LECCIONES PITAGÓRICAS PARA EL SIGLO XXI

MIGUEL DE GUZMÁN

Real Academia de Ciencias

Con el pitagorismo, en el siglo VI a. C , nació la mate-mática tal como hoy la concebimos, como una cienciadeductiva, paradigma de todas las otras ciencias y, al mis-mo tiempo, instrumento esencial para el desarrollo de to-das ellas. Pero el pitagorismo primitivo no concibió elpensamiento matemático tan sólo como una ciencia lle-na de armonía y belleza en sí misma y un instrumentopara mejor explorar e interpretar la propia armonía delUniverso, sino como una escala para ascender hacia losorígenes divinos del Universo o, tal como afirmabanlos propios pitagóricos, para profundizar «en las raíces yfuentes de la naturaleza». De esta forma se puede concluirque los pitagóricos constituyeron lo que al tiempo se pue-de considerar como «una comunidad científica y her-mandad religiosa» (B. van der Waerden), cuya perviven-cia como grupo organizado duró muchos siglos y cuyainfluencia fue decisiva para el desarrollo de la cosmovi-sión científica predominante en la cultura occidental. Alo largo de los siglos de desarrollo de la ciencia y de la ma-temática, y en nuestros mismos días, la impronta del pi-tagorismo ha estado siempre presente de modo implícitoen la comunidad científica y también muy explícitamen-te en miembros destacados de ella. En este artículo trata-remos de recoger algunas de las lecciones que el espíritudel pitagorismo legó a la matemática de todos los tiemposy de examinar su vigencia al proyectarlas hacia el futurode nuestra ciencia. Pata ello intentaremos primero de-sentrañar algunos de los aspectos más importantes del pi-tagorismo que han conformado nuestra cultura occiden-tal, inicialmente sobre todo a través de Platón, el grantransmisor de muchas de las ideas y actitudes pitagóricas.Parte de las ideas aquí recogidas han sido expuestas másampliamente en un trabajo dedicado a los pitagóricos quefue publicado por la Real Academia hace unos años. Ensegundo lugar examinaremos los rastros del pitagorismopresentes en algunos de los momentos más trascendenta-les para la evolución de la ciencia y de la matemática, ta-les como el Renacimiento y el siglo XVII. Finalmente ex-ploraremos las consecuencias y retos que esta actitudentraña para los diferentes aspectos de nuestro quehacermatemático en sus distintos aspectos.

TRES AFIRMACIONES SORPRENDENTES

Para quien está acostumbrado a ver la matemática comouna mera técnica, más o menos rutinaria, ciertamente útilpara muchas actividades relacionadas con las diversas cien-cias y tecnologías, pero bastante neutral y apartada delpensamiento humanístico y filosófico, pueden resultar untanto chocantes los siguientes testimonios de tres emi-nentes matemáticos bastante cercanos a nosotros en eltiempo.

En 1973, la Academia de Ciencias de Góttingen con-cedió a I. R. Shafarevich el premio Heinemann por laimportancia de su investigación matemática. Con tal mo-tivo, el matemático soviético pronunció un discurso ti-tulado «Sobre ciertas tendencias en el desarrollo de la ma-temática», publicado en ruso y en alemán en Jahrbuchder Akademie der Wissenschafien in Góttingen (1973, págs.37-42), y más tarde traducido al inglés en The Mathe-matical Intelligencer. En él, Shafarevich, después de ar-gumentar que el objetivo último que justifica la actividadmatemática no puede encontrarse en su mera aplicabili-dad, se remonta a los pitagóricos con las siguientes pala-bras:

La matemática como ciencia nació en el siglo VI a. C.en la comunidad religiosa de los pitagóricos y fue parte deesta religión. Su propósito estaba bien claro. Revelando laarmonía del mundo expresada en la armonía de los núme-ros, proporcionaba un sendero hacia una unión con lo di-vino. Fue este objetivo elevado el que en aquel tiempo pro-porcionó las fuerzas necesarias para un logro científico delque en principio no puede darse parangón. Lo que estabaen juego no era el descubrimiento de un bello teorema nila creación de una nueva rama de la matemática, sino lacreación misma de las matemáticas.

Entonces, casi en el momento de su nacimiento, habíanaparecido ya aquellas propiedades de la matemática graciasa las cuales las tendencias humanas generales se manifies-tan más claramente que en ninguna otra parte. Esta es pre-cisamente la razón por la que en aquel tiempo las mate-máticas sirvieron como modelo para el desarrollo de losprincipios fundamentales de la ciencia deductiva.

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En conclusión, quiero expresar la esperanza de que poresta misma razón la matemática ahora pueda servir comomodelo para la solución del problema fundamental de nues-tro tiempo: revelar un supremo objetivo y propósito religiosopara la actividad cultural humana.

El segundo testimonio proviene de Hermann Weyl(1885-1955), uno de los más grandes matemáticos del si-glo XX, que, aparte de sus muchas contribuciones en im-portantes temas del análisis matemático, se ocupó con pro-fundo interés y reconocimiento de aspectos filosóficos dela matemática. Su obra más importante en esta direcciónes Philosophy ofMathematics and Natural Sciences (Prince-ton University Press, Princeton, 1949), que es una reela-boración de un tratado escrito en los años veinte en alemán.

En la página 125 de la edición americana, tratando deexplicar las raíces profundas del pensamiento matemáti-co, Weyl dice:

El mundo externo como postulado no garantiza que talmundo vaya a surgir a partir de los fenómenos a través dela acción cognitiva de la razón que trata de crear una con-cordancia con ellos. Para que esto tuviera lugar sería nece-sario que el mundo estuviera gobernado por leyes simpleselementales. Por lo tanto el proponer el mundo externocomo una mera construcción de la razón no explica real-mente lo que se pretendería explicar con ello. La cuestiónde la realidad del mundo se mezcla inseparablemente conla cuestión relativa a su armonía con las leyes matemáti-cas. Esto último apunta claramente en otra dirección detranscendencia distinta de la de un mundo transcendente;apunta hacia el origen, más bien que hacia el producto. Asíla razón última se encuentra más allá de todo conocimien-to, solamente en Dios; emanando de él, la luz de lo cons-ciente, con su propio origen oculto a ello mismo, se acogea sí misma en autopenetración, dividida y suspendida en-tre sujeto y objeto, entre significado y ser.

Por otra parte, en 1932 Weyl fue invitado por la Uni-versidad de Yale para impartir las Terry Lectures, uno delos acontecimientos intelectuales que cada año tenían lu-gar en dicha universidad, en forma de tres conferenciassolemnes. El tema elegido por Hermann Weyl fue «ElUniverso abierto» y la primera de las conferencias llevabapor título Dios y el Universo. En ella se puede leer:

Mucha gente piensa que la ciencia moderna está muyapartada de Dios. Yo opino, por el contrario, que es mu-cho más difícil hoy para la persona interesada aproximar-se a Dios a partir de la historia, a partir del aspecto espiri-tual del mundo y a partir de la experiencia moral. Porqueahí nos encontramos con el sufrimiento y el mal en el mun-do, que es difícil de armonizar con un Dios todomiseri-cordioso y todopoderoso. En este campo no hemos logra-do aún, evidentemente, levantar el velo con el que nuesttanaturaleza humana cubre la esencia de las cosas.

Pero en nuestro conocimiento de la naturaleza física he-mos penetrado tan lejos que podemos obtener una visiónde la armonía sin manchas que está en congruencia con larazón sublime.

Aquí no hay ni sufrimiento, ni mal, ni deficiencia algu-na, sino sólo perfección. Nada nos impide tomar partecomo científicos en la adoración cósmica que encontró tanpoderosa expresión en el más sublime poema de la lenguaalemana, la canción de los arcángeles al comienzo del Faus-to de Goethe:

«El sol resuena con acorde antiguoen fraterna unión con las esferas,y con paso de trueno acompañasu prescrito viaje.Su presencia presta su fuerza a los ángeles,cuando ningún otro puede fortalecerles;los excelsos engranajes de la alturamantienen su señorío como el primer día».

El tercer testimonio proviene de Ludwig Wittgenstein(1889-1951). En la última parte de la famosa obra de suprimer periodo de vida filosófica, el Tractatus Logíco-phi-losophicus (1921), la parte final que se suele denominar«mística» y que revela lo que para Wittgenstein era el sen-tido profundo, ético, del Tractatus, aparecen las siguien-tes afirmaciones:

6.52. Percibimos que, incluso aunque todas las posiblespreguntas científicas sean contestadas, los problemas refe-rentes a nuestra vida no han sido tocados en absoluto. Escierto que precisamente entonces no queda ninguna pre-gunta; y exactamente esto es la respuesta.

6.521. La solución del problema de la vida se caracteri-za por la desaparición de este problema (¿no es este el mo-tivo por el que personas para quienes el sentido de la vidaresultó claro tras largas dudas no pudieron decir en quéconsistía este sentido?).

6.522. Existe ciertamente lo inexpresable. Esto se mues-tra, es lo místico.

Lo inexpresable, para el Wittgenstein de esa primeraépoca y para el de una época un poco posterior, era lo másimportante, como él mismo afirmaba en «Vermischte Be-merkungen», un texto publicado en 1931:

Lo inexpresable (aquello que me parece misterioso y nopuedo expresar) proporciona tal vez el fondo sobre el quealcanza sentido aquello que pude expresar.

En versión original:

Das Unaussprechbare (das, was mir geheimnisvoll ers-cheint und ich nich auszusprechen vermag) gibt vielleichtden Hintergrund, auf dem das, was ich aussprechen konn-te, Bedeutung bekommt.

¿Cuál es la explicación de estas afirmaciones, que pue-den sonar tan extrañas en boca de los matemáticos? Esevidente que no provienen de individuos aislados del que-hacer común de los matemáticos de su tiempo. A mi pa-recer, estas voces aparecen como una resonancia de algomuy antiguo y permanente en la matemática... y que nosvendría muy bien recordar.

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EL PENSAMIENTO PITAGÓRICO

Los orígenes del pitagorismo

El nacimiento y la pervivencia del pitagorismo es unode los fenómenos más interesantes en la historia de la cien-cia y de la cultura en general. Surgió, se desarrolló y seexpandió como un modo de vida religioso. Su armazón in-telectual estaba basado en la visión del Universo comocosmos, en contraposición al caos, es decir, como un todoordenado y organizado de acuerdo con leyes asequibles ala razón humana. El mismo impulso religioso conducía ha-cia la búsqueda y contemplación de la armonía intelectual,implantada en este Universo como paradigma de con-ducta humana y como camino y método de elevación es-piritual, en búsqueda de las raíces y fuentes de la natura-leza.

En nuestra cultura, fuertemente impregnada por el es-píritu científico, que acepta esta cosmovisión de fondocomo base implícita e indiscutida, transmitida en sus lí-neas generales a través de los siglos desde las mismas raí-ces pitagóricas, el brillo de la idea fundamental de la ra-cionalidad del Universo se nos presenta apagado ydesgastado por la costumbre. La armonía de las esferas noes para nosotros más que el constante ruido de fondo queescuchamos en nuestro quehacer racional.

Pero el mundo del siglo VI en que a Pitágoras le tocó vi-vir era muy distinto. Las invasiones persas habían aproxi-mado hacia los griegos las milenarias culturas orientales,con su abigarrado espíritu religioso y su actitud mística ycontemplativa, que originaban una especial forma de ra-cionalidad. El espíritu religioso oriental no buscaba, nibusca, el camino hacia la comunión con lo divino a tra-vés de la contemplación racional del Universo, sino másbien mediante la negación de la búsqueda misma de larazón, merced a formas de comunicación internas del es-píritu. Pero junto con esta vena mística del espíritu, lacultura oriental había realizado admirables conquistas dela razón, plasmadas, por ejemplo, en los desarrollos as-tronómicos y aritméticos realizados por los babilonios másde un milenio antes de que Pitágoras naciese. Tal vez unade las razones profundas del hondo enraizamiento del mo-vimiento pitagórico en la cultura griega y en su heredera,la cultura occidental en que hoy vivimos, consistió en elacierto de Pitágoras al unificar ambas tendencias, racionaly contemplativo-religiosa, dando forma a lo que llegó a ser,mucho más que una escuela de pensamiento, una formade vida.

Pitágoras

La figura de Pitágoras nos aparece coloreada y fuerte-mente fabulada por la pluma de sus hagiógrafos tardíosDiógenes Laercio y Porfirio, del siglo III d. C , y Iámbli-co, del siglo IV. Pero, ya incluso en el siglo V a. O , Heró-doto mismo presenta un Pitágoras mítico, confundidocon una figura tan fabulosa como Zalmoxis, medio héroe,

medio dios. Y también la figura que dibuja Aristóteles enlos fragmentos que se conservan aparece entre las brumasde la leyenda. Es una lástima que la obra que Aristótelesdedicó a los pitagóricos, bajo este título, oipythagorikoi,no haya llegado hasta nosotros, pues sin duda con ellatendríamos una visión mucho más cabal del pitagoris-mo primitivo, aunque probablemente no de Pitágorasmismo.

Lo que sobre la vida de Pitágoras se sabe con relativaseguridad es lo siguiente. Nació en la isla de Samos, jun-to a Mileto, en la primera mitad del siglo VI a. C. Fuehijo de Menesarco, tal vez un rico comerciante de Samos.Probablemente viajó a Egipto, Fenicia y Babilonia. Volvióa Samos durante la dictadura de Polícrates (538-522 a. C) .Hacia 529 a. C. viajó al sur de Italia y fundó en Crotonala fraternidad pitagórica. Murió muy anciano en Meta-ponto.

Se discute sobre los siguientes datos de su vida: año desu nacimiento (600 a. O , según Eratóstenes; 570 a. C ,según Aristoxeno); cronología exacta de sus viajes; quésucedió con él cuando los ciudadanos de Crotona expul-saron a los pitagóricos en 509 a. O ; si murió violenta-mente o no en Metaponto.

Se pueden distinguir tres etapas en su vida: la primeraen el mundo griego, la segunda de viajes a Babilonia yEgipto y la tercera en lo que más tarde se llamó la Mag-na Grecia (sur de Italia), con un intermedio en Samos en-tre la segunda y la tercera etapas.

Poco se sabe de las dos primeras. Iámblico cuenta quePitágoras visitó a Tales en Mileto, lo que cronológica-mente es factible y geográficamente muy posible por laproximidad entre Samos y Mileto. También allí pudo co-nocer al filósofo Anaximandro personalmente. Como sumaestro se cita sobre todo a Ferekides de Siros (Aristóte-les, Aristoxeno, Dicaiarcos) a quien Aristóteles caracteri-za como teólogo y taumaturgo.

Sobre los viajes a Oriente de Pitágoras existen muchasleyendas, que sus biógrafos posteriores narran en detalle.Pero el hecho de sus estancias en Egipto y Babilonia apa-rece ya atestiguado en escritores mucho más antiguos,como Isócrates (siglo IV a. O), Heródoto (siglo V a. C.)y Aristoxeno (siglo IV a. O). Por otra parte, el parentes-co de muchas de las ideas pitagóricas primitivas, tantomatemáticas y astronómicas como religiosas, delatan cla-ramente el fuerte influjo oriental y egipcio, y se puedepensar con confianza que pertenecen al acervo de ense-ñanzas iniciales de Pitágoras mismo.

Según algunas tradiciones, al volver Pitágoras a Samosse le pidió que enseñase sus ideas a sus propios conciuda-danos. Al parecer les resultó demasiado abstracto y su en-señanza tuvo poco éxito. Esto, junto con la opresión deltirano Polícrates, le debió de conducir a tomar la decisiónde emigrar.

En 529 a. C. Pitágoras se trasladó a la polis (ciudad-es-tado) de Crotona, fundación aquea del siglo VIII a. C , enla parte sur del golfo de Tarento. Las colonias griegas delsur de Italia gozaban entonces de una gran prosperidad,

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especialmente Síbaris, famosa en el mundo griego por susriquezas y su vida lujosa. Crotona era su principal rival yvecina. Allí llegó Pitágoras con un sistema de pensamientomás o menos perfilado después de su larga experienciapor Oriente y Egipto. La ciudad le pidió que expusierasus ideas y, según la tradición, Pitágoras dirigió por sepa-rado cuatro grandes discursos a los jóvenes, el Senado, lasmujeres y los niños. El contenido de estos cuatro discur-sos, tal como ha sido transmitido por diversos conduc-tos, está lleno de recomendaciones morales de gran per-fección, fundamentadas especialmente en la necesidad deajustar la conducta humana a los cánones de armonía y jus-teza que se derivan de la naturaleza misma de las cosas eilustradas con elementos específicos de la mitología de loshabitantes de Crotona. Como consecuencia de este primercontacto surgió, al parecer, no sólo en Crotona, sino en todaItalia, un gran entusiasmo por Pitágoras.

Durante algún tiempo, muchos historiadores contem-poráneos consideraron a los biógrafos posteriores de Pi-tágoras como poco más que novelistas que pretendían ex-clusivamente transmitir una imagen edificante del santopatrón del pitagorismo de su tiempo, tanto en su activi-dad como en su enseñanza religiosa y científica. Hoy exis-te una cierta tendencia, representada sobre todo por laobra de Van der Waerden Die Pythagoreer (1979), que mesirve de pauta principal en mi exposición, a concederlesuna mayor verosimilitud, teniendo en cuenta que ellos,muy probablemente, pudieron disponer de documentosantiguos, hoy perdidos, testimonios de tradiciones mu-cho más cercanas a los orígenes del movimiento pitagórico.

La comunidad pitagórica.Generaciones de matemáticos

Los ciudadanos de Crotona propusieron, al parecer, aPitágoras que continuase su labor de formación moral eintelectual de jóvenes y adultos. Los esfuerzos de Pitá-goras se debieron de centrar, en lo que concierne a la for-mación personal completa, en los jóvenes a quienes en-contró más flexibles y con más capacidad de absorber elespíritu pitagórico plenamente. Puesto que su sistema depensamiento estaba basado en el descubrimiento y con-templación de la armonía del cosmos, y a ello se habríade llegar muy fundamentalmente a través de la intro-ducción en consideraciones científicas, muy difíciles paralos más adultos, ocupados en los asuntos de la ciudad,estableció de modo natural dos formas distintas de ense-ñanza. Así es como explica Iámblico (Vita Pyth., 88) laexistencia en la primitiva comunidad pitagórica de dos cla-ses de miembros, los matemáticos (mathematikoi, 'cono-cedores'), es decir, los iniciados a quienes Pitágoras co-municaba los conocimientos científicos a su disposición,y los acusmáticos (akousmatikoi, 'oidores'), que partici-paban de los conocimientos y creencias, de los principiosmorales, ritos y prescripciones específicas de la herman-dad, si bien sin conocer en profundidad las razones de sucredo y su proceder.

Esta distinción resultó ser de enorme trascendencia enla evolución de la comunidad pitagórica. Los acusmáticosse constituyeron en custodios de las enseñanzas de Pitá-goras y su preocupación fue que éstas se conservaran talcomo Pitágoras las había transmitido. Los matemáticosse consideraban continuadores más bien del espíritu dePitágoras, basado en el conocimiento científico y, puestoque es connatural a éste su propia evolución, era claropara ellos que el conjunto de conocimientos de Pitágorasera susceptible de perfeccionamiento. Era natural que estadiversidad de pareceres condujera a la división de la co-munidad con la desaparición de Pitágoras y, en efecto, asísucedió.

La distinción entre matemáticos y acusmáticos es trans-mitida por múltiples canales. Iámblico es quien narramás por extenso la división entre ellos y su narración pa-rece haber sido tomada de la obra perdida de Aristótelessobre los pitagóricos. Al parecer fue Hipaso el principalrepresentante de los matemáticos. Se debió de ocuparcon notable éxito de hacer avanzar los conocimientosmatemáticos. A principios del siglo V a. C. (500-480)entró en conflicto con los acusmáticos, ya que fue el pri-mero en ofrecer por escrito al público en general el «se-creto de la esfera de los doce pentágonos» (Iámblico, VitaPyth., 88), y en castigo por ello murió en un naufragio.El «secreto de la esfera de los doce pentágonos» alude acierta construcción relacionada con el dodecaedro regu-lar que los pitagóricos primitivos deseaban mantener ensecreto, como el grueso de su doctrina. En otro lugar,Iámblico (Vita Pyth., 246-247) cuenta que aquél que re-veló «la naturaleza del conmensurable y del inconmen-surable a quienes no eran dignos de participar de talesconocimientos» fue expulsado de la comunidad. Los pi-tagóricos le erigieron una tumba como si para ellos yahubiera muerto. Parece probable que fuera Hipaso mis-mo el personaje que reveló por primera vez la existenciade longitudes inconmensurables, y precisamente a travésde un estudio del pentágono regular. Iámblico acusa aHipaso de haberse atribuido el mérito de sus descubri-mientos, «siendo así que todos proceden de El», es decir,de Pitágoras. Se puede pensar razonablemente que Hipasofue un gran matemático que, efectivamente, dio por pri-mera vez con la existencia de longitudes inconmensura-bles, es decir, tales que una no es un múltiplo de una par-te de la otra, dando con ello al traste con la acariciadacreencia de los pitagóricos primitivos de que todo debeestar regido por los números enteros y las proporcionesentre ellos. La versión que Iámblico cuenta, acusando aHipaso de plagio, proviene, según la conjetura de Vander Waerden, del círculo de pitagóricos matemáticos anó-nimos de entre 480-430 a. C , de quienes la tomó Aris-tóteles. Estos pitagóricos fueron potentes matemáticoscon la estrategia común de atribuir a Pitágoras mismosus descubrimientos.

Sería interesante señalar el modo según el cual Hipasopudo dar con el número irracional, pero esto nos alejaríademasiado de nuestro tema central.

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mos.- 4.a

Así como entre los pitagóricos acusmáticos, como esnatural, apenas se pueden distinguir etapas evolutivas, en-tre los pitagóricos matemáticos que se dedicaron al desa-rrollo de la ciencia estas etapas se pueden diferenciar concierta probabilidad. Así, Van der Waerden distinguecinco generaciones en el pitagorismo entre los años 530-360 a. C :

- 1 . a generación (530-500 a. C) : Pitágoras.- 2.a generación (520-480 a. C ) : Hipaso de Meta-

ponto, Alcmeon.— 3.a generación (480-430 a. O): Matemáticos anóni-

)S .

4.a generación (440-400 a. C ) : Filolao, Teodoro.5.a generación (400-360 a. C) : Arquitas deTarento.

Los matemáticos anónimos de la tercera generación de-bieron de constituir un grupo muy interesante, del queAristóteles se hace eco con admiración. De ellos hablacomo de los fundadores de la matemática tal como se cul-tivaba en su tiempo, una matemática adulta, rigurosa yampliamente evolucionada. «Estiman mucho la exactitudde la argumentación en las ciencias matemáticas, porquesólo ellas poseen demostraciones», decía Aristóteles (Iám-blico, De communi matb. sci, 78).

Filolao, de la 4.a generación, fue de estilo grandilocuentey ampuloso, sin mucho rigor matemático. Su astronomíatambién carece de rigor científico. Conocía y utilizaba lossaberes matemáticos, pero su lógica y su matemática re-sultan más bien flojas.

Algunos fragmentos de la enseñanza pitagórica

Armonía del cosmos

Pocos han sido los filósofos y muchos menos los cien-tíficos que han sabido encarnar sus enseñanzas con ele-mentos sensibles tan acertadamente como Pitágoras. La fa-mosa armonía de las esferas de la enseñanza pitagóricaprimitiva era mucho más profunda que la mera conjetu-ra de la consonancia de las notas que los astros producenen su movimiento. El elemento fundamental del pensa-miento de Pitágoras es la visión del Universo como cos-mos, un todo ordenado y armoniosamente conjuntado. Eldestino del hombre consiste en considerarse a sí mismocomo una pieza de este cosmos, descubrir el lugar propioque le está asignado y mantener en sí y en su entorno, enlo que está de su parte, la armonía que es debida de acuer-do con el orden natural de las cosas.

La armonía cósmica entendida en este sentido fue pro-bablemente una audaz conclusión de madurez, a la quePitágoras llegó a través de la observación de la congruenciade sus consideraciones científicas sobre números, figurasy notas musicales, con las ideas orientales sobre el alma,los astros y la divinidad. Los números constituían el ar-mazón inteligible de las formas en la aritmética figurati-va de los pitagóricos, construida por ellos mediante pie-

dras (psefoi, 'cálculos'). Al mismo tiempo los númerosdesvelaban las proporciones que regían las consonanciasmusicales. ¿No era natural ver en el número el principiointeligible a través del cual el cosmos divino goberna-do por el espíritu manifestaba al hombre su armoníainterna?

Según cuentan Porfirio (Vita Pyth., 30-31) y Iámblico(Vita Pyth., 64-66) en un pasaje que toman de Nicóma-co de Gerasa (ca. 50-150 d. C) , quien por su parte pare-ce hacerse eco de fuentes pitagóricas antiguas, Pitágoras «di-rigía su oído y su espíritu hacia las sublimes consonanciasdel cosmos gracias a una inefable capacidad divina difícilde imaginar. Con ello oía y entendía él solo, según expli-caba, toda la armonía y el concierto de las esferas y los as-tros que en él se mueven».

La música era entre los pitagóricos el símbolo de la ar-monía del cosmos, a la vez que un medio para lograr elequilibrio interno en el espíritu mismo del hombre.

El juramento pitagórico

Bajo diversas formas se ha conservado una breve fór-mula pitagórica de difícil interpretación que, según es desuponer, contenía algo muy cercano a la quintaesencia delespíritu pitagórico. En la versión más corriente reza así:«No, por Aquél que ha entregado a nuestras almas la Te-traktis, una fuente que contiene las raíces de la naturale-za eterna».

Al parecer constituye un juramento de secreto sobre elcontenido de la enseñanza pitagórica, reservado a miem-bros de la comunidad exclusivamente. «Aquél», por su-puesto, es Pitágoras mismo, a quien los pitagóricos pri-mitivos no osaban nombrar. La Tetraktis, o cuaterna,consiste probablemente en los números 1, 2, 3, 4, queconjuntamente solían representar los pitagóricos en estaforma figurativa:

xX X

X X X

X X X X

¿En qué sentido la Tetraktis podía ser «fuente de las raí-ces de la naruraleza eterna»? Según parece, la Tetraktis alu-de a la iluminación pitagórica inicial y fundamental sobrelas proporciones numéricas que rigen las notas musicalesconsonantes: el tono (1:1), la octava (1:2), la quinta (3:2)y la cuarta (4:3). Más adelante tendremos ocasión de con-siderar en detalle los experimentos musicales con cuerdasque pusieron de manifiesto tales proporciones. En la ex-periencia pitagórica esta observación debió de constituirel estímulo decisivo para la extrapolación cuasimística deque el cosmos es de algún modo alcanzable a través del nú-mero. Tal vez es en este sentido en el que se exalta la Te-traktis como fuente del conocimiento de las raíces de la ar-monía de la naturaleza eterna, en el cual se basa la existenciapitagórica.

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Se puede uno preguntar: ¿cuál fue el sentido del secretopitagórico que el juramento solemnemente impone? En-tonces, como hoy, el secreto compartido constituía un fuer-te vínculo de conexión entre los miembros de una comu-nidad reducida. La comunidad pitagórica llegó a tener unacomplicada organización interna, con largos periodos de no-viciado, pruebas de silencio y de robustecimiento del espíritua través de experiencias encaminadas a fomentar la hu-mildad y la asimilación paulatina del espíritu pitagórico.Muchas de las doctrinas esotéricas de los pitagóricos seprestaban, fuera de su contexto integral, a malentendidosque era conveniente evitar. Las mismas enseñanzas mate-máticas cobraban, probablemente, un halo especial en elambiente de los iniciados pitagóricos, constituyendo paraellos un soporte de su camino de vida, con un significadoque iba mucho más allá del carácter de mera curiosidadespeculativa que podían atribuirles los espectadores exter-nos. Por otra parte, en la vida religiosa de la Grecia con-temporánea a Pitágoras abundaban extraordinariamentelos misterios o ceremonias secretas de iniciación y purifi-cación progresiva, con la finalidad de provocar en el espí-ritu del iniciado un estado de veneración, fervor religiosoy entusiasmo místico, llevados a cabo en una parte ocultadel templo. Los festivales nacionales de Delfos o Eleusisincluían misterios celebrados con genuina exaltación reli-giosa. Parece muy probable que Pitágoras adoptase, en latarea de formación de sus adeptos, métodos y técnicas cuyaeficacia había constatado mediante la observación.

Este rasgo secretista de la enseñanza pitagórica primiti-va fue mitigado más adelante. El no rotundo del jura-mento aparece convertido en sí en los Versos áureos, unacompilación de enseñanzas pitagóricas escrita probable-mente en el segundo o tercer siglo después de Cristo, te-niendo a la vista fuentes mucho más antiguas, y destina-da a expandir la doctrina pitagórica a todos los hombres.

He aquí algunas de sus consideraciones con más pro-babilidad de pertenecer al pitagorismo primitivo:

1. Honra ante todo a los dioses inmortales, como man-da la ley,

2. y observa el juramento. Honra también a los nobleshéroes

3. y a los dioses del mundo inferior con las ofrendasprescritas.

9. [...] acostúmbrate a ser señor10. ante todo de tu vientre, del sueño, de la lascivia y de

la ira.11. Nunca hagas nada vergonzoso ni con otros ni con-

tigo mismo; sobre todo avergüénzate de ti mismo.

17. Hay dolores que llegan a los humanos por designiodivino. Por ello

18. cuando la fatalidad te alcance, sopórtala y no la lle-ves mal.

19. Remedíala, cuanto de tu parte esté, y piensa20. que el destino al que es bueno no le reserva mucho

de ella.

40. No dejes que el sueño suave llegue a tus ojos41. antes de que hayas repasado en tu mente por tres ve-

ces cada una de tus acciones del día.42. «¿En qué he faltado? ¿Qué he hecho? ¿Qué he omi-

tido?».43. Comienza desde el principio y recórrelo todo.44. Si has hecho algo mal, arrepiéntete; si has hecho algo

bien, alégrate.46. Esto te conducirá por las huellas de la virtud divina.47. Sí, por Aquél que ha entregado a nuestra alma la Te-

traktis48. fuente de la naturaleza eterna.

Inmortalidad del alma

Porfirio, en su biografía de Pitágotas (Vita Pyth., 19)ttansmite un testimonio de Dicaiarcos, un alumno deAristóteles, que resume las enseñanzas de Pitágoras en es-tos cuatro puntos:

1. El alma es inmortal.2. Las almas cambian su lugar, pasando de una forma

de vida a otra.3. Todo lo que ha sucedido tetotna en ciertos ciclos y

no sucede nada tealmente nuevo.4. Hay que considerar todos los seres animados como

emparentados entte sí.

La creencia pitagórica del origen divino del alma vieneexpresada en los Versos áureos con las siguientes palabras:

63. Pero tú ten ánimo. De naturaleza divina son los mor-tales.

Este aspecto de la filosofía pitagórica aparece fuertemen-te emparentado con la mentalidad del orfismo, un movi-miento religioso que, probablemente procedente de Orien-te, se instaura en Grecia, empezando porTracia, en el siglo VIa. C. La antigua Grecia tenía en los libros homéricos unequivalente de las escrituras sagradas de otros pueblos. Elpensamiento de un alma inmortal es totalmente ajeno al es-píritu griego antiguo. Pero al parecer esta situación cambióradicalmente a partir del siglo VI a. C., muy posiblementebajo la influencia de multitud de movimientos religiososque, originarios de Persia, la India y Egipto, se extendieronpor el mundo griego. De hecho el panorama de creencias re-ligiosas es totalmente diferente en el siglo IV a. C. El orfis-mo tenía a Dionisos como dios y a Orfeo como su sacerdote,teuniendo cierto sentido místico con una ascética de puri-ficación. El espíritu humano procede de otro mundo y se en-cuentra como desterrado en este, encadenado al cuerpo porla sensualidad. Existe un mundo de acá y otro de más allá yla vida debe vivirse como una fuga de lo terreno.

Muy probablemente Pitágoras amalgamó elementos ór-ficos con otros de posible origen persa, como el del eter-no retorno que aparece mencionado en el punto 3 de Di-caiarcos, y con sus propias concepciones sobre laconstitución del cosmos y sobre el modo concreto de pu-

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rificación a través de la contemplación, dando primacía alelemento racional y matemático sobre el poético de aque-llas cosmogonías primitivas, para producir una síntesisque resultó profundamente atrayente no sólo para suscontemporáneos, sino para los muchos movimientos de ins-piración pitagórica surgidos durante más de diez siglos.

Al parecer, en el modo de vida de los pitagóricos pri-mitivos la metafísica como tal era poco importante. Loque verdaderamente importaba era la vida pura, concre-tada en la armonía del alma con el cosmos, que habría deconcluir con la liberación del alma del círculo de reen-carnaciones. Lo relevante era la elevación del alma al cielode los bienaventurados tras la muerte.

Armonía científica de los pitagóricos

La armonía, como hemos visto anteriormente, está enel corazón mismo del pitagorismo. La música era el mé-todo de elevación y purificación del alma y al mismo tiem-po objeto de contemplación intelectual que revelaba, consus congruencias expresables mediante relaciones numé-ricas, la armonía más profunda del cosmos. La capacidadcuasimágica de la música es elemento heredado por el pi-tagorismo de las corrientes órficas más primitivas. El aná-lisis científico de los sonidos armónicos es, en cambio,rasgo muy específicamente pitagórico, que casi con todaseguridad se remonta al mismo Pitágoras.

Existen varias versiones sobre el modo concreto medianteel cual Pitágoras llegó a desentrañar las relaciones numé-ricas entre los sonidos consonantes, es decir, aquellos cuyaproducción simultánea origina una sensación agradableen nuestro oído: el tono, la octava, la quinta y la cuarta.

Nicómaco de Gerasa, Gaudencio y Boecio hablan dela observación de Pitágoras de los diferentes sonidos pro-ducidos en el yunque del herrero por martillos de dife-rentes pesos. Un martillo cuyo peso era 6 producía el tono;otro con peso 12, la octava; otro con peso 9, la quinta, yotro de peso 8, la cuarta. Pitágoras volvió a casa, colgó ta-les pesos de cuatro cuerdas iguales y observó que se pro-ducían los sonidos consonantes correspondientes. Este esel ejemplo típico de una de esas historias cuya falsedadpodría haber comprobado un historiador con sentido crí-tico con sólo repetir la experiencia. La frecuencia del so-nido producido por una cuerda vibrante no está en pro-porción con la tensión, sino con la raíz cuadrada de la

tensión.Diógenes Laercio propone a Pitágoras mismo como in-

ventor del monocorde, no un instrumento musical, sinomás bien un aparato científico para verificar la teoría mu-sical utilizado por los pitagóricos. Gaudencio explica por-menorizadamente el experimento más verosímil con elque Pitágoras pudo comprobar y cuantificar su intuicióngenial de la conexión de la armonía musical con los nú-meros. Pitágoras tensó una cuerda musical que producíaun sonido que tomó como fundamental, el tono. Hizoseñales en la cuerda, dividiéndola en doce partes iguales.Pisó la cuerda en el 6 y observó que se producía la octa-va. Pisó luego en el 9 y resultó la cuarta. Al pisar en el 8obtuvo la quinta. ¡Las fracciones 1/2, 3/4 y 2/3 corres-pondían a la octava, la cuarta y la quinta! Los sonidos pro-ducidos al pisar en otros puntos resultaban discordes o, almenos, no tan acordes como los anteriores. ¡Los números1, 2, 3, 4, laTetraktys, determinaban con sus proporcio-nes relativas los sonidos más consonantes!

Tono

- 0

- 1

-2

-3

-4

- 5 1

- 6

-7

_8

- 9

- 10

-11

-12

- 0

1/2

- 6

Octava

rO

3/4

-9

Cuarta

- 0

2/3

- R

Quinta

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La armonía fue una ocupación constante de la escuelapitagórica en todas las etapas de su evolución. Platón ma-nifestó su descontento con el carácter empírico tanto dela armonía como de la astronomía de los pitagóricos.

De entre los desarrollos ulteriores de la armonía cientí-fica de los pitagóricos se puede destacar la explicación,asombrosamente acertada, de la naturaleza del sonidocomo una sucesión de percusiones en el aire, haciendodepender el tono del número de percusiones que se pro-

ducen por unidad de tiempo, es decir, de la frecuencia.Con ello se explica de modo natural y exacto la produc-ción de sonidos fisiológica y psicológicamente agradables,consonantes, en las cuerdas cuyas longitudes se compor-tan como los números más sencillos. Las percusiones delaire producidas simultáneamente por una cuerda y la cuer-da con la misma tensión, de longitud mitad, tono y oc-tava, llegan al tímpano de una forma representable en eleje del tiempo de la manera siguiente:

Su composición da lugar a una estructura de percusio-nes como la que sigue:

que es sencilla y previsible, armoniosa para nuestro oído.En cambio la producción de dos sonidos de frecuencias depercusión arbitrarias dará lugar a una estructura un tan-to caótica que para nuestro oído resulta opaca, no previ-sible, en una palabra, disonante. Para mayor informaciónsobre estos problemas profundamente interesantes pue-de consultarse el artículo «Die Harmonielehre der Pyt-hagoreer», de B. L. van der Waerden.

Vigencia del pitagorismo

La estela del pitagorismo en la historia del pensamien-to científico es incomparablemente más brillante y dura-dera que la de cualquier otro movimiento. La fe pitagó-rica en la tarea humana de entender el cosmos es la mismaque ha inspirado toda la actividad científica a lo largo demás de veinticinco siglos. Es llamativo observar cómo, através de un periodo tan dilatado, las armonías del cosmosque impresionaron tan hondamente a Pitágoras y a susdiscípulos han sido capaces de seguir admirando y atra-yendo la capacidad contemplativa de los hombres. Pitá-goras se apoyó en el sentimiento religioso de la época paraconstituir una síntesis científico-religiosa con una grancapacidad de pervivencia.

Platón, con su profundidad filosófica y su incompara-ble sensibilidad estética, se convirtió en vehículo de trans-

misión de una gran porción del núcleo de pensamiento pi-tagórico. Platón (ca. 427-347) es en el fondo, a tres siglosde distancia en el tiempo, el gran transmisor del espíritupitagórico. Gracias a la honda originalidad de su pensa-miento y a su capacidad poética para plasmar sus ideas, con-siguió que el pensamiento pitagórico calara en nuestracultura con una intensidad que el tiempo no ha debilitado.

El espíritu pitagórico, incluso con fervores que emulanlos de las primitivas comunidades griegas, ha aparecidoen momentos y personas que representan verdaderos pun-tos de cambio de rumbo en la evolución del pensamien-to científico.

Galileo (1564-1642) se expresa de esta manera plena-mente pitagórica:

El gran libro de la naturaleza permanece siempre abier-to ante nuestros ojos y la verdadera filosofía se encuentraescrita en él... Pero no lo podemos leer sin haber aprendi-do antes el lenguaje y los caracteres en los que está escrito...Está escrito en lenguaje matemático y los caracteres sontriángulos, círculos, y otras figuras geométricas...

Se puede pensar también en Kepler (1564-1630), cuyavida científica está preñada toda ella de pitagorismo, des-de los momentos de su Mysterium Cosmographicum (1595),con sus ideas sobre la estructura del sistema planetario ba-

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sadas en la estructura de los cuerpos platónicos (poliedrosregulares), hasta su culminación en Harmonices Mundi(1619), con las tres leyes del movimiento de los planetas:

1. La órbita de cada planeta es una elipse con un focoen el Sol.

2. Las áreas barridas por el segmento que va del Sol alplaneta en tiempos iguales son iguales.

3. El cuadrado del periodo de cada planeta divididopor el cubo de la longitud del eje de la elipse que re-corre es el mismo número para todos los planetas.

Estos hechos enunciados por Kepler fueron los que con-sagraron la teoría de Newton sobre la gravitación univer-sal, cuando Newton fue capaz de demostrarlos con rigora través de ella.

Con razón A. N. Whitehead, al observar la influenciade Pitágoras en su obra Science in the Modern World, con-cluye así:

Verdaderamente Pitágoras, con su fundación de la filo-sofía europea y de la matemática europea, la dotó con la másafortunada de las conjeturas, ¿o acaso fue un resplandor degenio divino que penetró hasta la naturaleza más íntimade las cosas?

UNA RECAPITULACIÓN SOBRE LAS ACTITUDES

DE CARÁCTER ÉTICO QUE LA MATEMÁTICA

PROMOCIONA

El mensaje profundo del pitagorismo en torno a la in-terpretación de la naturaleza se puede resumir en la con-templación de la armonía del mundo, de la que se derivael deber del hombre de contribuir activamente a dicha ar-monía. De ahí resulta el sentido de su existencia, la ob-servación de su asociación con los otros seres vivos de estemundo. La inteligibilidad del Universo culmina en la con-sideración de la matemática como método interpretativode ella, al mismo tiempo que es guía de contemplación yescala hacia la divinidad.

Para concluir, ¿se pueden señalar algunos aspectos másconcretos y tangibles de naturaleza ética que sean especí-ficamente estimulados por el quehacer propio de la ma-temática? A mi parecer, ciertamente sí, y éstos están fun-damentados en la raíz misma de la matemática.

La matemática es una exploración de ciertas estructu-ras omnipresentes y más o menos complejas que se pre-sentan en nuestra realidad y que admiten ese acercamientoracional, manipulable mediante símbolos, que pone ennuestras manos un cierto dominio de la realidad a que serefieren y que llamamos matematización.

La matemática se acerca a la multiplicidad de las cosasy se crea la aritmética, se aproxima a la forma y se origi-na la geometría, explora el propio símbolo surgido de lamente y nace el álgebra, analiza los cambios y transfor-maciones en el espacio y en el tiempo y surge el análisismatemático, ...

En este quehacer el cometido de la mente humana con-siste en interpretar racionalmente, lo mejor que puede,unas realidades, unos hechos que se le presentan comodados, como previos. Esto constituye una de las expe-riencias profundas que todo matemático vive en su tareaordinaria, que consiste en percibir que está siguiendo unashuellas que hasta cierto punto le están guiando en su tra-bajo.

Este sometimiento a la verdad y a la realidad, que estánormalmente tan enraizado en el científico, constituyesin duda uno de los rasgos importantes que deberíamosapreciar y estimular en todos nosotros.

La aceptación gozosa de esta verdad, sea quien sea elque la haya encontrado y contradiga o no nuestras ex-pectativas previas, es otro de los rasgos de generosidad quese dan en el trabajo matemático.

El goce en la contemplación de la verdad y en la parti-cipación con otros de la belleza que suele resultar de su con-templación es el premio que el matemático recibe de esaactitud abierta y generosa.

El sentimiento de profunda humildad ante la multitudde verdades aún por descubrir es otra de las actitudes in-teresantes que la matemática puede estimular. Newton loexpresó en bellas palabras:

No sé lo que la posteridad pensará de mí, pero a mí meparece haber sido solamente como un muchacho jugandoa la orilla del mar y divirtiéndose al encontrar de vez encuando un guijarro más suave o una concha más bonitaque de ordinario mientras que el gran océano de la verdadyace sin descubrir ante mí.

El quehacer matemático nos hace sentirnos, más queen ninguna otra ciencia, cercanos a todos nuestros ante-cesores en las mismas tareas. Los teoremas que fueron al-canzados por los babilonios o por los antiguos griegos si-guen siendo tan válidos hoy como entonces. Como decíaHardy son «colegas de otra universidad». El trabajo ma-temático es tarea común y participada. Newton mismodecía: «Si algo he conseguido, es porque me he encara-mado a hombros de gigantes».

La matemática se fundamenta en su mismo comienzosobre el consenso. La aceptación del consenso es otra delas actitudes éticas que la matemática puede estimular.

La matemática es consenso, es sometimiento a la reali-dad, pero es también, y de forma muy importante, liber-tad. Como Georg Cantor, el creador de la teoría de con-juntos afirmaba solemnemente al comienzo del siglo XX,«la esencia de la matemática es la libertad».

De estas consideraciones se deriva un gran reto para no-sotros, los matemáticos. ¿Cómo empaparnos de tales acti-tudes, hacernos conscientes de ellas y tratar de compartir-las con nuestros compañeros, con los más jóvenes? Yopropondría como medios: la consideración de la matemá-tica más allá de la mera técnica, el conocimiento de la his-toria de la matemática, el conocimiento y lectura de lasobras de los grandes matemáticos, la aceptación bien ex-

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plícita y consecuente de las responsabilidades que implicanel saber y el quehacer matemático ante nosotros mismos,ante los más jóvenes, ante la sociedad en la que vivimos.

BlBLIOGRAFÍA

• SHAFAREVICH, I. R., «Sobre ciertas tendencias en el de-sarrollo de la matemática» (en ruso), en Jahrbuch derAkademie der Wissenschaften in Góttingen, 1973, págs.37-42.

• —, «On certain Tendencies in the Development of Mat-hematíes», en Mathematical Intelligencer, n.° 3, 1981,págs. 182-184.

• VAN DER WAERDEN, B. L. «Die Harmonielehre derPythagoreer», en Hermes, n.° 78, 1943, pág. 163.

• —, Die Pythagoreer, Artemis Verlag, Zurich, 1979.• WEYl., H., Philosophy ofMathematics and Natural Scien-

ces' ^rlnce:íon University Press, Princeton, 1949,pág. 125.

• — The °Pen Universe (Terry Lectures 1932), Yale Uni-versity 1 ress, 1J32.

• WHITEHEAD, A. N., Science in the Modern World, TheFree Press, Nueva York, 1967.

• WlTTGENSTEIN, L, Tractatus Logico-philosophicus, 1921.• —, «Vermischte Bemerkungen», en Werkausgabe Band,

n.° 8, Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main, pág. 472.

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