109

3.2 Limites de Funciones de Varias Variables.

En la recta real R, la distancia entre los puntos x1 y x2 es el valor absoluto de

su diferencia ( )21212 xxxx = . En R2, la distancia entre dos puntos

( ) ( ) , Py , 222111 yxyxP es 212212 )()( yyxxd += y en R3. Tenemos que para

( ) ( ) ,, Py ,, 2221111 zyxzyxP la distancia es

212

212

212 )()()( zzyyxxd ++=

Definicin 3.2.1:

Si ),...,,( 21 nxxxP y ),...,,( 21 naaaA pertenecen a Rn entonces la distancia

entre esos dos puntos es 22222

11 )(...)()( nn axaxaxAP +++= .

Ejemplo:

- Si P = x y A = a tenemos que 2)( axAP = por definicin del

valor absoluto tenemos que axAP = .

- Si ),( yxP = y ),( 00 yxA = entonces 2020 )()( yyxxAP += .

Definicin 3.2.2:

Si nRA y r es un nmero positivo, entonces una bola abierta );( rAB se

define como todo los puntos P en Rn tal que rAP

110

Definicin 3.2.3:

Si nRA y r es un nmero positivo, entonces una bola cerrada [ ]rAB ; se define como todos los puntos P en Rn tal que rAP .

Ejemplo:

En R, tenemos que la bola abierta );( raB es el conjunto de todos los puntos

en el intervalo abierto (a r , a + r ) y se representa

( ) a - r a a + r

La bola cerrada [ ]raB ; es el conjunto de todos los puntos en el intervalo cerrado [a r , a + r ] y se representa

[ ] a - r a a + r

En R2, tenemos que la bola abierta B((x0 , y0 ); r) es el conjunto de todos los

puntos (x ,y ) tal que

ryxyxAP

111

La bola cerrada B[( x0 , y0 ) ; r] es el conjunto de todos los puntos tal que

ryxyxAP = ),(),( 00

En R3, la bola abierta B( (x0 ,y0 ,z0 ) ; r ) es el conjunto de todos los puntos tal

que rzyxzyxAP

112

y la bola cerrada B[( x0 , y0 ,z0 ) ; r ] es el conjunto de todos los puntos tal que

rzyxzyxAP = ),,(),,( 000

Definicin 3.2.4: ( No rigurosa de limite de una funcin de dos variables).

Sea f una funcin de dos variables que esta definida en una bola abierta

B(A; r)que contiene al punto (x0 , y0 ) ,excepto posiblemente en el mismo punto.

Diremos que el limite de f(x,y) cuando (x , y) tiende a (x0 , y0 ) es el nmero L y se

denota por

Lyxfyxyx

=

),( lim),(),( 00

Significa que se pueden hacer los valores ),( yxf = de la funcin

suficientemente prximos a L eligiendo un punto suficientemente prximo a

),( 00 yx pero distinto de l.

Ejemplo:

1) 4)2)(1(22lim)2 ,1(),(

==

xyyx

113

2) 54

108

1926

13)1(2)3(2

yxy2x2lim 22

2

22

2

)1,3()y,x(==

+

+=

+

+=

+

+>

Ahora resolviendo con la asistencia del software MAPLE V, solo se usa un

comando limit(funcin,{x=a,y=b}) y se puede observar que el paquete lo resuelve

directamente.

> limit((x*2+2*y^2)/(x^2+y^2),{x=3,y=1});

45

Tambin se puede realizar con la instruccin Limit(funcin,{x=a,y=b})=

limit(funcin,{x=a,y=b}), si se escribe Limit con mayscula significa que lo va

escribir y con minscula es que lo ejecuta.

>

Limit((x*2+2*y^2)/(x^2+y^2),{x=3,y=1})=limit((x*2+2*y^2)/

(x^2+y^2),{x=3,y=1});

=

Limit , + 2 x 2 y2

+ x2 y2{ }, = x 3 = y 1 45

Definicin 3.2.5:

Sea f una funcin en n variable )( pf definida en alguna bola abierta

);( rAB , excepto posiblemente en el punto A, entonces el lmite de )( pf cuando p

se aproxima a A es L y se denota por

114

LpfAP

=

)(lim

Si para cualquier 0> , existe un 0> tal que

115

iv.- Regla del cociente.

ML

yxg

yxfyxgyxf

yxyx

yxyx

yxyx==

),(),(

),(),(),(),(

00

00

00 ),(lim),(lim

),(),(lim si M 0.

Ejemplo:

a) 13)4()4)(3(3lim 2222)4,3(),(

=++=++

yxyxyx

b) 54

21)2)(1(2

)lim(2lim2

lim 22)2 ,1(),(

22)2 ,1(),(

22)2 ,1(),(=

+=

+=

+

yx

yx

yx yx

xy

yxxy

c) ( ) ( ))4,2(),(

3

)4,2(),(

3

)4,2(),(2limlim2lim

+=+yxyxyx

yxyyxy

( ) [ ] 004)4(224 3 ==

+=

Otro ejemplo usando el software MAPLE V.

> Limit(((x^2-2*x*y+y^2)/(x-y)),{x=0,y=0})=limit(((x^2-

2*x*y+y^2)/(x-y)),{x=0,y=0});

=

Limit ,

+ x2 2 x y y2

x y { }, = x 0 = y 0 0

Definicin 3.2.7:

Sea f una funcin de dos variables definida en un disco abierto ( )ryxB );,( 00 excepto posiblemente en el punto ),( 00 yx , entonces.

Lyxfyxyx

=

),(lim),(),( 00

116

),( que tal0 ,0 > Lyxf

siempre que > tal que

117

Ejemplo:

Si 1S es el conjunto de todos los puntos en el lado positivo del eje x. Se

tiene que.

) ()0,( lim),(lim

1

0)0,0(),(

SP

xfyxfxyx

=

Si 2S es el conjunto de todos los puntos de la recta y = x tenemos que

) (),( lim),(lim

2

0)0,0(),(

SP

xxfyxfxyx

=

Si 3S es el conjunto de todos los puntos en la parbola y = x2 tenemos que

) (),( lim),(lim

3

2

0)0,0(),(

SP

xxfyxfxyx

=

Teorema 3.2.10:

Supongamos que f es la funcin definida en un disco abierto );( 0 rpB , con

centro en ),( 000 yxp = , excepto posiblemente el mismo ),( 00 yx y

Lyxfyxyx

=

),(lim),(),( 00

. Entonces si 2 RS y ),( 00 yx es su punto de

acumulacin.

SP

yxfyxyx

),( lim ),(),( 00

existe y tiene valor L.

118

Demostracin:

Lyxfyxyx

=

),(lim),(),( 00

entonces por definicin tenemos que

0)( ,0 >> tal que

119

Supongamos que el ),( lim ),(),( 00

yxfyxyx

existe entonces por teorema

anterior se tiene que L1 es igual a L2 y la hiptesis 21 LL se tiene una

contradiccin )( por lo tanto ),(lim),(),( 00

yxfyxyx

no existe.

Ejemplo:

Si 222

),(yx

yyxf+

= determinar si el ),(lim)0,0(),(

yxfyx

existe no existe.

Solucin:

Sea S1 el conjunto definido por y = 0. entonces 000)0,( 22

2

=

+=

xxf . por

lo tanto 1

00)0,0(),(

00lim)0,(lim),(limSP

xfyxfxxyx

===

.

Si S2 se define como todos los puntos de la recta y = x. Entonces

21

2),( 2

2

22

2

==

+=

x

x

xx

xxxf

Ahora 2

0)0,0(),(

21

21lim),(lim

SP

yxfxyx

==

Como 21 LL por teorema el limite no existe.

Ejemplo:

Dado 2224),(yxyxyxf

+= encontrar ),(lim

)0,0(),(yxf

yx si existe.

120

Solucin:

Pues queremos dos conjuntos para hacer el estudio de trayectoria.

Si S1 es el conjunto de todos los puntos en el eje x tal que

000

)0(4)0,( 2222

==

+=

xx

xxf

por lo tanto.

11

)0,0(),()0,0(),(

en en

00lim)0,(limSS

xfyxyx

==

Si S2 es el conjunto de rectas cuando mxy = tenemos que

222

3

222

2

14

)1(4))((4),(

m

mx

mx

mx

xmx

mxxmxxf

+=

+=

+=

22

2)0,0(),()0,0(),(

en en

01

4lim)0,(limSS

m

mxxf

yxyx=

+=

como las dos trayectorias son iguales el limite es cero ahora probemos que.

0 ,0 >> tal que

121

ahora podemos concluir que para todo

4=

)()(4

4 222222

yxyxyx

+

++

> f:=(x,y)->(6*x*y^2)/(x^2+y^4);

:= f ( ),x y 6 x y2

+ x2 y4

Sean las trayectorias para determinar el lmite si existe:

> f(x,0); # Sustituyendo a y = 0 (para la trayectoria 1)

0

> f(0,y); # Cuando se sustituye a x = 0 (para la trayectoria 2)

0

122

> f(x,x^(1/2)); # Cuando se sustituye a xy = , en la funcin. (para la

trayectoria 3)

3

Comparando las trayectorias dos y tres el lmite no existe.

Definicin 3.2.12: (Continuidad en funciones de dos variables).

La funcin ),( yxf es continua en el punto ),( 00 yx si y solo si se cumple

las siguientes condiciones:

i.- ),( 00 yxf esta definida

ii.- El ),(lim),(),( 00

yxfyxyx

existe.

iii.- ),(lim),(),( 00

yxfyxyx

= ),( 00 yxf

Definicin 3.2.13: (Continuidad en n variable).

Si f es una funcin de n variable y A es un punto en Rn.

Entonces f es continua si y solo si las siguientes tres condiciones se cumplen:

i. )(Af existe.

ii. )(lim pfAp

existe.

iii. )()(lim AfpfAp

=

Nota: si una de las tres fallan la funcin es discontinua en A.

123

Ejemplo: a) Sea

+=

0

2

),(22

2

yxyx

yxf

)0,0(),( si

)0,0(),( si

=

yx

yx

Determina si f es continua en )0,0( .

Solucin:

Tomemos la definicin de continuidad para funciones de dos variables y

probemos las tres condiciones.

i. 0)0,0( =f existe y se cumple.

ii. 222

)0,0(),()0,0(),(2lim),(lim

yxyxyxf

yxyx +=

mtodo de la trayectoria.

Si S1 es el conjunto formado por todo los )0,(x tenemos que 00)0(2)0,( 22

2

=

+=

x

xxf

11

)0,0(),()0,0(),(

en en

00lim)0,(limSS

xfyxyx

==

Si S1 es el conjunto formado por y = x Se tiene xxx

x

xx

xxxxf ===

+=

1222),( 2

3

22

2

en

0lim),(lim

2

)0,0(),()0,0(),(

S

xyxfyxyx

==

Aunque obtiene el mismo limite cero. Se puede probar (para el estudiante) que

0 ,0 >> , tal que

124

iii. )0,0(2lim 222

)0,0(),(f

yxyx

yx=

+ por lo tanto la funcin es continua en )0,0( .

b) Sea

+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 24

2

yxsisi

yxsiyx

yxyxf Determine si f es continua en (0,0)

Solucin:

Verificando las condiciones para funciones de dos variables se tiene que,

i) f(0,0)=0 se cumple la condicin.

ii) Si S1= {(x,y)R2 / y=mx} ( ) mxmx

mxx

mxxmxxf

+=

+= 224

2

),(

0lim),(lim),(lim 200)0,0(),( =+== mxmx

mxxfyxfxxyx

S2= {(x,y)R2 / y=x2} ( ) 21

2),( 4

4

224

222

==

+=

x

x

xx

xxxxf

21

21lim),(lim),(lim

0

2

0)0,0(),(===

xxyxxxfyxf

Ya que ),(lim),(lim)0,0(),()0,0(),(

yxfyxfyxyx

=

Por lo tanto el ),(lim)0,0(),(

yxfyx

no existe

Conclusin la funcin es discontinua en (0,0).

125

EJERCICIOS PROPUESTOS.

A .- Hallar los siguientes limites:

1.- 7 Resp. 7lim 322)0,1(),(

++

yxyxyx

2.- 2- Resp. lim

)3,1(),( yxyx

yx

+

3.- 1 Resp. lim 3xy)0,1(),(e

yx

4.- [ ] 0 Resp. )ln(lim 22x)0,1(),(

yx

yxee +

5.- 1 Resp. )(lim)0,0(),( yx

yxsenyx +

+

6.- 18 Resp. lim 2244

)3,3(),( yxyx

yx

7.- 4 Resp. 24lim

22

)1,2(),( yxyx

yx

8.- 0 Resp. cos

lim)0,0(),( senyx

ee yx

yx +

9.- 2 Resp. 5lim 222

)2,1(),( yxyx

yx +

10.-( )

pi Resp. 1

4 lim)0,0(),( xy

xsenarc

yx +

B) Realizar los ejercicios de la parte A), con ayuda del software MAPLE V.

126

C) Encontrar un 0> para un 0> para que la definicin se cumpla.

1) 7 Resp 1)43(lim )2,3(),( == yxyx

2) ( )4,1min Resp 4)2(lim 2)4,2(),( ==+ yxxyx 3) 5 Resp 2

5lim 222

)2,1(),( ==

yxyx

yx

D) Determine si el limite si existe no existe.

1) existe. Resp. lim)0,0(),( yx

yxyx

+

2) existe. no Resp. lim 222

)0,0(),( yxyx

yx +

3) existe. no Resp. lim 4422

)0,0(),( yxyx

yx +

4) existe. no Resp. 2lim 2222

)0,0(),( yxyx

yx +

+

5) existe. Resp. lim22)0,0(),( yx

xyyx +

6) existe. Resp. lim 2233

)0,0(),( yxyx

yx +

+

7) ( ) existe. no Resp. lim 34244

)0,0(),( yx

yxyx +

8) existe. no Resp. lim 42423

)0,0,0(),,( zyxyzx

zyx ++

+

127

9) existe. no Resp. lim 666222

)0,0,0(),,( zyxzyx

zyx ++

10) existe. Resp. lim 22223

)0,0,0(),,( zyxxzy

zyx ++

+

E. - Discutir la continuidad de f.

1) Si

=

+

+

=

)0,0(),(0)0,0(),(

),( 222

yxsi

yxsiyxyx

yxf Resp: Discontinua.

2) Si

=

+=

)0,0(),(0)0,0(),(4

),( 222

yxsi

yxsiyxyx

yxf Resp: Continua.

3) Si

=

+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

yxsi

yxsiyx

xy

yxf Resp: Continua.

4) Si

=

+

=

)0,0(),(0)0,0(),(

),( 2222

yxsi

yxsiyxyx

yxf Resp: Discontinua.

5) Si

=

+=

)0,0(),(0)0,0(),(

),( 222

yxsi

yxsiyx

xyyxf Resp: Continua.