Sarai Andreina Gomez Palacios 26.260.060Estructuras Discretas

Podemos decir que existen muchisimas equivalencias logicas, pero a pesar de ello, todas estas pueden resolverse con algunas

equivalencias las cuales son las mas fundamentales, como lo son:

Leyes del

algebraproposicional

Es de gran importancia que sepamos las siguientes definiciones para lograr entender el tema mientras se va

desarrollando.

Tautologia (T): Esta es una proposicion logica que a pesar de los valores de verdad que la compongan esta siempre sera verdadera.

Contradiccion (O): Esta es una proposicion logica que a pesar de los valores de verdad que la compongan esta siempre sera falsa.

Contingencia: Esta es una proposicion logica que a pesar de los valores de verdad que la compongan estaprobablemente pueda que sea verdadera o falsa.

Idempotencia se refiere o significa “de igual valor”, observemos:

1. p v p Ξ p donde se lee, p o p equivale a p. Este explica que una proposicion o esta misma proposicion es equivalente a la proposicion.

EJEMPLO:

(~p ʌ r) v (~p ʌ r) evidentemente vemos que se cumple la teoria ya explicada arriba. Entonces el resultado de esta misma seria ~p ʌ r.

Leyes Idempotentes

2. p ʌ p Ξ p donde se lee, p y p equivale a p. Aquí tenemos presente un conector distinto, al igual que el anterior, aplica la misma regla.

EJEMPLO:

(p → r) ʌ (p → r) observando que tenemos una proposicion y la misma proposicion, entonces su resultado seria la proposicion.

Es decir, p → r.

Es importantes resaltar que para asociar debemos tener nuestros conectivos iguales, mejor dicho, las proposiciones tienen que estar relacionadas con el mismo operador.

1. p v q v r vemos como las proposiciones estan relacionadas con una disyuncion, donde podemos asociar la primera proposicion con la segunda (p v q) v r a este punto asociaremos la segunda proposicion con la tercera p v (q v r).

Leyes Asociativas

EJEMPLO:

p v ~ q v r donde se lee, p o no q o r.

Teniendo en cuenta lo que se explico, asociamos y el resultado seria, (p v ~ q) v r o tambien p v (~q v r).

2. p ʌ q ʌ r donde se lee, p y q y r, en este tenemos un mismo operador que es la conjuncion, entonces asociamos, (p ʌ q) ʌ r o tambien p ʌ (q ʌ r).

EJEMPLO:

p ʌ ~ q ʌ ~ r donde se lee, p y no q y no r.

Nos aseguramos que cumplamos con las reglas para asociaciar, entonces el resultado seria:

(p ʌ ~ q) ʌ ~ r

p ʌ (~ q ʌ ~ r)

Es importante saber el significado de conmutar que se refiere a cambiar de lugar u orden.

1. p v q Ξ q v p podemos apreciar a q que ocupa el segundo lugar pasa a el primer lugar en su equivalencia, de igual manera p que ocupa el primer lugar pasa a segundo lugar de su equivalencia, es decir se conmutan.

Leyes Conmutativas

EJEMPLO:

p v (~ q ʌ t) donde se lee, p o no q y t.

Aplicando lo explicado, el resultado seria: (~ q ʌ t) v p

2. p ʌ q ≡ q ʌ p en este caso con un diferente conector donde se aplica lo mismo al igual que el anterior.

EJEMPLO:

(~ q v p) ʌ r donde se lee, no q o p y r.

Conmutando, el resultado sera r ʌ (~ q v p)

Para esta ley tenemos:

1. p ʌ (q v r) ≡ (p ʌ q) v (p ʌ r) donde se lee, p y q o r equivale a p y q o p y r.

2. p v (q ʌ r) ≡ (p v q) ʌ (p v r) donde se lee, p o q y r equivale a p o q y p o r.

Leyes Distributivas

Esta ley es importante ya que nos deja hacer equivalencia entre dos proposiciones de un mismo.

Es decir:

El valor de verdad de la conjuncion (ʌ) y disyuncion (v), depende del valor de p.

Leyes de Identidad

Para estas tenemos:

1. p v ~ p Ξ V donde se lee p o no p equivale a Verdadero.

Es decir, si tenemos una proposicion o la negacion de esta proposicion equivale a Verdadero.

EJEMPLLO:

(p → q) v ~ (p → q) V

Leyes del Tercio Excluido

Continuando con las leyes de tercio excluido, tambien tenemos esta otra:

2. p ʌ ~ p Ξ F donde se lee p y no p equivale a Falso.

Como tenemos una proposicion y la negacion de esa proposicion, el resultado seria Falso.

Esta ley tambien es conocida como Ley de Involucion.

Esta ley explica que la doble negacion equivale a la proposicion.

1. ~ (~ p) Ξ p donde se lee, no no p equivale a p.

EJEMPLO:

~ [~ (p v q)] entonces quedaria, p v q

Ley de la Doble Negacion

Es importante resaltar cuan innteresante es estas leyes, ya que esta nos permite transformar una disyuncion en una conjuncion y viceversa.

Veamos:

1. ~ (p ʌ q) Ξ ~ p v ~ q

2. ~ (p v q) Ξ ~ p ʌ ~ q

Leyes de Morgan

Es fundamental decir que todas

estas leyes tambien pueden ser

demostradas a traves o mejor

dicho, mediante el uso de la Tabla de

Verdad.