Limite Suerior

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL, DE MATERIALES Y FABRICACIÓN

TESIS DOCTORAL

DESARROLLO, INTEGRACIÓN Y OPTIMIZACIÓN EN EL ESTUDIO DE PROCESOS DE FORJA

MEDIANTE EL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR A TRAVÉS DEL MODELO DE

BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES

FRANCISCO DE SALES MARTÍN FERNÁNDEZ

MÁLAGA, 2009

TESIS DOCTORAL

DESARROLLO, INTEGRACIÓN Y OPTIMIZACIÓN EN EL ESTUDIO DE PROCESOS DE FORJA MEDIANTE

EL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR A TRAVÉS DEL MODELO DE BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES


Ingeniero Industrial

ÁREA DE INGENIERÍA DE LOS PROCESOS DE FABRICACIÓN



para la obtención del Grado de Doctor Ingeniero Industrial

Málaga, 2009

ÁREA DE INGENIERÍA DE LOS PROCESOS DE FABRICACIÓN



DESARROLLO, INTEGRACIÓN Y OPTIMIZACIÓN EN EL ESTUDIO DE PROCESOS DE FORJA MEDIANTE

EL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR A TRAVÉS DEL MODELO DE BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES


Ingeniero Industrial

Director de la Tesis

Dr. D. LORENZO SEVILLA HURTADO

Málaga, 2009

E.T.T.S.I. Dpto. Ingeniería Civil, de Materiales de Fabricación. Campus de El Ejido. 29071 Málaga. Telfs: 952 13 13 71. Fax 952 13 13 71


Dpto. Ingeniería Civil, de Materiales y Fabricación

D. Lorenzo Sevilla Hurtado, Profesor Titular de Universidad del Área de Ingeniería de los Procesos de Fabricación de la Universidad de Málaga, en calidad de Director, AUTORIZA la presentación a trámite de la Tesis Doctoral del Ingeniero Industrial D. Francisco de Sales Martín Fernández, titulada DESARROLLO, INTEGRACIÓN Y OPTIMIZACIÓN EN EL ESUDIO DE PROCESOS DE FORJA MEDIANTE EL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR A TRAVÉS DEL MODELO DE BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES. Málaga 17 de marzo de 2009

A Blanca y a Javier, por enseñarme a valorar mejor el tiempo.

A mi abuelo Juan, que siempre decía de mí que era ingeniero muchos años antes de que lo fuera.

AGRADECIMIENTOS

A través de estas líneas quiero mostrar mi profundo agradecimiento a todos aquellos, compañeros de trabajo y amigos (en muchos casos deforma simultánea) que me han alentado a realizar la presente tesis.

Un especial agradecimiento a mis padres, que con la culminación de este trabajo, reducen la constante preocupación

por todo lo que les ocurre a sus hijos y nietos. A Consuelo, porque sólo ella sabe del apoyo prestado para la ejecución de la presente tesis. A mis hermanos Mª del Carmen y Antonio L. y a mi sobrino Alberto por el interés mostrado en la

finalización de la tesis. A Miguel Ángel Sebastián, catedrático de la Universidad Nacional de Educación a Distancia, por el

impulso dado al presente trabajo y por el fundamental aporte tanto científico como personal en su realización.. A Lorenzo Sevilla, director de Tesis y amigo, por su dedicación en el desarrollo de la misma, y por soportar

estoicamente las constantes lecturas de borradores.

Se quietó y prosiguió su camino sin llevar otro que aquel que su caballo quería, creyendo que en aquello consistía la fuerza de las aventuras.

Miguel de Cervantes

Lo que necesitamos es imaginación. Hemos de descubrir una nueva visión del mundo

R. P. Feynman

Desde Popper sabemos que la única cosa verdaderamente cierta que se puede decir acerca de una teoría es que antes o después ésta se demostrará como falsa.

F. Di Trocchio

ÍNDICE GENERAL

Índice General

i

ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1. GENERALIDADES

3

1.1 Ámbito de la tesis 3

1.2 Objetivo de la tesis 6

1.3 Estructura de la tesis 7

Capítulo 2. TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR. EVOLUCIÓN Y DESARROLLO

13

2.1 Introducción 13

2.2 Conformado por deformación plástica. Evolución histórica 14

2.3 Procesos de conformado por deformación plástica mediante compresión

directa

18

2.4 Influencia del rozamiento en los PCDP 22

2.5 Métodos de análisis 29

2.5.1 Método de la deformación homogénea 32

2.5.2 Método del análisis local de tensiones 36

2.5.3 Método del campo de líneas de deslizamiento 39

2.5.4 Teoremas del límite 44

2.5.4.1 Teorema del límite inferior 46

2.5.4.2 Teorema del límite superior 48

Capítulo 3. METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR MEDIANTE EL MODELO DE BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES

57

3.1 Modelo de bloques rígidos triangulares 57

3.1.1 Modelo geométrico 59

3.1.2 Formulación 60

Francisco de Sales Martín Fernández

ii

3.1.3 Construcción del hodógrafo 66

3.2 Metodología de aplicación del modelo de BRT 67

3.3 Enfoques Modular y No Modular 68

Capítulo 4. METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TLS MEDIANTE EL

MODELO DE BRT BAJO ENFOQUE NO MODULAR

77

4.1 Enfoque No Modular 77

4.2 Placas planas paralelas con disposición inicial y rozamiento por

adherencia

78

4.2.1 Tres bloques rígidos triangulares 78

4.2.2 Cuatro bloques rígidos triangulares 82

4.2.3 Cinco bloques rígidos triangulares 85

4.3 Placas planas inclinadas con disposición inicial y rozamiento por

adherencia

88


4.4 Combinación PPP-PPI con disposición inicial y rozamiento por

adherencia

95

4.5 Placas planas paralelas con rozamiento por adherencia 96


4.5.2 Cuatro bloques rígidos triangulares 105

4.5.3 Cinco bloques rígidos triangulares 109

4.6 Placas planas inclinadas con rozamiento por adherencia y 3 BRT 116

4.7 Perfil combinado PPP-PPI 121

4.8 Consideración de rozamiento por deslizamiento 124

4.8.1 Placas planas paralelas con enfoque no modular, 3 BRT y

rozamiento por deslizamiento

124

4.8.2 Placas planas inclinadas con enfoque no modular, 3 BRT y


130

Índice General

iii

Capítulo 5. METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TLS MEDIANTE EL

MODELO DE BRT BAJO ENFOQUE MODULAR

137

5.1 Enfoque modular 137

5.2 Placas planas paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo y

rozamiento por adherencia

140

5.3 Placas planas paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo previo

y rozamiento por adherencia

145

5.4 Placas planas inclinadas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo


149

5.5 Placas planas inclinadas con enfoque modular, 3 BRT con módulo previo


155

5.6 Combinación de módulos. Rozamiento por adherencia 161

5.7 Comparación entre alternativas 164

5.8 Otros casos tecnológicos 166

5.8.1 Rozamiento por deslizamiento 166

5.8.1.1 Placas planas paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo

previo y rozamiento por deslizamiento

166

5.8.1.2 Placas planas paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo


170


iv

5.8.1.3 Placas planas inclinadas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo


175

5.8.1.4 Placas planas inclinadas con enfoque modular, 3 BRT con

módulo previo y rozamiento por deslizamiento

179

5.8.1.5 Combinación de perfiles PPP-PPI con enfoque modular y


183

5.8.1.6 Análisis comparativo de rozamiento por adherencia frente a


186

5.8.2 Introducción del endurecimiento del material

186

5.8.2.1 Placas planas inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con

rozamiento y endurecimiento del material

188

5.8.3 Introducción del efecto de la temperatura 193

5.8.4 Consideración de independencia de la velocidad de entrada

196


módulo previo, rozamiento por adherencia y Ve independiente

197


módulo previo, rozamiento por deslizamiento y Ve independiente

201

Capítulo 6. ESTUDIO DE SENSIBILIDAD Y COMPARACIÓN DEL MÉTODO DEL TLS MEDIANTE MODELO DE BRT CON MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS.

209

6.1 Análisis de sensibilidad 209

6.2 Influencia de la altura final del segundo módulo para h3<h2 209

6.3 Influencia de la longitud del segundo módulo 212

Índice General

v

6.4 Influencia de la altura final del segundo módulo para h3>h2 213

6.5 Influencia de la longitud del primer módulo 215

6.6 Influencia de la longitud del segundo módulo 217

6.7 Influencia de la longitud del segundo módulo con h3>h2 219

6.8 Influencia de la longitud del segundo módulo con el primer módulo

inclinado

221

6.9 Influencia del desplazamiento de la matriz de estampación. Evolución del

proceso

222

6.10 Glosario de ecuaciones con modelo de bloques rígidos triangulares 227

6.11 Comparación TLS con modelo de BRT frente a MEF. Introducción 234

6.12 Aplicación del MEF 240

6.13 Análisis de resultados 244

6.14 Solución de von Karmann 259

6.15 Solución de Johnson y Mellor 261

6.16 Conclusiones 264

Capítulo 7. APLICACIONES

269

7.1 Aplicaciones 269

7.2 Perfil compuesto de módulos PPP-PPI-PPP, 15º en PPI 275

7.3 Perfil compuesto de módulos PPI-PPP-PPI, 5º en PPI´s 277

7.4 Perfil compuesto de módulos PPI con –10º, -8º y –6º 279

7.5 Perfil compuesto de módulos PPI con 10º, 5º y 3º 281

7.6 Perfil compuesto de módulos PPI con –5º, -10º y –5º 283

7.7 Aplicación del método a caso tecnológico 285

Capítulo 8. CONCLUSIONES

295

8.1 Introducción 295

8.2 Conclusiones generales 296

8.3 Conclusiones particulares 297

8.4 Líneas de desarrollo futuro 300


vi

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 303

ANEXO A

316

A1.1 Introducción 318

A1.2 Enfoque no modular, disposición contraria para 3, 4, y 5 BRT 318

A1.3 Enfoque no modular. Combinación PPP-PPI con 5 BRT 325

A1.4 Enfoque no modular. Comparativa entre disposiciones 327

A1.5 Enfoque no modular nueva disposición 330

A1.6 Enfoque no modular disposición contraria comparativa con m variable 333

A1.7 Enfoque no modular nueva disposición, comparativa adherencia-

deslizamiento

336

A1.8 Enfoque no modular nueva disposición. Optimización de módulos 337

A1.9 Comparativa modular-no modular para PPP 349

A1.10 Comparativa modular-no modular para PPI 353

A1.11 Comparativa modular-no modular para perfil PPP-PPI 362

A1.12 Enfoque modular perfil 2 módulos 374

A1.13 Enfoque modular. Comparativa entre tipos de rozamiento. Perfil de 2

módulos

403

A1.14 Enfoque modular. Comparativa p con endurecimiento-grado de

deformación

408

A1.15 Enfoque modular. Comparativa p con endurecimiento-grado de

deformación para diferentes tipos de módulos

413

ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS

417

CAPÍTULO 1

GENERALIDADES

No se puede desatar un nudo sin saber cómo está hecho.

Aristóteles

Capítulo 1

GENERALIDADES 1.1 Ámbito de la tesis

Los procesos de conformado por deformación plástica (PCDP) representan en

la actualidad la mejor opción para elaborar piezas dotadas de la gran variedad de

formas y tamaños exigidos por la industria, con la ventaja adicional de la

consecución de la mejora de las propiedades mecánicas y el refinamiento de la

estructura del material a conformar.

El conformado de piezas por deformación plástica es una de las grandes

familias de procesos empleadas para fabricar productos metálicos. Sin embargo, el

conformado plástico es quizás el más antiguo y el que ha soportado un mayor

desarrollo. Desde los inicios, en los que se trabajaban materiales como el oro y el

cobre mediante martillado alrededor del 8000 a.C. hasta nuestros días, la evolución

en el número de procedimientos para conformar el metal, y el profundo conocimiento

de los mismos, ha llevado a este tipo de conformación de materiales a ser uno de los

más extendidos en la industria.

De entre los procesos de conformado por deformación plástica se pueden

distinguir entre otros, aquellos que logran la deformación del material a partir de

esfuerzos de compresión directa. Dentro de este grupo, el proceso de forja será el

que constituya la base de aplicación del método desarrollado en la presente tesis.


4

Los procesos de forja pueden ser comprendidos con la ayuda de una serie de

acercamientos teóricos. La teoría de la plasticidad provee usualmente de una serie

de relaciones con las que determinar la fluencia del material, a la vez que

proporciona una estimación de las fuerzas y de la energía necesarias para lograr tal

deformación. Para estimar de una forma suficientemente precisa los citados

requerimientos de fuerzas y energía es fundamental una selección correcta del

coeficiente de rozamiento presente en el proceso de deformación.

En procesos de conformado plástico de metales como son los de forja, un

elemento simple es deformado plásticamente entre dos matrices hasta obtener la

configuración final deseada. Este tipo de conformado es clasificado usualmente en

dos categorías: por un lado aquellas operaciones que deforman piezas masivas, y

por otro las que se denominan como conformado de chapa para formas de espesor

reducido. En ambos tipos de procesos, las superficies del metal y las herramientas

están en contacto, teniendo el rozamiento existente entre ellos una influencia capital

en la fluencia del material [Semiatin, 1988].

Usualmente, la deformación se realiza a temperatura elevada, lo que

proporciona dos ventajas adicionales. Por un lado, el material, que en la presente

tesis se aplicará a los metales y con la inicial idealización de comportamiento rígido-

plástico perfecto, modifica su estructura produciéndose un ablandamiento del

mismo, por lo que la fuerza requerida para la deformación será menor. Por otra

parte, la recristalización del material se realiza a una mayor velocidad.

Entre las décadas de los años 60 y 90 del siglo pasado, la formulación de

sofisticados análisis matemáticos ha permitido el desarrollo de modelos de

comportamiento de los diferentes procesos de deformación, con lo cual se han

alcanzado productos de alta calidad a la par de incrementar la eficiencia en esta

tipología de industria mecánica.

Los modelos teóricos son tradicionalmente encuadrados en dos grandes

familias, la de los métodos numéricos por una parte, y la formada por los métodos

analíticos por otra. De entre los modelos que pertenecen a este segundo grupo, el

Generalidades. Capítulo1

5

método definido como teoría de campos de deslizamiento, es aplicado

frecuentemente para obtener información del estado de esfuerzos que origina la

deformación a partir del establecimiento de unos campos de fluencia del material

definidos previamente en base a la experiencia. Hasta la fecha, y debido a la

tradicional complejidad en la determinación de estos campos de velocidades se ha

extendido el uso, para modelizar la deformación, de métodos numéricos basados,

entre otros, en el empleo de elementos finitos.

La simplificación de estos campos posibilita la implantación de el método

analítico de análisis límite, y en especial en el de el límite superior, en el que se

asume un campo de velocidades compatible cinematicamente sin consideración del

estado de esfuerzos.

En general, los métodos teóricos utilizados para predecir fuerzas y otras

variables se basan en ciertas hipótesis simplificadoras (condiciones ideales) que

desvían en cierto grado la resolución de un problema real. Sin embargo, en cuanto la

pieza adquiere cierta complejidad, los métodos fallan. Por este motivo, normalmente

los valores calculados presentan notables discrepancias con los medidos de forma

experimental. Un motivo de esta variación es el relacionado con el gradiente de la

temperatura de trabajo desarrollado durante el proceso de deformación.

Por lo tanto, aunque a partir de estas consideraciones, se pueda establecer

que el conformado por deformación plástica tiene una importancia radical en la

industria, el grado de desarrollo de ciertos métodos analíticos teóricos no ha ido en

concordancia con el nivel de operatividad exigido en la fabricación.

Como ha sido mencionado con anterioridad, dentro del conjunto de los PCDP,

la línea de actuación a seguir por la presente tesis se centrará en aquellos en los

que por parte del material se establece un flujo de tipo no estacionario, es decir,

aquellos en los que la zona de contacto herramienta-pieza varía en función del

tiempo de ejecución del proceso, y de ellos, la forja. Trabajos paralelos y anteriores

a los de esta tesis han sido centrados en PCDP de tipo estacionario, por lo que el


6

método de cálculo propuesto pretende incardinarse dentro de un cuerpo de

soluciones de aplicación general en el conjunto de los PCDP.

1.2 Objetivo de la tesis

Definido el ámbito de la tesis donde se va a desarrollar el presente trabajo,

procederemos a establecer el objetivo que se persigue. Este objetivo será la

consecución de un método de análisis teórico con el que establecer, de una forma

sencilla y con amplia posibilidad de incorporación de parámetros significativos del

proceso de deformación, un valor mínimo de la carga aplicar para lograr la citada

conformación del material.

El desarrollo informático ha posibilitado en los últimos años, una evolución

muy profunda de los métodos de cálculo de tipo numérico, relegando a un segundo

plano a aquellos métodos analíticos en los que, debido a la complejidad de la teoría

de la plasticidad, se ha imposibilitado en cierta medida una mayor utilización. Si bien

las ventajas de los métodos numéricos son evidentes en cuanto a la correcta

adaptación en su cálculo a formas relativamente complejas de la pieza a deformar,

también presenta una serie de inconvenientes, como los derivados del alto coste

computacional y de la pérdida de una visión más profunda del proceso de

conformado, siendo en muchos casos muy difícil discriminar de una forma explícita

algunos de los parámetros que intervienen en el proceso.

El método analítico que se postula en la presente tesis como alternativa a los

métodos numéricos, está basado en el teorema del límite superior mediante una

aplicación configurada por una virtualización geométrica de bloques de material

rígidos triangulares. Este método analítico posibilita considerar, de forma

independiente, los efectos que introducen diferentes parámetros, entre los que

puede citarse la geometría de la fase de contacto herramienta-pieza, el tipo de

material (mediante la incorporación de la tensión de fluencia a cortadura), el

coeficiente de rozamiento, discriminando el tipo de rozamiento establecido (de

adherencia, deslizamiento o combinación de ambos), la temperatura del proceso, el


7

endurecimiento del material cuando no se considere un comportamiento rígido-

plástico perfecto y la distorsión interna del mismo, de forma independiente o

mediante combinación de ellos, pudiendo estar presente de forma simultánea varios

de los mismos.

El método, ya iniciado en su estudio por trabajos clásicos [Kudo, 1960]

[Johnson, 1951], se extiende a configuraciones geométricas no limitadas por

superficies de las matrices paralelas entre sí, sino que es aplicable a superficies de

la estampa que representen un perfil de mayor complejidad.

La limitación en la aplicación del método expuesto para esta tesis proviene de

la consideración de establecerse para una deformación plana, sin ser óbice de que

en desarrollos posteriores se estime la adecuada aplicación del método para

procesos de deformación tridimensional.

1.3 Estructura de la tesis

Una vez fijado el objetivo de la tesis, se procederá a establecer la estructura

de la misma a fin de alcanzar el objetivo indicado.

En su primera parte (capítulo 2), el contenido de la memoria de la tesis se

dedicará a la introducción de los fundamentos teóricos que van a ser empleados en

el desarrollo de los posteriores capítulos, haciendo especial énfasis en el análisis del

teorema del límite superior siguiendo un modelo de aplicación basado en bloques

rígidos triangulares.

En este capítulo se efectuará un desarrollo del citado teorema con su

aplicación concreta al caso en estudio, es decir, restringido a procesos de forja bajo

la consideración de deformación plana. Una breve revisión histórica acerca de los

diferentes métodos de cálculo, tanto analíticos como numéricos, servirá de

complemento para situar las posibilidades y las ventajas que ofrece el modelo

propuesto como principal objetivo.


8

Los capítulos 3, 4 y 5 forman el núcleo esencial de la tesis, puesto que en

ellos se desarrolla la propuesta metodológica. Se analiza en estos capítulos,

siguiendo una exposición pormenorizada y cronológica de los estudios realizados,

las diferentes etapas que han tenido que ser afrontadas hasta alcanzar la solución

final de aplicación del método, evaluando en esta exposición cada uno de los casos

a los que se les ha dado un resolución, tanto de forma individual como combinada,.

Es en esta fase del análisis donde se contempla el conjunto los parámetros que

intervienen en el proceso, las diferentes tipologías geométricas que se contemplan, y

los dos enfoques con los que se ha abordado el estudio: de una parte el que se ha

denominado en este trabajo como el enfoque tradicional o No Modular (capítulo 4), y

el innovador enfoque con el que se logra la integración de todos los fenómenos

puestos en juego, esto es, el enfoque modular (capítulo 5).

Expuesta la metodología general en el capítulo 3, será el capítulo 6 el que

dará contenido a una comparación efectuada entre los resultados obtenidos con la

aplicación del teorema del límite superior (TLS) con modelo de aplicación de bloques

rígidos triangulares (BRT), método encuadrado dentro de los analíticos, frente a un

método numérico, como es el caso del método de los elementos finitos (MEF). La

comparación efectuada servirá, a falta de resultados obtenidos directamente de la

experimentación, como una pseudovalidación del método. Se complementa la citada

comparación entre métodos con las realizadas sobre soluciones analíticas aportadas

por diferentes autores. En este capítulo se dará cuenta de una comparación de

valores y evolución de los mismos, para, mediante unas conclusiones finales, reflejar

el grado de concordancia entre ambos métodos.

El capítulo 7 se compone de la aplicación del método propuesto sobre casos

específicos, en los que se modifican las condiciones, tanto geométricas como las del

proceso, y sobre perfiles de estampas no necesariamente paralelos, sino reflejando

situaciones asimilables a las condiciones tecnológicas usuales. Junto a estos casos

prácticos considerados, en el capítulo se adjunta un estudio de sensibilidad

mediante el que se muestran los rangos de óptima aplicación del método y las

singularidades que se presentan (en su mayoría de tipo trigonométrico).


9

Concluye el cuerpo de la tesis con el capítulo 8, reservado a las conclusiones

y a las líneas de desarrollo futuro. En este octavo capítulo se presentarán tanto las

conclusiones particulares como las generales, en virtud de los diferentes aspectos

tratados, como son la metodología empleada, las ventajas y limitaciones del método

propuesto y el grado de aplicabilidad derivado del estudio de sensibilidad. Se

establecen en este apartado, tal y como ya se ha indicado anteriormente, las

posibles líneas futuras de actuación con las que poder aumentar el ámbito de

aplicación del método.

Finaliza la presente tesis con una exhaustiva relación de las referencias

utilizadas. El cuerpo expositivo de la Tesis Doctoral se complementa con un conjunto

de anexos que desarrollan partes que, por su extensión o contenido, podrían

dificultar el seguimiento lineal de la exposición, habiéndose segregado del cuerpo

central de los capítulos correspondientes donde se les hace referencia.

CAPÍTULO 2

TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR. EVOLUCIÓN Y DESARROLLO

Este principio es tan absolutamente general que es imposible aplicarlo de alguna forma particular.

G. Polya

Capítulo 2

TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR. EVOLUCIÓN Y DESARROLLO

2.1 Introducción

En este segundo capítulo se pretende situar al Teorema del Límite Superior en

referencia a unas coordenadas históricas, así como de exponer, de forma breve,

consideraciones sobre la forja, proceso de conformado por deformación plástica

sobre el que se desarrolla la tesis.

De igual forma, se trata la influencia del rozamiento en el proceso de

conformado, evaluando su fundamento y sus diferentes comportamientos en el

citado proceso.

La última parte de este capítulo realiza una somera visión de los diferentes

métodos analíticos concluyendo, con una mayor extensión, con el Teorema del

Límite Superior que representa la base teórica de aplicación del método

desarrollado.


14

2.2 Conformado por deformación plástica. Evolución histórica

La “Teoría de la plasticidad” puede definirse como aquella teoría en la que se

estudia, desde un tratamiento matemático, los esfuerzos y deformaciones

soportados por sólidos deformados plásticamente, especialmente en metales. La

relación de las propiedades plásticas y elásticas de metales en cuanto a sus

estructuras cristalinas y a sus fuerzas de unión (cohesivas) pertenece al tema

conocido como “Física de los metales”. La teoría de la plasticidad toma como punto

de partida ciertas observaciones experimentales del comportamiento macroscópico

de un sólido plástico bajo un estado de esfuerzos combinados [Calladine, 2000]

[Kalpkajian, 2000] [Kachanov, 2004] [Nadai, 1933].

El desarrollo de esta teoría puede seguir dos vertientes: la primera, aquella en

la que se construyen relaciones explícitas entre esfuerzos y deformaciones de

acuerdo con las observaciones de una forma tan cercana y minuciosa como sea

posible; la segunda, desarrollando teorías matemáticas para calcular distribuciones

no uniformes de esfuerzos y deformaciones sobre cuerpos deformados

permanentemente.

El inicio del estudio científico de la plasticidad de los metales puede ser

datado adecuadamente en el año 1864. En este año Tresca [Tresca,1864] publicó

unos datos preliminares de experimentos sobre conformado por deformación

plástica, en concreto, sobre extrusión, que le permitieron establecer la consideración

de que un metal fluye plásticamente cuando el máximo esfuerzo cortante alcanza un

determinado valor crítico.

El criterio para obtener la fluencia de sólidos plásticos ya había sido propuesto

con anterioridad por Coulomb (1773), y había sido aplicado por Poncelet (1840) y

Rankine (1853) en problemas tales como el cálculo de la presión sobre paredes,

aplicaciones que, sin embargo, no fueron demasiado determinantes en los primeros

estados de investigación sobre el comportamiento de los metales.

Teorema del Límite Superior. Evolución y Desarrollo. Capítulo 2

15

El criterio de Tresca fue aplicado por Saint-Venant [Saint-Venant, 1870] para

determinar los esfuerzos producidos sobre un cilindro metálico sujeto a torsión y en

tubos completos sometidos a presión interna. Saint-Venant elaboró a su vez un

sistema de ecuaciones con las que determinar los esfuerzos y las deformaciones en

fluencia bidimensional, es decir, en deformación plana, y reconociendo que no existe

una relación unívoca entre los esfuerzos y las deformaciones plásticas, se puede

inferir que las direcciones de las máximas deformaciones coinciden en cada

momento con las direcciones de los máximos esfuerzos cortantes. En 1870 Lévy

[Lévy, 1870], adoptando el concepto de material plástico ideal de Saint-Venant,

propuso las relaciones entre esfuerzos y deformaciones en el caso tridimensional.

No se produjeron avances significativos hasta finales del siglo XIX, cuando

Guest estudió la fluencia en cilindros huecos sometidos a una combinación de

presión interna y de esfuerzo axial, obteniendo resultados en consonancia con el

criterio de los esfuerzos cortantes máximos. Aproximadamente durante la década

posterior, un gran número de experimentos similares fueron elaborados,

principalmente en Inglaterra, con conclusiones ligeramente diferentes. Fueron

sugeridos diversos criterios de fluencia, aunque para la mayoría de los metales el

más satisfactorio fue el desarrollado por von Mises [von Mises, 1913] [von Mises,

1928], basado en consideraciones puramente empíricas y matemáticas, y que fue

interpretado físicamente por Hencky [Hencky, 1923] años después, indicando que la

fluencia del material tiene lugar cuando el tensor de esfuerzos alcanza un valor

crítico. von Mises también propuso, de forma independiente, ecuaciones similares a

las de Lévy.

En el período existente entre las dos Guerras Mundiales la teoría de la

Plasticidad fue desarrollada de forma muy activa por autores alemanes. En 1920,

Prandtl [Prandtl, 1920] mostró que el problema plástico en dos dimensiones tenía

una solución hiperbólica, y calculó las cargas necesarias para realizar una

indentación sobre una superficie plana y un punzón truncado en su extremo.

Paralelas experiencias de Nadai [Nadai, 1923] [Nadai, 1939] mostraron una

concordancia parcial con estos cálculos.


16

La teoría general bajo la que aportó Prandtl sus soluciones fueron

complementadas por Hencky en 1923, quién descubrió unas sencillas propiedades

geométricas de los campos de líneas de deslizamiento en estados de deformación

plana [Hill, 1956]. Posteriormente las ecuaciones que gobiernan las variaciones de

velocidad del flujo a lo largo de líneas de deslizamiento fueron obtenidas por

Geiringer [Geiringer, 1930].

En 1923 Nadai investigó tanto de forma teórica como experimental, las zonas

plásticas existentes en piezas prismáticas. Sin embargo, la efectiva aplicación de la

teoría plástica a procesos tecnológicos se inició en 1925, cuando von Karman [von

Karmann, 1925] analizó el estado de los esfuerzos en la laminación. En años

siguientes Siebel [Siebel, 1933] [Martín, 2008] y Sachs [Sachs, 1927], [Sachs, 1934]

trabajaron con teorías similares sobre procesos de estirado.

Pero no fue hasta 1926, cuando Lode [Lode, 1925] midió la deformación de

cilindros huecos de varios metales bajo tensiones combinadas y presión interna y

puso de manifiesto que las relaciones esfuerzos-deformaciones de Lévy–Mises eran

válidas en una primera aproximación. Sin embargo, los resultados de Lode

apreciaron ciertas discrepancias, que fueron confirmadas posteriormente, mediante

experimentos más precisos, por Taylor y Quinney [Taylor, 1931]. La teoría se había

desarrollado siguiendo dos importantes direcciones: la primera, seguida por Reuss

[Reuss, 1930] que adoptó la hipótesis de que el incremento de las componentes de

la deformación plástica es, en cada instante, proporcional a las correspondientes

tensiones desviadoras y cortantes, siguiendo una sugerencia de Prandtl, y la

segunda, seguida por Schmidt [Schmidt, 1932] y Odquist [Odquist, 1933], que

mostraron de diferente forma como el endurecimiento por deformación podía ser

incorporado en las ecuaciones de Lévy-Mises.

La primera generalización fue confirmada mediante experimentos por

Hohenemenser (1931-1932), y la segunda por investigaciones de Schmidt. Así, en

1932, se elaboró un nuevo modelo, reproduciendo las principales propiedades en

período plástico y elástico de un metal isotrópico a temperaturas ordinarias y que

sustancialmente estaba de acuerdo con las observaciones.


17

A partir de estas investigaciones no se realizaron más que pequeños avances

en la solución de problemas específicos. Paralelamente fue propuesta por Hencky

en 1924 una teoría que aprovechaba el desarrollo analítico en problemas donde las

deformaciones plásticas eran reducidas, eliminando la dificultad de no poder

establecer una relación unívoca y lineal entre esfuerzos y deformaciones. Esta teoría

fue ampliamente expuesta por Nadai [Nadai, 1931] en su publicación sobre

plasticidad, y posteriormente aplicada con profusión por la Escuela Rusa (alrededor

de 1935).

Con posterioridad a la publicación antes mencionada de Nadai, se editaron

diversas obras de carácter general sobre plasticidad y sus aplicaciones, que, como

indica Sebastián [Sebastián, 1999], pueden ser englobadas dentro de tres

generaciones:

o La primera, que corresponde a los años cincuenta del pasado siglo, en

donde se incluyen los textos de Hill [Hill, 1951][Hill, 1956], Drucker

[Drucker, 1951], Prager y Hodge [Prager, 1951], Bridgman [Bridgman,

1952], Hoffman y Sachs [Hoffmann, 1953], Sachs [Sachs, 1954] y Prager

[Prager, 1959].

o La segunda, encuadrada en la primera mitad de la década de los sesenta,

donde se incluyen obras como las de Prager [Prager, 1961], Dieter (1961)

[Dieter, 1986], Johnson y Mellor [Johnson, 1962], Rowe (1965) [Rowe,

1972] y Avitzur [Avitzur, 1968].

o Por último, una tercera, en los años setenta y ochenta, con la aparición de

textos como los de Johnson, Sowerby y Haddow [Johnson et al, 1970],

Lange (1972) [Lange, 1985], Rowe [Rowe, 1977] [Rowe, 1979], Slater

[Slater, 1977] y Szczepinski [Szczepinski, 1979].

A lo largo de las tres décadas que comprende la publicación de estos

manuales se han ido consolidando los conocimientos del conformado plástico de los


18

metales, principalmente en lo referente al diseño de elementos estructurales y al

análisis de los procesos de conformado por deformación plástica [Sánchez, 1983].

Algunos de estos métodos analíticos tienen en su desarrollo demasiadas

simplificaciones respecto a las geometrías y esfuerzos que se aplican en los

procesos industriales (Deformación Homogénea, Análisis Local de Tensiones).

Otros métodos que contemplan de una forma más precisa el fenómeno de la

deformación plástica son el del campo de líneas de deslizamiento, abordable, con

una complejidad moderada, sólo para casos de deformación plana. En los años

cincuenta y sesenta se han desarrollado diferentes campos de líneas de

deslizamiento para casos de compresión sin rozamiento [Green, 1951], de extrusión

[Green, 1954], de compresión con rozamiento por deslizamiento [Alexander, 1955],

así como de un elevado número de procesos de conformado por deformación,

recogidos por Johnson [Johnson, 1970].

En 1951, Drucker, Greenberg y Prager plantearon un nuevo método analítico

basado en la aplicación de los teoremas del límite, tanto superior como inferior,

desarrollados en un número extenso de ejemplos bajo deformación plana en el

trabajo de Johnson [Johnson, 1973].

2.3 Procesos de conformado por deformación plástica mediante compresión directa. Forja

Se denominan procesos de conformado por deformación plástica (PCDP), a

aquellos procedimientos de obtención de componentes mecánicos que se benefician

del comportamiento plástico de los metales, es decir, de la posibilidad de cambiar de

forma o de dimensiones mediante la aplicación de esfuerzos externos.

En los PCDP mediante compresión directa, son los esfuerzos de compresión

aquellos que manifiestan una principal influencia en la deformación del material, y

dentro de este grupo se pueden distinguir entre procesos específicos como la


19

laminación, la extrusión o la forja. De estos procesos, es sobre la forja donde la

presente tesis se desarrolla.

El proceso de forjado se remonta a los primeros registros escritos de la

especie humana. Hay evidencias de que el forjado era usado en el antiguo Egipto,

Grecia, Persia, China y Japón para hacer armas, joyería y otros implementos. En la

antigua Creta se usaban placas de piedra labrada como dados de impresión en el

martillado del oro y la plata, alrededor de 1.600 a.C. La natural evolución a la

fabricación de monedas por un proceso similar se llevó a cabo hacia el año 800 a.C.

El negocio de la herrería permaneció relativamente sin cambios hasta que se

introdujo el martinete de forja con pisón guiado a fines del siglo XVIII. Este desarrollo

trajo la práctica de la forja a la era industrial.

A diferencia de las operaciones de laminado o estirado, que en general

producen placas, láminas, alambres, o diversos perfiles, las operaciones de forja

producen piezas discretas. Entre los productos característicos del forjado están

tornillos y remaches, bielas, ejes de turbinas, engranajes, herramientas de mano y

piezas estructurales para maquinaria, aviones, ferrocarriles y una diversidad de

equipo de transporte.

El forjado en dado o matriz abierta es el proceso más sencillo de esta clase.

Aunque la mayor parte de las forjas realizadas con matriz abierta tienen un peso de

forma general de 15 a 500 kg., se han forjado piezas de hasta 300 toneladas.

Se puede describir el proceso con matriz abierta como aquel en el que una

pieza sólida es colocada entre dos matrices planas, reduciendo la altura de la pieza

debido a la compresión efectuada. Debido a que se mantiene el volumen constante,

toda reducción de altura aumenta las restantes dimensiones de la pieza forjada,

creando lo que se denomina un recalcado.

Las formas generadas por operaciones en matriz abierta son simples, como

discos y anillos. Las matrices en algunas aplicaciones tienen superficies con ligeros

contornos que ayudan a formar el material de trabajo. Éste, además, debe


20

manipularse frecuentemente (girándolo en cada paso, por ejemplo) para efectuar los

cambios de forma requeridos.

La forja es actualmente el método principal utilizado para conformar por

compresión piezas de fundición de gran tamaño y también para mejorar sus

propiedades metalúrgicas y mecánicas. Este método de deformación precisa de

grandes esfuerzos y potencias.

El forjado con matriz impresora o forja semicerrada es la denominada

estampación, donde la pieza adquiere la forma de las cavidades del dado, al forjarse

entre dos matrices con un perfil determinado. Algo del material fluye hacia el exterior

formando una rebaba. Esta rebaba tiene un papel importante en el flujo del material

en el estampado: es delgada, se enfría con rapidez y, por su resistencia a la fricción,

somete a grandes presiones al material en la cavidad de la matriz, promoviendo así

el llenado de la cavidad.


21

Figura 2.1 Detalle de forja por estampación

Con frecuencia se requieren varios pasos de formado en la estampación para

transformar la forma inicial en la pieza final deseada. Los pasos iniciales se diseñan

para redistribuir el metal en la parte de trabajo y conseguir así una deformación

uniforme y la estructura metálica requerida en las etapas siguientes. Los últimos

pasos le dan el acabado a la pieza final. Debido a la formación de rebaba y a las

formas más complejas de las piezas realizadas con estas matrices de estampación,

las fuerzas en este proceso son considerablemente mayores y más difíciles de

analizar que en la forja libre o abierta.

Un proceso de forja implica el siguiente orden de pasos.

1. Preparación de metal mediante palanquilla o preforma. Si es necesario, han

de limpiarse las superficies con métodos como el granallado.

2. Para forjado en caliente, calentamiento de la pieza en horno y, si es

necesario, eliminación de la cascarilla tras el calentamiento. Durante las etapas

iniciales del forjado también se puede efectuar la eliminación de la cascarilla.

Precalentamiento de las matrices en estampación en caliente, lubricación de las

mismas en forjado en frío.

3. Forjado mediante las matrices adecuadas, y en el orden correcto. Si es

necesario, eliminar todo exceso de material, como la rebaba.

4. Limpieza de la pieza forjada, comprobación de dimensiones y, si es

necesario, mecanización hasta dimensiones y tolerancias finales.


22

5. Operaciones adicionales como enderezado y tratamiento térmico, para

mejorar las propiedades mecánicas, así como las necesarias de acabado.

6. Inspección y detección de posibles defectos en la pieza forjada.

En los procesos de forjado se utilizan una diversidad de máquinas de forjado,

con distintas capacidades, velocidades y características de carrera. Estas máquinas

se clasifican, en general, en prensas y en martillos o martinetes. Las prensas

funcionan usualmente a velocidad constante y están limitadas por la carga. Se

transfiere una gran cantidad de energía a la pieza, mediante una carga constante

durante la carrera, cuya velocidad se puede controlar. Los martinetes obtienen su

energía de la energía potencial del ariete, que se convierte en energía cinética, por

consiguiente, son limitadas por la energía. A diferencia de las prensas, éstos

trabajan con grandes velocidades, y el tiempo de conformación minimiza el

enfriamiento de la forja en caliente. Las bajas velocidades de enfriamiento permiten

forjar formas complicadas, en especial las que tienen oquedades delgadas y

profundas. Para completar el forjado se suelen dar varios golpes sucesivos.

2.4 Influencia del rozamiento en los PCDP La consecuencia más evidente del rozamiento, en la experiencia general, es

la aplicación de un trabajo adicional que de otra forma no sería necesario. Cuanto

mayor es el rozamiento, mayor es la carga requerida para producir una deformación

determinada. En consecuencia, se ha dado una importancia capital al problema de

conseguir valores bajos de los coeficientes de rozamiento. Sin embargo, este

problema no es el fundamental en la elección del lubricante para el conformado de

metales; tiene una mayor relevancia la eliminación de toda posibilidad de deterioro

causado por la transferencia de metal desde la pieza a las herramientas.

Aparte del incremento de las fuerzas externas, la tensión de rozamiento tiene

una gran influencia sobre la fluencia del metal y puede ocasionar graves


23

heterogeneidades en el producto conformado así como grietas superficiales y otros

defectos.

La heterogeneidad aparece de dos formas diferentes. La tensión de

rozamiento produce una rotación de las direcciones de la tensión principal, que a su

vez determina cuáles de los posibles planos cristalográficos son los orientados más

favorablemente para que tenga lugar el deslizamiento atómico. La orientación

cristalográfica de las capas superficiales del material trabajado estará influenciada,

en consecuencia, por el rozamiento, como se puede demostrar por difracción de

rayos X.

Existe también una heterogeneidad macroscópica, observable mediante un

retículo trazado sobre la sección transversal del material antes de trabajarlo. Las

capas superficiales están apreciablemente retardadas, aún en presencia de un

lubricante, por la fuerza de rozamiento. La deformación de la superficie produce un

endurecimiento adicional e incluso agrietamiento.

El modelo general de deformación se puede alterar completamente con

variaciones del rozamiento. En las operaciones de forja, la fluencia puede estar

afectada considerablemente por el rozamiento, particularmente en la forja con matriz

abierta. El abarrilamiento producido por un rozamiento elevado derivado del

movimiento relativo en la zona de contacto herramienta-pieza puede producir

tensiones de tracción secundarias, que finalmente limitan la reducción de sección

permisible.

La consecuencia más grave de un elevado coeficiente de rozamiento es la

adherencia del metal de la pieza a la herramienta. Esta adherencia puede ocurrir con

más facilidad en algunos materiales que en otros, pero puede limitar seriamente el

intervalo posible de reducciones de sección por pasada. La transferencia metálica

puede tener lugar de dos maneras diferentes. Una está asociada, en primer lugar, a

las superficies rugosas de las herramientas. Si la película de lubricante se agota, el

metal de la pieza puede ser forzado a penetrar en las hendiduras de la herramienta,

de la misma forma que en una operación de acuñado se reproduce exactamente el


24

perfil de aquella. El movimiento tangencial posterior a lo largo de la cara de la

herramienta tiende a cizallar el metal blando que sobresale, dejando detrás

fragmentos sueltos. Esto proporciona normalmente un acabado defectuoso de la

superficie.

El otro tipo de transferencia es adhesiva y es mucho más grave. Se puede

originar por diversas causas, incluyendo pequeñas partículas de óxido o cascarilla

que quitan las películas protectoras superficiales, dejando el metal desnudo.

Si se ponen en contacto dos de estas superficies bajo la presión de trabajo,

tienden a soldarse, haciendo que un fragmento de la pieza se desgarre por

cizallamiento posterior y quede firmemente adherido a la herramienta. En la zona en

la que se ha arrancado el fragmento aparece una superficie nueva, que

normalmente sobresale de la película de lubricante que le rodea, de manera que la

adherencia se hace cada vez mayor. Con frecuencia este fenómeno impide la

operación de conformado. La adherencia depende, en condiciones reales, de la

naturaleza de los dos materiales. Se debe de recordar que muchas de las

operaciones del conformado de metales requieren inherentemente la formación de

un 40 a un 50% de superficie nueva de metal durante la deformación. Este metal

naciente se debe proteger de forma adecuada inmediatamente después de que se

forme, o se podrá adherir al material de la herramienta. La duración de las

herramientas, lo mismo que la calidad del producto, puede ser gravemente afectada

si tiene lugar la adherencia del metal.

En la teoría del conformado de metales se supone que la tensión tangencial τ,

en la superficie de la pieza, es directamente proporcional a la tensión normal p. Un

coeficiente de rozamiento puede, pues, definirse como μ=τ/p, expresión análoga a la

relación de las fuerzas tangencial y normal en física elemental. Sin embargo, la

tensión tangencial τ se limita a un valor igual al límite de fluencia por cizalladura k del

metal mismo. Puesto que el valor mínimo de la tensión normal que puede causar

deformación plástica es Y, tensión de fluencia uniaxial, el valor máximo del

coeficiente de rozamiento para condiciones de rozamiento de adherencia total viene


25

dado por la relación k/Y. Estas cantidades están, por supuesto, relacionadas de

acuerdo con el criterio de fluencia. Utilizando el criterio de Von Mises,

Yk 155,12 = (2.1)

Así, pues,

577,0max ==Ykμ (2.2)

El criterio de Tresca nos proporciona

5,0=máxμ (2.3)

La condición de coeficiente constante se conoce normalmente como

rozamiento de deslizamiento o rozamiento de Coulomb. El coeficiente de rozamiento

puede realmente variar durante una pasada de trabajo, ya que la lubricación se

deteriora debido a la delgadez de la película y a la extensión de la superficie.

Estudios experimentales indican, sin embargo, que este fenómeno es despreciable

para todas las operaciones bien lubricadas. Para cálculos prácticos se puede

suponer que la tensión de cizalladura τ en la interfase herramienta-pieza, para una

tensión normal p, viene siempre dada por

pμτ = (2.4)

siempre que τ < k. De otro modo, existe rozamiento de adherencia, y τ=k.

El resultado en la determinación del coeficiente de rozamiento puede estar

influenciado por diversos factores, y es esencial que las condiciones del ensayo de

la geometría de la superficie, las condiciones químicas, el espesor de la película del

lubricante, la temperatura, la velocidad, el medio ambiente y el grado de deformación

se deba parecer todo lo posible a las condiciones reales de la operación. Esto indica

que los únicos datos de rozamiento absolutamente útiles son aquellos obtenidos de


26

las medidas durante la operación considerada. Raramente existe una correlación

directa con los coeficientes de rozamiento bien conocidos, obtenidos en las pruebas

de laboratorio.

El valor local del coeficiente de rozamiento no se puede determinar con

facilidad. En las herramientas con una gran superficie es posible colocar dos

pequeñas cabezas medidoras, diseñadas de tal modo que una flexione por

cizalladura y la otra por compresión. Aun con esta disposición tan complicada, es

difícil conseguir que no se produzca ninguna alteración local. Todos los demás

métodos suponen la media de un coeficiente total o medio de rozamiento μ.

Para obtener una medida de la carga en un proceso de forja la teoría supone

el conocimiento de la tensión de fluencia, normalmente una tensión de fluencia

media. Esto puede ser una fuente de error, particularmente si se utiliza metal

recocido, ya que la velocidad inicial de endurecimiento por deformación es elevada.

En las operaciones de conformado en caliente el endurecimiento por deformación no

es tan importante, pero los resultados son probablemente mucho menos fiables, ya

que la tensión de fluencia normalmente depende de forma crítica tanto de la

temperatura como de la velocidad de deformación.

Hill ha propuesto un método en el cual una lámina rectangular plana, cuya

longitud b es mayor de diez veces la anchura a, se comprime entre plataformas

planas en voladizo. El rozamiento influye sobre la extensión en las dos direcciones

principales, y se puede deducir una relación simple entre el coeficiente de

rozamiento y el cambio de forma. Sin embargo, el ensayo es insensible para

coeficientes que sobrepasen el 0,05. Estos valores normalmente se encuentran sólo

cuando existe una apreciable contribución hidrodinámica para la lubricación. Por lo

tanto, no cabe esperar una correlación general entre los resultados de este ensayo y

la mayoría de los procesos de deformación.

Otro ensayo, sugerido por Kudo y Kunogi [Kudo, 1955] y desarrollado por

Cockcroft y Male [Male,1964] utiliza la compresión axial de un anillo entre

plataformas planas. Si no existe rozamiento, el anillo se deforma exactamente de la


27

misma manera que un disco, incrementando los diámetros tanto exterior como

interior proporcionalmente con su distancia al centro. Cuando existe un rozamiento

finito, la periferia exterior está sometida a una restricción mayor que la periferia

interna más corta, y con un rozamiento suficientemente grande es enérgicamente

favorable para que exista una deformación radial hacia el interior, de manera que

disminuya el diámetro interno. De esta forma, midiendo la relación de los diámetros

externo e interno después de la compresión axial de un anillo de dimensiones

normalizadas, es posible obtener una medida del rozamiento. Con una calibración

adecuada, el ensayo puede dar valores numéricos de μ.

Para comprender la lubricación se requiere algún conocimiento de la

naturaleza y las causas del rozamiento. El método más completo para resolver los

problemas generales del rozamiento es el de Bowden y Tabor [Bowden, 1950],

basado en la observación de que las superficies reales de los metales no son lisas.

Cuando dos de estas superficies se ponen en contacto bajo una carga ligera, se

tocan solamente en algunas asperezas relativamente aisladas de la superficie.

La presión local en estos contactos diminutos será muy elevada, y de hecho

se ha observado que es suficientemente grande como para provocar la deformación

plástica. A medida que la carga se incrementa, aumenta la extensión de estos

contactos apareciendo otros nuevos. Si se supone que el valor medio de las

tensiones de fluencia de todos los puntos de contacto en un instante dado, y bajo

una carga W, es p, entonces la suma de las áreas proyectadas de todos los puntos

de contacto vendrá dada por

∑ =WpAx_

(2.5)

En la formulación original se postuló que, cuando se utilizasen probetas de

metal sin lubricar, se podría dar lugar a una soldadura en frío, y que las uniones

soldadas así formadas tendrían una resistencia media a los esfuerzos cortantes s

aproximadamente iguales a la resistencia a la cizalladura del metal. Entonces la

resistencia de rozamiento resulta de la fuerza F que se requiere para cizallar estas

uniones.


28

∑ = FsAx_

(2.6)

Puesto que s y p están relacionadas con la tensión de fluencia por

cizallamiento k del metal, esto indica, de una forma inmediata, que F es proporcional

a W, de manera que el coeficiente de rozamiento μ se puede definir como:

Cp

sWF === _

_

μ (2.7)

Este planteamiento no tiene en consideración la interrelación existente entre

la tensión tangencial y la tensión normal según el criterio de fluencia. Si se aplica el

criterio de Von Mises a este tipo de unión por rozamiento, el resultado se modifica.

Puesto que la unión se deforma plásticamente por la aplicación inicial de la carga en

una dirección normal a la interfase, al aplicar una tensión tangencial adicional, por

pequeña que sea, se producirá una deformación adicional. Esta fluencia del material

hace que las probetas se acerquen más, aumentando la superficie de contacto. Por

lo tanto, si la carga permanece constante, la presión normal se reduce, pero

aumenta la fuerza tangencial que puede ser soportada. De este modo el proceso

continúa; un incremento de la superficie de contacto y una unión más resistente. La

carga original W no varía, pero la fuerza tangencial F puede alcanzar valores muy

elevados. La relación F/W, que no es estrictamente ya un coeficiente de rozamiento

puesto que F y W no están directamente relacionadas, puede llegar a valores muy

elevados, entre 10 y 100.

Aun cuando la transferencia adhesiva tenga lugar en el conformado de

metales, la superficie de contacto no puede incrementarse, de manera que el

coeficiente de rozamiento aparente está limitado al valor de “rozamiento de

adherencia” y no puede llegar a los grandes valores observados bajo cargas ligeras.

El rozamiento de adherencia puede surgir de la interacción mecánica o de la

interacción de películas resistentes, tales como óxidos, y no implica necesariamente

una transferencia adhesiva.


29

Otro factor importante en la lubricación es la temperatura de la superficie. El

trabajo necesario para vencer el rozamiento se genera de forma rápida en una capa

muy delgada, por lo que la temperatura de la interfase aumentará hasta un punto

que dependerá del rozamiento y de la conductividad térmica de los materiales.

La gran mayoría de operaciones de forjado se realizan a velocidades

relativamente reducidas, de forma que lo más probable es que el problema del

aumento extremo de la temperatura no sea excesivamente grave. Sin embargo,

habrá siempre un aumento adicional de temperatura debido al calor generado por la

deformación dentro del metal, que puede tener, o no, tiempo de difundirse a la

superficie durante la acción de la herramienta.

La importancia relativa de la influencia del rozamiento sobre la carga se

puede determinar aplicando el método analítico desarrollado en la presente tesis. Su

estudio, dependiendo del tipo de rozamiento considerado será contemplado en

capítulos posteriores.

2.5 Métodos de análisis

En este apartado van a repasarse brevemente, los métodos generalmente

utilizados en el estudio de cualquier proceso de deformación metálica citados

anteriormente. Nos referimos a los métodos analíticos. Se van a comentar sus

fundamentos y orígenes, así como sus respectivos campos de aplicación

[Kobayashi, 1960] [Wagoner, 2005].

Los métodos analíticos se establecen a partir de combinaciones operativas

entre los diferentes recursos teóricos disponibles y una serie de hipótesis

simplificadoras. La complejidad de los fenómenos físicos que tienen lugar durante

los procesos de conformado por deformación plástica en los materiales metálicos

hacen muy difícil tanto su tratamiento teórico como matemático. Las hipótesis más

usualmente adoptadas en los análisis de procesos de conformado plástico son la


30

aceptación de incompresibilidad del material; el comportamiento rígido-plástico sin

endurecimiento del mismo; la deformación homogénea; la consideración de

deformación plana, o en su caso, situaciones axisimétricas; ausencia de rozamiento,

y si es considerado, de valor constante; la consideración de homogeneidad en la

estructura y en el estado metalúrgico del material; y por último establecer como

despreciable el efecto causado por la velocidad de deformación.

No todas las hipótesis planteadas representan el mismo grado de alejamiento

de la realidad durante el proceso de deformación. Si bien unas son perfectamente

asumibles dentro de los rangos de aplicación de los procesos de deformación (véase

la incompresibilidad del material), otras son de difícil aceptación, como por ejemplo

la consideración de deformación homogénea, sobretodo en aquellos casos de

deformación severa, donde se pone de manifiesto de una forma relevante dos causa

de “no homogeneidad” como son la distorsión interna y el rozamiento externo.

Las soluciones a los problemas de conformado de metales pueden ser

obtenidas sólo si se siguen estrictamente las reglas siguientes:

a) Las ecuaciones diferenciales de equilibrio para el tensor de esfuerzos deben

de satisfacerse en todo punto del cuerpo deformado.

b) Debe de mantenerse la continuidad del flujo de material, es decir, el volumen

ha de mantenerse constante.

c) Las relaciones entre los esfuerzos internos y el flujo de material en los

materiales reales debe ser conocido. Dado que no son completamente

conocidas estas relaciones, normalmente se trabaja en el conformado de

metales siguiendo el comportamiento del material definido por von Mises.

Para estos materiales la relación entre el tensor desviador y las

deformaciones han de mantenerse.

d) Las condiciones de contorno deben ser satisfechas, incluyendo la influencia

del rozamiento sobre la superficie de contacto entre pieza y herramienta.


31

Cuando todas estas condiciones se cumplan, la solución completa y única determina

el estado de las tensiones y de los esfuerzos sobre la pieza al completo.

Como se ha indicado, la conjunción de herramientas matemáticas teóricas

para la modelización del continuo, la caracterización del comportamiento plástico de

los materiales metálicos, en nuestro caso, y la imposición de determinadas hipótesis,

conduce a la siguiente clasificación de métodos analíticos implicados en el estudio

de los procesos de conformado por deformación plástica [Sánchez-Pérez, 1983].

1. Método de deformación homogénea.

2. Método de análisis local de tensiones (slab method).

3. Método del campo de líneas de deslizamiento (slip-line field method).

4. Método del límite superior (upper bound method).

5. Método del límite inferior (low bound method).

En el estudio del comportamiento del material mediante el análisis por

deformación homogénea (supone que las secciones rectas antes de sufrir la

deformación permanecen rectas una vez producida esta) no resulta posible el

cálculo de esfuerzos que consideren los efectos de rozamiento. Para conocer estos

esfuerzos es preciso tener en cuenta expresiones que permitan cuantificarlos.

El método fundamentado en las ecuaciones de Hencky se utiliza con el fin de

poder calcular la contribución del fenómeno de la distorsión a la energía total del

proceso. Está basado en la teoría del campo de líneas de deslizamiento, y relaciona

la variación de la presión hidrostática a lo largo de estas líneas de deslizamiento con

la curvatura de las mismas.


32

Para su aplicación, este método necesita la definición previa de la geometría

de un campo de líneas de deslizamiento tal que cumpla las condiciones de

continuidad y velocidad en la zona en que tiene lugar el proceso de deformación.

En ellos cabe distinguir el método del límite superior, que se basa en la

consideración de un campo de velocidades cinemáticamente admisible o

independiente de las consideraciones tensionales; y del límite inferior que, por el

contrario, se basa en el establecimiento de unas consideraciones de tensión

estáticamente admisibles sin necesidad de aplicación de las restricciones del flujo en

la zona de deformación. El método del límite superior, inicialmente empleado por

Johnson, [Johnson, 1962a] en las aplicaciones a los procesos de conformado por

deformación plástica será el que se desarrolle con una mayor extensión en este

capítulo, puesto que es sobre él donde se basa la aplicación del modelo propuesto

en la presente tesis.

De los métodos antes citados, quizás el del límite inferior sea el que reviste un

menor interés. Este hecho es motivado por el bajo nivel de prestaciones en relación

con sus características de aplicación y en el hecho de que los dos métodos citados

en primer lugar (deformación homogénea y análisis local de tensiones) suelen

proporcionar resultados que igualmente acotan inferiormente los requerimientos

mecánicos de los procesos.

2.5.1 Método de la deformación homogénea

La forma más sencilla de deformarse un metal es la que se observa en un

ensayo de tracción. Cualquier elemento del metal, que sea originariamente un

pequeño cubo, se convierte en un paralelepípedo después de la deformación

plástica que tiene lugar en la tracción simple.

Toda la probeta, excepto los extremos (que siempre se ignoran en los

ensayos de tracción), es libre de deformarse sin estar restringida por ningún cuerpo

externo. Es un principio general que esta deformación homogénea requiere menos

trabajo y, en consecuencia, una carga menor que cualquier otro tipo de deformación.


33

De esta manera, el cálculo de la carga para una deformación homogénea

proporciona un límite inferior de la carga necesaria en cualquier otra operación que

produzca la misma variación final del área de la sección transversal de la pieza.

En algunas operaciones prácticas, la carga adicional originada por estas

restricciones por rozamiento y de tipo mecánico puede ser bastante pequeña. Por

ejemplo, el sistema de tensiones y la deformación en la compresión axial de un

cilindro de diámetro pequeño entre dos plataformas bien lubricadas se aproximan a

un sistema uniaxial ideal.

Un método general, aplicable a las condiciones sencillas de tracción o

compresión así como a procesos más complejos tales como la forja, es considerar el

trabajo realizado en la deformación de un pequeño elemento de la pieza, y entonces

integrarlo a lo largo de toda la región de deformación.

Así, para la tracción uniaxial, las tensiones principales para un punto

cualquiera son:

0,0, 321 === σσσ Y (2.8)

Donde Y es la tensión de fluencia instantánea para la deformación ε, que

corresponde al área de la sección transversal A y a la longitud l. El incremento de

trabajo realizado al aumentar la longitud de la probeta δl durante la deformación

viene dado por el producto de la fuerza y del desplazamiento:

lYAW δδ )(= (2.9)

Y como se supone que el volumen se mantiene constante, se integrará el

trabajo por unidad de volumen entre la longitud original l0 y la longitud final l1:

∫ ∫== 1

0

1

0

l

ldY

ldlY

VW ε

εε (2.10)


34

De esto se deduce que el trabajo realizado, por unidad de volumen, en una

deformación homogénea es igual al área de la curva tensión-deformación, entre los

valores de deformación adecuados. Esto se puede calcular directamente a partir del

cambio de dimensiones, suponiendo una tensión de fluencia media Y.

∫ == 1

0

0

1lnl

l ll

YldlY

VW (2.11)

La ecuación anterior, frecuentemente conocida como la fórmula de trabajo,

proporciona una aproximación razonable para un metal que se haya endurecido por

deformación plástica antes del estirado por tracción, de forma que Y no varíe mucho

durante el proceso. Esta ecuación es menos útil para un material recocido, donde Y

aumenta rápidamente con la deformación de manera que entonces es preferible,

integrar la curva tensión-deformación gráficamente. Este método se puede aplicar a

varias operaciones reales.

En la forja con grandes plataformas planas, el área en contacto con la pieza

aumenta continuamente durante la operación, de manera que resulta apropiada la

forma diferencial de la fórmula de trabajo. El incremento de trabajo llevado a cabo

por la fuerza (p A) para el instante en el que A = Ax es

dlApdW xx ⋅⋅= )( (2.12)

el trabajo para una deformación homogénea es

dlYAldlYVdW xx

x

x == (2.13)

Así, px = Yx,

Como una primera aproximación, el endurecimiento por deformación se

puede incluir en el problema usando un valor medio de s, considerando deformación

plana, también se puede calcular de una manera más exacta, derivando una


35

expresión analítica que se adapte a la curva tensión-deformación, y usando esta

expresión junto con la ecuación diferencial.

El análisis anterior se puede usar para algunas operaciones de forja. Por lo

tanto, supone un valioso medio para el cálculo de las cargas de trabajo y para el

examen de la influencia de las variaciones de los parámetros del proceso,

especialmente cuando se utiliza en su forma más compleja que considera el

endurecimiento por deformación.

En algunos casos se ha visto que el cálculo de las tensiones infravalora

seriamente las cargas de trabajo. La razón de este hecho es que el trabajo total

realizado tiene tres componentes, debido a la deformación homogénea (WH), la

resistencia por rozamiento externo (WF), y también a la distorsión interna que puede

tener lugar (WR).

Este cizallamiento adicional o redundante supone un trabajo, que en

consecuencia es conocido como trabajo adicional WR. El trabajo total WT gastado en

una deformación determinada se puede considerar como una suma de tres

componentes, WH, WF y WR, pero que no son completamente separables, ya que la

deformación estará influenciada por el rozamiento en la superficie de la herramienta,

de manera que WR dependerá de μ.

La deformación adicional también contribuye al endurecimiento por

deformación, de forma que la tensión de fluencia de un metal trabajado se ve que es

más alta que la que se calcularía a partir de la reducción de área medida y la curva

tensión-deformación básica.

Para calcular la influencia de la deformación del metal es necesario usar un

método más avanzado que tenga en cuenta la distribución de la deformación, así

como la distribución de las tensiones en la pieza. Para este fin se construyen los

campos de líneas de deslizamiento, si bien este método se puede aplicar solamente

a las condiciones de deformación plana.


36

2.5.2. Método del análisis local de tensiones

Como se dijo anteriormente, el método de análisis local de tensiones (slab

method) constituye una forma analítica de calcular las potencias requeridas ante una

deformación plástica.

Las principales hipótesis de carácter restrictivo, sobre la que se sustenta este

método analítico, entre otras, las siguientes:

- Se considera deformación homogénea

- Material deformable rígido-plástico perfecto

- Rozamiento débil

- Fluencia de material independiente de la velocidad de deformación y de la

temperatura

- Probetas de geometría tipificada

En el desarrollo teórico del método va a calcularse la carga por compresión

mediante plataformas planas y paralelas, y con deformación, de una probeta dada, a

partir de las tensiones locales que actúan. El análisis se hará para el caso de

deformación plana (pieza prismática) distinguiéndose el tipo de rozamiento existente

en la interfase pieza/plataforma.

Figura 2.2 Pieza a deformar

w h

b


37

Figura 2.3 Distribución de tensiones

Sea la figura 2.2; la pieza a la que se va a someter a una compresión entre

plataformas planas y paralelas. En la figura 2.3 se representa el croquis global de la

zona de deformación y las tensiones que actúan en un instante cualquiera sobre la

placa, ancha y delgada, al comprimirla.

Considerando el elemento diferencial a la derecha del plano x=0, debido a la

simetría existente, y estableciendo las condiciones de equilibrio, se obtiene para

cada dirección:

Según el eje x:

02)( =−⋅−+ dxhhd zxxxx τσσσ (2.14)

A la izquierda de la línea central

02)( =+⋅−+ dxhhd zxxxx τσσσ

(2.15)

Estas ecuaciones se pueden simplificar y combinar:

02 =dxdh zxx τσ m (2.16)

τzx p

τzx p

σz σz

h

x dx

σx

σx + dσx

b/2


38

Y, dado que el proceso responde a la hipótesis de rozamiento débil, se puede

realizar una hipótesis simplificadora adicional, que consiste en suponer conocidas

las direcciones principales y hacerlas coincidentes con los ejes. Así, la tensión

principal mayor σ1 tiene la dirección del eje X (σ1 = σx) y σ3 la del eje Z (σ3 = σz = -p)

Sustituyendo, y como pzx μτ = , se obtiene una relación entre p y σx

02 =dxpdph μm (2.17)

De donde, despejando e integrando:

Cxh

p +=μ2ln m (2.18)

La constante de integración se calcula a partir de la condición de que la

tensión horizontal es nula en ambos extremos, donde x = ± b/2. Así, para x = b/2,

hb

kecμ

+− = 2 (2.18)

Y a la derecha de la línea del centro x=0, la constante de integración tendrá el

mismo valor. Así, a medida que nos acercamos a la línea del centro, la presión se

incrementa exponencialmente desde el valor p=2k para ambos extremos. El valor

máximo, en el centro, es

hb

máx ekp μ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2 (2.19)

Hay que resaltar las siguientes consideraciones restrictivas adicionales al

desarrollo teórico del método expuesto. Por una parte, los resultados obtenidos, son

válidos, lógicamente, para las hipótesis de partida que se han reseñado, una de las

cuales es la de existencia de un rozamiento débil entre pieza y plataforma; hipótesis


39

que, por lo tanto, acota considerablemente la validez del método. La solución

aportada no considera , por tanto, el establecimiento de rozamiento por adherencia.

También se considera constante, en todo el proceso, el valor de la tensión de

fluencia del material, lo cual se obtiene solo para las forjas en caliente.

2.5.3. Método del campo de líneas de deslizamiento

Por desgracia no hay ningún método para calcular el trabajo adicional en

todas las aplicaciones comprendidas por el cálculo de las tensiones del modelo

anterior. Sin embargo, para las condiciones especiales de la deformación plana,

existe un método conocido como análisis del campo de las líneas de deslizamiento

que tiene una estrecha concordancia con la experiencia.

Aunque matemáticamente riguroso, este método depende del diseño de un

campo inicial basado en la experiencia. La deformación plana supone que no existe

ninguna deformación en una dirección (εz=0); todo alargamiento o contracción tiene

lugar en planos (X0Y) perpendiculares a esta dirección y es el mismo en todos estos

planos y, por lo tanto, puede ser representado en un diagrama de dos dimensiones.

En la deformación plana, toda la deformación es debida a un cizallamiento

puro y se supone que está producida por esfuerzos cortantes puros. Un campo de

líneas de deslizamiento es un diagrama vectorial de dos dimensiones que

representa las direcciones de los esfuerzos cortantes máximos, identificados con las

direcciones de deslizamiento, para cualquier punto [García, 1979]. En lugar de tratar

con desplazamientos incrementales, se trabaja con velocidades, obtenidas

dividiendo aquellos por el incremento de tiempo que puede considerarse un

parámetro y que no afecta al resultado, debido a la hipótesis de no considerar el

efecto del tiempo [Sánchez, 1999].

Siempre existen estas dos direcciones, puesto que, como ya dijimos

anteriormente, un esfuerzo cortante va siempre acompañado por un esfuerzo

cortante complementario a 90º. Así, por ejemplo, si un cubo de hormigón se


40

comprime hasta su rotura, cizallará a lo largo de sus diagonales, formando dos

pirámides.

El campo de líneas de deslizamiento es siempre una red de líneas que se

cruzan unas con otras en ángulo recto. Se construye mediante un proceso de tanteo,

basado en una experiencia anterior, comenzando con un conocimiento de las

condiciones de equilibrio en los contornos del campo, y debe satisfacer las

condiciones de continuidad y de velocidad dentro del metal que se deforma. Debido

a que la deformación se debe a un esfuerzo cortante puro, en el instante de la

deformación plástica, la tensión cortante a lo largo de la línea de deslizamiento tiene,

en cualquier lugar, un valor k igual a la carga de deformación permanente medida en

un ensayo de cizalladura pura.

El sistema de tensión en cualquier punto de la zona de deformación plástica

se puede considerar como una combinación de estas tensiones con una presión

hidrostática –p que no modifica la carga de deformación plástica. En efecto, las

tensiones principales σ1 y σ3 tienen los valores –(p + k) y –(p - k), respectivamente, y

actúan a 45º con las direcciones de los esfuerzos cortantes máximos que vienen

dadas por las direcciones de las líneas de deslizamiento. Por lo tanto, si se puede

determinar p, se podrán calcular las magnitudes y las direcciones de ambas

tensiones principales, a partir del campo de líneas de deslizamiento y de un

conocimiento de la carga de deformación permanente.

Considerando las condiciones de equilibrio y mediante la aplicación del círculo

de Mohr, se demuestra que el cambio de p entre dos puntos está directamente

relacionado con el ángulo de las tangentes a las líneas de deslizamiento en estos

puntos. En el ejemplo de compresión simple, las líneas de deslizamiento eran rectas,

y para esta condición la presión hidrostática es siempre constante. Para la mayoría

de las operaciones, el campo es más complejo y comprende líneas de curvatura

constante o variable. En este caso, el procedimiento para determinar la variación de

la tensión de un campo de líneas de deslizamiento dado, es establecer un punto de

partida en una zona del contorno del campo donde la magnitud de la presión

hidrostática se determine con facilidad; por ejemplo, mediante la condición de que


41

ninguna red de tensiones normales o tangenciales actúe sobre una superficie libre. A

continuación se determina con la ayuda del diagrama, la rotación de una línea de

deslizamiento desde este punto a otro sobre la cara de la herramienta dando aquél

el valor de p y de aquí los valores de σ1 y de σ3 en dicha cara.

Los valores de tensión que se encuentran por este método son, a veces,

mayores que dos veces los que se pueden calcular suponiendo una deformación

homogénea, pero las soluciones del campo de líneas de deslizamiento se ha visto

que siempre concuerdan bien con los experimentos efectuados para comprobarlos.

Su desventaja, aparte de la relativa complejidad en algunos casos, es que están

restringidos a la deformación plana, que raramente se presenta en los procesos de

conformado de metales.

Figura 2.4 Campo de líneas de deslizamiento

El cálculo elemental dado anteriormente indica el modo de poder utilizar el

conocimiento de las direcciones de los esfuerzos cortantes máximos junto con la

magnitud de las tensiones de fluencia debidas al esfuerzo cortante, para determinar

la carga de trabajo, que es el fundamento de las soluciones del campo de líneas de

deslizamiento. El diagrama del campo de líneas de deslizamiento se puede

considerar como un mapa, que muestra las direcciones de los esfuerzos cortantes

máximos en un punto cualquiera del cuerpo que se deforma. La figura 2.4 nos

muestra un campo de líneas de deslizamiento muy sencillo. Puesto que el esfuerzo

cortante debe ir siempre acompañado por un esfuerzo cortante complementario de

4545


42

igual magnitud y de sentido opuesto, para conservar el equilibrio rotacional, habrá

siempre dos direcciones de esfuerzos cortantes máximos mutuamente

perpendiculares en cada punto. En consecuencia, un mapa general que represente

estas direcciones consta de dos series de líneas mutuamente ortogonales.

En el ejemplo más sencillo, estas líneas serán todas rectas y formarán un

sistema cartesiano [Johnson, 1978]. Sin embargo, las líneas no tienen que ser

necesariamente rectas, y con frecuencia se utiliza un sistema de líneas radiales y de

círculos concéntricos que se asemeja a un sistema de coordenadas polares, como

se puede ver en la figura 4. Otros sistemas utilizan redes ortogonales en las cuales

las líneas de ambas series están curvadas.

El espaciado de las líneas se puede elegir libremente. En regiones rectas

carece de importancia. Cuando las líneas están curvadas, se obtiene una mayor

exactitud dibujando líneas con una separación angular pequeña. Los intervalos de 5º

dan normalmente toda la exactitud que se necesita en la práctica y con frecuencia se

pueden utilizar redes de 15º de intervalo angular.

Figura 2.5 Campo de líneas de deslizamiento con curvatura

En el sencillo ejemplo de compresión dado anteriormente, las tensiones se

pueden calcular directamente en función de los esfuerzos cortantes.

Las soluciones del campo de las líneas de deslizamiento siempre se refieren

a la deformación plana, y para esta condición, las tensiones principales para un

material incompresible e idealmente plástico están relacionadas mediante la

expresión:


43

2)( 1 III

II

σσσ

+= (2.20)

El círculo de tensiones de Mohr para las condiciones de deformación plana se

puede dibujar con un radio dado por

2)( IIII

máx

σστ

−= (2.21)

y con centro en σII. Puesto que el material es incompresible, la deformación

plana con εII=0 implica que dεIII = -dεI y la deformación debe ser por lo tanto, una

deformación pura debida al esfuerzo cortante. Se supone que ésta se produce por

una tensión de esfuerzo cortante pura. En consecuencia, la deformación permanente

tendrá lugar, como en cualquier proceso producido por un esfuerzo cortante puro,

cuando la tensión de esfuerzo cortante máxima alcance el valor k. No es necesario

usar ningún criterio de deformación, ya que k es justo el resultado de un ensayo de

esfuerzo cortante puro.

Así, el radio τmáx del círculo de tensiones de Mohr para la deformación plástica

plana es igual a k, y las tensiones principales son:

kk IIIIIIII +=−= σσσσ , (2.22)

Esta expresión puede venir dada en función de la presión hidrostática –p,

igual a σII :

kppkp IIIIII +−=−=−−= σσσ ,, (2.23)

Se sabe que la presión hidrostática no afecta a la deformación permanente. El

sistema completo de tensiones en deformación plana es, por lo tanto, un esfuerzo

cortante puro con una presión hidrostática superpuesta (es necesario considerar

únicamente el círculo principal de tensiones, ya que estamos interesados solamente

en el plano perpendicular a la dirección de la tensión principal intermedia σII).


44

Así, en la deformación plástica plana, k es siempre constante, para un metal

que no se endurece por acritud, pero p puede variar. El sistema de tensiones para

cualquier punto se puede determinar completamente si podemos encontrar la

magnitud de p y la dirección de k. Las líneas de deslizamiento nos indican

inmediatamente las direcciones de k para cualquier punto. Los cambios en p se

pueden deducir de la rotación angular de las líneas de deslizamiento entre un punto

y otro del campo, y la magnitud absoluta de p se calcula partiendo de algún punto

del entorno donde se conoce p0 a partir de las condiciones externas.

Para cualquier punto en un cuerpo que se deforma habrá dos direcciones de

tensiones mutuamente perpendiculares de esfuerzo cortante máximo, representados

mediante líneas de deslizamiento. Por convenio, se designan a estas líneas α y β de

tal manera que, si se consideran como un par de ejes de referencia a derechas

(como X e Y), la línea de acción de la tensión principal algebraicamente mayor se

halla en el primer (y tercer) cuadrante. Debe advertirse que las líneas α y β pueden

ser líneas curvas y que la tensión de valor numérico mayor no necesita ser la mayor

algebraicamente. Frecuentemente sucede que la tensión de mayor magnitud es de

compresión, y por lo tanto negativa, mientras que la tensión algebraicamente mayor

es en realidad cero.

Las ecuaciones de Hencky, obtenidas a partir de las premisas establecidas en

el párrafo anterior, permiten determinar la presión hidrostática para cualquier punto

del cuerpo que se deforma a partir de la curvatura de las líneas de deslizamiento,

siempre que el valor de la constante sea conocido. Esta se calcula a partir de las

condiciones de equilibrio en uno de los límites. Estas condiciones, como con la

teoría de la deformación homogénea, se aplican bajo la situación de deformación

plana.

2.5.4. Teoremas del límite

Las soluciones analíticas exactas para los procesos de deformación plástica y

sus operaciones son extremadamente difíciles de obtener, y, por lo tanto en la


45

actualidad la asunción de aproximaciones y simplificaciones son inevitables. Los

análisis límite son una alternativa analítica que está recibiendo una aceptación cada

vez mayor y están siendo utilizadas con un incremento notable en su uso.

Por lo tanto, el valor real estará presente entre los dos límites. Sin embargo,

no es extraño que aparezcan a veces discrepancias entre los resultados y que el

valor real no se encuentre entre estos dos límites, esto puede ser debido a entre

otras las siguientes razones:

1. Errores experimentales.

2. Los materiales reales no siguen el comportamiento de los definidos por

von Mises para los que se asumen las soluciones mediante límites.

3. La simplificación en la influencia del rozamiento del cual no se conoce una

completa formulación del problema.

La menor diferencia entre los dos límites se establecerá escogiendo el menor

de los límites superiores y el mayor de los inferiores de entre las diferentes

soluciones obtenidas.

Para muchas de las operaciones del conformado de metales no se han

encontrado las soluciones exactas. Siguiendo las orientaciones de Avitzur [Avitzur,

1980], se han desarrollado métodos, que permiten determinar los valores de la carga

que están por encima y por debajo del valor buscado. La carga real estará entre

estos límites superior e inferior, pero para fines de proyecto o de operación es más

importante conocer el valor por exceso, ya que éste asegurará que la operación

práctica se pueda realizar mediante la carga calculada. Este método tiene grandes

ventajas para la determinación de soluciones particulares. En el presente trabajo se

desarrollará con mayor extensión este método debido a la importancia que nos

ofrece para posteriores estudios siguiendo esta línea de investigación.


46

De estos métodos, resulta de mayor utilidad en la evaluación de la tensión de

trabajo en los procesos de deformación plástica de los metales, el del límite superior,

por ser su aplicación parecida, pero menos laboriosa, que la del campo de líneas de

deslizamiento. Además, es más interesante porque a la hora de diseñar equipos y

en estudios de carácter predictivo, resulta de gran utilidad el establecimiento de una

acotación superior más o menos precisa de la energía y de las tensiones de trabajo

del proceso.

Las soluciones del límite inferior son aquellas que nos garantizan un valor

para la energía total más baja o igual al valor real en cada caso. Cuando la

combinamos con la correspondiente solución por el límite superior, nos proveen de

un sistema de análisis límite donde el valor real está contenido entre ambos valores

límite. La solución del límite inferior es usualmente más difícil de obtener y por lo

tanto se han desarrollado nuevos métodos para calcularla.

2.5.4.1 Teorema del Límite Inferior

La idea de un límite inferior va asociada con el principio de trabajo máximo. La

distorsión causada por la aplicación de la tensión es tal que provocará una

disipación máxima de energía. Considerado de otra manera, el sistema tiende a

alcanzar el estado de energía mínimo compatible con las condiciones de equilibrio y

de deformación plástica.

En consecuencia, cualquier otro sistema de tensiones estáticamente

admisible producirá un incremento de trabajo, que como máximo será igual al

producido por el sistema real, y probablemente más pequeño. Así, cualquier sistema

que se obtenga a partir de las condiciones del equilibrio de las tensiones será o

suficiente o demasiado pequeño, como para llevar a cabo la operación. Esto nos

proporcionará un límite inferior.

Cuando aplicamos el límite superior, el primer paso de la investigación es

concebir un campo de velocidad para el cuerpo bajo deformación. Este campo es

vectorial y puede ser fácilmente imaginable y observable a partir de nuestras


47

experiencias. En la solución del límite inferior, sin embargo, el primer paso es la

formulación de un tensor de esfuerzos, que es más difícil de considerar y en la

experiencia real solo es posible medir de forma indirecta.

Las condiciones que necesariamente han de satisfacerse son las de

equilibrio, constancia de volumen, relaciones de esfuerzos-deformaciones, criterio de

fluencia y condiciones de contorno. Para una solución mediante límite inferior los

requerimientos no son tan exigentes y las siguientes condiciones no han de

cumplirse de forma estricta.

a) No es necesario mantener la compatibilidad

b) No es necesario satisfacer las relaciones esfuerzos-deformaciones

c) Las condiciones de contorno no tienen que ser satisfechas

Así pues, las ecuaciones de equilibrio, el criterio de fluencia y las condiciones

de contorno estáticas son los únicos requerimientos que deben ser satisfechos.

Incluso estos, en un sentido estricto, son difíciles de obtener.

Como presentaron Prager y Hodge [Prager, 1959], el teorema del límite

inferior establece lo siguiente: “De entre todos los campos de esfuerzos

estáticamente admisibles el real es aquel que maximiza la expresión”:

∫=SV ii dSVTW& (2.24)

donde W es la energía ejercida por la herramienta sobre las superficies en las

que la velocidad está definida, Ti son las componentes de tracción sobre las

superficies en las que la velocidad está definida (superficie de contacto herramienta-

pieza), y Vi es la velocidad de la herramienta. La energía real del proceso, W, nunca

será inferior a las que presenta el límite inferior.


48

La energía en el límite superior es la suma de un determinado número de

componentes individuales. Así, incluso cuando la expresión de W pueda ser en

algunos casos muy extensa, el cálculo puede simplificarse tomando los términos de

forma independiente. La expresión del límite inferior, sin embargo, no puede ser

estudiada de forma separada. Por ejemplo, el rozamiento es todavía considerado,

pero sus efectos están íntimamente ligados con la energía interna y una simple

expresión del límite inferior puede llegar a ser tan compleja que la evaluación

numérica y la representación gráfica debe ser estudiada de forma aislada para cada

efecto ó comparando diversas soluciones.

2.5.4.2 Teorema del Límite Superior

El estudio de los límites superiores implica el conocimiento de las condiciones

que se han de cumplir mediante los incrementos de deformación en un cuerpo

totalmente plástico y no se ocupa del equilibrio de las tensiones.

Aquí, el factor crítico es que el volumen plástico no debe cambiar, que el

material es incompresible. En este criterio se utiliza también el principio de trabajo

máximo; pero, desde el punto de vista de la deformación, un elemento se deforma

de tal manera que ofrece una resistencia máxima. Si, por lo tanto, deducimos el

sistema de tensiones a partir de cualquier deformación supuesta, que esté de

acuerdo con las condiciones cinéticas, el valor será mayor o igual al que realmente

opera.

El límite superior es, entre los teoremas del límite, el más valioso en el

conformado de metales, ya que proporciona un valor para la carga de trabajo que

es, por lo menos, suficiente para llevar a cabo la operación. En los problemas de

deformación plana, las soluciones se pueden obtener de una manera totalmente

gráfica.

Johnson y sus colaboradores han aplicado ampliamente unos métodos que

son más sencillos que la técnica del campo de líneas de deslizamiento y se pueden

aplicar a diversos problemas del conformado de metales para obtener estimaciones


49

de las cargas de trabajo. Este procedimiento consiste en determinar el límite inferior,

o sea, la carga que es demasiado pequeña para deformar el metal, y también en

determinar el límite superior, o sea, la carga demasiado elevada. La carga real debe

entonces estar entre estos dos límites, y la habilidad en la aplicación del método

descansa en la elección de los modelos de deformación que hacen que esta

diferencia sea lo más pequeña posible.

En cierto sentido, las soluciones del campo de líneas de deslizamiento son

soluciones de límite superior (por exceso), ya que se basan en el flujo o

deslizamiento del metal dentro de la pieza. Sin embargo, para los límites superiores

de la carga no es necesario utilizar el desarrollo total de los campos de líneas de

deslizamiento. Se puede obtener una aproximación dividiendo la zona plástica en

áreas cuyos lados están formados por líneas rectas, ignorando la ortogonalidad de la

red formada. Entonces se supone que todos los elementos del metal dentro de una

de estas áreas se mueven juntos sin cizalladura, y que esta está localizada en los

bordes entre las áreas.

Con frecuencia la solución del campo de líneas de deslizamiento se puede

usar como una guía para elegir el tipo de división más conveniente. A continuación

se dibuja el diagrama de velocidad correspondiente [Brayden, 1991], para

representar la velocidad en cualquier punto de la zona plástica. Con estos dos

diagramas se puede determinar la velocidad de deformación de la pieza por

cizalladura para la configuración de la deformación postulada.

La fuerza cortante para cualquier línea de deslizamiento es el producto de su

longitud s y de la tensión de deformación plástica por cizalladura, k. La distancia que

se mueve en la unidad de tiempo es el producto (k⋅ u⋅ s). La configuración que dé el

valor más bajo de la suma de estos productos para todas las líneas de

deslizamiento, esto es, aquella que requiera la relación de trabajo menor, es la

solución más probable. El valor más pequeño elegido se iguala a una expresión de

la velocidad, a la cual la fuerza externa realiza el trabajo. De esta sencilla ecuación

se deduce la carga necesaria. Por lo tanto, si se prueban distintas configuraciones,


50

los valores de las tensiones exteriores más próximos a los verdaderos serán los de

la configuración que da lugar a los valores más reducidos.

El análisis límite es una alternativa ante la ausencia de soluciones exactas. En

el límite superior, las condiciones de equilibrio, las relaciones esfuerzo-deformación

y las condiciones de contorno de los esfuerzos son las que no son cumplidas

estrictamente, mientras que la fuerza total aplicada sobre la superficie de

deformación sí es la única que ha de mantenerse de forma estricta.

Incluso con simplificaciones, sólo aquellos procesos con geometrías

simétricas que pueden ser reducidas a casos bidimensionales, es decir casos de

deformación plana, son los candidatos idóneos a estudiar mediante análisis límite.

En cualquier caso, el investigador debe tener mucha precaución en asegurar que su

solución es suficientemente cercana a la realidad.

Aunque el origen del análisis límite se remonta a Galileo [Galilei, 1638], los

teoremas básicos no fueron desarrollados hasta muy recientemente mediante los

resultados obtenidos, de forma independiente por Gtvozdev [Gtvozdev, 1938], Hill

[Hill, 1951] y Drucker [Drucker, 1951]. Una definición del teorema del límite superior

debida a Prager y Hodge [Prager, 1959] es la siguiente: “Entre todos los campos de

deformaciones cinemáticamente admisibles, la solución real es aquella que minimiza

la siguiente expresión”

∫∫ −=St iiV ijij dSVTdVkW )(**2 εε &&& (2.25)

W es la energía calculada por el límite superior. El primer término de la

derecha corresponde a la energía interna de deformación, y el segundo es la

energía necesaria para superar a los esfuerzos externos, Ti oponiéndose al proceso

de deformación. En este análisis se asume que el material es de tipo von Mises, así

utilizando el ensayo de tensión uniaxial (σ0) tendremos:

30σ

=k y la ecuación del límite superior será:


51

∫∫ −=St iiV ijij dSVTdVW )

21(

32

0 εεσ &&& (2.26)

En aplicaciones de conformado de metales, incluimos el concepto de

superficies de discontinuidades de velocidad, esta incorporación, presentada por

Drucker [Drucker, 1951] modifica la expresión a:

∫∫∫ −Δ+=St iiSvV ijij dSVTdSvdVW τεε

σ)

21(

32 0 &&& (2.27)

Las fuerzas de inercia pueden ser incorporadas sumando un término adicional

dSVg

dSVTdSvdVWSN iSt iiSvV ijji

30

21)

21(

32

∫∫∫∫ +−Δ+= &&&& ρτεεσ

(2.28)

donde

ρ = densidad del material

g = aceleración gravitatoria

Vi = velocidad del centro de masas del cuerpo

SN = área perpendicular a la dirección del flujo del material

Cuando ocurre la deformación plástica, la superficie exterior de la pieza

cambia de forma. Un cambio de la superficie de contacto pieza-herramienta viene

asociado con un cambio en la energía de la pieza o con la energía necesaria para

producir ese cambio.

En general, el análisis energético es evaluado mediante el establecimiento de

campos de velocidades cinemáticamente admisibles y a partir de ellos, calculando la

energía interna de deformación Wi, la energía debida al rozamiento Ws, la energía

debida a las fuerzas externas Wb, debidas a las fuerzas de inercia Wk, así como

otras que no son usualmente consideradas (energía por creación de nuevas

superficies, etc.).


52

kbSi WWWWW &&&&& +++= (2.29)

donde:

dViWV ijij∫= )

21(

32 0 εεσ

&&& (2.30)

dSvWSvS ∫ Δ= τ& (2.31)

∫=St iib dSVTW& (2.32)

dSVg

WSN ik

3

21

∫= && ρ (2.33)

De todos estos términos, los dos primeros son por definición siempre

positivos. El resto pueden ser positivos cuando se sumen a la energía necesaria, y

negativos cuando cedan energía.

Ocasionalmente, la geometría del proceso es tal que no es posible trabajar

con una simple ecuación matemática. Cuando esto ocurre, una poderosa

herramienta consiste en dividir el dominio de la pieza en un número de campos

separados por superficies de contorno comunes. El más común de las superficies de

discontinuidad adoptadas es la debida a la dirección de los esfuerzos cortantes tal y

como se describe en la figura 2.6, figura que corresponde al hodógrafo de la división

de bloques de la figura 2.7.


53

Figura 2.6. Hodógrafo de las superficies de discontinuidad.

Figura 2.7 División en zonas de pieza prismática.

Las superficies descritas implican que, tal y como se muestra en la figura 2.7,

el deslizamiento ocurre entre la región de BRT1 y BRT2, BRT2 y BRT3, así como

entre BRT3 y BRT4. La división en zonas es utilizada a menudo debido a su

simplicidad. Puede observarse un ejemplo en la citada figura para un cuarto de pieza

prismática de ancho igual a b1, y de altura (espesor) igual a h1. El cuarto de pieza en

estudio está dividido en cuatro zonas de comportamiento rígido, delimitados por

superficies de discontinuidad de velocidades V12, V23, y V34. Todos los bloques se

desplazan virtualmente como cuerpos rígidos.

Los trabajos pioneros en esta área fueron presentados por Tarnovski

[Tarnovski, 1959], Hill [Hill, 1951] y Johnson [Johnson,1959] siendo extensamente

desarrollado por Kudo [Kudo, 1960]. Más recientemente, numerosos estudios han

V1=0

V23 Vv

V12

V3

V2

V34

V4

b1

h2 h1

x1

B

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A C

E

D

θ1

BRT4

θ2

x2

F

α


54

adoptado y ampliado el uso del análisis límite al conformado de metales [González,

2007]. La lubricación hidrodinámica fue estudiada por Bedi y Hillier [Bedi et al.,

1967], y la fractura, los efectos de inercia y los efectos de la temperatura por Avitzur

[Avitzur, 1968], [Avitzur, 1974].

El término de la energía por rozamiento (Ws) está presente siempre que

exista una velocidad relativa entre dos sólidos, aparece pues, una resistencia a este

movimiento. La dirección del movimiento relativo no afecta a los resultados donde la

energía para superar el rozamiento es energía disipada y positiva.

∫ Δ=Ss dSVW τ& (2.34)

La aplicación del Teorema del Límite Superior permite discriminar la

incorporación de cada una de las tres componentes de la energía presentes en el

proceso de forja. Estas incorporaciones se efectúan sobre un campo de velocidades

virtual con un nivel de complejidad muy reducido respecto al que presentaría un

campo de líneas de deslizamiento, y con la posibilidad, como se verá más adelante,

de introducir diferentes parámetros influyentes en el proceso de forjado, como

pueden ser la temperatura y la resistencia a la propia deformación.

CAPÍTULO 3

METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR MEDIANTE EL MODELO DE BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES

You say you got a real solution, Well, you know, We´d all love to see the plan*

J. Lennon Y P. McCartney

Dices que has conseguido una auténtica solución, bueno ya sabes, a todos nos gustaría ver el plan. *

Capítulo 3

METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR MEDIANTE EL MODELO DE BLOQUES RÍGIDOS TRIANGULARES

3.1 Modelo de Bloques Rígidos Triangulares

En el presente trabajo, se ha considerado una particularización geométrico-

cinemática del Teorema del Limite Superior (TLS), conocido como modelo de

Bloques Rígidos Triangulares (BRT) [Vela, 1983] [Rubio, 2004a, 2004b] [Martín,

2007] que permite alcanzar soluciones bastante precisas y con gran capacidad de

análisis, de los principales factores que influyen en un proceso de conformado por

deformación plástica por compresión directa, como es la forja [Bargueño, 1988]

[Billigmann, 1979].

El PCDP elegido (Forja) está sometido a una serie de restricciones entre los que

puede destacarse la consideración de establecer condiciones de deformación plana

[Rubio, 2003], la compleja alternativa que presentan otros métodos analíticos, el

valor del coeficiente de rozamiento, así como el tipo de rozamiento considerado

(deslizamiento o adherencia) y la incorporación de otros factores de gran interés que

tradicionalmente no se incluyen en los modelos teóricos como son la temperatura de

trabajo y la resistencia a la propia deformación (acritud).


58

El establecimiento de un modelo geométrico-cinemático formado por bloques

rígidos permite considerar que el efecto de cizalladura que provoca la deformación

del material sucede, únicamente, en las superficies planas que lo delimitan, ya que

es a lo largo de dichas superficies en el lugar donde existen discontinuidades de

velocidad. El resto de los puntos que conforman cada bloque se mueven a la misma

velocidad y con la misma dirección [Arenas, 1994] [Martín, 2005a, 2005b].

El estudio se realiza mediante la aplicación del Teorema del Límite Superior bajo

la hipótesis de deformación plana y por lo tanto las superficies de discontinuidad que

delimitan los bloques, se convierten en líneas rectas en el estudio bidimensional.

Las superficies de discontinuidad de velocidad (líneas rectas) representan las

zonas en las que aparecen velocidades relativas entre bloques contiguos, por lo que

será en estas zonas, y en las que crean la interfase herramienta-pieza donde se

incorporará el rozamiento en forma de coeficiente, de valor variable y con diferente

consideración si es de adherencia o de deslizamiento.

Las principales razones que han llevado a la elección de este método son:

a) Proporciona una cota superior de la potencia necesaria para llevar a cabo un

determinado proceso de forja.

b) Posibilita la discriminación de las distintas componentes de la energía, así

como la valoración del rozamiento en términos tecnológicos.

c) Permite la optimización de la geometría del modelo seleccionado compatible

con los criterios cinemáticos.

d) Admite la incorporación de diferentes modelos de rozamiento.

e) Permite la incorporación de los efectos producidos por el endurecimiento del

material y de la temperatura.

Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT. Capítulo 3

59

Con ello se puede disponer de capacidad de análisis suficiente para la toma de

decisiones tecnológicas tales como selección de equipos y materiales,

determinación de potencias, cálculo resistivo de matrices y de elementos

involucrados en el proceso.

Una vez elegido el método de análisis, se procede a mostrar el modelo

geométrico que se empleará en el desarrollo de esta Tesis.

3.1.1 Modelo geométrico

El citado modelo geométrico elegido se basa en el estudio de una cuarta parte de

la pieza a deformar [Martín, 2005a, 2005b], condicionado por la imposición de una

doble simetría geométrica en el plano, puesto que el análisis, se encuentra

restringido a piezas macizas, y como se ha indicado con anterioridad, para

deformación plana. [Yeh, 2005] [Feneshteh-Saniee, 2004] [Kwan, 2002] (Fig. 3.1).

Figura 3.1 Disposición de pieza entre placas planas paralelas

Debido a esta última condición, la deformación de la pieza en la dimensión

perpendicular a la de trabajo se considera despreciable, por lo que no se considera

la simetría existente en el tercer plano tridimensional. La pieza se dispondrá entre

Plano de simetría

Plano de simetríaMordaza superior

Mordaza

Pieza


60

matrices o mordazas formadas por placas planas paralelas (en adelante PPP) o

inclinadas (en adelante PPI), según sea el caso [Lippmann, 1960], y con el objetivo

de poder disponer perfiles de herramienta formado por combinación de ambos tipos

de superficie (combinación de PPP con PPI).

Por lo tanto, según la Fig. 3.2, las superficies 1-2 y 2-4 tendrán impedida la

deformación y por ende, desplazamiento alguno, perpendicular a ellas, quedando las

superficies 1-3 y 3-4 como superficies de fluencia libre del material de forma vertical

en el primer caso, y horizontalmente en el segundo.

Figura 3.2 Condiciones de contorno de un cuarto de pieza.

3.1.2 Formulación

De una forma teórica, y bajo condiciones generales, el Teorema del Límite

Superior (en adelante TLS) puede enunciarse como sigue:

El trabajo realizado por las fuerzas superficiales de tracción (compresión)

reales sobre un cuerpo rígido-plástico perfecto es menor o igual que el realizado por

las fuerzas superficiales de tracción (compresión) correspondientes a cualquier otro

campo de velocidades admisible cinemáticamente

Johnson [Johnson, 1951] sugirió que en el supuesto de deformación plana

[Kudo, 1961a] [Kudo, 1961b] [Bramley, 2001] [Kwan, 2002] y de que el cuerpo se

represente por bloques virtualmente rígidos de material, que se mueven unos sobre

V

1

2

3

4


61

otros a lo largo de las líneas de discontinuidad del campo de velocidad, se obtiene

que la expresión general, tras diferentes simplificaciones, será:

[ ]∫ ∫≤Sv S

DviiD

dSvkdSvT ** (3.1)

Siendo:

Ti Fuerzas exteriores aplicadas sobre la pieza a deformar

vi Campo real de velocidades

Sv Superficies de aplicación de las cargas exteriores

k Límite de fluencia por tensión cortante del material

v*i Campo de velocidades virtual y cinemáticamente admisible

S*D Superficies de discontinuidad, aplicación del campo virtual de velocidades

Tal y como se ha considerado con anterioridad, es de destacar que el TLS es

especialmente apto en su aplicación en cuanto a su mayor simplicidad cuando se

cumplen las condiciones de deformación plana, es decir, cuando sólo se considera

fluencia del material en dos de las direcciones principales, manteniéndose con un

valor constante la tercera dimensión de la pieza en estudio.

Así pues, el material opone su máxima resistencia a la deformación cuando la

tensión cortante en los lados opuestos de cada bloque adquiere un valor igual al de

la tensión de fluencia a cortadura pura del material analizado (τ=k). Por tanto, el

valor de la potencia disipada debido a la energía interna no puede exceder del valor

k · s · v*, siendo s la longitud de línea de discontinuidad de la velocidad tangencial.

El valor del trabajo realizado por las fuerzas exteriores, por unidad de longitud

del eje z (eje perpendicular a la sección de material en estudio), es:

*vskdtdE

dtdW

⋅⋅=≤ (3.2)

Donde E representa la energía interna disipada por unidad de longitud.


62

Para un campo de velocidades formado por líneas rectas de discontinuidad de

la velocidad tangencial se tiene

∑ ⋅⋅≤ *vskdt

dW (3.3)

Si la línea de discontinuidad fuera curva la expresión quedaría como sigue:

∫ ⋅⋅=≤S

dsvkdtdS

dtdW * (3.4)

Extendiendo la integral a lo largo de la longitud s de discontinuidad, donde la

magnitud de la discontinuidad puede variar en cada punto.

Es normal suponer que la mejor estimación para el límite superior es una

configuración particular con un campo de velocidades que origina el menor valor a

dE/dt. Sin embargo, como el proceso de disipación de energía por deformación

plástica es no conservativo, el principio de mínimo trabajo puede no cumplirse. Por

tanto lo más aconsejable es elegir un modo de deformación que se aproxime al real,

aunque no proporcione el mínimo de dE/dt.

Debe recordarse que en el análisis teórico expuesto se han supuesto

inexistentes otros tipos de fuerzas, como las de inercia y gravitacionales [Bhutta,

2001], así como el efecto de endurecimiento por deformación [Kudo, 1960a] [Kudo,

1960b] [Kudo, 1960c], siendo por tanto válido solamente para un proceso

cuasiestático de deformación plana [Sanjani, 2006] de un material rígido-plástico

perfecto.

Se pretende por lo tanto, obtener una cota superior para la potencia requerida

en un proceso de forja [Oyekanmi, 1992], cota que garantiza la efectiva realización

de la deformación que se pretende establecer.


63

Para el estudio del proceso hay que encontrar un campo de discontinuidades

de velocidad que sea compatible con las condiciones de velocidad impuestas y que

determine una energía de deformación lo más baja posible. Lo más usual, por su

sencillez y por la consideración de una fluencia de material lo más cercano a la

situación real, es considerar una subdivisión en bloques rígidos triangulares. Esta

subdivisión y su ulterior desarrollo forman la base de las diferentes combinaciones

en la aplicación de los BRT. El análisis, como se explica en capítulos posteriores) se

establecerá bajo dos enfoques distintos, modular y no modular, y a partir de un

número mínimo de tres BRT en adelante.

El número mínimo de tres bloques viene determinado por la necesidad de que

exista al menos una superficie de contacto pieza-herramienta en la que pueda

introducirse el coeficiente de rozamiento que forme parte de un bloque rígido que no

se encuentre alojado de forma contigua a la condición vertical de simetría. Números

mayores de bloques rígidos vendrán determinados por la relación geométrica

existente entre la altura y el ancho de la sección de pieza analizada (factor de

forma).

Tal y como se ha indicado en la introducción de la presente Tesis, los

estudios precedentes, en esta disciplina se habían desarrollado en deformación

plana por parte de Kudo [Kudo, 1960a] y Johnson [Johnson, 1951] entre otros,

creando un campo de deformación virtual del material formado por bloques rígidos

no en todos los casos estrictamente triangulares (en ciertas ocasiones los bloques

son cuadrangulares), pero manteniendo en lo posible una regularidad en cuanto a la

forma geométrica de cada uno de ellos, por lo que se restringe la posibilidad de

adecuar la configuración del bloque rígido al conjunto sometido a deformación. En la

presente Tesis se postula la alternativa de imponer configuraciones con un número

variable de BRT [Qin, 1994], e incluso de formas triangulares diferentes entre ellos,

optimizando el valor del límite buscado.

En una primera fase de desarrollo del objeto de esta Tesis, se optó por

establecer un campo de bloques rígidos, en todo caso triangulares, pero elaborando

una ecuación para resolver el problema atendiendo a un número variable de


64

bloques. A este fin se planteó un análisis para configuraciones geométricas con 3, 4,

y 5 BRT formando todo un conjunto, en el que la inclinación de las zonas de

discontinuidad de velocidad resultaba optimizada en función de la posición de los

vértices inferiores o superiores de los BRT contemplados.

Las primeras consideraciones, en cuanto a la fluencia natural del material,

condujeron a determinar una disposición inicial de BRT en la que el bloque triangular

inicial estaba formado en su sección (consideración de deformación plana, y por lo

tanto de ancho teórico infinito), por un triángulo rectángulo con vértice en la

superficie inferior (Fig. 3.3), teniendo siempre presente que la pieza a considerar en

el análisis está formada por un cuarto de la sección total debido a una doble simetría

(vertical y horizontal).

Esta disposición geométrica será denominada en adelante disposición

contraria puesto que, por consideraciones que se analizarán con posterioridad, se

contemplará una configuración geométrica diferente.

Por otra parte, en referencia a los estudios de otros autores ya mencionados,

la deformación en forja es considerada bajo placas planas, siempre paralelas. La

presente tesis aborda la aplicación del TLS mediante el modelo de BRT, aportando

diversos elementos innovadores, siendo éste uno de ellos, es decir, efectuando

análisis a su vez de matrices con las que aplicar la deformación formadas por placas

planas no paralelas, con un determinado ángulo de inclinación [Stahlberg, 1980].

Figura 3.3 Sección de la pieza sometida a análisis.

h1

x1

b1

B

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D


65

Se ha supuesto que la zona sobre la que se aplica el análisis es de anchura b,

altura h1 y profundidad w, y que está dividida, en una primera aproximación, por tres

bloques triangulares formados a partir de dos superficies de discontinuidad que

convergen en un vértice situado sobre el plano horizontal a una distancia x1 del

punto E, situado este último en la confluencia de los dos planos (ejes, al ser

deformación plana) de simetría (Fig. 3.3).

La relación b/h1 será la que más adelante se denominará como factor de

forma. Se ha elegido h1 como la altura más reducida entre la placa de la herramienta

y el plano de simetría, puesto que en cualquier otro caso la herramienta superior

podría “tocar” a la inferior en determinados valores de los factores de forma

(dependiendo del ángulo de inclinación de las placas en su caso y del ancho de la

pieza).

Se analizará, para cada configuración de bloques en estudio, el gráfico de

velocidades correspondiente, es decir, el hodógrafo adecuado [Keife, 1984]. El

hodógrafo o gráfico de velocidades, constituye una herramienta eficaz para

visualizar las velocidades relativas existentes entre bloques rígidos y las zonas que

forman las condiciones de contorno, así como entre cada uno de ellos. Dado que se

asume que cada BRT representa una zona de velocidad constante, ésta quedaría

representada en el hodógrafo por un punto.

Figura 3.4 Campo de discontinuidad de velocidades.

h2

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

Φ1θ1


66

3.1.3 Construcción del hodógrafo

A continuación se expresan las diferentes fases de formación de un hodógrafo

genérico para un campo de velocidades dado. Así, para una configuración dada de 3

BRT sobre un cuarto de pieza como la que se expone en la figura 3.4. En primer

lugar, se parte de la velocidad de aplicación de la carga, en este caso vertical, que

actúa sobre la superficie que se opone a la deformación, es decir, la superficie A-B

(Fig. 3.4). El BRT1, contiguo a la condición de simetría vertical no tiene posibilidad

alguna de desplazamiento, por lo que su velocidad tendrá un valor nulo (Fig. 3.5 a)).

a) b) c)

Figura 3.5 Fases de creación del hodógrafo.

A continuación, se sitúa el vector que identifica en dirección (ángulo θ1) y

magnitud, la velocidad relativa existente entre el BRT1 y el BRT2 denotada por V12.

El vector que “cierra” el triángulo de velocidades representa la velocidad (en este

caso con una dirección horizontal) absoluta del BRT2. (Fig. 3.5 b)).

El hodógrafo final para esta configuración geométrica básica, resultará de

incorporar la velocidad relativa entre los BRT2 y BRT3 (V23) y dar un cierre para el

nuevo triedro formado, mediante la velocidad absoluta del BRT3 (V3). Con estas

últimas incorporaciones se habrá formado el hodógrafo completo teniendo presentes

todas las velocidades, tanto absolutas como relativas, que gobiernan el modelo de

bloques rígidos triangulares para la sección de material contemplada.

V1=0

Vv V1=0 θ1

Vv V12

V2

V1=0 θ1

Vv V12

V3

V2

Φ1

V23


67

3.2 Metodología de aplicación del modelo de BRT

El desarrollo del modelo, desde el punto de vista metodológico, presenta dos

variantes sustancialmente diferentes. Por una parte se efectúa la aplicación del

método bajo el denominado enfoque No Modular, en el que los BRT que componen

la sección a estudiar forman un conjunto tal, que la ecuación que da solución al

problema planteado, lo hace de forma global incorporando todos y cada uno de los

BRT considerados, elevando en gran medida la complejidad de la ecuación citada,

aún más si cabe al considerar las placas con inclinación (PPI). Por otra parte, el

segundo enfoque, considerado ahora como Modular está formado por módulos

compuestos de 3 BRT cada uno. Las ecuaciones responden a los diferentes tipos de

módulo en dependencia directa de la posición relativa que ocupan (contiguo o no a

condición de simetría vertical), de la inclinación de las placas (PPP o PPI), del factor

de forma y de otros parámetros (rozamiento, temperatura, acritud, etc.).

Las diferentes fases del estudio realizado han sido resumidas en los

diagramas de flujo que se presentan en las figuras 3.7 y 3.8, presentándose estos

diagramas acompañados de dibujos que muestran la configuración concreta a la que

se refiere cada fase de análisis.

Como se ha indicado con antelación y se aplicará en capítulos posteriores, el

efecto del rozamiento, ya sea por deslizamiento o por adherencia, se introduce en el

análisis mediante la incorporación del coeficiente oportuno en las ecuaciones de

cálculo desarrolladas. Cabría la posibilidad de considerar el rozamiento en todas las

superficies susceptibles de estudio, sin embargo en aquellas que conforman las

condiciones de contorno derivadas de la hipótesis de doble simetría, se ha

establecido un coeficiente de valor nulo, puesto que no existe desplazamiento

relativo del material entre el cuarto de pieza en estudio y los adyacentes [Hartley,

1980], puede apreciarse como tanto a la izquierda como inferiormente en relación al

cuarto de sección analizado el material o no se desplaza (primer caso), o lo hace de

forma solidaria sin aparición de velocidad, y por lo tanto al no existir esta, el

rozamiento es inexistente (se comportaría como un solo bloque de material conjunto

a ambos lados de la simetría impuesta (Fig. 3.6).


68

Figura 3.6 Superficies sometidas a rozamiento.

Por otra parte, en las superficies de discontinuidad de velocidades (las

superficies que conforman la separación entre bloques) no es considerado

rozamiento alguno (como rozamiento externo), puesto que el rozamiento presente

no es otro que el interno, reflejándose en la distorsión que produce el flujo de

material en el interior de la pieza, el cual viene delimitado precisamente por la

orientación de las superficies de discontinuidad indicadas [Hsu, 2003] [Feneshteh-

Saniee, 2004] [Ebraimi, 2004].

El método propuesto implica que la herramienta mantiene un contacto

permanente y continuo con la pieza a deformar, no considerándose en el estudio los

transitorios de llenado incompleto de la matriz [Ranatunga, 2001] [Lee, 1997] [Hou,

1997].

3.3 Enfoques Modular y No Modular

En el diagrama de la figura 3.7 aparece la evolución del análisis efectuado

bajo enfoque No Modular. Así pues, se inicia el estudio del modelo de BRT para una

configuración de 3, 4 y 5 BRT considerando placas planas paralelas (PPP) y

rozamiento por adherencia, ampliando el estudio a placas planas inclinadas (PPI)

con igual tipo de rozamiento. La elevada complejidad de las ecuaciones derivada de

la incorporación del ángulo de inclinación de la matriz, obliga a restringir el análisis a

un conjunto de sólo 3 BRT para PPI.

hBRT1

BRT2

BRT3

hBRT1

BRT2

BRT3

hBRT1

BRT2

BRT3

hBRT1

BRT2

BRT3


69

En la siguiente fase se analiza un perfil combinado por PPP y PPI, dando

lugar al problema geométrico-cinemático derivado de la aparición de bloques rígidos

no triangulares que teóricamente se aleja del flujo natural de material. Esta dificultad

ha sido solventada mediante la inversión geométrica de la disposición de los BRT.

Se reinicia con esta nueva configuración el análisis, en las mismas

condiciones tecnológicas iniciales, con rozamiento por adherencia y para PPP con 3,

4 y 5 BRT. Continúa el estudio, igual que en el caso anterior, para PPI y para

combinación de perfil PPP-PPI.

Una vez resuelto el caso, se introduce un nuevo tipo de rozamiento, de

deslizamiento para 3 BRT solamente y para PPP y PPI de forma independiente. La

consideración de sólo 3 BRT cuando se introduce el rozamiento por deslizamiento

proviene del diferente tratamiento matemático empleado. La dependencia del

rozamiento de la carga aplicada se implementa en su resolución mediante la

aplicación de un método matemático iterativo y esto conlleva un aumento de la

complejidad de las ecuaciones, teniendo presente que en la convergencia de las

iteraciones obtienen mínimos muy próximos para 3, 4 y 5 BRT lo que indica que la

elección de 3 BRT para el resto de los diferentes análisis no desvirtúa el valor de las

soluciones finales.


70

Figura 3.7 Diagrama de flujo con enfoque No Modular.

ENFOQUE NO

MODULAR

PLACAS PLANAS PARALELAS

3 BRT

4 BRT

5 BRT ROZ. POR ADHERENCIA

PLACAS PLANAS INCLINADAS (PPI) 3 BRT

ROZ. POR ADHERENCIACOMPLEJIDAD DE

ECUACIONES

COMBINACIÓN PPP-PPI

PROBLEMAS EN ELHODÓGRAFO

PPP NUEVA CONFIGURACIÓN

3 BRT

4 BRT

5 BRT ROZ. POR ADHERENCIA


ROZ. POR ADHERENCIA

COMBINACIÓN PPP-PPI 5 BRT ROZ. ADHERENCIA

PLACAS PLANAS PARALELAS 3 BRT

ROZ. POR DESLIZAMIENTO


ROZ. POR DESLIZAMIENTO

COMPLEJIDAD DE ECUACIONES

INTRODUCCIÓN DE ROZ. POR

DESLIZAMIENTO


71

La figura 3.8 resume el proceso de análisis bajo enfoque Modular. Este nuevo

modo de tratamiento en la aplicación del modelo de BRT en la aplicación del

Teorema del Límite Superior surge como respuesta a las limitaciones presentes bajo

el enfoque explicado en párrafos anteriores.

La máxima limitación en la modelización anterior proviene de la insuficiente

respuesta que ofrece ante una situación tecnológica en la que la matriz que origina

la deformación tenga una superficie formada por placas planas pero con zonas de

diferente inclinación e incluso combinadas con placas paralelas en un número tal de

zonas que obliguen a la utilización de un número de BRT elevado (mayor de 5).

También presenta limitaciones en aquellos casos en los que pueda resolverse la

disposición de BRT con 3, 4 o 5, pero en los que el factor de forma sea tal que la

distorsión de los bloques sea muy elevada, lo que conlleva unos valores de la carga

mínima necesaria muy elevados y alejados del mínimo.

Establecido el nuevo enfoque, en el que se divide la pieza a analizar en

módulos, estos estarán formados por tres BRT cada uno de ellos, y por lo tanto la

optimización proviene de la división de la pieza en el número necesario de módulos.

La posición relativa del módulo es un factor fundamental en el

comportamiento del mismo, por lo que hay que determinar si este es contiguo a la

superficie de simetría vertical y que será denominado en adelante como sin módulo

previo, y aquellos que tienen un módulo adyacente previo siguiendo el sentido de la

fluencia del material, y que se definirán como módulos con módulo previo.

Se inicia el análisis para módulos de 3 BRT con rozamiento por adherencia.

Para PPP y en las dos opciones (con módulo previo y sin módulo previo).

Posteriormente se amplia el mismo estudio para PPI y combinación de dos módulos

con superficies PPP y PPI de forma simultánea.

Se incorporan otros parámetros tecnológicos como la temperatura y la acritud

mediante la variación del valor de la tensión de fluencia a cortadura pura del material


72

en diferentes casos de PPP y PPI y con rozamiento tanto por adherencia como de

deslizamiento.

Por último, la velocidad de salida y entrada de material en cada módulo, que

sirve de nexo de unión en la influencia de la acción existente entre ellos es extraída

de la ecuación general para, de forma independiente poder ser incluida de una forma

simple en una solución general sin limitación en el número de módulos empleado.


73

Figura 3.8 Diagrama de flujo con enfoque Modular.

ENFOQUE MODULAR

PLACAS PLANAS PARALELAS (PPP)

3 BRT sin módulo previo

ROZ. POR ADHERENCIA

PLACAS PLANAS INCLINADAS (PPI) ROZ. POR ADHERENCIA

COMBINACIÓN PPP-PPI 2 Módulos

OTROS CASOS TECNOLÓGICOS

ROZ. ADHERENCIA

3 BRT con módulo previo




ROZ. DESLIZAMIENTO


PLACAS PLANAS INCLINADAS (PPI)

SOLUCIÓN GENERAL CON VELOCIDAD DE ENTRADA INDEPENDIENTE

ENDURECIMIENTO DEL MATERIAL

TEMPERATURA DEL MATERIAL

ROZ. ADHERENCIA ROZ. DESLIZAMIENTO

PLACAS PLANAS INCLINADAS (PPI)




ROZ. ADHERENCIA ROZ. DESLIZAMIENTO

b2

CAPÍTULO 4

METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TLS MEDIANTE EL MODELO DE BRT BAJO ENFOQUE NO MODULAR

Todavía no he visto un problema, por complicado que fuera, que, al examinarlo correctamente, no se volviera aún más complicado.

P. Anderson

Capítulo 4

METODOLOGÍA APLICADA DEL TLS MEDIANTE EL MODELO DE BRT BAJO ENFOQUE NO MODULAR

4.1 Enfoque no modular

Los estudios realizados hasta la fecha sobre la aplicación del teorema del

límite superior mediante el modelo de bloques rígidos triangulares abordan este

problema elaborando una serie de diferentes disposiciones geométricas de los

bloques empleados.

Estas disposiciones geométricas conforman una serie regular de bloques,

dependiendo su número de la relación existente entre el ancho y la altura de la pieza

en estudio, siendo, salvo ocasiones específicas, series regulares en las cuales los

bloques triangulares mantienen la misma forma.

La primera de las diferencias entre las aplicaciones previas del método,

registradas en la bibliografía clásica y la que se muestra en la presente tesis, radica

en la intención de obtener una optimización en la disposición geométrica de los


78

bloques empleados, dependiendo de las condiciones de deformación (rozamiento,

endurecimiento del material ó temperatura [Moller, 2004], entre otras).

Por este motivo, se inicia el presente trabajo mediante el análisis de un cuarto

de pieza (doble simetría) en un proceso de forja bajo la consideración de

deformación plana, a partir de un elemento prismático limitado en su superficie

superior por una herramienta en forma de matriz compuesta de placa plana paralela.

4.2 Placas Planas Paralelas con disposición inicial y rozamiento por adherencia

4.2.1 Tres Bloques Rígidos Triangulares

El enfoque tradicional se denominará en adelante “no modular”, a diferencia

del planteado en ulteriores apartados y que seguirán una diferente filosofía de

aplicación.

Figura 4.1 Configuración geométrica contraria para 3 BRT en PPP.

El hodógrafo, ó gráfico de velocidades, para esta configuración será (Fig. 4.2):

Figura 4.2 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP con disposición contraria.

h1

xb1

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

h2

Φθ1

V1=0 θ1

V23 Vv V12

V3

V2

Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque No Modular. Capítulo 4

79

Aplicando el TLS mediante este modelo de BRT:

[ ]( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−⋅+⋅⋅⋅⋅

=⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅==

11

1

11

1111

23123221

coscoscos φφθθφθω

ω

VvhVvsen

xxbtgtgVvmk

VBDvBEmvBCAEmvvABkWdt

dW &

(4.1)

Y como por trigonometría tenemos que:

( ) 2

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

1

12

1

2

1

1

1

1

1

1

cos;

;cos;;

hxb

hh

xbtg

hxh

hxx

senhx

tg

+−=

−=

+=

+==

φφ

θθθ

(4.2)

y además

( ) ( )=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−+−+

+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⋅⋅⋅⋅

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

11

1

1

1

111

hhxbVv

hhxbh

hhxVv

xhxx

hxb

hx

Vvmkω

(4.3)

Tendremos:

( ) ( )[ ]=+−+++−⋅⋅⋅⋅= 2

1

2

1

2

1

2

11

2

1

hxbhxbxbmh

Vvkω (4.4)

( )[ ] bVvPbxbhxbxbmh

Vvk ⋅⋅⋅=−+++−⋅⋅⋅⋅= ωω1

22

1

2

11

2

1

222 (4.5)

Derivando respecto a x1 e igualando a cero:

( ) ( )2

2042024 111

1

+⋅=⇒=++⋅−⇒=−+−=∂∂ mbxxmbbxbm

xW& (4.6)

Y así:


80

( )[ ]=−+++−⋅⋅= 1

22

1

2

11

2

1

2222

12

bxbhxbxbmbhk

P (4.7)

( ) ( ) ( )=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅=

4222

1622

42

21 2

22

1

2222

1

mbbhmbmbbmbh

(4.8)

kPhmbmmb

bh 22

21

846

21 2

1

222

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅= (4.9)

Si m=0; b=2; h1=1 entonces p/2k=1

Si m=1; b=2 ; h1=1 entonces p/2k=19/8=2,37

Pero nosotros tomamos x1=b/2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅= 2

1

22

1

22

1

22

1

2222

12

224

222

12

hbbmbh

bbbhbbbbmbhk

P

(4.10)

Si m=0; b=2; h1 =1 entonces p/2k=1

Si m=1; b=2 ; h1 =1 entonces p/2k=3/2=1,5

Figura 4.3 Evolución p/2k para 3 BRT en configuración PPP con disposición inicial.

Evolución 3 BRT no Modular contrario

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1


81

En la Fig. 4.3 se aprecia la evolución para diferentes factores de forma, de la

configuración de 3 BRT con disposición contraria en función del factor de forma y

para valores del coeficiente de rozamiento por adherencia diferentes. En todos los

casos se presentan valores de p/2k superiores a la unidad (Tabla 4.1), valor que

representa la contribución de la deformación homogénea. Se indican en rojo los

valores mínimos de p/2k para cada coeficiente de rozamiento, de los que se deduce

el factor de forma óptimo en cada caso.

Tabla 4.1 Resultados de p/2k para 3 BRT en configuración PPP con disposición

inicial.

b/h m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=10,20 5,05 5,05 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,100,40 2,60 2,61 2,61 2,61 2,64 2,66 2,68 2,700,60 1,82 1,82 1,82 1,83 1,88 1,91 1,94 1,970,80 1,45 1,46 1,46 1,47 1,53 1,57 1,61 1,651,00 1,25 1,26 1,26 1,28 1,35 1,40 1,45 1,501,20 1,13 1,15 1,15 1,16 1,25 1,31 1,37 1,431,40 1,06 1,08 1,08 1,10 1,20 1,27 1,34 1,411,60 1,03 1,05 1,05 1,07 1,19 1,27 1,35 1,431,80 1,01 1,03 1,03 1,05 1,19 1,28 1,37 1,462,00 1,00 1,03 1,03 1,05 1,20 1,30 1,40 1,502,20 1,00 1,03 1,03 1,06 1,22 1,33 1,44 1,552,40 1,02 1,05 1,05 1,08 1,26 1,38 1,50 1,622,60 1,03 1,07 1,07 1,10 1,29 1,42 1,55 1,682,80 1,06 1,09 1,09 1,13 1,34 1,48 1,62 1,763,00 1,08 1,12 1,12 1,16 1,38 1,53 1,68 1,833,20 1,11 1,15 1,15 1,19 1,43 1,59 1,75 1,913,40 1,14 1,19 1,19 1,23 1,48 1,65 1,82 1,993,60 1,18 1,22 1,22 1,27 1,54 1,72 1,90 2,083,80 1,21 1,26 1,26 1,31 1,59 1,78 1,97 2,164,00 1,25 1,30 1,30 1,35 1,65 1,85 2,05 2,254,20 1,29 1,34 1,34 1,39 1,71 1,92 2,13 2,344,40 1,33 1,38 1,38 1,44 1,77 1,99 2,21 2,434,60 1,37 1,42 1,42 1,48 1,83 2,06 2,29 2,524,80 1,41 1,47 1,47 1,53 1,89 2,13 2,37 2,615,00 1,45 1,51 1,51 1,58 1,95 2,20 2,45 2,705,20 1,49 1,56 1,56 1,62 2,01 2,27 2,53 2,795,40 1,54 1,60 1,60 1,67 2,08 2,35 2,62 2,895,60 1,58 1,65 1,65 1,72 2,14 2,42 2,70 2,985,80 1,62 1,69 1,69 1,77 2,20 2,49 2,78 3,076,00 1,67 1,74 1,74 1,82 2,27 2,57 2,87 3,17


82

Mediante la aplicación del TLS se obtienen lo que se denominarán “fotos fijas”

del límite establecido en una situación concreta del proceso de forja, por lo que si se

desea representar la evolución del proceso habrá de recurrirse a representar el

decremento de la altura de la pieza en estudio y, debido a la constancia de volumen,

el aumento del ancho del cuarto de pieza, como puede apreciarse en el esquema y

en la gráfica de las figuras 4.4 y 4.5.

Figura 4.4 Esquema de evolución del proceso de forja con 3 BRT inicial y PPP.

Figura 4.5 Evolución de valores de p/2k para 3 BRT inicial y PPP.

La línea negra gruesa indica en la gráfica de la figura 4.5 los valores que

adopta la relación p/2k en un proceso de forja, partiendo de un factor de forma de

b/h=0,5 hasta un factor de forma final de b/h=3.

4.2.2 Cuatro Bloques Rígidos Triangulares

De modo similar al caso anterior, pero ahora para 4 BRT (Fig. 4.6):

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

P/2k m=0


83


Y el hodógrafo para esta configuración (Fig. 4.7):

Figura 4.7 Hodógrafo para 4 BRT en configuración PPP con disposición inicial.

Así pues, obtenemos de las disposiciones anteriores y aplicando el TLS:

[ ]BCmVECVBEVFBVmFEVkWt

W ⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅==∂

∂334321222ω& (4.11)

;cos

;1

34

1

21

φφVvV

senxxb

EC =−−

= (4.12)

;;cos 23

2

αα senVvV

xBE == (4.13)

;cos

;1

12

1

1

θθVvV

senx

FB == (4.14)

V1=0 θ1

V23 Vv V12

V3

V2

V34

V4

b1

h2 h1

x1

B

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A C

E

D

θ1

BRT4

θ2

x2

F α


84

;1; 131 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=−=

αθ

tgtgVvVxbBC (4.15)

Y por lo tanto:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+

−−++⋅⋅= mxb

tgtgVv

senxxbVvx

senVv

senxVvkW 11

1

21

1

2

1

1

1

1coscoscos α

θφφααθθ

ω&

(4.16)

Y como:

( )

( );;cos;;cos

;;cos;;

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

21

1

1

2

1

2

21

21

12

1

2

1

1

12

1

2

1

1

1

1

1

1

xh

tgxh

xxh

hsen

hxxb

hhxxb

xxbsen

hxh

hxx

senhx

tg

=+

=+

=+−−

=

+−−

−−=

+=

+==

αααφ

φθθθ

(4.17)

Se tendrá:

( ) ( ) ( ) ( )=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+−−−−+−−+

+++

+++

⋅⋅⋅=

mhx

hx

xbh

hxxbxxbh

hxxbh

xxhx

hxh

hhxVv

xhxx

VvkW

1

2

1

1

1

1

2

1

2

2121

1

2

1

2

211

2

2

2

2

12

1

2

2

2

1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

11

ω&

(4.18)

( )[ ]21

2

1212121

22

2

2

1

2

1

1

222223 xxxbxbxmxxbxbxbxxhh

Vvk −−+++−−+++⋅⋅⋅= ω

(4.19)

y como en casos anteriores se optimiza a partir de derivar respecto a los

parámetros x1 y x2 e igualando a cero:

( ) 02224 2121

1

=−−++−=∂∂ xxbmxbx

xW& (4.20)

( ) 0224 112

2

=−++−=∂∂ xbmxbx

xW& (4.21)


85

Así que de ambas ecuaciones se obtiene:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

43

41

2

2

1 mm

mbx (4.22)

( )4

22 112

bxbxmx

+−−= (4.23)

Resultando:

( )[ ]2121212121

222

21

21

1

2222232

12

xxxbxbxmxxbxbxbxxhbhk

P −−+⋅++−−+++⋅=

(4.24)

Por lo que si m=0 entonces x1 = x2 = b/3 y si m=1 entonces x1 = 3b/7 y x2 = b/7;

así, si m=0 obtendremos que p/2k = 13/12 = 1,083 y si m=1; p/2k = 41/36 = 1,139

4.2.3 Cinco Bloques Rígidos Triangulares

De modo similar al caso anterior, pero para 5 BRT (Fig. 4.8):


h1

x1

b1

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A C

E

D

h2 θ1

BRT4 Φ1

x2

BRT5

x3

B

G F


86


Figura 4.9 Hodógrafo para 5 BRT en configuración PPP con disposición inicial.


[ ]5345342312 VmCDBCmVVCEFCVVBFVBGkWt

W ⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅==∂

∂ ω&

(4.25)

Además, es conocido que:

;cos

;1

12

1

1

θθVvV

senx

BG == (4.26)

;;cos 23

2

αα senVvV

xBF == (4.27)

;cos

;1

45

1

321

φφVvV

senxxxb

CE =−−−

= (4.28)

;1; 1332 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=+=

αθ

tgtgVvVxxBC (4.29)

;;cos 2

34

2

3

αα senVvV

xCF == (4.30)

V1=0 θ1

V23 Vv V12

V3

V2

V34

V4

V5

V45


87

;11;´2

15321 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⋅=−−−= φ

ααθ tg

tgtgtgVvVxxxbCD (4.31)

Y como:

( )

( )

;;;;

;cos

;;cos;;cos

;;cos;;

1

321

3

1

22

1

2

3

1

22

1

2

3

3

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

321

1

1

2

1

2

321

321

12

1

2

1

1

12

1

2

1

1

1

1

1

1

hxxxb

tgxh

tghx

hsen

hxx

xh

tgxh

xxh

hsen

hxxxb

hhxxxb

xxxbsen

hxh

hxx

senhx

tg

−−−==

+=

+=

=+

=+

=+−−−

=

+−−−

−−−=

+=

+==

φααα

αααφ

φθθθ

(4.32)

Tendremos, tras sustituir y operar:

( ) ( ) ( )[ ]=−−−+++++−−−++++⋅⋅⋅= mbxxxbxxxxxxxmxxxbxxxhVvkW 32132

223121

2

32123

22

21

214ω&

(4.33)

Además, diferenciando en función de los parámetros x1, x2 y x3 , para lograr la

optimización de la posición de los vértices de los BRT:

( ) 022222 322311

1

=−+++++−=∂∂ bxxmxxxbx

xW& (4.34)

( ) 0222222 2313122

2

=+−+++++−=∂∂ xbxxmxxxbx

xW& (4.35)

( ) 022222 212133

3

=−+++++−=∂∂ bxxmxxxbx

xW& (4.36)

Tras operar y resolver este sistema de tres ecuaciones resulta:

( ) ( )( )2

2

3

2

2 41244

mmmxmb

x−

−++−= (4.37)


88

( )12816

1272

24

3 −+−=

mmmbx (4.38)

( )4

222 32321

bxxxxbmx

+−−−−= (4.39)

Si m=0 entonces x3 = - b/4; algo sin sentido, puesto que los valores de x

siempre han de ser reales y por lo tanto positivos. Este es otro de los motivos por los

que se modificó la orientación de la disposición de los BRT.

( ) ( ) ( )[ ]mbxxxbxxxxxxxmxxxbxxxhbk

P32132

223121

2321

23

22

21

21

1

42

12

−−−+++++−−−++++⋅⋅

=

(4.40)

Con esta disposición no se ha podido alcanzar algún tipo de generalización,

de forma que se pudiera determinar para cualquier número de BRT, tanto la posición

de los vértices de los mismos, es decir, xi, y los valores de p/2k.

En el Anexo A vienen recogidas en las figuras A.1 a A.6 las curvas

correspondientes a la evolución de la relación adimensional p/2k para diferentes

relaciones del factor de forma (b/h) en virtud de la variación de la altura inicial (h) y

para coeficientes de rozamiento por adherencia con valores límites, es decir con

m=0 y m=1. Los valores que sirven de referencia a las citadas gráficas quedan

recogidas en las Tablas A.1 a A.6 del Anexo A.

4.3 Placas Planas Inclinadas con disposición inicial y rozamiento por adherencia


Una vez analizada la opción de que la matriz esté conformada por placas

planas paralelas, se va a estudiar el caso más genérico, no tratado con anterioridad,

de que las placas, también planas, formen un ángulo de inclinación respecto a la

horizontal. Ángulo que denotaremos por α (Fig. 4.10).


89

Figura 4.10 Configuración geométrica inicial para 3 BRT en PPI.

Y su hodógrafo (Fig. 4.11) resultará:

Figura 4.11 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI con disposición inicial.

Aplicando el Teorema del Límite Superior se obtiene la ecuación de la

potencia siguiente:

( )13232212* mVEBVECmVDCVDEkwdt

dWW ⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅==& (4.41)

Por otra parte obtenemos que:

⎭⎬⎫

⋅+=⋅=⋅+⋅

123213

13123

coscos

ϕααϕ

senVVVVsenVV

(4.42)

V1=0 θ1

V23 V V12

V3

V2

h1

b1

x

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3 A

C

E

D

h2

Φθ1

α


90

⎭⎬⎫

⋅+⋅=⋅=⋅+⋅

123113

13123

coscos

ϕθααϕ

senVtgVVVsenVV

(4.43)

de donde

1

13

23 cosϕαsenVV

V⋅−

= (4.44)

y por lo tanto

( ) 113113 cos ϕαθα tgsenVVtgVV −+= (4.45)

y de aquí:

( )111

113 cos ϕαα

ϕθtgsen

tgtgVV

++

= (4.46)

( )( )

23

1111

111

1

1

111

11

23 coscoscos

coscos

Vsensen

sentgVsen

tgsentgtgV

VV =

+−

=+

+−

=αϕαϕ

αθαϕ

αϕαα

ϕθ

(4.47)

Así que estamos en disposición de calcular la potencia:

( ) WmVEBVECVDEkwdt

dWW && =⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== 132312 (4.48)

( )111

113

1

1

cos;

cos ϕααϕθ

α tgsentgtgV

Vxb

EB+

+=

−= (4.49)

12; θtgVVbDC == (4.50)

1

12

1

1

cos;

θθVV

senx

DE == (4.51)


91

( ) ( )111

11

1111

11123

1

1

cos1

coscoscos

;αϕϕ

αθαϕαϕ

αθαϕ tgsen

tgtgVsensen

sentgVV

senxb

EC+−

=+

−=

−= (4.52)

y tendremos pues:

( )( )

( ) =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++⋅

⋅−

+−

−⋅⋅

−

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

111

11

1

1

11

111

1

1

1

11

1

coscoscoscos

cos

ϕααϕθ

ααϕαθα

ϕ

θθθ

tgsentgtgVxbsentgV

senxb

mtgVbVsen

x

wkW& (4.53)

y como:

11

111

11

111

11 ;; α

αϕ

αθ tgxs

tgxhxb

tgtgxh

xsh

xtg =

+−

=+

=+

= (4.54)

obtendremos:

( ) ( ) 2

1

2

111

1111

2

1

2

111

11 cos;

xtgxh

tgxh

xtgxh

xsen

++

+=

++=

αα

θα

θ (4.55)

( ) ( ) ( ) ( )2

1

2

111

11112

1

2

111

11 cos;

xbtgxh

tgxh

xbtgxh

xbsen

−++

+=

−++

−=

ααϕ

αϕ (4.56)

por lo que:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

+−+

−++

−+

−++

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−++

−−

+

++

++++

=

111

111

111

1

111

1

1

1

21

2111

11

21

2111

1111

1111

11

21

2111

1

1

111

21

2111

1

21

21111

coscos

cos

cos

ααα

ααα

α

α

α

αα

αα

αα

ααα

tgxhxb

sen

mtgxhxb

tgxhx

Vxb

xbtgxh

senxb

xbtgxh

tgxh

sentgxh

xV

xbtgxhxbxb

tgxhxtgxhV

xxtgxhx

wkW&

(4.57)


92

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+

+−++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−+++

+++

=

111

111

111

1

1

111111

1111

11

21

2111

111

21

2111

coscos

cos

cos

ααα

αα

ααα

αα

αα

αα

tgxhxbsen

mtgxh

bxb

senxbtgxh

sentgxh

xxbtgxh

tgxhxtgxh

Vwk (4.58)

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++−

+

+−++

−+−+++

+++

=

1111111

1

111111

1111112

12

111

111

21

111

coscos

coscos

αααα

ααααααα

αα

senxbtgxhmbxb

senxbtgxhsenxtgxhxbtgxh

tgxhx

tgxhVwk

(4.59)

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++−

+

++−++

−+−+++

+++

=

1111111

1

111111111

1111112

12

111

111

21

111

coscos

coscos

αααα

αααααααα

αα

senxbtgxhmbxb

tgxhsenxbtgxhsenxtgxhxbtgxh

tgxhx

tgxhVwk

(4.60)

derivando respecto al parámetro x1 e igualando a cero:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )( )

( ) ( )( )

( )

0

coscos

cos

2222cos

2cos2

cos

342

3422cos

2

1111

2

1211111111

221

211

123

11121

2111

133

11121111

21

21111

2311

11111112

1

121111111

122

1211

122

1111211

132

112

1111112

11

111

1211111

1

1

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−−++++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+++−+++

⋅

−++−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++++

⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+

+++−

+

++

−++

=∂∂

ααα

ααααα

ααααααα

αααααααα

αα

ααααααα

ααα

α

bsenhbm

tgxtgbxbhxhsentgxh

tgxtghxhxsentgxtghxxbhhbhxhxtgh

tgxbtghsentgx

tgxtgbxbhxhsentgxh

tgxtghxhsen

tgxtghxhxbhtgh

tgxhtgxtgxhx

tg

xW

(4.61)


93

( )4

20240

22211

11

1

11

1

1

mbxbmbx

hbm

hx

hb

hx

xW +

=⇒=−−⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−=

∂∂ (4.62)

La introducción del parámetro α1 (inclinación de las placas) hace que las

ecuaciones de partida eleven de forma notable su grado de complejidad, y se

alcancen unas ecuaciones implícitas de difícil resolución mediante determinados

programas de uso estándar, como hojas de cálculo, que sirven de gran ayuda a la

hora de efectuar gráficas y tendencias de los datos obtenidos. Por lo tanto hemos de

contar con programas de mayor poder de cálculo como Matemática [Mathemática,

2003] para determinar las soluciones requeridas.

La constatación de que aunque la complejidad de las ecuaciones se ha

elevado, se mantiene el camino correcto, proviene de comparar la ecuación obtenida

para un ángulo de inclinación de las placas de α1=0 con las resultantes de estudio

análogo anterior para placas planas paralelas.

Mediante el programa de cálculo antes citado, y tras simplificaciones

efectuadas con el comando Simplify entre otros, se obtiene la siguiente ecuación

para obtener el valor de x1 en cada caso (ecuación implícita):


94

donde “a”, debido a limitaciones de denominación del programa, representa al

ángulo α1.

El comando Table del programa Mathematica 5 no admite la utilización con un

número elevado de variables, como sucede en este caso, por lo tanto se ha optado

por utilizar el comando NSolve y traspasar, de forma manual, los datos obtenidos a

una tabla de EXCEL para su posterior tratamiento gráfico.

La solución anterior es una ecuación de segundo grado para x1, por lo que

aporta dos soluciones en la mayoría de los casos, de ellos se ha tomado como

criterio, escoger el mayor de ambos, pero en un número muy elevado de

situaciones, una de las dos soluciones es negativa, por lo que esta solución no es

coherente, y en estos casos, se elegirá la solución alternativa.

Para obtener p/2k, la ecuación resultante será:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+

+−++

+−−++

++

++

=

αα

α

αα

ααα

αα

αα

αα

tgxhxbsen

tgxhbm

xb

senxbtgxh

sentgxh

xxbtgxh

tgxhxtgxh

bhkp

11

111

11

1

1

111111

1111

11

21

2111

111

22111

1

coscos

cos

cos*

21

2 (4.63)

Figura 4.12 Evolución p/2k para 3 BRT, configuración PPP y disposición inicial.

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

a=0a=5a=10a=20a=30


95

Como puede observarse en la figura 4.12, los resultados obtenidos para un

ángulo de inclinación igual a cero coinciden con los resultantes de aplicar la

ecuación de 3 BRT para PPP. Por otra parte, los valores que ofrece la ecuación para

un α reducido son coherentes con la evolución del proceso, pero a partir de 10º de

inclinación, p/2k toma valores menores de la unidad, siendo este un mínimo que no

debe de superarse, puesto que representa la carga necesaria en el caso de

considerar deformación homogénea.

Las ecuaciones adquieren un carácter extremadamente complejo, siendo

inviable abordarlas para 4 y 5 BRT, por lo que la optimización de la situación de los

bloques (valores de xi) se vuelve inviable. A la posición no optimizada de xi se le

asignará un valor de bi/2, siendo bi el ancho b ce cada sección contemplada.

4.4 Combinación PPP–PPI con disposición inicial y rozamiento por adherencia

En análisis previos se planteó, tal y como se ha indicado, para el caso de PPP

la siguiente disposición para el cuarto de pieza, inicialmente con 3 BRT (Fig.4.13):

Figura 4.13 Disposición inicial de BRT en PPP.

Y sobre ella se realizaron estudios posteriores con 4, y 5 BRT en PPP y 3

BRT en PPI. Esta configuración presenta problemas en el encaje de la configuración

de los bloques cuando se presenta un caso de aplicación del modelo sobre un perfil

de las placas planas combinado, formado este, por una placa plana paralela y una

placa plana inclinada. Puede observarse en la Fig. 4.14, la no continuidad de los

BRT1

BRT2

BRT3


96

BRT, teniendo la necesidad de trabajar con un bloque rígido no triangular, lo que se

aleja del método propuesto.

Figura 4.14 Encaje irregular de BRT en PPP-PPI.

La imposibilidad de obtener un adecuado hodógrafo debido a la dificultad de

fluencia del material por la disposición de BRT establecida, admite una solución, en

cierto modo trivial, derivada de invertir respecto al eje horizontal, la disposición de

los BRT. Esta nueva disposición se denotará, en adelante, eliminando la

consideración de “inicial” en la definición del caso (Fig. 4.14).

Figura 4.15 Disposición definitiva de BRT en PPP.

4.5 Placas Planas Paralelas con rozamiento por adherencia


Partimos, pues, de la configuración de BRT establecida en el subapartado

anterior (Fig. 4.16):

BRT BRT

BRT

BRT

BRT

BRT

BRT1

BRT2

BRT3


97

Figura 4.16 Disposición definitiva de BRT en PPP.

Por lo que se ha modificado la disposición de los BRT, situando el vértice del

BRT sobre la superficie superior en la interfase herramienta-pieza (Fig 4.17).

Figura 4.17 Encaje de BRT en PPP-PPI.

Por lo tanto, los BRT dispuestos solucionan de forma satisfactoria la fluencia

de flujo de material producida por la deformación plástica de la pieza (Fig. 4.17).

Posteriormente podrá apreciarse que esta solución facilita abordar la aplicación del

método con un nuevo enfoque, que será denominado enfoque modular. Puede

observarse que con esta nueva disposición de BRT, el número de los mismos que

forman parte de una combinación dada disminuye en una unidad respecto a la

configuración inicial.

A continuación se procede a realizar el cálculo completo de la relación

adimensional p/2k (siendo p la presión aplicada sobre la pieza, y k la tensión de

fluencia a cortadura pura) para PPP con la nueva disposición de BRT en un número

de tres (Fig. 4.18).

BRT1 BRT3BRT4

BRT5

BRT2

BRT1

BRT2

BRT3


98

Figura 4.18 Configuración geométrica de 3 BRT sobre PPP.

Donde 0=⋅VvAE , por ser perpendiculares. El coeficiente de rozamiento

existente en el eje horizontal de simetría m2, adquiere un valor nulo, debido a la

simetría horizontal impuesta (no hay desplazamiento relativo de material entre las

mitades superior e inferior de la pieza sometida a deformación) (Fig. 4.19).

Figura 4.19 Simetría horizontal, ausencia de movimiento relativo.

El cálculo de las velocidades se obtiene a partir del hodógrafo

correspondiente (Fig. 4.20), que en este caso vendrá dado por:

:

Figura 4.20 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP.

θ1 V23 Vv V12

V3

V2

V1=0

h1

x1 b1

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

h2 Φ1θ1

h2

b1


99

Además, sabemos que la velocidad de entrada de material en dirección

horizontal es nula. V1 = Ve = 0, y como:

1

12

1

1

cos;

θθVvV

senx

AD == (4.64)

121 ; θtgVvVbAB ⋅== (4.65)

1

23

1

11

cos;

φφVvV

senxb

DB =−

= (4.66)

Y por otra parte:

( ) ( );cos;;cos;;

211

22

212

1122

1112

121

112

121

11

1

11

xbh

h

xbh

xbsen

hx

h

hx

xsen

hx

tg−+

=−+

−=

+=

+== φφθθθ

(4.67)

Sustituyendo se tendrá:

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅+

−+⋅⋅ 11

1

11

11

1

coscosθ

φφθθω tgVbm

Vsen

xbVsen

xk v

vv (4.68)

( ) ( )( )

( )=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

−+−

−+−+

++⋅⋅=

1

11

2

211

22

11

211

2211

1

21

21

1

21

211

hx

Vmbh

xbhVxb

xbhxbh

hxVx

hxxk v

vvω (4.69)

( )=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+++=

1

11

2

11

2

1

2

1

2

1

hxmbxbhhx

kVv ω (4.70)

( )=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−++

+=

1

11

2

2

11

2

2

1

2

1

2

1

hx

mbh

xbhh

hxkVv ω (4.71)

En este caso, al estar formado por superficies de contacto en la interfase

paralelas a la condición de simetría horizontal, h1 = h2.


100

[ ] =++−++= 112111

21

21

21

1

22 xmbxxbbhxhVk vω

(4.72)

( )[ ] WmxbbhxhVk v &=−+++= 222 11

21

21

21

1

ω (4.73)

Procederemos a optimizar la posición de los tres BRT a través de la

dimensión x1 que fija la posición del vértice inferior del segundo Bloque Rígido

Triangular.

( ) ( ) ( )1

11

111

1 42

42

024 xmbmb

xmbxxW =

−⋅=

−⋅−=⇒=−⋅+=

∂∂ &

(4.74)

Y sustituyendo:

( ) ( ) ( ) =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−⋅⋅+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⋅++= 2

42

42

22min 1

1

2

12

1

2

1

1

mmb

bmb

bhhVvkW ω& (4.75)

De donde:

( ) ( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

++−⋅

++= 24

2844

22

1

2

1

22

12

1

2

1

1

mmbbmmb

bhhVvkW ω& (4.76)

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−++−++=4

244

2822

22

1

2

1

22

1

2

1

22

1

2

1

2

12

1

2

1

1

mbbmb

mbmbmbbbh

hVvkω

(4.77)

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−++=

2822

24822

21

221

212

11

21

21

2221

212

11

mbmbbh

hVvkmbbmmbb

hhVvk ωω (4.78)

VvbPmmbhhVvk ⋅⋅⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+= 1

22

1

2

1

1 28212 ωω

(4.79)


101

kPmm

bh

hbmmbh

hbkP

241

22

21

28212

21

2

2212

111

221

21

11

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+= (4.80)

Si m=0; entonces:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=2

22

12

2

121

11

bh

hbkP (4.81)

Y si m=1; se tendrá:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=8

72

21

2

2

121

11

bh

hbkP (4.82)

Al igual que en casos anteriores, al analizar el caso de PPI con esta nueva

configuración se apreciará cómo la incorporación del ángulo α incrementa la

complejidad de las ecuaciones. Este problema se resuelve estableciendo la posición

de x1 mediante el establecimiento de un valor fijo, que en adelante será igual a b1/2,

y por lo tanto quedará:

( )[ ] ( )=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=−+++2

22

22222

212

121

2

1

111

21

21

21

1

mbbh

bhVvk

mxbbhxhVvk ωω (4.83)

( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++=

22

2322

22

221

21

1

212

121

21

1

mbh

hVvk

mb

bhb

hVvk ωω (4.84)

12

12

1

1 212 bVvPmbh

hVvk ⋅⋅⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= ωω

(4.85)

Lo que implica que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

212

21

22

1

2

1

11

mbhhbk

P (4.86)

Con m=0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=2

22

12

2

12

1

11

bh

hbkP

(4.87)


102

Con m=1

[ ]2

1

2

1

11

22

12

bhhbk

P += (4.88)

Resulta muy conveniente, en el estudio de los diferentes casos planteados,

utilizar ecuaciones en las que estén presentes los parámetros xi, para poder

introducir directamente el valor que sea de mayor interés en cada situación. La

evolución de este modelo es totalmente coherente, como puede apreciarse en la

figura 4.21.

Figura 4.21 Evolución de p/2k vs factor de forma en PPP con 3 BRT.

Al igual que en estudios previos, en la Tabla 4.2 se han resaltado en rojo

aquellas celdas en donde se encuentran los valores de p/2k mínimos para cada

coeficiente de rozamiento.

Evolución 3 BRT no Modular

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1


103

Tabla 4.2 Resultados de p/2k para 3 BRT en configuración PPP.

La evolución del proceso se realizará como se indica en la figura 4.23.

Figura 4.23 Evolución de proceso de forja con disposición de 3 BRT y PPP.

b/h m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=10,20 5,05 5,05 5,05 5,06 5,07 5,08 5,08 5,090,40 2,60 2,60 2,61 2,62 2,64 2,65 2,66 2,680,60 1,82 1,82 1,83 1,85 1,87 1,89 1,91 1,930,80 1,45 1,46 1,47 1,49 1,52 1,55 1,58 1,601,00 1,25 1,26 1,27 1,30 1,34 1,38 1,41 1,441,20 1,13 1,15 1,16 1,19 1,24 1,29 1,33 1,361,40 1,06 1,08 1,10 1,13 1,19 1,24 1,29 1,331,60 1,03 1,04 1,06 1,10 1,17 1,23 1,28 1,331,80 1,01 1,03 1,05 1,09 1,17 1,24 1,29 1,342,00 1,00 1,02 1,05 1,10 1,18 1,26 1,32 1,382,20 1,00 1,03 1,06 1,11 1,20 1,29 1,36 1,422,40 1,02 1,05 1,08 1,13 1,23 1,32 1,40 1,472,60 1,03 1,07 1,10 1,16 1,27 1,37 1,45 1,522,80 1,06 1,09 1,13 1,19 1,31 1,41 1,51 1,583,00 1,08 1,12 1,16 1,23 1,35 1,47 1,56 1,653,20 1,11 1,15 1,19 1,26 1,40 1,52 1,62 1,713,40 1,14 1,19 1,23 1,31 1,45 1,58 1,69 1,783,60 1,18 1,22 1,27 1,35 1,50 1,64 1,75 1,853,80 1,21 1,26 1,31 1,39 1,56 1,70 1,82 1,934,00 1,25 1,30 1,35 1,44 1,61 1,76 1,89 2,004,20 1,29 1,34 1,39 1,49 1,67 1,82 1,96 2,084,40 1,33 1,38 1,43 1,54 1,72 1,89 2,03 2,154,60 1,37 1,42 1,48 1,59 1,78 1,95 2,10 2,234,80 1,41 1,47 1,53 1,64 1,84 2,02 2,18 2,315,00 1,45 1,51 1,57 1,69 1,90 2,09 2,25 2,395,20 1,49 1,56 1,62 1,74 1,96 2,16 2,32 2,475,40 1,54 1,60 1,67 1,79 2,02 2,22 2,40 2,555,60 1,58 1,65 1,72 1,84 2,08 2,29 2,47 2,635,80 1,62 1,69 1,76 1,90 2,14 2,36 2,55 2,716,00 1,67 1,74 1,81 1,95 2,21 2,43 2,63 2,79


104

Figura 4.24 Valores de evolución de proceso de forja con disposición de 3 BRT y

PPP.

Figura 4.25 Valores de evolución modificado de proceso de forja para 3 BRT y PPP.

Tal y como se expresó en el capítulo previo, mediante la aplicación del TLS se

obtienen lo que denominaríamos “fotos fijas” del límite establecido en una situación

concreta del proceso de forja, por lo que si queremos mostrar la evolución del

proceso, recurriremos a representar el decremento de la altura de la pieza en

estudio, y debido a la constancia de volumen, el aumento del ancho del cuarto de

pieza, como puede apreciarse en el esquema y en la gráfica de las figuras 4.23 a

4.25. En particular, en la figura 4.25 se han eliminado valores de las curvas

definitivas (de color negro), para obtener una única curva resultado de la

combinación de las cuatro establecidas a partir de los resultados.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4 5 6

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4 5 6


105

La línea negra gruesa indica en la gráfica de la figura 4.25 los valores que

toma la relación p/2k en un proceso de forja partiendo de un factor de forma de

b/h=0,5 hasta un factor de forma final de b/h=3.

4.5.2 Cuatro Bloques Rígidos Triangulares

De modo similar al caso anterior, pero para 4 BRT (Fig. 4.26):

Figura 4.26 Configuración geométrica para 4 BRT en PPP.

Y el hodógrafo para esta configuración (4.27):



V1=0 θ1 V23

Vv V12

V3

V2

V34

V4

b1

h2

h1

x1

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A C

E D

θ1 BRT4

θ2

x2

F


106

VvbPVvAFmVBCmVEDVFE

VmABVBDVEBVAEkW

dtdW

⋅⋅⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅== ωω

4231

2342312& (4.89)

Y como tenemos que:

;; 1221 θtgVvVxxAB ⋅=+= (4.90)

;; 23

1

αα senVvV

senh

EB == (4.91)

;cos

;1

12

1

1

θθVvV

senx

AE == (4.92)

;1; 11421 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅=−−= φ

αθ tg

tgtgVvVxxbBC (4.93)

;cos

;cos 1

34

1

1

φφVvV

hBD == (4.94)

Y además:

( );cos;;cos

;;;;

21

221

112

121

1

21

21

11

21

21

11

1

211

2

1

1

11

hxxb

hxh

hsen

hxh

hxx

senh

xxbtg

xh

tghx

tg

+−−=

+=

+=

+=

−−===

φαθ

θφαθ

(4.95)

Por lo tanto, obtenemos:

( ) ( )=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅⋅−−+⋅⋅⋅⋅++

+++

⋅⋅=

11211121

11

11

11

1

1

coscoscos

φα

θθ

φφααθθω

tgtg

tgVxxbtgVbmxx

VhsenV

senhV

senx

kW

vv

vvv

& (4.96)


107

( ) ( ) ( )

( )

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−++⋅⋅−−+

+⋅⋅+++−−⋅

⋅+−−⋅

+

+++⋅

+++

⋅⋅=

1

21

1

2

1

121

1

121

1

21

221

1

21

2211

1

22

21

1

22

211

1

21

21

1

21

211

hxxb

hx

hx

Vxxb

hx

Vmxxh

hxxbVh

hxxbh

hxhV

hxhh

hhxV

xhxx

k

v

vv

vv

ω (4.97)

( ) ( ) ( )[ ]=−−⋅++⋅++−−++++⋅⋅⋅

= 212121

21

221

22

21

21

21

1

xxbbxxxmhxxbxhhxh

Vk vω (4.98)

( )[ ] =+⋅++−−+++⋅⋅⋅

= 21212121

222

21

21

1

2332232 xxxmxxbxbxbxhxh

Vk vω (4.99)

( )[ ] bVPxxxmxxbxbxbxhxh

Vkv

v ⋅⋅⋅=+⋅++−−+++⋅⋅⋅

= ωω21

212121

222

21

21

1

2332232 (4.100)

02234 2121

1

=+++−=∂∂ mxmxxbx

xW& (4.101)

0234 112

2

=++−=∂∂ mxxbx

xW& (4.102)

Despejando de las ecuaciones 4.101 y 4.102 y sustituyendo en 4.100 se

obtiene:

43

21

23

21 mm

mb

x−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

= (4.103)

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅

+⋅=

434

2322 mm

mbx (4.104)

Si m=0 entonces:


108

232

3

1

bb

x == (4.105)

22 2126 xbbx === (4.106)

Si m=1 tendremos:

133

41

213

21

23

1

bb

x =−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

= (4.107)

22 53

159 xbbx === (4.108)

Y por lo tanto;

( )[ ]21212121

222

21

21

1

23322322

12

xxxmxxbxbxbxhxhbk

P +⋅++−−+++⋅⋅⋅

= (4.109)

Así pues, si m=0, el valor de P/2k será:

kPbh

bhbbbbbbbbhb

hbkP

223

21

222

23

232

423

42

21

2

221

1

22

21

2

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+++⋅

⋅⋅= (4.110)

Y con m=1:

( ) ( )

kPbh

bh

bbbbbbbbbbbhbhbk

P

2655

2518

169273

21

53

133

139

53

1332

533

13332

25923

1392

21

2

221

1

2

22

2212

2

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⋅+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−−+++⋅

⋅⋅=

(4.111)

Como ejemplo, indicar que para b=2 y h1=h2=1 se obtiene con m=0 un

p/2k=1,25 y con m=1, un p/2k=1,553. En el Anexo A. Se recoge en el Anexo A,

(Figura A.13 y Tabla A.8), en forma de gráfica y en tabla resumen donde se


109

incorporan los valores que las crea, la evolución para un coeficiente de rozamiento

variable, la evolución de p/2k para una configuración de 4 BRT.

4.5.3 Cinco Bloques Rígidos Triangulares

En la misma línea de lo estudiado hasta el momento tendremos: (Fig. 4.28):

Figura 4.28 Configuración geométrica para 5 BRT en PPP.




h1

x1

b1

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A C

E

D

h2 θ1 BRT4

Φ1

x2

BRT5

x3

B

G

F

V1=0 θ1 V23

Vv V12

V3

V2

V34

V4

V5

V45


110

( ) ( )=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅⋅⋅−−+⋅⋅⋅++

−−−+++

⋅⋅=

2121121

11

321

22

31

11

1

11

coscoscos

ααθθ

φφααααθθω

tgtgtgVmxxbtgVmxx

Vsen

xxxbsen

VxsenV

senhV

senx

kW

vv

vvvv

& (4.112)

Siendo:

;cos

;1

12

1

1

θθVvV

senx

AF == (4.113)

;11;2

1421 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅=−−=

ααθ

tgtgtgVvVxxbBC (4.114)

;;2

34

2

3

αα senVvV

senx

BE == (4.115)

;; 231

αα senVvV

senh

BF == (4.116)

;; 1221 θtgVvVxxAB ⋅=+= (4.117)

y como:

( )

( )

;cos;cos;

;;;cos

;;;;

23

21

322

121

112

121

11

21

21

1

23

21

122

32121

11

2321

21

3211

3

12

2

1

1

11

xh

x

xh

h

xh

xsen

xhh

senxh

hsen

xxxbh

hxxxbh

xxxbsen

xh

tgxh

tghx

tg

+=

+=

+=

+=

+=

−−−+=

−−−+

−−−====

αθθ

ααφ

φααθ

(4.118)

tendremos:


111

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅⋅⋅−−+

+⋅⋅+++−−−⋅

⋅−−−

+−−−⋅−−−+

++⋅+⋅

+

+++⋅

+++

⋅⋅=

1

3

1

2

1

121

1

121

1

21

2321

321

21

2321321

1

23

21

3

23

213

1

22

21

1

22

211

1

21

21

1

21

211

hx

hx

hx

Vmxxb

hx

Vmxxh

hxxxbVxxxb

hxxxbxxxb

hxhVv

xxhx

hxhV

hxhh

hhxV

xhxx

k

v

vv

vv

ω

(4.119)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]=++⋅−−⋅++⋅+−−−++++⋅⋅⋅

= 321212121

2321

23

22

21

21

1

4 xxxxxbmxxxmxxxbxxhxh

Vk vω

(4.120)

( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−−++⋅+++++−−−++++

⋅⋅⋅

=323121

22321

32312132122

322

21

21

1

2222222242xxxxxxxbxbxbxm

xxxxxxbxbxbxbxxhxh

Vk vω (4.121)

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−−++⋅+++++−−−++++

⋅⋅⋅

=323121

22321

32312132122

322

21

21

11

22222222422

12 xxxxxxxbxbxbxm

xxxxxxbxbxbxbxxhxhbk

P (4.122)

y por lo tanto:

( ) 02224 32321

1

=−−⋅+++−=∂∂ xxbmxxbx

xW& (4.123)

( ) 022224 321312

2

=−−−⋅+++−=∂∂ xxxbmxxbx

xW& (4.124)

( ) 0224 2113

3

=−−⋅++−=∂∂ xxbmxbx

xW& (4.125)

despejando y sustituyendo:


112

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

=

41

42

344

1

2

2

2

2

1 m

mmxmbx (4.126)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⋅

=10

225

2222

23

23

2 mmm

mmmbx (4.127)

( )4

22 1213

xbbxxmx

−+−+⋅= (4.128)

Si m=0, entonces: x1=x2=b/5 y x3=2b/5 ; y si m=1, resulta: x1=0 y x2=x3=b/3

( )[ ] bVPmxbbhxh

Vkv

v ⋅⋅⋅=−⋅+++⋅⋅

ωω

222 112

12

121

1

(4.129)

Si conservamos de forma explícita a x1 en la ecuación final, obtendremos:

( )[ ]2222

12 11

21

21

21

1

−+++= mxbbhxbhk

P (4.130)

De igual forma que en los casos anteriores, se muestra en el Anexo A (Figura

A.14 y Tabla A.9) la evolución de p/2k para 5 BRT y con un coeficiente de

rozamiento por adherencia variable.

A partir de las gráficas mostradas en la figura 4.30 se puede valorar la leve

diferencia del valor de p/2k que surge de la aplicación de un x1 optimizado ó de un

valor de x1=b1/2, ofreciendo valores que en esta segunda opción se sitúan del lado

de la seguridad en cuanto son algo mayores que, como no podría ser de otra forma,

los que aporta la solución optimizada. Esta nueva consideración de x1=b1/2 hace que

en desarrollos futuros de configuraciones PPI se ofrezca la posibilidad de simplificar

las ecuaciones.


113

A partir de las gráficas de la figura 4.31 y con más detalle en la Fig. 4.32,

puede observarse como es apreciable que hasta para un valor de b/h cercano a 3 la

curva de 3BRT ofrece un valor mínimo (menor distorsión de los BRT), y solo para

factores de forma mayores de 3, el mínimo corresponde a 5 BRT, y en algunos

casos a 4 BRT.

El mínimo valor de la relación adimensional p/2k evoluciona siguiendo las

curvas de la figura 4.30 para diferentes valores del coeficiente de rozamiento por

adherencia en un rango de m=0 a m=1.


114

Figura 4.30 Comparativa evolución p/2k para 3 BRT con PPP.

Comparativa 3 BRT m=0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

p/2k (b1/2)P/2k

Comparativa 3 BRT m=0,2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

p/2k (b1/2)P/2k

Comparativa 3 BRT m=0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

p/2k (b1/2)P/2k

Comparativa 3 BRT m=1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

p/2k (b1/2)P/2k


115

Figura 4.31 Evolución con m variable para 3-4-5 BRT no Modular y PPP.

Figura 4.32 Evolución con m=0, 0.2, 0.5 y 1 para 3-4-5 BRT no Modular y

PPP.

m=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

3BRT4BRT5BRT

m=0,2

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

3BRT4BRT5BRT

m=0,5

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

3BRT4BRT5BRT m=1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

3BRT4BRT5BRT

m variable; 3-4-5 BRT

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0 m=0,1m=0,2 m=0,3m=0,4 m=0,5m=0,6 m=0,7m=0,8 m=0,9m=1


116

La comparativa completa para coeficiente de rozamiento por adherencia

desde m=0 a m=1 se muestra en las figuras A.14 a A.16 del Anexo A.

4.6 Placas Planas Inclinadas con rozamiento por adherencia y 3 BRT

Como ya se ha indicado anteriormente en apartados previos, una innovación

en la aplicación de los modelos analíticos proviene de tener la posibilidad de

considerar las placas de la matriz con un grado de inclinación determinado distinto

de cero. Se aplica, pues, esta incorporación del ángulo de inclinación (ángulo α) en

el cuarto de pieza estudiado. Se analiza en este apartado, de una forma similar al de

3 BRT con PPP, pero ahora para Placas Planas Inclinadas (PPI) y con rozamiento

por adherencia (Fig. 4.33):

Figura 4.33 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI.

El hodógrafo para esta configuración (Fig. 4.34) es:

Figura 4.34 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI.

h1

b1

x1

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

h2

Φ1

θ1

α

θ1 V23 Vv V12

V3

V2 V1=0 α

Φ1


117

Y aplicando el TLS:

[ ] VvbPvABmvDBvADkWdt

dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== ωω 22312& (4.131)

αθθθ tgsenVvV

senx

AD+

==cos

; 12

1 (4.132)

( )αθφφ tgtgVvV

senxb

DB+

=−

=1cos

; 23

1 (4.133)

( )αθαθ

α tgtgtgVv

VbAB+

==1cos

;cos 2 (4.134)

αθαθ

coscos

212

212

VsenVsenVVVv

=+=

(4.135)

αθ

cos122

senVV = (4.136)

( )αθθααθθ tgsenVVvsensenVVVv +=⇒+= cos

coscos 121212 (4.137)

αθθ tgsenVvV

+=

cos12 (4.138)

( )αθαθ

tgtgtgVv

V+

=1cos2 (4.139)

( )αθφ tgtgVvV+

=1cos23 (4.140)

De lo que se obtiene:


118

( ) ( );cos;;cos;;

21

22

2

21

22

1

21

21

1

21

21

1

1

1

xbh

h

xbh

xbsen

hx

h

hx

xsen

hx

tg−+

=−+

−=

+=

+== φφθθθ (4.141)

Y por otra parte:

( ) ( ) VvbPtgtg

tgVvbmtgtg

Vsen

xbtgsen

Vsen

xkW vv ⋅⋅⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

−+

+⋅⋅= ω

αθαθ

ααθφφαθθθω

1coscos1coscos11&

(4.142)

Tendremos, pues:

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+++−⋅

+−+

++−+

−++

⋅=11211

22112

221

21

1

221

2

21

211

2

11211

21

21 22

21

2 hxhxbhbhhhhmx

bhx

bhhxh

hxbxbhxhxbh

bhbxk

P (4.143)

Si α=0, entonces:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅+

−+⋅⋅⋅= θ

φφθθω tgVvmb

senxb

senx

VvkWcos

1cos

1 11& (4.144)

Y por lo tanto, con x1=b/2:

bVvPhbmb

b

hb

b

hbb

h

hb

b

hbb

VvkW ⋅⋅⋅=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

+++

⋅⋅⋅= ωω1

21

221

2

1

21

221

2

22

4

2

424

2

42& (4.145)

Si b=2; h=1; m=0 entonces p/2k=1; y si b=2; h=1; m=1 entonces p/2k=1,5

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

+⋅=

1

221

2

1

12

224

44

21

2 hmb

bhb

hhb

bkP (4.146)

Se observa en la figura 4.35 la evolución de p/2k para diferentes valores del

coeficiente de rozamiento m. Esta gráfica se ha desarrollado para un valor de α=0,


119

por lo que el módulo adquiere configuración de PPP, se puede confirmar de esta

manera la coincidencia con la ecuación desarrollada y aplicada en el caso de 3 BRT

para PPP y rozamiento por adherencia.

Figura 4.35 Evolución de p/2k para 3 BRT en configuración PPI con m variable.

Por otra parte, se analiza a continuación, cómo responde el modelo ante una

variación del valor del ángulo de inclinación, manteniendo constante el coeficiente de

rozamiento (m=0) y una altura del módulo igual a la unidad (figura 4.36), o tomando

un valor igual a 2 (figura 4.37). Es por este motivo por lo que, a partir de 35º de

inclinación, la altura de h2 toma valores negativos (cuando h1=1), y por lo tanto p/2k

no es calculable.

En el Anexo A (Figs. A.7 y A.8) se recogen las curvas que representan la

evolución de p/2k para 3 BRT modificando el valor del coeficiente de rozamiento por

adherencia, y haciendo variable el ángulo de inclinación de la placa inclinada.

m variablealpha=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0 m=0,1m=0,2 m=0,3m=0,4 m=0,5m=0,6 m=0,7m=0,8 m=0.9m=1


120

Figura 4.36 Evolución de p/2k para 3 BRT en PPI con α variable y m=0.

Para h1=2, es posible obtener resultados hasta para un ángulo de inclinación

igual a 70º (conforme se aumenta el ángulo de inclinación, el factor de forma ha de

reducirse para obtener valores)(Fig. 4.37)

Figura 4.37 Evolución de p/2k para 3 BRT en configuración PPI con m variable.

La complejidad de las ecuaciones impone la consideración de que a x1 se le

asigne un valor igual a b1/2.

h=1m=0

alpha variable

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

alpha=0 alpha=5alpha=10 alpha=15alpha=20 alpha=25alpha=30 alpha=35

m=0 h=2

alpha vriable

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

alpha=0 alpha=5alpha=10 alpha=15alpha=20 alpha=25alpha=30 alpha=35alpha=40 alpha=45alpha=50 alpha=60alpha=70


121

Por otro lado, por el mismo motivo, y para PPI se considerará una

configuración de 3 BRT, no tomándose en consideración las configuraciones de 4 y

5 BRT contempladas en casos anteriores.

4.7 Perfil combinado PPP–PPI

Una vez resuelto el problema de la continuidad de flujo de material, en cuanto

a la forma triangular impuesta para todos y cada uno de los bloques rígidos, tal como

se observó en el apartado 4.4 del presente capítulo, y establecidas las ecuaciones

para los casos de PPP y PPI de forma independiente, con 3 BRT en cada uno de

ellos, se procederá en este subapartado a elaborar el hodógrafo y las ecuaciones

correspondientes a un perfil combinado con PPP inicial y una superficie PPI

contigua.

Con esta configuración, la combinación estará formada por 5 BRT, en la que

no cabe optimización alguna en la situación del tercer bloque, puesto que viene

determinado por el punto de inicio de la zona inclinada (Fig. 4.38).

Figura 4.38 Configuración de 5 BRT para perfil PPP-PPI.

Y el hodógrafo correspondiente será (Fig. 4.39):

x1

b1

x2 x3

BRT1 BRT3BRT4

BRT5

BRT2 α

A

C

ED

θ1

Φ1

B

G F

b2


122

Figura 4.39 Hodógrafo para configuración de 5 BRT con perfil PPP-PPI.

( )

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅⋅

⋅+⋅⋅⋅++

−+++

⋅⋅=

ααα

θ

αθ

φφααααθθω

sentgtg

tgVmb

tgVmxx

Vsen

xbsen

Vxsen

Vsen

hVsen

x

kWv

v

vvvv

211

2121

11

32

22

3

11

1

11

1

11

cos

coscoscos& (4.147)

Siendo:

;;cos 2

34

2

3

αα senVvV

xBE == (4.148)

;; 1221 θtgVvVxxAB ⋅=+= (4.149)

;cos

;1

12

1

1

θθVvV

senx

AF == (4.150)

;; 231

αα senVvV

senh

BF == (4.151)

(4.152)

V1=0 θ1 V23

Vv V12

V3

V2 V34

V4

V5

V45

α

;

11

;cos

21

42

ααα

θ

α sentgtg

tgVvV

bBC

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅

==


123

y como:

( )

( )

;cos;cos;

;;;cos

;;;;

2

3

2

1

3

22

1

2

1

112

1

2

1

11

2

1

2

1

112

3

2

1

122

32

2

2

11

2

32

2

2

321

1

3

12

2

11

1

11

xhx

xhh

xhx

sen

xhh

senxh

hsen

xbh

hxbh

xxxbsen

xh

tgxh

tghx

tg

+=

+=

+=

+=

+=

−+=

−+

−−−====

αθθ

ααφ

φααθ

(4.153)

tendremos:

( ) ( )( )

( )

( )

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⋅⋅⋅+⋅⋅++

++−⋅

⋅−−−

+−⋅−−−+

++⋅+⋅

+++⋅

+++

⋅⋅=

αα

ω

senhx

hx

hx

Vmb

hx

Vmxx

hhxbV

xxxbhxbxxxb

hxhVv

xxhx

hxhV

hxhh

hhxV

xhxx

k

vv

v

vv

1

3

1

2

1

1

2

1

121

2

21

232

321

21

232321

1

23

21

3

23

213

1

22

21

1

22

211

1

21

21

1

21

211

cos

(4.154)

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++++⋅++++

⋅⋅⋅=2

22

3332

22

1

32221221

21

23

22

21

21 2cos

3

hhxxbb

hsen

xbxbxbxxxmxxhxVk v

ααω (4.155)

Y dado que x1=x2=b1/2 y x3=b2/2 nos quedará:

vv Vbph

hb

h

sen

bbbbmhb

Vk ⋅⋅⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

+⋅++

⋅⋅⋅= ω

αα

ω2

22

22

1

21

21212

1

21

4cos

22

34

3

(4.156)

despejando y sustituyendo:


124

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

+⋅++

+=

2

22

22

1

21

21212

1

21

4cos

22

34

3

2121

2 h

hb

h

sen

bbbbmhb

bbkP

αα

(4.157)

Siendo αtgbhh 212 −=

Figura 4.40 Evolución p/2k con 5 BRT y perfil PPP-PPI.

La figura 4.40 ofrece los resultados de la relación p/2k frente a b/h para un

perfil de herramienta (matriz) combinado con una zona inicial de PPP y una segunda

zona con PPI, en este caso con 10º de inclinación, con un h1 inicial de valor unidad y

en un rango suficientemente amplio de b/h hasta un valor igual a 4.

4.8 Consideración de rozamiento por deslizamiento

4.8.1 Placas Planas Paralelas con enfoque no modular, 3 BRT y rozamiento

de deslizamiento.

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

b/h

p/2k


125

De modo similar al caso de 3 BRT, pero ahora con rozamiento por

deslizamiento: (Fig. 4.41):

Figura 4.41 Configuración geométrica de 3 BRT en PPP.



Y aplicando el TLS:

[ ] VvbPvABPkvDBkvADWdt

dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅== 122312 ωμω& (4.158)

Y como:

1

12

1

1

cos;

θθVvV

senx

AD == (4.159)

h1

x1

b1

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

h2 Φ1θ1

θ1 V23 Vv V12

V3

V2

V1=0


126

1

23

1

11

cos;

φφVvV

senxb

DB =−

= (4.160)

121 ; θtgVvVbAB ⋅== (4.161)

( ) ( );cos;;cos;;

211

22

212

1122

1112

121

112

121

11

1

11

xbh

h

xbh

xbsen

hxh

hxx

senhx

tg−+

=−+

−=

+=

+== φφθθθ

(4.162)

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅+

⋅−+

⋅⋅= 11

1

11

11

1

coscosθμ

φφθθω tgVbP

kVsen

xbkVsen

xW v

vv& (4.163)

( ) ( )( )[ ] VvbPxbPkhxbkhxhVv ⋅⋅⋅=⋅+⋅+−+⋅+⋅⋅= ωμω

112

1

2

12

121

1

(4.164)

Entonces resultará:

( )[ ]11122

121

1

2221 xbPbxbhxkbh

P ⋅+−++⋅= μ (4.165)

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−++⋅=k

xPbbxbhx

bhkP 11

1

22

1

2

1

1

2222

12

μ (4.166)

Y operando:

11

1

22

1

2

1

22222

2 xbbhbxbhx

kP

μ−−++

= (4.167)

Por otra parte:

( )k

PkbxPbbkkxxW

42024 11

1

μμ −=⇒=+−=∂∂ &

(4.168)


127

Y sustituyendo nos queda:

( ) ( )( )Pbkbbhk

bbPhbkk

P222

22

242282

2 μμμ

+−−++= (4.169)

Sustituiremos antes de despejar p/2k:

( ) ( ) ( )=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅−++

−⋅

⋅k

PkbPbk

Pkbbbhk

PkbkhVv

42

4222

422

122

11

μμμμω (4.170)

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−++

−⋅

⋅=

kPbkPb

kPbkb

bhk

PbkkhVv

42

22

22

2 22222222

11

μμμμω (4.171)

bVvPkPbPbPbkhPbbk

hVv

⋅⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++−⋅

⋅= ωμμμμω

4222

2

2222221

1

(4.172)

Por lo que resulta:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++⋅=

kPbPbkhbk

kbhkP

42

21

2

22222

1

1

μμ (4.173)

Operando sobre esta ecuación:

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=+

khPb

hbP

bhhbk

4112 22 μμ (4.174)

( ) ( )( )( )222 142 PbbhbkPhbk μμ +−−=+ (4.175)

Como no es coherente, vamos a eliminar el problema de la optimización

tomando x1=b/2

Si tenemos en x1 = b/2


128

21

21

2

21

21

2

244

2

22

2 bbhhb

bbh

hb

kP

μμ −+

=−

+= (4.176)

Si b=2; h=1; μ=0 entonces p/2k = 1

Si b=2; h=1; μ=1 entonces p/2k = ∞ (adherencia absoluta)

Si b=2; h=1; μ=0,577 entonces p/2k=2,366 a partir, de aquí valores de

adherencia absoluta.

Para resolver la ecuación 4.176 habrá que proceder de forma iterativa,

partiendo de un valor de p, e introduciéndolo en la ecuación para obtener una nueva

p más ajustada. Posteriormente hay que comprobar que el método converge. En las

figuras 4.43 y 4.44, se muestra la evolución de la aplicación del modelo con tres

opciones, en la primera (línea azul), no se ha aplicado ninguna iteración del valor de

p, en la segunda (línea rosa), se ha ajustado el valor de p/2k aplicando una iteración,

y por último, con la tercera opción (línea verde), el número de iteraciones efectuado

ha sido de dos.

Figura 4.43 Evolución de opciones de cálculo de p/2k para 3 BRT.

Figura 4.44 Evolución de opciones de cálculo de p/2k para 3 BRT.

3 BRT; mu=0,3

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

P/2k

P/2k

P/2k iter1

P/2k iter2

3 BRT; mu=0,2

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

P/2k

P/2k

P/2k iter1

P/2k iter2

3 BRT; mu=0,05

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

P/2k

P/2k

P/2k iter1

P/2k iter2

3 BRT; mu=0,1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

P/2k

P/2k

P/2k iter1

P/2k iter2


129

La resolución de la ecuación 4.175 para un valor de μ=0 aporta, como no

podría ser de otra forma, los mismos resultados que en el caso de la curva obtenida

para el rozamiento por adherencia con m=0.

Figura 4.45 Evolución de p/2k, 3 BRT.con μ variable. sin iteración

Si bien, este hecho nos indica que no se han cometido errores en la

resolución de la ecuación, una vez que se le aportan diferentes valores de

coeficiente de rozamiento, se observa que a partir de un μ=0,33 aparecen

singularidades debidas al análisis trigonométrico, e incluso valores negativos para

p/2k, lo que indica que es necesaria, al depender del valor de la carga aplicada,

establecer la realimentación anteriormente indicada para el cálculo definitivo de la

relación adimensional buscada.

Se ha procedido pues, a realizar una y dos iteraciones, dando como

resultado, que si bien el método converge en prácticamente todos los casos, es

suficiente con una iteración para obtener resultados satisfactorios (Figs. 4.45 y 4.46).

3 BRT Coulomb

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

mu=0 mu=0,1 mu=0,2 mu=0,3 mu=0,4 mu=0,5 mu=0,577


130

Figura 4.46 Evolución de p/2k, 3 BRT con μ variable y una iteración.

4.8.2 Placas Planas Inclinadas con enfoque no modular y 3 BRT con rozamiento por

deslizamiento

Igual que el caso anterior, pero ahora con rozamiento por deslizamiento

(Coulomb) (Fig. 4.47):


h1

b1

x1

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

h2

Φ1

θ1

α

3 BRT Coulomb 1 iteración

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

mu=0 mu=0,1 mu=0,2 mu=0,3 mu=0,4 mu=0,5 mu=0,577


131

Siendo el hodógrafo para esta configuración el mismo que en el caso anterior

(Fig. 4.48):


Y aplicando el TLS:

[ ] VvbPvABPkvDBkvADWdt

dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅== ωμω 22312& (4.177)

αθαθ

coscos

212

212

VsenVsenVVVv

=+=

(4.178)

αθ

cos122

senVV = (4.179)

( )αθθααθθ tgsenVVvsensenVVVv +=⇒+= cos

coscos 121212 (4.180)

αθθθ tgsenVvV

senx

AD+

==cos

; 12

1 (4.181)

( )αθφφ tgtgVvV

senxb

DB+

=−

=1cos

; 23

1 (4.182)

( )αθαθ

α tgtgtgVv

VbAB+

==1cos

;cos 2 (4.183)

Y además:

( ) ( );cos;;cos;;

21

22

2

21

22

1

21

21

1

21

21

1

1

1

xbh

h

xbh

xbsen

hx

h

hx

xsen

hx

tg−+

=−+

−=

+=

+== φφθθθ (4.184)

Por lo que:

θ1 V23 Vv V12

V3

V2 V1=0 α

Φ1


132

( ) ( ) bVvPtgtg

tgVvbPtgtg

Vsen

xbk

tgsenV

senx

kW vv ωαθα

θα

μαθφφαθθθ

ω =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

−⋅+

+⋅⋅=

1coscos1coscos11&

(4.185)

Obteniéndose al depejar:

( ) ( )

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−+

+⋅=

αθααθμ

αθφφαθθθ

tgtgtgbb

tgtgsenxb

tgsensenx

kP

1coscos

1coscos21

2

11

(4.186)

Con x1=b/2, y tras sustituir y operar en la ecuación anterior:

(4.187)

Si α=0; h1=h2 P/2k=1/(1-μ)

Si μ= 0 entonces P/2k=1

Si μ= 1 entonces P/2k=∞

Si μ=0,577 entonces P/2k=2,364

Al establecer la comparación oportuna con el caso de 3 BRT con rozamiento

por Coulomb, se aprecia, al igual que en el subapartado anterior, la extrema

coincidencia ante ambos planteamientos (figura 4.49) (Comparativa completa en

Anexo A. figura A.17).

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

⋅=btgbh

tgbh

htgbh

hbtgbhhb

bkP

μαααα

αα 12

12

12

22

2

1

21

2

2cos2cos

212

4244

21

2


133

Figura 4.49 Comparativa para 3 BRT en PPI m-μ.

m=0; mu=0

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6

b/h

p/2k

P/2k(mu) P/2k (m)

m = mu = 0,05

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6

b/h

p/2k

P/2k(mu) P/2k (m)

m = mu = 0,1

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6

b/h

p/2k

P/2k(mu) P/2k (m)

CAPÍTULO 5

METODOLOGÍA DE APLICACIÓN DEL TLS MEDIANTE EL MODELO DE BRT BAJO ENFOQUE MODULAR

A menudo, un planteamiento adecuado representa más de la mitad del camino hacia la solución del problema.

W. Heisenberg

Capítulo 5

METODOLOGÍA APLICADA DEL TLS MEDIANTE EL MODELO DE BRT BAJO ENFOQUE MODULAR

5.1 Enfoque Modular

En este quinto capítulo va a contemplarse la aplicación del modelo de BRT

adoptando el enfoque Modular indicado en la metodología general del capítulo 3. A

diferencia de los estudios anteriores, y dado el carácter modular del nuevo enfoque,

sólo van a ser contemplados tres BRT en cada módulo. La composición de

diferentes módulos equipara en el cálculo a la optimización buscada en los trabajos

previos mediante el aumento del número de BRT. Este es, por lo tanto, uno de los

objetivos destacados de esta nueva metodología a emplear, ya que el carácter

modular del procedimiento posibilita que no se empleen ecuaciones en las que la

complejidad va en aumento progresivamente, puesto que de forma iterativa se irá

calculando el efecto de cada módulo. Cada uno de los módulos responden

geométricamente a una sección del perfil total de estampación considerado (Fig.

5.1).


138

Figura 5.1 Optimización mediante modulación

Con esta disposición geométrica, la optimización se plantea al realizar dentro

de la sección que constituya un módulo, una subdivisión en un número mayor de

módulos con la misma pendiente que pueden ser estudiados de forma separada y

conectados con la velocidad de flujo del material (Figuras A.19 a A.30 y Tablas A.10

a A.21 en Anexo A)

Figura 5.2 Optimización mediante modulación

Un ejemplo del exhaustivo estudio realizado sobre el rango adecuado de

aplicación de la optimización expuesta mediante la división en módulos en zonas de

elevado factor de forma se muestra en la figura 5.2. Se observa cómo para las

condiciones tecnológicas indicadas de rozamiento por adherencia igual a la unidad y

con disposición geométrica PPI, a partir de un factor de forma de 3,5, es más

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

αMódulo

m=1; h1=1; alpha=0º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1

Vv

αMódulo1

Módulo 2

Módulo 3

Metodología de aplicación del TLS mediante el modelo de BRT bajo enfoque Modular. Capítulo 5

139

favorable disponer la división en dos módulos, puesto que los valores de p/2k

obtenidos son menores (media b1+b2), que en el caso de contemplar una zona de

ancho total igual a la suma del ancho de cada uno de ellos (bt=2b1).

Tabla 5.1 Valores optimización mediante modulación.

En segundo lugar, es de destacar el hecho de que el módulo inclinado (que

en adelante será contemplado como módulo I) tiene la superficie vertical derecha (la

superficie libre de fluencia de material en los anteriores estudios) con una altura

menor que la superficie izquierda (disposición contraria a la de los anteriores

trabajos), de tal forma que la geometría inversa será establecida cuando se

disponga de ángulos de inclinación negativos.

Por último, indicar que el módulo limitado por placas planas paralelas (módulo

P) es considerado como un caso particular del módulo I donde el ángulo de

inclinación será igual a cero. (α=0).

Una vez indicadas las diferencias conceptuales empleadas respecto a los

anteriores estudios, estableceremos lo que en esencia va a constituir la metodología

del presente análisis.

Se pretende calcular la energía necesaria a aplicar para garantizar la

realización de un proceso de forja establecido a través de módulos geométricos

sometidos a entrada y salida de material por superficies opuestas y con

desplazamiento vertical descendente por parte de la matriz de estampación.

p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,10 5,20 1,00 5,15 1,97 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,70 2,90 1,50 2,80 1,50 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,97 2,27 2,00 2,12 1,41 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,65 2,05 2,50 1,85 1,46 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,50 2,00 3,00 1,75 1,55 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,43 2,03 3,50 1,73 1,68 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,41 2,11 4,00 1,76 1,83 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,43 2,23 4,50 1,83 1,99 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,46 2,36 5,00 1,91 2,16 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,50 2,50 5,50 2,00 2,34 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,55 2,65 6,00 2,10 2,52 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,62 2,82 6,50 2,22 2,70 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,68 2,98 7,00 2,33 2,89 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,76 3,16 7,50 2,46 3,07 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00


140

Por lo tanto, se busca eliminar las limitaciones de estudios anteriores, en los

que la geometría condicionaba las ecuaciones a aplicar. Con el planteamiento

presente se calculará el parámetro elegido para un perfil complejo de estampación

configurado por una serie de módulos genéricos, sea cual fuere la disposición

geométrica de cada uno de ellos.

A partir de este capítulo, el tratamiento en la aplicación del TLS mediante BRT

difiere de los anteriores, puesto que se contemplan módulos de 3 BRT que irán

acoplándose unos con otros ajustándose a la relación de forma de la pieza a

deformar, y por lo tanto diferenciando aquellos módulos iniciales (sin módulo previo)

y consecuentemente sin fluencia de entrada de material, de aquellos otros, a partir

del segundo módulo, que serán denominados con módulo previo en los que el

material ya proviene de la fluencia de un módulo anterior [Ranatunga, 2006]. En la

aplicación se considerará también las características geométricas que determinan

que se encuentre en una situación PPP ó PPI y el tipo de rozamiento.

5.2 Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo y rozamiento por adherencia

Se inician estas consideraciones sobre el módulo ya fijado de 3 BRT, sin

módulo previo, es decir, en contacto con la condición de contorno de simetría

horizontal definido en la superficie AE y con un rozamiento por adherencia. (Fig.

5.3):


h1

x1 b1

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

h2 Φ1θ1


141

Y el gráfico de velocidades para esta configuración será (Fig. 5.4):


Aplicando el TLS, se define la ecuación de la energía puesta en juego,

determinada por el producto de las velocidades relativas existentes entre zonas

rígidas y las de las mismas zonas, por las superficies de discontinuidad de las

citadas zonas de comportamiento rígido:

[ ] VvbPVvAEvEDmmvDCvABmvDBvADkWdt

dW ⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== 1122322312 ωω&

(5.1)

Siendo V1=Ve=0 (Ve es definida como la velocidad de entrada del material en

el módulo estudiado; Vs será la velocidad de salida del mismo)

1

12

1

1

cos;

θθVvV

senx

AD == (5.2)

1

23

1

11

cos;

φφVvV

senxb

DB =−

= (5.3)

121 ; θtgVvVbAB ⋅== (5.4)

Y como:

θ1 V23 Vv V12

V3

V2

V1=0


142

( ) ( );cos;;cos;;

211

22

212

1122

1112

121

112

121

11

1

11

xbh

h

xbh

xbsen

hx

h

hx

xsen

hx

tg−+

=−+

−=

+=

+== φφθθθ

(5.5)

Tendremos:

(5.6)

( ) ( )( )

( )=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⋅+

−+−

−+−+

++⋅⋅⋅=

1

11

2

1122

11

112211

1

21

21

1

21

211

hx

Vbmh

xbhVxb

xbhxbh

hxVx

hxxk v

vvω

(5.7)

Hay que tener en cuenta que en nuestro caso de PPP, la altura inicial y la

altura final del módulo es la misma (el ángulo de inclinación es nulo), así h1=h2 , y

por lo tanto:

( )[ ]=⋅⋅+−+++⋅⋅= 1

2

1

2

2

2

1

2

1

1

xbmxbhhxh

Vvkω (5.8)

[ ]112

2

1

2

1

1

222 xbmbxbhxh

Vvk ⋅⋅+−++⋅⋅= ω (5.9)

( ) ( )4

202424 111

1

mbxmbxmbbxxW −=⇒=−+=+−=

∂∂ &

(5.10)

Y sustituyendo:

( ) ( ) ( )=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −⋅⋅+

−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⋅++=

42

422

4222min

222

121

21

1

mbmmbmbbh

hVvkW ω& (5.11)

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅+

−+⋅⋅= 11

1

11

11

1

coscosθ

φφθθω tgVbm

Vsen

xbVsen

xkW v

vv&


143

bVvPhmmbhVvkbmhmbb

hVvk

⋅⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−++= ωωω 2

1

22

1

2221

22

1

24

128

222

(5.12)

Obtenemos la misma ecuación desarrollada en 3 BRT, PPP con rozamiento

por semi-adherencia (se mantiene el coeficiente de rozamiento m).

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++=

41

22

21

2

222

1

1

mmbhbhk

P (5.13)

Pero vamos a tomar x1=b/2; así, de la ecuación 5.9:

( ) ( )k

Ph

mbbh

mbhbhk

P24

112

22

12 1

12

2

1

1

=++=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++= (5.14)

Los valores límite de p/2k serán aquellos que vienen determinados para

valores del coeficiente de rozamiento de valores igual a ero en el caso inferior y de

valor unidad en el superior, por lo tanto:

Si m=0; b=2; h1=1 entonces p/2k = 1

Si m=1; b=2; h1=1 entonces p/2k = 1,5

La velocidad de salida del módulo será: (V1=Vv)

;cos 123 VV =φ (5.15)

12323 φsenVVV += (5.16)

;cos

123 φ

VV = (5.17)

Y como


144

;;1

1

1

1

hx

tgh

xbtg =

−= θφ (5.18)

Por otra parte:

θθ tgVVVV

tg 12

1

2 =⇒= (5.19)

De donde

( ) ;cos 3

11

1

1

1

111

113 V

hbV

hxb

hx

VtgtgVsenV

tgVV ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=+=+= φθφ

φθ (5.20)

Figura 5.5 p/2k para 3 BRT en configuración modular PPP.

Como en análisis anteriores, la gráfica de la figura 5.5 muestra la evolución de

p/2k para un proceso en el que se va modificando la relación de b/h, manteniendo,

como no podría ser de otra forma, el área constante.

Puede observarse como en la figura 5.5, la gráfica mayor está determinada

para áreas de deformación muy reducidas, representando cada uno de los

segmentos de la curva azul oscuro, áreas de 0,2, 0,4, 0,6 y 0,8 mm2 de izquierda a

derecha. Sin embargo, el parámetro que define de una forma correcta el

comportamiento de p/2k es la relación b/h, así pues, en la gráfica reducida se puede

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16b (mm)

p/2k


145

apreciar como, manteniendo áreas de trabajo de 40, 50, 60 y 70 mm2, las curvas

alcanzadas son muy similares.

5.3 Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo previo y rozamiento por adherencia

Aparece en este subapartado el módulo previo que interviene en el análisis a

través de la incorporación de la velocidad de salida del material del anterior módulo,

que conformará la denominada velocidad de entrada en el módulo presente (Fig.

5.6).



Fig. 5.7 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP.

Y aplicando el TLS:

h2

x2

b2

B Vv

BRT4

BRT5

BRT6

A

CE D

h3 Φ2θ2

Ve

θ2 V45 Vv V56

V5

Ve

Φ2

V6


146

[ ] VvbPvABmvDBvADkWdt

dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== 255645 ωω& (5.21)

Y además:

;cos

;2

145

2

2

θθV

Vsen

xAD == (5.22)

;cos

;2

156

2

22

φφV

Vsen

xbDB =

−= (5.23)

;; 2152 θtgVVeVbAB ⋅+== (5.24)

Y como:

( ) ( );cos;;cos;;

222

23

322

2223

2222

222

222

222

22

2

22

xbh

h

xbh

xbsen

hx

h

hx

xsen

hx

tg−+

=−+

−=

+=

+== φφθθθ

(5.25)

( ) ( )( )

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅+

−+−

−+−+

++⋅⋅⋅=

2

212

3

2223

22

222322

2

22

22

2

22

222

hx

VVebmh

xbhVxb

xbhxbh

hxVx

hxxkW vvω&

(5.26)

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅= 2122

2

2

2

22

224

22

12

bbmb

hb

hbkP (5.27)

La velocidad de salida del segundo módulo (V6) vendrá determinada

por la velocidad de entrada y su evolución dentro del módulo situado en segunda

lugar:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−+

⋅=

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=⋅+⋅+=

221

111

22

12

2

1

1

1112562456

1

coscos1

φθθαφθ

φφ

θθθα

φθφθ

tgtgtgtgtgtg

V

senV

senV

tgtgtgtg

VsenVsenVVeV

(5.28)


147

La velocidad de entrada procedente de un módulo P es:

1

11 h

bVVe ⋅= (5.29)

Y la velocidad de entrada procedente de un módulo I es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅=

1

111 1 θα

φθtgtgtgtg

VVe (5.30)

De este segundo tipo, si α=0 nos quedaría:

1

11

1

1

1

1

1 1 hb

Vh

xbhx

VVe ⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

⋅= (5.31)

Es decir, encontramos la misma situación para un módulo PPP y uno PPI con

una inclinación nula de su superficie superior. Tomaremos esta segunda ecuación,

como caso genérico.

Como en este caso el segundo módulo es PPP h2=h3

( )=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

−++

+−+

+⋅⋅⋅=

2

2

1

1

2

11

1

1

22

23

222

2

22

22

2

1 hx

hxtg

hxb

hx

mbh

hxbh

xhkVW

αω& (5.32)

Y como x1=b1/2; x2=b2/2


148

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

++

++

+⋅⋅⋅=

2

2

1

1

2

1

1

1

22

22

22

2

222

2

2 22

1

2244

hb

hbtg

h

b

h

b

mbh

hb

h

bhkVW

αω& (5.33)

Y operando sobre esta ecuación:

( )21

2

11

2112

22

22

2

2

22

242 bVP

b

tgbh

hhbmbh

bh

kVW ⋅⋅⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⋅⋅= ω

α

ω& (5.34)

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

11

1

11

1221122

2

22

22

2

224

22

12 α

α

tgbh

tgbhbhhbmb

hb

hbkP (5.35)

Será pues, el valor de p/2k para el segundo módulo PPP con módulo previo

genérico (figura 5.7).

Si α=0; entonces :

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅= 2122

2

2

2

22

224

22

12

bbmb

hb

hbkP

(5.36)

Como ya se ha indicado anteriormente, la influencia geométrica viene

determinada por el factor de forma (b/h), por lo que al ser una relación adimensional

no está afectada de forma determinante por las unidades de trabajo. La relación

buscada es p/2k, también adimensional, la evolución de las soluciones responden a

gráficas iguales, sólo afectadas por la diferente escala de los ejes (véase las gráficas

de la figura 5.7). En todo caso la unidad dimensional considerada será el milímetro,


149

dado que en estudios posteriores se incorpora la tensión de fluencia con unidad de

N/mm2.

Si b1=b2=2; h1=h2=1; entonces p/2k=1

Otro ejemplo:

Si b1=2; b2=3; h2=2 y m=1; entonces p/2k = 1,917

Figura 5.8 p/2k para m=0 y α=0 para 3 BRT en PPP Modular.

Las curvas presentan mínimos para aquellas situaciones en las que la

distorsión de los bloques rígidos es mínima, lo que implica una distorsión menor del

flujo de material establecido. La gráfica menor de la figura 5.8 responde a iguales

factores de forma que los que aparecen en la otra gráfica, pero con áreas de

deformación mayores, sin embargo la evolución de p/2k es prácticamente la misma,

lo que confirma la dependencia de ésta con la relación geométrica entre el ancho (b)

y la altura (h) de la pieza.

5.4 Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, sin módulo previo y con rozamiento por adherencia

Tratamiento análogo al subapartado anterior, pero con PPI, y rozamiento por

adherencia (Fig. 5.9):

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25 30


150


Y el hodógrafo para esta configuración es el mismo que en el caso anterior

(Fig. 5.10):


Y aplicando el TLS:


dW ⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== 1122322312 ωω&

(5.37)

1

2112

1

1

cos;

θα

θsenVV

Vsen

xAD

+== (5.38)

h1

b1

x1

B

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

h2 Φ1

θ1 α

θ1 V23

Vv V12

V3

V2 V1=0

α

Φ1


151

1

2123

1

11

cos;

φα

φsenVV

Vsen

xbDB

+=

−= (5.39)

1

1

1

1

1

21

cos;

coshx

sen

hx

VV

bAB

ααα −== (5.40)

1122

11221

coscos

θαθα

senVVVsenVV

==+

(5.41)

1

212

cosθ

αsen

VV = (5.42)

1

1

221 cos

cosθ

θα

αsen

VsenVV =+ (5.43)

1

112 cos θαα

θtgsen

tgVV

−= (5.44)

Por otra parte, y según la configuración angular del hodógrafo:

( )11

3

1

23

1

12

22φθθπφπ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

senV

sen

V

sen

V (5.45)

( )11

3

1

23

1

12

coscos φθθφ +==

senVVV

(5.46)

112123 coscos θφ VV = (5.47)

1

11223 cos

cosφ

θVV = (5.48)


152

1112211

112212323 coscos

coscos

coscos φθαφφθαθα tgVVsenVVsenVVV +=+=+= (5.49)

Y como:

1122 cos θα senVV = (5.50)

( )1111211121123 coscos φθθφθθ tgsenVtgVsenVV +=+= (5.51)

Además;

1

21

1211221 coscos

θα

θαsenVV

VVsenVV+

=⇒=+ (5.52)

23

1

2123 cos

VsenVV

V =+

=φ

α (5.53)

Por lo que V3, velocidad de salida del módulo será:

( ) ( )( ) =++=++

= 1121111

1

21

3 coscos

φθαφθθθ

αtgtgsenVVtgsen

senVVV (5.54)

( ) 31

11111

1

111 1cos

Vtgtgtgtg

Vtgtgsentgsen

tgVV =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅=+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=θαφθφθα

θααθ (5.55)

Y de la expresión de la potencia (Ec. 5.37):


dW ⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== 1122322312 ωω&

tras sustituir y tomar x1 en el punto medio x1=b/2 nos queda:


153

( ) ( )( ) ( )

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−+−−

+

++⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

+⋅

⋅⋅=

1

1

1

11

22

21

2

1

1

1

11

1

1

22

211

21

21

1

1

1

1

11

1

1

21

211

coscos

cos

cos

hxsen

hxV

mbhxbh

sen

hxsen

hxV

V

xbhxbxb

xhh

sen

hxsen

hxV

V

xxhx

k

ααα

ααα

ααα

ω

(5.56)

( )=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−

+−+

−

+⋅⋅⋅=

1

1

1

1

1

12

22

21

1

11

21

21

1

coscoscos

cos

cos

cos

hxsen

hx

mb

hxsenh

hxb

hxsenh

xhkV

ααααα

α

αα

αω

(5.57)

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−

++−+

−

+⋅⋅⋅=

1

1

1

2

22

222

1

1

221

1

2cos

2cos

2cos

cos4

2cos

cos4

hbsen

hb

mb

hbsenh

hbbb

hbsenh

bhkV

ααααα

α

αα

αω

(5.58)

bVPmbhh

bh

h

bh

btghkV

⋅⋅⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++

+⋅

−⋅⋅

= 12

2

1

2

22

2

1

22

1

1

1

cos244

2ω

ααω

(5.59)

De lo que resulta:

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++

+⋅

−⋅= mbh

h

bh

h

bh

btghbkP

αα 2

2

1

2

22

2

1

22

1

1 cos244

221

2 (5.60)

Si α=0 entonces h1=h2 y tendremos:


154

( )( )

kP

hmb

bh

mbhh

bh

h

bh

bhbkP

241244

0221

2 1

121

2

222

1

221

1

=+⋅

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

++

⋅⋅−⋅

= (5.61)

Ecuación idéntica a la obtenida para PPP 3 BRT modular sin módulo previo y

rozamiento por adherencia, y expresada en la gráfica de la figura 5.10.

Se muestra en la figura 5.11 la curva de evolución de p/2k para áreas

constantes (color negro), formada por la unión de diferentes puntos de igual área de

la serie de curvas correspondientes a diferentes alturas iniciales del módulo.

Figura 5.11 p/2k para 3 BRT en configuración modular PPI.

m=0,05 alpha=15º

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5 6


155

5.5 Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo previo y rozamiento por adherencia

Tratamiento análogo al subapartado anterior, pero con PPI (Fig. 5.12):



(Fig. 5.13):


Y aplicando el TLS:

[ ] 1255645 VbPvABmvDBvADkWdt

dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== ωω& (5.62)

h3

h2

b2

x2

B

Vv

BRT4

BRT5

BRT6

A

CE D

Φ2

θ2 α2

Ve

θ2

V56

Vv V45

V5

Ve

α

Φ2

V6


156

Además:

;cos

;2

25145

2

2

θα

θsenVV

Vsen

xAD

+== (5.63)

;cos

;2

25156

2

22

φα

φsenVV

Vsen

xbDB

+=

−= (5.64)

;cos

1;

cos 222

11

11

21

52

2

2

θααθα

φθθ

α tgsentgtg

tgtgtgV

Vbb

AB−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

== (5.65)

Por otra parte, V5 ha sido obtenida de las siguientes ecuaciones:

245251 cosθα VsenVV =+ (5.66)

24525 cos θα senVVeV += (5.67)

La velocidad genérica de un módulo previo PPI:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅=

1

111 1 θα

φθtgtgtgtg

VVe (5.68)

Así, de la Ec. 5.66: ;cos 2

25145 θ

αsenVVV

+= (5.69)

en la Ec. 5.67: 2

2

25125 cos

cos θθ

αα sen

senVVVeV

++= (5.70)

2252125 cos θαθα tgsenVtgVVeV ⋅⋅+⋅+= (5.71)


157

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅+⋅=−

1

111212225 1

cosθαφθ

θθααtgtgtgtg

VtgVtgsenV (5.72)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅=−

1

11212225 1

cosθαφθ

θθααtgtgtgtg

tgVtgsenV (5.73)

( )222

1

11

21

5 cos1

θααθαφθθ

tgsentgtgtgtg

tgVV

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅

= (5.74)

Por otra parte:

( )22

1

11

16

2

45

2

561

22φθ

θαφθ

φπθπ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

sentgtgtgtg

VV

sen

V

sen

V (5.75)

( )22

1

11

16

2

45

2

561

coscos φθθαφθ

φθ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅−

==sen

tgtgtgtg

VVVV

(5.76)

Y teniendo en cuenta que:

( ) ( );cos;

;cos;;1;;

222

23

322

2223

222

22

22

222

222

22

2

11

1

11

2

22

xbh

h

xbh

xbsen

hx

h

hx

xsen

hxb

tghx

tghx

tg

−+=

−+

−=

+=

+=

−===

φφ

θθφθθ

(5.77)

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅⋅⋅+

+−+

+⋅⋅=

222

1

1121

2

2

2

251

2

22

2

51

2

2

cos1

coscoscos θααθαφθθ

αφα

φθα

θω

tgsentgtgtgtgtgV

bm

senVVsen

xbsenVVsen

xkW& (5.78)


158

( ) ( )( ) ( ) 21

222

1

1121

2

21

2

2

2223

3

2222

1

1121

1

22

222322

22

22

2

2222

1

1121

1

2

22

222

cos1

cos

cos1

cos1

bVP

tgsentgtgtgtgtgV

hx

VVebm

xbhh

sentgsen

tgtgtgtgtgV

V

xbxbhxb

hxh

sentgsen

tgtgtgtgtgV

V

xhxx

kW ⋅⋅⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⋅+

+−+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅+

−−+−

+

++−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅+

+⋅

⋅⋅= ω

θααθαφθθ

α

αθαα

θαφθθ

αθαα

θαφθθ

ω&

(5.79)

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅

⋅+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+

+⋅=

222

1

112

2

22

222

1

112

3

23

222

2

22

22

2 cos1

coscos1

121

2 θααθαφθθ

αα

θααθαφθθ

tgsentgtgtgtgtg

bmsen

tgsentgtgtgtgtg

hhxb

hhx

bkP

(5.80)

Si α1=α2=0; x2=b2/2 y x1=b1/2 entonces h1=h2=h3

p/2k del segundo módulo PPI con un módulo previo genérico (PPI) ó (PPP)

( ) ( ) ( )[ ]12222

22

2212

2

2

2

22

22

2

22

22

2

244

1224

44

421

2bbbmhb

hbbb

hbm

hhb

hhb

bkP

+⋅⋅++⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅

⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+⋅= (5.81)

Si b1=b2=2; h1=h2=1; m=0; entonces P/2k=1

Si b1=2; b2=3; h2=2; m=1 entonces P/2k=1,917

La velocidad de salida (V6) será:

( )2224522

2452452562456 cos

coscos φθθφ

φθθφθ tgsenVVesenVsenVVesenVsenVVeV ++=++=++= (5.82)


159

( )2222

222

21

1121

1

1

1116 cos

coscos

1

1φθθ

θθαα

αθαφθθ

θαφθ

tgsentgsen

tgtgtgtgtgtgV

V

tgtgtgtg

VV +−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+= (5.83)

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+= 22

22

21

112

1

1116 1

11

1φθ

θα

αθαφθθ

θαφθ

tgtgtgtg

tgtgtgtgtgtg

tgtgtgtg

VV (5.84)

Si 11

11

1 θαφθ

tgtgtgtg

A−

+= entonces:

( ) ( ) ( ) 62222

2122

22

2216 1

11

1 Vtgtgtgtg

tgAAVtgtg

tgtgtgAtg

AVV =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅+++= φθ

θααφθ

θααθ (5.85)

En la figura 5.14 se aprecia la evolución de p/2k para la disposición

establecida en este apartado para un ángulo de inclinación nulo. La figura siguiente

(Fig. 5.15) aporta exactamente la misma evolución, que es la que se produce

cuando se considera la configuración PPP Modular (α=0).

Figura 5.14 p/2k para m=0 y α=0 para 3 BRT en PPI Modular con α1=α2=0º.

0

1

2

3

4

0 1 2 3


160

Figura 5.15 p/2k para m=0 y 3 BRT en PPI Modular con α1=15º y α2=0º

La variación que se produce entre ambas situaciones es mínima, debido a

que las condiciones de contorno son muy similares; el coeficiente de rozamiento por

adherencia toma el mismo valor (m=0), el segundo módulo está formado por una

superficie de contacto herramienta-pieza con inclinación nula, y sólo es el primer

módulo, el que presenta una variación en forma de inclinación (15º) en uno de los

dos casos.

La figura 5.16 presenta la superposición de las gráficas mostradas en las

figuras 5.14 y 5.15, observándose la similitud existente entre ellas ya indicada.

Figura 5.16 Composición de gráficas; Modular; 3 BRT; m=0; PPP-PPI (con α1=15º y

α2=0º)

0

1

2

3

4

0 1 2 3

0

1

2

3

4

0 1 2 3

0

1

2

3

4

0 1 2 3


161

5.6 Combinación de módulos. Rozamiento por adherencia

Uno de los objetivos fundamentales de la aplicación del método del TLS con

el modelo de BRT es alcanzar la posibilidad de adaptación a cualquier perfil de las

matrices que se corresponda con los utilizados en casos tecnológicos. Por ello, y

anticipándonos a los estudios que se realizarán en el capítulo 7, en donde se

efectuará una serie de aplicaciones sobre diversos perfiles, se procede en este

subapartado a una primera combinación de dos módulos, uno con PPP y el siguiente

con PPI (Fig. 5.17).

Sobre estos dos módulos, que responden a un perfil concreto recogido en la

figura 5.17, se va a calcular, bajo el presente enfoque modular, el valor que adquiere

la relación adimensional p/2k en diferentes instantes, que responden a diferentes

factores de forma del conjunto, es decir, por la variación geométrica que se genera

al descender el perfil completo, y que será determinado a partir de la disminución del

valor de la altura del módulo inicial (h1).

Estos dos módulos, considerados de forma independiente, responden a las

ecuaciones obtenidas en los apartados 5.2 a 5.5, la vinculación en la combinación

de ambos con la consideración del perfil propuesto vendrá dada por las velocidades

de salida del módulo previo y de entrada del módulo posterior (Fig. 5.18)

En el segundo módulo, las condiciones de contorno también se modifican,

puesto que sí existe en esta ocasión entrada de material, es decir, fluencia del

mismo, y por lo tanto la velocidad de entrada Ve será distinta de cero.


162

Figura 5.17 Módulos independientes para PPP y PPI.

Esta velocidad de entrada Ve será calculada como velocidad de salida del

módulo previo, es la denominada en las ecuaciones del primer módulo como V3, y

que se calcula a partir de la siguiente expresión:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅=

1

1113 1 θα

φθtgtgtgtg

VV (5.86)

Figura 5.18 Combinación de módulos en un perfil PPP-PPI

h1

x1 b1

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

C E D

h2 Φ1 θ1 h2

h1

b1

x

B

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

Φ

θ1α

h1

x1

b1

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

C

h2 Φ1θ1

b2

x

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

h3 Φ

θ2α


163

Figura 5.19 Resultados de p/2k para 2 módulos.

En la figura 5.19 y tabla 5.1 se muestra el resultado para diferentes factores

de forma del valor de p/2k del primer y segundo módulo. Ciertamente, y dado que el

segundo módulo es calculado en función de la fluencia de material del primero, es el

valor de este segundo módulo, el que corresponde al conjunto del perfil en estudio.

La inclinación del segundo módulo es de 15º, la altura h1 igual a 2 mm., y el

coeficiente de rozamiento m=0,1.

Tabla 5.1 Resultados de p/2k para 2 módulos.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

p/2k Módulo1p/2k Módulo2

p/2k Módulo1 p/2k Módulo20,20 20,01 20,270,40 10,03 10,290,60 6,71 6,970,80 5,06 5,331,00 4,07 4,351,20 3,42 3,701,40 2,95 3,251,60 2,61 2,911,80 2,35 2,662,00 2,14 2,462,20 1,97 2,302,40 1,83 2,182,60 1,72 2,082,80 1,62 2,003,00 1,54 1,933,20 1,47 1,883,40 1,41 1,843,60 1,36 1,813,80 1,31 1,794,00 1,28 1,774,20 1,24 1,764,40 1,21 1,764,60 1,19 1,774,80 1,16 1,785,00 1,14 1,795,20 1,13 1,815,40 1,11 1,835,60 1,10 1,865,80 1,09 1,896,00 1,08 1,93


164

5.7 Comparación entre alternativas

El enfoque Modular se basa en el desarrollo de cuatro tipos de módulos que

permiten ser combinados entre sí hasta alcanzar cualquier configuración geométrica

que responda al perfil tecnológico a estudio.

Se han contemplado por lo tanto bajo este enfoque modular (considerando

una división del perfil de la herramienta formada por una combinación de módulos)

cuatro posibilidades claramente diferenciadas en cuanto a la configuración

geométrica y a la posición relativa de cada módulo. Así, tendremos las alternativas

de uso de módulos PPP o PPI, en ambos casos sin módulo, o con módulo previo.

En los cuatro casos planteados hasta el momento se mantiene inicialmente la

consideración de rozamiento por adherencia (en el Anexo A se encuentran

diferentes comparativas con la incorporación de rozamiento por deslizamiento

(Figuras A.18, A.73 a A.89 y Tablas A.74 a A.90)), y no se consideran los efectos de

la temperatura y el endurecimiento del material, que serán planteados en posteriores

apartados.

A modo de resumen de lo planteado hasta el momento en el estudio con

enfoque modular, se presenta en la figura 5.20 la gráfica resultante de las cuatro

diferentes opciones posibles para módulos de 3 BRT con rozamiento por adherencia

en perfiles de placas planas paralelas y planas inclinadas con las dos alternativas de

tener fluencia previa de material (con módulo previo), y sin velocidad de entrada de

material (sin módulo previo).


165

Azul: PPP adh. sin Mód. Rojo: PPI adh. sin Mód.

Marrón: PPP adh. con Mód. Negro: PPI adh. con Mód.

Figura 5.20 Comparativa de 3 BRT Modular

Puede observarse como, tanto para PPP como para PPI, la gráfica que

responde a valores para un segundo módulo presenta una mayor pendiente debido

a la influencia que sobre él ejerce el primer módulo.

Si la comparación se realiza entre segundos ó primeros módulos, se advierte

que en ambos casos la opción de PPI mantiene valores más elevados de la relación

p/2k, lo cual resulta coherente con la situación de mayor distorsión que presentan los

BRT en módulos de este tipo. Cómo es fácilmente deducible, en un módulo PPI con

un ángulo de inclinación positivo (como es este caso), la velocidad de salida del

material del segundo módulo es mayor que el que tendríamos en el caso de estudiar

un caso de PPP (ocurre lo contrario, en el caso de que el módulo PPI tenga una

inclinación denominada por nosotros como negativa, es decir, la que configura que

la altura del módulo en la zona de salida del material (derecha) es mayor que la

altura en la zona de entrada (izquierda)).

0

1

2

3

4

5

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5


166

5.8 Otros casos tecnológicos

Se tratarán en este apartado aquellos otros casos no recogidos con

anterioridad, en los que se contemplan incorporaciones de parámetros que afectan

de forma relevante en el establecimiento del valor de p/2k buscado. Estos

parámetros no son otros que el rozamiento por deslizamiento (Coulomb), el

endurecimiento del material debido a la propia deformación (acritud), y el efecto que

produce la temperatura de forja.

Todos estos nuevos casos contemplados se mantendrán dentro del enfoque

modular y, por lo tanto, con módulos en diferentes configuraciones y posiciones

relativas, además de contemplar el hecho de que los módulos estarán compuestos

de tres bloques triangulares cada uno de ellos, y de que el valor de x1 será igual a la

mitad del ancho del módulo contemplado (b1/2).

5.8.1 Rozamiento por deslizamiento

5.8.1.1 Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo


Se continúa la aplicación con el enfoque modular, en este caso para PPP sin

módulo previo, y a diferencia de estudio anterior, con rozamiento de Coulomb (Fig.

5.21).


h1

x1 b1

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

h2 Φ1θ1


167



Y aplicando el TLS:

[ ] VvbPvABPvDBkvADkWdt

dW⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅== 122312 ωμω& (5.87)

Siendo V1=Ve=0

1

12

1

1

cos;

θθVvV

senx

AD == (5.88)

1

23

1

11

cos;

φφVvV

senxb

DB =−

= (5.89)

121 ; θtgVvVbAB ⋅== (5.90)

( ) ( );cos;;cos;;

211

22

212

1122

1112

121

112

121

11

1

11

xbh

h

xbh

xbsen

hx

h

hx

xsen

hx

tg−+

=−+

−=

+=

+== φφθθθ

(5.91)

Tendremos:

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅+

−+⋅= 111

1

1

11

1

1

1

1

coscosθμ

φφθθω tgVbPk

Vsen

xbk

Vsen

xW& (5.92)

θ1 V23 Vv

V12

V3

V2

V1=0


168

( ) ( )( )

( )=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⋅+

−+−

−+−+

++⋅⋅=

1

111

2

11221

11

112211

1

21

211

1

21

211

hx

VbPkh

xbhVxb

xbhxbk

hhxV

xhxx

μω

(5.93)

( ) ( )( )[ ]=⋅⋅+⋅−++⋅+⋅

= 1

2

122

21

21

1

1 xbPkxbhkhxh

Vμ

ω (5.94)

h1=h2 en nuestro caso de PPP

( )[ ] 111122

121

1

1 222 bVPxbPkbxbhxh

V⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅−++

⋅= ωμ

ω (5.95)

como x1=b1/2

11

22

1

22

1

1

22

2bVPbbPkbhbb

hV

⋅⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

⋅ωμ

ω (5.96)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

= 1

1

2

1

22

212

12

hh

b

hPb

kP

μ (5.97)

De donde:

( )Phbhhb

kP

μ−⋅+

=11

2

1

2

224

2 (5.98)

Si b=2; h=1; μ=0 entonces p/2k = 1

Si b=2; h=1; μ=1 entonces p/2k = ∞


169

Hay que tener en cuenta que a partir de μ=0,557 la adherencia es absoluta,

por lo que para un valor unidad de este tipo de coeficiente es lógico que el valor de

p/2k sea infinito (singularidad).

Si b=2; h=1; μ=0,5 entonces p/2k=2

Hasta este nivel de análisis se ha contemplado exclusivamente el rozamiento

por adherencia (o de Tresca). A partir de este momento, en apartados posteriores se

considerará un nuevo tipo de rozamiento, el rozamiento por deslizamiento, también

denominado de Coulomb.

El rozamiento por deslizamiento está afectado por el valor de la propia carga

aplicada, por lo que la incorporación de este tipo de rozamiento en las ecuaciones

que resuelven los diferentes casos proporciona una mayor complejidad, puesto que

sólo afecta a las superficies externas, mientras que las internas (superficies de

discontinuidad de velocidades) se mantienen con el coeficiente de rozamiento de

adherencia m.

La resolución de este tipo de ecuaciones recurrirá a un tratamiento

matemático iterativo, en el que se parte de una carga inicial con la que se calcula,

una vez despejada, la nueva carga necesaria a aplicar. En la figura 5.23 se ofrece

una comparativa de resultados entre la evolución presentada por esta configuración

sin ninguna iteración (sólo despejando el valor de p en la ecuación de partida), y la

que se presenta con una y dos iteraciones (resultados idénticos en los últimos dos

casos, puesto que se ha estimado un coeficiente de rozamiento nulo).


170

Figura 5.23 Evolución de p/2k para 3 BRT PPP Coulomb sin mód. previo y μ=0

Puede observarse (Fig. 5.23) como las iteraciones permiten establecer un

valor de p/2k más reducido (optimizado), por lo que se muestra la bondad del

tratamiento matemático empleado. Por otra parte, las iteraciones aplicadas

convergen rápidamente, de forma que la aplicación de una segunda iteración no

aporta ventajas sustanciales (incluso coincide en su valor cuando el coeficiente de

rozamiento es nulo (μ=0), por este motivo sólo se aplicará una iteración en el

desarrollo del modelo de BRT.

5.8.1.2 Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo


Aparece en este subapartado el módulo previo que interviene en el análisis a

través de la incorporación de la velocidad de salida del material del anterior módulo,

que conformará la denominada velocidad de entrada en el módulo presente (Fig.

5.24).

3 BRT PPP Coulomb sin mód. previo

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

b/h1

P/2k

P/2k

p/2k iter1

p/2k iter2


171




Y aplicando el TLS, y sabiendo que:

;cos

;2

145

2

2

θθV

Vsen

xAD == (5.99)

;; 2152 θtgVVeVbAB ⋅+== (5.100)

;cos

;2

156

2

22

φφV

Vsen

xbDB =

−= (5.101)

h2

x2

b2

B Vv

BRT4

BRT5

BRT6

A

CE D

h3 Φ2θ2

Ve

θ2 V45 Vv V56

V5

Ve

Φ2

V6


172

( ) ( );cos;;cos;;

222

23

322

2223

2222

222

222

222

22

2

22

xbh

h

xbh

xbsen

hx

h

hx

xsen

hx

tg−+

=−+

−=

+=

+== φφθθθ

(5.102)

Y además:

( ) ( )( )

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅+

−+−

−+−+

++⋅⋅=

2

212

3

2223

22

222322

2

22

22

2

22

222

hx

VVebPkh

xbhVxb

xbhxbk

hhxV

xhxx

W vv μω&

(5.103)

Y como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−+

⋅=

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=⋅+⋅+=

221

111

22

12

2

1

1

1112562456

1

coscos1

φθθαφθ

φφ

θθθα

φθφθ

tgtgtgtgtgtg

V

senV

senV

tgtgtgtg

VsenVsenVVeV

(5.104)

Y teniendo presente que:

1

11 h

bVVe ⋅= (5.105)

la velocidad de entrada procedente de un módulo P es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅=

1

111 1 θα

φθtgtgtgtg

VVe (5.106)

Y la velocidad de entrada procedente de un módulo I es:

1

11

1

1

1

1

1 1 hb

Vh

xbhx

VVe ⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

⋅= (5.107)

De este segundo tipo, si α=0 nos quedaría:


173

( )21

2

11

2112

22

22

2

2

22

24

2 bVpb

tgb

h

hhbpbkh

bh

VW ⋅⋅⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⋅= ω

αμ

ω& (5.108)

Es decir, el mismo caso que si hubiéramos contemplado PPP en el módulo

previo:

Tomaremos este segundo caso más genérico, y como en PPP la altura inicial

y final del módulo coinciden (h2=h3):

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

+⋅⋅−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +⋅

=

2

2

1

1

12

211

2

2

2

2

2

2

22

1

22

21

2

hb

tghb

hh

hhb

h

hb

b

kP

αμ

(5.109)

Y como x1=b1/2; x2=b2/2, actuando sobre esta ecuación:

( )=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

−+

++−

++

⋅⋅=2

2

1

1

2

11

1

1

2

2

2

3

2

22

2

2

2

2

22

1 hx

hx

tg

hxb

hx

Pbkh

hxbk

hxh

VWα

μω& (5.109b)

Operando se obtiene:

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

++

++

+⋅⋅=

2

2

1

1

2

1

1

1

22

22

22

2

222

2

2 22

1

2244

hb

hbtg

h

b

h

b

Pbkh

hb

kh

bhVW

αμω& (5.110)


174

Y como α1=0; tendremos que h1=h2, entonces:

( )( )2122

2

2

2

2

2

21

22

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2444

22

1

44

21

22

21

2 bbhbhb

hbb

hbhb

hb

hb

h

hb

b

kP

+−+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅−

+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +⋅

=μ

μμ (5.111)

Figura 5.26 Evolución de p/2k con μ=0,05 y α=15º.

En la figura 5.26 se aprecia, al igual que en otros casos anteriormente

explicados, las fuertes pendientes que desarrollan las curvas cuando el factor de

forma implica una elevada distorsión de los BRT dentro del módulo considerado, en

este caso para condiciones en las que está presente un coeficiente de rozamiento

de deslizamiento de valor igual a 0,05 (valor reducido) y con un ángulo de inclinación

de las matrices del primer módulo, de 15º.

0

1

2

3

4

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5


175

5.8.1.3 Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo


Se inicia estas consideraciones sobre el módulo ya fijado de 3 BRT, sin

módulo previo y, ahora, rozamiento por deslizamiento (Fig. 5.27):




Y aplicando el TLS:

[ ] VvbPvABPvDBvADkWdt

dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== 122312 ωμω& (5.112)

h1

b1

x1

B

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

h2 Φ1

θ1α

θ1 V23

Vv V12

V3

V2 V1=0

α

Φ1


176

1

2112

1

1

cos;

θα

θsenVV

Vsen

xAD

+== (5.113)

1

2123

1

11

cos;

φα

φsenVV

Vsen

xbDB

+=

−= (5.114)

1

1

1

1

1

21

cos;

coshx

sen

hx

VV

bAB

ααα −== (5.115)

1122

11221

coscos

θαθα

senVVVsenVV

==+

(5.116)

1

212

cosθ

αsen

VV = (5.117)

1

1

221 cos

cosθ

θα

αsen

VsenVV =+ (5.118)

1

112 cos θαα

θtgsen

tgVV

−= (5.119)

Por otra parte, y según la configuración angular del hodógrafo:

( )11

3

1

23

1

12

22φθθπφπ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

senV

sen

V

sen

V (5.120)

( )11

3

1

23

1

12

coscos φθθφ +==

senVVV

(5.121)

112123 coscos θφ VV = (5.122)


177

1

11223 cos

cosφ

θVV = (5.123)

Y como:

1122 cos θα senVV = (5.124)

Además:

1112211

112212323 coscos

coscoscoscos φθαφ

φθαθα tgVVsenVVsenVVV +=+=+= (5.125)

( )1111211121123 coscos φθθφθθ tgsenVtgVsenVV +=+= (5.126)

1

21

1211221 coscos

θα

θαsenVV

VVsenVV+

=⇒=+ (5.127)

23

1

2123 cos

VsenVV

V =+

=φ

α (5.128)

Por lo que V3; velocidad de salida del módulo será:

( ) ( )( ) =++=++

= 1121111

1

21

3 coscos

φθαφθθθ

αtgtgsenVVtgsen

senVVV (5.129)

( ) 31

11111

1

111 1cos

Vtgtgtgtg

Vtgtgsentgsen

tgVV =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅=+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=θαφθφθα

θααθ (5.130)

Y de la expresión de la potencia:

111

11

1

21

1

1

1

21

1

1

coscoscoscosbVP

tgsentgV

PbksenVV

senxb

ksenVV

senx

W ⋅⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++−

++

⋅= ωθαα

θμαφ

αφθ

αθ

ω& (5.131)


178

y desarrollando para x1=b1/2 se obtiene:

( ) 1111

2

2

11

1

2

222

1

221

1 2cos2244 bVP

tgbhPbk

tgbhh

h

bh

h

bhVW ⋅⋅⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

++

⋅⋅= ωαα

μα

ω& (5.132)

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++

+⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−⋅=

11

1

2

22

2

1

22

1

111

2

2244

2cos12

12 α

ααμ tgbh

hh

bh

h

bh

tgbhbb

kP (5.133)

( )[ ]( )[ ] 2111

2

1

2

2121

2

22cos2cos8

2 hbtgbhbhhhhb

kP

⋅−−⋅⋅⋅++⋅

=μαα

α (5.134)

Figura 5.29 Evolución p/2k para μ=0,05 y α=15º.

Como en apartados anteriores, la figura 5.29 expresa los resultados obtenidos

para un coeficiente de rozamiento μ=0,05 y un ángulo de inclinación de las matrices

tanto del primer como del segundo módulo, de 15º.

Los valores de p/2k aumentan es este caso, en el que se ha considerado el

módulo previo como en el caso anterior con una inclinación de 15º, pero aquí el

segundo módulo, sobre el que se calcula la relación adimensional, también está

formado por placas planas con igual inclinación. El material es deformado en mayor

medida, por lo que la distorsión del flujo del mismo es mayor. El modelo es sensible

p/2k

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6


179

a este hecho, y responde, aumentando el valor de la carga necesaria para lograr la

deformación, de ahí las pendientes más evidentes en las curvas de diferente valor

de altura inicial (h1).

5.8.1.4 Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo


Tratamiento análogo al realizado en subapartado anterior, pero con

rozamiento de tipo Coulomb (Fig. 5.30):



(Fig. 31):


Y aplicando el TLS:

h3

h2

b2

x2

B

Vv

BRT4

BRT5

BRT6

A

CE D

Φ2

θ2 α2

Ve

θ2

V56

Vv V45

V5

Ve

α

Φ2

V6


180

[ ] 1255645 VbPvABPkvDBkvADWdt

dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅== ωμω& (5.135)

Y como:

;cos

;2

25145

2

2

θα

θsenVV

Vsen

xAD

+== (5.136)

;cos

;2

25156

2

22

φα

φsenVV

Vsen

xbDB

+=

−= (5.137)

;cos

1;

cos 222

11

11

21

52

2

2

θααθα

φθθ

α tgsentgtg

tgtgtgV

Vbb

AB−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

== (5.138)

Por otra parte, V5 ha sido obtenida de las siguientes ecuaciones:

245251 cosθα VsenVV =+ (5.139)

24525 cos θα senVVeV += (5.140)

y la velocidad V6 para un módulo genérico previo PPI

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅=

1

111 1 θα

φθtgtgtgtg

VVe (5.141)

de la Ec. 5.139 ;cos 2

25145 θ

αsenVVV

+= (5.142)

y en la Ec. 5.140 2

2

25125 cos

cos θθ

αα sen

senVVVeV

++= (5.143)



181

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅=−

1

11212225 1

cosθαφθ

θθααtgtgtgtg

tgVtgsenV (5.145)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅+⋅=−

1

111212225 1

cosθαφθ

θθααtgtgtgtg

VtgVtgsenV (5.146)

( )222

1

1121

5 cos1

θααθαφθθ

tgsentgtgtgtg

tgVV

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅

= (5.147)

Por otra parte:

( )22

1

11

16

2

45

2

561

22φθ

θαφθ

φπθπ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

sentgtgtgtg

VV

sen

V

sen

V (5.148)

( )22

1

11

16

2

45

2

561

coscos φθθαφθ

φθ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅−

==sen

tgtgtgtg

VVVV

(5.149)

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅

⋅⋅++−

++

⋅=222

1

1121

2

2

2

251

2

22

2

51

2

2

cos1

coscoscos θααθαφθθ

αμ

φα

φθα

θω

tgsentgtgtgtgtgV

bPk

senVVsen

xbk

senVVsen

xW&

(5.150)

Y teniendo en cuenta que:

( ) ( );cos;

;cos;;;;

222

23

322

2223

222

22

22

222

222

22

2

111

1

11

2

22

xbh

h

xbh

xbsen

hx

h

hx

xsen

hxb

tghx

tghx

tg

−+=

−+

−=

+=

+=

−===

φφ

θθφθθ

(5.151)


182

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅

+⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+

+⋅⋅=

222

1

112

2

2

222

21

112

3

23

222

2

22

22

1 cos1

coscos1

1θααθαφθθ

αμ

θαα

αθαφθθ

ωtgsentgtgtgtgtg

bPk

tgsen

sentgtgtgtgtg

hhxb

hhx

VW&

(5.152)

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++−⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−++

=

222

1

112

22

222

21

112

3

23

222

2

22

22

cos1

cos12

cos1

1

2

θααθαφθθ

αμ

θαα

αθαφθθ

tgsentgtgtgtgtg

b

tgsen

sentgtgtgtgtg

hhxb

hhx

kP (5.153)

Si α=0º; b1=b2=2; h1=h2=h3=1, entonces P/2k=4.

Figura 5.32 Evolución de p/2k de h1=2 a h1=0,4

Puede observarse en la figura 5.32 como evoluciona el valor de p/2k para

unas condiciones de μ=0,05, α1=15º, α2=0º y desde un estado inicial de h1=2 mm. se

deforma el material hasta una altura del módulo de h1=0,4 mm.

Las curvas presentan un comportamiento similar a las expresadas con las

mismas condiciones tecnológicas y geométricas, pero con rozamiento por

adherencia, aunque este hecho es posible porque el valor del coeficiente de

0

1

2

3

4

5

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5


183

rozamiento es reducido (μ=0,05). Un mayor valor de μ proporciona una evolución

diferente de los valores de p/2k.

Una vez analizados los módulos de forma individual (teniendo presente las

influencias de los módulos previos sobre los segundos módulos), procederemos a

contemplar perfiles PPP-PPI ahora con rozamiento por deslizamiento.

5.8.1.5 Combinación de perfiles PPP-PPI con enfoque modular y rozamiento por

deslizamiento

Al igual que en el análisis efectuado con anterioridad para combinación de

módulos con rozamiento por adherencia, en este apartado la combinación de

módulos se efectuará con la incorporación de rozamiento de deslizamiento. La

combinación de módulos vendrá configurada por dos módulos de los estudiados con

anterioridad bajo el presente enfoque modular. En concreto, un módulo inicial con

geometría PPP, y uno situado a continuación con disposición PPI (Fig. 5.33).

Figura 5.33 Módulos independientes para PPP y PPI.

La vinculación en la combinación de ambos con la consideración del perfil

propuesto vendrá dada por las velocidades de salida del módulo previo y de entrada

del módulo posterior (Fig. 5.34)

h1

x1 b1

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

h2 Φ1θ1 h2

h1

b1

x

B

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

Φ

θ1α


184

Figura 5.34 Combinación de módulos en un perfil PPP-PPI.

En el segundo módulo, las condiciones de contorno también se modifican,

puesto que sí existe en esta ocasión entrada de material, es decir, fluencia del

mismo, y por lo tanto la velocidad de entrada Ve será distinta de cero. En la figura

5.35 y tabla 5.2 se muestra el resultado para diferentes factores de forma del valor

de p/2k del primer y segundo módulo. Ciertamente, y dado que el segundo módulo

es calculado en función de la fluencia de material del primero, es el valor de este

segundo módulo, el que corresponde al conjunto del perfil en estudio. La inclinación

del segundo módulo es de 15º, la altura h1 igual a 2 mm, y el coeficiente de

rozamiento μ=0,1.

Figura 5.35 p/2k frente a b/h para 2 módulos en un perfil PPP-PPI

h1

x1

b1

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

C

h2 Φ1θ1

b2

x

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

h3Φ

θ2α

0

1

2

3

4

5

6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6b/h

p/2k

p/2k Módulo1p/2k Módulo 2


185

Tabla 5.2 Resultados de p/2k para 2 módulos en un perfil PPP-PPI.

.

Puede observarse como el segundo módulo toma valores más elevados que

el módulo previo para p/2k, y cómo, de forma adicional, van incrementándose éstos

con mayor rapidez en función del factor de forma (b/h). Las dos acciones vienen

refrendadas por el hecho de que el módulo previo es determinante en la deformación

de la pieza y del comportamiento de módulos posteriores, puesto que al segundo

módulo le alcanza un flujo de material con la misma dirección, pero de mayor

velocidad, determinado por el campo de velocidades impuesto.

b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 20,05 10,04 20,450,1 5,05 10,46

0,15 3,40 7,150,2 2,58 5,51

0,25 2,09 4,530,3 1,77 3,88

0,35 1,54 3,430,4 1,38 3,10

0,45 1,25 2,850,5 1,15 2,66

0,55 1,08 2,510,6 1,01 2,39

0,65 0,96 2,300,7 0,92 2,23

0,75 0,89 2,170,8 0,86 2,13

0,85 0,84 2,110,9 0,82 2,09

0,95 0,80 2,091 0,79 2,09

1,05 0,78 2,101,1 0,77 2,12

1,15 0,77 2,151,2 0,76 2,19

1,25 0,76 2,231,3 0,76 2,29

1,35 0,76 2,351,4 0,76 2,42

1,45 0,76 2,511,5 0,77 2,60


186

5.8.1.6 Análisis comparativo de rozamiento por adherencia frente a


Se procede a establecer una comparación entre los resultados ofrecidos por

las ecuaciones que gobiernan el cálculo de la relación p/2k en módulos

independientes de configuración PPI con un coeficiente de rozamiento igual a 0,1

(en ambos casos).

Como era de esperar, la curva debida al deslizamiento, dado que depende de

la carga aplicada, muestra una pendiente mayor que la de adherencia, indicando un

incremento más elevado en la carga aplicar para lograr una deformación dada.

Figura 5.36 Comparativa adherencia-deslizamiento.

Los valores contemplados en la comparación que se muestra en la figura 5.36

corresponden a un ángulo de inclinación de 5º, un valor de h1=1 y un coeficiente de

rozamiento de 0,1. Una exhaustiva comparación de ambas situaciones (adherencia-

deslizamiento) se encuentra recogida en el Anexo A. en las figuras A.85 a A.89 y

con valores correspondientes indicados en las Tablas A.76 a A.80.

5.8.2 Introducción del endurecimiento del material

Un segundo parámetro que nos permite incluir la aplicación del método del

TLS mediante BRT es la incorporación de la acritud.

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5b/h

p/2k

adh Módulo1adh. Módulo2desli. Módulo1desliz. Módulo2


187

Se ha determinado al inicio de este capítulo como una de las principales

ventajas de la aplicación del modelo de BRT en la aplicación del TLS, la posibilidad

de considerar la aportación de diferentes parámetros en el cálculo de la relación

adimensional p/2k que nos sirve de referencia. Entre otros parámetros, han sido

fijados el coeficiente de rozamiento en sus dos comportamientos (adherencia y

deslizamiento), o el factor de forma. Se procederá a continuación a mostrar la

evolución de los resultados del proceso de forja, siempre bajo la consideración de

deformación plana, con la introducción del endurecimiento por deformación del

material (acritud).

La determinación, de forma simplificada, de la curva de fluencia es factible a

partir de ecuaciones como σf(φ)=φ0+Cφn , donde C y n son constantes específicas

del material (n es el coeficiente de endurecimiento por deformación). El material

considerado no puede considerarse en esta situación como rígido-plástico perfecto

debido a la incorporación de la acritud, por lo que prescindiremos en este apartado

de la hipótesis de partida correspondiente. La ecuación puede ser calculada sólo

cuando las constantes C y n son conocidas. Para este propósito se adjuntan en la

tabla 5.3 valores de las constantes para diferentes materiales metálicos.

Tabla 5.3 Valores de C y n para diferentes metales o aleaciones.

Material (DIN)

C (N/mm2)

n

St 38 730 0,10

St 42 850 0,23

St 60 890 0,15

20 Mn Cr5 950 0,15

100 Cr6 1160 0,18

Al 99.5 110 0,24

Al Mg3 390 0,19

Cu Zn40 800 0,33

15 Cr3 850 0,09

16 Mn Cr5 810 0,09


188

5.8.2.1 Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con

rozamiento y endurecimiento del material

La aplicación del método se realizará de forma similar a los casos ya tratados

con anterioridad, es decir, bajo enfoque modular y con módulos de configuración PPI

(Placas Planas Inclinadas), puesto que la configuración PPP (Placas Planas

Paralelas) se considera como un caso particular de PPI con un ángulo de inclinación

de valor nulo.

De forma adicional, y siempre presente, se incluye el tipo y el valor del

coeficiente de rozamiento adecuado, ya sea este de adherencia o de deslizamiento.

La diferencia sustancial en la aplicación del modelo proviene de la

consideración de que el material va endureciéndose conforme progresa la

deformación, por lo que en lugar de obtener la relación p/2k para un valor de la

tensión de fluencia a cortadura pura k determinado, ésta va modificándose conforme

progresa el proceso de deformación. Para contemplar esta variación, se irán

calculando en etapas sucesivas de la deformación, el valor de la presión a aplicar,

teniendo presente cual es el valor de la tensión a cortadura pura k en cada instante.

Figura 5.37 3 BRT adh.+endurecimiento. Al995. Curva de proceso. h1=2 a 0,4; m=0.

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6


189

En la figura 5.37 se expresa, por tanto, el valor necesario de la presión

(N/mm2) para realizar el proceso de deformación sobre una aleación de Aluminio

(Al99.5) con valores de las constantes C=110 N/mm2 y n=0,24 para una

configuración sin módulo previo (se contempla un solo módulo). La matriz presenta

una Inclinación de 5º, y el rozamiento por adherencia de valor nulo.

Se observa en la citada figura la “foto fija” del valor de p para diferentes

situaciones geométricas (variación del factor de forma), por lo que la gráfica es

similar a las calculadas en apartados anteriores, dado que la modificación proviene

sólo del hecho de alterar el valor de la tensión de fluencia k.

Figura 5.38 3 BRT desliz.+endurecimiento. Al995. Curva de proceso. h1=2 a 0,4;

μ=0,05.

En la figura 5.38 se expresa, al igual que en la anterior, el valor de la presión

(N/mm2) necesario para realizar el proceso de deformación, pero aquí en este para

un coeficiente de rozamiento por deslizamiento de coeficiente μ=0,05,

manteniéndose inalterados los otros parámetros.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 1 2 3 4 5 6


190

Figura 5.39 3 BRT adherencia + endurecimiento. Al995. h1=2 a 0,4; m=0,05.

En las figuras 5.39 y 5.40 se muestran situaciones análogas a las anteriores,

con una modificación sustancial, en la que se contempla un módulo previo, si bien,

éste mantiene lamisca inclinación de 5º que presenta el segundo módulo. La figura

5.39 expone el caso de rozamiento por adherencia y la figura 5.40 el de rozamiento

por deslizamiento.

Figura 5.40 3 BRT deslizamiento + endurecimiento. Al995. h1=2 a 0,4; μ=0,05.

Las diferentes pendientes que se presentan por parte de las curvas de p/2k

en las gráficas 5.37 a 5.40 responden a lo analizado en cada uno de los apartados

desarrollados al efecto para el estudio de las diferentes situaciones geométrico-

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 1 2 3 4 5 6

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3


191

tecnológicas. Más interesante se considera estudiar la evolución de los valores de la

presión necesaria para lograr la deformación en un proceso completo. La figura 5.41

muestra esta solución para la misma aleación de aluminio contemplada en los casos

anteriores, partiendo de una altura inicial del módulo de 30 mm. y con variación del

ancho (b) del módulo en función del grado de deformación sufrido por la pieza. El

estudio indicado se refleja para diferentes ángulos de inclinación del módulo en un

rango de valores de α de 0º a 10º.

Figura 5.41 Adh.+ endurec. Al995. p con endurecimiento-grado deformación.

Tabla 5.4 Valores Adh.+ endurec. Al995. p con endurecimiento-grado deformación.

p con endurecimiento (Al99.5)h1=30 mm.; m=0; Área variable (mm2); b1= variable alpha variable

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50grado de deformación (%)

p co

n en

dure

cim

ient

o (N

/mm

2)

0º 2º 4º

6º 8º 10º

ángulo alphagrado deform. (%) 0º 2º 4º 6º 8º 10º

1,68 174 180 188 197 210 2263,39 183 190 198 209 224 2435,13 189 197 206 219 235 2576,90 194 202 213 227 246 2718,70 198 208 220 236 257 286

10,54 202 213 226 244 268 30112,40 206 218 233 253 280 31814,31 210 224 240 262 293 33716,25 215 229 248 273 307 35918,23 219 235 256 284 324 38320,25 224 242 265 297 342 41222,31 230 249 275 310 362 44624,42 235 257 286 326 386 48626,57 242 265 297 343 414 53428,77 248 275 311 363 445 59331,02 256 285 326 386 483 66833,31 264 296 342 411 528 76435,67 273 309 361 441 582 89138,08 282 323 382 476 648 106940,55 293 338 406 516 732 133243,08 305 355 433 564 839 175845,68 318 375 464 622 981 256948,34 332 396 500 693 1178 469051,08 347 421 542 781 1469 24383


192

Puede apreciarse en la figura 5.41 como va aumentando el valor de la presión

necesaria al aumentar el grado de deformación de la pieza, y en relación directa, a

su vez, con el coeficiente de rozamiento. Es evidente que los valores alcanzados

(Tabla 5.4) lo son, derivados de la modificación del valor de la tensión de fluencia.

Se ha acompañado la tabla 5.4 de dos columnas en las que se indican el

factor de forma (con una inclinación de 15º) y el valor de p/2k para cada factor de

forma, datos ambos que se representan en la figura 5.42.

La forma de las curvas de la figura 5.41 responde al efecto de compensación

que se ejerce por parte del menor valor de k respecto a la mayor distorsión que se

produce en la pieza cuando el factor de forma es muy reducido (valores menores a

la unidad). La combinación del aumento de k junto a factores de forma elevados

(superiores a 2) componen la pendiente de la zona derecha de las curvas de la

figura indicada, en mayor medida cuando aumenta la inclinación de la superficie de

la zona de contacto pieza-herramienta.

a) b)

Figura 5.42 Adh.+ endurec. Al995. p/2k frente a b/h.

La figura 5.42.a muestra la relación de p/2k en cada instante frente al factor

de forma a partir de los datos indicados en la tabla 5.4. esta gráfica sirve como

elemento de comparación con la estudiada bajo enfoque modular de un caso PPI sin

0

1

2

3

4

0 1 2 3b/h

p/2k

0

1

2

3

4

0 1 2 3

b/h

p/2k


193

módulo previo y con un ángulo de inclinación de 5º (Fig. 5.42.b), resultando ambas

curvas idénticas.

5.8.3 Introducción del efecto de la temperatura

En los procesos de conformado por deformación plástica, tanto la

deformación interna del material como el rozamiento entre pieza y herramienta

contribuyen a una generación de calor que se traduce en un aumento de la

temperatura del proceso.

Hay que tener presente que la elevación de temperatura no ha de ser

excesivamente elevada, de tal forma que influya decisivamente en las propiedades

del material a deformar. En todo proceso de deformación, la magnitud y distribución

del incremento de temperatura depende, sobre todo, de la temperatura inicial del

material y de las estampas; de la generación de calor debida al movimiento

molecular interior de la pieza debido a la deformación; y de las transferencias de

temperaturas entre el material deformado y las matrices utilizadas para la

deformación, así como del material de la pieza y el entorno ambiental que la

envuelve.

Por lo tanto, la temperatura del proceso en cada momento, vendrá dada por la

ecuación:

ERdi TTTTT +++= (5.154)

Siendo

T = Temperatura del material en un momento determinado.

Ti = Temperatura inicial del material.

Td = Incremento de Tª debida a la deformación molecular.

TR = Incremento de Tª debida al rozamiento en la interfase.

TE = Incremento de signo negativo, debido a las transferencias de calor.


194

En la mayoría de los casos puede comprobarse que se compensan las

acciones de los términos TR y TE, por lo que la igualdad que determina el efecto de la

temperatura queda como sigue:

di TTT += (5.155)

El incremento de la temperatura debido a la deformación Td, toma un valor a

partir de la ecuación:

e

d pcJYT

⋅⋅⋅⋅= βε (5.156)

Donde:

Y (N/mm2) = Tensión de fluencia del material.

ε (cal/gr. ºC) = Calor específico del material.

pe (gr/mm3) = Peso específico del material.

J (4.17 J/cal) = Factor de conversión de energía mecánica en térmica.

La tensión de fluencia Y para procesos a temperatura constante vienen

determinadas, para diferentes materiales, por Bargueño [Bargueño, 1988]:

Tabla 5.5 Valores de Y para diferentes materiales.

Aluminio UNE

38115

ε (grado de deformación)

Temperatura

(ºC)

0,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0 114,1 120,5 131,6 148,8 156,1

200 68,3 71,2 76,2 80 82,7 84,2

400 28,7 29,3 29,8 30,3 30,6 31


195

Acero F1110 UNE 36011

ε (grado de deformación)

Temperatura

(ºC)

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0 523,2 548,5 567 582 594,4 605

200 406 429,6 447,3 461,5 473,4

600 254 280 276 272,6

Acero inox. F3507

UNE 36016 ε (grado de deformación)

Temperatura

(ºC)

0,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0 851,2 898,2 977,8 1044,3 1102 1153

200 567 596,4 646 687,4 723,1 754,8

400 434,4 457,1 495,3 527,1 554,6 579

A partir de los valores de la tensión de fluencia para diferentes materiales,

recogidos en la tabla 5.4, se puede obtener un polinomio interpolador de Lagrange,

con el que calcular el valor de la tensión de fluencia del material antes citada para

una determinada temperatura y grado de deformación, que para el caso del Aluminio

UNE 38115 será:

4002000 )200400()0400()200()0(

)400200()0200()400()0(

)4000()2000()400()200()( YTTYTTYTTTY ⋅

−⋅−−⋅−

+⋅−⋅−

−⋅−+⋅

−⋅−−⋅−

= (5.157)

. El valor de la presión p a aplicar se calcula en virtud del área de la pieza a

deformar, dado que se trabaja bajo deformación plana en un proceso de

deformación plástica considerado de volumen constante, por lo que será este área la

que habrá de mantener la citada constancia.


196

La figura 5.43 muestra la evolución de la carga a aplicar para un ejemplo de

deformación sobre aleación de Aluminio UNE 38115, con coeficiente de rozamiento

igual a 0,1, y sobre un perfil geométrico tal, que será estudiado mediante el modelo

de BRT bajo enfoque Modular con una composición de dos módulos, presentando

ambos una misma inclinación de 5º. Este ejemplo se considerará para los cuatro

casos derivados de diferentes combinaciones en el tipo de rozamiento de cada

módulo y de la consideración de que exista o no velocidad de entrada en la dirección

horizontal, de material procedente de un módulo previo.

Figura 5.43 3 BRT Endurecimiento + Temperatura. Coef. Roz.=0,1

5.8.4 Consideración de independencia de la velocidad de entrada

Una última consideración en el desarrollo del enfoque modular, que se

presenta en esta Tesis como cuerpo fundamental de la innovación en la aplicación

del método de los Bloques Rígidos Triangulares, es la de contemplar la velocidad de

entrada de material horizontal en los módulos de forma explícita de las ecuaciones

resultantes, por lo que se podrá definir la misma como un parámetro, que puede ser

fijado de una forma más simple, y por lo tanto, aumentar las posibilidades en la

simulación de casos.

Área variable; Grado def. 25%; h1=3mm.; Tª=0º

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 1 2 3 4 5 6Área

p co

n en

dure

cim

ient

o a

Tª c

te.

adh. Módulo1Desliz. Módulo1Adh. Módulo2Desliz. Módulo2


197

Las soluciones aportadas hasta este apartado son perfectamente aplicables

con una relativa sencillez cuando se presenta el caso de un solo módulo o una

combinación formada por dos módulos, dado que la expresión que define a la

velocidad de salida del primer módulo (V3) ha sido incorporada en la ecuación

general. En todos aquellos casos en los que la complejidad del perfil de la

herramienta obliga a efectuar combinaciones de módulos en un número mayor o

igual a tres sería difícil establecer la continuidad de los diferentes módulos, puesto

que no se puede incorporar de forma explícita las velocidades de entrada y salida de

cada uno de los módulos implicados.

En esta última solución, que podríamos considerar como definitiva, el término

Ve queda claramente delimitado, por lo que la resolución de la ecuación pasa por el

cálculo previo de estas velocidades (a partir de ecuaciones diferentes, según sea el

caso del modelo previo existente) y su ulterior incorporación en la expresión general.


previo, rozamiento por adherencia y Ve Independiente

El presente análisis considera la Ve de una forma independiente, extrayéndola

de la ecuación general, de tal forma que podrá incluirse su valor concreto calculado

como valor de velocidad de salida del módulo previo. (Fig. 5.44).


h3

h2

b2

x2

B

Vv

BRT4

BRT5

BRT6

A

C E D

Φ2

θ2 α2

Ve


198


(Fig. 5.45):


Y aplicando el TLS:

[ ] 1255645 VbPvABmvDBvADkWdt

dW ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅== ωω& (5.158)

( ) ( );cos;

;cos;;1;;

222

23

322

2223

222

22

22

222

222

22

2

11

1

11

2

22

xbh

h

xbh

xbsen

hx

h

hx

xsen

hxb

tghx

tghx

tg

−+=

−+

−=

+=

+=

−===

φφ

θθφθθ

(5.159)

Y tenemos:

;cos

;2

25145

2

2

θα

θsenVV

Vsen

xAD

+== (5.160)

;cos

;2

25156

2

22

φα

φsenVV

Vsen

xbDB

+=

−= (5.161)

;cos

1;

cos 222

11

11

21

52

2

2

θααθα

φθθ

α tgsentgtg

tgtgtgV

Vbb

AB−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

== (5.162)

θ2

V56

Vv V45

V5

Ve

α

Φ2

V6


199

La velocidad del 5º bloque rígido (BRT5) V5. ha sido obtenida de las siguientes

ecuaciones:

245251 cosθα VsenVV =+ (5.163)

24525 cos θα senVVeV += (5.164)

genérico del módulo previo PPI

de 5.163 ;cos 2

25145 θ

αsenVVV

+= (5.165)

en 5.164 2

2

25125 cos

cos θθ

αα sen

senVVVeV

++= (5.166)


( ) 212225 cos θθαα tgVVetgsenV ⋅+=− (5.168)

( )222

215 cos θαα

θtgsen

tgVVeV

−⋅+

= (5.169)

Y así:

( )=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅+⋅⋅+

+−+

+⋅⋅=

222

21

2

2

2

251

2

22

2

51

2

2

coscoscoscos θααθ

αφα

φθα

θω

tgsentgVVeb

msenVV

senxbsenVV

senx

kW& (5.170)

( ) ( )( ) ( ) =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅+

⋅⋅

+

+−+−

⋅++

−−+−

+

++−

⋅+++⋅

⋅⋅=

222

21

2

2

2223

3

2222

211

22

222322

22

22

2

2222

211

2

22

222

coscos

cos

cos

θααθ

α

αθαα

θ

αθαα

θ

ω

tgsentgVVebm

xbhh

sentgsen

tgVVeV

xbxbhxb

hxh

sentgsen

tgVVeV

xhxx

kW& (5.171)


200

Por lo que:

( )21

222

21

2

2

2222

211

3

23

2222

2

22

22

coscos

cosbVP

tgsentgVVebm

sentgsen

tgVVeV

hhxb

hhx

k ⋅⋅⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅+

⋅⋅

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅++⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+

+

⋅⋅= ω

θααθ

α

αθαα

θ

ω (5.172)

Y así:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−⋅+

⋅⋅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+

+⋅=

222

21

2

22

222

211

3

23

222

2

22

22

12 coscoscos21

2 θααθ

αα

θααθ

tgsentgVVebm

sentgsen

tgVVeV

hhxb

hhx

VbkP

(5.173)

En la figura 5.46 se ofrece una comparativa del comportamiento de esta

configuración modular con introducción de forma externa de la velocidad de entrada,

para distintos valores del ángulo de inclinación de la matriz, manteniendo constante

una coeficiente de rozamiento por adherencia de 0,05 y una altura inicial del módulo

de 2 mm.

Se ha establecido un módulo previo de altura inicial, a su vez de valor 2 mm. y

con disposición PPP.

Figura 5.46 Comparativa segundo módulo.

m=0,05; h1=2

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

alpha=0 alpha=5alpha=10 alpha=15alpha=20


201

En la siguiente gráfica (Fig. 5.47) se muestra el comportamiento del primer

módulo indicado en el párrafo anterior, ambos módulos tienen un ancho b variable,

puesto que la altura se mantiene constante.

Figura 5.47 Comparativa primer módulo.

El comportamiento de estas ecuaciones son identificables con aquellas

soluciones desarrolladas para cada uno de los casos anteriores bajo enfoque

Modular, con la ventaja adicional en este nuevo tratamiento de que sólo es

necesario conocer la velocidad de salida del módulo previo (la dirección del flujo

siempre es horizontal, derivada de las condiciones de contorno).


previo, rozamiento por deslizamiento y Ve Independiente

Al igual que en el subapartado anterior, ahora, el análisis considera la Ve de

una forma independiente, extrayéndola de la ecuación general, de tal forma que

pueda incluirse su valor concreto calculado como valor de velocidad de salida del

módulo previo. (Fig. 5.48).

m=0,05; h1=2

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



202



(Fig. 5.49):


( ) ( );cos;

;cos;;1;;

222

23

322

2223

222

22

22

222

222

22

2

11

1

11

2

22

xbh

h

xbh

xbsen

hx

h

hx

xsen

hxb

tghx

tghx

tg

−+=

−+

−=

+=

+=

−===

φφ

θθφθθ

(5.174)

;cos

;2

25145

2

2

θα

θsenVV

Vsen

xAD

+== (5.175)

h3

h2

b2

x2

B

Vv

BRT4

BRT5

BRT6

A

CE D

Φ2

θ2 α2

Ve

θ2

V56

Vv V45

V5

Ve

α

Φ2

V6


203

;cos

1;

cos 222

11

11

21

52

2

2

θααθα

φθθ

α tgsentgtg

tgtgtgV

Vbb

AB−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

== (5.176)

;cos

;2

25156

2

22

φα

φsenVV

Vsen

xbDB

+=

−= (5.177)

Y aplicando el TLS:

[ ] 1255645 VbPvABPkvDBkvADWdt

dW⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅== ωμω& (5.178)

( )=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅+⋅⋅+⋅

+−+⋅

+⋅=

222

21

2

2

2

251

2

22

2

51

2

2

coscoscoscos θααθ

αμ

φα

φθα

θω

tgsentgVVeb

PksenVV

senxb

ksenVV

senx

W&

(5.179)

( ) ( )( ) ( ) =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅+

⋅⋅

+

+−+−

⋅++

−−+−

⋅+

++−

⋅+++⋅

⋅

⋅=

222

21

2

2

2223

3

2222

211

22

222322

22

22

2

2222

211

2

22

222

coscos

cos

cos

θααθ

αμ

αθαα

θ

αθαα

θ

ω

tgsentgVVebP

xbhh

sentgsen

tgVVeV

xbxbhxb

k

hxh

sentgsen

tgVVeV

xhxx

k

W& (5.180)

Y tenemos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅=

1

111 1 θα

φθtgtgtgtg

VVe (5.181)

24525 cos θα senVVeV += (5.182)

245251 cosθα VsenVV =+ (5.183)


204

( )222

215 cos θαα

θtgsen

tgVVeV

−⋅+

= (5.184)

V5 ha sido obtenida de las siguientes ecuaciones:


( ) 212225 cos θθαα tgVVetgsenV ⋅+=− (5.186)

genérico del módulo previo PPI

de 5.185 ;cos 2

25145 θ

αsenVVV

+= (5.187)

en 5.186 2

2

25125 cos

cos θθ

αα sen

senVVVeV

++= (5.188)

Y así:

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+

+

⋅=

2222

211

2222

211

3

23

222

2

22

22

2

coscos

cos21

2α

μθαα

θ

αθαα

θ

ptgsen

tgVVeV

sentgsen

tgVVeVh

hxbh

hx

bkp (5.189)

Figura 5.50 Comparativa segundo módulo.

mu=0,05; h1=2

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



205

En la figura 5.50 se ofrece una comparativa del comportamiento de esta

configuración modular con introducción de forma externa de la velocidad de entrada,

para distintos valores del ángulo de inclinación de la matriz, manteniendo constante

una coeficiente de rozamiento, ahora de tipo Coulomb, de valor igual a 0,05 y una

altura inicial del módulo de 2 mm.

Se ha establecido un módulo previo de altura inicial, a su vez, de valor 2 y con

disposición PPP.

En la siguiente gráfica (Fig. 5.51) se muestra el comportamiento del primer

módulo indicado en el párrafo anterior, ambos módulos tienen un ancho b variable,

puesto que la altura se mantiene constante.

Figura 5.51 Comparativa primer módulo.

En resumen, respecto a las ventajas que aporta esta nueva consideración en

la aplicación de las ecuaciones, es de destacar que, manteniendo los mismos

comportamientos de los anteriores desarrollos, y por tanto expuesta a las mismas

hipótesis y restricciones ofrece un elevado potencial de aplicación a perfiles de

herramienta de uso tecnológico, puesto que no hay que ir acoplando de forma

recursiva los diferentes tipos de ecuaciones dependientes de los módulos

mu=0,05; h1=2

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



206

considerados, sino que en estas ecuaciones se incluye el valor de la velocidad de

salida del módulo previo, sirviendo éste de nexo de unión (en las condiciones

tecnológicas) entre cada uno de los módulos considerados. Los aspectos definidos

como no tecnológicos (geométricos) se incluirán en las distintas ecuaciones en virtud

de los parámetros geométricos que los definen.

CAPÍTULO 6

ESTUDIO DE SENSIBILIDAD Y COMPARACIÓN DEL MÉTODO DEL TLS MEDIANTE MODELO DE BRT CON MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Parece que si se obra para tener armonía en una ecuación, y realmente se tienen ciertas intuiciones, se está sobre el buen camino. Si no hay un completo acuerdo entre los resultados del trabajo y la experimentación, uno no debería desalentarse, pues la discrepancia puede deberse a detalles menores que se analizaron incorrectamente y que se aclararán con el posterior desarrollo de la teoría.

P. A. M. Dirac

Capítulo 6

ESTUDIO DE SENSIBILIDAD Y COMPARACIÓN DEL MÉTODO DEL TLS MEDIANTE MODELO DE BRT CON MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

6.1 Análisis de sensibilidad

Una vez obtenidas las expresiones matemáticas que conducen al cálculo de

la relación adimensional p/2k, tanto para módulos aislados como para la

combinación de ambos, se va a proceder a mostrar los resultados obtenidos

mediante gráficas, estableciendo un estudio comparativo que refleje la evolución y el

comportamiento de las citadas ecuaciones.

En cada uno de los casos analizados se considerará la modificación de un

único parámetro diferente (longitud de los módulos, altura de los mismos, ángulo de

inclinación, etc.).

6.2 Influencia de la altura final del segundo módulo (h3) para h3<h2

En el caso de estudio que sigue a continuación, se considerará que la altura

h3 del segundo módulo (Fig. 6.1) es la que presenta variación (modificando por lo


210

tanto el ángulo de inclinación del segundo módulo), manteniéndose constante el

resto de parámetros.

El módulo inicial está formado por placas planas paralelas:

Figura 6.1 Configuración de 2 módulos y variación de la altura final del segundo

módulo

Figura 6.2 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con m=0.

b1 b2

h1

h3 h2

m=0; b1=b2=1; h1=h2=1

0

1

2

3

4

5

0,10,20,30,40,50,60,70,80,91 h3

p/2k Módulo1

Módulo2

Estudio de sensibilidad y Comparación del método del TLS mediante modelo de BRT frente a MEF. Capítulo 6

211


Tabla 6.1 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo.

Ante estos resultados, recogidos en las tabla 6.1 y en la figuras 6.2 y 6.3, se

hace patente el hecho de que cuanto mayor es la inclinación del segundo módulo (h3

menor), se hace necesaria una mayor carga para ejecutar la deformación necesaria,

hecho que mantiene una coherencia elevada con la aplicación del método, puesto

que los BRT presentan una distorsión geométrica mayor. Por otra parte, el valor

resultante del primer módulo se mantiene constante dado que no se aplica ninguna

modificación geométrica sobre él.

Se han tomado valores extremos de rozamiento (m=0 y m=1) para expresar

con una mayor claridad la influencia de este efecto sobre la carga necesaria. Puede

observarse cómo, al aumentar la inclinación de la cara superior, aumenta la

superficie de trabajo en la que actúa el rozamiento por semiadherencia, por lo que el

valor de la carga mínima necesaria irá aumentando de forma consecuente.

m=1; b1=b2=1; h1=h2=1

0

1

2

3

4

5

0,10,20,30,40,50,60,70,80,91 h3

p/2k

Módulo1Módulo2

m=0 m=1b2 Módulo1 Módulo2 b2 Módulo1 Módulo2

1 1,25 1,25 1 1,50 2,000,91 1,25 1,38 0,91 1,50 2,170,82 1,25 1,53 0,82 1,50 2,380,73 1,25 1,70 0,73 1,50 2,630,63 1,25 1,90 0,63 1,50 2,940,53 1,25 2,15 0,53 1,50 3,340,42 1,25 2,51 0,42 1,50 3,920,3 1,25 3,11 0,3 1,50 4,84

0,16 1,25 4,70 0,16 1,50 6,90


212

6.3 Influencia de la longitud del segundo módulo

En este otro caso, es la longitud b2 del segundo módulo genérico la que se

modifica, estableciéndose un mínimo (elipse en las figuras 6.5 y 6.6) para aquella

configuración geométrica que se aproxima en mayor medida a la disposición óptima

de los BRT. El primer módulo se mantiene constante (figura 6.4).

Figura 6.4 Configuración dos módulos y variación de longitud final del segundo

módulo


b1 b2

h1

h3 h2

m=0; b1=1; h1=h2=1; h3=0,5

0

1

2

3

4

5

0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6b2

p/2k

Módulo1Módulo2


213



6.4 Influencia de la altura final del segundo módulo (h3) para h3>h2

Con este nuevo análisis se pretende mostrar cómo, introduciendo el valor

adecuado de inclinación que provoca el cambio del valor de la altura h3 del segundo

módulo (Fig. 6.7) -en este caso, aunque también podría aplicarse sobre el primer

módulo, como se verá más adelante-, se van obteniendo valores mayores de p/2k

(figuras 6.8 y 6.9 y tabla 6.3), al igual que ocurre con la inclinación inversa ya

estudiada con anterioridad.

m=1; b1=1; h1=h2=1; h3=0,5

0

1

2

3

4

5

0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6b2

p/2k

Módulo1Módulo2


0,8 1,00 2,68 0,8 1,50 3,981 1,00 2,25 1 1,50 3,50

1,2 1,00 2,03 1,2 1,50 3,281,4 1,00 1,92 1,4 1,50 3,201,6 1,00 1,87 1,6 1,50 3,191,8 1,00 1,86 1,8 1,50 3,22

2 1,00 1,87 2 1,50 3,292,2 1,00 1,91 2,2 1,50 3,382,4 1,00 1,95 2,4 1,50 3,48


214

Figura 6.7 Configuración dos módulos y variación altura final del segundo módulo



m=0; b1=b2=1; h1=h2=1

0

1

2

3

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8b2

p/2k

Módulo1Módulo2

m=1; b1=b2=1; h1=h2=1

0

1

2

3

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8b2

p/2k

Módulo1Módulo2

b1 b2

h1

h3

h2


215


6.5 Influencia de la longitud del primer módulo

Se modificará, en este nuevo estudio, la longitud del primer módulo (Fig.

6.10), de placas planas paralelas, poniendo de manifiesto su influencia sobre la

carga calculada (Figuras 6.11 y 6.12 y tabla 6.4).

El ángulo de inclinación del segundo módulo se mantiene constante e igual a

10º. Sin embargo puede apreciarse que, aunque no se modifica geométricamente el

segundo módulo, éste no mantiene un valor constante, prueba de la influencia que

ejerce el primer módulo sobre el segundo, que viene dada por las velocidades de

flujo del material entre los módulos.

Figura 6.10 Configuración dos módulos y variación longitud inicial del primer módulo

b1 b2

h1

h3 h2


1 1,25 1,25 1 1,50 2,001,08 1,25 1,12 1,08 1,50 1,841,17 1,25 0,99 1,17 1,50 1,711,27 1,25 0,87 1,27 1,50 1,581,36 1,25 0,75 1,36 1,50 1,471,47 1,25 0,62 1,47 1,50 1,361,58 1,25 0,49 1,58 1,50 1,261,7 1,25 0,34 1,7 1,50 1,17

1,84 1,25 0,18 1,84 1,50 1,08


216




m=0; b2=1; h1=h2=1

0

1

2

3

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8b2

p/2k

Módulo1Módulo2

m=1; b2=1; h1=h2=1

0

1

2

3

4

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8b2

p/2k

Módulo1Módulo2


0,4 2,60 2,79 0,4 2,70 3,110,6 1,82 2,03 0,6 1,97 2,520,8 1,45 1,69 0,8 1,65 2,36

1 1,25 1,53 1 1,50 2,381,2 1,13 1,47 1,2 1,43 2,501,4 1,06 1,47 1,4 1,41 2,701,6 1,02 1,51 1,6 1,42 2,961,8 1,00 1,60 1,8 1,45 3,25

2 1,00 1,72 2 1,50 3,60


217

6.6 Influencia de la longitud del segundo módulo

Ahora será la longitud del segundo módulo genérico la que va a ser modificada,

manteniendo inalterable el primer módulo, en este caso también genérico (inclinado)

(Fig. 6.13). El mínimo de p/2k para este segundo módulo se presenta cercano a la

relación b/h de valor unidad (círculos de las figuras 6.14 y 6.15).

Figura 6.13 Configuración dos módulos y variación longitud del segundo módulo


b1 b2

h1

h3 h2

m=0; b1=2; h1=1

0

1

2

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4b2

p/2k

Módulo1Módulo2


218



Aparece, de igual modo, el valor mínimo obtenido para aquella configuración

que optimiza la posición de los BRT, y se aprecia que toman el mismo valor de la

carga p/2k aquellas geometrías que mantienen el mismo factor de forma

(proporcional) y un rozamiento nulo (puesto que la aparición del rozamiento afecta a

los valores absolutos de las dimensiones), aún con distintas dimensiones (Figs 6.14

y 6.15) (Tabla 6.5). Hay que tener en cuenta que, aunque el ángulo de inclinación va

disminuyendo (en el primer módulo es constante y de valor igual a 10º), el aumento

de la longitud de la superficie superior implica el aumento de la carga necesaria para

efectuar la deformación.


0,8 1,27 1,43 0,8 1,89 2,371 1,27 1,31 1 1,89 2,34

1,2 1,27 1,28 1,2 1,89 2,381,4 1,27 1,28 1,4 1,89 2,471,6 1,27 1,31 1,6 1,89 2,591,8 1,27 1,36 1,8 1,89 2,72

2 1,27 1,42 2 1,89 3,862,2 1,27 1,48 2,2 1,89 3,012,4 1,27 1,56 2,4 1,89 3,17

m=1; b1=2; h1=1

0

1

2

3

4

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4b2

p/2k

Módulo1Módulo2


219

6.7 Influencia de la longitud del segundo módulo con h3>h2

De igual forma que en el caso estudiado con anterioridad en el que se

presentaban variaciones en la altura h3 y, por lo tanto, el ángulo de inclinación se

veía modificado, aquí se presenta igualmente esta disposición geométrica con

inclinación inversa. Así, aunque lo que se modifica es la longitud del segundo

módulo (Fig. 6.16), en todas las situaciones el material libre “diverge”, y por lo tanto

aparecen valores negativos en el segundo módulo para p/2k (Figuras 6.17 y 6.18 y

tabla 6.6), por lo que las condiciones en las que fluye el material se asemeja a una

cuasi-indentación que provoca el anómalo comportamiento indicado. Cuando

aparece el rozamiento, éste compensa en gran medida los valores negativos del

efecto de la divergencia y, por lo tanto, cambia la pendiente de la curva.

Figura 6.16 Configuración dos módulos y variación longitud del segundo módulo con

h3>h2

b1 b2

h1

h3 h2


220

Figura 6.17 Comparativa de p/2k para 1º, 2º módulo y combinación de ambos

Figura 6.18 Comparativa de p/2k para 1º y 2º módulo con m=1.

Como en casos anteriores, los mínimos se muestran enmarcados con círculos

de color (Figs. 6.17 y 6.18), estando aproximadamente alrededor del valor unidad.


m=1; b1=2; h1=1

0

1

2

3

4

0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4b2

p/2k

Módulo1Módulo2

m=0; b1=2; h1=1

0

1

2

0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4b2

p/2k

Módulo1Módulo2


0,8 1,27 1,43 0,8 1,89 2,371 1,27 1,31 1 1,89 2,34

1,2 1,27 1,28 1,2 1,89 2,381,4 1,27 1,28 1,4 1,89 2,471,6 1,27 1,31 1,6 1,89 2,591,8 1,27 1,36 1,8 1,89 2,72

2 1,27 1,42 2 1,89 3,862,2 1,27 1,48 2,2 1,89 3,012,4 1,27 1,56 2,4 1,89 3,17


221

6.8 Influencia de la longitud del segundo módulo con primer módulo inclinado

En el caso presente, lo que es modificado es la longitud del segundo módulo

inclinado (Fig. 6.19) -igual que en el caso anterior-, si bien en este segundo módulo

analizado la geometría de los mismos realiza un efecto de “convergencia” respecto a

la fluencia del material y, por lo tanto, serán positivos todos los valores obtenidos

para p/2k (figuras 6.20 y 6.21 y tabla 6.7) -la inclinación del primer módulo es de 10º-

.

Figura 6.19 Configuración dos módulos y variación longitud del segundo módulo con

h3<h2


b1 b2

h1

h3 h2

m=0; b1=2; h1=1

0

1

2

3

4

5

0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4b2

p/2k

Módulo1Módulo2


222



6.9 Influencia del desplazamiento de la matriz de estampación -evolución del proceso-

Como último caso se presentará una combinación de dos módulos, el primero

de placas planas paralelas y el segundo de placas planas inclinadas, en donde la

variación se va a manifestar en la reducción simultanea de la altura de ambos

módulos (Fig. 6.22), por lo que se expresa la evolución “real” del proceso de

estampación de forma que las placas irán descendiendo verticalmente y el material

sobrante deberá ir fluyendo por la superficie libre, análoga en estas disposiciones al

cordón de rebaba (Figuras 6.23 y 6.24 y tabla 6.8).

m=1; b1=2; h1=1

0

1

2

3

4

5

6

7

0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4b2

p/2k

Módulo1Módulo2


0,8 0,87 4,32 0,8 1,31 6,341 0,87 3,43 1 1,31 5,16

1,2 0,87 2,95 1,2 1,31 4,541,4 0,87 2,68 1,4 1,31 4,201,6 0,87 2,52 1,6 1,31 4,011,8 0,87 2,43 1,8 1,31 3,92

2 0,87 2,39 2 1,31 3,892,2 0,87 2,38 2,2 1,31 3,902,4 0,87 2,39 2,4 1,31 3,94


223

Figura 6.23 Configuración dos módulos y desplazamiento de la matriz de

estampación. (variación en altura)



h2

h1 h3

b1 b2

b1=b2=2

0

1

2

3

0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2b2

p/2k

Módulo1Módulo2

b1=b2=2

0

1

2

3

4

5

6

0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2b2

p/2k

Módulo1Módulo2


224


Es reseñable que, de forma natural, una reducción de la altura de los módulos

implica una variación de p/2k, debido al diferente grado de distorsión de los BRT

contemplados en el módulo implicado, alejándose cada vez en mayor medida de la

disposición geométrica que aporta el mínimo óptimo. Este hecho se observa con

más intensidad en el caso de la presencia de rozamiento con adherencia completa

(m=1).

Este caso evidencia, a diferencia de los anteriores, una historia de la carga a

aplicar por medio de una matriz que descienda a velocidad constante. Tiene, por lo

tanto, un carácter “dinámico”, a diferencia de las disposiciones geométricas

“estáticas” y a su vez diferentes a las que se presentan en todos los casos

previamente contemplados. El valor de partida de h1=h2 es igual a la unidad.

Una vez analizados todos los resultados expresados en tablas anteriores, es

de destacar el comportamiento coherente que ofrece el nuevo enfoque modular, que

permite calcular de forma iterativa la carga mínima necesaria para obtener la

deformación plástica de una pieza sometida al desplazamiento de un perfil de

estampación complejo previamente determinado.

Se establece, a partir de los resultados anteriores, un análisis de sensibilidad

general de la influencia de los diferentes factores que entran en juego:


2 1,25 1,53 2 1,50 2,381,8 1,18 1,49 1,8 1,45 2,441,6 1,11 1,46 1,6 1,42 2,551,4 1,06 1,47 1,4 1,41 2,741,2 1,02 1,54 1,2 1,43 3,05

1 1,00 1,72 1 1,50 3,600,8 1,02 2,19 0,8 1,65 4,67


225

a) Manteniendo el módulo inicial constante:

a.1. Para módulos iniciales con disposición de placas planas paralelas y con

factor de forma b/h=1, el mínimo de p/2k para el segundo módulo se obtiene

con una disposición idéntica de módulo PPP (ángulo de inclinación de valor

nulo), y en algún caso con el mismo valor de p/2k, como puede apreciarse en

las configuraciones geométricas indicadas en las figuras 6.2 y 6.3.

a.2. En caso de que el segundo módulo sea inclinado (PPI), el valor de p/2k

de este segundo módulo presenta un mínimo para factores de forma de

b/hinicial=1,8 (con m=0) y b/hinicial=1,6 (para m=1) -véase figuras 6.5 y 6.6-,

factores de forma que establecen un compromiso en la inclinación de las

superficies de contacto entre los bloques que conforman el módulo,

ajustándose a un valor de aproximadamente 40º sin rozamiento, y alrededor

de los 35º con rozamiento por adherencia, en la inclinación de las dos

superficies.

a.3 En módulos iniciales inclinados (PPI) con inclinación positiva (mayor altura

inicial del módulo), y con segundo módulo inclinado también con ángulo

positivo, aparecen valores del ancho b2 que establecen un mínimo de p/2k, si

bien en este caso para b2=1,2 (con m=0) y b2=1 (para m=1). Este hecho es

producido por la menor cantidad de material que fluye procedente del módulo

previo.

En el caso de que el segundo módulo inclinado tenga la inclinación negativa,

se mantiene la aparición de un mínimo con m=1 para b2=1, y para m=0, de b2=1,2.

Para módulos iniciales inclinados con inclinación negativa y con segundos

módulos inclinados con inclinación positiva, se mantiene la aparición de un mínimo

que, con la disposición geométrica estudiada, se concentra en un b2=2,2 (con m=0) y

b2=2 (para m=1).


226

b) Manteniendo constante el segundo módulo inclinado y con inclinación positiva.

Como en los casos anteriores, es notable la presencia de un mínimo en el

estudio de la influencia del otro módulo. En esta ocasión, el mínimo queda fijado

para un valor de b2=1,4 (con m=0) y de b2=0,8 con (m=1), confirmándose el efecto

que produce el rozamiento en sentido contrario respecto al ejercido por el factor de

forma.


227

6.10 Glosario de ecuaciones con modelo de BRT

Enfoque No Modular

1. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular y 3 BRT

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++=

41

22

21

2

22

12

1

11

mmb

hhbk

P (6.1)

con( )421

1mb

x−⋅

= (6.2)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

212

21

22

1

2

1

11

mbhhbk

P (6.3)

con x1 = b1/2.


( )[ ]21212121

222

21

21

1

23322322

12

xxxmxxbxbxbxhxhbk

P +⋅++−−+++⋅⋅⋅

= (6.4)

con

43

21

23

21 mm

mb

x−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

= (6.5)

y ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅

+⋅=

434

2322 mm

mbx (6.6)


228


( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−−++⋅+++++−−−++++

⋅⋅⋅

=323121

22321

32312132122

322

21

21

11

22222222422

12 xxxxxxxbxbxbxm

xxxxxxbxbxbxbxxhxhbk

P (6.7)

con

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

=

41

42

344

1

2

2

2

2

1 m

mmxmbx (6.8)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⋅

=10

225

2222

23

23

2 mmm

mmmbx (6.9)

( )4

22 121

3

xbbxxmx

−+−+⋅= (6.10)

4. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular y 3 BRT con disposición

contraria

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅= 2

1

222

1

221

846

21

2hmbmmb

bhkP (6.11)

Con ( )

22

1

+⋅= mbx (6.12)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−+++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−⋅⋅= 21

22

1

221

22

1

2222

12

224

222

12

hbbmbh

bbbhbbbbmbhk

P (6.13)

Con x1=b1/2


229


contraria

( )[ ]2121212121

222

21

21

1

2222232

12

xxxbxbxmxxbxbxbxxhbhk

P −−+⋅++−−+++⋅= (6.14)

con

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

43

41

2

2

1 mm

mbx (6.15)

( )4

22 112

bxbxmx

+−−= (6.16)


contraria

( ) ( ) ( )[ ]mbxxxbxxxxxxxmxxxbxxxhbk

P32132

223121

2321

23

22

21

21

1

42

12

−−−+++++−−−++++⋅⋅

=

(6.17)

( )4

222 3232

1

bxxxxbmx

+−−−−= (6.18)

( ) ( )( )2

2

3

2

2 41244

mmmxmb

x−

−++−= (6.19)

( )12816

1272

24

3 −+−=

mmmbx (6.20)


230

7. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular, 3 BRT y rozamiento de

deslizamiento

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++⋅=

kPbPbkhbk

kbhkP

42

21

2

22222

1

1

μμ (6.21)

Con ( )

kPkbx

42

1

μ−= (6.22)

2

1

2

1

2

244

2 bbhhb

kP

μ−+

= (6.23)

Con x1=b1/2

8. Placas Planas Inclinadas con enfoque no modular y 3 BRT, rozamiento por

adherencia

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+++−⋅

+−+

++−+

−++

⋅=11211

22112

221

21

1

221

2

21

211

2

11211

21

21 22

21

2 hxhxbhbhhhhmx

bhx

bhhxh

hxbxbhxhxbh

bhbxk

P (6.24)

9. Placas Planas Inclinadas con enfoque no modular y 3 BRT con rozamiento por

deslizamiento

( ) ( )

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−

++

⋅=

αθααθμ

αθφφαθθθ

tgtgtgb

b

tgtgsenxb

tgsensenx

kP

1coscos

1coscos21

2

11

(6.25)


231

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

⋅=btgbh

tgbh

htgbh

hbtgbhhb

bkP

μαααα

αα 12

12

12

22

2

1

21

2

2cos2cos

212

4244

21

2 (6.26)

Con x1=b1/2

Enfoque Modular

10. Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo y


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++=

41

22

21

2

222

1

1

mmbhbhk

P (6.27)

( )1

1

41

2 hmb

bh

kP ++= Con x1=b1/2 (6.28)

11. Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, sin módulo previo y con


( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++

+⋅

−⋅= mbh

h

bh

h

bh

btghbkP

αα 2

2

1

2

22

2

1

22

1

1 cos244

221

2 (6.29)

con x1=b1/2

12. Placas Planas Paralelas con enfoque modular, 3 BRT con módulo previo y


( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

11

1

11

1221122

2

22

22

2

224

22

12 α

α

tgbh

tgbhbhhbmb

hb

hbkP (6.30)


232

con x1=b1/2 y x2=b2/2

13. Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo previo y


( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅

⋅+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+

+⋅=

222

1

112

2

22

222

1

112

3

23

222

2

22

22

2 cos1

coscos1

121

2 θααθαφθθ

αα

θααθαφθθ

tgsentgtgtgtgtg

bmsen

tgsentgtgtgtgtg

hhxb

hhx

bkP

(6.31)



( )Phbhhb

kP

μ−⋅+

=11

2

1

2

224

2 (6.32)

15. Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT sin módulo previo y


( )[ ]( )[ ] 2111

2

1

2

2121

2

22cos2cos8

2 hbtgbhbhhhhb

kP

⋅−−⋅⋅⋅++⋅

=μαα

α (6.33)



( )( )2122

2

2

2

2

2444

2 bbhbhb

kP

+−+

=μ

(6.34)


233

17. Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo previo y


( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++−⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−++

=

222

1

112

22

222

21

112

3

23

222

2

22

22

cos1

cos12

cos1

1

2

θααθαφθθ

αμ

θαα

αθαφθθ

tgsentgtgtgtgtg

b

tgsen

sentgtgtgtgtg

hhxb

hhx

kP (6.35)

18. Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo previo,

rozamiento por adherencia y Ve Independiente

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−⋅+

⋅⋅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+

+⋅=

222

21

2

22

222

211

3

23

222

2

22

22

12 coscoscos21

2 θααθ

αα

θααθ

tgsentgVVebm

sentgsen

tgVVeV

hhxb

hhx

VbkP

(6.36)

19. Placas Planas Inclinadas con enfoque modular, 3 BRT, con módulo previo,

rozamiento por deslizamiento y Ve Independiente

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅++⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−++

⋅=

2222

211

2222

211

3

23

222

2

22

22

2

coscos

cos21

2α

μθαα

θ

αθαα

θ

ptgsen

tgVVeV

sentgsen

tgVVeVh

hxbh

hx

bkP (6.37)


234

6.11 Comparación TLS con modelo de BRT frente a MEF. Introducción

Si bien en puridad la validación real de un método requiere la comparación de

resultados frente a los obtenidos de forma experimental, en el presente capítulo, y a

la espera de llevar a cabo los experimentos pertinentes, se procede a realizar una

comparación de resultados obtenidos en esta Tesis con aquellos obtenidos mediante

un método matemático alternativo, de naturaleza sustancialmente diferente [Choi,

1998] [Lin, 1997] [Wang, 1995] [Lin, 1998].

En concreto, el grado de aplicabilidad del modelo desarrollado se establecerá

mediante una comparación de resultados entre el método analítico propuesto de

aplicación del Teorema del Límite Superior aplicando el modelo de Bloques Rígidos

Triangulares frente a un método de análisis numérico actualmente muy utilizado, el

método de elementos finitos (MEF) [Alfozan, 2003] [Moller, 2004]. Tras esta

comparación, se someterá a discusión los resultados obtenidos por ambos

procedimientos.

Frente a los métodos analíticos, el MEF se desarrolló inicialmente al final de la

década de los cincuenta, con la intención de resolver problemas estructurales

surgidos de los avances que, en su momento, experimentó la tecnología

aeronáutica. Con posterioridad dio lugar a una profunda evolución en ingeniería civil,

y en la actualidad su uso está ampliamente extendido en tecnologías

correspondientes a disciplinas muy diferentes. La aplicación del MEF [Hartley, 1979]

[Kobayashi, 1989] se basa en la discretización del continuo o estructura objeto de un

estudio en un conjunto de elementos interconectados en nodos, y en la utilización de

unas funciones matemáticas que gobiernan el elemento mediante un principio

integral de carácter energético para cada uno de ellos.

El MEF ha sido extendido al tratamiento no lineal a partir de Wilson y Felippa

[Wilson, 1963] [Fellippa, 1966]. Posteriormente, en trabajos de Pope y Marcal, se ha

aplicado en la resolución de problemas elastoplásticos [Pope, 1966] [Marcal, 1967].

En fechas posteriores se han realizado numerosos trabajos de aplicación del MEF al

estudio de los procesos de deformación plástica sobre metales, entre los que cabe


235

destacar los de Ryutaro, Jun, Oñate, Sánchez y Sebastián [Ryutaro, 2008] [Jun,

2007] [Oñate, 1980] [Sánchez-Pérez, 1980] [Sebastián, 1980].

La simulación se ha realizado con el programa de elementos finitos

ABAQUS/Standard [Hibbitt, 2003].

ABAQUS es un programa de simulación de gran potencia, basado en el

método de elementos finitos, que permite la resolución de problemas de todo tipo,

tanto lineales como no lineales. Este programa se puede extender a todo tipo de

material, así como a cualquier tipo de trabajo estructural y simular problemas de

diversas áreas, como transferencia de calor, difusión de masa, acústica, etc.

El sistema de elementos finitos ABAQUS se compone de varios paquetes:

o ABAQUS/Standard. Es el módulo utilizado en este trabajo, es de propósito

general e integración implícita, incluyendo todas las capacidades de

análisis, excepto el dinámico no lineal. Resulta por tanto adecuado para

simular procesos de conformado por deformación plástica, como la forja.

o ABAQUS/Explicit. Es el módulo de cálculo de elementos finitos dinámico

no lineal, de sólidos y estructuras mediante integración de tiempo explícita.

o ABAQUS/CAE. Es el módulo interactivo para crear modelos de elementos

finitos, análisis de trabajos y evaluación de resultados. Está compuesto por

el preprocesador y por el postprocesador, permitiendo definir geometrías,

materiales y mallados automáticos, así como condiciones de contorno y de

carga para cada análisis.

Dado que los procesos de conformado por deformación plástica son procesos

cuasiestáticos, se ha eligido un análisis con ABAQUS/Standard, permitiendo simular

procesos tanto dinámicos como estáticos.


236

El programa ABAQUS hace distinción entre cuerpos deformables y cuerpos

rígidos. El cuerpo deformable es aquel que se analiza a través del MEF, mientras

que el cuerpo rígido no es analizado.

Por otra parte, ABAQUS tiene una gran librería de elementos finitos,

permitiendo resolver gran variedad de problemas.

Cada elemento se determina por las siguientes características clasificatorias:

• Familia

• Grados de libertad

• Número de nodos

• Formulación

• Integración

Cada elemento recibe un único nombre, en el que vienen caracterizados los

cinco aspectos citados anteriormente.

Familia. Cada familia (Fig. 6.26) se caracteriza por su tipo de geometría,

diferenciándose de esta manera de las otras. Hay una gran variedad de familias,

pero las más comunes son: elementos continuos, elementos de barra, elementos

membrana, elementos planos o elementos de viga.

Figura 6.26 Diferentes tipos de familias

El nombre con el que se designa a cada elemento está compuesto por letras y

números. La primera letra indica a la familia a la que pertenece, así en C3D8I, la C

expresa que pertenece a un elemento continuo.

Elemento continuo o sólido Elemento membrana Elemento barra


237

Grados de libertad. Los grados de libertad son las variables obtenidas durante el

análisis, así el desplazamiento serán las traslaciones de cada nodo.

Número de nodos. Los desplazamientos, rotaciones, temperaturas y otros grados de

libertad son calculados en los nodos del elemento. Para calcular una variable global

del modelo, ésta se obtiene por medio de una interpolación de las variables de los

nodos.

El orden de interpolación viene condicionado por el número de nodos definido

en el elemento, pudiendo ser esta:

- Interpolación lineal: Únicamente hay nodos en los vértices del elemento. A

estos elementos se les denominan elementos de primer orden (Fig. 6.27).

Figura 6.27 Elementos de primer orden

- Interpolación cuadrática: Además de tener nodos en los vértices del

elemento también hay nodos en el medio de las aristas de cada lado. A

estos elementos se les denomina de segundo orden (Fig. 6.28).

Figura 6.28 Elementos de segundo orden


238

Una variación de esta segunda, consiste en que el elemento en lugar de ser

cuadrado es triangular, recibiendo los elementos el nombre de elementos

modificados de segundo orden.

Formulación. Se refiere a la teoría matemática utilizada para definir su

comportamiento. Se emplean tres tipos: Lagrangiana, Euleriana y una combinación

de ambas.

La formulación Lagrangiana se basa en que los elementos de la malla se

deforman conjuntamente con el material. En la formulación Euleriana los elementos

de la malla permanecen fijos en el espacio mientras que el material fluye a través de

ellos. La combinación de ambos métodos consiste en permitir el movimiento de los

elementos de la malla con independencia del movimiento del material.

Todos los elementos utilizados en ABAQUS utilizan formulación Lagrangiana,

a excepción de lo elementos denominados híbridos, que cuentan con una

formulación adicional y son familias de ABAQUS/Standard.

Integración. ABAQUS utiliza varias técnicas para integrar el volumen de cada

elemento a la hora de hallar los resultados. Calcula la respuesta en puntos interiores

de cada elemento, denominados puntos de integración, respecto de las cargas

externas. La técnica más utilizada en ABAQUS es la cuadrática Gaussiana,

evaluando la respuesta del material en cada uno de los puntos de integración del

elemento.

Algunos elementos continuos, pueden utilizar integración reducida o

integración completa (Fig. 6.29).

Si el elemento es de integración reducida, se le denomina con una letra R al

final del nombre, por ejemplo: CAX4R.

El programa consta de una serie de módulos a partir de los cuales se

construirá nuestro modelo. A continuación se presentan los pasos a seguir.


239

Figura 6.29 Tipos de integración en función del tipo de elemento

En resumen, y para el caso que se ha estudiado, la pieza se ha modelado

como sólido deformable, mientras que la plataforma plana se ha considerado una

superficie rígida analítica, lo que da lugar a un modelo más sencillo a la hora de

realizar los cálculos. Por otro lado, se ha asumido un modelo de material rígido–

plástico perfecto para la pieza, cuyas principales propiedades mecánicas

(correspondientes a una aleación de aluminio) se presentan en la Tabla 6.9.

Tabla 6.9 Características del material en estudio

El mallado de la pieza se ha realizado mediante el tipo de elemento CPE4R,

perteneciente a la librería de elementos del programa ABAQUS. Concretamente, se

trata de un elemento continuo, de deformación plana, interpolación lineal e

integración reducida, apto para el tipo de análisis que se va a llevar a cabo.

En la Fig. 6.30 se muestra la disposición del mallado y la simulación

efectuada por el método de los elementos finitos para una deformación del 50%.

E (Pa) ν Y (Pa)

2.1011 0,3 7.108

Integración reducida

Integración completa Integración reducida

Integración completa


240

Figura 6.30 Mallado mediante MEF

También se puede observar en la Fig. 6.31 las distribuciones de tensiones y

deformaciones plásticas equivalentes para b/h=0,5 con b=0,5, una deformación del

25% y un coeficiente de rozamiento por deslizamiento μ = 0,3.

Figura 6.31 Distribuciones de tensiones y deformaciones mediante MEF

6.12 Aplicación del MEF

En la Tabla 6.10 se ofrecen los datos resultantes de aplicar el MEF para una

altura de un cuarto de pieza de valor unidad h=1 y diferentes grados de deformación

(r). Se ha procedido a calcular el valor de la relación adimensional p/2k, siendo p la

presión media aplicada sobre la pieza en estudio para un grado de deformación

dado, y k, la tensión de fluencia a cortadura pura del material.

El programa ABAQUS impone la condición de que el tipo de rozamiento

considerado sea de deslizamiento, que es también conocido como rozamiento de

Coulomb.


241

Serán estos datos de la tabla 6.10 los que van a servir de modelo de

comparación con los que se calculen con el modelo alternativo propuesto en esta

Tesis. Las condiciones de contorno y los parámetros fijados serán los mismos; así,

las configuraciones geométricas serán idénticas, manteniendo los mismos factores

de forma en el proceso, hasta conseguir los grados de deformación pertinentes.

Tabla 6.10 Valores de p/2k tras aplicación del MEF

b/h = 0,5

µ = 0,05 µ = 0,1 µ = 0,2 µ = 0,3 µ = 0,4

r = 5% 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04

r = 25% 1,16 1,15 1,15 1,15 1,15

r = 50% 1,88 1,98 1,81 1,86 1,93

b/h = 1

µ = 0,05 µ = 0,1 µ = 0,2 µ = 0,3 µ = 0,4

r = 5% 1,07 1,08 1,08 1,09 1,09

r = 25% 1,38 1,43 1,52 1,50 1,49

r = 50% 2,16 2,42 2,72 2,99 3,14

b/h = 2

µ = 0,05 µ = 0,1 µ = 0,2 µ = 0,3 µ = 0,4

r = 5% 1,11 1,17 1,27 1,36

r = 25% 1,43 1,54 1,80 2,00

r = 50% 2,43 2,99 4,27 5,08

b/h = 4

µ = 0,05 µ = 0,1 µ = 0,2 µ = 0,3 µ = 0,4

r = 5% 1,17 1,30 1,59 1,83

r = 25% 1,57 1,90 2,64 3,14

r = 50% 3,02 4,65 7,77

b/h = 6

µ = 0,05 µ = 0,1 µ = 0,2 µ = 0,3 µ = 0,4

r = 5% 1,24 1,47 2,00 2,38 2,55

r = 25% 1,74 2,31 3,67 4,29

r = 50% 1,16


242

b = Ancho de un cuarto de pieza;

μ = coeficiente de rozamiento por deslizamiento (Coulomb).

Por otra parte, tal y como se ha indicado anteriormente, el tipo de rozamiento

contemplado por parte del MEF será de deslizamiento, aunque en los procesos de

forja en caliente la naturaleza primordial del rozamiento es la considerada por

adherencia. Este compromiso, debido a la imposición por parte del MEF utilizado,

entendemos que aleja de la realidad en cierta medida, a los resultados obtenidos,

teniendo presente además que el modelo de los BRT presenta un comportamiento

más coherente con esta condición. En la comparación, y para cubrir un mayor rango

de posibilidades, por parte del modelo de BRT se va a contemplar tanto la condición

de adherencia como la de deslizamiento bajo los dos enfoques diferentes expuestos

en el capítulo metodológico, es decir, los enfoques modular y no modular.

El resto de parámetros, como el endurecimiento del material, o la consideración

de la temperatura del proceso, no han sido contemplados en esta intercomparación,

con la intención de que posibles acciones de estas condiciones pudieran desvirtuar

los resultados finales.

Las ecuaciones del modelo de BRT que van a intervenir en esta comparación

con el MEF aparecen resumidas a continuación:


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

212

21

22

1

2

1

11

mbhhbk

P (6.38)

2. Placas Planas Paralelas con enfoque no modular, 3 BRT y rozamiento de

deslizamiento


243

2

1

2

1

2

244

2 bbhhb

kP

μ−+

= (6.39)



( )1

1

41

2 hmb

bh

kP ++= (6.40)



( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅=

1

1

1

1

1

12211

22

2

2

2

22

2

224

22

12

α

α

tgb

h

tgb

hbhhbmb

hb

hbkP

(6.41)



( )( )2122

2

2

2

2

2444

2 bbhbhb

kP

+−+

=μ

(6.42)



( )Phbhhb

kP

μ−⋅+

=11

2

1

2

224

2 (6.43)

Hay que tener presente que las opciones 3 y 4 se combinan en una solución

única, al igual que ocurre con las ecuaciones de las opciones 5 y 6 (la aplicación de

esta combinación ha quedado explicada en el capítulo 5 de desarrollo metodológico

bajo enfoque Modular).


244

6.13 Análisis de resultados

La comparación se ha establecido entre el citado MEF y las cuatro variantes

de aplicación del método del TLS mediante BRT anteriormente indicadas. Estas

cuatro diferentes aplicaciones son las resultantes de combinar los enfoques Modular

(Mod.) y No modular (No Mod.) con las contribuciones del rozamiento de

deslizamiento (Desliz.) y de semiadherencia (Adh.).

Se determina, al igual que en la Tabla 6.10, los valores de p/2k para las

cuatro alternativas, considerando tres grados de deformación diferentes (5%, 25% y

50%), diferentes valores en el coeficiente de rozamiento que toma valores de 0.05,

0.1, 0.2, 0.3, y 0.4, y factores de forma con relaciones de b/h= 0.5, 1, 2, 4, y 6 [Lin,

2003].

Se presentarán los resultados siguiendo dos criterios distintos: en el primero

(figuras 6.32 a 6.36) en el que la evolución del valor de p/2k se aprecia al mostrar

como variable el grado de deformación; en la segunda opción (figuras 6.37 a 6.41)

es el factor de forma el que se muestra como variable.

Por último, se estima la variación porcentual entre el MEF y las distintas

opciones del BRT en determinadas situaciones seleccionadas para, de una forma

exhaustiva, exponer todas las posibilidades estudiadas en el anexo de cálculo. Los

resultados obtenidos para este último estudio se recogen gráficamente en las figuras

6.32 a 6.36.


245

Figura 6.32 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=0,5

Es de destacar que la elevada discrepancia que se presenta en la gráfica de

la figura 6.32 responde al hecho de que el factor de forma es muy reducido, por lo

que los BRT que componen el módulo están fuertemente distorsionados, y por lo

tanto alejados del valor límite mínimo.

Tabla 6.11 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=0,5

b/h=0,5

0

1

2

3

4

0,05 0,05 0,05 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,4 0,4 0,4Coef. Rozamiento

P/2k

MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.

Deformación Coef. Roz. MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.5% 0,05 1,04 2,38 3,80 1,96 3,70

25% 0,05 1,16 1,97 2,78 1,49 2,6750% 0,05 1,88 1,74 2,08 1,19 1,95

5% 0,1 1,04 2,43 3,81 1,96 3,7125% 0,1 1,15 2,03 2,80 1,49 2,6850% 0,1 1,98 1,82 2,11 1,20 1,96

5% 0,2 1,04 2,50 3,82 1,98 3,7225% 0,2 1,15 2,13 2,83 1,51 2,7050% 0,2 1,81 1,97 2,16 1,23 1,99

5% 0,3 1,04 2,55 3,84 1,99 3,7425% 0,3 1,15 2,21 2,86 1,53 2,7250% 0,3 1,86 2,08 2,22 1,26 2,02

5% 0,4 1,04 2,59 3,86 2,01 3,7525% 0,4 1,15 2,26 2,89 1,55 2,7450% 0,4 1,93 2,15 2,27 1,29 2,05


246

Figura 6.33 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=1

Tabla 6.12 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=1

b/h=1

0

1

2

3

4

0,05 0,05 0,05 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,4 0,4 0,4Coef. Rozamiento

P/2k


Deformación roz MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.5% 0,05 1,07 1,52 1,49 1,20 1,45

25% 0,05 1,38 1,40 1,21 1,05 1,2050% 0,05 2,16 1,38 1,07 1,03 1,10

5% 0,1 1,08 1,61 1,54 1,21 1,4725% 0,1 1,43 1,51 1,29 1,07 1,2250% 0,1 2,42 1,55 1,19 1,06 1,13

5% 0,2 1,08 1,75 1,63 1,24 1,5025% 0,2 1,52 1,72 1,44 1,11 1,2750% 0,2 2,72 1,84 1,41 1,12 1,19

5% 0,3 1,09 1,86 1,71 1,27 1,5425% 0,3 1,5 1,87 1,56 1,15 1,3250% 0,3 2,99 2,06 1,59 1,17 1,26

5% 0,4 1,09 1,93 1,78 1,29 1,5725% 0,4 1,49 1,98 1,65 1,19 1,3650% 0,4 3,14 2,21 1,73 1,23 1,32


247



b/h=2

0

1

2

3

4

0,05 0,05 0,05 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,4 0,4 0,4Coef. Rozamiento

P/2k



25% 0,05 1,43 1,21 0,97 1,14 1,1250% 0,05 2,43 1,34 1,04 1,39 1,29

5% 0,1 1,17 1,33 1,14 1,06 1,1325% 0,1 1,54 1,44 1,16 1,18 1,1750% 0,1 2,99 1,68 1,32 1,45 1,36

5% 0,2 1,27 1,62 1,38 1,12 1,1925% 0,2 1,8 1,85 1,50 1,26 1,2650% 0,2 4,27 2,26 1,81 1,56 1,49

5% 0,3 1,36 1,83 1,57 1,17 1,2625% 0,3 2 2,15 1,78 1,34 1,3550% 0,3 5,08 2,70 2,22 1,67 1,62

5% 0,4 1,98 1,72 1,23 1,3225% 0,4 2,37 2,01 1,41 1,4450% 0,4 3,00 2,55 1,78 1,75


248



b/h=4

0

1

2

3

4

0,05 0,05 0,05 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,4 0,4 0,4Coef. Rozamiento

P/2k



25% 0,05 1,57 1,31 1,13 1,80 1,6150% 0,05 3,02 1,60 1,42 2,45 2,14

5% 0,1 1,3 1,46 1,26 1,44 1,3525% 0,1 1,9 1,78 1,55 1,88 1,7050% 0,1 4,65 2,28 2,02 2,56 2,27

5% 0,2 1,59 2,03 1,77 1,55 1,4825% 0,2 2,64 2,59 2,28 2,04 1,8850% 0,2 3,43 3,07 2,79 2,53

5% 0,3 2,46 2,19 1,66 1,6125% 0,3 3,20 2,88 2,19 2,0650% 0,3 4,31 3,94 3,01 2,78

5% 0,4 2,76 2,52 1,77 1,7425% 0,4 3,63 3,35 2,35 2,2450% 0,4 4,91 4,62 3,23 3,04


249



b/h=6

0

1

2

3

4

0,05 0,05 0,05 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,4 0,4 0,4Coef. Rozamiento

P/2k



25% 0,05 1,74 1,52 1,43 2,57 2,2350% 0,05 1,94 1,90 3,58 3,08

5% 0,1 1,47 1,73 1,58 1,97 1,7725% 0,1 2,31 2,23 2,07 2,68 2,3750% 0,1 2,95 2,82 3,75 3,27

5% 0,2 2,59 2,37 2,14 1,9725% 0,2 3,44 3,20 2,92 2,6450% 0,2 4,68 4,43 4,08 3,66

5% 0,3 3,24 3,02 2,30 2,1625% 0,3 4,36 4,12 3,15 2,9150% 0,3 5,99 5,76 4,42 4,05

5% 0,4 3,69 3,52 2,47 2,3525% 0,4 5,00 4,84 3,39 3,1950% 0,4 6,90 6,80 4,75 4,44


250

El primer dato a tener en consideración proviene del hecho de que con el

MEF se presentan situaciones en las que no hay una respuesta coherente, es decir,

el método no converge, y no aporta un resultado al problema, mientras que con el

método analítico propuesto no se presentan estos casos. Como puede observarse,

en aquellos casos en los que no se obtiene valor con el MEF es obvio que esta

impedido el cálculo de la variación porcentual respecto a este método.

Es de destacar que se han contemplado tres BRT para cada uno de los

casos, ya sea bajo enfoques modular o no modular, por lo que la respuesta del

método analítico planteado es más aceptable en aquel rango de valores del factor de

forma para el que los BRT están sujetos a una menor distorsión (factores de forma

de 1 a 2). En capítulos posteriores se realiza un análisis de sensibilidad con el que

determinar el ángulo óptimo en la disposición de los BRT.

La evidencia de la importante influencia del rozamiento sobre la carga a

aplicar en la deformación del material se pone de manifiesto en ambos métodos,

observándose como aumenta la pendiente de las curvas que representan los

diferentes casos. Tal y como se indicó con anterioridad, el MEF utilizado aporta

soluciones para el tipo de rozamiento por deslizamiento, mientras que el TLS

permite determinar soluciones tanto para este tipo de rozamiento como en

rozamiento por adherencia, mostrándose ambas situaciones en el presente análisis.

En ninguna de las dos opciones de la aplicación del TLS, las soluciones aportadas

por dicho método para rozamiento por adherencia han generado situaciones

excepcionales como las que se han comentado previamente (valores

extremadamente altos de p/2k, e incluso valores negativos) fruto de singularidades.

Este hecho es manifiestamente favorable a la aplicación del método, puesto que

posibilita la incorporación de una forma natural del rozamiento por adherencia, tipo

de rozamiento principal en la deformación plástica generada por un proceso de forja.

Se puede apreciar en las gráficas anteriores cómo, a partir de

aproximadamente un factor de forma de valor unidad (variable según coeficiente de

rozamiento), los valores del BRT se sitúan por debajo del MEF, incluso cuando se

realizan grandes deformaciones (50%).


251

Por otra parte, las pendientes de las diferentes opciones del BRT son más

suaves que las del MEF, lo que nos indica una mayor robustez del método

propuesto frente al de elementos finitos, puesto que ante modificaciones en el grado

de deformación, la variación en su comportamiento es menor.

En cuanto a las diferentes opciones planteadas dentro de la aplicación del

TLS mediante BRT, se observa cómo el enfoque modular, tanto para rozamiento de

deslizamiento como de adherencia, y a partir de relaciones de forma superiores a la

unidad, es más favorable, puesto que establece un valor del límite ligeramente

menor. Este aspecto viene acompañado de otras ventajas en la aplicación de este

enfoque, las cuales se identifican en diferentes capítulos de la presente tesis, como

puede ser, la mayor facilidad de aplicación en disposiciones geométricas

Estos comportamientos, que han podido apreciarse mediante su

representación frente a los diferentes coeficientes de rozamiento, se expresan en las

figuras 6.36 a 6.40 en función del grado de deformación aplicado en el proceso de

conformado (5%, 25% y 50%).

También es de destacar, como se aprecia en las figuras 6.37 a 6.41, la

extrema coincidencia de las pendientes en la aplicación del MEF y de BRT para

deslizamiento en un número elevado de situaciones.


252

Figura 6.37 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma b/h=0,5

Tabla 6.16 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=0,5

b/h=0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4Coef. Roz.

p/2k


Def. 5% Def. 50%Def. 25%

b/h=0,5Deformación Coef. Roz. MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.

5% 0,05 1,04 2,38 3,80 1,96 3,705% 0,1 1,04 2,43 3,81 1,96 3,715% 0,2 1,04 2,50 3,82 1,98 3,725% 0,3 1,04 2,55 3,84 1,99 3,745% 0,4 1,04 2,59 3,86 2,01 3,75

25% 0,05 1,16 1,97 2,78 1,49 2,6725% 0,1 1,15 2,03 2,80 1,49 2,6825% 0,2 1,15 2,13 2,83 1,51 2,7025% 0,3 1,15 2,21 2,86 1,53 2,7225% 0,4 1,15 2,26 2,89 1,55 2,74

50% 0,05 1,88 1,74 2,08 1,19 1,9550% 0,1 1,98 1,82 2,11 1,20 1,9650% 0,2 1,81 1,97 2,16 1,23 1,9950% 0,3 1,86 2,08 2,22 1,26 2,0250% 0,4 1,93 2,15 2,27 1,29 2,05


253



b/h=1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4Coef. Roz.

p/2k


Def. 5% Def. 50% Def. 25%

b/h=1Deformación Coef. Roz. MEF No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.

5% 0,05 1,07 1,52 1,49 1,20 1,455% 0,1 1,08 1,61 1,54 1,21 1,475% 0,2 1,08 1,75 1,63 1,24 1,505% 0,3 1,09 1,86 1,71 1,27 1,545% 0,4 1,09 1,93 1,78 1,29 1,57

25% 0,05 1,38 1,40 1,21 1,05 1,2025% 0,1 1,43 1,51 1,29 1,07 1,2225% 0,2 1,52 1,72 1,44 1,11 1,2725% 0,3 1,50 1,87 1,56 1,15 1,3225% 0,4 1,49 1,98 1,65 1,19 1,36

50% 0,05 2,16 1,38 1,07 1,03 1,1050% 0,1 2,42 1,55 1,19 1,06 1,1350% 0,2 2,72 1,84 1,41 1,12 1,1950% 0,3 2,99 2,06 1,59 1,17 1,2650% 0,4 3,14 2,21 1,73 1,23 1,32


254



b/h=2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4Coef. Roz.

p/2k


Def. 5% Def. 50% Def. 25%


5% 0,05 1,11 1,16 1,01 1,03 1,105% 0,1 1,17 1,33 1,14 1,06 1,135% 0,2 1,27 1,62 1,38 1,12 1,195% 0,3 1,36 1,83 1,57 1,17 1,265% 0,4 1,98 1,72 1,23 1,32

25% 0,05 1,43 1,21 0,97 1,14 1,1225% 0,1 1,54 1,44 1,16 1,18 1,1725% 0,2 1,80 1,85 1,50 1,26 1,2625% 0,3 2,00 2,15 1,78 1,34 1,3525% 0,4 2,37 2,01 1,41 1,44

50% 0,05 2,43 1,34 1,04 1,39 1,2950% 0,1 2,99 1,68 1,32 1,45 1,3650% 0,2 4,27 2,26 1,81 1,56 1,4950% 0,3 5,08 2,70 2,22 1,67 1,6250% 0,4 3,00 2,55 1,78 1,75


255


Puede observarse como las situaciones tanto Modulares como No Modulares

en las que impera el rozamiento por deslizamiento presentan pendientes similares a

las del MEF. Este hecho viene motivado porque el MEF es contemplado a su vez por

este tipo de rozamiento.


b/h=4

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4Coef. Roz.

p/2k


Def. 5% Def. 50% Def. 25%


5% 0,05 1,17 1,12 0,97 1,38 1,295% 0,1 1,30 1,46 1,26 1,44 1,355% 0,2 1,59 2,03 1,77 1,55 1,485% 0,3 1,83 2,46 2,19 1,66 1,615% 0,4 2,76 2,52 1,77 1,74

25% 0,05 1,57 1,31 1,13 1,80 1,6125% 0,1 1,90 1,78 1,55 1,88 1,7025% 0,2 2,64 2,59 2,28 2,04 1,8825% 0,3 3,14 3,20 2,88 2,19 2,0625% 0,4 3,63 3,35 2,35 2,24

50% 0,05 3,02 1,60 1,42 2,45 2,1450% 0,1 4,65 2,28 2,02 2,56 2,2750% 0,2 7,77 3,43 3,07 2,79 2,5350% 0,3 4,31 3,94 3,01 2,7850% 0,4 4,91 4,62 3,23 3,04


256



b/h=6

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4Coef. Roz.

p/2k


Def. 5% Def. 50% Def. 25%


5% 0,05 1,24 1,23 1,13 1,89 1,685% 0,1 1,47 1,73 1,58 1,97 1,775% 0,2 2,00 2,59 2,37 2,14 1,975% 0,3 2,38 3,24 3,02 2,30 2,165% 0,4 2,55 3,69 3,52 2,47 2,35

25% 0,05 1,74 1,52 1,43 2,57 2,2325% 0,1 2,31 2,23 2,07 2,68 2,3725% 0,2 3,67 3,44 3,20 2,92 2,6425% 0,3 4,29 4,36 4,12 3,15 2,9125% 0,4 5,00 4,84 3,39 3,19

50% 0,05 1,94 1,90 3,58 3,0850% 0,1 2,95 2,82 3,75 3,2750% 0,2 1,16 4,68 4,43 4,08 3,6650% 0,3 5,99 5,76 4,42 4,0550% 0,4 6,90 6,80 4,75 4,44


257

Las Fig. 6.42 a 6.45 muestran, entre otras (véase la relación completa de

gráficas en Anexo A), la variación porcentual relativa de la aplicación de los BRT

frente a la utilización del MEF para cada uno de los tres grados de deformación

contemplados (5%, 25% y 50%) y para una relación de forma b/h determinada.

Puede observarse cómo las mayores discrepancias aparecen para pequeñas

deformaciones en el caso de una b/h=0,5 y para grandes grados de deformación y

coeficientes de rozamiento; así mismo, los valores más próximos, es decir, aquellos

que muestran un porcentaje de desviación menor (0,6%), se dan para un factor de

forma b/h=0,5 y un grado de deformación del 50%, así como en el caso del 5% de

grado de deformación, b/h=6 y un rozamiento por adherencia de valor m=0,05.

Figura 6.42 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF para b/h=0,5.

Figura 6.43 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF (b/h=0,5 y r=50%).

b/h=0,5

-40

0

40

80

120

160

200

240

280

0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4Coef. Roz.

% V

aria

ción

sob

re M

EF

No Mod. Desliz. Mod. Desliz. No Mod. Adh. Mod. Adh.

Def. 5% Def. 50% Def. 25%

b/h=0,5, Def.=50%

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0,05 0,1 0,2 0,3 0,4

Coef. Roz.

% V

aria

ción

MEF



258

Figura 6.44 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF (b/h=0,5 y r=50%).

La gran semejanza de valores se presenta para aquellos casos en los que

fundamentalmente se acerca la disposición geométrica a la relación de forma

cercana a la unidad. Este resultado también se da en aquellos casos en los que,

partiendo de un factor de forma menor, el grado de deformación efectúa un

acercamiento del factor de forma final al valor ya mencionado.

Figura 6.45 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF para b/h=1.

0,050,1

0,2

0,3

0,4

-40

-30

-20

-10

0

10

20

% v

aria

ción

fren

te a

MEF

Coef. Roz.

b/h=0,5; Def.=50%


b/h=1

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4

Coef. Roz.

% v

aria

ción

sob

re M

EF


Def. 5% Def. 25%

Def. 50%


259

Un dato de interés, que se desprende del análisis de las gráficas anteriores,

es que la relación b/h=1 y b/h=2 son las que determinan las configuraciones de la

pieza que aportan valores más próximos en la aplicación de ambos métodos, siendo,

por tanto, las configuraciones en las que (en valores absolutos) el límite superior

obtenido es menor en cuanto a la diferencia respecto al MEF (para valores medios

de la evolución completa del proceso).

6.14 Solución de von Karmann

Como corolario a la comparación de resultados efectuada entre el MEF y el

modelo de BRT, se ha estimado una segunda comparación, de menor envergadura

en cuanto a las alternativas y rango de aplicación contemplados, realizada con la

solución aportada por von Karmann [Chakrabarty, 1987].

Esta solución de von Karmann es una solución aproximada para el límite

superior en el caso de compresión con deformación plana entre placas parcialmente

rugosas (con rozamiento), que según Chakrabarty, puede ser obtenida asumiendo el

deslizamiento instantáneo de bloques rígidos (BRT) sobre superficies de

discontinuidad con una igual inclinación respecto a la superficie de la placa. El

número de discontinuidades en un cuadrante (doble simetría) se denota por “m”.

La velocidad de cada bloque triangular viene determinada por la condición de

que la componente de su velocidad en la dirección de la tracción resultante es

constante sobre la superficie de la placa, consideración compatible con material

elasto-plástico sometido a grandes deformaciones.

Se infiere que los vértices inferiores de la velocidad de los bloques

triangulares deben de seguir una línea recta inclinada respecto a la horizontal un

ángulo de valor λ=1/tgμ.


260

La magnitud de la velocidad de las discontinuidades que cruzan las líneas

tiene un punto típico en el eje de simetría de 2

2

1hd+ resultando finalmente, tras el

desarrollo de von Karmann:

μμω

μμω

μμμω 21ln

21ln1

411

41

2

2

≥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

hcon

hh

kq

(6.44)

μμω

μω

μω

21ln1exp

2≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

hconh

kq h (6.45)

Con ω=ancho; h=alto; μ=coef. rozamiento

La intercomparación efectuada en este caso ofrece unos resultados que se

muestran en la figura 6.46, de la que se desprende que los valores de p/2k están

muy próximos para factores deforma contemplados entre 1 y 4 (para 1,5 < b/h < 3,

el grado de coincidencia es muy elevado).

La limitación fundamental en la solución de von Karmann proviene de la

imposibilidad de discriminar entre un tipo u otro de rozamiento, además de no

considerar efectos de temperatura o endurecimiento, pero sobre todo por la

imposibilidad de contemplar una cierta inclinación de las placas de la herramienta.

Chakrabarty [Chakrabarty, 1987] introduce el rozamiento modificando la

inclinación de líneas del hodógrafo con un ángulo λ=1/tgμ, siendo μ el coeficiente de

rozamiento por deslizamiento; si bien esto ocurre con triángulos de igual inclinación.

Este método de cálculo aporta resultados no coherentes.


261

Figura 6.46 Comparativa de 3 BRT no modular-von Karmann.

6.15 Solución de Johnson y Mellor

Estudios de Johnson y Mellor [Johnson, 1962a] fueron pioneros en establecer

ecuaciones que gobiernan la evolución de la carga a aplicar sobre las piezas

sometidas a deformación plástica. En concreto, y siguiendo éstos, se considera una

pletina metálica rectangular de espesor 2h, comprimida entre dos mordazas en

forma de pletinas planas y paralelas de ancho 2w, desplazándose con una velocidad

de valor unidad, de forma similar a la disposición de material a deformar que se ha

utilizado al inicio de este trabajo (Fig. 6.47).

Figura 6.47 Pieza a deformar según Johnson.

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

P/2k von Karmann

P/2k (3BRT)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4 5 6

P/2k von Karmann

P/2k (3BRT)

2 w

C

F

A

D

E

B

2 h θ

V

V


262

Las líneas rectas representan líneas de discontinuidad que mantienen

ángulos θ iguales respecto a las pletinas. Se considera una cuarta parte del sistema,

y de acuerdo con el hodógrafo de la Fig. 6.48 correspondiente a la velocidad

u=cosec θ y a una longitud AB de valor igual a s=w secθ /n, donde n es el número de

intersecciones de las líneas de discontinuidad sobre la línea central horizontal de la

pieza. La relación entre 2w y 2h viene dada por 2h=2w tg θ/n.

¡Error!

Figura 6.48 Hodógrafo según Johnson.

Siguiendo las ecuaciones de la potencia e igualando con la del ritmo de

deformación de la pieza se obtiene:

22cot

21

2y

nn

ytgg

senkP +

≤+

≤≤θθ

θ (6.46)

donde y = w/h

La variación de p/2k respecto a w/h se presenta en la figura 6.49 para el

modelo de Johnson y en la figura 6.50 para elmodelo de BRT con enfoque No

Modular y disposición contraria.

Figura 6.49 Evolución de p/2k según Johnson.

E´

B´

A´ C´

D´

u u u θ θ θ

Modelo BRT

0,9

0,95

1

1,05

1,1

0 1 2 3 4 5b/h

p/2k


263

Figura 6.50 Evolución de p/2k para modelo de BRT.

Puede observarse la total coincidencia existente entre el comportamiento de

la ecuación propuesta por Johnson y Mellor (Tabla 6.21), y los desarrollos

empleados en la fase inicial de este trabajo donde era considerado un enfoque No

Modular y con una disposición de bloques contraria a la empleada con posterioridad

y en el enfoque Modular.

Tabla 6.21 Valores de la evolución de p/2k en Johnson y en modelo de BRT

Modelo Johnson

0,9

0,95

1

1,05

1,1

0 1 2 3 4 5b/h

p/2k

n b/h Johnson(2) 3 triángulos Johnson(3) 4 Triángulos Johnson(4) 5 Triángulos Johnson(5) 6 Triángulos2 0,1 10,03 10,03 3 0,1 15,02 15,02 4 0,1 20,01 20,01 5 0,1 25,01 25,012 0,2 5,05 5,05 3 0,2 7,53 7,53 4 0,2 10,03 10,03 5 0,2 12,52 12,522 0,3 3,41 3,41 3 0,3 5,05 5,05 4 0,3 6,70 6,70 5 0,3 8,36 8,362 0,4 2,60 2,60 3 0,4 3,82 3,82 4 0,4 5,05 5,05 5 0,4 6,29 6,292 0,5 2,13 2,13 3 0,5 3,08 3,08 4 0,5 4,06 4,06 5 0,5 5,05 5,052 0,6 1,82 1,82 3 0,6 2,60 2,60 4 0,6 3,41 3,41 5 0,6 4,23 4,232 0,7 1,60 1,60 3 0,7 2,26 2,26 4 0,7 2,94 2,94 5 0,7 3,64 3,642 0,8 1,45 1,45 3 0,8 2,01 2,01 4 0,8 2,60 2,60 5 0,8 3,21 3,212 0,9 1,34 1,34 3 0,9 1,82 1,82 4 0,9 2,33 2,33 5 0,9 2,87 2,872 1 1,25 1,25 3 1 1,67 1,67 4 1 2,13 2,13 5 1 2,60 2,602 1,1 1,18 1,18 3 1,1 1,55 1,55 4 1,1 1,96 1,96 5 1,1 2,38 2,382 1,2 1,13 1,13 3 1,2 1,45 1,45 4 1,2 1,82 1,82 5 1,2 2,20 2,202 1,3 1,09 1,09 3 1,3 1,37 1,37 4 1,3 1,70 1,70 5 1,3 2,05 2,052 1,4 1,06 1,06 3 1,4 1,30 1,30 4 1,4 1,60 1,60 5 1,4 1,93 1,932 1,5 1,04 1,04 3 1,5 1,25 1,25 4 1,5 1,52 1,52 5 1,5 1,82 1,822 1,6 1,03 1,03 3 1,6 1,20 1,20 4 1,6 1,45 1,45 5 1,6 1,72 1,722 1,7 1,01 1,01 3 1,7 1,17 1,17 4 1,7 1,39 1,39 5 1,7 1,64 1,642 1,8 1,01 1,01 3 1,8 1,13 1,13 4 1,8 1,34 1,34 5 1,8 1,57 1,572 1,9 1,00 1,00 3 1,9 1,11 1,11 4 1,9 1,29 1,29 5 1,9 1,51 1,512 2 1,00 1,00 3 2 1,08 1,08 4 2 1,25 1,25 5 2 1,45 1,452 2,1 1,00 1,00 3 2,1 1,06 1,06 4 2,1 1,21 1,21 5 2,1 1,40 1,402 2,2 1,00 1,00 3 2,2 1,05 1,05 4 2,2 1,18 1,18 5 2,2 1,36 1,362 2,3 1,01 1,01 3 2,3 1,04 1,04 4 2,3 1,16 1,16 5 2,3 1,32 1,322 2,4 1,02 1,02 3 2,4 1,03 1,03 4 2,4 1,13 1,13 5 2,4 1,28 1,282 2,5 1,03 1,03 3 2,5 1,02 1,02 4 2,5 1,11 1,11 5 2,5 1,25 1,252 2,6 1,03 1,03 3 2,6 1,01 1,01 4 2,6 1,09 1,09 5 2,6 1,22 1,222 2,7 1,05 1,05 3 2,7 1,01 1,01 4 2,7 1,08 1,08 5 2,7 1,20 1,202 2,8 1,06 1,06 3 2,8 1,00 1,00 4 2,8 1,06 1,06 5 2,8 1,17 1,172 2,9 1,07 1,07 3 2,9 1,00 1,00 4 2,9 1,05 1,05 5 2,9 1,15 1,152 3 1,08 1,08 3 3 1,00 1,00 4 3 1,04 1,04 5 3 1,13 1,132 3,1 1,10 1,10 3 3,1 1,00 1,00 4 3,1 1,03 1,03 5 3,1 1,12 1,122 3,2 1,11 1,11 3 3,2 1,00 1,00 4 3,2 1,03 1,03 5 3,2 1,10 1,102 3,3 1,13 1,13 3 3,3 1,00 1,00 4 3,3 1,02 1,02 5 3,3 1,09 1,092 3,4 1,14 1,14 3 3,4 1,01 1,01 4 3,4 1,01 1,01 5 3,4 1,08 1,082 3,5 1,16 1,16 3 3,5 1,01 1,01 4 3,5 1,01 1,01 5 3,5 1,06 1,062 3,6 1,18 1,18 3 3,6 1,02 1,02 4 3,6 1,01 1,01 5 3,6 1,05 1,052 3,7 1,20 1,20 3 3,7 1,02 1,02 4 3,7 1,00 1,00 5 3,7 1,05 1,052 3,8 1,21 1,21 3 3,8 1,03 1,03 4 3,8 1,00 1,00 5 3,8 1,04 1,042 3,9 1,23 1,23 3 3,9 1,03 1,03 4 3,9 1,00 1,00 5 3,9 1,03 1,032 4 1,25 1,25 3 4 1,04 1,04 4 4 1,00 1,00 5 4 1,03 1,032 4,1 1,27 1,27 3 4,1 1,05 1,05 4 4,1 1,00 1,00 5 4,1 1,02 1,022 4,2 1,29 1,29 3 4,2 1,06 1,06 4 4,2 1,00 1,00 5 4,2 1,02 1,022 4,3 1,31 1,31 3 4,3 1,07 1,07 4 4,3 1,00 1,00 5 4,3 1,01 1,012 4,4 1,33 1,33 3 4,4 1,07 1,07 4 4,4 1,00 1,00 5 4,4 1,01 1,012 4,5 1,35 1,35 3 4,5 1,08 1,08 4 4,5 1,01 1,01 5 4,5 1,01 1,012 4,6 1,37 1,37 3 4,6 1,09 1,09 4 4,6 1,01 1,01 5 4,6 1,00 1,002 4,7 1,39 1,39 3 4,7 1,10 1,10 4 4,7 1,01 1,01 5 4,7 1,00 1,002 4,8 1,41 1,41 3 4,8 1,11 1,11 4 4,8 1,02 1,02 5 4,8 1,00 1,002 4,9 1,43 1,43 3 4,9 1,12 1,12 4 4,9 1,02 1,02 5 4,9 1,00 1,002 5 1,45 1,45 3 5 1,13 1,13 4 5 1,03 1,03 5 5 1,00 1,00


264

Johnson contabiliza en su expresión el número de intersecciones de las líneas

de discontinuidad de velocidad con la línea horizontal central, mientras que en el

estudio aquí desarrollado, es el número de bloques triangulares el que se utiliza. Así

pues, cuatro BRT corresponden a tres intersecciones con la línea central por parte

de las líneas de discontinuidad de velocidades.

Si bien con esta comparación se llega a la conclusión de que la dirección

seguida es la correcta, no se habría obtenido ninguna ventaja sobre los métodos de

cálculo ya existentes si no aportase avances adicionales.

Una de las limitaciones de Johnson que ha sido superada con el modelo de

BRT es la posibilidad de incorporación de parámetros tales como el rozamiento o el

efecto del endurecimiento por deformación. La ecuación de Johnson y Mellor es

válida, y concuerda con nuestros estudios para el caso de rozamiento por

adherencia entre herramienta y pieza, con un valor nulo de su coeficiente, es decir,

sin rozamiento alguno.

6.16 Conclusiones

Tras el análisis de los resultados realizado en el apartado inmediatamente

anterior (comparación con MEF, von Karmann, Johnson), se ha constatado de forma

adicional que el método aplicado ofrece valores suficientemente válidos en la

obtención del límite superior.

El análisis efectuado sobre los resultados alcanzados en este trabajo

establece, tal y como se desprende del análisis anterior, que el rango óptimo de

utilización de este método se presenta en torno a relaciones de forma b/h de valor

cercano a 1.5, siendo el menor valor en cada caso, el valor establecido del límite

superior. Los valores obtenidos mediante el TLS se sitúan en la mayoría de los

casos (salvo para reducidas b/h, sensiblemente menores a la unidad) por debajo de

los obtenidos por el MEF, este hecho debería ser validado experimentalmente.


265

En cuanto al grado de deformación, los mejores resultados se obtienen de

media para aquellos que acercan el factor de forma a 1.5. En lo que respecta al

coeficiente de rozamiento, la mejor aplicación del método aparece para valores de

0.05 a 0.2 (bajo rozamiento) dentro de las zonas de óptima utilización.

Hay que tener presente que en el enfoque Modular se han considerado un

total de dos módulos, para cubrir el perfil de placas planas paralelas considerado,

por lo que en las relaciones de forma extremas (b/h=0.5 y b/h=6) los tres bloques

que componen cada uno de los módulos se encuentran fuertemente distorsionados,

y por lo tanto, alejados de la configuración de deformación ideal bajo una carga

mínima, de estos datos se desprende el comportamiento tan alejado que muestra el

modelo de BRT frente al MEF en la figura 6.32 y la falta de datos aportada por el

MEF en la figura 6.36.

De las dos opciones de tipo de rozamiento contempladas por el modelo de

BRT (adherencia y deslizamiento), es el modelo con rozamiento por deslizamiento el

que se asemeja en mayor medida al modelo del MEF, presentando pendientes

similares en las curvas de las figuras 6.38 a 6.41. Hay que reiterar que el MEF se ha

implementado bajo condiciones de rozamiento por deslizamiento.

También se desprende del presente análisis que la aplicación del método aquí desarrollado

es más sensible a la incorporación del efecto del rozamiento en el caso de rozamiento por

deslizamiento, como no podría ser de otro modo, puesto que este rozamiento depende de la

carga aplicada, produciéndose una realimentación derivada del método de cálculo iterativo

empleado. Por otra parte esta influencia se mantiene de una forma muy estable cuando es

de adherencia el rozamiento considerado. Este rozamiento por adherencia es el modelo de

rozamiento más aplicable en los procesos de deformación plástica en forja estudiados.

CAPÍTULO 7

APLICACIONES

No hay error más común que suponer que porque se hayan realizados precisos y prolongados cálculos matemáticos, la aplicación del resultado a algún hecho de la naturaleza es absolutamente cierta.

A. N. Whitehead

Capítulo 7

APLICACIONES

7.1 Aplicaciones

El objetivo fundamental de la presente tesis, tal y como se indicó en el

capítulo 1 de esta memoria, es la consecución de un método de análisis teórico con

el que establecer el valor mínimo de la carga a aplicar para lograr la deformación de

un material en un proceso de forja.

De forma adicional, y para representar una verdadera alternativa a otros

métodos ya suficientemente desarrollados, se ha exigido a este método una serie de

requisitos. Estos no son otros que, por un lado posibilitar la incorporación de un

número amplio de parámetros que actúan con notable influencia en el proceso de

conformado, de los que algunos de ellos presentan ciertas complicaciones de

aplicación en los métodos alternativos, como pueden ser el endurecimiento del

material o la temperatura, y por otro, si cabe de mayor repercusión, la adaptación en

las soluciones aportadas a perfiles de deformación (superficies de las matrices) no

restringidos a placas planas paralelas, sino abierto a cualquier perfil

tecnológicamente factible.


270

Por ello, el presente capítulo consta de una serie amplia de casos prácticos

de aplicación del método del TLS mediante BRT, iniciándose el estudio para una

superficie combinada y descompuesta en dos módulos, seguida de varios estudios

sobre perfiles formados por tres módulos, para los que se ha calculado el valor de la

relación adimensional p/2k en cada uno de ellos, recogiendo los valores en las

tablas 7.1 a 7.5 y su evolución gráfica, así como la composición de módulos, en las

figuras 7.3 a 7.14.

La figura 7.1 refleja la evolución básica de deformación contemplada en este

análisis, esto es, cómo un cuarto de una pieza prismática reduce su altura a costa de

aumentar su longitud (deformación plana).

Figura 7.1 deformación de módulo de PPP.

Los módulos tipo, ya suficientemente estudiados en capítulos anteriores, son

los de PPP y PPI, los cuales se reproducen a continuación en la figura 7.2.

Estudio de sensibilidad y aplicaciones. Capítulo 7

271

Figura 7.2 Configuración de 2 módulos y variación de la altura final del segundo

módulo.

En las aplicaciones planteadas en este capítulo se contempla, para todos los

casos, rozamiento por adherencia, con un valor moderado de, sin inclusión de

efectos tales como la acritud o la temperatura. Con ello se busca principalmente

poner de manifiesto las diferentes evoluciones que presenta la carga aplicada,

dependiendo del perfil de aplicación de la deformación.

En todos los módulos estudiados en cada una de las diferentes aplicaciones

contempladas se ha considerado que b1=b2=b3 y que la altura del primer módulo

adquiere un valor inicial h1=3.

Consecuentemente al enfoque modular, cada uno de los módulos está

compuesto de 3 BRT.

El resultado de la combinación de dos módulos proporciona un primer paso

para la obtención del valor buscado de la carga necesaria para conseguir la

deformación plástica en el proceso de forja, definido geométricamente con los

módulos implicados.

El objetivo final del análisis consiste en ampliar de forma variable el número

de módulos que intervienen en la definición de la geometría de estampación. Para

h1

x1 b1

B Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

h2 Φ1θ1 h1

b1

x1

B

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

A

CE D

h2Φ1

θ1α


272

ello será necesario obtener una generalización completa de la ecuación

adimensional total pT/2k:

( )( )

=++++

+++⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

+++

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

= ...

22

22

2 4321

4321321

32121

21

bbbb

bk

Pbbb

bbb

bk

Pbb

bb

bk

Pb

kP

kP

D

C

BA

T (7.1)

( )=

+++

⋅+⋅+⋅+⋅⋅= ...2

1

4321

4321

bbbb

bPbPbPbPk DCBA

(7.2)

∑

∑= i

i

i

ii

h b

bP

kkPT

1

1

21

2 (7.3)

siendo i = 1, 2, 3 ...

La generalización de aplicación del método se forma a través de la obtención

de una media ponderada en la que los “pesos” de cada uno de los módulos vienen

determinados por el ancho bi de cada uno de ellos.


273

Figura 7.3 Configuración de módulos PPP y PPI.

El primer perfil considerado se compone de dos módulos, uno inicial PPP,

seguido a continuación de uno PPI con una inclinación de 15º positivos, por lo que la

altura de la zona de salida del material (derecha) será menor que la altura de

entrada (izquierda).

Figura 7.4 Evolución de p/2k de primer, segundo módulo y perfil combinado.

Ha de observarse que, debido a la estructura de las ecuaciones, en los

resultados de p/2k para el segundo módulo están implícitamente incorporado el

0

1

2

3

4

5

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3b/h

p/2k

Módulo1

Módulo2

Total Módulos

h1

x1

b1

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

C

h2 Φ1θ1

b2

x

Vv

BRT1

BRT2

BRT3

h3Φ

θ2α


274

efecto que produce la existencia del módulo previo, en cuanto a su geometría, por lo

que no sería necesario, bajo esta única consideración, realizar una combinación de

los valores de p/2k de ambos módulos. Sin embargo, dadas las peculiaridades de la

aplicación del TLS mediante BRT, el problema cinemático se encuentra desacoplado

respecto al dinámico, por lo que las ecuaciones de las velocidades de entrada y

salida de material son independientes de los parámetros que afectan a la interfase

herramienta-pieza, e incluso de factores tales como la temperatura o el

endurecimiento, que sin embargo sí presenta una influencia directa en el valor de la

relación p/2k. Por ello resulta necesario establecer una combinación de los

diferentes valores de esta relación en cada uno de los módulos implicados,

combinación en la que cada módulo impondrá su mayor efecto en función del ancho

b de cada uno. El valor resultante de esta ponderación representará la carga a

aplicar sobre el perfil completo.

Una vez contemplado una primera combinación de dos módulos, que será la

base de los diferentes estudios que den cuerpo al análisis de sensibilidad realizado

al final de este capítulo, van a ser analizados diferentes perfiles tecnológicos

relativamente simples, pero ajustados a secciones reales de trabajo y

descompuestos en tres módulos de placas planas no necesariamente paralelas.

En todos los casos contemplados el rozamiento incorporado es de adherencia

y con un valor de m=0,1. Por otra parte, hay que tener presente que los perfiles

propuestos responden a un cuarto de la pieza real, debido a la doble simetría

impuesta, indicada en el capítulo 2.


275

7.2 Perfil compuesto de módulos PPP-PPI-PPP; 15º de inclinación en el módulo PPI

Figura 7.5 Configuración de 3 módulos PPP-PPI-PPP.

Figura 7.6 Evolución de p/2k para 3 módulos PPP-PPI-PPP.

Se aprecia como el primer módulo PPP modera su influencia para factores de

forma próxima a 2 (ligeramente modificado por la presencia del rozamiento),

mientras que el segundo módulo sí es especialmente sensible, incrementándose el

valor de la carga en virtud del aumento del factor de forma. El conjunto del perfil, y

dado que el tercer módulo es de placas paralelas, modera su definitivo valor para

p/2k. La curva obtenida de la media de los tres módulos se asemeja notablemente a

la del tercero de ellos, puesto que la influencia geométrica, tal y como se ha

indicado, ya está integrada en la solución modular.

h

0

1

2

3

4

5

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3b/h

p/2k

Módulo1

Módulo2

Módulo3

Total Módulos


276

Tabla 7.1 Resultados de p/2k para 3 módulos PPP-PPI-PPP.

Módulo1 Módulo2 Módulo3 Total Módulos0,1 5,03 15,43 14,76 11,740,2 2,55 7,95 7,28 5,250,3 1,73 5,48 4,81 3,610,4 1,33 4,26 3,59 2,800,5 1,10 3,54 2,87 2,320,6 0,95 3,08 2,40 2,010,7 0,85 2,76 2,07 1,800,8 0,78 2,53 1,84 1,650,9 0,73 2,36 1,67 1,54

1 0,69 2,24 1,54 1,461,1 0,66 2,15 1,44 1,411,2 0,64 2,08 1,36 1,361,3 0,63 2,04 1,31 1,331,4 0,62 2,02 1,27 1,321,5 0,61 2,00 1,24 1,311,6 0,61 2,01 1,23 1,311,7 0,61 2,02 1,22 1,321,8 0,61 2,04 1,23 1,331,9 0,62 2,08 1,24 1,35

2 0,63 2,12 1,26 1,372,1 0,63 2,18 1,29 1,402,2 0,64 2,24 1,32 1,442,3 0,65 2,31 1,36 1,482,4 0,66 2,40 1,41 1,532,5 0,67 2,49 1,46 1,582,6 0,69 2,59 1,52 1,642,7 0,70 2,71 1,59 1,702,8 0,71 2,84 1,67 1,782,9 0,73 2,98 1,75 1,85

3 0,74 3,14 1,85 1,94


277

7.3 Perfil compuesto de módulos PPI-PPP-PPI; 5º de inclinación en cada uno de los módulos PPI

Figura 7.7 Configuración de 3 módulos PPI-PPP-PPI.

Figura 7.8 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPP-PPI.

Incluso con solo 5º de inclinación en los módulos PPI, la influencia es decisiva

en este tipo de configuraciones (véanse las líneas correspondientes al primer y

tercer módulo -líneas magenta y azul-), y por lo tanto se observa el ascenso (leve en

este caso) que se produce en los valores de p/2k para los módulos afectados.

h

h

0

1

2

3

4

5

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3b/h

p/2k

Módulo1

Módulo2

Módulo3

Total Módulos


278

Tabla 7.2 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPP-PPI.

Módulo1 Módulo2 Módulo3 Total Módulos

0,1 5,05 14,94 15,11 11,700,2 2,57 7,46 7,64 5,010,3 1,75 4,98 5,17 3,370,4 1,35 3,76 3,95 2,550,5 1,12 3,03 3,23 2,080,6 0,97 2,56 2,76 1,760,7 0,87 2,22 2,43 1,550,8 0,80 1,98 2,20 1,390,9 0,75 1,80 2,02 1,28

1 0,72 1,66 1,89 1,191,1 0,69 1,55 1,79 1,121,2 0,68 1,46 1,72 1,071,3 0,66 1,39 1,66 1,031,4 0,66 1,33 1,62 1,001,5 0,66 1,29 1,59 0,971,6 0,66 1,25 1,58 0,961,7 0,66 1,23 1,57 0,941,8 0,67 1,20 1,57 0,941,9 0,68 1,19 1,58 0,93

2 0,69 1,18 1,59 0,932,1 0,71 1,17 1,61 0,942,2 0,72 1,17 1,64 0,942,3 0,74 1,17 1,67 0,952,4 0,75 1,17 1,70 0,962,5 0,77 1,17 1,75 0,972,6 0,79 1,18 1,79 0,992,7 0,82 1,19 1,84 1,002,8 0,84 1,20 1,90 1,022,9 0,86 1,21 1,96 1,04

3 0,89 1,23 2,02 1,06


279

7.4 Perfil compuesto de módulos PPI con ángulos de inclinación de -10º, -8º y -6º respectivamente en cada uno de los módulos

Figura 7.9 Configuración de 3 módulos PPI-PPI-PPI con inclinación negativa.

Figura 7.10 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI.

Los tres módulos presentan una inclinación negativa, cada vez más

moderada, y compensan con esta inclinación el aumento de la velocidad de fluencia

de material, este hecho origina la pendiente suavemente descendente de las curvas

de la figura 7.10.

0

1

2

3

4

5

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3b/h

p/2k

Módulo1

Módulo2

Módulo3

Total Módulos


280

Tabla 7.3 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI.


1 0,64 1,62 1,79 1,131,1 0,61 1,50 1,67 1,051,2 0,59 1,39 1,56 0,991,3 0,57 1,31 1,48 0,941,4 0,56 1,23 1,41 0,891,5 0,54 1,17 1,35 0,861,6 0,54 1,12 1,29 0,831,7 0,53 1,07 1,25 0,801,8 0,53 1,03 1,21 0,781,9 0,53 0,99 1,17 0,76

2 0,53 0,95 1,14 0,742,1 0,53 0,92 1,11 0,732,2 0,53 0,90 1,09 0,712,3 0,53 0,87 1,06 0,702,4 0,53 0,85 1,04 0,692,5 0,54 0,83 1,03 0,682,6 0,54 0,81 1,01 0,672,7 0,55 0,79 0,99 0,672,8 0,55 0,77 0,98 0,662,9 0,56 0,76 0,97 0,66

3 0,56 0,74 0,95 0,65


281

7.5 Perfil compuesto de módulos PPI-PPI-PPI con ángulos de inclinación de 10º, 5º y 3º respectivamente para cada uno de los módulos

Figura 7.11 Configuración de 3 módulos PPI-PPI-PPI.

Figura 7.12 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI.

Este caso, opuesto en cierto sentido al anterior, muestra una pendiente

ascendente más acusada puesto que la inclinación positiva de los módulos acumula,

de forma creciente, el aumento de velocidad de fluencia de cada uno de los

módulos, por ello, el tercer módulo (azul) presenta la mayor pendiente.

h

h

h2

0

1

2

3

4

5

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3b/h

p/2k

Módulo1

Módulo2

Módulo3

Total Módulos


282

Tabla 7.4 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI.


1 0,75 1,73 1,67 1,241,1 0,73 1,63 1,58 1,181,2 0,71 1,55 1,52 1,131,3 0,71 1,50 1,47 1,101,4 0,71 1,46 1,45 1,081,5 0,71 1,43 1,44 1,071,6 0,72 1,41 1,44 1,061,7 0,73 1,40 1,45 1,071,8 0,74 1,41 1,48 1,071,9 0,76 1,42 1,52 1,09

2 0,78 1,43 1,56 1,112,1 0,80 1,46 1,62 1,132,2 0,83 1,49 1,70 1,162,3 0,85 1,53 1,78 1,192,4 0,88 1,58 1,88 1,232,5 0,92 1,63 2,00 1,272,6 0,95 1,69 2,13 1,322,7 0,99 1,76 2,29 1,372,8 1,03 1,83 2,46 1,432,9 1,07 1,92 2,67 1,49

3 1,11 2,01 2,90 1,56


283

7.6 Perfil compuesto de módulos PPI-PPI-PPI con inclinación negativa de -5º, -10º, y -5º respectivamente para cada módulo

Figura 7.13 Configuración de 3 módulos PPI-PPI-PPI con inclinación negativa.

Figura 7.14 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI con inclinación negativa.

El aumento creciente en la inclinación negativa de los módulos hace que no

sólo no se compense la velocidad de fluencia del material sino que el valor de p/2k

incluso disminuya dado que hay una fluencia no natural del material.

0

1

2

3

4

5

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3b/h

p/2k

Módulo1

Módulo2

Módulo3

Total Módulos


284

Tabla 7.5 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI con inclinación

negativa.


1 0,67 1,49 1,78 1,081,1 0,64 1,36 1,66 1,001,2 0,61 1,26 1,56 0,941,3 0,60 1,17 1,47 0,891,4 0,59 1,10 1,40 0,841,5 0,58 1,04 1,34 0,811,6 0,57 0,98 1,29 0,781,7 0,57 0,94 1,25 0,751,8 0,57 0,89 1,21 0,731,9 0,57 0,86 1,18 0,71

2 0,57 0,82 1,15 0,702,1 0,57 0,79 1,12 0,682,2 0,58 0,76 1,10 0,672,3 0,58 0,74 1,07 0,662,4 0,59 0,72 1,05 0,652,5 0,60 0,69 1,04 0,652,6 0,60 0,67 1,02 0,642,7 0,61 0,65 1,01 0,632,8 0,62 0,64 0,99 0,632,9 0,63 0,62 0,98 0,62

3 0,64 0,60 0,97 0,62


285

7.7 Aplicación del método a caso tecnológico

Si en los casos estudiados con anterioridad se han contemplado tres módulos

estableciendo diferentes combinaciones entre ellos, se va a proceder en esta

ocasión a aplicar el método propuesto del TLS mediante el modelo de bloques

rígidos triangulares para un perfil más próximo a los dispuestos en la industria

(importante es considerar la existencia de la hipótesis de deformación plana, como

elemento que aleja al modelo de la realidad).

La vinculación existente entre módulos viene determinada por las velocidades

de salida del material de un primer módulo que se convierte en la velocidad de

entrada del material en el módulo siguiente. Esta relación de velocidades queda

recogida en los capítulos 3, 4 y 5 dedicados a la metodología de aplicación del

método (Fig. 7.15)

Figura 7.15 Velocidad del material entre módulos.

Por lo tanto, se va a considerar el perfil de la figura 7.16 compuesto

inicialmente por 6 módulos, pero sobre el que es posible aplicar la optimización

pretendida con los BRT bajo enfoque Modular. De esta forma, el módulo 3, que

presenta un factor de forma (relación b/h) elevado se subdividirá en dos módulos

PPP con igual ancho (b3=b4 en este caso), y el perfil total estará compuesto de 7

módulos en esta segunda opción.


286

Se analizará cual es el factor de forma (del perfil total) a partir del cual es más

favorable calcular p/2k por uno u otro camino.

a) b)

Figura 7.16 a) Sección de la pieza de trabajo b) División Modular.

Dado que se va a contemplar en el análisis un cuarto de pieza (figura 7.17),

se indican las cotas de cada una de las dimensiones a tener en consideración en el

cálculo:

Figura 7.17 Dimensionamiento cuarto de pieza.

Los valores de partida son:

h1=6; b1=3; b2=2; b3=6; b4=2; b5=2,5; b6=1,5; α1=0; α2= 50; α3=0; α4= -40; α5=0;

α6=35

h1

b5 b3 b2 b4 b1 b6

α1 α2 α3


287

El análisis que se pretende realizar es aquel que de respuesta a la

deformación de la pieza de la figura 7.16, por lo que hay que considerar que la altura

h1 inicial del módulo irá disminuyendo conforme progresa la deformación, este

descenso de la matriz superior implica el hecho de que los factores de forma (b/h) de

cada módulo se van alterando, más concretamente, van aumentando, puesto que el

ancho de cada módulo se mantiene constante, pero la altura de cada uno de ellos

disminuye (Fig.7.18).

Figura 7.18 Descenso de la matriz superior.

Se establece, como ya se ha indicado una primera subdivisión en 6 módulos

PPP y PPI según sea el caso como se muestra en la figura 7.19.

Figura 7.19 División en 6 Módulos.

La segunda opción dispone que el BRT3 se subdivida en dos módulos de

ancho igual a 3 cada uno, con lo que se obtendrá (Fig. 7.20). Puede observarse en

la figura 7.21 la evolución de las relaciones de forma de cada módulo conforme

BRT1

BRT4 BRT2

BRT3

BRT6 BRT5


288

progresa la deformación, lo que determinará el instante en el que la segunda opción

sea más favorable que la primera en virtud de una menor distorsión de los BRT

(recluidas en las líneas rojas) que conforman cada uno de los módulos.

Figura 7.20 División en 7 Módulos.

Figura 7.21 Modificación del factor de forma debida a la deformación.

Realizadas estas consideraciones se procede a mostrar la evolución de la

relación adimensional p/2k frente al factor de forma del cuarto de pieza completo,

donde se aprecia la evolución para cada uno de los módulos (en el primer caso

formado por 6 Módulos), así como la del conjunto de todos ellos, y que representa la

establecida para el cuarto de pieza en estudio (línea Total Módulos) en la figura

7.22.

BRT1

BRT5 BRT2

BRT3

BRT7 BRT6

BRT4


289

Figura 7.22 p/2k frente bTotal/h para 6 Módulos.

Tabla 7.6 Valores p/2k frente bTotal/h para 6 Módulos.

De igual forma se obtiene la evolución de p/2k para una disposición de 7

Módulos (Fig.7.23 y Tabla 7.7):

0

1

2

3

4

5

6

7

8

3 4 5 6

Módulo1Módulo2Módulo3Módulo4Módulo5Módulo6Total Módulos

bTotal/h1 h1 Módulo1 Módulo2 Módulo3 Módulo4 Módulo5 Módulo6 Total Módulos2,83 6,00 2,19 5,51 1,57 -0,77 2,67 6,18 2,442,93 5,80 2,13 5,45 1,59 -0,84 2,61 6,08 2,403,04 5,60 2,07 5,39 1,62 -0,91 2,56 5,97 2,373,15 5,40 2,01 5,34 1,66 -0,98 2,50 5,87 2,343,27 5,20 1,95 5,29 1,71 -1,05 2,45 5,78 2,323,40 5,00 1,89 5,25 1,77 -1,12 2,40 5,68 2,303,54 4,80 1,83 5,22 1,85 -1,19 2,36 5,60 2,293,70 4,60 1,78 5,20 1,95 -1,25 2,31 5,52 2,293,86 4,40 1,72 5,19 2,07 -1,32 2,27 5,44 2,314,05 4,20 1,67 5,20 2,23 -1,39 2,24 5,38 2,334,25 4,00 1,61 5,24 2,43 -1,47 2,21 5,33 2,384,47 3,80 1,56 5,30 2,71 -1,55 2,19 5,30 2,464,72 3,60 1,51 5,41 3,08 -1,66 2,17 5,28 2,585,00 3,40 1,46 5,59 3,61 -1,82 2,17 5,29 2,765,31 3,20 1,42 5,89 4,42 -2,08 2,18 5,34 3,055,67 3,00 1,38 6,40 5,78 -2,57 2,20 5,45 3,546,07 2,80 1,34 7,43 8,47 -3,70 2,24 5,64 4,49


290


Tabla 7.7 Valores p/2k frente bTotal/h para 7 Módulos.

La solución al problema de optimización queda resuelta al comparar las

curvas de evolución de p/2k para 6 y 7 módulos manteniendo como comunes los

factores de forma (Fig.7.24).

h1 bTotal/h1 Módulo1 Módulo2 Módulo3 Módulo4 Módulo5 Módulo6 Módulo7 Total Módulos6,00 2,83 2,19 5,51 1,86 1,86 -0,08 2,53 5,98 2,585,80 2,93 2,13 5,45 1,83 1,83 -0,15 2,47 5,87 2,535,60 3,04 2,07 5,39 1,81 1,81 -0,23 2,40 5,76 2,475,40 3,15 2,01 5,34 1,79 1,79 -0,31 2,34 5,66 2,425,20 3,27 1,95 5,29 1,78 1,78 -0,38 2,28 5,57 2,385,00 3,40 1,89 5,25 1,78 1,78 -0,45 2,23 5,48 2,344,80 3,54 1,83 5,22 1,79 1,79 -0,53 2,17 5,39 2,304,60 3,70 1,78 5,20 1,81 1,81 -0,60 2,12 5,31 2,274,40 3,86 1,72 5,19 1,85 1,85 -0,67 2,07 5,25 2,264,20 4,05 1,67 5,20 1,91 1,91 -0,74 2,02 5,19 2,254,00 4,25 1,61 5,24 2,01 2,01 -0,82 1,98 5,15 2,263,80 4,47 1,56 5,30 2,15 2,15 -0,90 1,94 5,13 2,293,60 4,72 1,51 5,41 2,36 2,36 -1,00 1,91 5,14 2,353,40 5,00 1,46 5,59 2,68 2,68 -1,14 1,89 5,19 2,463,20 5,31 1,42 5,89 3,18 3,18 -1,34 1,87 5,28 2,653,00 5,67 1,38 6,40 4,06 4,06 -1,72 1,87 5,45 2,982,80 6,07 1,34 7,43 5,84 5,84 -2,58 1,88 5,73 3,65

0

1

2

3

4

5

6

7

8

3 4 5 6

Módulo1Módulo2Módulo3Módulo4Módulo5Módulo6Módulo7Total Módulos


291


Así pues, como se aprecia en la figura 7.24, a partir de un factor de forma

global (bTotal/h) de 3,5, los valores de p/2k que determinan el límite superior en

cada caso son más reducidos con la opción de modular el perfil completo en 7

Módulos.

Dado que las curvas muestran la deformación de una pieza desde sus dimensiones

iniciales (h1=6) hasta las que determinan el final de la deformación (h1=2,8), la curva

final a considerar será la compuesta por la línea roja (6 Módulos) en la fase inicial de

la deformación hasta alcanzar el factor de forma de 3,5 mencionado, y a partir de

este instante progresar en el cálculo mediante la línea azul (7 Módulos), puesto que

determinan los valores mínimos en cada situación, y estos valores mínimos son los

que materializan el límite superior buscado.

0

1

2

3

4

5

6

3 4 5 6bTotal/h

p/2k

6 Módulos7 Módulos

CAPÍTULO 8

CONCLUSIONES

No se deben hacer predicciones, en especial sobre el futuro.

N. Böhr

Capítulo 8

CONCLUSIONES

8.1 Introducción

A lo largo de este último capítulo de la Tesis se pretende realizar un

seguimiento general de las aportaciones efectivas que finalmente se han realizado

en cada uno de los capítulos precedentes, con un análisis comparativo frente a los

objetivos que fueron descritos al inicio de la misma para, de esta forma, identificar su

grado de consecución.

La estructura empleada radica en la consideración de tres apartados. En el

primero se analizarán los resultados generales, exponiendo a grandes rasgos los

objetivos básicos alcanzados, considerados éstos como el cuerpo fundamental de la

presente Tesis. La segunda parte se dedica a la exposición de las conclusiones

particulares, especificando aquellos otros resultados, análisis y logros que, si bien no

formaban parte en su conjunto del objetivo fundamental, han tenido que ser

igualmente desarrollados como elementos complementarios en el proceso de

culminación de aquellos otros más generales. Finalmente, la tercera y última parte


296

aporta una visión de la Tesis orientada hacia el futuro, basándose en las

características de los resultados obtenidos, para sugerir propuestas de posibles

desarrollos futuros que cierren aquellas puertas abiertas por la presente Tesis, en

cuanto a nuevas posibilidades de aplicación del método, dada la necesidad de

acotar el tiempo de su desarrollo.

8.2 Conclusiones generales

Mediante la Tesis expuesta en la presente memoria se ha conseguido

alcanzar los objetivos principales que fueron especificados en el capítulo 1, mediante

el planteamiento inicial y justificación de la misma. El desarrollo del estudio realizado

y el análisis de los datos generados permiten obtener las siguientes conclusiones

generales.

- Se ha constatado la ausencia en un elevado número de trabajos exhaustivos

previos sobre estudios analíticos de aplicación del Teorema del Límite

Superior mediante el modelo de Bloques Rígidos Triangulares.

- Se ha implantado un método analítico ampliamente desarrollado para

geometrías no restringidas a placas planas paralelas, el cual posibilita la

incorporación de parámetros esenciales en el proceso de conformado por

deformación plástica.

- Se han efectuado un conjunto de propuestas metodológicas con las que

incorporar de una forma concreta los diferentes parámetros tecnológicos ya

indicados, entre los que cabe mencionar la influencia del rozamiento, la

temperatura, o el endurecimiento del material debido al propio proceso de

deformación.

- El tratamiento particular de estas metodologías ha permitido identificar la

problemática global y el modo de afrontarlas mediante diferentes enfoques.

Conclusiones. Capítulo 8

297

- Se ha conseguido realizar un análisis comparativo entre métodos de diferente

concepción matemática, dada la versatilidad que presenta el modelo

propuesto en la Tesis, con el que se ha podido adaptar a las condiciones de

trabajo de métodos como el de elementos finitos.

- Se ha realizado un amplio estudio de sensibilidad con el que establecer el

rango de aplicación óptima del método.

8.3 Conclusiones particulares

Además de las conclusiones generales, anteriormente indicadas, que trataban

de dar respuesta a las expectativas globales de los objetivos planteados en la

justificación de la Tesis, también se pueden extraer otras conclusiones, más

particulares y específicas que, sin estar previstas inicialmente, han surgido en el

desarrollo de las herramientas de análisis. Entre ellas se pueden destacar las

siguientes:

- El método propuesto, y que ya se ha expuesto en las conclusiones generales,

presenta un valor añadido que radica en el hecho de la sencillez, desde un

punto de vista matemático, de aplicación del mismo.

- De forma paralela a dicha sencillez, es notable destacar el reducido coste

computacional que presenta la implementación y el posterior uso del método

basado en el Teorema del Límite Superior aquí desarrollado, frente a otros

alternativos como el correspondiente al Método de Elementos Finitos, descrito

en el capítulo 6.

- El doble enfoque planteado al implementar el método ha permitido dar una

solución coherente a los diferentes problemas, tanto geométricos como

tecnológicos, que han ido presentándose a lo largo del desarrollo de la Tesis.

- De estos dos enfoques, es el denominado Modular aquel que ha configurado

la estructura final de la solución general de aplicación del modelo,


298

constituyendo este nuevo enfoque un elemento innovador, puesto que se

aleja del tratamiento tradicional presente en la bibliografía clásica. El carácter

modular de esta propuesta, que divide la superficie a estudiar en zonas

discretas, conformadas cada una de ellas por un conjunto de tres bloques

rígidos triangulares, posibilita su adaptación a configuraciones geométricas

muy diversas.

- La versatilidad del modelo permite su adaptación a perfiles de deformación

del material que responden a configuraciones geométricas formadas por la

combinación de placas planas paralelas y placas planas inclinadas,

teóricamente sin limitación alguna, si bien tecnológicamente se determinará

un rango óptimo de aplicación.

- El modelo posibilita la discriminación de las diferentes componentes

energéticas presentes en un proceso de deformación plástica, lo que facilita la

consideración de la influencia de cada una de las mismas. Así, la distorsión

del material se verá incorporada a través de las superficies de discontinuidad

establecidas entre bloques rígidos, mientras que el rozamiento -tanto interno

como externo- será incorporado a partir de los coeficientes de rozamiento

oportunos y de la tensión de fluencia del material.

- El rozamiento externo existente en la interfase herramienta-pieza,

considerado como uno de los parámetros tecnológicos fundamentales, es

incorporado en sus dos opciones, esto es, como rozamiento por adherencia y

como rozamiento por deslizamiento, presentando la posibilidad incluso de su

presencia de forma combinada en un proceso desarrollado en zonas

previamente definidas del mismo.

- La incorporación del rozamiento por deslizamiento ha obligado a realizar un

diferente tratamiento matemático, debido a la dependencia de la carga

aplicada, en la consecución de sus resultados. Esta diferente operativa,

efectuada mediante un proceso iterativo, presenta una elevada convergencia

en los resultados obtenidos.

Conclusiones. Capítulo 8

299

- El modelo implementado abre la posibilidad de incorporar diferentes

parámetros adicionales al del rozamiento indicado con anterioridad, entre

ellos la acritud y la temperatura, que condicionan el valor de la tensión de

fluencia a cortadura pura del material en estudio. La inclusión de estos

factores acerca a la realidad el valor de los resultados finales, puesto que

elimina, en cierta medida, las hipótesis simplificadoras de partida que

consideran nula sus influencias.

- La modelización del método, fundamentalmente geométrica, aporta la ventaja

adicional de poder obtener, en cualquier punto, las velocidades de cada una

de las zonas virtuales rígidas consideradas, y con ello, a través de la primera

y última zona considerada, la velocidad de fluencia, tanto de entrada como de

salida, del material

- El carácter geométrico del modelo genera un campo de optimización en el

cálculo de la carga límite aplicada a partir de la modificación en el número de

módulos considerados, inicialmente con un mismo número de BRT en cada

uno de ellos, pero con la posibilidad de que este número de BRT sea, a su

vez, modificado.

- De forma colateral, han sido adicionalmente contempladas comparaciones

puntuales con métodos analíticos simples ya considerados en la bibliografía

clásica.

- Los resultados obtenidos presentan un alto nivel de robustez, generándose

incoherencias sólo en aquellas situaciones en las que las singularidades

trigonométricas así lo imponen.

- En último lugar, y no por ello de menor importancia, ha sido posible establecer

curvas que representan el límite superior necesario para garantizar la

realización de un determinado proceso de forja, teniendo presente en cada


300

situación todos los parámetros tecnológicos y geométricos anteriormente

indicados.

8.4 Líneas de desarrollo futuro Si bien la aplicación del método analítico propuesto en esta Tesis se ha visto

sometido a una completa evolución desde la idea original, hasta alcanzar la solución

final, se considera que con él se abren ciertas posibilidades de desarrollo ulterior.

Entre otras, podríamos indicar la posibilidad de realización de un programa

informático en el que, mediante rutinas, facilite una integración del sistema,

facilitando las potencialidades del modelo establecido. Este programa, bajo entornos

CAD-CAM-CAE tendría una clara vocación industrial.

Desde la vertiente docente, consideramos a su vez de gran interés formalizar

un programa similar al anterior, con un grado menor de complejidad y orientado al

alumno dentro del espacio europeo de enseñanza superior (EEES).

La ampliación en el análisis a otras geometrías y procesos tanto estacionarios como no estacionarios no contemplados en el presente análisis, así como someter al modelo a situaciones particulares en zonas locales que presenten algún tipo de singularidad.

REFERENCIAS

El plagio anticipador sucede cuando alguien roba tu idea original y la publica cien años antes de que tú nazcas.

R. Menton

Referencias. Capítulo 9

303

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ANEXO A

Si me dan una fómula, e ignoro su significado, no me enseña nada; pero si ya la conozco. ¿Qué es lo que me enseña?

S. Agustín

ANEXO A

A1.1 Introducción

Tal y como se ha indicado en diferentes apartados de los capítulos 3

(Metodología general), 4 (Metodología bajo enfoque No Modular), 5 (Metodología

bajo enfoque Modular) y 6 (Aplicaciones), en el presente anexo se incluye mediante

gráficos y tablas, una recopilación más exhaustiva de los diversos casos

contemplados sometidos a la variación de valores de los parámetros considerados

en cada caso.

A1.2 Enfoque no modular disposición contraria para 3, 4 y 5 BRT

La disposición contraria de BRT es, tal y como se indicó en el capítulo 3, aquella

originaria disposición de bloques modificada con posterioridad para resolver el

problema de la continuidad de material mediante bloques virtuales manteniendo una

forma triangular.

A partir de esta configuración se realizaron una serie de estudios previos con los

que determinar la evolución del método, y para ello se ofrecen a continuación (Figs.

A.1 a A.6) las diferentes curvas, resultantes de una pieza a analizar con un factor de


322

forma variable (b/h) para coeficientes de rozamiento por adherencia con valores

límite de 0 y 1. Las tablas que recogen los valores que conforman las curvas antes

citadas vienen recogidos en las Tablas A.1 a A.6.

Se contempla el presente estudio para un configuraciones diferentes de 3, 4 y

5 BRT. El conjunto de curvas de color negro, reúne las soluciones de la

configuración de BRT establecida para un mismo valor del área de material a

deformar, por lo que al ir modificándose el valor de la altura del cuarto de pieza a

estudiar (h), irá modificándose, a su vez, el valor de b (ancho de la pieza).

Figura A.1 Evolución de p/2k con m=0 para 3 BRT contrario

Tabla A.1 Valores de la evolución de p/2k con m=0 para 3 BRT contrario.

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5b/h

p/2k

b h1=2 b h1=1,8 b h1=1,6 b h1=1,4b h1=1,2 b h1=1 b h1=0,8b h1=0,6b h1=0,4 b h1=0,20,20 10,03 0,22 8,13 0,25 6,44 0,29 4,95 0,33 3,67 0,40 2,60 0,50 1,76 0,67 1,18 1,00 1,03 2,00 2,600,40 6,70 0,44 5,45 0,50 4,33 0,57 3,34 0,67 2,50 0,80 1,82 1,00 1,30 1,33 1,02 2,00 1,20 4,00 3,820,60 5,05 0,67 4,11 0,75 3,28 0,86 2,55 1,00 1,94 1,20 1,45 1,50 1,11 2,00 1,01 3,00 1,45 6,00 5,050,80 4,06 0,89 3,32 1,00 2,66 1,14 2,09 1,33 1,61 1,60 1,25 2,00 1,03 2,67 1,05 4,00 1,72 8,00 6,291,00 3,41 1,11 2,79 1,25 2,25 1,43 1,79 1,67 1,41 2,00 1,13 2,50 1,00 3,33 1,13 5,00 2,01 10,00 7,531,20 2,94 1,33 2,42 1,50 1,97 1,71 1,58 2,00 1,27 2,40 1,06 3,00 1,00 4,00 1,23 6,00 2,30 12,00 8,781,40 2,60 1,56 2,15 1,75 1,76 2,00 1,43 2,33 1,18 2,80 1,03 3,50 1,03 4,67 1,34 7,00 2,60 14,00 10,031,60 2,33 1,78 1,94 2,00 1,60 2,29 1,32 2,67 1,11 3,20 1,01 4,00 1,06 5,33 1,45 8,00 2,90 16,00 11,271,80 2,13 2,00 1,77 2,25 1,48 2,57 1,24 3,00 1,07 3,60 1,00 4,50 1,10 6,00 1,57 9,00 3,21 18,00 12,522,00 1,96 2,22 1,64 2,50 1,38 2,86 1,17 3,33 1,04 4,00 1,00 5,00 1,15 6,67 1,69 10,00 3,51 20,00 13,772,20 1,82 2,44 1,54 2,75 1,30 3,14 1,12 3,67 1,02 4,40 1,02 5,50 1,20 7,33 1,82 11,00 3,82 22,00 15,022,40 1,70 2,67 1,45 3,00 1,24 3,43 1,09 4,00 1,01 4,80 1,03 6,00 1,26 8,00 1,94 12,00 4,12 24,00 16,272,60 1,60 2,89 1,37 3,25 1,19 3,71 1,06 4,33 1,00 5,20 1,06 6,50 1,32 8,67 2,07 13,00 4,43 26,00 17,512,80 1,52 3,11 1,31 3,50 1,15 4,00 1,04 4,67 1,00 5,60 1,08 7,00 1,39 9,33 2,20 14,00 4,74 28,00 18,763,00 1,45 3,33 1,26 3,75 1,11 4,29 1,02 5,00 1,01 6,00 1,11 7,50 1,45 10,00 2,33 15,00 5,05 30,00 20,013,20 1,39 3,56 1,22 4,00 1,08 4,57 1,01 5,33 1,01 6,40 1,14 8,00 1,52 10,67 2,47 16,00 5,36 32,00 21,263,40 1,34 3,78 1,18 4,25 1,06 4,86 1,00 5,67 1,03 6,80 1,18 8,50 1,58 11,33 2,60 17,00 5,67 34,00 22,513,60 1,29 4,00 1,15 4,50 1,04 5,14 1,00 6,00 1,04 7,20 1,21 9,00 1,65 12,00 2,73 18,00 5,98 36,00 23,763,80 1,25 4,22 1,12 4,75 1,03 5,43 1,00 6,33 1,05 7,60 1,25 9,50 1,72 12,67 2,87 19,00 6,29 38,00 25,014,00 1,21 4,44 1,10 5,00 1,02 5,71 1,00 6,67 1,07 8,00 1,29 10,00 1,79 13,33 3,00 20,00 6,60 40,00 26,264,20 1,18 4,67 1,08 5,25 1,01 6,00 1,01 7,00 1,09 8,40 1,33 10,50 1,86 14,00 3,14 21,00 6,91 42,00 27,514,40 1,16 4,89 1,06 5,50 1,01 6,29 1,01 7,33 1,11 8,80 1,37 11,00 1,94 14,67 3,27 22,00 7,22 44,00 28,764,60 1,13 5,11 1,05 5,75 1,00 6,57 1,02 7,67 1,13 9,20 1,41 11,50 2,01 15,33 3,41 23,00 7,53 46,00 30,014,80 1,11 5,33 1,03 6,00 1,00 6,86 1,03 8,00 1,16 9,60 1,45 12,00 2,08 16,00 3,54 24,00 7,84 48,00 31,265,00 1,09 5,56 1,02 6,25 1,00 7,14 1,04 8,33 1,18 10,00 1,49 12,50 2,15 16,67 3,68 25,00 8,16 50,00 32,515,20 1,08 5,78 1,02 6,50 1,00 7,43 1,05 8,67 1,20 10,40 1,54 13,00 2,23 17,33 3,82 26,00 8,47 52,00 33,765,40 1,06 6,00 1,01 6,75 1,00 7,71 1,06 9,00 1,23 10,80 1,58 13,50 2,30 18,00 3,95 27,00 8,78 54,00 35,015,60 1,05 6,22 1,01 7,00 1,01 8,00 1,08 9,33 1,26 11,20 1,62 14,00 2,38 18,67 4,09 28,00 9,09 56,00 36,265,80 1,04 6,44 1,00 7,25 1,01 8,29 1,09 9,67 1,28 11,60 1,67 14,50 2,45 19,33 4,23 29,00 9,40 58,00 37,516,00 1,03 6,67 1,00 7,50 1,02 8,57 1,11 10,00 1,31 12,00 1,71 15,00 2,53 20,00 4,36 30,00 9,71 60,00 38,76

Anexo A

323


Tabla A.2 Valores de la evolución de p/2k con m=1 para 3 BRT contrario

h1=2

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5

b h1=2 b h1=1,8 b h1=1,6 b h1=1,4b h1=1,2 b h1=1 b h1=0,8b h1=0,6b h1=0,4 b h1=0,20,20 10,05 0,22 8,16 0,25 6,48 0,29 5,00 0,33 3,74 0,40 2,70 0,50 1,91 0,67 1,46 1,00 1,65 2,00 5,100,40 6,74 0,44 5,49 0,50 4,38 0,57 3,42 0,67 2,61 0,80 1,97 1,00 1,54 1,33 1,43 2,00 2,14 4,00 7,570,60 5,10 0,67 4,17 0,75 3,36 0,86 2,65 1,00 2,08 1,20 1,65 1,50 1,43 2,00 1,56 3,00 2,70 6,00 10,050,80 4,13 0,89 3,39 1,00 2,76 1,14 2,22 1,33 1,79 1,60 1,50 2,00 1,42 2,67 1,75 4,00 3,29 8,00 12,541,00 3,48 1,11 2,89 1,25 2,37 1,43 1,94 1,67 1,62 2,00 1,43 2,50 1,47 3,33 1,97 5,00 3,88 10,00 15,031,20 3,03 1,33 2,53 1,50 2,10 1,71 1,76 2,00 1,51 2,40 1,41 3,00 1,55 4,00 2,20 6,00 4,49 12,00 17,531,40 2,70 1,56 2,27 1,75 1,91 2,00 1,63 2,33 1,46 2,80 1,43 3,50 1,65 4,67 2,45 7,00 5,10 14,00 20,031,60 2,45 1,78 2,08 2,00 1,77 2,29 1,55 2,67 1,43 3,20 1,46 4,00 1,76 5,33 2,70 8,00 5,71 16,00 22,521,80 2,25 2,00 1,93 2,25 1,67 2,57 1,49 3,00 1,41 3,60 1,50 4,50 1,88 6,00 2,96 9,00 6,33 18,00 25,022,00 2,09 2,22 1,81 2,50 1,59 2,86 1,45 3,33 1,42 4,00 1,55 5,00 2,01 6,67 3,22 10,00 6,95 20,00 27,522,20 1,97 2,44 1,72 2,75 1,54 3,14 1,43 3,67 1,43 4,40 1,62 5,50 2,14 7,33 3,48 11,00 7,57 22,00 30,022,40 1,86 2,67 1,65 3,00 1,49 3,43 1,42 4,00 1,46 4,80 1,68 6,00 2,28 8,00 3,75 12,00 8,19 24,00 32,522,60 1,78 2,89 1,59 3,25 1,46 3,71 1,41 4,33 1,49 5,20 1,76 6,50 2,42 8,67 4,02 13,00 8,81 26,00 35,012,80 1,71 3,11 1,54 3,50 1,44 4,00 1,42 4,67 1,52 5,60 1,83 7,00 2,56 9,33 4,29 14,00 9,43 28,00 37,513,00 1,65 3,33 1,51 3,75 1,43 4,29 1,43 5,00 1,56 6,00 1,91 7,50 2,70 10,00 4,56 15,00 10,05 30,00 40,013,20 1,60 3,56 1,48 4,00 1,42 4,57 1,44 5,33 1,60 6,40 1,99 8,00 2,84 10,67 4,83 16,00 10,67 32,00 42,513,40 1,56 3,78 1,46 4,25 1,41 4,86 1,46 5,67 1,65 6,80 2,08 8,50 2,99 11,33 5,10 17,00 11,29 34,00 45,013,60 1,53 4,00 1,44 4,50 1,42 5,14 1,49 6,00 1,70 7,20 2,16 9,00 3,14 12,00 5,37 18,00 11,92 36,00 47,513,80 1,50 4,22 1,43 4,75 1,42 5,43 1,51 6,33 1,75 7,60 2,25 9,50 3,29 12,67 5,65 19,00 12,54 38,00 50,014,00 1,48 4,44 1,42 5,00 1,43 5,71 1,54 6,67 1,80 8,00 2,34 10,00 3,43 13,33 5,92 20,00 13,16 40,00 52,514,20 1,46 4,67 1,42 5,25 1,44 6,00 1,57 7,00 1,86 8,40 2,43 10,50 3,58 14,00 6,19 21,00 13,79 42,00 55,014,40 1,44 4,89 1,41 5,50 1,45 6,29 1,60 7,33 1,91 8,80 2,52 11,00 3,73 14,67 6,47 22,00 14,41 44,00 57,514,60 1,43 5,11 1,42 5,75 1,47 6,57 1,63 7,67 1,97 9,20 2,61 11,50 3,88 15,33 6,74 23,00 15,03 46,00 60,014,80 1,43 5,33 1,42 6,00 1,49 6,86 1,67 8,00 2,02 9,60 2,70 12,00 4,03 16,00 7,02 24,00 15,66 48,00 62,515,00 1,42 5,56 1,43 6,25 1,51 7,14 1,70 8,33 2,08 10,00 2,79 12,50 4,19 16,67 7,29 25,00 16,28 50,00 65,015,20 1,42 5,78 1,43 6,50 1,53 7,43 1,74 8,67 2,14 10,40 2,89 13,00 4,34 17,33 7,57 26,00 16,90 52,00 67,515,40 1,41 6,00 1,44 6,75 1,55 7,71 1,78 9,00 2,20 10,80 2,98 13,50 4,49 18,00 7,84 27,00 17,53 54,00 70,015,60 1,41 6,22 1,45 7,00 1,57 8,00 1,82 9,33 2,26 11,20 3,07 14,00 4,64 18,67 8,12 28,00 18,15 56,00 72,515,80 1,42 6,44 1,47 7,25 1,60 8,29 1,86 9,67 2,32 11,60 3,17 14,50 4,79 19,33 8,39 29,00 18,78 58,00 75,016,00 1,42 6,67 1,48 7,50 1,62 8,57 1,90 10,00 2,39 12,00 3,26 15,00 4,95 20,00 8,67 30,00 19,40 60,00 77,51


324



P/2k

0

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0 1 2 3 4 5

h1=2 h1=1,8 h1=1,6 h1=1,4 h1=1,2 h1=1 h1=0,8 h1=0,6 h1=0,4 h1=0,2b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k0,20 15,02 0,22 12,17 0,25 9,63 0,29 7,38 0,33 5,45 0,40 3,82 0,50 2,50 0,67 1,54 1,00 1,02 2,00 1,820,40 10,03 0,44 8,13 0,50 6,44 0,57 4,95 0,67 3,67 0,80 2,60 1,00 1,76 1,33 1,18 2,00 1,03 4,00 2,600,60 7,53 0,67 6,12 0,75 4,85 0,86 3,74 1,00 2,79 1,20 2,01 1,50 1,41 2,00 1,05 3,00 1,13 6,00 3,410,80 6,04 0,89 4,91 1,00 3,91 1,14 3,03 1,33 2,28 1,60 1,67 2,00 1,22 2,67 1,00 4,00 1,28 8,00 4,231,00 5,05 1,11 4,11 1,25 3,28 1,43 2,55 1,67 1,94 2,00 1,45 2,50 1,11 3,33 1,01 5,00 1,45 10,00 5,051,20 4,34 1,33 3,54 1,50 2,83 1,71 2,22 2,00 1,70 2,40 1,30 3,00 1,05 4,00 1,03 6,00 1,63 12,00 5,881,40 3,82 1,56 3,12 1,75 2,50 2,00 1,97 2,33 1,54 2,80 1,20 3,50 1,02 4,67 1,08 7,00 1,82 14,00 6,701,60 3,41 1,78 2,79 2,00 2,25 2,29 1,79 2,67 1,41 3,20 1,13 4,00 1,00 5,33 1,13 8,00 2,01 16,00 7,531,80 3,08 2,00 2,53 2,25 2,05 2,57 1,64 3,00 1,31 3,60 1,08 4,50 1,00 6,00 1,20 9,00 2,20 18,00 8,362,00 2,82 2,22 2,32 2,50 1,89 2,86 1,52 3,33 1,24 4,00 1,05 5,00 1,01 6,67 1,26 10,00 2,40 20,00 9,192,20 2,60 2,44 2,15 2,75 1,76 3,14 1,43 3,67 1,18 4,40 1,03 5,50 1,03 7,33 1,34 11,00 2,60 22,00 10,032,40 2,42 2,67 2,00 3,00 1,65 3,43 1,35 4,00 1,13 4,80 1,01 6,00 1,05 8,00 1,41 12,00 2,80 24,00 10,862,60 2,26 2,89 1,88 3,25 1,55 3,71 1,29 4,33 1,10 5,20 1,00 6,50 1,07 8,67 1,49 13,00 3,00 26,00 11,692,80 2,13 3,11 1,77 3,50 1,48 4,00 1,24 4,67 1,07 5,60 1,00 7,00 1,10 9,33 1,57 14,00 3,21 28,00 12,523,00 2,01 3,33 1,68 3,75 1,41 4,29 1,19 5,00 1,05 6,00 1,00 7,50 1,13 10,00 1,65 15,00 3,41 30,00 13,353,20 1,91 3,56 1,60 4,00 1,35 4,57 1,15 5,33 1,03 6,40 1,01 8,00 1,17 10,67 1,73 16,00 3,61 32,00 14,183,40 1,82 3,78 1,54 4,25 1,30 4,86 1,12 5,67 1,02 6,80 1,02 8,50 1,20 11,33 1,82 17,00 3,82 34,00 15,023,60 1,74 4,00 1,47 4,50 1,26 5,14 1,10 6,00 1,01 7,20 1,03 9,00 1,24 12,00 1,90 18,00 4,02 36,00 15,853,80 1,67 4,22 1,42 4,75 1,22 5,43 1,08 6,33 1,00 7,60 1,04 9,50 1,28 12,67 1,99 19,00 4,23 38,00 16,684,00 1,60 4,44 1,37 5,00 1,19 5,71 1,06 6,67 1,00 8,00 1,06 10,00 1,32 13,33 2,07 20,00 4,43 40,00 17,514,20 1,55 4,67 1,33 5,25 1,16 6,00 1,04 7,00 1,00 8,40 1,07 10,50 1,36 14,00 2,16 21,00 4,64 42,00 18,354,40 1,50 4,89 1,29 5,50 1,13 6,29 1,03 7,33 1,00 8,80 1,09 11,00 1,41 14,67 2,25 22,00 4,84 44,00 19,184,60 1,45 5,11 1,26 5,75 1,11 6,57 1,02 7,67 1,01 9,20 1,11 11,50 1,45 15,33 2,33 23,00 5,05 46,00 20,014,80 1,41 5,33 1,23 6,00 1,09 6,86 1,01 8,00 1,01 9,60 1,13 12,00 1,49 16,00 2,42 24,00 5,26 48,00 20,855,00 1,37 5,56 1,20 6,25 1,08 7,14 1,01 8,33 1,02 10,00 1,16 12,50 1,54 16,67 2,51 25,00 5,46 50,00 21,685,20 1,34 5,78 1,18 6,50 1,06 7,43 1,00 8,67 1,03 10,40 1,18 13,00 1,58 17,33 2,60 26,00 5,67 52,00 22,515,40 1,30 6,00 1,16 6,75 1,05 7,71 1,00 9,00 1,03 10,80 1,20 13,50 1,63 18,00 2,69 27,00 5,88 54,00 23,345,60 1,28 6,22 1,14 7,00 1,04 8,00 1,00 9,33 1,04 11,20 1,23 14,00 1,68 18,67 2,78 28,00 6,08 56,00 24,185,80 1,25 6,44 1,12 7,25 1,03 8,29 1,00 9,67 1,05 11,60 1,25 14,50 1,72 19,33 2,87 29,00 6,29 58,00 25,016,00 1,23 6,67 1,10 7,50 1,02 8,57 1,00 10,00 1,07 12,00 1,28 15,00 1,77 20,00 2,96 30,00 6,50 60,00 25,84

Anexo A

325



P/2k

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1

2

3

4

0 1 2 3 4 5



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0 1 2 3 4 5

h1=2 h1=1,8 h1=1,6 h1=1,4 h1=1,2 h1=1 h1=0,8 h1=0,6 h1=0,4 h1=0,2b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k b P/2k

0,20 20,08 0,22 16,30 0,25 12,93 0,29 9,97 0,33 7,43 0,40 5,33 0,50 3,72 0,67 2,72 1,00 2,87 2,00 8,490,40 13,46 0,44 10,95 0,50 8,73 0,57 6,79 0,67 5,15 0,80 3,83 1,00 2,91 1,33 2,58 2,00 3,64 4,00 12,560,60 10,17 0,67 8,30 0,75 6,66 0,86 5,24 1,00 4,06 1,20 3,16 1,50 2,64 2,00 2,74 3,00 4,54 6,00 16,660,80 8,21 0,89 6,74 1,00 5,44 1,14 4,34 1,33 3,46 1,60 2,83 2,00 2,58 2,67 3,02 4,00 5,50 8,00 20,771,00 6,92 1,11 5,71 1,25 4,66 1,43 3,77 1,67 3,09 2,00 2,66 2,50 2,62 3,33 3,36 5,00 6,48 10,00 24,881,20 6,00 1,33 4,99 1,50 4,11 1,71 3,39 2,00 2,86 2,40 2,59 3,00 2,73 4,00 3,74 6,00 7,47 12,00 28,991,40 5,33 1,56 4,46 1,75 3,72 2,00 3,13 2,33 2,72 2,80 2,58 3,50 2,87 4,67 4,13 7,00 8,48 14,00 33,101,60 4,82 1,78 4,06 2,00 3,43 2,29 2,94 2,67 2,64 3,20 2,60 4,00 3,04 5,33 4,54 8,00 9,49 16,00 37,211,80 4,41 2,00 3,75 2,25 3,21 2,57 2,81 3,00 2,59 3,60 2,66 4,50 3,23 6,00 4,96 9,00 10,50 18,00 41,312,00 4,09 2,22 3,51 2,50 3,04 2,86 2,71 3,33 2,58 4,00 2,73 5,00 3,43 6,67 5,39 10,00 11,52 20,00 45,412,20 3,83 2,44 3,31 2,75 2,91 3,14 2,65 3,67 2,58 4,40 2,82 5,50 3,64 7,33 5,82 11,00 12,54 22,00 49,512,40 3,62 2,67 3,16 3,00 2,81 3,43 2,61 4,00 2,60 4,80 2,92 6,00 3,86 8,00 6,26 12,00 13,56 24,00 53,612,60 3,44 2,89 3,03 3,25 2,74 3,71 2,58 4,33 2,64 5,20 3,03 6,50 4,08 8,67 6,69 13,00 14,58 26,00 57,702,80 3,29 3,11 2,93 3,50 2,68 4,00 2,58 4,67 2,69 5,60 3,15 7,00 4,31 9,33 7,14 14,00 15,60 28,00 61,783,00 3,16 3,33 2,84 3,75 2,64 4,29 2,58 5,00 2,74 6,00 3,28 7,50 4,54 10,00 7,58 15,00 16,63 30,00 65,863,20 3,06 3,56 2,78 4,00 2,61 4,57 2,59 5,33 2,80 6,40 3,40 8,00 4,77 10,67 8,02 16,00 17,65 32,00 69,943,40 2,97 3,78 2,72 4,25 2,59 4,86 2,61 5,67 2,87 6,80 3,54 8,50 5,01 11,33 8,47 17,00 18,67 34,00 74,023,60 2,89 4,00 2,68 4,50 2,58 5,14 2,64 6,00 2,94 7,20 3,67 9,00 5,25 12,00 8,92 18,00 19,69 36,00 78,093,80 2,83 4,22 2,64 4,75 2,57 5,43 2,67 6,33 3,02 7,60 3,81 9,50 5,49 12,67 9,37 19,00 20,72 38,00 82,164,00 2,77 4,44 2,62 5,00 2,58 5,71 2,71 6,67 3,10 8,00 3,95 10,00 5,73 13,33 9,82 20,00 21,74 40,00 86,224,20 2,73 4,67 2,60 5,25 2,59 6,00 2,75 7,00 3,18 8,40 4,10 10,50 5,98 14,00 10,27 21,00 22,76 42,00 90,284,40 2,69 4,89 2,59 5,50 2,60 6,29 2,80 7,33 3,27 8,80 4,24 11,00 6,22 14,67 10,72 22,00 23,78 44,00 94,334,60 2,66 5,11 2,58 5,75 2,62 6,57 2,84 7,67 3,36 9,20 4,39 11,50 6,47 15,33 11,17 23,00 24,81 46,00 98,384,80 2,64 5,33 2,57 6,00 2,64 6,86 2,90 8,00 3,45 9,60 4,54 12,00 6,72 16,00 11,62 24,00 25,83 48,00 102,435,00 2,62 5,56 2,58 6,25 2,67 7,14 2,95 8,33 3,54 10,00 4,69 12,50 6,96 16,67 12,07 25,00 26,85 50,00 106,475,20 2,60 5,78 2,58 6,50 2,70 7,43 3,01 8,67 3,64 10,40 4,84 13,00 7,21 17,33 12,52 26,00 27,87 52,00 110,515,40 2,59 6,00 2,59 6,75 2,73 7,71 3,07 9,00 3,73 10,80 4,99 13,50 7,46 18,00 12,97 27,00 28,89 54,00 114,545,60 2,58 6,22 2,60 7,00 2,76 8,00 3,13 9,33 3,83 11,20 5,14 14,00 7,71 18,67 13,43 28,00 29,91 56,00 118,575,80 2,58 6,44 2,61 7,25 2,79 8,29 3,19 9,67 3,93 11,60 5,30 14,50 7,96 19,33 13,88 29,00 30,93 58,00 122,606,00 2,57 6,67 2,63 7,50 2,83 8,57 3,25 10,00 4,03 12,00 5,45 15,00 8,21 20,00 14,33 30,00 31,95 60,00 126,62

Anexo A

327



P/2k

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5



328

A1.3 Enfoque no modular combinación PPP-PPI con 5 BRT

Figura A.7 No Modular Combinación PPP-PPI con 5 BRT y h1=1; m=0; α variable.

m=0; alpha=35

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0; alpha=25

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

b/h

p/2k

m=0; alpha=5

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0; alpha=5

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

b/h1 P/2k0,2 9,9810,6 3,366

1 2,0841,4 1,5661,8 1,3032,2 1,1572,6 1,074

3 1,0313,4 1,0143,8 1,0174,2 1,0344,6 1,063

5 1,1035,4 1,1535,8 1,213

6 1,247

m=0; alpha=10

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

b/h

p/2k m=0; alpha=15

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

b/h

p/2k

b/h1 P/2k0,2 9,9370,6 3,322

1 2,0441,4 1,531,8 1,2742,2 1,1392,6 1,075

3 1,0593,4 1,0843,8 1,1544,2 1,2884,6 1,539

5 2,1015,4 4,3165,8 -7,185

6 -2,427

b/h1 P/2k0,2 10,030,6 3,408

1 2,1251,4 1,6041,8 1,3362,2 1,1842,6 1,094

3 1,0423,4 1,0133,8 1,0014,2 1,0014,6 1,01

5 1,0255,4 1,0455,8 1,07

6 1,083

b/h1 P/2k0,2 9,8910,6 3,278

1 2,0021,4 1,4961,8 1,2552,2 1,1492,6 1,147

3 1,2923,4 1,9673,8 -5,7744,2 -0,3114,6 0,114

5 0,2755,4 0,3655,8 0,427

6 0,453

m=0; alpha=20

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

b/h

p/2k

b/h1 P/2k0,2 9,8440,6 3,232

1 1,9611,4 1,4671,8 1,2612,2 1,2782,6 2,345

3 -0,2543,4 0,2783,8 0,3914,2 0,444,6 0,471

5 0,4965,4 0,525,8 0,543

6 0,555

b/h1 P/2k0,2 9,7920,6 3,182

1 1,9191,4 1,4531,8 1,3972,2 -1,7752,6 0,397

3 0,483,4 0,4923,8 0,4964,2 0,54,6 0,507

5 0,5185,4 0,5325,8 0,549

6 0,558

m=0; alpha=30

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

b/h

p/2k

b/h1 P/2k0,2 9,7370,6 3,13

1 1,8791,4 1,4991,8 -0,4432,2 0,5722,6 0,562

3 0,5313,4 0,5083,8 0,4944,2 0,4894,6 0,491

5 0,4975,4 0,5085,8 0,523

6 0,531

b/h1 P/2k0,2 9,6760,6 3,072

1 1,8481,4 3,4291,8 0,7142,2 0,6382,6 0,564

3 0,5133,4 0,483,8 0,4614,2 0,4524,6 0,451

5 0,4565,4 0,4665,8 0,479

6 0,487

Anexo A

329

Figura A.8 Combinación PPP-PPI con 5 BRT y h1=1; m variable; α=0

m=1 alpha=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0,8; alpha=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0,6; alpha=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0,4; alpha=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0,2; alpha=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0,1; alpha=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0; alpha=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

b/h1 P/2k0,2 10,030,6 3,408

1 2,1251,4 1,6041,8 1,3362,2 1,1842,6 1,094

3 1,0423,4 1,0133,8 1,0014,2 1,0014,6 1,01

5 1,0255,4 1,0455,8 1,07

6 1,083

b/h1 P/2k0,2 10,030,6 3,42

1 2,1441,4 1,631,8 1,372,2 1,2252,6 1,143

3 1,0983,4 1,0773,8 1,0734,2 1,084,6 1,096

5 1,1195,4 1,1475,8 1,179

6 1,196

b/h1 P/2k0,2 10,030,6 3,431

1 2,1631,4 1,6561,8 1,4042,2 1,2672,6 1,192

3 1,1543,4 1,1413,8 1,1444,2 1,1594,6 1,182

5 1,2135,4 1,2485,8 1,287

6 1,308

b/h1 P/2k0,2 10,040,6 3,453

1 2,21,4 1,7091,8 1,4712,2 1,3492,6 1,289

3 1,2673,4 1,2683,8 1,2864,2 1,3164,6 1,355

5 1,45,4 1,455,8 1,505

6 1,533

b/h1 P/2k0,2 10,050,6 3,476

1 2,2381,4 1,7611,8 1,5392,2 1,4322,6 1,387

3 1,3793,4 1,3963,8 1,4294,2 1,4744,6 1,527

5 1,5885,4 1,6535,8 1,722

6 1,758

b/h1 P/2k0,2 10,060,6 3,498

1 2,2751,4 1,8141,8 1,6062,2 1,5142,6 1,484

3 1,4923,4 1,5233,8 1,5714,2 1,6314,6 1,7

5 1,7755,4 1,8555,8 1,94

6 1,983

m=0,9 alpha=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

b/h1 P/2k0,2 10,060,6 3,51

1 2,2941,4 1,841,8 1,642,2 1,5552,6 1,533

3 1,5483,4 1,5873,8 1,6434,2 1,714,6 1,786

5 1,8695,4 1,9575,8 2,049

6 2,096

b/h1 P/2k0,2 10,060,6 3,521

1 2,3131,4 1,8661,8 1,6742,2 1,5972,6 1,582

3 1,6043,4 1,6513,8 1,7144,2 1,7894,6 1,872

5 1,9635,4 2,0585,8 2,157

6 2,208


330

A1.4 Enfoque no modular comparativa entre disposiciones

Figura A.9 Comparativa No modular entre disposiciones de BRT; m variable; h1=1; 3

BRT.

comparativa configuraciones BRT; m=0

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

Disposición contrariaNueva disposición

comparativa configuraciones BRT; m=0,2

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k


Anexo A

331

Figura A.10 Comparativa No modular entre disposiciones de BRT; m variable; h1=1;

4 BRT.

comparativa configuraciones BRT; m=0

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

Disposición contraria

Nueva disposición


0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k


Nueva disposición


0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k


Nueva disposición


332

Figura A.11 Comparativa No modular entre disposiciones de BRT; m variable; h1=1;

5 BRT.

comparativa disposiciones 5 BRT; m=0,6

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k


comparativa disposiciones 5 BRT; m=0,8

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k


comparativa disposiciones 5 BRT; m=1

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k


Anexo A

333

A1.5 Enfoque no modular nueva disposición

Figura A.12 No Modular nueva configuración; m variable; 3 BRT.

Tabla A.7 Valores No Modular nueva configuración; m variable; 3 BRT.

Evolución 3 BRT no Modular

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1

b/h m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=10,20 5,05 5,05 5,05 5,06 5,07 5,08 5,08 5,090,40 2,60 2,60 2,61 2,62 2,64 2,65 2,66 2,680,60 1,82 1,82 1,83 1,85 1,87 1,89 1,91 1,930,80 1,45 1,46 1,47 1,49 1,52 1,55 1,58 1,601,00 1,25 1,26 1,27 1,30 1,34 1,38 1,41 1,441,20 1,13 1,15 1,16 1,19 1,24 1,29 1,33 1,361,40 1,06 1,08 1,10 1,13 1,19 1,24 1,29 1,331,60 1,03 1,04 1,06 1,10 1,17 1,23 1,28 1,331,80 1,01 1,03 1,05 1,09 1,17 1,24 1,29 1,342,00 1,00 1,02 1,05 1,10 1,18 1,26 1,32 1,382,20 1,00 1,03 1,06 1,11 1,20 1,29 1,36 1,422,40 1,02 1,05 1,08 1,13 1,23 1,32 1,40 1,472,60 1,03 1,07 1,10 1,16 1,27 1,37 1,45 1,522,80 1,06 1,09 1,13 1,19 1,31 1,41 1,51 1,583,00 1,08 1,12 1,16 1,23 1,35 1,47 1,56 1,653,20 1,11 1,15 1,19 1,26 1,40 1,52 1,62 1,713,40 1,14 1,19 1,23 1,31 1,45 1,58 1,69 1,783,60 1,18 1,22 1,27 1,35 1,50 1,64 1,75 1,853,80 1,21 1,26 1,31 1,39 1,56 1,70 1,82 1,934,00 1,25 1,30 1,35 1,44 1,61 1,76 1,89 2,004,20 1,29 1,34 1,39 1,49 1,67 1,82 1,96 2,084,40 1,33 1,38 1,43 1,54 1,72 1,89 2,03 2,154,60 1,37 1,42 1,48 1,59 1,78 1,95 2,10 2,234,80 1,41 1,47 1,53 1,64 1,84 2,02 2,18 2,315,00 1,45 1,51 1,57 1,69 1,90 2,09 2,25 2,395,20 1,49 1,56 1,62 1,74 1,96 2,16 2,32 2,475,40 1,54 1,60 1,67 1,79 2,02 2,22 2,40 2,555,60 1,58 1,65 1,72 1,84 2,08 2,29 2,47 2,635,80 1,62 1,69 1,76 1,90 2,14 2,36 2,55 2,716,00 1,67 1,74 1,81 1,95 2,21 2,43 2,63 2,79


334



Evolución 4 BRT No Modular

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1

b/h m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=10,20 7,55 7,55 7,55 7,56 7,57 7,57 7,58 7,580,40 3,85 3,85 3,86 3,87 3,88 3,89 3,90 3,910,60 2,65 2,66 2,66 2,68 2,70 2,72 2,73 2,740,80 2,08 2,08 2,09 2,11 2,14 2,16 2,18 2,201,00 1,75 1,76 1,77 1,79 1,83 1,86 1,88 1,901,20 1,55 1,56 1,58 1,60 1,65 1,68 1,71 1,731,40 1,42 1,44 1,45 1,48 1,53 1,57 1,61 1,631,60 1,34 1,36 1,38 1,41 1,47 1,51 1,55 1,581,80 1,28 1,31 1,33 1,36 1,43 1,48 1,52 1,552,00 1,25 1,27 1,30 1,34 1,41 1,47 1,51 1,552,20 1,23 1,26 1,28 1,33 1,41 1,47 1,52 1,562,40 1,23 1,25 1,28 1,33 1,42 1,49 1,54 1,592,60 1,23 1,26 1,29 1,34 1,44 1,51 1,57 1,622,80 1,24 1,27 1,30 1,36 1,46 1,54 1,60 1,663,00 1,25 1,29 1,32 1,38 1,49 1,58 1,65 1,703,20 1,27 1,31 1,34 1,41 1,53 1,62 1,69 1,753,40 1,29 1,33 1,37 1,44 1,56 1,66 1,74 1,803,60 1,32 1,36 1,40 1,48 1,61 1,71 1,79 1,863,80 1,34 1,39 1,43 1,51 1,65 1,76 1,85 1,914,00 1,38 1,42 1,47 1,55 1,70 1,81 1,90 1,984,20 1,41 1,46 1,51 1,59 1,74 1,86 1,96 2,044,40 1,44 1,49 1,54 1,64 1,79 1,92 2,02 2,104,60 1,48 1,53 1,58 1,68 1,85 1,98 2,08 2,174,80 1,51 1,57 1,63 1,73 1,90 2,04 2,15 2,235,00 1,55 1,61 1,67 1,77 1,95 2,09 2,21 2,305,20 1,59 1,65 1,71 1,82 2,01 2,16 2,27 2,375,40 1,63 1,69 1,76 1,87 2,06 2,22 2,34 2,445,60 1,67 1,74 1,80 1,92 2,12 2,28 2,41 2,515,80 1,71 1,78 1,85 1,97 2,17 2,34 2,47 2,586,00 1,75 1,82 1,89 2,02 2,23 2,40 2,54 2,65

Anexo A

335



Evolución 5 BRT No Modular

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1

b/h m=0 m=0,05 m=0,1 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=10,20 10,03 10,03 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,080,40 5,06 5,06 5,07 5,08 5,10 5,13 5,14 5,160,60 3,42 3,43 3,44 3,45 3,49 3,52 3,55 3,570,80 2,61 2,62 2,64 2,66 2,71 2,75 2,79 2,811,00 2,14 2,15 2,17 2,20 2,26 2,32 2,36 2,391,20 1,83 1,85 1,87 1,91 1,98 2,05 2,10 2,131,40 1,62 1,65 1,67 1,71 1,79 1,87 1,93 1,971,60 1,47 1,50 1,52 1,57 1,67 1,76 1,83 1,871,80 1,36 1,39 1,42 1,47 1,58 1,68 1,76 1,812,00 1,28 1,31 1,34 1,40 1,52 1,63 1,72 1,782,20 1,22 1,25 1,28 1,35 1,48 1,60 1,70 1,762,40 1,17 1,21 1,24 1,31 1,46 1,59 1,70 1,772,60 1,13 1,17 1,21 1,29 1,45 1,59 1,71 1,782,80 1,11 1,15 1,19 1,28 1,44 1,60 1,72 1,803,00 1,09 1,13 1,18 1,27 1,45 1,62 1,75 1,833,20 1,07 1,12 1,17 1,27 1,46 1,64 1,78 1,873,40 1,06 1,11 1,17 1,27 1,48 1,66 1,81 1,913,60 1,06 1,11 1,17 1,28 1,49 1,69 1,85 1,963,80 1,06 1,11 1,17 1,29 1,52 1,73 1,89 2,004,00 1,06 1,12 1,18 1,30 1,54 1,76 1,94 2,064,20 1,06 1,13 1,19 1,32 1,57 1,80 1,99 2,114,40 1,07 1,14 1,20 1,34 1,60 1,85 2,04 2,174,60 1,08 1,15 1,22 1,36 1,64 1,89 2,09 2,224,80 1,09 1,16 1,23 1,38 1,67 1,93 2,14 2,285,00 1,10 1,17 1,25 1,40 1,70 1,98 2,20 2,345,20 1,11 1,19 1,27 1,43 1,74 2,03 2,26 2,415,40 1,13 1,21 1,29 1,45 1,78 2,08 2,31 2,475,60 1,14 1,22 1,31 1,48 1,82 2,13 2,37 2,535,80 1,16 1,24 1,33 1,51 1,86 2,18 2,43 2,606,00 1,17 1,26 1,35 1,54 1,90 2,23 2,49 2,67


336

A1.6 Enfoque no modular disposición contraria comparativa con m variable

Figura A.15 No Modular comparativa; m variable. h1=1

No Modular m=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

3BRT4BRT5BRT

No Modular; m = 0,1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/hp/

2k

3BRT4BRT5BRT

No Modular; m = 0,2

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

3BRT4BRT5BRT

Anexo A

337

Figura A.16 No Modular comparativa; m variable.h1=1

No Modular; m = 0,3

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

3BRT4BRT5BRT

No Modular; m = 0,4

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

3BRT4BRT5BRT

No Modular; m = 0,5

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

3BRT4BRT5BRT


338

Figura A.17 No Modular comparativa; m variable.h1=1.

No Modular; m = 0,6

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

3BRT4BRT5BRT

No Modular; m = 0,7

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

3BRT4BRT5BRT

No Modular; m = 0,8

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

3BRT4BRT5BRT

No Modular; m = 0,9

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k 3BRT4BRT5BRT

No Modular; m = 1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k 3BRT

4BRT5BRT

Anexo A

339

A1.7 Enfoque no modular nueva disposición, comparativa adherencia-deslizamiento

Figura A.18 No Modular comparativa adherencia-deslizamiento; m-μ variable;.h1=1.

m=0; mu=0

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6b/h

p/2k P/2k(mu)

P/2k (m)

m = mu = 0,05

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6b/h

p/2k

P/2k(mu)

P/2k (m)

m = mu = 0,1

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6b/h

p/2k

P/2k(mu)

P/2k (m)

m = mu = 0,2

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6b/h

p/2k P/2k(mu)

P/2k (m)

m = mu =0,3

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6b/h

p/2k

P/2k (mu)

P/2k (m)


340

A1.8 Enfoque modular nueva disposición. Optimización de módulos

Figura A.19 Optimización de Módulos.

Tabla A.10 Valores optimización de módulos.


0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1

p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media bbt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,05 5,05 1,00 5,05 1,82 5,71 5,71 16,70 16,70 2,002,60 2,60 1,50 2,60 1,25 11,31 11,31 26,57 26,57 3,001,82 1,82 2,00 1,82 1,06 16,70 16,70 34,99 34,99 4,001,45 1,45 2,50 1,45 1,01 21,80 21,80 41,99 41,99 5,001,25 1,25 3,00 1,25 1,00 26,57 26,57 47,73 47,73 6,001,13 1,13 3,50 1,13 1,03 30,96 30,96 52,43 52,43 7,001,06 1,06 4,00 1,06 1,08 34,99 34,99 56,31 56,31 8,001,03 1,03 4,50 1,03 1,14 38,66 38,66 59,53 59,53 9,001,01 1,01 5,00 1,01 1,21 41,99 41,99 62,24 62,24 10,001,00 1,00 5,50 1,00 1,29 45,00 45,00 64,54 64,54 11,001,00 1,00 6,00 1,00 1,37 47,73 47,73 66,50 66,50 12,001,02 1,02 6,50 1,02 1,45 50,19 50,19 68,20 68,20 13,001,03 1,03 7,00 1,03 1,54 52,43 52,43 69,68 69,68 14,001,06 1,06 7,50 1,06 1,62 54,46 54,46 70,97 70,97 15,00

Anexo A

341

Figura A.20 Optimización de Módulos

.Tabla A.11 Valores optimización de módulos.


0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1



342




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1

p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 bi media b1+b2 bt=2b1 tita bi phi bi tita bt phi bt bt5,05 4,71 1,00 4,88 1,83 5,71 5,92 16,70 18,55 2,002,61 2,28 1,50 2,44 1,30 11,31 12,14 26,57 31,26 3,001,83 1,52 2,00 1,67 1,18 16,70 18,55 34,99 42,91 4,001,48 1,19 2,50 1,33 1,21 21,80 24,97 41,99 52,82 5,001,30 1,05 3,00 1,16 1,35 26,57 31,26 47,73 60,91 6,001,21 1,00 3,50 1,09 1,58 30,96 37,27 52,43 67,38 7,001,18 1,02 4,00 1,09 1,93 34,99 42,91 56,31 72,57 8,001,18 1,10 4,50 1,13 2,42 38,66 48,10 59,53 76,74 9,001,21 1,22 5,00 1,22 3,14 41,99 52,82 62,24 80,15 10,001,27 1,40 5,50 1,35 4,29 45,00 57,08 64,54 82,96 11,001,35 1,64 6,00 1,53 6,31 47,73 60,91 66,50 85,30 12,001,46 1,94 6,50 1,76 10,76 50,19 64,33 68,20 87,29 13,001,58 2,33 7,00 2,07 28,41 52,43 67,38 69,68 88,99 14,00

Anexo A

343


Tabla A.13. Valores optimización de módulos.


m=0,1; h1=1; alpha=0º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1


344



m=0,2; h1=1; alpha=0º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1


Anexo A

345



m=0,3; h1=1; alpha=0º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1



346




m=0,4; h1=1; alpha=0º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1

Anexo A

347




m=0,5; h1=1; alpha=0º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1


348



m=0,6; h1=1; alpha=0º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1


Anexo A

349



m=0,7; h1=1; alpha=0º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1



350



m=0,8; h1=1; alpha=0º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1


Anexo A

351




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5bi-bt

p/2k

media b1+b2bt=2b1



352

A1.9 Comparativa Modular-No Modular para PPP

Figura A.31 Comparativa Modular-No modular PPP.

Tabla A.22 Valores comparativa Modular-No Modular PPP.

Comparativa Modular-No Modular m=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b

p/2k

No ModularModular

b No Modular Modular0,20 5,05 5,050,40 2,60 2,600,60 1,82 1,820,80 1,45 1,451,00 1,25 1,251,20 1,13 1,131,40 1,06 1,061,60 1,03 1,031,80 1,01 1,012,00 1,00 1,002,20 1,00 1,002,40 1,02 1,022,60 1,03 1,032,80 1,06 1,063,00 1,08 1,083,20 1,11 1,113,40 1,14 1,143,60 1,18 1,183,80 1,21 1,214,00 1,25 1,254,20 1,29 1,294,40 1,33 1,334,60 1,37 1,374,80 1,41 1,415,00 1,45 1,455,20 1,49 1,495,40 1,54 1,545,60 1,58 1,585,80 1,62 1,626,00 1,67 1,67

Anexo A

353



Comparativa Modular-No Modular m=0,2

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b

p/2k

No ModularModular



354



Comparativa Modular-No Modular m=0,5

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b

p/2k

No ModularModular


Anexo A

355



Comparativa Modular-No Modular m=1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b

p/2k No Modular

Modular



356

A1.10 Comparativa Modular-No Modular para combinación de perfil PPP-PPI

Figura A.35 Comparativa Modular-No modular Perfil PPP-PPI.

Tabla A.26 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPP-PPI.

comparativa h1=1; m=0; alpha2=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular


Anexo A

357




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular



358



comparativa h1=1; m=0,5; alpha2=5

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular


Anexo A

359




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular



360




0

1

2

3

4

5 6 7 8 9 10 11 12b/h

p/2k

No ModularModular

b No Modular Modular5,00 0,96 1,405,50 1,00 1,346,00 1,04 1,296,50 1,08 1,267,00 1,14 1,247,50 1,19 1,228,00 1,26 1,218,50 1,32 1,219,00 1,39 1,219,50 1,47 1,21

10,00 1,55 1,2210,50 1,64 1,2311,00 1,73 1,2511,50 1,83 1,2612,00 1,94 1,2812,50 2,06 1,3013,00 2,19 1,3213,50 2,32 1,3514,00 2,47 1,3714,50 2,64 1,4015,00 2,83 1,4315,50 3,03 1,4616,00 3,27 1,49

Anexo A

361



comparativa h1=0,6; m=0; alpha2=1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular

b No Modular Modular0,33 1,92 4,870,67 1,16 2,541,00 1,00 1,811,33 0,99 1,481,67 1,04 1,312,00 1,12 1,222,33 1,21 1,182,67 1,32 1,173,00 1,44 1,173,33 1,56 1,193,67 1,68 1,224,00 1,81 1,254,33 1,94 1,294,67 2,08 1,345,00 2,21 1,395,33 2,35 1,445,67 2,49 1,506,00 2,63 1,566,33 2,77 1,626,67 2,91 1,687,00 3,06 1,747,33 3,20 1,817,67 3,35 1,878,00 3,50 1,948,33 3,65 2,018,67 3,80 2,079,00 3,96 2,149,33 4,11 2,219,67 4,27 2,28

10,00 4,43 2,35


362




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular


Anexo A

363




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular



364




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular


Anexo A

365

A1.11 Comparativa Modular-No Modular para PPI

Figura A.44 Comparativa Modular-No modular Perfil PPI.

Tabla A.35 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil PPI.

comparativa h1=1; m=0; alpha=5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular



366




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular


Anexo A

367




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular

b No Modular Modular0,20 4,88 5,050,40 2,43 2,610,60 1,65 1,830,80 1,29 1,481,00 1,09 1,301,20 0,98 1,211,40 0,92 1,181,60 0,89 1,181,80 0,88 1,212,00 0,89 1,272,20 0,91 1,352,40 0,95 1,462,60 0,99 1,582,80 1,05 1,743,00 1,12 1,933,20 1,20 2,153,40 1,30 2,423,60 1,42 2,743,80 1,57 3,144,00 1,74 3,644,20 1,97 4,294,40 2,26 5,134,60 2,67 6,314,80 3,25 8,025,00 4,18 10,765,20 5,88 15,845,40 10,08 28,41


368




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular

b No Modular Modular0,20 4,93 5,100,40 2,53 2,710,60 1,80 2,000,80 1,48 1,701,00 1,33 1,591,20 1,26 1,561,40 1,24 1,591,60 1,25 1,661,80 1,28 1,772,00 1,33 1,902,20 1,39 2,062,40 1,46 2,242,60 1,54 2,452,80 1,63 2,703,00 1,73 2,983,20 1,85 3,303,40 1,98 3,673,60 2,13 4,103,80 2,30 4,624,00 2,51 5,244,20 2,76 6,004,40 3,08 6,994,60 3,51 8,304,80 4,12 10,165,00 5,07 13,075,20 6,80 18,315,40 11,03 31,06

Anexo A

369



comparativa h1=1; m=0; alpha=-5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular



370




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular


Anexo A

371




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular



372




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular


Anexo A

373



comparativa h1=1; m=0,5; alpha=-5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular



374



comparativa h1=1; m=0,5; alpha=-10º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular


Anexo A

375




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular

b No Modular Modular1,00 2,53 2,111,50 1,95 1,482,00 1,71 1,182,50 1,61 1,013,00 1,59 0,913,50 1,62 0,844,00 1,69 0,794,50 1,80 0,755,00 1,94 0,735,50 2,12 0,716,00 2,36 0,696,50 2,65 0,687,00 3,02 0,677,50 3,51 0,668,00 4,17 0,668,50 5,11 0,659,00 6,52 0,659,50 8,88 0,65

10,00 13,64 0,64


376




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

No ModularModular

b No Modular Modular1,00 2,68 2,241,50 2,19 1,672,00 2,06 1,422,50 2,07 1,303,00 2,18 1,243,50 2,35 1,214,00 2,58 1,204,50 2,88 1,215,00 3,24 1,215,50 3,68 1,236,00 4,23 1,246,50 4,90 1,267,00 5,75 1,287,50 6,86 1,298,00 8,34 1,318,50 10,42 1,339,00 13,55 1,359,50 18,80 1,37

10,00 29,36 1,38

Anexo A

377

A1.12 Enfoque Modular Perfil 2 Módulos. Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0,1

Figura A.56 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.

Tabla A.47 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado.

Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=-5º; alpha2=5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

p/2k Módulo1p/2k Módulo2media b1+b2

p/2k Módulo1 p/2k Módulo2 media b1+b25,05 5,33 5,192,61 2,90 2,751,82 2,13 1,971,46 1,78 1,611,25 1,59 1,421,13 1,49 1,301,06 1,43 1,231,01 1,40 1,200,99 1,39 1,170,97 1,40 1,170,97 1,41 1,170,97 1,43 1,180,97 1,45 1,190,98 1,48 1,200,99 1,51 1,221,01 1,54 1,241,02 1,57 1,261,04 1,61 1,281,06 1,64 1,311,08 1,68 1,331,10 1,71 1,351,11 1,74 1,381,13 1,78 1,401,15 1,81 1,431,17 1,85 1,451,19 1,88 1,471,21 1,92 1,501,23 1,95 1,521,25 1,98 1,541,27 2,01 1,56


378

Coeficiente de rozamiento por adherencia m=0,1


Tabla A.48 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado


0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



Anexo A

379





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k




380





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



Anexo A

381




Perfil combinado 2 Módulos h1=1; alpha1=5º; alpha2=-5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k




382





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



Anexo A

383





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k




384

Coeficiente de rozamiento por adherencia m=1




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



Anexo A

385





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k




386





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



Anexo A

387





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k




388





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



Anexo A

389





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k




390





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



Anexo A

391





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k p/2k Módulo1

p/2k Módulo2media b1+b2



392





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



Anexo A

393





0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k




394



perfil combinado 2 Módulosmu=0; m=0; alpha1=-5º; alpha2=5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k

p/2k Módulo1p/2k Módulo 2p2k Total

b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p2k Total0,2 5,01 5,31 5,160,4 2,55 2,87 2,710,6 1,77 2,08 1,920,8 1,39 1,72 1,55

1 1,19 1,52 1,351,2 1,06 1,40 1,231,4 0,98 1,33 1,151,6 0,93 1,29 1,101,8 0,90 1,27 1,08

2 0,89 1,27 1,062,2 0,88 1,27 1,052,4 0,87 1,28 1,062,6 0,87 1,29 1,062,8 0,88 1,31 1,07

3 0,89 1,33 1,083,2 0,90 1,35 1,103,4 0,91 1,37 1,113,6 0,92 1,40 1,133,8 0,94 1,42 1,15

4 0,95 1,45 1,164,2 0,97 1,48 1,184,4 0,98 1,50 1,204,6 1,00 1,53 1,224,8 1,02 1,56 1,24

5 1,03 1,58 1,265,2 1,05 1,61 1,285,4 1,07 1,64 1,305,6 1,08 1,67 1,325,8 1,10 1,69 1,34

6 1,12 1,72 1,35

Anexo A

395



perfil combinado 2 Módulosmu=0; m=0; alpha1=0º; alpha2=5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



1 1,25 1,38 1,321,2 1,13 1,29 1,211,4 1,06 1,25 1,161,6 1,03 1,24 1,131,8 1,01 1,26 1,13

2 1,00 1,30 1,152,2 1,00 1,35 1,182,4 1,02 1,42 1,222,6 1,03 1,50 1,272,8 1,06 1,60 1,33

3 1,08 1,70 1,393,2 1,11 1,82 1,473,4 1,14 1,95 1,553,6 1,18 2,09 1,633,8 1,21 2,24 1,73

4 1,25 2,41 1,834,2 1,29 2,59 1,944,4 1,33 2,79 2,064,6 1,37 3,00 2,184,8 1,41 3,23 2,32

5 1,45 3,47 2,465,2 1,49 3,74 2,625,4 1,54 4,03 2,785,6 1,58 4,34 2,965,8 1,62 4,69 3,15

6 1,67 5,06 3,36


396



perfil combinado 2 Módulosmu=0; m=0,5; alpha1=0º; alpha2=5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k p/2k Módulo1

p/2k Módulo 2p2k Total


1 1,25 1,78 1,511,2 1,13 1,77 1,451,4 1,06 1,81 1,441,6 1,03 1,89 1,461,8 1,01 2,00 1,50

2 1,00 2,13 1,562,2 1,00 2,27 1,642,4 1,02 2,43 1,732,6 1,03 2,61 1,822,8 1,06 2,80 1,93

3 1,08 3,01 2,053,2 1,11 3,23 2,173,4 1,14 3,46 2,303,6 1,18 3,70 2,443,8 1,21 3,97 2,59

4 1,25 4,24 2,754,2 1,29 4,53 2,914,4 1,33 4,85 3,094,6 1,37 5,17 3,274,8 1,41 5,52 3,47

5 1,45 5,89 3,675,2 1,49 6,28 3,895,4 1,54 6,70 4,125,6 1,58 7,15 4,365,8 1,62 7,62 4,62

6 1,67 8,13 4,90

Anexo A

397



perfil combinado 2 Módulosmu=0; m=1; alpha1=0º; alpha2=5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



1 1,25 2,18 1,711,2 1,13 2,25 1,691,4 1,06 2,38 1,721,6 1,03 2,54 1,781,8 1,01 2,74 1,87

2 1,00 2,95 1,982,2 1,00 3,19 2,102,4 1,02 3,45 2,232,6 1,03 3,72 2,382,8 1,06 4,01 2,53

3 1,08 4,31 2,703,2 1,11 4,63 2,873,4 1,14 4,97 3,063,6 1,18 5,32 3,253,8 1,21 5,69 3,45

4 1,25 6,07 3,664,2 1,29 6,48 3,884,4 1,33 6,90 4,124,6 1,37 7,35 4,364,8 1,41 7,82 4,61

5 1,45 8,31 4,885,2 1,49 8,83 5,165,4 1,54 9,37 5,455,6 1,58 9,95 5,765,8 1,62 10,56 6,09

6 1,67 11,20 6,44


398



perfil combinado 2 Módulosmu=0,2; m=1; alpha1=0º; alpha2=5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



1 1,39 2,18 1,781,2 1,29 2,25 1,771,4 1,24 2,38 1,811,6 1,22 2,54 1,881,8 1,23 2,74 1,98

2 1,25 2,95 2,102,2 1,29 3,19 2,242,4 1,34 3,45 2,392,6 1,40 3,72 2,562,8 1,47 4,01 2,74

3 1,55 4,31 2,933,2 1,64 4,63 3,133,4 1,73 4,97 3,353,6 1,84 5,32 3,583,8 1,96 5,69 3,82

4 2,08 6,07 4,084,2 2,22 6,48 4,354,4 2,37 6,90 4,644,6 2,53 7,35 4,944,8 2,71 7,82 5,26

5 2,90 8,31 5,615,2 3,11 8,83 5,975,4 3,34 9,37 6,365,6 3,59 9,95 6,775,8 3,86 10,56 7,21

6 4,17 11,20 7,69

Anexo A

399




0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



1 1,47 1,38 1,431,2 1,38 1,29 1,341,4 1,35 1,25 1,301,6 1,35 1,24 1,301,8 1,38 1,26 1,32

2 1,43 1,30 1,362,2 1,50 1,35 1,432,4 1,59 1,42 1,512,6 1,70 1,50 1,602,8 1,82 1,60 1,71

3 1,97 1,70 1,843,2 2,14 1,82 1,983,4 2,33 1,95 2,143,6 2,56 2,09 2,323,8 2,82 2,24 2,53

4 3,13 2,41 2,774,2 3,48 2,59 3,044,4 3,90 2,79 3,344,6 4,41 3,00 3,704,8 5,03 3,23 4,13

5 5,80 3,47 4,645,2 6,78 3,74 5,265,4 8,08 4,03 6,065,6 9,87 4,34 7,115,8 12,48 4,69 8,58

6 16,67 5,06 10,86


400



perfil combinado 2 Módulosmu=0,3; m=0,5; alpha1=0º; alpha2=5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



1 1,47 1,78 1,631,2 1,38 1,77 1,581,4 1,35 1,81 1,581,6 1,35 1,89 1,621,8 1,38 2,00 1,69

2 1,43 2,13 1,782,2 1,50 2,27 1,892,4 1,59 2,43 2,012,6 1,70 2,61 2,152,8 1,82 2,80 2,31

3 1,97 3,01 2,493,2 2,14 3,23 2,683,4 2,33 3,46 2,903,6 2,56 3,70 3,133,8 2,82 3,97 3,39

4 3,13 4,24 3,684,2 3,48 4,53 4,014,4 3,90 4,85 4,374,6 4,41 5,17 4,794,8 5,03 5,52 5,28

5 5,80 5,89 5,855,2 6,78 6,28 6,535,4 8,08 6,70 7,395,6 9,87 7,15 8,515,8 12,48 7,62 10,05

6 16,67 8,13 12,40

Anexo A

401




1 1,47 2,18 1,821,2 1,38 2,25 1,811,4 1,35 2,38 1,861,6 1,35 2,54 1,951,8 1,38 2,74 2,06

2 1,43 2,95 2,192,2 1,50 3,19 2,352,4 1,59 3,45 2,522,6 1,70 3,72 2,712,8 1,82 4,01 2,92

3 1,97 4,31 3,143,2 2,14 4,63 3,393,4 2,33 4,97 3,653,6 2,56 5,32 3,943,8 2,82 5,69 4,25

4 3,13 6,07 4,604,2 3,48 6,48 4,984,4 3,90 6,90 5,404,6 4,41 7,35 5,884,8 5,03 7,82 6,42

5 5,80 8,31 7,065,2 6,78 8,83 7,815,4 8,08 9,37 8,735,6 9,87 9,95 9,915,8 12,48 10,56 11,52

6 16,67 11,20 13,94


0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



402



perfil combinado 2 Módulosm=0; mu=0; alpha1=0º; alpha2=5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k


b/h1 p/2k Módulo1 p/2k Módulo 2 p/2k Total0,2 5,05 5,14 5,090,4 2,60 2,69 2,650,6 1,82 1,92 1,870,8 1,45 1,57 1,51

1 1,25 1,39 1,321,2 1,13 1,29 1,211,4 1,06 1,25 1,161,6 1,03 1,24 1,131,8 1,01 1,26 1,13

2 1,00 1,30 1,152,2 1,00 1,35 1,182,4 1,02 1,42 1,222,6 1,03 1,50 1,272,8 1,06 1,60 1,33

3 1,08 1,70 1,393,2 1,11 1,82 1,473,4 1,14 1,95 1,553,6 1,18 2,09 1,643,8 1,21 2,25 1,73

4 1,25 2,41 1,834,2 1,29 2,60 1,944,4 1,33 2,79 2,064,6 1,37 3,00 2,194,8 1,41 3,23 2,32

5 1,45 3,48 2,475,2 1,49 3,75 2,625,4 1,54 4,04 2,795,6 1,58 4,36 2,975,8 1,62 4,70 3,16

6 1,67 5,07 3,37

Anexo A

403



perfil combinado 2 Módulosm=0,5; mu=0; alpha1=0º; alpha2=5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



1 1,38 1,39 1,381,2 1,28 1,29 1,291,4 1,24 1,25 1,241,6 1,23 1,24 1,231,8 1,23 1,26 1,25

2 1,25 1,30 1,272,2 1,28 1,35 1,322,4 1,32 1,42 1,372,6 1,36 1,50 1,432,8 1,41 1,60 1,50

3 1,46 1,70 1,583,2 1,51 1,82 1,673,4 1,57 1,95 1,763,6 1,63 2,09 1,863,8 1,69 2,25 1,97

4 1,75 2,41 2,084,2 1,81 2,60 2,204,4 1,88 2,79 2,334,6 1,94 3,00 2,474,8 2,01 3,23 2,62

5 2,08 3,48 2,785,2 2,14 3,75 2,955,4 2,21 4,04 3,135,6 2,28 4,36 3,325,8 2,35 4,70 3,52

6 2,42 5,07 3,74


404



perfil combinado 2 Módulosm=1; mu=0; alpha1=0º; alpha2=5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6b/h

p/2k



1 1,50 1,39 1,441,2 1,43 1,29 1,361,4 1,41 1,25 1,331,6 1,43 1,24 1,331,8 1,46 1,26 1,36

2 1,50 1,30 1,402,2 1,55 1,35 1,452,4 1,62 1,42 1,522,6 1,68 1,50 1,592,8 1,76 1,60 1,68

3 1,83 1,70 1,773,2 1,91 1,82 1,873,4 1,99 1,95 1,973,6 2,08 2,09 2,093,8 2,16 2,25 2,21

4 2,25 2,41 2,334,2 2,34 2,60 2,474,4 2,43 2,79 2,614,6 2,52 3,00 2,764,8 2,61 3,23 2,92

5 2,70 3,48 3,095,2 2,79 3,75 3,275,4 2,89 4,04 3,465,6 2,98 4,36 3,675,8 3,07 4,70 3,88

6 3,17 5,07 4,12

Anexo A

405



.

perfil combinado 2 Módulosm=0,5; mu=0,1; alpha1=0º; alpha2=5º

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4b/h

p/2k



1 1,38 1,65 1,511,2 1,28 1,60 1,441,4 1,24 1,61 1,431,6 1,23 1,68 1,451,8 1,23 1,79 1,51

2 1,25 1,94 1,602,2 1,28 2,14 1,712,4 1,32 2,39 1,852,6 1,36 2,70 2,032,8 1,41 3,09 2,25

3 1,46 3,57 2,513,2 1,51 4,16 2,843,4 1,57 4,92 3,253,6 1,63 5,91 3,773,8 1,69 7,22 4,45

4 1,75 9,04 5,394,2 1,81 11,68 6,744,4 1,88 15,82 8,854,6 1,94 23,18 12,564,8 2,01 39,59 20,80

5 2,08 106,51 54,29


406

A1.13 Enfoque Modular comparativa entre tipos de rozamiento. Perfil 2 Módulos.

Figura A.85 Comparativa Modular combinación rozamiento (2 Módulos).

Tabla A.76 Valores comparativa Modular combinación rozamiento (2 Módulos).

Comparativa m=0; mu=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6bi

p/2k

Adh.Desliz.-Adh.Desliz.Adh.-Desliz.

b1 Adh. Desliz.-Adh. Desliz. Adh.-Desliz.0,2 5,05 5,05 5,05 5,050,4 2,60 2,60 2,60 2,600,6 1,82 1,82 1,82 1,820,8 1,45 1,45 1,45 1,45

1 1,25 1,25 1,25 1,251,2 1,13 1,13 1,13 1,131,4 1,06 1,06 1,06 1,061,6 1,03 1,03 1,03 1,031,8 1,01 1,01 1,01 1,01

2 1,00 1,00 1,00 1,002,2 1,00 1,00 1,00 1,002,4 1,02 1,02 1,02 1,022,6 1,03 1,03 1,03 1,032,8 1,06 1,06 1,06 1,06

3 1,08 1,08 1,08 1,083,2 1,11 1,11 1,11 1,113,4 1,14 1,14 1,14 1,143,6 1,18 1,18 1,18 1,183,8 1,21 1,21 1,21 1,21

4 1,25 1,25 1,25 1,254,2 1,29 1,29 1,29 1,294,4 1,33 1,33 1,33 1,334,6 1,37 1,37 1,37 1,374,8 1,41 1,41 1,41 1,41

5 1,45 1,45 1,45 1,455,2 1,49 1,49 1,49 1,495,4 1,54 1,54 1,54 1,545,6 1,58 1,58 1,58 1,585,8 1,62 1,62 1,62 1,62

6 1,67 1,67 1,67 1,67

Anexo A

407



Comparativa m=0,5; mu=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6bi

p/2k



1 1,50 1,31 1,25 1,311,2 1,43 1,21 1,13 1,211,4 1,41 1,15 1,06 1,151,6 1,43 1,13 1,03 1,131,8 1,46 1,12 1,01 1,12

2 1,50 1,13 1,00 1,132,2 1,55 1,14 1,00 1,142,4 1,62 1,17 1,02 1,172,6 1,68 1,20 1,03 1,202,8 1,76 1,23 1,06 1,23

3 1,83 1,27 1,08 1,273,2 1,91 1,31 1,11 1,313,4 1,99 1,36 1,14 1,363,6 2,08 1,40 1,18 1,403,8 2,16 1,45 1,21 1,45

4 2,25 1,50 1,25 1,504,2 2,34 1,55 1,29 1,554,4 2,43 1,60 1,33 1,604,6 2,52 1,65 1,37 1,654,8 2,61 1,71 1,41 1,71

5 2,70 1,76 1,45 1,765,2 2,79 1,82 1,49 1,825,4 2,89 1,87 1,54 1,875,6 2,98 1,93 1,58 1,935,8 3,07 1,98 1,62 1,98

6 3,17 2,04 1,67 2,04


408



Comparativa m=1; mu=0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6bi

p/2k



1 1,75 1,38 1,25 1,381,2 1,73 1,28 1,13 1,281,4 1,76 1,24 1,06 1,241,6 1,83 1,23 1,03 1,231,8 1,91 1,23 1,01 1,23

2 2,00 1,25 1,00 1,252,2 2,10 1,28 1,00 1,282,4 2,22 1,32 1,02 1,322,6 2,33 1,36 1,03 1,362,8 2,46 1,41 1,06 1,41

3 2,58 1,46 1,08 1,463,2 2,71 1,51 1,11 1,513,4 2,84 1,57 1,14 1,573,6 2,98 1,63 1,18 1,633,8 3,11 1,69 1,21 1,69

4 3,25 1,75 1,25 1,754,2 3,39 1,81 1,29 1,814,4 3,53 1,88 1,33 1,884,6 3,67 1,94 1,37 1,944,8 3,81 2,01 1,41 2,01

5 3,95 2,08 1,45 2,085,2 4,09 2,14 1,49 2,145,4 4,24 2,21 1,54 2,215,6 4,38 2,28 1,58 2,285,8 4,52 2,35 1,62 2,35

6 4,67 2,42 1,67 2,42

Anexo A

409



Comparativa m=0; mu=0,1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6bi

p/2k



1 1,25 1,36 1,39 1,361,2 1,13 1,26 1,29 1,261,4 1,06 1,21 1,25 1,211,6 1,03 1,19 1,23 1,191,8 1,01 1,19 1,24 1,19

2 1,00 1,21 1,27 1,212,2 1,00 1,25 1,31 1,252,4 1,02 1,30 1,37 1,302,6 1,03 1,37 1,44 1,372,8 1,06 1,44 1,53 1,44

3 1,08 1,53 1,62 1,533,2 1,11 1,63 1,73 1,633,4 1,14 1,74 1,86 1,743,6 1,18 1,87 2,00 1,873,8 1,21 2,02 2,16 2,02

4 1,25 2,19 2,34 2,194,2 1,29 2,38 2,56 2,384,4 1,33 2,62 2,80 2,624,6 1,37 2,89 3,09 2,894,8 1,41 3,22 3,44 3,22

5 1,45 3,63 3,87 3,635,2 1,49 4,14 4,40 4,145,4 1,54 4,81 5,09 4,815,6 1,58 5,72 6,03 5,725,8 1,62 7,05 7,38 7,05

6 1,67 9,17 9,52 9,17


410



Comparativa m=0,5; mu=0,5

0

1

2

3

4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2bi

p/2k



1 1,50 3,19 3,33 3,191,2 1,43 6,31 6,48 6,311,4 1,41 -10,02 -9,82 -10,021,6 1,43 -1,95 -1,71 -1,951,8 1,46 -0,82 -0,52 -0,82

2 1,50 -0,38 0,00 -0,382,2 1,55 -0,13 0,34 -0,132,4 1,62 0,02 0,64 0,022,6 1,68 0,14 0,93 0,142,8 1,76 0,22 1,28 0,22

3 1,83 0,30 1,73 0,303,2 1,91 0,36 2,38 0,363,4 1,99 0,42 3,44 0,423,6 2,08 0,47 5,54 0,473,8 2,16 0,52 11,80 0,52

Anexo A

411

A1.14 Enfoque Modular comparativa p con endurecimiento- grado de deformación.

El factor de forma parte en todos los casos del valor unidad.

Figura A.90 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable.

Tabla A.81 Valores comparativa Modular p con endurecimiento y m variable.

p con endurecimiento (Al99.5)h1=3; m variable; Área=9; b1= variable

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60grado de deformación (%)

p co

n en

dure

cim

ient

o

m=0 m=0,2m=0,4 m=0,6m=0,8 m=1

coeficiente de rozamientogrado deform. (%) m=0 m=0,2 m=0,4 m=0,6 m=0,8 m=1

0,001,68 214,05 223,08 232,11 241,14 250,17 259,213,39 220,45 230,26 240,07 249,89 259,70 269,515,13 223,27 233,76 244,25 254,73 265,22 275,716,90 224,54 235,67 246,79 257,92 269,05 280,188,70 224,96 236,72 248,49 260,25 272,02 283,78

10,54 224,89 237,30 249,71 262,12 274,53 286,9312,41 224,53 237,60 250,68 263,75 276,82 289,8914,31 224,03 237,79 251,55 265,30 279,06 292,8216,25 223,48 237,95 252,43 266,90 281,38 295,8518,23 222,96 238,18 253,41 268,63 283,86 299,0820,25 222,53 238,54 254,56 270,57 286,58 302,6022,31 222,25 239,09 255,94 272,79 289,63 306,4824,42 222,16 239,89 257,62 275,35 293,07 310,8026,57 222,31 240,98 259,64 278,31 296,97 315,6428,77 222,75 242,41 262,08 281,74 301,40 321,0731,02 223,52 244,25 264,97 285,70 306,43 327,1533,31 224,67 246,53 268,40 290,26 312,12 333,9935,67 226,25 249,33 272,41 295,49 318,57 341,6538,08 228,30 252,69 277,08 301,47 325,86 350,2540,55 230,89 256,69 282,48 308,28 334,08 359,8743,08 234,08 261,39 288,70 316,02 343,33 370,6445,68 237,93 266,88 295,83 324,79 353,74 382,6948,34 242,52 273,25 303,97 334,70 365,43 396,1651,08 247,93 280,59 313,24 345,90 378,56 411,2253,90 254,26 289,02 323,78 358,53 393,29 428,0456,80 261,63 298,67 335,72 372,76 409,81 446,8659,78 270,14 309,70 349,25 388,80 428,35 467,9062,86 279,96 322,26 364,56 406,86 449,17 491,4766,04 291,24 336,57 381,90 427,22 472,55 517,88


412



p con endurecimiento (Al99.5)h1=30 mm.; m=0; Área =900 mm2 ; b1 variable

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60

grado de deformación (%)

p co

n en

dure

cim

ient

o (N

/mm

2)m=0 m=0,2m=0,4 m=0,6m=0,8 m=1


0,001,68 214,05 223,08 232,11 241,14 250,17 259,213,39 220,45 230,26 240,07 249,89 259,70 269,515,13 223,27 233,76 244,25 254,73 265,22 275,716,90 224,54 235,67 246,79 257,92 269,05 280,188,70 224,96 236,72 248,49 260,25 272,02 283,78

10,54 224,89 237,30 249,71 262,12 274,53 286,9312,41 224,53 237,60 250,68 263,75 276,82 289,8914,31 224,03 237,79 251,55 265,30 279,06 292,8216,25 223,48 237,95 252,43 266,90 281,38 295,8518,23 222,96 238,18 253,41 268,63 283,86 299,0820,25 222,53 238,54 254,56 270,57 286,58 302,6022,31 222,25 239,09 255,94 272,79 289,63 306,4824,42 222,16 239,89 257,62 275,35 293,07 310,8026,57 222,31 240,98 259,64 278,31 296,97 315,6428,77 222,75 242,41 262,08 281,74 301,40 321,0731,02 223,52 244,25 264,97 285,70 306,43 327,1533,31 224,67 246,53 268,40 290,26 312,12 333,9935,67 226,25 249,33 272,41 295,49 318,57 341,6538,08 228,30 252,69 277,08 301,47 325,86 350,2540,55 230,89 256,69 282,48 308,28 334,08 359,8743,08 234,08 261,39 288,70 316,02 343,33 370,6445,68 237,93 266,88 295,83 324,79 353,74 382,6948,34 242,52 273,25 303,97 334,70 365,43 396,1651,08 247,93 280,59 313,24 345,90 378,56 411,2253,90 254,26 289,02 323,78 358,53 393,29 428,0456,80 261,63 298,67 335,72 372,76 409,81 446,8659,78 270,14 309,70 349,25 388,80 428,35 467,9062,86 279,96 322,26 364,56 406,86 449,17 491,4766,04 291,24 336,57 381,90 427,22 472,55 517,88

Anexo A

413



p con endurecimiento (Al99.5)h1=30 mm.; m=1; Área =900 mm2 ; b1 variable

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60


p co

n en

dure

cim

ient

o (N

/mm

2)

m=0 m=0,2m=0,4 m=0,6m=0,8 m=1


0,001,68 218,54 228,07 237,60 247,14 256,67 266,203,39 225,51 235,89 246,26 256,64 267,01 277,385,13 228,90 240,01 251,11 262,22 273,32 284,436,90 230,75 242,56 254,36 266,17 277,98 289,788,70 231,79 244,30 256,81 269,31 281,82 294,32

10,54 232,40 245,62 258,84 272,06 285,27 298,4912,41 232,79 246,74 260,69 274,65 288,60 302,5614,31 233,10 247,82 262,54 277,26 291,98 306,7016,25 233,45 248,98 264,50 280,02 295,55 311,0718,23 233,93 250,30 266,68 283,05 299,42 315,7920,25 234,62 251,89 269,16 286,42 303,69 320,9622,31 235,58 253,81 272,03 290,25 308,47 326,6924,42 236,90 256,13 275,37 294,61 313,84 333,0826,57 238,63 258,95 279,27 299,60 319,92 340,2428,77 240,86 262,34 283,83 305,31 326,80 348,2831,02 243,66 266,39 289,13 311,86 334,59 357,3333,31 247,11 271,20 295,28 319,36 343,44 367,5235,67 251,33 276,87 302,41 327,95 353,48 379,0238,08 256,42 283,53 310,65 337,77 364,88 392,0040,55 262,50 291,34 320,17 349,00 377,83 406,6643,08 269,74 300,44 331,14 361,85 392,55 423,2545,68 278,31 311,06 343,80 376,55 409,29 442,0448,34 288,43 323,42 358,41 393,39 428,38 463,3751,08 300,35 337,81 375,27 412,73 450,19 487,6553,90 314,41 354,60 394,78 434,97 475,16 515,3556,80 330,99 374,21 417,43 460,64 503,86 547,0859,78 350,61 397,20 443,80 490,39 536,98 583,5762,86 373,91 424,28 474,66 525,03 575,40 625,7766,04 401,73 456,36 510,99 565,61 620,24 674,86


414




0,001,68 224,12 234,37 244,61 254,86 265,11 275,353,39 231,86 243,03 254,20 265,38 276,55 287,725,13 236,00 247,99 259,97 271,96 283,94 295,926,90 238,66 251,43 264,19 276,96 289,73 302,498,70 240,58 254,13 267,68 281,24 294,79 308,34

10,54 242,15 256,51 270,87 285,23 299,59 313,9412,41 243,61 258,81 274,00 289,20 304,39 319,5914,31 245,13 261,21 277,28 293,35 309,42 325,5016,25 246,84 263,84 280,84 297,84 314,84 331,8318,23 248,86 266,84 284,82 302,81 320,79 338,7720,25 251,31 270,33 289,36 308,39 327,41 346,4422,31 254,28 274,42 294,57 314,72 334,86 355,0124,42 257,90 279,25 300,60 321,95 343,29 364,6426,57 262,31 284,95 307,59 330,24 352,88 375,5228,77 267,64 291,68 315,73 339,77 363,81 387,8631,02 274,08 299,64 325,20 350,76 376,32 401,8933,31 281,82 309,03 336,25 363,46 390,68 417,8935,67 291,12 320,14 349,16 378,18 407,20 436,2338,08 302,29 333,29 364,29 395,29 426,29 457,2940,55 315,72 348,90 382,08 415,26 448,44 481,6243,08 331,90 367,49 403,07 438,66 474,25 509,8445,68 351,48 389,75 428,01 466,27 504,54 542,8048,34 375,35 416,60 457,84 499,09 540,34 581,5851,08 404,68 449,28 493,87 538,46 583,06 627,6553,90 441,16 489,53 537,90 586,26 634,63 683,0056,80 487,21 539,86 592,52 645,17 697,83 750,4859,78 546,51 604,07 661,62 719,18 776,74 834,2962,86 624,90 688,11 751,32 814,53 877,74 940,9466,04 732,24 802,03 871,81 941,60 1011,38 1081,17

p con endurecimiento (Al99.5)h1=30 mm.; m=1; Área =900 mm2 ; b1 variable; aplpha=10º

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60


p co

n en

dure

cim

ient

o (N

/mm

2)

m=0 m=0,2m=0,4 m=0,6m=0,8 m=1

Anexo A

415



p con endurecimiento (Al99.5)h1=30 mm.; m=0; Área variable (mm2); b1= variable alpha variable

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50grado de deformación (%)

p co

n en

dure

cim

ient

o (N

/mm

2)

0º 2º 4º

6º 8º 10º

ángulo alphagrado deform. (%) 0º 2º 4º 6º 8º 10º

1,68 174 180 188 197 210 2263,39 183 190 198 209 224 2435,13 189 197 206 219 235 2576,90 194 202 213 227 246 2718,70 198 208 220 236 257 286

10,54 202 213 226 244 268 30112,40 206 218 233 253 280 31814,31 210 224 240 262 293 33716,25 215 229 248 273 307 35918,23 219 235 256 284 324 38320,25 224 242 265 297 342 41222,31 230 249 275 310 362 44624,42 235 257 286 326 386 48626,57 242 265 297 343 414 53428,77 248 275 311 363 445 59331,02 256 285 326 386 483 66833,31 264 296 342 411 528 76435,67 273 309 361 441 582 89138,08 282 323 382 476 648 106940,55 293 338 406 516 732 133243,08 305 355 433 564 839 175845,68 318 375 464 622 981 256948,34 332 396 500 693 1178 469051,08 347 421 542 781 1469 24383


416

A1.15 Enfoque Modular. Comparativa pconendurecimiento-Área-grado de

deformación para diferentes tipos de módulos.

Figura A.95 Comparativa Modular Rozamiento-Módulos.

Tabla A.86 Valores comparativa Modular Rozamiento-Módulos.


0

100

200

300

400

500

600

500 600 700 800 900 1000 1100 1200Área

p co

n en

dure

cim

ient

o a

Tª

cons

tant

e


Área1 adh. Mód.1 25% Desliz. Mód.1 25% Adh. Mód.2 25% Desliz. Mód.2 25%

525 284,16 67,42 465,83 283,70550 276,84 69,97 446,98 278,56575 270,44 72,59 429,95 274,52600 264,86 75,26 414,53 271,47625 259,99 78,00 400,52 269,31650 255,76 80,78 387,76 267,99675 252,10 83,62 376,12 267,44700 248,95 86,51 365,49 267,62725 246,27 89,44 355,76 268,49750 244,00 92,42 346,84 270,01775 242,12 95,44 338,67 272,17800 240,59 98,51 331,17 274,95825 239,38 101,62 324,29 278,32850 238,47 104,77 317,99 282,29875 237,83 107,97 312,20 286,84900 237,44 111,20 306,90 291,97925 237,29 114,48 302,05 297,69950 237,36 117,79 297,62 304,00975 237,64 121,15 293,58 310,91

1000 238,11 124,55 289,90 318,431025 238,77 127,98 286,56 326,571050 239,60 131,46 283,55 335,351075 240,59 134,98 280,84 344,801100 241,73 138,53 278,41 354,931125 243,03 142,13 276,26 365,781150 244,46 145,77 274,36 377,371175 246,03 149,45 272,72 389,741200 247,73 153,17 271,30 402,931225 249,55 156,94 270,11 416,97

Anexo A

417

Figura A.96 Comparativa Modular Rozamiento-Módulos.

Tabla A.87 Valores comparativa Modular Rozamiento-Módulos.


0

100

200

300

400

500

600

500 600 700 800 900 1000 1100 1200Área

p co

n en

dure

cim

ient

o a

Tª

cons

tant

e


Área1 Adh. Mód.1 40% Desliz. Mód.1 40%Adh. Mód.2 40% Desliz. Mód.2 40%

525 303,40 108,60 442,94 327,72550 299,34 113,42 427,58 329,73575 296,15 118,34 413,93 333,16600 293,74 123,37 401,78 337,96625 292,03 128,50 390,97 344,09650 290,94 133,72 381,35 351,53675 290,41 139,04 372,80 360,28700 290,39 144,45 365,22 370,33725 290,84 149,96 358,52 381,71750 291,72 155,55 352,63 394,46775 292,99 161,24 347,48 408,61800 294,63 167,02 343,01 424,24825 296,62 172,89 339,18 441,41850 298,92 178,86 335,93 460,20875 301,53 184,92 333,23 480,73900 304,42 191,07 331,06 503,10925 307,59 197,32 329,37 527,45950 311,01 203,66 328,15 553,94975 314,68 210,10 327,37 582,76

1000 318,58 216,63 327,01 614,091025 322,71 223,27 327,05 648,191050 327,06 230,01 327,49 685,331075 331,63 236,85 328,30 725,811100 336,40 243,79 329,47 770,021125 341,38 250,84 331,01 818,371150 346,55 258,00 332,89 871,351175 351,92 265,27 335,12 929,551200 357,48 272,65 337,68 993,651225 363,23 280,14 340,57 1064,48


418

Figura A.97 Comparativa Modular Rozamiento-Módulos-Grado deformación.

Tabla A.88 Valores comparativa Modular Rozamiento-Módulos-Grado deformación.

Comparativa 25-40% deformación

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

500 600 700 800 900 1000 1100 1200p

Áre

aadh. Mód.1 25%Desliz. Mód.1 25%Adh. Mód.2 25%Desliz. Mód.2 25%adh. Mód.1 40%Desliz. Mód.1 40%Adh. Mód.2 40%Desliz. Mód.2 40%

Área1 adh. Mód.1 25% Desliz. Mód.1 25% Adh. Mód.2 25% Desliz. Mód.2 25%Adh. Mód.1 40%Desliz. Mód.1 40%Adh. Mód.2 40% Desliz. Mód.2 40%

525 284,16 67,42 465,83 283,70 303,40 108,60 442,94 327,72550 276,84 69,97 446,98 278,56 299,34 113,42 427,58 329,73575 270,44 72,59 429,95 274,52 296,15 118,34 413,93 333,16600 264,86 75,26 414,53 271,47 293,74 123,37 401,78 337,96625 259,99 78,00 400,52 269,31 292,03 128,50 390,97 344,09650 255,76 80,78 387,76 267,99 290,94 133,72 381,35 351,53675 252,10 83,62 376,12 267,44 290,41 139,04 372,80 360,28700 248,95 86,51 365,49 267,62 290,39 144,45 365,22 370,33725 246,27 89,44 355,76 268,49 290,84 149,96 358,52 381,71750 244,00 92,42 346,84 270,01 291,72 155,55 352,63 394,46775 242,12 95,44 338,67 272,17 292,99 161,24 347,48 408,61800 240,59 98,51 331,17 274,95 294,63 167,02 343,01 424,24825 239,38 101,62 324,29 278,32 296,62 172,89 339,18 441,41850 238,47 104,77 317,99 282,29 298,92 178,86 335,93 460,20875 237,83 107,97 312,20 286,84 301,53 184,92 333,23 480,73900 237,44 111,20 306,90 291,97 304,42 191,07 331,06 503,10925 237,29 114,48 302,05 297,69 307,59 197,32 329,37 527,45950 237,36 117,79 297,62 304,00 311,01 203,66 328,15 553,94975 237,64 121,15 293,58 310,91 314,68 210,10 327,37 582,76

1000 238,11 124,55 289,90 318,43 318,58 216,63 327,01 614,091025 238,77 127,98 286,56 326,57 322,71 223,27 327,05 648,191050 239,60 131,46 283,55 335,35 327,06 230,01 327,49 685,331075 240,59 134,98 280,84 344,80 331,63 236,85 328,30 725,811100 241,73 138,53 278,41 354,93 336,40 243,79 329,47 770,021125 243,03 142,13 276,26 365,78 341,38 250,84 331,01 818,371150 244,46 145,77 274,36 377,37 346,55 258,00 332,89 871,351175 246,03 149,45 272,72 389,74 351,92 265,27 335,12 929,551200 247,73 153,17 271,30 402,93 357,48 272,65 337,68 993,651225 249,55 156,94 270,11 416,97 363,23 280,14 340,57 1064,48


Pág.

CAPÍTULO 2

Figura. 2.1 Detalle de forja por estampación 21

Figura. 2.2 Pieza a deformar 36

Figura 2.3 Distribución de tensiones 37

Figura 2.4 Campo de líneas de deslizamiento 41

Figura 2.5 Campo de líneas de deslizamiento con curvatura 42

Figura 2.6. Hodógrafo de las superficies de discontinuidad 53

Figura 2.7 División en zonas de pieza prismática. 53

CAPÍTULO 3

Figura 3.1 Disposición de pieza entre placas planas paralelas 59

Figura 3.2 Condiciones de contorno de un cuarto de pieza. 60

Figura 3.3 Sección de la pieza sometida a análisis. 64

Figura 3.4 Campo de discontinuidad de velocidades. 65

Figura 3.5 Fases de creación del hodógrafo. 66

Figura 3.6 Superficies sometidas a rozamiento. 68

Figura 3.7 Diagrama de flujo con enfoque No Modular. 70

Figura 3.8 Diagrama de flujo con enfoque Modular. 73

CAPÍTULO 4

Figura 4.1 Configuración geométrica contraria para 3 BRT en PPP. 78

Figura 4.2 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP con

disposición contraria.

78


422

Figura 4.3 Evolución p/2k para 3 BRT en configuración PPP con

disposición inicial.

80

Tabla 4.1 Resultados de p/2k; 3 BRT en configuración PPP con

disposición inicial

81

Figura 4.4 Esquema de evolución del proceso de forja con 3 BRT

inicial y PPP.

82

Figura 4.5 Evolución de valores de p/2k para 3 BRT inicial y PPP. 82




83




86

Figura 4.10 Configuración geométrica inicial para 3 BRT en PPI. 89

Figura 4.11 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI con


89

Figura 4.12 Evolución p/2k para 3 BRT, configuración PPP y


94

Figura 4.13 Disposición inicial de BRT en PPP 95

Figura 4.14 Encaje irregular de BRT en PPP-PPI. 96

Figura 4.15 Disposición definitiva de BRT en PPP. 96

Figura 4.16 Disposición definitiva de BRT en PPP. 97

Figura 4.17 Encaje de BRT en PPP-PPI. 97

Figura 4.18 Configuración geométrica de 3 BRT sobre PPP. 98

Figura 4.19 Simetría horizontal, ausencia de movimiento relativo. 98

Figura 4.20 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP 98

Figura 4.21 Evolución de p/2k vs factor de forma en PPP con 3 BRT. 102

Tabla 4.2 Resultados de p/2k para 3 BRT en configuración PPP. 103

Figura 4.23 Evolución de proceso de forja con disposición de 3 BRT y

PPP.

103

Figura 4.24 Valores de evolución de proceso de forja con disposición

3 BRT y PPP.

104

Índice de tablas y figuras

423

Figura 4.25 Valores de evolución modificado de proceso de forja para

3 BRT y PPP.

104

Figura 4.26 Configuración geométrica para 4 BRT en PPP 105

Figura 4.27 Hodógrafo para 4 BRT en configuración PPP. 105

Figura 4.28 Configuración geométrica para 5 BRT en PPP. 109


Figura 4.30 Comparativa evolución p/2k para 3 BRT con PPP. 114

Figura 4.31 Evolución con m variable para 3-4-5 BRT no Modular y

PPP.

115

Figura 4.32 Evolución con m=0, 0.2, 0.5 y 1 para 3-4-5 BRT no

Modular y PPP.

115

Figura 4.33 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI. 116

Figura 4.34 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI. 116

Figura 4.35 Evolución de p/2k para 3 BRT en configuración PPI con m

variable.

119

Figura 4.36 Evolución de p/2k para 3 BRT en PPI con α variable y

m=0.

120

Figura 4.37 Evolución de p/2k para 3 BRT en configuración PPI con m

variable.

120

Figura 4.38 Configuración de 5 BRT para perfil PPP-PPI. 121

Figura 4.39 Hodógrafo para configuración de 5 BRT con perfil PPP-

PPI.

122

Figura 4.40 Evolución p/2k con 5 BRT y perfil PPP-PPI. 124

Figura 4.41 Configuración geométrica de 3 BRT en PPP. 125


Figura 4.43 Evolución de opciones de cálculo de p/2k para 3 BRT. 128

Figura 4.44 Evolución de opciones de cálculo de p/2k para 3 BRT. 128

Figura 4.45 Evolución de p/2k, 3 BRT.con μ variable. sin iteración 129

Figura 4.46 Evolución de p/2k, 3 BRT con μ variable y una iteración 130


Figura 4.48 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI 131

Figura 4.49 Comparativa para 3 BRT en PPI m-μ. 133


424

CAPÍTULO 5

Figura 5.1 Optimización mediante modulación 138

Figura 5.2 Optimización mediante modulación 138

Tabla 5.1 Valores optimización mediante modulación 139



Figura 5.5 p/2k para 3 BRT en configuración modular PPP. 144


Fig. 5.7 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPP. 145

Figura 5.8 p/2k para m=0 y α=0 para 3 BRT en PPP Modular. 149

Figura 5.9 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI 150

Figura 5.10 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI 150

Figura 5.11 p/2k para 3 BRT en configuración modular PPI 154



Figura 5.14 p/2k para m=0 y α=0 para 3 BRT en PPI Modular con

α1=α2=0º.

159

Figura 5.15 p/2k para m=0 y 3 BRT en PPI Modular con α1=15º y

α2=0º

160

Figura 5.16 Composición de gráficas;Modular;3 BRT;m=0;PPP-

PPI(α1=15º y α2=0º)

160

Figura 5.17 Módulos independientes para PPP y PPI. 162

Figura 5.18 Combinación de módulos en un perfil PPP-PPI 162

Figura 5.19 Resultados de p/2k para 2 módulos. 163

Tabla 5.1 Resultados de p/2k para 2 módulos. 163

Figura 5.20 Comparativa de 3 BRT Modular 165



Figura 5.23 Evolución de p/2k;3 BRT PPP Coulomb sin mód. previo y

μ=0

170




425

Figura 5.26 Evolución de p/2k con μ=0,05 y α=15º. 174



Figura 5.29 Evolución p/2k para μ=0,05 y α=15º. 178



Figura 5.32 Evolución de p/2k de h1=2 a h1=0,4 182

Figura 5.33 Módulos independientes para PPP y PPI. 183

Figura 5.34 Combinación de módulos en un perfil PPP-PPI. 184

Figura 5.35 p/2k frente a b/h para 2 módulos en un perfil PPP-PPI 184

Tabla 5.2 Resultados de p/2k para 2 módulos en un perfil PPP-PPI. 185

Figura 5.36 Comparativa adherencia-deslizamiento. 186

Tabla 5.3 Valores de C y n para diferentes metales o aleaciones. 187

Figura 5.37 3 BRT adh.+endurecimiento. Al995. Curva de proceso.

h1=2 a 0,4; m=0.

188

Figura 5.38 3 BRT desliz.+endurecimiento. Curva de proceso. h1=2 a

0,4; μ=0,05

189

Figura 5.39 3 BRT adherencia + endurecimiento. Al995. h1=2 a 0,4;

m=0,05.

190

Figura 5.40 3 BRT deslizamiento + endurecimiento. Al995. h1=2 a 0,4;

μ=0,05.

190

Figura 5.41 Adh.+ endurec. Al995. p con endurecimiento-grado

deformación.

191

Tabla 5.4 Valores Adh.+ endurec. Al995. p con endurecimiento-grado

deformación.

191

Figura 5.42 Adh.+ endurec. Al995. p/2k frente a b/h. 192

Tabla 5.5 Valores de Y para diferentes materiales. 194

Figura 5.43 3 BRT Endurecimiento + Temperatura. Coef. Roz.=0,1 196

Fig. 5.44 Configuración geométrica de 3 BRT en PPI. 197

Fig. 5.45 Hodógrafo para 3 BRT en configuración PPI. 198

Figura 5.46 Comparativa segundo módulo. 200

Figura 5.47 Comparativa primer módulo 201



426


Figura 5.50 Comparativa segundo módulo. 204

Figura 5.51 Comparativa primer módulo. 205

CAPÍTULO 6

Figura 6.1 Configuración de 2 módulos y variación de la altura final del

2º módulo

210

Figura 6.2 Comparativa de p/2k para primer y segundo módulo con

m=0

210


m=1

211

Tabla 6.1 Resultados Comparativa de p/2k para primer y segundo

módulo.

211

Figura 6.4 Configuración dos módulos y variación de longitud final del

2º módulo

212


m=0.

212


m=1.

213


módulo.

213

Figura 6.7 Configuración dos módulos y variación altura final del

segundo módulo

214


m=0.

214


m=1

214


módulo.

215

Figura 6.10 Configuración dos módulos y variación longitud inicial del

primer módulo

215


427


m=0.

216


m=1.

216


módulo.

216

Figura 6.13 Configuración dos módulos y variación longitud del

segundo módulo

217


m=0.

217


m=1

218


módulo.

218

Figura 6.16 Configuración dos módulos y variación longitud del 2º

módulo con h3>h2

219

Figura 6.17 Comparativa de p/2k para 1º, 2º módulo y combinación de

ambos

220

Figura 6.18 Comparativa de p/2k para 1º y 2º módulo con m=1. 220


módulo.

220

Figura 6.19 Configuración dos módulos y variación longitud del

segundo módulo

221


m=0.

221


m=1.

222


módulo.

222

Figura 6.23 Configuración dos módulos y desplazamiento de la matriz

de estampación. (variación en altura)

223


m=0.

223


428


m=1

223


módulo.

224

Figura 6.26 Diferentes tipos de familias 236

Figura 6.27 Elementos de primer orden 237

Figura 6.28 Elementos de segundo orden 237

Figura 6.29 Tipos de integración en función del tipo de elemento 239

Tabla 6.9 Características del material en estudio 239

Figura 6.30 Mallado mediante MEF 240

Figura 6.31 Distribuciones de tensiones y deformaciones mediante

MEF

240

Tabla 6.10 Valores de p/2k tras aplicación del MEF 241

Figura 6.32 Evolución de p/2k MEF versus BRT para factor de forma

b/h=0,5

245

Tabla 6.11 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=0,5 245


b/h=1

246

Tabla 6.12 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=1 246


b/h=2

247



b/h=4

248



b/h=6

249



b/h=0,5

252

Tabla 6.16 Resultados de p/2k MEF–BRT para b/h=0,5 252


b/h=1

253


429



b/h=2

254



b/h=4

255



b/h=6

256


Figura 6.42 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF para

b/h=0,5.

257

Figura 6.43 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF

(b/h=0,5 y r=50%).

257

Figura 6.44 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF

(b/h=0,5 y r=50%).

258

Figura 6.45 Grado de variación de modelos de BRT frente a MEF para

b/h=1.

258

Figura 6.46 Comparativa de 3 BRT no modular-von Karmann. 261

Figura 6.47 Pieza a deformar según Johnson 261

Figura 6.48 Hodógrafo según Johnson 262

Figura 6.49 Evolución de p/2k según Johnson 262

Figura 6.50 Evolución de p/2k según Johnson 263

Tabla 6.21 Valores de la evolución p/2k en Johnson y en modelo de

BRT

263

CAPÍTULO 7

Figura 7.1 deformación de módulo de PPP. 270

Figura 7.2 Configuración de 2 módulos y variación de la altura final del

2º módulo.

271

Figura 7.3 Configuración de módulos PPP y PPI. 273


430

Figura 7.4 Evolución de p/2k de primer, segundo módulo y perfil

combinado.

273

Figura 7.5 Configuración de 3 módulos PPP-PPI-PPP. 275

Figura 7.6 Evolución de p/2k para 3 módulos PPP-PPI-PPP 275

Tabla 7.1 Resultados de p/2k para 3 módulos PPP-PPI-PPP 276

Figura 7.7 Configuración de 3 módulos PPI-PPP-PPI. 277

Figura 7.8 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPP-PPI. 277

Tabla 7.2 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPP-PPI. 278

Figura 7.9 Configuración de 3 módulos PPI-PPI-PPI con inclinación

negativa.

279

Figura 7.10 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI. 279

Tabla 7.3 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI. 280

Figura 7.11 Configuración de 3 módulos PPI-PPI-PPI. 281

Figura 7.12 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI. 281

Tabla 7.4 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI. 282

Figura 7.13 Configuración de 3 módulos PPI-PPI-PPI con inclinación

negativa.

283

Figura 7.14 Evolución de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI con

inclinación negativa.

283

Tabla 7.5 Resultados de p/2k para 3 módulos PPI-PPI-PPI con

inclinación negativa

284

Figura 7.15 Velocidad del material entre módulos 285

Figura 7.16 Sección de la pieza de trabajo, División modular 286

Figura 7.17 Dimensionamiento cuarto de pieza 286

Figura 7.18 Descenso de la matriz superior. 287

Figura 7.19 División en 6 Módulos. 287

Figura 7.20 División en 7 Módulos. 288

Figura 7.21 Modificación del factor de forma debida a la deformación. 288

Figura 7.22 p/2k versus bTotal/h para 6 Módulos. 289

Tabla 7.6 Valores p/2k versus bTotal/h para 6 Módulos. 289


Tabla 7.7 Valores p/2k versus bTotal/h para 7 Módulos. 290



431

ANEXO A

Figura A.1 Evolución de p/2k con m=0 para 3 BRT contrario 319

Tabla A.1 Valores de la evolución de p/2k con m=0 para 3 BRT

contrario

319



contrario

320



contrario

321



contrario

322



contrario

323



contrario

324

Figura A.7 No Modular Combinación PPP-PPI con 5 BRT y h1=1;

m=0; α variable.

325

Figura A.8 Combinación PPP-PPI con 5 BRT y h1=1; m variable; α=0 326

Figura A.9 Comp. No modular entre disposiciones de BRT; m variable;

h1=1;3BRT.

327

Figura A.10 Comp.No modular entre disposiciones de BRT; m

variable; h1=1; 4 BRT.

328

Figura A.11 Comp.No modular entre disposiciones de BRT; m

variable; h1=1; 5 BRT.

329

Figura A.12 No Modular nueva configuración; m variable; 3 BRT. 330

Tabla A.7 Valores No Modular nueva configuración; m variable; 3 BRT 330

Figura A.13 No Modular nueva configuración; m variable; 4 BRT 331


432


Figura A.14 No Modular nueva configuración; m variable; 5 BRT 332


Figura A.15 No Modular comparativa; m variable.h1=1 333

Figura A.16 No Modular comparativa; m variable.h1=1 334

Figura A.17 No Modular comparativa; m variable.h1=1. 335

Figura A.18 No Modular comparativa adherencia-deslizamiento; m-μ

variable;.h1=1.

336

Figura A.19 Optimización de Módulos. 337

Tabla A.10 Valores optimización de módulos. 337

.Figura A.20 Optimización de Módulos 338

Tabla A.11 Valores optimización de módulos 338

Figura A.21 Optimización de Módulos 339



Tabla A.13. Valores optimización de módulos. 340


Tabla A.14. Valores optimización de módulos 341












Tabla A.20 Valores optimización de módulos 347



Figura A.31 Comparativa Modular-No modular PPP 349


433

Tabla A.22 Valores comparativa Modular-No Modular PPP 349

Figura A.32 Comparativa Modular-No modular PPP. 350



Tabla A.24 Valores comparativa Modular-No Modular PPP. 351



Figura A.35 Comparativa Modular-No modular PPI 353

Tabla A.26 Valores comparativa Modular-No Modular PPI 353

Figura A.36 Comparativa Modular-No modular PPI. 354











Tabla A.32 Valores comparativa Modular-No Modular PPI. 359





Figura A.44 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado 362

Tabla A.35 Valores comparativa Modular-No Modular Perfil combinado 362

Figura A.45 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado. 363







434

.Figura A.48 Comparativa Modular-No modular Perfil combinado 366
















Figura A.56 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 374

Tabla A.47 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado 374



Figura A.58 Comparativa Modular (2 Módulos) Perfil combinado. 376







Tabla A.52 Valores comparativa Modular (2 Módulos) Perfil

combinado.

379



combinado.

380



435






combinado.

383





















combinado.

393





combinado.

395



436






combinado.

398









combinado.

402

Figura A.85 Comparativa Modular combinación rozamiento

(2 Módulos).

403

Tabla A.76 Valores comparativa Modular combinación rozamiento

(2 Módulos).

403


(2 Módulos).

404


(2 Módulos).

404


(2 Módulos).

405


(2 Módulos)

405


(2 Módulos).

406


(2 Módulos).

406


(2 Módulos)

407


437


(2 Módulos).

407

Figura A.90 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable. 408

Tabla A.81 Valores comparativa Modular p con endurecimiento y m

variable

408

Figura A.91 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable 409


variable

409



variable

410



variable.

411

Figura A.94 Comparativa Modular p con endurecimiento y m variable. 412


variable

412

Figura A.95 Comparativa Modular Rozamiento-Módulos. 413

Tabla A.86 Valores comparativa Modular Rozamiento-Módulos. 413

Figura A.96 Comparativa Modular Rozamiento-Módulos 414

Tabla A.87 Valores comparativa Modular Rozamiento-Módulos 414

Figura A.97 Comparativa Modular Rozamiento-Módulos-Grado

deformación

415

Tabla A.88 Valores comparativa Modular Rozamiento-Módulos-Grado

deformación

415

Nota biográfica sobre el autor

Francisco de Sales Martín Fernández nació en Málaga el 16 de octubre de

1964. Cursa el Bachillerato en el Instituto Ntra. Sra. de la Victoria de Málaga y

realiza los estudios de Ingeniería Técnica Industrial en la Escuela Universitaria

Politécnica de la Universidad de Málaga obteniendo el título de Ingeniero Técnico

Industrial en 1991.

En febrero de 1996, tras doce años de experiencia profesional en empresas

privadas, es contratado como profesor Ayudante, y posteriormente como profesor

Asociado, por la Escuela Universitaria Politécnica de Málaga. En octubre de 2000

adquiere la plaza de Titular de Escuela Universitaria adscrito a la Escuela

Universitaria Politécnica de Málaga.

Ha desarrollado su labor docente mediante la impartición, entre otras, de las

asignaturas de Tecnología Mecánica y Tecnología de fabricación, pertenecientes al

área de Ingeniería de los Procesos de Fabricación.

Coautor de diversas monografías sobre temas relacionados con el área de

conocimiento de Ingeniería de los Procesos de Fabricación.

En octubre de 2005 obtiene el título de Ingeniero Industrial, otorgado por la

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Málaga. Cursa el programa

de doctorado interuniversitario de Ingeniería de Fabricación en el bienio 2005-2007,

culminando el programa con la obtención del Diploma de Estudios Avanzados en

noviembre del año 2007.

Es coautor de comunicaciones y ponencias a congresos de carácter nacional

e internacional.

Miembro fundador y responsable del área de administración del laboratorio de

Metrología Dimensional de la Universidad de Málaga (CEMUM), así como miembro y

socio desde su fundación, de la Sociedad de Ingeniería de Fabricación.

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