ley de recursos hídricos
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Fsica I, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13
Tema 7: Introduccin a la Dinmicadel slido rgido
FISICA I, 1 Grado en Ingeniera Civil Escuela Tcnica Superior de Ingeniera Universidad de Sevillandice
Introduccin
Centro de masas
Rotacin de un slido alrededor de un eje fijo
Momento de inercia respecto a un eje Energa cintica rotacional Aplicaciones de la dinmica rotacional RodamientosIntroduccin
El movimiento de un slido rgido se puede entender como la
superposicin de una traslacin y una rotacin
La traslacin corresponde al movimiento del centro de masas
La rotacin se realiza respecto al centro de masas
CM
CMndice
Introduccin
Centro de masas
Rotacin de un slido alrededor de un eje fijo
Momento de inercia respecto a un eje Energa cintica rotacional Aplicaciones de la dinmica rotacional RodamientosCentro de masas: definicin para un sistema discreto
Dado un sistema de n partculas, se define la posicin de su
centro de masas Z
O Y
X
mi es la masa de cada partcula
ri es el vector de posicin de cada partcula
M es la masa total del sistemaCentro de masas: clculo para un sistema discreto
Y
d X
Y Y CM CMX
d X
d
Si el sistema tiene algn plano,
lnea o punto de simetra, el CM
s o lEl CM est cerca de la masa mayor
est en l Ejemplo: mt i e r r a=5.9810 d = 1.5 108km 2 4kg, m =1.99103 0 kg,Centro de masas: sistemas continuos
Un cuerpo continuo puede considerase compuesto por un nmero
infinito de masas diferenciales
M dmL dl
Los sumatorios se convierten en diferenciales
Posicin del centro de masas
O dm X
r
Centro de masas: composicin de masas
Podemos calcular el CM como una composicin de partes del sistema
Y4m 4 3
m3 Y Y
m =m +m
aO X
m2m1 1 2 a 1 4 m +mr3C M
2ba b
r
rm =
O X O X
m =m1 4
m =m2 3
De este modo se puede calcular el CM de sistemas complejosCentro de masas: velocidad y aceleracin
Si las partculas se mueven la posicin del CM vara en el tiempo
Z
Derivando en t se obtiene la velocidad del CM O Y
X
Sistema discreto Sistema continuo
Derivando otra vez se obtiene la aceleracin del CM
Sistema discreto Sistema continuoCentro de masas: Segunda Ley de Newton
Fsica I, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13
El centro de masas se mueve como una partcula con toda lamasa del sistema sometida a la accin de la fuerza externa neta que acta sobre el sistema
Las fuerzas externas son las que provienen del exterior del sistema
Las fuerzas internas son las que se ejercen entre partes del sistema
El movimiento del sistema como un todo puede describirse como el movimiento de su
centro de masas sometido a la fuerza externa total sobre el sistema
El movimiento interno del sistema es el movimiento relativo a un sistema de
referencia solidario con el centro de masasCentro de masas: ejemplos de movimiento
Explosin de una granada en dos trozos de la misma masa
g
Bastn lanzado al aire
Cilindro sobre una mesa
CMCentro de gravedad
Si el campo gravitatorio es uniforme el centro de masas y el centro de
gravedad coinciden
El centro de gravedad es el centro de un sistema de vectores deslizantes paralelos en este caso O X
r
dF=dm g
Y
Si el campo gravitatorio es no uniforme el centro de masas y el centro
de gravedad no coinciden
El sistema de vectores no es paralelo
Aparecen fuerzas de marea
marea alta marea baja
Tierra
marea alta
Luna
marea bajandice
Introduccin
Centro de masas
Rotacin de un slido alrededor de un eje fijo
Momento de inercia respecto a un eje Energa cintica rotacional Aplicaciones de la dinmica rotacional RodamientosMovimiento rectilneo movimiento circular
x(t)
X O (t)
XRotacin de una partcula alrededor de un eje fijo
Segunda ley de Newton para la rotacin
O (t)
X
El movimiento se describe con el momento angular
El efecto de la fuerza se describe con el momento de la fuerza (torque)
La inercia se describe con el momento de inercia
Combina la influencia de la masa inercial y la distancia al eje de giro
Expresiones en trminos del momento de
inercia y magnitudes angulares
Momento angular O (t)
X
Segunda ley
Energa cintica
Si el eje de rotacin es fijo LO y son paralelos
En el caso general (eje de rotacin variable) LO y no tienen por qu ser
paralelos
El momento de inercia es un tensor: Tensor de inerciaMomento angular de un sistema de partculas
Momento angular total respecto a O Z
Y
O X
Un slido rgido se considera compuesto
por infinitas partculas muy pequeas de
masa dm Z
Y
O X
La variacin del momento angular viene dadaZ
por el momento total de las fuerzas externas
Y
O X
Los momentos angulares y de fuerza deben
calcularse respecto a un SRI
La expresin es vlida si los momentos se calculan respecto al centro de
masas, aunque ste tenga aceleracinRotacin de un slido alrededor de un eje fijo
Componente de LO paralela a
O
Variacin de la componente paralela a
Si el eje de rotacin es un eje de simetra del
slido
Ondice
Fsica I, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13
Introduccin
Centro de masas
Rotacin de un slido alrededor de un eje fijo
Momento de inercia respecto a un eje Energa cintica rotacional Aplicaciones de la dinmica rotacional RodamientosMomento de inercia respecto a un eje
Para un sistema de partculas eje
ai es la distancia de cada partcula al eje
Para un sistema continuo
eje
Es distinto para cada eje
Unidad base en SI: kg m2
Teorema de los ejes paralelos y de los ejes perpendiculares
Ejes paralelos: relaciona el momento de inercia respecto a cualquier eje con el
momento de inercia paralelo a l que pase por el centro de masas
M es la masa del sistema; h es la distancia entre ejes
Ejes perpendiculares: relaciona el momento respecto a dos
ejes perpendiculares con el momento respecto a un eje perpendicular a ellos que pase por su punto de interseccin
Slo es vlido para sistemas planosndice
Introduccin
Centro de masas
Rotacin de un slido alrededor de un eje fijo
Momento de inercia respecto a un eje Energa cintica rotacional Aplicaciones de la dinmica rotacional RodamientosEnerga cintica rotacional
Sistema de partculas girando alrededor de un eje fijo
O
Es vlida para sistemas discretos y continuos
Si el eje vara en el tiempo la expresin es ms complicada
Teorema de la energa cintica rotacionalndice
Introduccin
Centro de masas
Rotacin de un slido alrededor de un eje fijo
Momento de inercia respecto a un eje Energa cintica rotacional Aplicaciones de la dinmica rotacional RodamientosPolea con masa con una fuerza constante aplicada
Queremos calcular la aceleracin angular de una polea de masa M y radio R,que parte del reposo, a la que se le aplica una fuerza constante F tangente a la polea
A
O
Z
R
Si modelamos la polea como un disco de radio R y masa Mndice
Introduccin
Centro de masas
Rotacin de un slido alrededor de un eje fijo
Momento de inercia respecto a un eje Energa cintica rotacional Aplicaciones de la dinmica rotacional RodamientosRodamiento sin deslizamiento de un slido rgido
Rodadura sin deslizamiento: el punto de contacto tiene velocidad nula
C
B
A
El movimiento es una traslacin del CM y rotacin alrededor de l
El eje de rotacin se desplaza paralelamente a si mismo
El rozamiento es necesario para que haya rodadura, pero si el contacto es puntual no
realiza trabajo
La energa cintica total tiene una parte de traslacin y otra de rotacin
Esfera maciza rodando sin deslizar por un plano inclinado
Una esfera maciza de masa M y radio R rueda desde lo alto de un plano
inclinado de altura H y partiendo del reposo
ACM
H
BEsfera
La energa potencial se reparte entre energa cintica de traslacin y energa
cintica de rotacin
Fsica I, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2012/13
Solucin con momento de fuerzas
X
CM A
H
B
Esfera
