Captulo 1

Lmite de una funcion de varias variables

En el pasado, en el curso calculo 10, tuvimos nuestro primer contacto con los lmites,

en esa oportunidad, estudiamos el lmite para funciones de una variable. Esto es, inves-

tigamos que valor (si lo hubiese) toma f(x) cuando x esta muy proximo a x0 (bien sea

por la derecha de x0 o por la izquierda de x0). Si L es el valor que toma f(x) cuando

x se aproxima a x0 (sin llegar a ser x0), entonces decimos que:

lmxx0

f(x) = L

y se lee el lmite cuando x tiende a x0 de f(x) es L.

Formalmente, la definicion de lmite de una funcion f en el punto x0 es:

Definicion 1.1 lmxx0

f(x) = L, si y solo si, para todo > 0, existe () > 0 tal que si

0 < |x x0| < entonces |f(x) L| <

Una vez retomado el concepto de lmite, o lo que es igual, una vez que hemos vivido

nuevamente el concepto de lmite (recordar es vivir) regresemos a Calculo 30. En la

actualidad, nos ocupa nuevamente estudiar el lmite, pero esta vez, para funciones de

dos o mas variables. Lo bueno, es que la idea inmersa en el estudio de lmites (la

definicion de lmite) para funciones de una variable se mantiene intacta para el caso de

funciones de dos o mas variables. Es decir, si f es una funcion de dos o mas variables

nos interesa investigar el valor que toma f(x) (si este existe) cuando x (x = (x, y)

para f de dos variables, x = (x, y, z) para f de tres variables, . . .) se aproxima a x0

(x0 = (x0, y0) para f de dos variables, x0 = (x0, y0, z0) para f de tres variables, . . .). Si

L es el valor que toma f(x) cuando x se aproxima a x0 (sin llegar a ser x0), entonces

decimos que:

lmxx0

f(x) = L

Formalmente, la definicion de lmite para una funcion f de dos o mas variables en un

punto x0 es:

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Lmite de una funcion de varias variables Prof. Derwis Rivas 2

Definicion 1.2 lmxx0

f(x) = L, si y solo si, para todo > 0, existe () > 0 tal que si

0 < x x0 < entonces |f(x) L <

Al comparar ambas definiciones se advierte que difieren practicamente en nada. Bueno,

un lector dedicado notara que para funciones de una variable usamos 0 < |xx0| < ,mientras que para funciones de varias variables usamos 0 < xx0 < . La expresion denota la norma que se emplea para medir la distancia entre dos puntos.

Para funciones de dos variables, tenemos x = (x, y) y x0 = (x0, y0), as:

x x0 =

(x x0)2 + (y y0)2

Para funciones de tres variables, tenemos x = (x, y, z) y x0 = (x0, y0, z0), as

x x0 =(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2

Establecido el concepto de lmite para funciones de varias variables, lo siguiente es,

responder la pregunta

Como se calcula el lmite de una funcion de varias variables?

La cual, conlleva a la siguiente pregunta

Como sabemos si el lmite existe o no existe?

Enfrentados a la necesidad de calcular un lmite, lo primero es probar con la sustitucion

directa de las variables; si el resultado es un numero, entonces el lmite existe y el valor

lmite es el valor obtenido. Sin embargo, si el lector no se convence de esta manera

con la existencia del lmite y que dicho numero es el valor lmite , lo puede demostrar

usando la definicion.

Ejemplo 1.3 Calcular el siguiente lmite

lm(x,y)(1,2)

(x2 y)

Solucion. Hacemos la sustitucion directa, esto es:

lm(x,y)(1,2)

(x2 y) = 1 2 = 1.

Entonces, el lmite existe y vale 1.

Lmite de una funcion de varias variables Prof. Derwis Rivas 3

Supongamos que usted, mi querido lector, no esta convencido de este resultado y re-

quiere que el mismo sea demostrado. En ese caso, apelamos a la definicion y para

demostrar que existe y vale 1 buscaremos la existencia de un > 0 para un > 0dado que garantice que para valores de x = (x, y) cercanos a x0 = (1, 2) las imagenes

de f(x) estan muy cercanas a L = 1. Es decir:lm

(x,y)(1,2)(x2 y) = 1 si y solo si para cada > 0, buscamos un () > 0 tal que si

0 < (x, y) (1, 2) < entonces |x2 y + 1| < . En este caso,

(x, y) (1, 2) =

(x 1)2 + (y 2)2 <

Notemos que:

|x 1| =(x 1)2