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LIMITES

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación

moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica epsilon-delta. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática. La

primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850s y 1860s y desde entonces se ha convertido en el método estándar para lidiar

con límites. La notación de escritura usando el abreviación lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático. Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p,

significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p.Para comprender su esencia determinemos la pendiente de las líneas secantes a la curva y analicemos esta situación:

Consideremos el punto P(1,1) que pertenece a la curva -3x2+2x+2 y dos puntos Q y Q1 diferentes de P pertenecientes a la curva. Las pendientes de la rectas secantes está

definida por:

Observamos en la grafica que puesto que Q y Q1 no son iguales a P, en el primer

caso , en segundo . Las tablas siguientes nos ilustran acerca de los valores que

va tomando la función a medida que la variable independiente se acerca al valor de P:

0 0.25 0.5 0.75 0.9 0.99 0.999 0.9999

-1 -1.75 -2.5 -3.25 -3.7 -3.97 -3.997 -3.9997

2 1.75 1.5 1.25 1.1 1.01 1.001 1.0001

-7 -6.25 -5.5 -4.75 -4.3 -4.03 -4.003 -4.0003

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En las dos tablas se puede deducir que mientras la variable independiente varía ,

la función varía , que cuando varía la función varía y que cuando

la variable independiente varía , la función varía , en otras palabras podemos afirmar que podemos hacer que el valor de la función se aproxime tanto a -4 como deseemos haciendo que el valor absoluto de la diferencia entre x y 1 sea muy pequeña

pero que nunca será igual a -4. Lo anterior nos lleva a la definición formal de límite

que se plasma en la siguiente figura donde se emplean las letras del alfabeto griego

y :

El límite de la función cuando se aproxima a será si y solo sí para todo

existe un tal que para todo número real en , de acuerdo a ello:

Podemos entonces entender que:

De las dos tablas elaboradas para diferentes valores de podemos expresar que:

Lo anterior expresado con símbolos:

Demostremos que:

Con los anteriores valores:

Pero:

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Ejemplo: hallar el valor L en la siguiente expresión:

Si dividimos la segunda expresión por 2:

Por lo tanto:

Propiedades de los límites 1. Si y son dos constantes reales:

2. Si es una constante:

3. 4. Si es factor de una función:

5. Limite de una suma o diferencia de funciones:

6. Limite de un producto de funciones:

7. Limite de una razón entre funciones:

8. Si es un entero positivo y :

9. Si es un entero positivo y :

Ejercicios resueltos:

1.

2.

3.

4.

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5.

Para ejercicios de este tipo recordar:

Ejercicios propuestos, calcular:

UNICIDAD DEL LÍMITE

Veamos el siguiente ejemplo:

La grafica de la función es:

Se puede observar que el punto que se debe analizar es la proximidad de

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Determinemos el valor de para exista el límite en la función definida por:

El punto a estudiar: cuando

Lo anterior se refiere a que cuando se acerque al valor de tanto por la izquierda como por la derecha el valor del límite sea el mismo.

Ejercicios:

1. Determinar el valor de para que el límite de la función exista:

A. =

B.

C.

D.

E.

2. Determinar si el límite indicado existe o no y porqué:

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.