Lentes Espejos e Instrumentos Opticos

Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Física II

LLEENNTTEESS,, EESSPPEEJJOOSS EESSFFÉÉRRIICCOOSS EE IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS ÓÓPPTTIICCOOSS

No se conoce quien inventó las lentes, pero si sabemos que en tiempos del imperio Romano ya se usaban e incluso quizá antes. Es claro que la lente es uno de los inventos importantes más antiguos y que su desarrollo dio inicio a la Ciencia Óptica.

Las lentes se inventaron y utilizaron mucho antes que se supiera como trabajaban de manera que se hacía anteojos y telescopios mucho antes que se descubriera la ley de Snell. De esta manera la lente proporciona un ejemplo en que la tecnología antecede a la ciencia. Claro está que la ciencia puede ayudar mucho al desarrollo posterior de la tecnología.

Ya vimos como se forma la imagen en un espejo plano y también como se altera la posición aparente de un objeto que esté en el fondo de un estanque por la refracción de la luz en la superficie del agua por lo tanto es evidente que se pueden formar imágenes por reflexión o refracción.

Todos estamos familiarizados con las lentes de aumento o lupas que se usan para producir imágenes más grandes de un objeto o para concentrar los rayos provenientes del sol, energía solar, para quemar algunos materiales. Es claro entonces que la luz que emana de una fuente puntual distante y llega a una lente se puede concentrar en un punto imagen no lejos atrás de ella. Las imágenes formadas por las lentes lo son por refracción en las superficies de las mismas. Estas superficies casi siempre son esféricas, aunque ocasionalmente podemos usar lentes no esféricas en aplicaciones especiales. La razón por la que usamos lentes esféricas es por que generalmente producen imágenes adecuadas y de muy fácil fabricación, solo puliendo una pieza de vidrio óptico contra otra con una suspensión acuosa de material abrasivo, como el carborundo, entre ambas piezas.

Los defectos o aberraciones en las imágenes podemos reducirlas o eliminarlas combinando adecuadamente una serie de lentes esféricas para formar un sistema compuesto, por ejemplo una cámara réflex. Durante siglos se han utilizados instrumentos ópticos que están formados por espejos y lentes. Newton invento un telescopio de reflexión en el que la imagen primaria se forma con un espejo esférico, hoy los telescopios astronómicos mas grandes son instrumentos de reflexión, claro que en estos casos los espejos son parabólicos y no esféricos ya que estos forman imágenes mas perfectas.

La ley de Snell fue la clave para entender el funcionamiento de las lentes, además de ayudar a comprender lo suficiente para mejorar la calidad de las imágenes relativamente pobres que producían las lentes antiguas.

FFoorrmmaacciióónn ddee iimmáággeenneess mmeeddiiaannttee ssuuppeerrffiicciieess rreeffrraaccttoorraass eessfféérriiccaass Para comprender mejor la aplicación de la ley de Snell consideraremos en primer lugar el

ejemplo de una sola superficie refractora esférica que separa dos medios refringentes con índices de refracción n1 y n2.

β ψ

θ

φ

p q

n1 n2

O O’ R

Q

h

P α

r

Normal


Supongamos un rayo incidente OQ emitido por un objeto puntual O formando un ángulo ββββ con el eje OPR. Solo consideramos los rayos que llegan muy cerca del eje, los rayos paraxiales, es decir aquellos para los cuales el ángulo αααα es pequeño. Esto quiere decir que los resultados serán buenos sólo para superficies refractoras cuya altura h sea pequeña en comparación al radio de

curvatura, ya que la relación es la tangente de αααα. Para tener una margen de seguridad

tomaremos una relación . Si el ángulo αααα es pequeño es fácil ver que los ángulos ββββ, θ, φφφφ y

ψψψψ también serán pequeños. La línea RQ es la normal a la superficie esférica por lo que θ es el ángulo de incidencia, en tanto que φφφφ es el ángulo de refracción. Como ambos ángulos son pequeños podemos aproximar el seno y la tangente del mismo, al propio ángulo expresado en radianes. Si llamamos p a la distancia OP del objeto a la superficie refractora y q a la distancia de dicha superficie al punto imagen podemos escribir:

Como estos ángulos son muy pequeños aproximando la tangente al propio ángulo podemos escribir (1)

Por la ley de Snell , entonces

Analicemos el triángulo RQO’. Como la suma de los tres ángulos interiores de un triangulo es 180º podemos escribir:

de donde se tiene que:

De la misma manera para el triangulo OQR: de donde

Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación (1)

(2)

De los dos primeros miembros de esta igualdad:

de los otros dos miembros:

y como por la ley de Snell puedo expresar φ en términos de θ

(4) sustituyendo la ecuación (3) en la (4)

( )

++−=

+

−=rr np

rpq

n

p

r

qrα

α

α

αα

1

( ) ( )

+−=⇒

+−=

r

r

r

r

np

rpnpqr

np

rpnpqr

ααα


+−=

rpn

rpqr

)(1

Multiplicando ambos miembros por rq

nr

Como

Esta ecuación es independiente de los ángulos siempre que se trate de rayos paraxiales.

Es necesario utilizar una convención de signos para aplicar la ecuación a los diferentes casos.

Reglas para signos en superficies refractoras

Cantidad Positivos cuando Negativos cuando

Ubicación del objeto (p) El objeto está delante de la superficie (objeto real)

El objeto está detrás de la superficie (objeto virtual)

Ubicación de la imagen (q) La imagen está detrás de la superficie (imagen real)

La imagen está delante de la superficie (imagen virtual)

Radio (R) El centro de curvatura está detrás de la superficie

El centro de curvatura está delante de la superficie

Altura de la imagen (h’) La imagen es derecha La imagen está invertida

La ecuación anterior indica que la distancia objeto y la distancia imagen están relacionadas mediante cualesquiera de las trayectorias de tiempo mínimo de la figura, sin importar el ángulo α.

Quedan algunas observaciones acerca de las características de la formación de imágenes por una superficie refractora. Primero el camino recorrido por la luz es reversible, es decir que siempre pueden intercambiarse el objeto y la imagen sin afectar la trayectoria de los rayos que recorren el sistema, ya que por el principio de Fermat, el tiempo de circulación de cualquier rayo que parta de O y llegue a O’, es exactamente el mismo que si parte de O’ y llega a O.

Por otro lado, tiene especial importancia en el análisis de cualquier sistema óptico, saber cual es la posición de la imagen que forma un objeto infinitamente distante y la posición que debe tener un objeto para formar una imagen también infinitamente distante. A estos dos puntos se los llama focos o puntos focales del sistema.

Supondremos en primer lugar que el objeto está infinitamente alejado sobre el eje óptico, como lo muestra la figura, por lo que los haces provenientes de aquel son paralelos entre sí y al


eje óptico. En este caso la ubicación de la imagen está en el punto focal Fi, cuya distancia desde la superficie refractora la podemos obtener haciendo p = ∞ en la ecuación de Descartes:

r

r

i

rr

n

n

rfqr

n

q

n

r

nn

q

n

r

nn

q

n

p

n 111111 1221221 −==⇒

−=⇒

−=+

∞⇒

−=+ o

r

nn

fq i

2

1111

−==

El segundo punto focal, Fo, es el punto donde debe colocarse un objeto para producir una imagen infinitamente alejada. En este caso para un objeto colocado en este punto, los rayos de salida solo convergirán en el infinito por lo que podemos considerar, en la ecuación, la distancia imagen como infinita, es decir q = ∞ .

r

n

fpr

n

pr

nnn

p

n

r

nn

q

n

p

n r

o

r 1111112211221 −==⇒

−=⇒

−=

∞+⇒

−=+

Notemos que para este sistema, las distancias a los puntos focales no son simétricas. Por otro lado ninguno coincide con el centro de curvatura.

FFoorrmmaacciióónn ddee iimmáággeenneess eenn ddooss ssuuppeerrffiicciieess rreeffrriinnggeenntteess.. LLeenntteess Usualmente se utilizan lentes para formar imágenes por refracción en los instrumentos ópticos.

Emplearemos lo que acabamos de aprender sobre las imágenes formadas por superficies de refracción para localizar la imagen formada por una lente.

Una lente es un sistema óptico limitado por dos superficies refractoras. La luz que atraviesa por ella, experimenta una refracción en dos superficies para formar la imagen. Debemos desarrollar una ecuación apropiada en función de que la imagen formada por la primera superficie sirve como objeto para la segunda. Esto es posible empleando la ley de Snell para dos superficies simples.


Consideremos primero una lente gruesa formada por un material cuyo índice de refracción es n y los radios de curvatura R1 y R2. Supongamos un rayo que partiendo de un objeto puntual O, a una distancia p1, llega a la primera superficie en Q, luego se refracta enfrentando a la segunda superficie en R y por último corta el eje en O’.

Tomaremos n1 = 1 ya que la lente esta rodeada de aire y n2 = n.

Utilizando la ecuación anterior:

Donde q1 es la posición de la imagen debida a la primera superficie, si esta imagen es virtual q1 es negativa y si es real q1 positiva.

Tomemos q1 <0 es decir que la imagen se forma del lado del objeto, en este caso

Para la segunda superficie, los rayos luminosos parten del material ∴

Sumando miembro a miembro (1) y (2):

Si hacemos l = 0 estamos en el caso de una lente delgada y la ecuación anterior queda como:

En este caso debemos eliminar los subíndices de p1 y de q2 e identificar a p como distancia objeto y q como distancia imagen. La ecuación resulta

R1 R2

l

O O’ O’ p1 q1 q

Q R


+−=+

21

11)1(

11

RRn

qp

Esta expresión relaciona la distancia imagen q, la distancia objeto p, el índice de refracción y los radios de curvatura. Sólo es válida para rayos paraxiales y únicamente cuando el espesor de la lente es menor que R1 y R2.

La distancia focal de una lente delgada es la distancia imagen formada por un objeto muy lejano. Si en la ecuación anterior suponemos que p tiende a ∞, llegan a la lente los rayos paralelos al eje y q tiende a f

Por lo tanto

Esta relación se conoce como ecuación del constructor de lentes porque se utiliza para determinar los valores de R1 y R2 necesarios para un índice de refracción dado y una distancia focal deseada. A la inversa, si se conocen los radios de curvatura y el índice de refracción del material, esta ecuación permite calcular la distancia focal.

Analicemos ahora que sucede es si el objeto se ubica en el foco, los rayos saldrán paralelos y solo convergerán en el infinito:

Con lo que concluimos que los focos son coincidentes. Una lente tiene dos focos, pero solo una distancia focal.

Reglas convencionales para signos en el caso de lentes delgadas

Cantidad Positivos cuando Negativos cuando

Ubicación del objeto (p) El objeto está delante de la lente (objeto real)

El objeto está detrás de la lente (objeto virtual)

Ubicación de la imagen (q) La imagen está detrás de la lente (imagen real)

La imagen está delante de la lente (imagen virtual)

Radio (R) El centro de curvatura está detrás de la lente

El centro de curvatura está delante de la lente

Distancia focal (f) La lente es convergente La lente es divergente

Altura de la imagen (h’) La imagen es derecha La imagen está invertida

LLeenntteess ccoommppuueessttaass Cuando dos lentes delgadas se combinan para formar una imagen, debemos analizar el

sistema por separado. En primer lugar analizaremos la imagen formada por la primera lente como si no estuviera la segunda. Luego trazaremos un diagrama de rayos para la segunda lente, con la imagen formada por la primera como objeto; la segunda imagen formada es la imagen final del sistema. Si la imagen formada por la primera lente aparece en la cara posterior de la segunda, esa


imagen se trata como objeto virtual para la segunda lente (es decir, en la ecuación de las lentes delgadas, p es negativa). Este mismo procedimiento se extiende a sistemas de tres o más lentes. Como el aumento debido a la segunda lente se efectúa sobre la imagen aumentada de la primera, el aumento total de la imagen causada por la combinación de las lentes es el producto de los aumentos individuales.

21 MMM ⋅=

Esta ecuación sirve para combinaciones de elementos ópticos cualesquiera como una lente y un espejo. Para más de dos elementos ópticos, los aumentos debidos a todos los elementos se multiplican juntos.

Consideremos el caso especial de un sistema de dos lentes de distancias focales 21 fyf que

están en contacto la una con la otra. Si pp =1 es la distancia objeto de la combinación, la aplicación de la ecuación de las lentes delgadas a la primera lente da

11

111

fqp=+

donde ql es la distancia imagen para la primera lente. Si trata esta imagen como objeto de la segunda lente, la distancia objeto para esta debe ser p2 = -ql (Las distancias son iguales porque las lentes están en contacto y se han supuesto infinitesimalmente delgadas. La distancia objeto es negativa porque el objeto es virtual.) Por lo tanto, para la segunda lente

21222

111111

fqqfqp=+−→=+

donde q = q2 es la distancia de imagen final desde la segunda lente, que es la distancia de imagen de la combinación de lentes. Si sumamos las ecuaciones para las dos lentes eliminando q1 da

21

1111

ffqp+=+

Podemos sustituir la combinación por una lente simple que forma una imagen en la misma ubicación, su distancia focal está relacionada con las distancias focales individuales mediante

21

111

fff+=

Por lo tanto, dos lentes delgadas en contacto entre sí son equivalentes a una lente simple delgada de distancia focal conocida.

Ejemplo

f1 a p f2

f1 = 12 cm

f2 = 6 cm

F1 F2

F2


Para la primera lente, si

Para la segunda si

Si estas lentes estuvieran en contacto podemos decir que la referencia es el centro de ambas lentes, entonces para un objeto que esta a una distancia p del vértice compuesto será q su distancia imagen.

Para la segunda lente su distancia objeto es la distancia imagen anterior que ahora es negativa por formarse del otro lado de la lente 2.

La inversa del foco resultante es la suma de las inversas de las distancias focales. Al valor

inverso de la distancia focal se le llama potencia y se mide en dioptrías . Por ejemplo para una

lente de

La potencia mide la capacidad de concentrar los haces refractados mas cerca de la lente un haz que incide paralelo.

Es claro que se puede calcular la amplificación de la imagen con respecto al tamaño del objeto, de una lente convergente simple.

Veamos en la figura que como los triángulos AOB y A’O’B’ son

semejantes, las relaciones de sus lados correspondientes deben ser iguales

Pero es la relación del tamaño de la imagen al objeto, que por definición es la amplificación

M. Por otro lado OB también es la distancia del objeto p, mientras que OB’ es la distancia imagen q por lo que la ecuación anterior podemos escribirla como

F

F’

A

B

h B’

A’

h’

p q

O


Si deseamos expresar el aumento en función de la distancia objeto, p, y la distancia focal, f

f

q

p

q

fqp=+⇒=+ 1

111

1−=f

qM

Si expresamos q como Mp, sustituyendo esto en la ecuación anterior y despejando M, se obtiene

1

1

−

=

f

pM

Cuando la distancia objeto es mucho mayor que la distancia focal, la relación f

p es mucho

mayor que la unidad y se puede aproximar la ecuación a

RReefflleexxiióónn eenn uunnaa ssuuppeerrffiicciiee eessfféérriiccaa Hemos visto que un espejo plano forma una imagen del mismo tamaño que el objeto. Pero los

espejos tienen numerosas aplicaciones donde se requiere que la imagen y el objeto sean de diferente tamaño. Un espejo de aumento proporciona una imagen más grande que el objeto y los espejos de vigilancia forman una imagen más pequeña que el objeto. También hay aplicaciones de espejos en las que es deseable una imagen real, de modo que los rayos luminosos pasen en efecto por el punto de imagen P’. Por sí solo, un espejo plano no puede realizar ninguna de estas tareas. Para ello se utilizan espejos curvos.

Consideraremos el caso de la formación de imágenes por un espejo esférico. La figura muestra un espejo cóncavo, cuyo radio de curvatura es R. El centro de curvatura del espejo está en C, delante de la cara pulida, y el vértice está en V. La recta CV recibe el nombre de eje óptico del espejo.

Sea P un objeto puntual que se encuentra sobre el eje óptico, en primer lugar supondremos que la distancia de P a V es mayor que el radio.

El rayo PB que forma un ángulo αααα respecto al eje, incide sobre el espejo en el punto B, donde los ángulos de incidencia y refracción son iguales a θθθθ. El rayo reflejado intersecta al eje en el

P P’ C

R

α φ β V

B

θθθθ θθθθ h

p

q

δ


punto P’. Veremos que todos los rayos provenientes de P intersectan al eje en el punto P’, siempre y cuando el ángulo α sea pequeño. En el punto P’ se forma una imagen real.

Vamos a hallar la ubicación del punto P’ de la imagen real. La distancia objeto medida desde el vértice es p y la distancia imagen también medida desde el vértice es q.

Analicemos nuevamente el teorema de geometría plana: “Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos opuestos. Aplicando este teorema a los triángulos PBC y P’BC

θφβθαφ +=∧+= despejando θ de una y reemplazándolo en la otra ⇒

φβα 2=+

Ahora podemos calcular la distancia q. Sea h la altura del punto B respecto al eje óptico y sea δ la distancia del pie de la perpendicular desde B. Podemos escribir las expresiones de las tangentes de los ángulos φβα y,

δφ

δβ

δα

−=∧

−=

−=

R

htg

q

htg

p

htg ;

Estas ecuaciones trigonométricas no se resuelven tan fáciles como las ecuaciones algebraicas correspondientes a los espejos planos. Sin embargo si los ángulos son pequeños, la tangente es casi igual al propio ángulo de modo que podemos sustituir todas ellas por su ángulo. Por otro lado en esta situación δ es despreciable en comparación con p y q.

Entonces:

R

h

p

h

p

h=∧== φβα ;

Sustituyendo estas ecuaciones en

⇒=+R

h

q

h

p

h2

Rqp

211=+

Esta ecuación no contiene al ángulo α, por lo tanto todos los rayos provenientes del punto P que forman ángulos pequeños con el eje, se intersecan en P’ después de reflejarse.

Debido a que todos estos rayos convergen en el punto imagen, a los espejos cóncavos se los llama convergentes.

Distancia focal

Cuando el punto P está muy lejos del espejo (p = ∞ ) entonces los rayos son paralelos. De acuerdo a lo que vimos anteriormente

2

211 Rq

Rq=⇒=+

∞

El haz de rayos paralelos, converge, después de reflejarse en un punto F situado a una distancia de la mitad del radio de curvatura, llamado punto focal o foco.

La distancia del vértice al punto focal se llama distancia focal f.

2

Rf =

Ejemplos de espejos cóncavos: esquema de la marcha de los rayos, tamaño y posición de la imagen de acuerdo a la ubicación del objeto.

1

1


Espejos convexos

En este tipo de espejo la luz incide sobre el lado convexo. El centro de curvatura está del lado opuesto a la superficie espejada, por lo que el radio es negativo y por consiguiente el foco también.

El rayo PB se refleja en el espejo con ángulos de incidencia y reflexión iguales ambos a θ. La prolongación del rayo reflejado intersecta al eje en P’. Como en el caso del espejo cóncavo, todos los rayos que provienen de P se reflejan en el espejo, pero en este caso divergen a partir del mismo punto P’, siempre y cuando el ángulo α sea pequeño. Por consiguiente P’ es la imagen de P. En este caso la distancia objeto, p, es positiva, la distancia imagen, q, es negativa y el radio de curvatura es negativo.

Para calcular la posición de la imagen seguimos el mismo procedimiento que en el caso de espejos cóncavos, teniendo en cuenta los signos de los parámetros:

Rqp

211=+

q p

p, q

p q q p

P

P’

α

Φ β

θ

θ

θ

B

p q

R h


Ejemplo de espejo convexo: esquema de la marcha de los rayos, tamaño y posición de la imagen.

MMiiccrroossccooppiiooss yy TTeelleessccooppiiooss

Las cámaras, los anteojos y las lentes de aumento utilizan una sola lente para formar una imagen. Los telescopios y microscopios son dos dispositivos ópticos muy importantes que utilizan dos lentes convergentes simples para formar una imagen. En estos aparatos una primera lente, llamada objetivo, forma una imagen real del objeto, y una segunda lente, el ocular, sirve como lente de aumento para formar una imagen virtual y ampliada.

TTeelleessccooppiioo

Un telescopio es instrumento óptico que permite ver objetos lejanos con mucho más detalle que a simple vista. Es una herramienta fundamental de la astronomía. Gracias al telescopio —desde que Galileo en 1609 lo usó para ver a la Luna, el planeta Júpiter y las estrellas— el ser humano pudo, por fin, empezar a conocer la verdadera naturaleza de los objetos astronómicos que nos rodean y nuestra ubicación en el Universo.

La función del telescopio es acercar objetos muy lejanos hasta el ocular que actúa como lupa. Se puede ajustar la distancia moviendo el ocular hacia adelante o atrás sobre el eje óptico, variando así la distancia imagen hasta ver cómodamente el objeto distante y decimos que esta enfocado.

La amplificación del telescopio es el producto de los aumentos, omo la imagen

es tan distante como objeto podemos considerar que

Ocular

F1’

F1 F2’ F2

Objetivo

Objeto


Pero

MMiiccrroossccooppiioo Es semejante al telescopio aunque las condiciones son relativamente distintas.

En el caso de un telescopio se tiene interés de percibir objetos de gran tamaño que están muy

distantes en tanto que el microscopio se utiliza para observar objetos muy pequeños próximos al

ojo.

La amplificación del objetivo es y , en esta

expresión tanto p1 como p2 son aproximadamente iguales a sus respectivas distancias focales.

Como los focos son pequeños en comparación con la longitud del tubo podemos decir que q1 y q2

son proporcionales a d (longitud del tubo)

Bibliografía McKelvey, Jhon y Grotch, Howard – Física para ciencias e ingenierías Tomo 2 – 1981– México – Editorial HARLA Sears, Francis y Zemansky, Mark – Física Universitaria – Volumen 2 – 2005 – México – PEARSON – Addison Weslley Hecht, Eugene – Física 2, Algebra y trigonometría – México – 1999 – THOMSON EDITORES

Ocular

f2 p2

f1 p1 Objetivo

f1

f2

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