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ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES

Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 4

1. Hallar X para que A.X sea igual que X.A, siendo

21

11A

AX=XA

db

baX

bdcdb

dcadcca

dabbadb

bcbaca

dcdc

baba

dbca

dbca

dc

ba

dc

ba

022

032

032

2

2

2221

11..

21

11

2. Probar si el producto de estas dos matrices es conmutativo:

A=

32

11B=

22

10

BAAB

82

32

32

11.

22

10

46

32

)2.(31.23.20.2

)2.(11.12).1(0.1

En general el producto de matrices no es conmutativo. AB≠BA



3. Resolver el sistema por reducción: 2A+B=

012

221A-3B=

101

234

A-3B=

101

234(-2) -2A+6B=

202´

468

2A+B=

012

221Sumo

7B=

210

689 B = 1/7.

7

2

7

10

7

6

7

8

7

9

210

689

71

73

1

74

73

71

76

73

0

718

724

727

71

73

1

234

72

71

0

76

78

79

3101

234

A

AA



4. Calcular la inversa de

10

1 n

10

01

10

01.

10

1

dc

ndbnca

dc

ban

1

0

0

1

d

ndb

c

nca

10

11 nA

5. Hallar nB si:

111

111

111

B

333

333

333

111

111

111

.

111

111

1112B

222

222

222

3

333

333

333

999

999

999

111

111

111

.

333

333

333

B

333

333

333

4

333

333

333

272727

272727

272727

111

111

111

.

999

999

999

B

111

111

111

333

333

333

nnn

nnn

nnn

nB



6. Hallar la inversa usando adjuntos de la matriz A =

211

310

121

Primero hago el determinante de la matriz A utilizando la regla de Sarrus (mirar la regla en “Determinantespor adjuntos y propiedades”) para los determinantes de 3x3:

A =

211

310

121

= 2 -6 +0 –( +1 +3 +0) = 2 -6 +0 -1 -3 -0 = -8

En segundo lugar hago la traspuesta de la matriz A (cambiando las filas por las columnas)A

231

112

101T

8

1

8

3

8

18

3

8

1

8

38

7

8

5

8

1

8

1

8

3

8

18

3

8

1

8

38

7

8

5

8

1

8

12

01

8

12

11

8

11

108

31

01

8

21

11

8

23

108

31

12

8

31

12

8

23

11

1A



7. Resolver: AX + B = 2C

Este caso se puede hacer despejando porque A tiene inversa o inventando una matriz

A =

11

02B =

121

013C =

100

2142.C =

200

428

AX + B = 2C32200

428

121

013.

11

02

xfed

cba

A.X =

fcebda

cba

fcebda

fcebda 222

111111

.0.2.0.2.0.2

A.X + B = 2C =

121

013222

fcebda

cba

200

428

121

435222

fcebda

cba

1

2/12/3

2

2/3

2/5

1

2

1

42

32

52

f

ed

c

b

a

fc

cb

da

c

b

a



8. Resolver la siguiente ecuación: A·X+X=B mediante Gauss, siendo

12

11A

32

10B

3:26:121

13121

1

1130

1206

1130

0336

1020

0112

1022

0112)(

.)(22

12

10

01.

12

11

).(

ffff

fffIA

BIAXIA

BXIA

3

13

1106

13

101

31

31

61

31

)( 1IA

3

23

26

53

1

32

10.

31

31

61

31

X



9. Resolver la ecuación A+BX=I, siendo:

321

012

101

A

231

101

021

B

221

002

102

321

012

101

100

010

001

)(

)(1

AI

AIBX

Inversa de B: 1

231

101

021

B

210

302

111TB

253

121

2431B

1414

125

1412

221

002

102

.

253

121

243

X



10. Resuelve la ecuación matricial X.A+AT=X.B,

siendo:

101

110

001

A

1123

1121

1023

B

0125

0021

1021

B-AdeinversalaCalculamos

:Despejamos 1BAAX T

2

1

0125

0021

1021

tedeterminanelCalculamos

BA

161

150

011

011

150

020

.

110

010

101

X

011

150

020

B)(A

001

1002

52

12

1

BAtraspuestaLa 1T



11. Hallar x para que AX=XA siendo

24

01A

dad

aX

bbddb

adcbccabcca

bbb

bbaa

dbc

bba

dc

baAX

dbca

ba

dc

baXA

44

0

004224

440424424

02

04

24

24

24

01..

2424.

24

01.

12. Hallar AA 22

cb

aA

0

cb

aA

cbcb

acb

aAAA

22

0220.

0.

2

22

cb

a

cbcab

aAA

22

02.02

2

22



2,00)2(022

2

00

2,00)2(022

22

22

cccccccc

bbcab

aaaaaaaa

La tercera ecuación no la hemos usado por lo que miro si las soluciones la verifican:

00224222

2,2)4

22

0,2)3

22

2,0)2

0200

0,0)1

bbbbbbb

ca

bb

ca

bb

ca

bb

ca

2

00)2

00

00)1

b

20

02)4

0

02)3

b



13. Halla X para B.X = X.B

30

01B

d

aX

dd

cccc

bbbb

aa

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

baB

0

0

0033

0023

0023

00

3

3

33

30

01..

30

01

30

01

14. Halla la X, despejando, mediante la matriz inversa: BAXA 2

002

020

200

A

300

030

003

B

)( 2122 ABAXABXABAXA



400

040

004

002

020

200

002

020

2002A

100

010

001

400

040

004

300

030

0032AB 8

200

020

0021 AA

002

020

200TA

002

1

02

10

2

100

20

00

00

20

02

2002

00

02

20

00

2002

20

02

00

00

02

8

11A

100

010

001

002

1

02

10

2

100

X

002

1

02

10

2

100

X



15. Hallar X despejando BXXA · A =

10

21B =

11

21

BXIABXXA )(· BIAX 1)( !!!ojo al orden!!!

DERECHALAPORCOMÚNFACTORSACASEX

XXIRECUERDA ·

A + I =

20

22

10

01

10

21

2/10

2/12/1

2/10

2/12/1

10

01

10

11

20

02

10

01

20

22

1

2:22:121

1

IA

IA

ffff

2/12/1

2/30

11

30

2

1

11

21

10

11

11

21

2/10

2/12/1X



16. Despejar B con la inversa: A. B = I siendo A=

31

21

La inversa es 1 AB

10

01.

31

21

dc

ba

Calculamos la inversa inventándonos que suponemos

dc

ba

10

01

33

22

3131

2121

dbca

dbca

dbca

dbca

5

115

03

12

Ccca

ca

5

33 Aac

5

115

13

02

Dddb

db

5

22 Bdb

5

1

5

15

2

5

31A



Por el método de Gauss

Transformaciones:

Multiplicar o dividir una fila por un número. Restar o sumar filas. Si puedo cambiar filas entre sí. No puedo operar columnas. Se intenta conseguir primero los ceros en forma de diagonal.

A . B = I

31

21A

5

1

5

15

2

5

3

5

2

5

110

5

2

5

301

22100

2305

22100

05105

1150

0121

1031

0121

1

5:1

)10(:2

2151

)2(212

A

f

f

ffxf

xfff



17. Resolver por Gauss

11

32A

A. B = I

21

31

3

6

3

310

2

6

2

201

6330

6202

6330

0132

2110

0132

2022

0132

1011

0132

12:1

)3(:2

21)3.(21222

Af

f

ffffff



18. Resolver AB = BA (no se puede despejar):

21

11A

cbdcdb

dbabadb

dcadcca

bcbaca

dcdc

baba

dbca

dbca

dc

ba

dc

ba

22

02

02

2

2

2221

11..

21

11

AB

BA

Ejemplobdb

baB

.85

53

21

11.

32

21

.85

53

32

21.

21

11

.



19. Inversa por Gauss:

010

101

011

A

111

100

101

111100

100010

101001

111100

100010

101001

111100

100110

001011

111100

011110

001011

100010

011110

001011

100010

010101

001011

1

)1(21

3223121

A

A

ff

ffffff



Método de adjuntos:

1- Primero se hace el determinante de la matriz A.2- Se realiza la traspuesta, es decir, invertir las filas por las columnas.3- Por ultimo se divide el adjunto de cada término de la matriz transpuesta entre el determinante de A.

1

010

101

011

A

010

101

011TA

111

100

101

1

01

11

1

11

01

1

10

011

10

11

1

00

01

1

01

011

10

01

1

00

11

1

01

10

1A



20. Resolver la siguiente ecuación: A·X+X=B mediante Gauss, siendo

12

11A

32

10B

3:26:121

13121

1

1130

1206

1130

0336

1020

0112

1022

0112)(

.)(22

12

10

01.

12

11

).(

ffff

fffIA

BIAXIA

BXIA

3

13

1106

13

101

31

31

61

31

)( 1IA

3

23

26

53

1

32

10.

31

31

61

31

X



21. Resolver la ecuación A+BX=I, siendo:

321

012

101

A

231

101

021

B

221

002

102

321

012

101

100

010

001

)(

)(1

AI

AIBX

Inversa de B: 1

231

101

021

B

210

302

111TB

253

121

2431B

1414

125

1412

221

002

102

.

253

121

243

X



22. Resuelve la ecuación matricial X.A+AT=X.B,

siendo:

101

110

001

A

1123

1121

1023

B

0125

0021

1021

B-AdeinversalaCalculamosº1

:Despejamos 1BAAX T

2

1

0125

0021

1021

BA

161

150

011

011

150

020

.

110

010

101

X

011

150

020

B)(A

001

1002

52

12

1

BA 1T

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