Libro de-calculo diferencial ccesa007

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  1. 1. ANA COLO HERRERA HECTOR PATRITTI APLICACIONES DE LA DERIVADA
  2. 2. PARA LOS CURSOS DE MATEMATICA DE LOS BACHILLERATOS TECNOLGICOS DEL C.E.T.P. APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicios resueltos PROF. ANA COLO HERRERA PROF. HECTOR PATRITTI
  3. 3. DERECHOS RESERVADOS POR LOS AUTORES Esta publicacin no puede ser reproducida en todo o en parte, ni archivada o trasmitida por ningn medio electrnico , mecnico , de grabacin, de fotocopia, de microfilmacin o en otra forma, sin el previo conocimiento de los autores. Publicacin inscrita en la Biblioteca Nacional el 5 de enero del 2004 en el Libro No.29 con el No.232 habindose realizado los aportes legales correspondientes segn Art.7 de la ley No. 9739 sobre derechos de autor. Email: [email protected] [email protected] Telefax: 7120680 Montevideo -Uruguay
  4. 4. Aplicaciones de la Derivada CONTENIDO Pginas Prlogo ........................................................................... 1 - 4 Areas , Permetros y Volmenes .................................. 5 Frmulas Trigonomtricas .............................................. 6 - 7 Tabla de Derivadas ........................................................ 8 - 9 Seleccin de definiciones y teoremas ............................. 11 - 14 Captulo 1 1 1 Introduccin ....................................................... 17 - 23 1 2 Enunciados de ejercicios .................................... 25 - 39 1 3 Resoluciones de ejercicios .................................. 41 - 79 Captulo 2 2 1 Introduccin ........................................................ 83 - 88 2 2 Enunciados de ejercicios ..................................... 89 - 124 2 3 Resoluciones de ejercicios .................................. 125 - 219 Apndice Unidades y equivalencias ............................................... 223 Ejercicios sugeridos ....................................................... 227 Bibliografa ..................................................................... 229 Ana Col Herrera Hctor Patritti
  5. 5. Aplicaciones de la Derivada PROLOGO Ana Col Herrera Hctor Patritti1
  6. 6. Aplicaciones de la Derivada Prlogo - AL ESTUDIANTE La presente publicacin tiene por objetivo poner a tu disposicin una amplia serie de ejercicios , con sus correspondientes resoluciones , relativos a la aplicacin del concepto de Derivada a problemas de las distintas disciplinas que involucran los Bachilleratos Tecnolgicos en sus diferentes orientaciones. Partimos de la base de que ests familiarizado con los conceptos tericos correspondientes a Funciones de Variable Real que tu docente del curso ha desarrollado respecto al concepto de Derivada. Al comienzo de la publicacin encontrars un resumen de los conocimientos que debers tener presentes para resolver los problemas propuestos as como una tabla de derivadas. Al final de la publicacin te sugerimos aquellos ejercicios que entendemos adecuados segn el Bachillerato que ests cursando, sin que ello signifique naturalmente , que los restantes carezcan de inters para t. Esperamos que si an no lo ests , llegues a convencerte de la importancia relevante que el concepto de Derivada tiene en la resolucin de problemas relativos a la tecnologa en sus distintas disciplinas. La publicacin est dividida en dos Captulos. El Captulo1 se refiere a la derivada como ndice matemtico que expresa la tasa de variacin instantnea o rapidez de variacin instantnea de una funcin y consta de veinticuatro ejercicios. El Captulo 2 est dedicado a problemas de Optimizacin y consta de sesenta ejercicios. Los enunciados de algunos de estos ejercicios corresponden a conocidos problemas que seguramente encontrars en distintos textos de Matemtica pero que han sido modificados y/o adaptados por los autores a los cursos de los Bachilleratos Tecnolgicos. Otros son creacin de los autores. El enunciado del ejercicio No. 54 corresponde al ejercicio No.18 , pgina 317 del libro Clculo de James Stewart que ha sido includo por considerar que se trata de una interesante muestra de aplicacin de los conceptos que estamos manejando Ana Col Herrera Hctor Patritti3
  7. 7. Aplicaciones de la Derivada Prlogo - en una disciplina aparentemente alejada de la que t has elegido Las resoluciones de todos los ejercicios propuestos en la publicacin son de exclusiva responsabilidad de los autores. Deseamos hacerte una precisin respecto de la notacin utilizada en la resolucin de los ejercicios. De las distintas notaciones que suelen utilizarse para la funcin derivada primera de una funcin f de variable real x , a saber f , fx , dx df , hemos adoptado la notacin de Leibnitz dx df que entendemos la ms adecuada pues explicita claramente la variable respecto de la cual se efecta la derivacin , hecho este que en los problemas tcnicos es absolutamente relevante. dx df ser entonces la notacin para la funcin derivada primera. de la funcin f respecto de la variable x . ( ox dx df ) ser el valor de la funcin derivada primera en el punto xo. 2 2 dx fd ser la notacin para la funcin derivada segunda de la funcin f respecto de la variable x . ( o2 2 x dx fd ) ser el valor de la funcin derivada segunda en el punto xo. Previo al Captulo 1 encontrars un resumen de frmulas de permetros , reas y volmenes , un resumen de frmulas trigonomtricas , y una tabla de derivadas. Tambin una seleccin de definiciones y teoremas que has visto en el curso terico y que debers tener presentes para resolver los ejercicios del Captulo 1. Si este material que ponemos a tu disposicin resulta de utilidad en tu formacin matemtica habremos alcanzado nuestro objetivo. LOS AUTORES Ana Col Herrera Hctor Patritti4
  8. 8. Aplicaciones de la Derivada - Permetros , Areas y Volmenes Tringulo a c p = a + b + c h A = 2 b.h b Rectngulo a b p =2a + 2b A = a.b Hexgono L p = 6L a A = 2 p.a Crculo Long. Cfa.= 2R R A = R 2 Sector circular Long. Arco = R R A = 2 R 2 1 Esfera Cilindro Cono h h R R R A = 4R 2 Atotal = 2R 2 + 2Rh V= 3 1 R 2 h V= 3 4 R 3 V= R 2 h Ana Col Herrera Hctor Patritti5
  9. 9. Aplicaciones de la Derivada TRIGONOMETRIA Unidades de medida de ngulos Grados Radianes Equivalencia: 3600 = 2 rad. 1 rad = 0 180 570 17m Longitud de un arco de circunferencia de radio R que subtiende un ngulo central s = R en radianes Valores de lneas trigonomtricas de algunos ngulos especiales. Grados 0 30 45 60 90 120 180 270 360 Radianes 0 6 4 3 2 3 2 2 3 2 sen 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 0 - 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 - 2 1 - 1 0 1 tg 0 3 3 1 3 / - 3 0 0/ Angulos suplementarios + = sen = sen () cos = - cos () tg = - tg () Angulos complementarios + = 2 sen = cos ( 2 - ) tg = cotg ( 2 - ) Angulos opuestos Sen (- ) = - sen cos ( - ) = cos tg (- ) = - tg Ana Col Herrera Hctor Patritti6
  10. 10. Aplicaciones de la Derivada Angulos que difieren en 2 y en sen ( + 2 ) = cos cos ( + 2 ) = - sen tg ( + 2 ) = - cotg sen (+ ) = - sen cos ( + ) = - cos tg (+ ) = tg Teorema del seno c senC b senB a senA == A c b Teorema del coseno B a C a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos B c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos C Frmula fundamental sen 2 x + cos 2 x = 1 Frmulas de suma y resta de ngulos sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y sen ( x y ) = sen x cos y cos x sen y cos ( x + y ) = cos x cos y sen x sen y cos ( x y ) = cos x cos y + sen x sen y tg ( x + y ) = tgx tgy1 tgytgx + tg ( x y ) = tgx tgy1 tgy-tgx + Frmulas del ngulo doble sen 2x = 2 senx cosx cos 2x = cos 2 x sen 2 x tg 2x = xtg1 2tgx 2 Frmulas del ngulo mitad sen 2 x = 2 cos2x1 cos 2 x = 2 cos2x1+ Ana Col Herrera Hctor Patritti7
  11. 11. Aplicaciones de la Derivada TABLA DE DERIVADAS f(x) dx df f(x) dx df k 0 senx cosx x 1 cosx - sen x |x| sg(x) x0 tgx 1 + tg 2 x x m mx m-1 Arcsenx 2 x1 1 x 1 2 x 1 Arccosx 2 x1 1 x x2 1 Arctgx 2 1 1 x+ 3 x 3 2 x3 1 shx chx e x e x chx shx Lx x 1 thx 1 th 2 x L|x| x 1 Argshx 1x 1 2 + Sg(x) 0 x 0 Argchx 1x 1 2 a x a x La Argthx 2 x-1 1 Ana Col Herrera Hctor Patritti8
  12. 12. Aplicaciones de la Derivada DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS (fog)(x) dx d(fog) (fog)(x) dx d(fog) g(x) dx dg sen g(x) cos g. dx dg k.g k dx dg cos g(x) - sen g. dx dg |g| sg(g). dx dg tg g(x) ( 1 + tg 2 g ). dx dg g m mg m-1 dx dg Arcsen g(x) 2 x1 1 dx dg g 1 2 1 g dx dg Arccos g(x) 2 x1 1 dx dg g g2 1 dx dg Arctg g(x) 2 g1 1 + dx dg 3 g 3 2 g3 1 dx dg sh g(x) ch g(x). dx dg e g e g dx dg ch g(x) sh g(x). dx dg Lg o L|g| dx dg g 1 th g(x) (1 th 2 g) dx dg h g L dx dh h 1 dx dg g 1 Argsh g(x) dx dg g1 1 2 + a g a g .La. dx dg Argch g(x) dx dg 1g 1 2 g h g h + dx dg g h Lg dx dh Argth g(x) dx dg g1 1 2 h e g e g + dx dg h. dx dh Ana Col Herrera Hctor Patritti9
  13. 13. Aplicaciones de la Derivada Resumen - SELECCIN DE DEFINICIONES Y TEOREMAS Definicin de funcin derivable en un punto. Una funcin f de variable real x con dominio D se dice derivable en un punto xo perteneciente a D si y slo si existe y es finito , el siguiente lmite: ( ) ( ) 0h h xfhxf lim oo + h R Al valor de dicho lmite se le llama derivada de la funcin f en el punto xo. Teorema 1) Derivada de suma de funciones H) Si f y g son funciones derivables en xo T) ( )( ) ( ) ( )ooo x dx dg x dx df x dx gfd += + Teorema 2) Derivada del producto de funciones H) Si f y g son funciones derivables en xo T) ( )( ) ( ) ( )oooo x dx dg )f(xx dx df g(xo)x dx f.gd += Teorema 3) Derivada del cociente de funciones H) Si f y g son funciones derivables en xo con g (xo ) 0 T) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )o 2 oooo o xg x dx dg .xfx dx df .xg x dx g f = d Teorema 4) Derivada de la funcin compuesta o regla de la cadena H) Si g es derivable en xo y f derivable en g (xo) T) ( )( ) ( )[ ] ( )ooo x dx dg .xg dg df x dx gofd = Ana Col Herrera Hctor Patritti11
  14. 14. Aplicaciones de la Derivada Resumen - Definiciones Funcin creciente en un punto Una funcin f es creciente en un punto xo si cumple: f(x) f (xo) (semientorno izquier