Ley de los grandes números

En la teoría de la probabilidad, bajo el término genérico de La ley de los grandes números se engloban varios teoremas que describen el comportamiento del promedio de una sucesión devariables aleatorias conforme aumenta su número de ensayos.

Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.

Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.

Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar.

La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de quealguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos

converge en probabilidad a μ. En otras palabras, para cualquier número positivo ε se tiene

[editar]Ley fuerte

La ley fuerte de los grandes números establece que si X1, X2, X3, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que cumplen E(|Xi|) < ∞ y tienen el valor esperado μ, entonces

es decir, el promedio de las variables aleatorias converge a μ casi seguramente (en un conjunto de probabilidad 1).

Esta ley justifica la interpretación intuitiva de que el valor esperado de una variable aleatoria como el "promedio a largo plazo al hacer un muestreo repetitivo".

Demostración (resultado preliminar)[ocultar]

Demostraremos el siguiente resultado: Sea una sucesión de variables aleatorias

independientes e integrables con (esperanza 0) y ; entonces, el

promedio casi seguramente cuando . Este teorema no asume que las variables aleatorias son idénticamente distribuidas pero controla el crecimiento de las varianzas.

Para demostrar el teorema haremos uso del siguiente lema:

Desigualdad Maximal. Sean variables aleatorias independientes y sean y

constantes positivas que cumplen para cada i. Luego

Demostración del lema: Sean y . Definamos asimismo la variable aleatoria

Tenemos entonces:

Ahora bien, si y entonces implica que por ende:

con lo que se concluye el lema. (Fin demostración del lema)

Sigamos con la demostración del teorema: Definamos

Tenemos entonces que la serie es convergente pues:

La convergencia c.t.p. que asegura el teorema es equivalente a:

Por el lema de Borel-Cantelli, es suficiente demostrar que, para todo

( 1)

Cada probabilidad en la suma anterior puede ser acotada por:

Ahora se aplica la desigualdad maximal:

La última desigualdad de la línea anterior se justifica por la desigualdad de Chebyshev. Una nueva

aplicación de esta misma desigualdad nos permite acotar los :

Es decir, hemos logrado acotar cada sumando de la (1) por una constante por los términos de una sumatoria que sabemos convergente, demostrando la convergencia de dicha sumatoria y concluyendo via Borel-Cantelli la convergencia fuerte del teorema.

(Fin de la demostración)

Demostración de la ley fuerte de los grandes números (Kolmogorov)[ocultar]

Sea una sucesión de variables aleatorias independientes, integrables e idénticamente

distribuidas con (esperanza 0), entonces, el promedio casi seguramente cuando .

Definamos y . Tenemos

que . Además, usando la hipótesis de distribuciones

idénticas, podemos en general reemplazar (no siempre) una distribución genérica por un

representante, digamos . Tenemos entonces:

(1)

La última convergencia a cero viene dada por la convergencia puntual más convergencia dominada

por . También tenemos que:

(2)

La tercera igualdad viene de que para cualquier variable aleatoria se cumple que:

La (2) implica, por Borel-Canteli, que el conjunto tiene probabilidad cero. Por lo tanto, en un conjunto de probabilidad 1 se cumple:

(3)

De la desigualdad podemos deducir que:

Por el teorema anteriormente demostrado tenemos:

(4)

casi seguramente. Como además tenemos que:

Entonces, de las ecuaciones (1), (3) y (4) se deduce que en casi en todos los puntos, concluyendo el teorema.

Ley de los Grandes Números

Se considera el primer teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.

Básicamente el teorema establece que la frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tienden a estabilizarse en cierto número, que es precísamente la probabilidad , cuando el experimento se realiza muchas veces.

Una demostración teórica del teorema es laboriosa, por lo que no tiene sentido exponerla en esta página. Si alguien está interesado en una demostración tanto de este teorema cómo del Teorema Central del Límite puede mirar en :

Introduction to probability

que es un libro de introducción a la probabilidad, disponible en línea, de forma totalmente gratuita. El único inconveniente es que está en inglés.

Aquí nos conformaremos con simular un experimento aleatorio, que nos aproxime de una manera intuitiva a los resultados que establece el teorema.

El experimento que vamos a simular es el de dar un golpe a una bola de billar situada en la mesa de juego, en el sentido que indica la flecha, y medir la distancia desde el extremo izquierdo de la mesa al punto en el que la bola se detiene.

Si la mesa, tiene 1 metro de longitud, el resultado del experimento, puede tomar cualquier valor comprendido entre cero y uno.

Sabemos que el espacio muestral que resulta de este experimento es un espacio muestral continuo. Para simplificar la simulación, podemos considerar la longitud de la mesa de billar, dividida en 10 partes iguales.

Consideraremos que el resultado del experimento es que la bola se detenga en alguna de las 10 partes. En este caso los posibles resultados son 10 y como todos los resultados tienen la misma posibilidad, estamos ante un espacio de probabilidad discreto y equiprobable.

La simulación consiste en que el ordenador genere aleatoriamente un número comprendido entre 0 y 1, que representará la distancia a la que se detiene la bola de billar. La probabilidad de que este número caiga en el primer intervalo es 1/10, lo mismo en cada uno de los intervalos restantes.

El experimento va a consistir en repetir 10 veces el golpe a la bola.

Sobre un sistema de referencia, colocamos, sobre el eje XX, los 10 intervalos en que hemos dividido la longitud de la mesa de billar, y sobre el eje YY las frecuencias relativas de cada uno de estos intervalos, veremos cómo las frecuencias relativas, varían de una ejecución del experimento a otra.

Pero si aumentamos el número de veces que golpeamos la bola a 20, 30 y así sucesivamente, observaremos que las frecuencias relativas de cada intervalo tienden a estabilizarse en torno a 0,1, que es la probabilidad que asignamos a que la bola se detenga en uno de los intervalos.

Este es el resultado que demuestra el teorema conocido cómo : Ley de los Grandes Números

Para realizar la simulación del experimento sólo tenemos que escribir el número de veces que queremos golpear la bola, por defecto 10, y hacer click en el botón de "Ejecutar".

Simulación del experimento

Teorema Central del Límite

Es el segundo teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.

El Teorema Central del Límite establece lo que pasa cuando tenemos la suma de un gran número de variables aleatorias independientes.

Por ejemplo si en el experimento anterior en lugar de considerar una bola, consideramos 10 bolas y el experimento consiste en calcular la media de las distancias a la que se detiene cada una de las bolas.

Como hemos visto , la distribución de probabilidades cuando el experimento se realiza sobre una bola es uniforme ; las probabilidades son las mismas para cada resultado. Si en lugar de una bola consideramos varias y en lugar de las distancias individuales consideramos la media, aparecen otras distribuciones.

Si aumentamos el número de bolas con que realizamos el experimento por encima de 30. La distribución de las medias es muy aproximadamente una Distribución Normal.

Este es el resultado que establece el Teorema Central del Límite.

Para realizar la simulación que se propone a continuación, sólo tenemos que poner el número de bolas con el que queremos realizar el experimento (para

calcular la media), entre 10 y 50, y el número de veces que queremos repetir el experimento, entre 10 y 1000. Despues hacer click en el botón: Ejecutar.

En la simulación debemos observar cómo a medida que aumenta el número de bolas la distribución de probabilidades tiende a una Distribución Normal y como a medida que aumentamos el número de veces que repetimos el experimento, las frecuencias relativas tienden a estabilizarse.