Limites y continuidad de funciones. Teoria...pegada a la recta horizontal y =L y se acerca cada vez...

GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ . MATEMÁTICAS .

L ÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES.

TEORÍA .

ÍNDICE:

1. Definición de límite.

� Límite de una función en un punto.

� Idea geométrica de límite.

� Límites laterales.

� Límite en el infinito.

2. Propiedades de los límites.

� Relaciones con la suma, la resta, el producto y la división de funciones.

� Relación con la composición.

3. Álgebra del infinito. Indeterminaciones.

� Álgebra del infinito.

� Indeterminaciones.

4. Cálculo de límites.

� Límite de funciones racionales.

� Límite de funciones irracionales.

� Límite de funciones trigonométricas.

� Límite de funciones exponenciales y logarítmicas.

� Resolución de indeterminaciones exponenciales.

� Cambios de variable en los límites.

� Regla de L´Höpital.

� Infinitésimos equivalentes.

5. Continuidad de funciones.

� Definición de continuidad en un punto.

� Idea geométrica de la continuidad.

� Tipos de discontinuidad.

� Propiedades algebraicas de las funciones continuas.

� Continuidad de una función a trozos.

6. Aplicaciones de los límites.

� Asíntotas de una función.

� Estudio instantáneo, áreas y longitudes.

7. Ejemplos.

8. Apéndices.

� Sobre la definición real de límite.

1.- DEFINICIÓN DE L ÍMITE .

1.1.- Introducción.

Los límites de funciones son tendencias, es decir, queremos saber a qué se parece el valor de una

función ( )xf cuando el valor de la variable x bien se parece a un número concreto a (lo que se denomina

“límite de f cuando x tiende a a” y se escribe ax → ), bien el valor de x aumenta mucho y superando toda

barrera imaginable (lo que se denomina “límite de f cuando x tiende a más infinito” y se escribe +∞→x ) o

bien el valor de x aumenta mucho, siendo negativo, y superando toda barrera imaginable (lo que se denomina

“límite de f cuando x tiende a menos infinito” y se escribe −∞→x ).

Las definiciones son variadas, dependiendo de si el valor de la variable x se acerca a un número o se

hace infinito y también depende del valor al que se acerca la función ( )xf en dichos casos. Por suerte sólo

cambian pequeños detalles de una definición a otra.

Para quitarle hierro al asunto y dejarnos de misterios, daremos una de las definiciones que aunque no

utilizaremos sí servirá para ilustrar lo complicado que resultan cuando están escritas (aún más que explicadas).

¿Entonces para qué se sirven? No, no es para martirizar a los pobres estudiantes, sino para dar a las matemáticas

el carácter estricto que éstas necesitan al desarrollar su teoría.

Definición (límite en un punto):

Dado un número ( )*fa Dom∈ , R∈a , que sea punto de acumulación del dominio (es decir que hay

puntos del dominio tan cerca de a como queramos, sin tener en cuenta al propio punto a) y un número R∈L ,

decimos que f tiende a L cuando x tiende a a, y se denota por ( ) Lxfax

=→

lim , si para cada número 0>ε existe

otro número 0>δ tal que, si ( )fx Dom∈ con δ<−< ax0 , entonces ( ) ε<− Lxf .

El hecho de que la definición no se entienda es, en parte, porque no se entiende la notación que se

utiliza en la definición, como es el caso de ( )*fa Dom∈ , o el caso de δ<−< ax0 , en parte, porque no

estamos acostumbrados a leer este tipo de cosas y, en parte, porque el concepto matemático de límite no es de

los más fáciles de entender. Hay que decir que entender este “lenguaje” matemático no nos interesa. Sólo

entender las ideas que hay en él. Sólo cuando se trabaja con funciones verdaderamente difíciles o cuando se

quieren estudiar propiedades generales de los límites es cuando hay que acudir a la definición y trabajar con

“esa cosa de ahí…” Se puede ver un estudio un poco más detallado en el apéndice II: sobre los puntos de

acumulación, junto con algún ejemplo.

Lo común, entre las funciones que vamos a estudiar, es que el límite coincida con el valor que toma la

función en el punto de referencia, es decir, que si sustituimos la x de una función por un número muy parecido

al número a, entonces el valor será muy parecido al que se tendría si sustituyésemos por el propio a. Esa idea es

la de continuidad y ocurre casi siempre en los ejemplos que vamos a manejar ya que las funciones más

comunes son continuas. Pero no todas las funciones son continuas. Además, hay veces que no es posible

sustituir x por el valor a, pues no es un valor del dominio y no tiene sentido hallar ( )af y sin embargo sí tiene

sentido hablar del límite porque podemos tomar valores de x muy cerca del número a y manteniéndonos dentro

del dominio de f. Cuando tenemos estos problemas hay que utilizar otras estrategias más complicadas para

hallar la tendencia de la función.

La primera observación, que en general pasa desapercibida, es que no hace falta que el número a esté en

el dominio de f, pero sí que esté “muy cerca” del dominio (pegado a él en cierta forma), puesto que estudiar el

límite cuando x tiende a a requiere observar el valor de ( )xf para valores de x muy cercanos a a. Por ejemplo,

sabemos que el dominio de ( ) xxf log= es ( ) ( )+∞= ,0Dom f puesto que no tiene sentido hallar ( )0f , ya que 0log

no existe (sólo tiene sentido hallar logaritmos de números positivos). No obstante, el valor 0=a está “pegado”

al dominio y podemos tomar valores x tan cerca del 0 como queramos y ver cómo son sus alturas ( )xf . Sólo se

podrá hacer por la derecha, pues los números a la izquierda del 0, los negativos, no están en el dominio.

Decimos entonces que, aunque ( ) ( )+∞=∉ ,0Dom0 f , se puede estudiar el límite ( ) xxfxx

loglimlim00 ++ →→

= . Este es

uno de los casos donde el límite no se puede estudiar sustituyendo x directamente por el 0, al no tener sentido la

expresión que se obtiene.

Lo que aprenderemos en este tema son las estrategias para estudiar límites cuando no podamos sustituir

directamente o cuando, al sustituir, se obtengan chorradas matemáticas, llamadas indeterminaciones. En

general, cada estrategia depende de tres cosas:

� Si estamos tomando límite cuando ax → o bien límite cuando ±∞→x .

� El tipo de función que estamos estudiando: polinómica, racional, exponencial, logarítmica,

trigonométrica, mezcla, función a trozos, …

� El tipo de problema que nos encontramos cuando intentamos sustituir por el valor del número a

directamente: no se puede sustituir o bien se obtiene una indeterminación: ∞±∞ m , ∞⋅0 , 00

, ∞∞

, ∞1 ,

00 ó 0∞ .

1.2.- Definiciones.

Definición (límite en un punto a):

Dada una función ( )xf y un punto a, pegado al dominio de f, decimos que "L es el límite de ( )xf

cuando x tiende a a" si al tomar valores de x muy parecidos al número a, entonces los valores de ( )xf se

parecen mucho al número L. Esto se escribe:

( ) Lxfax

=→

lim

Hay un apéndice II: sobre la definición real de límite por si alguien se aburre o tiene curiosidad de

cómo se hacen las cosas en matemáticas en realidad (pero es un poco difícil de entender).

Geométricamente, la idea de límite es la siguiente. La expresión ( ) Lxfax

=→

lim significa que si x es un

número muy cerquita del número a, entonces ( )xf debe ser un número muy cerca del número L. Como ( )xf

representa la altura de la gráfica de f en el punto x, estamos diciendo con ( ) Lxfax

=→

lim que cuando nos

acercamos a la recta vertical ax = , la gráfica de f debe tener una altura muy parecida a L. Es muy importante

darse cuenta de que al límite NO LE IMPORTA lo que pase justo en la vertical.

Un límite puede tener tres posibles respuestas.

− El resultado es un número. Este es el caso que hemos descrito hasta ahora.

− El resultado es infinito , que se representa mediante el símbolo ∞ . Esto pasa cuando al acercarse x al

número a, el valor de ( )xf se hace cada vez más grande y, además, se hace más grande que cualquier

número que podamos pensar.

− La función hace cosas raras cuando x se parece al número a y ( )xf no se acerca a una altura determinada.

La propiedad básica de los límites es "si existe límite de una función entonces el límite es único." Esto

significa que la función se tiene que aproximar a una única altura. De lo contrario diremos que el límite no

existe.

Un concepto más delicado que el de límite es el de límite lateral . El límite lateral persigue la misma

idea que la de límite, con la única diferencia de que x se acercará al número a, solamente por la derecha o

solamente por la izquierda. Así tenemos dos límites laterales, que se escriben, respectivamente como

( ) Lxfax

=−→

lim y ( ) Lxfax

=+→

lim

Los símbolos − y + son únicamente eso, símbolos. Y expresan el lado por el que x se acerca al número a. Así,

cuando escribimos ( ) Lxfax

=−→

lim indicamos que x se acerca al número a, pero siendo más pequeño que a y

cuando escribimos ( ) Lxfax

=+→

lim indicamos que x se acerca al número a, pero siendo mayor que a.

La relación entre el límite y los límites laterales es que "el límite de una función en un punto existe

cuando existen los límites laterales y éstos coinciden."

Veamos ahora el concepto de límite de una función en el infinito. La idea de límite en el infinito es

parecida a la de límite en el punto ax = , pero en vez de acercarse x al número a, x se hace cada vez más y más

grande. Lo escribimos como

( ) Lxfx

=∞+→

lim

e indicamos con esto que, cuando x se hace cada vez más grande, llega un lugar en el que, a partir de ese lugar,

el valor de la función ( )xf es muy parecido a L. Gráficamente, esto significa que antes de ese lugar puede que

la altura de la gráfica no tenga nada que ver con la altura L, pero después de ese lugar la gráfica de L está muy

pegada a la recta horizontal Ly = y se acerca cada vez más y más.

Una forma graciosa de imaginarse un límite es imaginarse una mosca que va recorriendo la gráfica.

Cuando la mosca se va acercando al cristal, situado en la vertical ax = , el límite es L si pensamos que el

choque contra el cristal será a altura L.

Vemos que cuando nos acercamos a la vertical en 5− desde la izquierda del 5− , la gráfica va

aumentando de altura hasta alcanzar altura 4. Esto se escribe ( ) 45

=−−→

xfxlim . También vemos que al acercarnos

por la derecha, la gráfica está plana y a altura 4. En cualquier caso, las alturas se acercan a 4. Esto se escribe

( ) 45

=+−→

xfxlim . Para los límites no importa qué pasa justo en el 5− . En este caso no hay altura, lo que en el

dibujo aparece como un punto vacío. ( )fDom5∉− .

Si nos fijamos ahora qué pasa en la vertical de 3=x , vemos que las alturas por la izquierda y por la

derecha de 3 se acercan también a 4. Esto se escribe como ( ) ( ) 433

==+− →→

xfxfxxlimlim . En este caso, sí que hay

altura en la vertical del 3 y dicha altura es 6, es decir, ( ) 63 =f .

En este caso, si nos fijamos en la vertical de 7−=x , podemos ver que cuando nos acercamos a

7− por la izquierda, la gráfica va tomando altura cercana a 6. Si nos acercamos a 7− pero por la derecha,

entonces la altura de la gráfica se acerca a 3. Esta situación se escribe como ( ) 67

=−−→

xfxlim y ( ) 3

7=

+−→xf

xlim .

Vemos que justo en la vertical sí hay gráfica. Esto está representado por un punto negro "lleno" a altura 3. Por

tanto ( ) 37 =−f . Podemos hacer un análisis parecido en la vertical de 3−=x .

Si tomamos la vertical en 7=x vemos que, al acercarnos a 7 por la izquierda, la gráfica tiene una

altura cada vez más parecida a 4− , es decir, ( ) 47

−=−→

xfxlim . Sin embargo, al acercarnos a la vertical del 7 pero

por la derecha, vemos que la gráfica desciende sin tener un tope, es decir, es negativa e infinita. Por tanto,

( ) −∞=+→

xfx 7lim . Aquí, justo en la vertical, también hay un punto negro a altura 4− , por lo que 7 sí está en el

dominio y ( ) 47 −=f .

2.- PROPIEDADES DE LOS L ÍMITES .

Los límites tienen las siguientes propiedades:

P.1. Unicidad: Si el límite existe, éste es un único resultado.

P.2. Límite vs límites laterales: El límite existe y es L si, y sólo si, los límites laterales existen y son L.

P.3. Suma, resta y producto: Si ( ) Lxfax

=→

lim y ( ) Mxgax

=→

lim entonces

( ) ( )[ ] MLxgxfax

+=+→

lim , ( ) ( )[ ] MLxgxfax

−=−→

lim y ( ) ( )[ ] MLxgxfax

⋅=⋅→

lim

P.4. División: Si ( ) Lxfax

=→

lim y ( ) Mxgax

=→

lim , donde 0≠M , entonces

( )( ) M

Lxgxf

ax=

→lim

P.5. Composición: Si ( ) Lxfax

=→

lim y ( ) MxgLx

=→

lim , entonces

( ) ( )( ) Mxfgxfgaxax

==→→

limlim o

Estas propiedades son principalmente técnicas y nos vienen a decir que, lo que nos gustaría hacer con

los límites, está permitido hacerlo. Se utilizan, generalmente para profundizar en la teoría de los límites.

3.- ÁLGEBRA DEL INFINITO . INDETERMINACIONES .

3.1.- Idea del infinito.

Cuando hablamos de infinito, únicamente queremos decir que estamos manejando una expresión cuyo

valor numérico que crece y crece sin ningún valor máximo. Por ejemplo, cuando decimos que +∞=−

++→ 1

2lim

21 x

xx

queremos decir que, cuanto más se parece el valor de x al número 1, siendo éste un poco mayor que 1, pues el

límite es por la derecha del 1, entonces mayor se hace el valor numérico de 1

22 −+

x

x, superando todas las barreras

que podamos imaginar. Es como decía Buzz Lightyear en Toy Story: "Hasta el infinito... y más allá. (To

infinity... and beyond!)" En efecto, si observamos la tabla de valores nos podremos convencer de ello:

x ( )1

22 −+=

x

xxf

1.5 82251

53

151

2512

...

.

. ==−

+

1.1 ......

.

.761914

210

13

111

2112

==−

+

1.01 ......

.

.7512149

02010

013

1011

20112

==−

+

1.00032 .....

.

.

.25004697

00064010240

000323

1000321

20003212

==−

+

1.000001 .....

.75001499999

0100000200000

0000013 =

Se observa, a partir de la tabla anterior, que cuanto más cerca está el valor de x a 1, mayor es el valor de

la fracción 1

22 −+

x

x, sin que ésta presente ningún tope. Esa idea se recoge diciendo que la fracción tiende a

infinito , y se denota por +∞=−

++→ 1

2lim

21 x

xx

.

Antes de pasar a estudiar límites, necesitamos entender cómo manejar cantidades infinitas y qué

representan. Esto se conoce como álgebra del infinito. Una vez que entendamos cómo manejar el “infinito”

algebraicamente, intentaremos entender por qué las indeterminaciones son cantidades “no determinadas,” es

decir, qué problema hay detrás de expresiones como ∞±∞ m , ∞⋅0 , 00

, ∞∞

, ∞1 , 00 ó 0∞ .

Entenderemos por infinito , NO UN NÚMERO concreto, sino UNA SITUACIÓN. Diremos que algo

que cambia tiende hacia infinito si se va haciendo tan grande como se quiera. Se denota por el símbolo ∞ ,

cuando además de ser infinitamente grande son cantidades positivas y −∞ cuando sean negativas.

3.2.- Operar con cantidades infinitas.

− Suma y resta:

Si se quiere, para operar y realizar cálculos con el infinito se puede uno imaginar que está manejando

números enormes: billones, trillones, etc. Esto puede ayudar a entender la insignificancia de números como el

4.32, el –6 o incluso el 1723 comparado con cantidades tan abrumadoras como el

1.000.000.000.000.000.000.000.000 (un trillón). Personalmente, me gusta el ejemplo de que si uno tiene un

trillón de euros en su cuenta corriente, 2 ó 3 euros no producen un aumento o descenso significativo en la

cuenta. De hecho 1.000 € tampoco, pues la cantidad es tan grande que los 1.000 € frente al trillón de euros son

insignificantes (en una situación real nos daríamos con un canto en los dientes si tuviéramos 1.000 € en la

cuenta corriente). Esto nos da la primera regla del álgebra del infinito:

“Si a es un número cualquiera, entonces

±∞=∞±a

y

±∞=+±∞ a ”

El ± tiene la única misión de aglutinar dos fórmulas en una. Desglosado, tenemos estos cuatro casos

(dos por cada expresión de las anteriores):

− Producto:

Queremos ver el efecto de multiplicar números por infinito. Imaginémonos un número cualquiera, el

que nos dé la gana. Por ejemplo el 5. Como dijimos en el apartado de la suma, para hacer cálculos podemos

suponer que el infinito es una cantidad inmensamente grande. Si tomamos un número muy grande, por ejemplo

100.000, entonces, al multiplicar por 5 se convierte en 500.000, que también es bastante grande. Si en vez de

100.000 tomamos otro número aún más grande, como 10.000.000, al multiplicar por 5 el resultado es más

grande aún, 50.000.000. Y si volvemos a tomar el trillón, 1.000.000.000.000.000.000.000.000, el resultado al

multiplicarlo por 5 es otro número inmensamente grande, 5.000.000.000.000.000.000.000.000.

Si en nuestra cuenta corriente, en vez de tener saldo positivo de 100.000€, 10.000.000€ o el trillón de euros,

teníamos deudas y la multiplicamos por 5 entonces tenemos una deuda cada vez más grande. La situación

general es que

±∞=∞±a

+∞=∞+a

−∞=∞−a

±∞=+±∞ a −∞=+−∞ a

−∞=+−∞ a

“Si a es un número positivo, entonces

±∞=±∞⋅a

y

±∞=⋅±∞ a “

Si el número a por el que vamos a multiplicar es negativo, por ejemplo 7− tenemos el efecto contrario,

es decir, una cuenta corriente saneada y alucinante de un trillón de euros se nos convierte en una horrorosa

deuda: .00000.000.000.000.000.0-7.000.000 (menos 7 trillones). En general, en las cuentas bancarias, en vez

de poner los números como positivos o negativos, los simbolizan con números negros y rojos respectivamente.

El mismo razonamiento se sigue para deducir que si comenzamos con una deuda enoooorme, se nos convierte

en un beneficio multiplicado por 7− . Tenemos entonces la regla siguiente:

“Si a es un número negativo, entonces

∞=±∞⋅ ma

y

∞=⋅±∞ ma ”

donde apreciamos en estas últimas expresiones que el signo del infinito cambia. Un ejemplo de esta fórmula

desglosada es que ( ) +∞=∞−⋅a .

Nota: Aunque pueda parecer un comecocos, es fácil acordarse, pues infinito por un número es infinito y luego

se aplica la regla de los signos del producto.

Nota: Queda un caso que aún no hemos analizado. ¿Qué pasa si el número a es el 0?. Lo dejamos para después,

cuando veamos las inderterminaciones.

− División:

Este es el caso menos claro de todos, pero termina siendo fácil pues también es muy mecánico. Vamos a

ver varias ideas relacionadas con la división. La primera es ver qué pasa cuando el numerador o el denominador

se hacen infinito, es decir, impresionantemente grandes comparado con la otra parte de la fracción.

� El numerador se hace infinito.

En este caso, tenemos que hay que dividir una cantidad absurdamente grande (y tan grande como

necesitemos) entre un denominador (que es siempre fijo). En este caso tenemos que el resultado de la

división es también otro número muy grande. Por ejemplo, si tenemos 1.000.000.000.000.000.000.000.000

y lo queremos dividir entre 4, tenemos que el resultado es 250.000.000.000.000.000.000.000, que también

es una bastante grande. Es verdad que el resultado es menor que el trillón original, pero lo que importa es

que el resultado se puede hacer inmensamente grande, lo cual es cierto pues sólo hace falta aumentar el

trillón para que el resultado de la división sea más grande de 250.000.000.000.000.000.000.000. Como en la

división también se tiene la regla de los signos como en el producto, tenemos la siguiente regla:

“Si a es positivo, entonces ±∞=±∞a

y

si a es negativo, entonces ∞=±∞m

a”

� El denominador se hace infinito.

En este caso estamos dividiendo un número fijo, que no cambia, entre otro que puede (y debe) ser

absurdamente grande. En ese caso, el resultado sale 0. Un ejemplo para ver esta idea de dividir, por ejemplo

3, entre un número cada vez más grande es que tenemos 3 tartas y las vamos dividiendo entre los amigos de

la fiesta para saber la cantidad de tarta que le corresponde a cada amigo. Si el número de amigos es más y

más grande, la cantidad de tarta que le corresponde a cada uno es menos y menos (no olvidemos que

siempre tenemos 3 tartas... el número de amigos, el denominador, es lo que aumenta). Por tanto, la

tendencia de dicha cantidad, de dicha fracción, es 0, es decir, que el trozo de tarta que nos corresponde es

casi nada... (vamos, que ni chupando el cuchillo...) Aunque el signo del numerador y del denominador hace

que las minúsculas cantidades sean positivas o negativas, en ambos casos son cercanas a 0 y no importa el

signo. Tenemos la siguiente regla:

“ 0=∞±

a”

� Tanto el denominador como el numerador se hacen infinito.

En este caso, no se sabe cómo terminará la cosa… Depende de quién crezca más rápido a infinito, es decir,

ambas cantidades se van haciendo enormes, pero puede pasar que una crezca mucho más rápidamente que

la otra o también que ambas crezcan a un ritmo parecido. Esto nos llevaría a uno de los casos anteriores o

bien a que, si el crecimiento es comparable, la fracción se parece a algún número concreto.

− Potencias:

Las potencias están formadas por dos partes: la base y el exponente, cuyos papeles son muy distintos.

Para razonar cómo cambia el resultado cuando una de las dos, bien la base o bien el exponente, se hace

infinitamente grande, hace falta recurrir a las funciones exponenciales, ( ) R∈∞+∈ xaax ,;, 0 , o a las

funciones potenciales, NR ∈∈ nxx n ,, .

Cuando queramos hacer el exponente enormemente grande y positivo es mejor razonar con las

exponenciales, pues la variable está en el exponente. Cuando queramos hacer grande la base será mejor razonar

con las funciones potenciales. Con las funciones potenciales hay que tener en cuenta que el exponente sólo toma

valores naturales o enteros. Todos ellos son puntos aislados y, por tanto, muy malos para el cálculo de límites.

3.3.- Álgebra del infinito (indeterminaciones incluidas):

Operación Casos Indeterminación

Suma / resta ±∞=∞±a ∞∞± m

0siy0si <∞=⋅∞±>±∞=⋅∞± aaaa m ∞⋅0 Producto

−∞=∞⋅∞±+∞=∞±⋅∞± my

0si00 ≠= aa

0

0

00 =∞

( )∗∞=0

a

( )∗∞=∞0

0siy0si <∞=∞±>±∞=∞±a

aa

am

∞∞

División

0=∞a

aaaa <+∞=<<= +∞+∞ 1siy10si0

aa

aaa

a <=∞+

==<<+∞=== ∞+∞−

+∞+∞− 1si0

11y10si

0

11,,

∞1

00 =+∞

0si >+∞=∞+ bb 0∞+

00

Potencias

( )∗∗∃/=∞−=∞++∞=∞+ ∞−∞+∞ ,0,

( )∗ Sólo falta por determinar el signo del resultado. En nuestros ejemplo se podrá hacer tomando límites

laterales, donde podremos ver si el denominador se acerca a 0 pero mayor, y por tanto positivo, o menor que 0,

y por tanto negativo.

( )∗∗ Las funciones exponenciales no permiten valores negativos de la base y las potenciales sí, pero sólo

permiten valores enteros del exponente, Z∈n , así que tampoco sería una función para hacer un estudio bueno.

Un truco para poder manejar todas las expresiones con fracciones a la vez es pensar en 0 e ∞ como

ideas opuestas y que cualquiera de ellas, cuando está en el numerador, da un resultado como ella misma, pero

cuando está en el denominador, da el resultado opuesto. Comprueba este truco con la expresión ∞0

.

4.- CÁLCULO DE L ÍMITES .

Para calcular el límite de una función ( )xf en un punto a, se suele sustituir el valor ax = en la

expresión de f. Esto se puede hacer por dos motivos. Primero porque los polinomios lo cumplen, como

veremos cuando lleguemos a la continuidad, al final del tema. Y segundo porque la mayoría de las funciones

que vamos a manejar se pueden aproximar por polinomios, es decir, se pueden encontrar polinomios cuyos

valores numéricos sean muy parecidos a los de la función dada (esto es mucho más difícil de probar. Es lo que

se conoce como desarrollo en serie de Taylor de una función).

Por tanto, la técnica inicial para hallar un límite será sustituir el valor a en la x de la expresión de f. Pero

tendremos tres problemas. El primero será que el resultado inicial obtenido sea una indeterminación. En tal caso

habrá que intentar resolverla, como veremos más adelante. El segundo problema será que la función no tenga

sentido en el punto a, porque no esté en su dominio, como el punto 0=x para el logaritmo. En este caso, habrá

que intentar trabajar directamente con las propiedades y la definición de la función ( )xf . Por último, que el

límite sea cuando x tiende a ∞ , en cuyo caso no tendrá sentido hablar de sustituir el valor a en la expresión de

f. Estos casos se intentarán estudiar con técnicas parecidas al caso 0=a o bien a partir de las propiedades de la

función ( )xf .

Para resolver una indeterminación, las técnicas dependerán del tipo de indeterminación que se obtenga,

de la naturaleza de la función con la que estamos trabajando y de si x tiende a un número o a ∞ . Pero son la

indeterminación y la naturaleza de la función lo que más importa. En general podemos decir que el primer paso

para resolver un límite es sustituir x por a para ver qué pasa.

4.1.- Técnicas según la indeterminación que se obtiene (ideas generales).

� 0k0k ≠con , .

Esta expresión crece a +∞ en valor absoluto. Es por eso que en realidad esta expresión no es una

indeterminación. El problema radica en diferenciar si, sin valor absoluto, la fracción crecerá hacia +∞ , crecerá

hacia −∞ , o si oscila el signo de la expresión y no se puede saber. Las funciones que vamos a manejar en estos

niveles (las funciones elementales) no tienen comportamientos patológicos (raros) y siempre crece bien hacia

+∞ o bien hacia −∞ .

Así pues, la forma de resolver este problema está en tomar límites laterales y estudiar el signo del

denominador con una tabla de signos, por ejemplo.

� ∞∞± m .

Este tipo de indeterminaciones aparece cuando tenemos dos cantidades sumándose o restándose BA + ,

de forma que ambas tienden a ∞ pero resultan ser de signos contrarios.

El caso más típico es cuando aparecen raíces. En tal caso se utiliza alguna identidad notable para que ,

multiplicando y dividiendo por la parte necesaria, las raíces desaparezcan y podamos simplificar. Aunque la

identidad más común será ( ) ( ) 22 BABABA −=+⋅− , que nos permitirá eliminar raíces cuadradas en una suma

de dos términos, se podrán utilizar otro tipo de expresiones como ( ) ( ) 3322 BABABABA −=++⋅− , por

ejemplo.

Otro caso es el de un polinomio. Aquí lo más fácil es "sacar factor común" la potencia de mayor grado.

A veces esta indeterminación aparece en una suma o resta de fracciones. En ese caso suele ser buena

idea unir ambas fracciones en una sola.

Ejemplo 1:

Hallar ( )11245 23 +−+−∞→

xxxxlim

Ejemplo 2:

Hallar

+−−+

+∞→2122 xxx

xlim

Ejemplo 3:

Hallar

−−

+→ 1

110 xxx

lim

� 00

y ∞∞

.

Estas indeterminaciones tienen una técnica general que consiste en factorizar tanto el numerador como

el denominador y simplificar aquella parte que se hace 0 ó ∞ . Tras lo cual podemos tomar el límite sin tener

problemas.

No obstante, estas dos indeterminaciones son las más fáciles debido a la poderosa herramienta de

L´Höpital. Dicha herramienta requiere conocimiento de derivadas. Además hay que tener claro que se necesita

tener este tipo de indeterminación para poder aplicar el teorema de L´Höpital y no se puede aplicar a una

fracción porque sí. En general da resultado, pero hay casos que se entra en un bucle de expresiones y no

resuelve el límite, como en el caso de algunas fracciones con raíces. Veamos ejemplos con ambas técnicas.

Si ( )( )xQxP

ax→lim , donde ( )xP y ( )xQ son polinomios se pueden factorizar ambos polinomios apareciendo

factores del tipo ( )ax − en el numerador y en el denominador. Se simplifica y se llega a una solución. Por

L´Höpital, se deriva y se toma límite de nuevo hasta que la indeterminación desaparezca.

El caso ( )( )xQxP

x ∞→lim es similar, pero sacaremos factor común la potencia de mayor grado en x tanto en el

numerador como en el denominador para después simplificar y tomar límites.

( )( )

<

=

>∞±

=++++

++++=

−−

−−

∞→∞→

mn

mnb

amn

bxbxbxb

axaxaxa

xQxP

m

nm

mm

m

nn

nn

xx

cuando0

cuando

cuando

limlim01

11

011

1

L

L

Ejemplo 4:

Hallar xxx

xxxx 44

4423

23

2 +++−−

−→lim

Ejemplo 5:

Hallar 81033

75224

3

−+−−+

−∞→ xxx

xxxlim

� ∞⋅0 .

Este tipo de indeterminación suele resolverse directamente, si es que la naturaleza de las funciones que

intervienen lo permiten o, más frecuentemente, transformando el producto en una fracción y pasando a una

indeterminación de tipo 00

o bien de tipo ∞∞

que nos permitiría utilizar la regla de L'Höpital. Una de las

expresiones se queda, intacta, en el numerador y la otra pasa al numerador como la inversa de la inversa, es

decir, utilizando que x

x

=11

.

Ejemplo 6:

Hallar el límite xxx

lnlim ⋅+→0

.

� ∞1 , 00 y 0∞ .

Estas indeterminaciones son de tipo exponencial, es decir, se requiere que haya alguna potencia donde

tanto la base como el exponente tienen una parte variable.

La técnica más frecuente para resolver este tipo de indeterminaciones es utilizar la continuidad de la

función exponencial, que permiten tomar límite sólo en el exponente, y la propiedad de los logaritmos que

permiten reescribir una potencia como el producto del exponente por el logaritmo de la base.

Una segunda técnica, más compleja, pero que da muchas facilidades de cálculo (al igual que pasa con la

regla de L´Höpital) es la utilización de límites conocidos para estudiar otros límites. Por ejemplo, sabemos que

01

lim =+∞→ xx

. Este límite se puede utilizar diciendo que 0algo

1lim

algo=

+∞→, dando igual cuál sea la expresión de

“algo.” Por ejemplo, como +∞=+∞→

x

xelim tenemos que 0

1lim

1limlim ===

+∞→+∞→

−

+∞→ xexx

x

x eee

x. Utilizando esta

idea y el hecho de que ex

x

x=

++∞→

11lim , límite difícil de demostrar, podemos calcular una buena gama de

límites que resultan farragosos en el cálculo, como hemos visto en el ejemplo anterior. Este límite se utiliza de

la forma siguiente: e=

+

+∞→

algo

algo algo

11lim .

Ejemplo 7:

Hallar 1

2

51

+

+∞→

+x

x xlim

Ejemplo 8:

Hallar x

xx

+→0lim

Ejemplo 9:

Hallar x

xx

+∞→lim

4.2.- Cálculo de límites según el tipo de función.

� La función x1

.

Antes de comenzar con ningún otro límite, vamos a necesitar saber que 01 =

+∞→ xxlim . Como no

queremos trabajar con la definición de límite, y tampoco podemos sustituir x por 0 porque la fracción no tendría

sentido, vamos a realizar una tabla de valores para estudiar el valor de x1

cuando hacemos el valor de x muy

grande.

x x1

1 111 =

0.5 21

5.01

21

==

0.1 101

1.01

101

==

0.01 1001

01.01

1001

==

0.001 10001

0010

1

10001

==.

Observamos que cuanto más pequeño es el valor numérico de x, es decir, cuanto más se acerca al 0,

mayor resulta ser el resultado de la fracción. Además, la fracción aumenta y aumenta sin tope, lo que se indica

diciendo que tiende a +∞ . Donde el signo más viene dado porque los resultados salían siempre positivos. Si

hubiésemos tomado valores cercanos al 0, pero negativos hubiésemos obtenido esta otra tabla:

x x1

1− 11

1 −=−

5.0− 21

5.01

21

−=−

=−

1.0− 101

1.01

101

−=−

=−

01.0− 1001

01.01

1001

−=−

=−

y tenemos la misma situación que antes salvo que ahora los resultados son cada vez más grandes, sin tener un

tope, y además son negativos.

La situación de la primera tabla se expresa de la forma

+∞=+→ xx

1lim

0

y la situación de la segunda tabla se expresa de la forma

−∞=−→ xx

1lim

0

Comentario: Esto no es una demostración. Pues sólo hemos observado lo que pasa en 4 ó 5 valores de x. Para

demostrarlo de forma exacta y estricta habría que hacerlo a través de la definición y las propiedades. Nosotros

no estamos interesados en ese nivel de exigencia y nos conformamos con saber qué pasa y dar una justificación

más o menos razonable, como la que se consigue con una tabla de valores.

El caso general es la función ( )xk

xf = . Por uno de los lados es ∞+ y por el otro es ∞− . Eso

dependerá del signo de k.

� Funciones polinómicas: ( ) R∈++++= −− 0101

11 donde aaaaxaxaxaxP n

nn

nn ,,,, KK

Cuando el límite es en un punto, ( )xPax→

lim , la respuesta es simplemente el valor numérico en ax = , es

decir, ( ) ( )aPxPax

=→

lim

Cuando el límite es en el infinito, ( )xPx +∞→lim ó ( )xP

x −∞→lim , entonces puede aparecer una indeterminación

de la forma ∞∞± m , que se resuelve fácilmente sacando la potencia de x de mayor grado, tomando límites y

utilizando que 0=+∞→ nx x

klim , cualquiera que sea el número k.

Ejemplo 10:

Hallar ( )152 2

3++

−→xx

xlim

Ejemplo 11:

Calcular el límite ( )152 2 ++−∞→

xxxlim

� Funciones racionales: ( )( )xQxP

, donde P y Q son polinomios.

Nos pueden pasar básicamente cuatro cosas:

− Al sustituir x por a no hay problemas y el límite es un número real.

− Al sustituir x por a se anula el denominador, pero no el numerador. Hay que tomar límites

laterales y estudiar el signo del denominador. Lo mejor es con una tabla de signos.

− Al sustituir x por a se anulan el numerador y el denominador. En este caso hay que factorizar

ambas expresiones. Lo único que realmente interesan son los factores del tipo ( )ax − , que

deberán simplificarse y tomar límites posteriormente.

− El límite es cuando ±∞→x . En este caso se saca factor común la potencia de x de mayor

grado, tanto en el numerador como en el denominador, se simplifica y se toman límites. Se

tiene siempre que

( )( )

<

=

>∞±

=++++

++++=

−−

−−

∞→∞→

mn

mnb

amn

bxbxbxb

axaxaxa

xQxP

m

nm

mm

m

nn

nn

xx

cuando0

cuando

cuando

limlim01

11

011

1

L

L

Ejemplo 12:

Hallar los siguientes límites:

a) 262

812673234

234

0 ++−++−−+

→ xxxx

xxxxxlim b)

262

812673234

234

1 ++−++−−+

→ xxxx

xxxxxlim

c) 262

812673234

234

2 ++−++−−+

−→ xxxx

xxxxxlim d)

262

812673234

234

21 ++−+

+−−+−→ xxxx

xxxxxlim

e) 262

812673234

234

++−++−−+

+∞→ xxxx

xxxxxlim

� Funciones trigonométricas.

Las funciones trigonométricas tienen mucha versatilidad debido a las fórmulas trigonométricas, es

decir, se pueden escribir de muchas formas distintas. Estudiaremos los siguientes grupos de límites.

− Aquellos en los que se puede utilizar que 10

=→ x

xx

sinlim .

− Polinómicos en una función trigonométrica. Éstos se resolverán, bien factorizando, como los

polinomios, bien haciendo un cambio de variable.

− Mediante L´Höpital o infinitésimos equivalentes. Se verán estas técnicas al final de este apartado.

Ejemplo 13:

Hallar los siguientes límites

a) x

xx

30

sinlim

→ b)

20

2

x

xx

sinlim

+→ c)

x

xx 20

sinlim

+→ d)

xx

x

tanlim

0→ e)

20

1

x

xx

coslim

−→

Ejemplo 14:

Hallar el límite 32

122

2

2 −+−−

→ xx

xxx sinsin

sinsinlim

π

Ejemplo 15:

Hallar el límite x

xx cos

tanlim

−→ 1

2

0

� Funciones exponenciales y logarítmicas.

Las funciones exponenciales, ( ) xaxf = , donde ( )∞+∈ ;0a se clasifican en dos grupos: las que tienen

10 << a y las que tienen 1>a . Las primeras son decrecientes, pasan por el 10; y cumplen que

+∞=−∞→

x

xalim y 0=

+∞→

x

xalim . Las segundas son crecientes, también pasan por el punto 10; y cumplen que

0=−∞→

x

xalim y +∞=

+∞→

x

xalim . Además, para bases distintas se tiene que xx ba <<0 para cada par de números

positivos ba <<0 . En general, nos interesará saber que, para )∞+∈ ;0r se cumple que

<∞+=

<≤=

+∞→r

r

r

r x

x1si

1si1

10si0

lim

y los límites cuando −∞→x se pueden resolver mediante cambio de variable, por ejemplo.

Las funciones logarítmicas son las inversas de las exponenciales. Así que sólo hay que saber qué

relación hay entre los límites de ambas. En general, si ( )xf y ( )xg son funciones inversas una de la otra, se

cumple que ( ) ( ) axgbxfbxax

=⇔=→→

limlim . Por tanto, como 0=−∞→

x

xalim para a<1 , se tiene que

−∞=+→

xax

loglim0

, donde el + en +→ 0x proviene de que la función exponencial es siempre positiva. Así que

cuando escribimos 0=−∞→

x

xalim , podríamos escribir +

−∞→= 0x

xalim , pero no se hace porque no sirve para nada.

Ejemplo 16:


a) x

x2

+∞→lim b) 2

13 +

−→

x

xlim c)

xx 3

2−∞→

lim d) 1

1

4

3−

+

+∞→ x

x

xlim e)

x

x

x 3

2 12 +

+∞→lim

f) x

xx

x 3

24 ++∞→

lim g) 1

112

5

32+

−−

+∞→

+x

xx

xlim h)

xx

xx

x 63

521

12

−+

+

−

+∞→lim i)

73

22

3

1 −+−

+∞→

xx

x

xlim j) 73

22

5 −−

−∞→x

xx

xlim

k) 4

522

3

5

6 −−

+∞→

x

xx

xlim

Ejemplo 17:

Resolver los siguientes límites:

a) xx

xx −

−−→ 2

2

31

1loglim b)

xx

xx −

−+→ 2

2

31

1loglim c)

xx

xx −

−−−→ 2

2

31

1loglim d)

xx

xx −

−+−→ 2

2

31

1loglim

e) xx

xx −

−−→ 2

2

30

1loglim f)

xx

xx −

−+→ 2

2

30

1loglim g)

xx

xx −

−−∞→ 2

2

31

loglim h) xx

xx −

−+∞→ 2

2

31

loglim

� Resolución de indeterminaciones exponenciales.

Las indeterminaciones de tipo exponencial son tres: 00 , 0∞ y ∞1 .

Hay un método más o menos general para este tipo de indeterminaciones. Las funciones en las que

aparecen estas indeterminaciones tienen variable tanto en la base como en el exponente. Esto hace que si

tomamos exponencial y logaritmo de la potencia, el exponente se pueda bajar y transformar la potencia en un

producto. Dicho producto da una indeterminación, generalmente, de la forma ∞⋅0 que, a su vez, se transforma

en una fracción y se resuelve por L´Höpital.

Sin conocimiento de derivadas, podemos utilizar el resultado ex

x

x=

++∞→

11lim , donde e es el número

de Euler, con valor aproximado de .... 671828182842 Una demostración de que este límite existe se puede ver

en los apéndices del tema de sucesiones. Para utilizar este límite hay que transformar la expresión que tengamos

hasta obtener algo así como ∆

+∞→∆

∆+ 1

1lim , donde en vez de un triangulo podamos tener cualquier cosa,

siempre y cuando ésta tienda a ∞+ . Entonces podremos asegurar que el límite será el número e.

El orden de estas transformaciones es:

− Conseguir el " fracción1+ " de la base. Esto se consigue sumando y restando 1, por ejemplo.

− Conseguir el "1" del numerador en la fracción. Este se consigue dividiendo el numerador y el

denominador de la fracción por la expresión que haya en el numerador.

− Conseguir que el denominador aparezca en el exponente. Esto se consigue multiplicando y dividiendo,

en el exponente, por aquella expresión que haya en el denominador.

Ejemplo 18:

Resolver los límites:

a) x

xx

+→0lim b)

121

+

+∞→

+ x

x xx

lim c) x

xx

+∞→lim

� Cambio de variable en los límites.

Los cambios de variable en los límites no son muy complicados. Se decide cuál es la relación entre la

variable antigua y la nueva, se toma límite en ambas expresiones y se hace la sustitución. El resultado es el

límite requerido, no hace falta deshacer el cambio, puesto que los límites son iguales.

Ejemplo 19:

Realizar los cambios de variable sugeridos y resolver el límite:

a) 2

2

0 3x

xx

sinlim

→, Ax =2 b)

1

12 2

2−

−−+

→ xxx

x sinsinsin

limπ

, Ax =sin

� Regla de L´Höpital.

La regla de L'Höpital se ve con detalle en el tema de aplicaciones de la derivada. Se puede utilizar

cuando la función es una fracción y al hacer el límite se obtiene una indeterminación del tipo 0

0 ó

∞∞

. En ese

caso, se deriva el numerador y se deriva el denominador (independientemente uno del otro) y se vuelve a tomar

límite después de simplificar. El resultado es el límite inicial.

Si ( )( ) ∞

∞=→

ó0

0

xgxf

axlim y además

( )( ) Lxgxf

ax=

′′

→lim . Entonces

( )( ) Lxgxf

ax=

→lim .

Ejemplo 20:


a) 232 −++∞→ xx

e x

xlim b)

82

232

2

2 −+−

→ x

xxxlim

� Infinitésimos equivalentes.

Dos funciones ( )xf y ( )xg son infinitésimos equivalentes si

( ) ( ) ( )( ) 1y00

000===

→→→ xgxf

xgxfxxxlimlim,lim

Se escribe entonces ( ) ( )xgxf ≈ . En este caso, cuando tengamos una de estas funciones, podemos

multiplicar y dividir por la otra y el resultado es el mismo. Esto permite simplificar las funciones que aparecen.

Aunque el efecto es que se sustituye una función por la otra, la realidad no es así y, en casos más complicados,

hay que tener cuidado.

Los principales infinitésimos equivalentes son:

xx ≈sin 2

12x

x ≈− cos xx ≈tan xx ≈arctan ( ) xx ≈+1ln xe x ≈− 1

Ejemplo 21:

Calcular los siguientes límites:

a) ( )x

xe x

x 2

120 sin

lim−−

→ b)

xe x

x coslim

−−

→ 1

12

0 c)

( )( )x

xxx 20 1

21

cos

sinlnlim

−+⋅

→ d)

xe x

x tanlim

sin 10

−+→

5.- CONTINUIDAD DE FUNCIONES.

5.1.- Definición. Idea geométrica. Discontinuidades.

La continuidad es un concepto complicado que, gráficamente, se entiende relativamente bien. Para su

definición técnica hacen falta los límites. La continuidad es una característica puntual, es decir, tendremos que

decidir si una función es, o no, continua en un punto concreto del eje de abscisas OX. Cuando una función no es

continua en un punto ax = decimos que es discontinua. Esto puede ocurrir por cuatro motivos:

1. Discontinuidad evitable: Si imaginamos la vertical en el punto ax = , la gráfica de ( )xf alcanza la

misma altura a ambos lados de la vertical cuando se aproximan a ella. Sobre la vertical puede que haya

punto o no (imagen de ( )xf en ax = ), pero de haberlo, éste no puede estar a la misma altura de los

trazos de gráfica que se acercan a esta vertical, es decir, las tres cosas no pueden estar a la misma altura.

2. Discontinuidad de salto finito o de 1ª especie: Trazamos nuevamente la vertical sobre el punto ax = .

Ahora, los trazos de gráfica a izquierda y derecha de la vertical se aproximan a esta pero a distintas

alturas. Da igual lo que pase con la imagen de f en ax = .

3. Discontinuidad de salto infinito o de 2ª especie: Trazamos la vertical sobre el punto ax = . Dicha

vertical actúa como un muro y la gráfica sube y se hace muy grande o baja y se hace muy grande y

negativa. Se dice en estos casos que tiende a infinito. Basta que uno de los dos trazos (izquierda o

derecha o los dos) se comporte de esta manera. No importa en absoluto lo que pase con la imagen del

punto ax = .

4. Discontinuidad esencial: Este tipo de discontinuidades es bastante complicado. La idea es que cuando

nos acercamos a la vertical del punto en estudio ax = , tenemos que la altura de la gráfica no tiene un

comportamiento claro, es decir, no se decide por aproximarse a ningún valor concreto finito o infinito.

Gráficamente, diremos que una función ( )xf es continua en un punto ax = si todo es normal.

Imaginémonos una recta vertical situada en el punto ax = . La gráfica de la función, cuando estamos cerca de

la vertical, debe tener una altura casi igual a ambos lados de la vertical. Además, la altura de la gráfica justo en

la vertical debe ser igual a la altura a ambos lados. Si eso ocurre cuando nos acercamos más y más a esta

vertical, entonces es que la función es continua. Si no ocurre es porque hay alguno de los cuatro problemas

anteriormente descritos. Una discontinuidad.

Ejemplo 22:

Hallar la continuidad de la función f cuya gráfica viene dada por:

Ejemplo 23:

Estudiar la continuidad de la función ( )

=x

xf1

sin en 0=x y ver que es discontinua de tipo esencial.

Analíticamente, la continuidad es más complicada. Imaginemos que tenemos una función ( )xf y que

queremos saber a qué se parecen las alturas dadas por ( )xf cuando damos valores a la x próximos al número a.

Ese número al que se parezcan los valores de ( )xf , cuando los valores de la x se parecen cada vez más al

número a, será a lo que llamemos límite de ( )xf cuando x tiende a a. Se denota por ( )xfax→

lim .

Definición:

Dada una función ( )xf y un punto ax = , decimos que f es continua en a si cumple las tres siguientes

condiciones:

� a está en el dominio de f, es decir, se puede calcular ( )af .

� Existe el límite de ( )xf cuando x tiende a a, es decir, existe ( )xfax→

lim

� Ambos números son iguales, es decir, ( ) ( )afxfax

=→

lim .

Ejemplo 24:

Hallar la continuidad de ( ) 722 +−= xxxf en el punto 2=x .

Ejemplo 25:

Hallar la continuidad de ( )2

342

2

−++−=

xx

xxxf en el punto 1=x .

Ejemplo 26:

Estudiar la continuidad de la función ( ) xxf ln= en 0=x .

5.2.-Propiedades de la continuidad.

Las propiedades de la continuidad están completamente relacionadas con las propiedades de los límites.

Sean ( )xf y ( )xg dos funciones continuas en un punto ax = . Entonces

P.1. Las funciones gf + , gf − y gf ⋅ son continuas en ax = .

P.2. Si ( ) 0≠ag entonces la función gf

es continua en ax = .

P.3. Si ( )xf es continua en ax = y ( )xg es continua en ( )afx = , entonces ( ) ( )( )xfgxfg =o es continua

en ax = .

P.4. Si ( ) Lxgax

=→

lim y ( )xf es una función continua en L, entonces ( )( ) ( )( ) ( )Lfxgfxgfaxax

==→→

limlim .

P.5. Las funciones constantes ( ) kxf = son continuas en todo su dominio, R.

P.6. La función ( ) xxf = es continua en todo su dominio, R.

P.7. Todas las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio, R.

P.8. Las funciones racionales (cociente de polinomios) son continuas en todo su dominio, es decir, en todo

R salvo los puntos que anulan el denominador.

P.9. Las funciones trigonométricas son continuas en todo su dominio.

P.10. Las funciones exponenciales, xa , son continuas en todo su dominio, R.

P.11. Las funciones logarítmicas, xalog , son continuas en todo su dominio, ( )∞+;0 .

5.3.- Continuidad de una función a trozos.

Las funciones definidas a trozos son las más habituales en los ejercicios de continuidad, puesto que en

ellas aparecen todos los tipos de discontinuidades. La diferencia con el resto de las funciones es que en algunos

puntos del eje OX, la función cambia de expresión y es ahí donde no tienen por qué coincidir los límites

laterales y, por tanto, perderse la continuidad.

En el estudio de la continuidad es conveniente comenzar con el estudio del dominio. En los extremos

del dominio y en los puntos donde haya un cambio de trozo habrá que estudiar la continuidad de forma

obligada, además de algún que otro punto que dependerá de la naturaleza de la función que estemos estudiando.

Ejemplo 27:

Hallar la continuidad de la función dada por ( )

=−

≠−++−

=1 si

3

2

1 si2

342

2

x

xxx

xx

xf

Ejemplo 28:

Estudiar la continuidad de ( )

≤+−<<

≤−

=xxx

xx

xx

x

xf

1 si52

10 si

0 si4

2

2

. Estudiar mediante la definición, la continuidad en

2=x .

Ejemplo 29:

Sabiendo que la función ( )

≤+<≤+

<+=

xbax

xbx

xax

xf

3si

31si1

1si

es continua en todo R, hallar los valores de R∈ba, .

7.- EJEMPLOS.

Ejemplo 1: Hallar ( )11245 23 +−+−∞→

xxxxlim

Solución:

( ) −∞=⋅−∞=

+−+⋅=+−+−∞→−∞→

51124

51124532

323

xxxxxxx

xxlimlim

Ejemplo 2: Hallar

+−−+

+∞→2122 xxx

xlim

Solución:

( ) ( )

( )=

−+−+

−+−+⋅

−−−+

=∞−+∞=

+−−+

+∞→+∞→ 212

212212IND212

2

22

2

xxx

xxxxxxxxx

xxlimlim

( ) =∞−∞+=

−+−+

−=−+−+

−+−−+=−+−+

−−−++∞→+∞→+∞→

IND212

56

212

4412

212

21222

22

2

22

xxx

x

xxx

xxxx

xxx

xxxxxxlimlimlim

326

116

21

121

56

lim2

112

1

56

lim

212

1

56

lim

2222

==+

=−+−+

−=

−+−+

−=

−+

−+

−

+∞→+∞→+∞→

xxx

x

xxxx

xx

xxx

x

xx

xxx

Ejemplo 3: Hallar

−−

+→ 1

110 xxx

lim

Solución:

( ) ( ) ( ) +∞=−⋅

−=−⋅

−=−⋅−−=∞−+∞=

−− +→→→ +++ 10

1

1

1

1

1IND

1

11000 xxxx

xxxx xxx

limlimlim .

Ejemplo 4: Hallar xxx

xxxx 44

4423

23

2 +++−−

−→lim

Solución (factorizando):

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) 0

12

2

12

2

122IND

0

0

44

4422223

23

2=

+⋅−⋅−=

+⋅−⋅+⋅−==

+++−−

−→−→−→ xxxx

xx

xxx

xxx

xxxxxxlimlimlim .

Tomamos límites laterales

( ) ( )( ) +∞=

⋅−=

+⋅−⋅−

−−→ − 02

12

2

122 xx

xxxlim y

( ) ( )( ) −∞=

⋅−=

+⋅−⋅−

+−→ + 02

12

2

122 xx

xxxlim .

Solución (por L´Höpital):

0

12

41612

4412

483

423IND

0

0

44

442

2

223

23

2=

+−−+=

++−−==

+++−−

−→−→ xx

xx

xxx

xxxx

HL

xlimlim

'

. La indeterminación desaparece, pero

tenemos un problema nuevo del tipo 0k . Ahora habrá que tomar límites laterales (L´Höpital ya no se puede

utilizar porque ya no es 00 ).

+∞==++−−

+−→ − 0

12

483

4232

2

2 xx

xxxlim y −∞==

++−−

−−→ + 0

12

483

4232

2

2 xx

xxxlim

puesto que el denominador es un polinomio de segundo grado con raíces 2− y 32− y coeficiente de 2x

positivo. Por tanto, a la izquierda de 2− , la expresión 483 2 ++ xx es positiva y a la izquierda de 2− la

expresión 483 2 ++ xx es negativa (está entre las dos raíces).

Ejemplo 5: Hallar 81033

75224

3

−+−−+

−∞→ xxx

xxxlim

Solución (técnica general):

=

−+−

−+=

∞+∞−=

−+−−+

−∞→−∞→

4324

323

24

3

81033

752

IND81033

752

xxxx

xxx

xxx

xxxxlimlim 0

2

81033

752

lim

432

32=

∞−=

−+−

−+

−∞→

xxxx

xxx

.

Solución (L´Höpital):

HL

x

HL

x xx

x

xxx

xx ''

limlim =∞−∞+=

+−+=

∞+∞−=

−+−−+

−∞→−∞→IND

10612

56IND

81033

7523

2

24

3 HL

x x

x '

lim =∞+∞−=

−−∞→IND

636

122

012

72

12 =∞−

=−∞→ xx

lim .

Observación 1: Al derivar un polinomio, el grado de éste se rebaja en una unidad. Por tanto, se puede decir que

si el factor que causa el problema tiene exponente n, habrá que utilizar la regla de L´Höpital n veces hasta que

el problema desaparezca.

Observación 2: Como hemos observado en el ejemplo de la función racional, a veces es más rápido factorizar

que utilizar L´Höpital.

Observación 3: La regla de L´Höpital fue descubierta en realidad por Johann Bernoulli, profesor del Marqués de

L´Höpital y publicada por éste en un libro de cálculo en e1696.

Ejemplo 6: Hallar el límite xxx

lnlim ⋅+→0

.

Solución:

( ) ( ) 01

1

IND1

IND00

2

0

2

000=−=−=

−=

∞+∞−==∞−⋅=⋅

+++++ →→→→→x

xx

x

x

x

xxx

xxx

HL

xxlimlimlim

lnlimlnlim

'

.

Ejemplo 7: Hallar 1

2

51

+

+∞→

+x

x xlim

Solución:

( )

+⋅+

+

+∞→

∞++

+∞→

+∞→

+

===

+2

1

2

511

511

2IND1

51 x

xx

x

x

x

x

x

eex

lnlimln

limlim .

Como se comentó en el párrafo anterior, la continuidad de la función exponencial nos permite estudiar

únicamente el límite del exponente y tenemos:

( )( )

( )

( )=

+−

+−

=

+−

+

−

==

+

+=⋅+∞=

+⋅++∞→+∞→+∞→+∞→

2

2

2

2

2

3

2

2

1

15

10

1

1

5

10

IND0

0

1

1

51

IND05

11

x

xx

x

xx

x

x

xx

xxx

HL

xxlimlim

lnlimlnlim

'

( )( ) 0

5

1102

2

=+−

+−+∞→ xx

xxlim .

pues el denominador es un polinomio de grado 3 y el numerador de grado tan solo 2.

Una vez hallado el límite del exponente, basta volver a la función original y tenemos que

( )1IND1

51 0

511

51

1

2

2

1

2 =====

+

+⋅+

+

+∞→

∞++

+∞→

+∞→

+

eeex

xx

x

x

x

x

x

x

lnlimln

limlim

Solución (A través del número e):

( )=

+=

+==

++⋅⋅

+∞→

+

+∞→

∞++

+∞→

15

5

5

1

5

1

2

2

2

22

11

11IND1

51

xx

x

xx

x

xx

x

x xlimlimlim

( )22

2

15

5

5

11

x

xx

xx

+

+∞→

+lim 10 == e ,

ya que en la base tenemos e

x

xx=

+

+∞→

5

5

2

2

11lim y en el exponente tenemos

( )0

15lim

2=+

+∞→ x

xx

, por ser el

denominador de mayor grado.

Ejemplo 8: Hallar x

xx

+→0lim

Solución:

( ) xxx

x

x

x

xx

eexlnlim

lnlimlim⋅

→→

+→++

=== 0

0

0

0IND0

y ahora nos centramos únicamente en el exponente.

( ) ( ) ( ) ( ) 01

1

IND1

IND00

2

0

2

000=−=

−=

−=

∞+∞−==∞−⋅=⋅=

++++++ →→→→→→x

xx

x

x

x

xxxx

xxx

HL

xox

x

xlimlimlim

lnlimlnlimlnlim

'

Teniendo en cuenta que 0 es el exponente, tenemos 1lim 0lnlim

0

0 === +→+→

eexx

xx

x

x.

Ejemplo 9: Hallar x

xx

+∞→lim

Solución:

+∞→

+∞→+∞→+∞→==+∞== x

xx

xx

x

x

x

x

xeexx

11

IND01

lnlimln

limlimlim

Ahora nos centramos en el límite del exponente,

01

1

1

IND1

1

===∞+∞−==

⋅=

+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→ xx

xx

xx

xxx

HL

xx

x

xlimlim

lnlimlnlimlnlim

'

Y, teniendo en cuenta la potencia entera (base y exponente) tenemos que

1lim 0lnlim

1

===

+∞→

+∞→

eex

xx

xx

x

Ejemplo 10: Hallar ( )152 2

3++

−→xx

xlim

Solución:

( ) ( ) ( ) 41151813532152 22

3=+−=+−⋅+−⋅=++

−→xx

xlim

Ejemplo 11: Calcular el límite ( )152 2 ++−∞→

xxxlim

Solución:

( ) IND1152 2 ∞−+∞=+∞−+∞=++−∞→

xxxlim

Para resolver esta indeterminación sacamos 2x factor común, pues el polinomio es de grado 2. Utilizamos que

0=∞→

nxk

xlim para cualquier N∈n y tenemos que

( ) ( )[ ] ( ) +∞=⋅+∞=++⋅+∞=++⋅=++−∞→−∞→

20022152 21522

xxxxxxx limlim

Es muy importante entender que el límite se debe tomar en toda la expresión simultáneamente y no en una parte

concreta de la expresión.

Ejemplo 12: Hallar los siguientes límites:

a) 262

812673234

234

0 ++−++−−+

→ xxxx

xxxxxlim b)

262

812673234

234

1 ++−++−−+

→ xxxx

xxxxxlim

c) 262

812673234

234

2 ++−++−−+

−→ xxxx

xxxxxlim d)

262

812673234

234

21 ++−+

+−−+−→ xxxx

xxxxxlim

e) 262

812673234

234

++−++−−+

+∞→ xxxx

xxxxxlim

Solución:

a) 42

8

20000

80000

262

812673234

234

0==

++−++−−+=

++−++−−+

→ xxxx

xxxxxlim

b) IND0

0

21612

812673

262

812673234

234

1=

++−++−−+=

++−++−−+

→ xxxx

xxxxxlim

Como se anulan el numerador y el denominador cuando 1→x , necesitamos extraer cada factor del tipo ( )1−x

y simplificarlos. Para ello, utilizaremos las técnicas conocidas de factorización. Lo más fácil es Ruffini, pues ya

sabemos que 1 va a servir.

c) IND0

0

2224832

824245648

262

812673234

234

2=

+−−−++−−=

++−++−−+

−→ xxxx

xxxxxlim

Como se anulan el numerador y el denominador cuando 2−→x , necesitamos extraer cada factor del tipo

( )2+x y simplificarlos. Para ello utilizaremos Ruffini con 2− .

d) 02

8

262

812673 16189

20

1638227

2413

161289624143

21

23

81

81

212

46

87

163

234

234

21

===+−−−++−−

=++−+

+−−+ −

+−−

++−−

−→ xxxx

xxxxxlim

Como se anula únicamente el denominador, ay que tomar límites laterales y, además, habrá que estudiar el

signo del denominador. Para eso, lo más conveniente será utilizar Ruffini (sólo en el denominador) con 21−

para extraer todos los factores de la forma ( )12 +x que podamos. Así podremos saber si el resultado es ∞+ o

∞− .

e) IND262

812673234

234

∞+∞+=

++−++−−+

+∞→ xxxx

xxxxxlim

Como ya sabemos, el límite del polinomio cuando +∞→x es ∞ y por la regla de los signos, el signo es +.

Para resolver esta indeterminación, sacamos factor común en cada polinomio, la potencia de x de mayor grado.

En ambos casos es 4x .

( )( ) 2

3

2

3

2

3

262

812673

432

432

432

432

2161

81267

21614

812674

234

234

=++−+

+−−+=

++−+⋅

+−−+⋅=

++−++−−+

+∞→+∞→+∞→xxxx

xxxx

xxxxx

xxxx

xx x

x

xxxx

xxxxlimlimlim

pues hemos simplificado la potencia 4x y después hemos utilizado que 0=±∞→

nxk

xlim para todo N∈n .

Ejemplo 13: Hallar los siguientes límites

a) x

xx

30

sinlim

→ b)

20

2

x

xx

sinlim

+→ c)

x

xx 20

sinlim

+→ d)

xx

x

tanlim

0→ e)

20

1

x

xx

coslim

−→

Solución:

a) 3133

33

3

33

3

33IND

0

030000

=⋅=⋅=⋅=⋅==→→→→ x

xx

xx

xx

xxxxx

sinlim

sinlim

sinlim

sinlim

b) +∞=⋅+∞=⋅=⋅

==+++ →→→

1212

IND0

020020 x

xxxx

x

x

xxxx

sinlim

sinlim

sinlim

c) 001222

IND0

0

2 0000=⋅=⋅=

⋅⋅=

⋅⋅==

++++ →→→→

xx

x

x

xx

xx

xx

x

xxxxx

sinlim

sinlim

sinlim

sinlim

d) 1111

IND0

00000

=⋅=⋅=⋅

===→→→→ xx

xxx

xxx

xxx

xx

xx cossin

limcos

sinlimlim

tanlim cos

sin

e) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) =+⋅

=+⋅

−=+⋅

+⋅−==−→→→→ xx

x

xx

x

xx

xx

x

xxxxx cos

sinlim

cos

coslim

cos

coscoslim

coslim

11

1

1

11IND

0

012

2

02

2

02020

2

1

2

11

1

1

1

1 22

02

2

0=⋅=

+⋅

=+

⋅→→ xx

xxx

xxx cos

sinlim

cossin

lim

Ejemplo 14: Hallar el límite 32

122

2

2 −+−−

→ xx

xxx sinsin

sinsinlim

π

Solución:

( ) ( )( ) ( ) 4

3

3

12

31

121

32

12IND

0

0

3121

1112

32

12112

2

12

2

2

2

2

=++=

+⋅−+⋅−=

−+−−==

−⋅+−−⋅=

−+−−

→→→→ AA

AAAA

AA

AA

xx

xxAAAxlimlimlim

sinsin

sinsinlim

π

Ejemplo 15: Hallar el límite x

xx cos

tanlim

−→ 1

2

0

Solución:

( )( ) ( )

( )IND

0

0

1

1

11

1IND

0

0

1

2

0

2

0

2

0=

−+⋅=

+⋅−+⋅==

− →→→ xxx

xx

xx

x

xxxx cos

costanlim

coscos

costanlim

cos

tanlim

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) =−

+⋅+⋅=+⋅−

+⋅+⋅→→ x

xxxxx

xxxxx 2

2

0

2

0 1

11

11

11

cos

coscostanlim

coscoscoscostan

lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅+=⋅

+⋅+⋅=+⋅+⋅→→→ x

xx

xx

xxx

x

xxxxxx 2022

2

02

2

0

111111

cos

coscoslim

sincos

coscossinlim

sin

coscostanlim

( ) ( )4

1

22

1

1111 =⋅=+⋅+


a) x

x2

+∞→lim b) 2

13 +

−→

x

xlim c)

xx 3

2−∞→

lim d) 1

1

4

3−

+

+∞→ x

x

xlim e)

x

x

x 3

2 12 +

+∞→lim

f) x

xx

x 3

24 ++∞→

lim g) 1

112

5

32+

−−

+∞→

+x

xx

xlim h)

xx

xx

x 63

521

12

−+

+

−

+∞→lim i)

73

22

3

1 −+−

+∞→

xx

x

xlim j) 73

22

5 −−

−∞→x

xx

xlim

k) 4

522

3

5

6 −−

+∞→

x

xx

xlim

Solución:

(a) +∞=+∞→

x

x2lim , pues +∞=

+∞→

x

xalim si a<1 .

(b) 3333 1212

1=== +−+

−→

x

xlim .

(c) +∞== +−∞→ 0

2

3

2xx

lim , pues 0=−∞→

x

xalim si a<1 siendo siempre 0>xa .

En los apartados (d) - (h) hay más de una potencia con variable x. En estos casos, la técnica general es utilizar

las propiedades de las potencias para unirlas en una única potencia y, dependiendo de si la base es mayor o

menor que 1 y de a qué tienda el exponente, podremos decidir el valor del límite.

(d) x

xx

x

x

x

xx

x

xx

⋅=⋅=⋅=+∞→+∞→+∞→−

+

+∞→ 4

312

4

312

33

4

3

441

1

limlimlimlim . Ya lo tenemos expresado como una única potencia.

La base es 10 43 << y el exponente es x. Como +∞→x , el exponente tiende a ∞+ . Sabemos que

0=+∞→

x

xalim para los casos 10 << a . Concluimos que 0012

4

31

1

=⋅=−

+

+∞→ x

x

xlim .

(e) ( ) +∞=∞+⋅=

⋅=⋅=⋅=+∞→+∞→+∞→

+

+∞→2

3

42

3

42

3

22

3

2 212 x

xx

x

xx

x

xx

x

xlimlimlimlim , pues el exponente tiende a ∞+ y

la base es 341 < .

(f) x

xx

x 3

24 ++∞→

lim . En este caso hay una suma de potencias en el numerador. La suma de potencias no tiene

buenas propiedades, pero podemos partir la fracción en dos y estudiar cada una por separado (no tiene por qué

salir así siempre, pero sí en la mayoría de los casos).

+∞=++∞=

+

=

+=+

+∞→+∞→+∞→0

3

2

3

4

3

2

3

4

3

24xx

xx

x

x

x

xx

xx

xlimlimlim .

Otra forma de resolver este tipo de problema (suma/resta de potencias) es tratarlos como a los polinomios, es

decir, sacando factor común al que se hace ∞+ más rápido, es decir, al que tiene la mayor base. Esta última

técnica es más difícil de utilizar pero se puede utilizar en más tipos de ejercicios.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) +∞=+⋅+∞=+⋅

=+⋅=+

=++∞→+∞→+∞→+∞→

0113

41

3

4

3

14

3

2421

214

2x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xlimlimlimlim .

(g) 05

3

15

1

5

4

10

1

55555

3

5

2

5

32 33

22

1

1

1

12

1

112 2

=

⋅+

⋅=

⋅+

⋅=

+=+

+∞→+∞→+

−

+

−

+∞→+

−−

+∞→

xx

xxxxx

x

x

x

xx

xx

x

xx

limlimlimlim .

(h) ( )( )

( )( )( )

( ) =−⋅

+⋅=

−⋅

+⋅

=−⋅⋅

+⋅=

−⋅+

=−

++∞→+∞→+∞→+

−

+∞→ 103

00

136

5

136

5

633

4

63

52 51

21

51

54

21

51

54

55

1

12

x

xx

xxx

xx

xxx

x

xxx

xx

x

x

limlimlimlim

05

10 =−⋅ .

En los límites (i) - (k) tenemos expresiones donde los exponentes no son fácilmente manipulables. Como en el

caso general de las potencias, habrá que ver cuál es la base, a qué tiende el exponente y conocer qué dice la

teoría de las funciones exponenciales según el valor de la base.

(i) 73

22

3

1 −+−

+∞→

xx

x

xlim . En este caso la base es 10 3

1 << y como +∞→x , el exponente tiende a

073

22

=−+

−+∞→ xx

xxlim , pues el denominador es de grado mayor. Por tanto 1

3

1

3

10

73

22

=

=

−+−

+∞→

xx

x

xlim .

(j) 73

22

5 −−

−∞→x

xx

xlim . En este caso la base es 51 < y como −∞→x , el exponente tiende a −∞=

−−

−∞→ 73

22

xxx

xlim .

Sabemos que 0=−∞→

x

xalim cuando a<1 . Concluimos que 05 73

22

=−−

−∞→x

xx

xlim .

(k) 4

522

3

5

6 −−

+∞→

x

xx

xlim . Ahora la base es 5

61 < y el exponente tiende a +∞=−−

+∞→ 4

522

3

x

xxxlim . Sabemos que

+∞=+∞→

x

xalim cuando a<1 . Concluimos que +∞=

−−

+∞→

4

522

3

5

6 x

xx

xlim .

Ejemplo 17: Resolver los siguientes límites:

a) xx

xx −

−−→ 2

2

31

1loglim b)

xx

xx −

−+→ 2

2

31

1loglim c)

xx

xx −

−−−→ 2

2

31

1loglim d)

xx

xx −

−+−→ 2

2

31

1loglim

e) xx

xx −

−−→ 2

2

30

1loglim f)

xx

xx −

−+→ 2

2

30

1loglim g)

xx

xx −

−−∞→ 2

2

31

loglim h) xx

xx −

−+∞→ 2

2

31

loglim

Solución:

Para no hacer demasiados cálculos hemos puesto siempre la misma función, pero las ideas en cada límite son

distintas. Lo primero que debemos tener claro es el dominio de la función que estamos manejando. Hay dos

restricciones: un logaritmo y una fracción de polinomios. Los polinomios en sí no representan ningún problema.

La fracción obliga a que el denominador no pueda ser 0, es decir 02 ≠− xx , lo que rápidamente nos lleva a

que 0≠x y 1≠x . El logaritmo nos obliga a que el argumento sea estrictamente positivo, es decir,

01

2

2

>−−

xx

x. Una tabla de signos nos indica que dicha fracción es positiva en ( ) ( )∞+∪−∞− ;; 01 . Por tanto, el

dominio de xx

x

−−

2

2

31

log es ( ) ( ) ( ) { }101Dom −∞+∪−∞−= ;;f . Inmediatamente, nos damos cuenta de que los

límites (d) y (e) no tienen sentido pues no podemos acercarnos a 1− por la derecha ni a 0 por la izquierda,

desde dentro del dominio.

(a) ( ) ( )

( ) 21

1

11IND

0

0133

13

132

2

31

logloglimloglimlogloglim =+=⋅−

+⋅−==−−

−−− →→→ xx

xxxx

xx

xxxx

.

(b) Haciendo lo mismo que en (a) llegamos a 21

32

2

31

logloglim =−−

+→ xx

xx

.

(c) 2

0132

2

31

logloglim =−−

−−→ xx

xx

pero 03log no existe. Si nos fijamos bien, cuando −−→ 1x , el numerador se

acerca al 0, pero siendo positivo, pues el límite es por la izquierda del 1− y las raíces de 12 −x son 1− y 1.

Por tanto, al ser −∞=+→

xx

30

loglim , tenemos que −∞==−− +

−→ − 2

0132

2

31

logloglimxx

xx

.

(d) 2

0132

2

31

logloglim =−−

+−→ xx

xx

. Al igual que antes, 03log no existe y hay que estudiar el límite de A3log

cuando 0→A . Pero este límite sólo existe cuando +→ 0A y como +−→ 1x , entonces −−

=→−−

02

012

2

xx

x.

Por tanto, podemos concluir que el límite xx

xx −

−+−→ 2

2

31

1loglim no existe.

(e) +→

−=−−

− 0

1132

2

30

logloglimxx

xx

. Cuando −→ 0x , el argumento del logaritmo, xx

x

−−

2

2 1, tiende a ∞− , pero la

función logaritmo no tiene sentido y por tanto el límite no existe. Esto se puede deducir directamente del

dominio que hemos calculado previamente. El dominio es ( ) ( ) ( ) { }101Dom −∞+∪−∞−= ;;f y podemos ver

que sólo podemos acercarnos a 0 por la derecha.

(f) con xx

xx −

−+→ 2

2

30

1loglim sucede una cosa parecida. Si intentamos tomar límites directamente,

−→

−=−−

+ 0

1132

2

30

logloglimxx

xx

. Esta vez, como podemos ver, el argumento también tiende a infinito, pero con

signo positivo y ahora sí que podemos hallar el límite, pues +∞=+∞→

xx

3loglim . Por tanto, cuando +→ 0x , el

argumento, xx

x

−−

2

2 1, tiende a ∞+ y cuando el argumento tiende a ∞+ , el logaritmo se va a ∞+ (por ser de

base mayor que 1). Concluimos que +∞=−−

+→ xx

xx 2

2

30

1loglim .

(g) xx

xx −

−−∞→ 2

2

31

loglim . Ahora −∞→x . Veamos a qué tiende el argumento. 11

112

2

==−−

−∞→ xx

xxlim así que

011

32

2

3 ==−−

−∞→logloglim

xx

xx

(h) xx

xx −

−+∞→ 2

2

31

loglim . De forma análoga al apartado (g) vemos que 11

112

2

==−−

+∞→ xx

xxlim y, por tanto,

011

32

2

3 ==−−

+∞→logloglim

xx

xx

.

Ejemplo 18: Resolver los límites:

a) x

xx

+→0lim b)

121

+

+∞→

+ x

x xx

lim c) x

xx

+∞→lim

Solución:

(a) Tomamos límite para ver qué tipo de indeterminación nos encontramos: IND00

0=

+→

x

xxlim

Tomamos exponencial y logaritmo para poder bajar el exponente. La base no importa, así que se toma base e

por ser la que tiene mejores propiedades con las derivadas (aunque en muchos casos no hace falta aplicar

derivadas).

( ) ( )xxxxx

x

x

x

x

x

x eeexlnlimlnlimlimln

lim⋅

→

+→+→+→+

=== 000

0

y nos centramos en el exponente, que es donde está el límite.

( ) ( ) ( ) 0INDIND001

1

0100 2

=−==∞+∞−==∞−⋅=⋅

++++ →−→→→x

xxx

xx

x

x

HL

xxxlimlim

lnlimlnlim

'

Este es el límite del exponente, por tanto queda

( ) ( )10

0

000 =====⋅

→

+→+→+→+

eeeexxxxx

x

x

x

x

x

x

xlnlimlnlimlimln

lim

(b) IND11

12∞+

+

+∞→=

+ x

x xx

lim

Este límite se puede intentar resolver como antes (tomando exponenciales y logaritmos) o bien utilizando que

ex

x

x=

++∞→

11lim . Como la función que tenemos es muy parecida a la del límite que queremos utilizar, parece

que será la forma más rápida y fácil. Seguimos los pasos que se indicaron anteriormente.

=

+=

−++=

−++==

+ +

+∞→

+

+∞→

+

+∞→

∞++

+∞→

121212121

11

111

1IND11

x

x

x

x

x

x

x

x xxxx

xx

xx

limlimlimlim

2

1212

11

11 e

xx

xx

x

x

xx

x

x=

+=

+

+

+∞→

+⋅

+∞→limlim

(c) x

xx

+∞→lim

Este límite ni siquiera es una potencia, aunque sólo aparentemente. No olvidemos que toda raíz se puede

transformar en una potencia con exponente fraccionario. Por tanto tenemos

⋅

+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→ ===+∞==x

xxx

x

x

x

xx

xx

xx eeexxlnlimlnlimlimln

limlim1

0

11

1

IND

Nos centramos en el exponente

01

1IND

1

===∞+∞+=

+∞→+∞→+∞→ xxx

x

x

x

HL

xlimlim

lnlim

'

Como el límite del exponente es 0, el límite que queríamos es

10

1

===

⋅

+∞→

+∞→ eexx

xx

x

xlnlim

lim

Ejemplo 19: Realizar los cambios de variable sugeridos y resolver el límite:

a) 2

2

0 3x

xx

sinlim

→, Ax =2 b)

1

12 2

2−

−−+

→ xxx

x sinsinsin

limπ

, Ax =sin

Solución:

(a) Lo primero que se debe hacer con cualquier límite es comprobar si hay o no hay problemas, es decir, tomar

límites. IND0

0

3 2

2

0=

→ x

xx

sinlim Ahora sí, realizamos el cambio. Como 0→x y Ax =2 , tenemos que 0→A .

Por tanto 3

11

3

1

3

1

33 002

2

0=⋅=⋅==

→→→ AA

AA

x

xAAx

sinlim

sinlim

sinlim .

(b) IND0

0

11

112

1

12 2

2

=−

−−=−

−−+

→ xxx

x sinsinsin

limπ

Como sólo aparece xsin se puede pensar en cambiarlo por otra variable. Así, Ax =sin . Tomamos límite

cuando +→ 2

πx y vemos que 12 =→ πsinA . Además, como 1≤xsin entonces 1≤A , luego −→ 1A . El

cambio queda

( ) ( ) ( ) 312121

112IND

0

0

1

12

1

1211

2

1

2

2

=+=+=−

−⋅+==−

−−=−

−−−−−+ →→→→

AA

AAA

AAx

xxAAAxlimlimlim

sinsinsin

limπ

.


a) 232 −++∞→ xx

e x

xlim b)

82

232

2

2 −+−

→ x

xxxlim

Solución:

(a) +∞==

∞+∞+=

+=

∞+∞+=

−+ +∞→+∞→+∞→ 2IND

32IND

232

x

x

HLx

x

HLx

x

exe

xx

elimlimlim

''

(b) 81

432

IND00

82

2322

2

2=−==

−+−

→→ xx

x

xxx

HL

xlimlim

'

.

Ejemplo 21: Calcular los siguientes límites:

a) ( )x

xe x

x 2

120 sin

lim−−

→ b)

xe x

x coslim

−−

→ 1

12

0 c)

( )( )x

xxx 20 1

21

cos

sinlnlim

−+⋅

→ d)

xe x

x tanlim

sin 10

−+→

Solución:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8

1

4

11

2

11

24

1

2

2

2

1

2222

1IND

0

0

2

10020

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅−=−==−−→→→ xx

xxx

xe

xxe

x

xe x

x

x

x

HLx

x cossinlim

cossinlim

sinlim

'

b) 21211

1IND

0

0

1

1 2

2

2

200

2

2

22

=⋅⋅=−

⋅⋅−==−

−→→ x

x

x

ex

e x

x

x

x

x

x coslim

coslim

c) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) =+⋅−

+⋅==−

+⋅→→ xx

xx

x

xxxx coscos

sinlnlim

cos

sinlnlim

11

21IND

0

0

1

21020

( )( )( )

( ) =−

⋅⋅⋅+⋅+→ x

xx

xx

xx

x x

xx cossin

sinsinln

coslim

1

2

2

2

2

21

12

20

2

2

( )( )( )

( )21114

2

1

2

2

2

21

1

2

1

1 2

2

2

0

2

2 =⋅⋅⋅⋅=⋅+⋅−

⋅⋅+→ x

xx

xx

xx

x

xx

sinsin

sinlncoscos

lim

d) 11111

IND0

0100

=⋅⋅=⋅⋅−==−++ →→ x

xx

xx

ex

e x

x

x

x tansin

sinlim

tanlim

sinsin

Ejemplo 22: Hallar la continuidad de la función f cuya gráfica viene dada por:

Solución:

Al observar la gráfica vemos, cuando x varía de izquierda a derecha, que la altura de la gráfica sube

hacia ∞+ cuando nos aproximamos al eje OY, es decir, cuando 0=x . Después sigue otro tramo a altura

constante hasta llegar al punto 4=x donde da un salto y continúa más abajo en un nuevo tramo, esta vez de

recta inclinada. En el punto 10=x tiene un hueco pero tras él continúa a la misma altura. En seguida se

precipita hacia abajo conforme nos acercamos a la vertical del punto 12=x .

La función f es continua en todo punto de su dominio, ( ) { }10412 ,, −∞− salvo en los puntos:

� 0=x , donde tiene una discontinuidad de salto infinito.

� 4=x , donde tiene una discontinuidad de salto finito.

� 10=x , donde presenta una discontinuidad evitable.

� 12=x , donde presenta una discontinuidad de salto infinito.

Ejemplo 23: Estudiar la continuidad de la función ( )

=x

xf1

sin en 0=x y ver que es discontinua de tipo

esencial.

Solución:

En efecto, sabemos que la transformación x1

en “la x” equivale a transformar la parte ( )10; en la parte

( )∞;1 del eje OX y viceversa y después realizar la acción de xsin . Por tanto, tenemos que toda la gráfica de

xsin del trozo ( )∞;1 se comprime al intervalo ( )10; , donde la parte infinita se va al 0. En consecuencia,

tenemos que toda la gráfica de ondas infinitas que oscilan de 1− a 1 una y otra vez, se aplastan contra el eje

OX.

Ejemplo 24: Hallar la continuidad de ( ) 722 +−= xxxf en el punto 2=x .

Solución:

Aplicamos la definición de continuidad:

� El 2 está en ( ) R=f Dom , y es ( ) 772222 2 =+⋅−=f

� En el límite tenemos que ( ) 7722272 22

2=+⋅−=+−

→xx

xlim

� Tanto la altura de f en el 2 como el límite de la función en el 2 valen 7, luego es continua.

Ejemplo 25: Hallar la continuidad de ( )2

342

2

−++−=

xx

xxxf en el punto 1=x .

Solución:

� El 1 no está en el dominio de f, que es ( ) { }12 Dom ,−−= Rf . Ya sabemos que no puede ser continua.

Para ver el tipo de discontinuidad necesitamos estudiar el límite de f en el 1.

� 3

2

2

342

2

1

−=−++−

→ xx

xxxlim , como habíamos hallado en un ejemplo anterior.

Como hay límite pero la altura de f en el 1 no coincide con el límite (porque no hay tal altura), tenemos que la

discontinuidad es evitable.

Ejemplo 26: Estudiar la continuidad de la función ( ) xxf ln= en 0=x .

Solución:

Todas las funciones logarítmicas necesitan que el argumento sea estrictamente positivo. Por tanto,

( ) ( )∞+= ;0Dom f . Al no estar 0=x en el dominio, sabemos que f no es continua en ese punto. Aún así,

debemos estudiar qué tipo de discontinuidad. Para ello habrá que estudiar el límite de la función cuando

0→x . Pero como al 0 sólo nos podemos acercar por la derecha (manteniéndonos dentro del dominio)

entonces sólo hay que estudiar xx

lnlim+→0

. Como no podemos sustituir, porque 0ln no tiene sentido, hay que

hacer una tabla con ayuda de la calculadora o, mejor aún, razonar qué es la función logaritmo e intentar razonar

con ella.

La funciones logaritmo son las inversas de las funciones exponencial. Esta en concreto es la inversa de

xe . Como la base, e, es mayor que 1, entonces 0=−∞→

x

xelim . La relación entre el límite de una función y el de

su función inversa es que se intercambian los valores de x e y. Por tanto −∞=+→

xx

lnlim0

.

Así concluimos que ( ) xxf ln= tiene una discontinuidad de salto infinito en 0=x .

Ejemplo 27: Hallar la continuidad de la función dada por ( )

=−

≠−++−

=1 si

3

2

1 si2

342

2

x

xxx

xx

xf

Solución:

Estudiemos primero el dominio de la función. El primer trozo es una función racional, por tanto tiene

sentido en todos los números excepto donde el denominador se anule, es decir, 2−=x y 1=x . Como 1=x

no está comprendido en este primer trozo, no se tiene en cuenta. La expresión del segundo trozo es una función

constante, que no tiene problemas y su validez es en 1=x . Concluimos que el único punto cuya imagen no se

puede calcular es 2−=x , de donde ( ) { }2 Dom −−= Rf .

Tenemos dos puntos delicados, 2−=x por ser un extremo del dominio y 1=x por ser un punto donde

la expresión de f cambia. La continuidad en esos puntos debe estudiarse de forma individual. El resto de puntos

es muy fácil, a partir de las propiedades anteriores:

"Como las funciones racionales son continuas en todo punto de R excepto donde se anula el

denominador, nuestra función es continua en { }12;−−R "

Continuidad en 2−=x :

No pertenece al dominio, luego no es continua. Veamos qué tipo de discontinuidad tiene.

( ) +∞==−−++=

−++−= +−→−→ −− 0

15

224

384

2

342

2

22 xx

xxxf

xxlimlim

( ) −∞==−−++=

−++−= −−→−→ ++ 0

15

224

384

2

342

2

22 xx

xxxf

xxlimlim

Como alguno de los límites laterales es infinito, concluimos que f tiene una discontinuidad de salto infinito en

2−=x .

Continuidad en 1=x :

La altura de f en 1=x se debe buscar en el segundo trozo. Tenemos que ( )3

21 −=f .

( ) ( )( ) ( ) 3

2

2

3

21

31IND

0

0

211

341

2

34112

2

1

−=+−=

+⋅−−⋅−==

−++−=

−++−

−−− →→→ xx

xxxx

xx

xxxxxlimlimlim

( ) ( )( ) ( ) 3

2

2

3

21

31IND

0

0

211

341

2

34112

2

1

−=+−=

+⋅−−⋅−==

−++−=

−++−

+++ →→→ xx

xxxx

xx

xxxxxlimlimlim

Luego el límite existe y es 3

2

2

342

2

1

−=−++−

−→ xx

xxxlim .

Como la imagen de f y el límite en 1=x existen y además coinciden, la función es continua.

Solución: f es continua en { }2−−R . En 2−=x tiene una discontinuidad de salto infinito.

Ejemplo 28: Estudiar la continuidad de ( )

≤+−<<

≤−

=xxx

xx

xx

x

xf

1 si52

10 si

0 si4

2

2

. Estudiar mediante la definición, la

continuidad en 2=x .

Solución:

Hallemos el dominio de la función. Vemos que los trozos cubren toda la recta R y que sólo la primera

expresión tiene problemas, por la fracción, en 2−=x y 2=x , de los cuales, sólo el 2− está en el trozo

correspondiente a dicha expresión. Por tanto el dominio es ( ) { }2 Dom −−= Rf .

Tenemos que estudiar la continuidad de forma individual en los puntos 2− , por estar aislado en el

dominio, 0 y 1, por ser puntos donde la función cambia de expresión. El resto de los puntos del dominio se

analizan de forma conjunta mediante las propiedades de las funciones continuas.

"Como las funciones racionales son continuas en todo punto de R excepto donde se anula el

denominador, nuestra función es continua en { }102 ;;−−R "

Continuidad en 2−=x :

Es claro que hay una discontinuidad al no estar en el dominio. No obstante necesitamos saber si hay o no límites

para saber el tipo de discontinuidad.

A ambos lados del 2− la expresión utilizada de ( )xf es 42 −x

x. Por tanto, los límites laterales son:

( )( )

−∞=+−=

−−−=

−=

−− −→−→ 0

2

42

2

4 2222 x

xxf

xxlimlim

( ) =+−→

xfx 2lim

( )+∞=

−−=

−−−=

−+−→ 0

2

42

2

4 222 x

xxlim

Concluimos que ( )xf tiene una discontinuidad de salto infinito en .2−=x


( ) 040

00

2=

−=f

Para hallar los límites laterales, tenemos que a cada lado de 0=x , la expresión que toma ( )xf es distinta, y por

tanto los límites laterales se calcularán de forma distinta y muy probablemente sean distintos.

( ) 040

0

4 2200=

−=

−=

−− →→ x

xxf

xxlimlim

( ) 000

==++ →→xxf

xxlimlim

Como los límites laterales son el mismo número, el límite existe y es ese número, el 0. Además, la función en el

punto coincide con el límite en dicho punto, por tanto ( )xf es continua en 0=x .


Tenemos que ( ) 451211 2 =+⋅−=f . A cada lado de 1=x la función toma otra vez expresiones distintas y por

tanto los límites laterales habrá que calcularlos con dichas expresiones.

( ) 111

==−− →→xxf

xxlimlim

( ) ( ) 4512152 22

11=+⋅−=+−=

++ →→xxxf

xxlimlim

Como los límites laterales son números distintos, el límite no existe habiendo una discontinuidad de salto finito

en 1=x .

El problema pide estudiar, mediante la definición, la continuidad en 2=x . Ya sabemos que es

continua, pues 2=x es uno de los puntos que no tiene problemas. Pero el problema nos exige hacerlo a través

de la definición. Hay que hallar por tanto la altura en 2, ( )2f , y los límites laterales ( )xfx −→2lim y ( )xf

x +→2lim .

En los tres cálculos vamos a utilizar la misma expresión para ( )xf que, además, no tiene ningún

problema en ese punto. Así pues todos los valores son calculables y se obtiene el mismo resultado en todos

ellos.

( ) 55222522 22

2 =+⋅−=+−= =xxxf

( ) ( ) 5544522

22=+−=+−=

−− →→xxxf

xxlimlim

( ) ( ) 5544522

22=+−=+−=

++ →→xxxf

xxlimlim

Por tanto ( )xf es continua en 2=x .

Solución: f es continua en { }12;−−R . En 2−=x la función tiene una discontinuidad de salto infinito y en

1=x una discontinuidad de salto finito.

Ejemplo 29: Sabiendo que la función ( )

≤+<≤+

<+=

xbax

xbx

xax

xf

3si

31si1

1si

es continua en todo R, hallar los valores de

R∈ba, .

Solución:

Como ninguno de los trozos tiene problemas y los tres trozos cubren todo R, el dominio es ( ) R=fDom .

Sabemos que la función es continua, así que es continua en 1=x y en 3=x . Por tanto, los límites laterales

tienen que coincidir. De aquí salen dos ecuaciones que nos sirven para hallar a y b.

( ) ( ) aaxxfxx

+=+=−− →→

111

limlim

( ) ( ) 1111

+=+=++ →→

bbxxfxxlimlim

Los límites laterales tienen que coincidir. Por tanto baba =→+=+ 11

( ) ( ) 13133

+=+=−− →→

bbxxfxxlimlim

( ) ( ) babaxxfxx

+=+=++ →→

333

limlim

De nuevo, los límites laterales tienen que ser iguales, de donde 123313 =−→+=+ babab

Así, tenemos el sistema

=−=

123 ba

ba

Por sustitución se resuelve fácilmente: 11123123 =→=→=−→=− baaaba .

Solución: 1== ba .

8.- APÉNDICES.

I. Sobre los puntos de acumulación.

Cuando uno observa la definición real de límite en un punto, la primera palabra o idea que no se

entiende es la de punto de acumulación del dominio. Dado un conjunto, ¿qué es un punto de acumulación de

ese conjunto? Pensemos en un conjunto A de números de R. Pensemos ahora en un número a cualquiera de R.

Puede pasar Aa ∈ ó Aa ∉ . Así que tenemos nuestro conjunto de números y tenemos un número cualquiera de

R. Si es posible tomar puntos del conjunto A, que no sean el propio a, y tan cerca del punto fijo a como

queramos, entonces decimos que a es un punto de acumulación de A.

Ejemplo: Dados los siguientes conjuntos, indicar si los puntos dados son de acumulación del conjunto.

a) ( ) 052 == aA ,; b) ( ) 252 == aA ,; c) ( ) 452 == aA ,; d) ( ) 1052 == aA ,;

e) { } 31 51

41

31

21 == aA ,;;;; L f) { } 3

251

41

31

211 == aA ,;;;; L g) { } 11 5

141

31

21 == aA ,;;;; L

h) { } 01 51

41

31

21 == aA ,;;;; L .

Solución:

En los casos (a)-(d), el conjunto A es siempre el mismo.

(a) Vemos que 0=a . El punto de A que está más cerca de 0 es 2. Como es imposible acercarse a 0 todo lo que

queramos, manteniéndonos dentro del conjunto A, llegamos a la conclusión de que 0=a no es un punto de

acumulación de ( )52;=A .

(b) Para el segundo apartado, vemos que 2=a , que está pegado al conjunto A. Por tanto, podemos tomar

números en A tan cerca del 2 como queramos (2.1, 2.001, 2.00001, etc.) Concluimos que 2=a sí es de

acumulación de ( )52;=A .

(c) Ahora es 4=a . Este punto está dentro del conjunto. Necesitamos acercarnos al 4, tomando puntos de A y

que no sean el propio 4, es decir, 4 debe estar "rodeado" por puntos de A. Y esto es así, pues el intervalo ( )52;

está formado por todos los números reales que son mayores que 2 y menores que 5. Por tanto 4 sí es de

acumulación de A.

(d) El caso 10=a es exactamente igual al caso anterior, salvo que esta vez no tenemos un número "bonito"

como el 4 sino "raro" o "feo" como 10 , que también tiene derecho existir, a contar chistes malos y a jugar con

el resto de los números.

Cambiemos ahora de conjunto. Tomemos un conjunto que no es un intervalo. Consideremos el conjunto

{ }L51

41

31

211 ;;;;=A . Este conjunto está formado por el 1 y todas las fracciones que se pueden escribir de la

forma n1 , para algún N∈n .

(e) Si 3=a , vemos que está muy alejado de cualquier punto de A. Así que 3 no es punto de acumulación de

{ }L51

41

31

211 ;;;;=A .

(f) Si 32=a tenemos una fracción que no se puede escribir como n

1 , para ningún N∈n , es decir, no es un

punto de A. Observando un poco mejor, vemos que las fracciones que forman A van decreciendo, es decir,

L>>>> 41

31

211 ¿Dónde está 3

2 ? ¿Entre qué dos fracciones de A estará? Como 32 < la fracción es menor

que 1 y mayor que 0, es decir, 01 32 >> . Es claro que 3

132 > , luego 3

1321 >> . Ahora sólo falta saber si es

mayor o menor que 21 . Poniéndolas con un denominador común podremos compararlas. 6

321 = y 6

432 = , de

donde deducimos que 21

321 >> . Poniendo todo junto, tenemos que L>>>>> 4

131

21

321 y por tanto, los

números de A se alejan cada vez más de 32=a . En conclusión, no es un punto de acumulación.

(g) En este caso 1=a . Necesitamos acercarnos al 1, tomando puntos de A, pero sin contar el propio 1. Sin

contar al 1 eso es imposible, así que 1=a tampoco es de acumulación de { }L51

41

31

211 ;;;;=A .

(h) Ahora es 0=a . Este es el único punto de acumulación de { }L51

41

31

211 ;;;;=A puesto que las fracciones se

van haciendo cada vez más pequeñas, es decir, más próximas al valor 0.

II. Sobre la definición de límite.

La definición real de límite cambia la expresión muy cercano a por una expresión matemática confusa

para que los alumnos tengan problemas, como siempre. Tenemos pues que la definición real es:

Definición:

Dada una función ( )xf y un punto a, de acumulación del dominio de f, decimos que L es el límite de

( )xf cuando x tiende a a si, para cada número real 0>ε podemos encontrar otro número real 0>δ tal que si

( )faax Dom0 ∈<−< ,δ , entonces ( ) ε<− Lxf .

La forma de expresar algo en matemáticas parece muy difícil de entender, aunque a veces, como en este

caso, es posible entenderlo un poco. Con un dibujo será incluso más fácil. Como Kx < es lo mismo que decir

KxK <<− , entonces δ<− ax se interpreta como δδ <−<− ax y la parte ax −<0 significa que

ax −≠0 , es decir, ax ≠ . Sumando a en la expresión δδ <−<− ax tenemos δδ +<<− axa , lo que

tiene una interpretación geométrica mucho más clara. La expresión δδ +<<− axa significa que el número

x que vayamos a elegir, tiene que estar comprendido entre δ−a y δ+a , o lo que es lo igual, tiene que estar

en el intervalo ( )δδ +− aa , .

Por tanto, la definición se puede interpretar de la siguiente forma. Si para cada radio 0>ε del intervalo

( )εε +− LL , somos capaces de encontrar un radio 0>δ para que cada número del intervalo

( )δδ +−∈ aax , con ( )fx Dom∈ y ax ≠ , se cumpla que ( ) ( )εε +−∈ LLxf , .

Limites y continuidad de funciones. Teoria...pegada a la recta horizontal y =L y se acerca cada vez...

Documents

Transcript of Limites y continuidad de funciones. Teoria...pegada a la recta horizontal y =L y se acerca cada vez...