Ley de Benford

Primer dígito significativo

299.959 0,0174

mxd

mmxx n

)(

101,10,

2,99959 ·105

[2,99959] = 21,74 ·10-2 [1,74] = 1

Las barras negras representan las frecuencias de aparición como primer dígito significativo (d = 1,2,3,...,9) en una lista de N = 201 constantes físicas.

En barras blancas aparecen las frecuencias de aparición como primer dígito de los números 1 a 9 en el tamaño en bytes de N = 1.295.777 ficheros.

Leading digit Probability

1 30.1 %

2 17.6 %

3 12.5 %

4 9.7 %

5 7.9 %

6 6.7 %

7 5.8 %

8 5.1 %

9 4.6 %

Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers. Amer. J. Math. 4 (1881) 39-40.

Simon Newcomb (1835-1909).

d

ddP

1log)(

The law of anomalous numbers.Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938) 551-538.

Frank Benford

Probable Error

10114.74.95.16.48.09.412.418.530.6Average

4184.14.87.26.56.79.415.718.627.0Death Rate

9005.57.16.88.88.510.012.016.025.3     ,             

3425.05.05.66.48.58.812.619.228.9Addresses

11655.44.75.27.06.68.714.117.331.0Blackbody

14583.05.64.96.47.49.812.617.632.7Am. League

7074.85.85.17.48.19.014.417.527.9X-Ray Volts

7413.15.54.75.59.810.110.118.832.4Cost Data

3084.24.95.56.57.17.512.418.533.4Reader's Digest

5605.67.37.08.48.37.514.314.826.8Design

50008.98.07.26.86.66.89.720.325.7       ,       

915.54.43.34.46.64.45.518.747.2Atomic Wgt.

1591.92.55.05.08.212.613.823.927.1Drainage

18003.22.84.15.16.710.815.425.226.7Mol. Wgt.

6903.65.15.17.08.110.811.918.430.0H.P. Lost

7034.74.45.76.48.39.812.818.329.6Pressure

13894.14.83.24.110.614.616.218.424.0Specific Heat

1005.05.06.06.08.010.012.018.030.0Newspapers

10410.62.91.05.810.68.64.814.441.3Constants

32592.23.74.16.27.28.114.220.433.9Population

3355.14.25.58.67.211.310.716.431.0Rivers, Area

Sampls987654321Title

Las barras representan las frecuencias de aparición como primer dígito de los números 10 a 99 en los N = 1.295.777 ficheros medidos. La línea continua representa la ley de Benford generalizada para dos dígitos.

Invarianza de base y de escala en la densidad de probabilidadTheodore Hill

Invarianza de escala Invarianza de base

No toda lista de números que cumple la Ley de Benford proviene de una distribución invariante de escala. Pero seguro que es invariante de base.

Procesos multiplicativos

5 décadas

5 décadas

= -1

d

dLn

d

dLn

dLndLndNN

k

k

kkd

d

k

k

1

10

)1(10

10)1(10)1(10

10

1

Para una lista de números que siga una distribución de probabilidad en forma de ley de potencias N-1, tendremos que la probabilidad del primer dígito significativo es independiente de la década y sigue la ley de Benford:

d

ddP

1log)(

Normalizando:

The demonstration of Benford’s Law (and also for the distribution of the second

digit) was done in 1996 by Professor Theodore Hill (School of Mathematics, Center for Applied Probability, Georgia Institute of Technology) in his

article: “A Statistical Derivation of the Significant‐Digit law”. Hill later showed there was a kind of central limit theorem that applied to a wide variety of distributions--that combinations of distributions tend towards the distribution predicted by Benford’s law even when the original distributions do not [Hill1996].