)n + f

n+1)(c)

(n + 1)!(x a)n+1

con c (a, x). ARn(x) =

fn+1)(c)

(n + 1)!(x a)n+1

le llamamos Resto de Lagrange.

Esta formula del resto da una pista sobre el lmite superior del error que se comete al sustituir f

por el polinomio n-esimo de Taylor. Supongamos, por ejemplo, que para todo x que pertenece a un

entorno de a se verifica que |fn+1)(a)| M , podemos decir que en ese entorno

Rn(x) M(n + 1)!

|x a|n+1

cuando n es grande y x esta proximo a a, entonces |Rn(x)| es pequeno ya que (n + 1)! es grande ycomo |x a| < 1, entonces |x a|n+1 sera pequeno.

Definicion 3.2.2 (Formula de Maclaurin) Al desarrollo de Taylor en a = 0, le llamamos la

formula de Maclaurin, es decir

f(x) = f(0) +f(0)

1!x +

f(0)

2!x2 + + f

n)(0)

n!xn +

fn+1)(c)

(n + 1)!xn+1

con c (0, x) (de otra manera: c = x con 0 < < 1).

Ejemplo 3.2.2 Obtener el desarrollo de Maclaurin de f(x) = ex. aplicarlo para calcular con un

error menor que una milesima el valor de

e.

Calculamos las derivadas hasta orden n de la funcion en el punto x = 0

f(x) = ex f(0) = e0 = 1

f (x) = ex f (0) = 1

f (x) = ex f (0) = 1

5

...

fn)(x) = ex fn)(0) = 1

Por tanto

f(x) = ex = 1 + x +1

2x2 + + 1

n!xn +

ec

(n + 1)!xn+1

con c (0, x) es el desarrollo pedido con el resto de Lagrange.El error cometido en la aproximacion es

ec

(n + 1)!xn+1

Para calcular

e debemos tomar primero x =1

2y por tanto el error sera

Rn(1

2) =

ec

(n + 1)!

(1

2

)n+1

Como c (0,

1

2

)y ex es creciente, tenemos que

ec < e

(1

2

)

< 3

(1

2

)

< 2 Rn

(1

2

)