Universidad de Oriente

Núcleo Bolívar

Curso Básico

Matemática IV

Sección: 01

LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

Profesor: Bachilleres:

Cristian Castillo Javier Abreu C.I: 14.517.875

Jesús Sigala C.I: 17.045.285

Herick Suarez C.I: 18.476.557

Maikernys Rodríguez C.I:19.139.423

Ciudad Bolívar, 05 de marzo 2010

LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

Las tres leyes del movimiento primeras desarrolladas por Newton son:

1. Primera ley inercia: Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo,

mientras que un cuerpo en movimiento tiende a persistir en movimiento en

una línea recta con velocidad constante a menos que fuerzas externas actúen

sobre él.

2. Segunda ley Fundamental de la Dinámica: La tasa de cambio en movimiento

de un cuerpo en el tiempo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el

cuerpo y tiene la misma dirección a la fuerza.

3. Tercera ley acción y reacción: A cada acción existe una reacción igual y

opuesta.

La segunda ley nos proporciona una relación importante conocida a los estudiantes de

física elemental y nos referiremos a ella brevemente como la ley de Newton. El

movimiento de un objeto se define como su masa multiplicada por su velocidad .

La tasa de cambio en movimiento en el tiempo es así . Si denotamos por

la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo la segunda ley dice que

(1)

Donde el símbolo denota proporcionalidad. Introduciendo la constante de

Proporcionalidad , obtenemos

Si es una constante,

Donde:

Y es la aceleración donde vemos que

(2)

El valor de , depende de las unidades que deseemos usar. Hasta el momento se usan

dos sistemas principales.

El sistema C.G.S o sistema Centímetro, Gramo, Segando. En este sistema la

longitud se mide en centímetros , la masa en gramos , y el tiempo en

segundos . El valor más simple para es , de modo que la ley (2)

es:

(3)

Si una cierta fuerza produce una aceleración de un centímetro por segundo por

segundo en una masa de , entonces de (3)

Llamamos tal fuerza una dina. El sistema c.g.s también se llama sistema métrico.

El sistema PLS, o sistema Pie, Libra, Segundo. En este sistema también

podemos usar , de modo que la ley es . Si una cierta fuerza

produce una aceleración de un pie por segundo por segundo en

una masa de una libra llamamos esta fuerza un poundal. Así, de

tenemos .

Otra manera de expresar la ley de Newton es usar el peso en vez de la masa del

objeto. Mientras que la masa de un objeto es la misma en toda parte de la tierra (o

realmente en cualquier parte del universo) el peso cambia de lugar a 1ugar. Se

observará que para que un cuerpo actúe sólo por su peso , la aceleración

correspondiente es aquella debida a la gravedad . La fuerza es , y la ley de

Newton es

(4)

Dividiendo la ecuación (3) por la ecuación (4), tenemos

P = m.ag

X A

(5)

Podemos usar la ecuación (5) ya sea con unidades c.g.s o p.l.s. En tal caso es claro

que F y W tienen las mismas unidades si y las tienen.

Con unidades C.G.S: Si W está en gramos peso, y en Entonces F está

en gramos peso. Si W está en dinas, y en , entonces F está en dinas. En

la superficie de la Tierra , aproximadamente.

Con unidades PLS: Si W está en libras peso, y en , entonces

F está en libras peso. En la superficie de la Tierra ,

aproximadamente.

En ciertos campos es costumbre usar el sistema C.G.S junto con la ley , y

usar el sistema P.L.S junto con la ley Algunas veces se hace uso de masa

en términos de .

Ejercicio 1

Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la

gravedad partiendo del reposo. Asumiendo despreciable la resistencia del aire

establezca la ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el

movimiento y resuélvala.

Solución:

Tierra Diagrama de fuerza

Donde la fuerza del peso es:

Puesto que la masa cae desde el reposo vemos que cuando , ó en otras

palabras . Nuestra formulación matemática es el problema de valor inicial

Aquí tenemos una ecuación de primer orden y su condición requerida. Otra manera

de formular el problema es escribir

En tal caso tenemos una ecuación de segundo orden en las variables x y t, y

necesitamos dos condiciones para determinar x. Una de ellas es ó

en . La segunda puede obtenerse al notar que en (puesto que

escogimos el origen de nuestro sistema de coordenadas en. La formulación

matemática es

Resolviendo la ecuación demencial por variables separables tendremos:

Puesto que cuando , lo cual quedaría:

, esto es , otra integración produce:

X

-P = m.ag

Como que cuando , lo cual quedaría:

Como una aplicación, supóngase que deseamos conocer dónde está el objeto después

de . Entonces, por el sistema C.G.S

.

Por el sistema P.L.S.

.

Para encontrar la velocidad después de escribimos (en el sistema P.L.S).

Ejercicio 2

Una bola se lanza hacia arriba con una velocidad de . ¿Cuál es su

velocidad después de ? ¿Cuándo regresará a su posición de partida?

¿Cuál es la máxima altura que alcanza antes de regresar?

Solución:

Tierra Diagrama de fuerza

es su peso y debemos considerar por tanto que es – (el signo menos

significa abajo). La ecuación diferencial para el movimiento es

Se necesitan dos condiciones para determinar . Una se obtiene del hecho de

que en . La otra se obtiene del hecho de que la velocidad inicial es

. Esta velocidad está en la dirección hacia arriba y por tanto es positiva.

Así

La formulación matemática completa es

La integración de la ecuación diferencial produce:

Donde:

Lo que implica que , entonce:

Otra integración:

Y puesto que donde , . De donde,

Velocidad después de . Tenemos para la velocidad en tiempo

Haciendo , encontramos , lo que significa que la bola se está

elevando a la tasa de . Haciendo , encontramos , lo que

significa que la bola se ha detenido. Haciendo , encontramos , lo

que significa que la bola se ha devuelto y baja a la tasa de .

Tiempo para el retorno. La bola está en la posición A, el punto de partida,

cuando . Esto ocurre cuando , esto es,

. El valor es trivial, puesto que ya sabemos que

en . El otro valor indica que la bola regresa después de 8seg.

Máxima altura de elevación. El valor máximo de puede hallarse haciendo

, lo cual equivale a hallarlo cuando . Tenemos:

Donde: .

X P = m.ag

Puesto que es negativa, es realmente un máximo para . El valor de

para es . De donde, la altura máxima que alcanza la bola es .

Ejercicio 3

Una masa de cae desde el reposo bajo la influencia de la gravedad. (a)

Establezca una ecuación diferencial y condiciones para el movimiento. (b) Encuentre

la distancia viajada y la velocidad conseguida a los después de empezar su

movimiento. (c) ¿Cuánta distancia recorre la masa entre el ? ¿Entre

?

Solución:

Tierra diagrama fuerza

Como se deja caer la masa se considera la dirección del peso positivo es decir hacia

abajo, la ecuación diferencial seria:

Como la partícula parte del reposo entonces ó con

Luego

Tenemos otra ecuación diferencial de segundo orden de variables y al igual que la

anterior a diferencia que es de primer orden.

Como tenemos necesitamos dos condiciones para hallar a . Una de ellas es

ó con la segunda condición puede obtenerse al nota que

en

La forma matemática es

Resolviendo por integración

Condiciones: en entonces luego ó que es lo mismo

Integrando la velocidad tendremos que no es más que la distancia

Es la ecuación general de la distancia, aplicando las condiciones la ecuación quedaría

Cuando cuando

(b) la distancia viajada y la velocidad conseguida a los después de empezar su

movimiento se obtiene sustituyendo el tiempo en:

1. velocidad

2. distancia

Distancia recorre la masa entre el

Distancia recorre la masa entre el