LIMITES1

7/17/2019 LIMITES1

http://slidepdf.com/reader/full/limites1-568df32e17d42 1/29

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS INSTITUTO TECNOLOGICO DE AGUASCALIENTES

ING. JOSÉ REFUGIO GONZÁLEZ LÓPEZ, ING. ENRIQUE ALEJANDRO SILVA ACOSTA, ING. HUGO RODRIGUEZ MARTINEZ Página 29

UNIDAD III CALCULO DE LÍMITES

Ejemplos resueltos:

1. Calcula 2

3lim 5 4 7 x

x x

Solución

2 2

3lim 5 4 7 5(3) 4(3) 7 40 x

x x

2. Calcula:6

lim 10 7 x

x

Solución

6lim 10 7 10(6) 7 60 7 53 x

x

3. Calcular:2

7

13lim

1 x

x

x

Solución

22

7

(7) 1313 49 13 36 6lim 1

1 7 1 6 6 6 x

x

x

4. Calcula:2

27

7 60lim

3 7 40 x

x x

x x

Solución2 2

2 27

7 60 (7) 7(7) 60 49 49 60 38lim 1

3 7 40 3(7) 7(7) 40 3(49) 49 40 38 x

x x

x x

7/17/2019 LIMITES1




BLOQUE 3.1. Obtener los límites que se piden

2

0

3

1

2

8

2

6

2

1

10

2

8

1

2

a) lim 4 3 0

b) lim5 5

c) lim 4 3 188

d) lim 7 5 10 274

e) lim 4 6 10

10f) lim

3 1 29

3 4 11g) lim

2 4h) lim 9 8 8

2 1i) lim 0

5 7

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

x x

x x

x

x

x

x

x

x

x

2

6

2

5

4

3 2

2

j) lim 3 64

k) lim 3 5 100

) lim 7 9 37

m) lim( 8) 6

x

x

x

x

x x

x x

l x

x x x

2

9

8

3

2

0

1

3

2

1

2

21

2

n) lim 7 2 11 5743 5 19

o) lim8

2 1 5 p) lim

3 6 3

q) lim 0

3 5 18r) lim

2 7 23

2 4s) lim 12 5

3 2 9t) lim 10

4 2

3 2u) lim 2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x x

x

x

x x

x

x x

x x

x

x

CALCULO DE LIMITES QUE POR FACTORIZACION SE EVITA EL0

0

Si( ) 0

lim( ) 0 x a

p x

q x donde p(x) y q(x) son polinomios, entonces deben factorizar p(x) y

q(x) simplificarse y volver a calcular el límite en la fracción simplificada.

Ejemplos resueltos:

Problema 1. Calcular2

2

4lim

2 x

x

x

, x -2 0

Solución: 2

2 2 2

4 ( 2)( 2)lim lim lim( 2) 4

2 ( 2) x x x

x x x x

x x

7/17/2019 LIMITES1





22

3 2lim

4 x

x x

x

, x – 2 0

Solución: 2

22 2 2

3 2 ( 1)( 2) ( 1) 1lim lim lim

( 2)( 2) ( 2) 44 x x x

x x x x x

x x x x

Problema 3. Evaluar21

1lim

2 x

x

x x

x – 1 0

Solución:

1

21 1 1

1

lim 111 1 1lim lim lim

1 2 2 lim 2 3.2

x

x x x

x

x x

x x x x x x


23

9lim

6 x

x

x x

, x – 3 0

Solución: 2

23 3 3

9 ( 3)( 3) ( 3) 6lim lim lim

( 3)( 2) ( 2) 56 x x x

x x x x

x x x x x

Problema 5. Evaluar el2

21

1lim

3 2 x

x

x x

x + 1 0

Solución: 2

21 1 1

1 ( 1)( 1) ( 1) 2lim lim lim 2

( 1)( 2) ( 2) 13 2 x x x

x x x x

x x x x x

Problema 6. Evaluar3

1

1lim

1 x

x

x

, x -1 0

Solución:

3 22

1 1 1

1 ( 1)( 1)lim lim lim 1 31 1 x x x

x x x x x x x x

Problema 7. Determinar3

21

1lim

1 x

x

x

x -1 0

Solución: 3 2 2

21 1 1

1 ( 1)( 1) ( 1) 3lim lim lim

( 1)( 1) ( 1) 21 x x x

x x x x x x

x x x x

Problema 8. Encuentre el2

22

3 10lim

6 x

x x

x x

x -2 0

Solución: 2

22 2 2

3 10 ( 2)( 5) ( 5) 7lim lim lim( 2)( 3) ( 3) 56 x x x

x x x x x x x x x x

Problema 9. Halle el3

3

27lim

3 x

x

x

x -3 0

7/17/2019 LIMITES1




Solución: 3 2

2 2

3 3 3

27 ( 3)( 3 9)lim lim lim 3 9 (3) 3(3) 9 27

3 3 x x x

x x x x x x

x x

BLOQUE 3.2. Ejercicios propuestos

respuesta respuesta

45

2lim

2

2

1

x x

x x

x 4

2

2

5 6lim

2 x

x x

x

x x

xlim x 5

252

2

5

1

2

2

21

2lim

1 x

x x

x

2

1

2 3lim

1 x

x x

x

-1 2

21

2 1lim

3 3 x

x x

x

2

3

9lim

3 x

x

x

2 2

2

2

12 20lim

5 6 x

x x

x x

3

2

8lim

2t

t

t

5 3

23

27lim

9 x

x

x

2

24

20

16 x

x x Lim

x

6 3 3

2 2a

alim

a x

x

x

2

4

12lim

4t

t t

t

7 2

24

5 4lim

16 x

x x

x

3

22

8lim

5 6 x

x

x x

84 2

20

5lim x

x x

x x

2

213 2lim4 3 x

x x x x

98

2

222lim

3 10 x x x

x x

CALCULO DE LIMITES QUE POR RACIONALIZACIÓN SE EVITA EL0

0

Si( ) 0

lim( ) 0 x a

p x

q x donde p(x) y q(x) son polinomios, entonces debe racionalizarse

p(x) y/o q(x) simplificarse y volver a calcular el limite en la fracción simplificada.

Problema 1. Hallar el1

1lim

1 x

x

x

, x – 1 0

Solución:2 2

1 1 1 1

1 ( 1)( 1) ( ) (1) 1lim lim lim lim

1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x

x x x x x

x x x x x x x

7/17/2019 LIMITES1




1

1 1 1 1lim

1 1 21 1 1 x x

Problema 2. Calcular el5

5lim

5 x

x

x

, x + 5 0

Solución: 25 5 5 5

5 ( 5)( 5) ( 5)( 5) ( 5)( 5)lim lim lim lim

55 ( 5)( 5) ( 5) x x x x

x x x x x x x

x x x x x

5lim 5 5 5 0

x x


1 1lim

3 x

x x

x

Solución:

0 0

2 2

0 0

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1lim 1 lim

3 3 1 1

1 1 1 1 1 1lim lim

3 1 1 3 1 1

1 1 1 1lim lim

3 1 1 3 1 1

2 2lim lim3 1 1 3 1 1

2 2

3(1 13 1 0 1 0

x x

x x

x x

x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x

x x x x x

2 1

) 3(2) 3

Problema4. Calcular2

1 3lim

2 x

x

x

Solución:

7/17/2019 LIMITES1




Problema 5. Determinar el4

2 1 3lim

2 2 x

x

x

, x – 4 0

Solución: 4 4

2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2lim lim

2 2 2 2 2 1 3 2 2 x x

x x x x

x x x x

2 2

2 24 4

( 2 1 3)( 2 1 3)( 2 2) [( 2 1) (3) ]( 2 2)lim lim

( 2 2)( 2 2)( 2 1 3) [( 2) ( 2) ]( 2 1 3) x x

x x x x x

x x x x x

4 4 4

(2 1 9)( 2 2) 2( 4)( 2 2) 2( 2 2)lim lim lim

( 2 2)( 2 1 3) ( 4)( 2 1 3) ( 2 1 3) x x x

x x x x x

x x x x x

4

2( 4 2 2) 4 2 2 2lim

6 3( 2(4) 1 3) x

Problema 6. Determinar el2 2

23

2 6 2 6lim

4 3 x

x x x x

x x

, solución:


8

2lim

8 x

x

x

x -8 0

Solución: En este caso tenemos una raíz cúbica, para racionalizar tomaremos en

cuenta la factorización de la diferencia de cubos a3- b

3 = (a – b)( a

2 + ab + b

2 ). En

este caso 3a x y b=2.

2 2 2 23 3 3 3 3 3 3

2 2 2 23 3 3 38 8 8

2 ( 2) (( ) 2 2 ) ( 2)(( ) 2 2 )

lim lim lim8 8 (( ) 2 2 ) ( 8)(( ) 2 2 ) x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

3 33

2 2 2 2 2 23 3 3 3 3 38 8 8

( ) (2) ) 8 1 1lim lim lim

12( 8)(( ) 2 2 ) ( 8)(( ) 2 2 ) ( ) 2 2 x x x

x x

x x x x x x x x

7/17/2019 LIMITES1




Problema 8. Encontrar el3

2

10 2lim

2 x

x

x

x – 2 0

Solución: Para racionalizar la expresión utilizamos de nuevo la factorización de la

diferencia de cubos a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2), en este ejercicio se dispone de a-b por

lo que solo faltaría , multiplicarlo por su respectivo a2+ab+b2, para que podamosobtener a3-b3

2 23 3 3 3

2 23 32 2

10 2 10 2 ( 10 ) 2 10 2 )lim lim

2 2 ( 10 ) 2 10 2 ) x x

x x x x

x x x x

3 33

2 2 2 23 3 3 32 2

( 10 ) 2 10 8lim lim

( 2)( 10 ) 2 10 2 ) ( 2)( 10 ) 2 10 2 ) x x

x x

x x x x x x

2 2 2 23 3 3 32 2

2 23 32

2 23 3

2 23 3

2 23 3

2

2 ( 2)lim lim

( 2)( 10 ) 2 10 2 ) ( 2)( 10 ) 2 10 2 )

1lim

( 10 ) 2 10 2 )

1

( 10 2) 2 10 2 2 )

1

( 10 2) 2 10 2 2 )

1

( 8) 2 8 2 )

1 1

(2) 2(2) 4 12

x x

x

x x

x x x x x x

x x

7/17/2019 LIMITES1




BLOQUE 3.3. Ejercicios propuestos:

1.0

2 2lim x

x

x

2. 3

3 3

lim x

x

x

3.2

2lim

2 x

x

x

4.2

25

25lim

3 16 x

x

x

5.2

23

9lim

16 4 x

x

x

6.1

1lim

1 x

x

x

7.23

1 2lim

9 x

x

x

8.3

3lim

3 x

x

x

9.2

22

4lim

3 5 x

x

x

10.38

8lim

2 x

x

x

11.

LIMITES AL INFINITO

EJEMPLOS RESUELTOS

Ejemplo 1. Calcula4 3

4 3

2 3 5 32lim

3 3 12 x

x x x

x x

Como4 3

4 3

2 3 5 32lim

3 3 12 x

x x x

x x

al sustituir directamente , entonces:

En este tipo de límites indeterminados con x →∞, lo que hacemos es dividirnumerador y denominador por la variable x elevada al mayor exponente queaparece en el cociente. En nuestro ejercicio será x4.Resulta:

7/17/2019 LIMITES1




Distribuimos x4 y simplificamos:

Observamos que todas las fracciones que aparecen son un número real divididopor alguna potencia de la variable x . Por lo tanto, cuando x →∞, cada una de esasfracciones tenderá a cero.

Ejemplo 2. Resuelva el siguiente límite indeterminado:2

3 1lim

4 2 x

x

x x x

Solución:

7/17/2019 LIMITES1




BLOQUE 3.4. Ejercicios propuestos

1.3 2

3 2

4 7 1lim

4 8 4 x

x x x

x x x

=1/4

2.

2

4 3

4 9

lim 4 7 x

x

x x

=0

3.5 12

lim10 13 x

x

x

=1/2

4.2

2

2 3lim

8 2 1 x

x x

x x

=1/4

5.2

2

4 8lim

4 5 7 x

x x

x x

=1

6.4 3 22 8

lim5 9 x

x x x

x

=

7.2

3 22 6 5lim

3 3 9 13 x

x x x x x

=0

8.2

2

7 4lim

7 21 3 x

x x

x x

=1

9.3 2

2

5 1lim

5 5 3 x

x x x

x x

=

10.2

2

3 1 3lim

4 2 4 x

x x

x

11.2

1lim

2 x

x x

x

12.2

2lim 0

2 x

x

x x

13.4

3

3 1lim

2 x

x

x

14.23 2

lim1 x

x x

x

15.3

3

4lim 2

2 2 x

x x

x x

16.3 2

3

4 5 1lim 2

2 4 2 x

x x

x x

17. lim 1 0 x x x

18. 2 1lim 1

2 x x x x

19. 2 2lim 3 2 1 x

x x x x

20. 2 2lim 3 2 x

x x x x

7/17/2019 LIMITES1




LIMITES LATERALES

Ejemplo 1. Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la

función h cuya representación gráfica es la siguiente.

Se tiene que:

a)2

lim ( ) 3 x

h x

y2

lim ( ) 1 x

h x

b)1

lim ( ) 3 x

h x

y1

lim ( ) 1 x

h x

Ejemplo 2.

7/17/2019 LIMITES1




Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

Ejemplo 5.

7/17/2019 LIMITES1




Ejemplo 6.

Ejemplo 7

7/17/2019 LIMITES1




Ejemplo 8.

Ejemplo 9.

Calcula2 30

2 3lim

12 4 x

x x

x x

Note que si se sustituye en la función se obtiene la forma indeterminada0

0.

Simplificando el denominador:

2 3 212 4 4 3 2 3 x x x x x x

Como x “se acerca” a 0- , entonces se puede suponer que x<0, y

2 312 4 2 3 x x x x

Por lo tanto:2 30 0

2 3 2 3lim lim

2 312 4 x x

x x x x

x x x x

0lim ( 1) 1

x

7/17/2019 LIMITES1




Ejemplo 10.

7/17/2019 LIMITES1




BLOQUE 3.5. Determine los siguientes límites (responda cuando sea apropiadocon un número, ∞, -∞, o no existe)

7/17/2019 LIMITES1




LIMITE DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

EJEMPLO 1.

EJEMPLO 2.

7/17/2019 LIMITES1




EJEMPLO 3.

Ejemplo 4

Ejemplo 5

7/17/2019 LIMITES1




Ejemplo 6

Ejemplo 7.

Ejemplo 8.

7/17/2019 LIMITES1




Ejemplo 9.

Ejemplo 10.

7/17/2019 LIMITES1




Ejemplo 11.

Ejemplo 12.

7/17/2019 LIMITES1




BLOQUE 3.6. Comprueba los siguientes limites

3

20

2

0

0

3

0

0

0

20

0

2 20

11. lim 0

2. lim 0

( )3. lim 1

( )

34. lim 1

3

5. lim 1

3 36. lim

tan 5 5

27. lim 2

28. lim 1 0

1 19. lim

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x Sen x

Sen x

x senx Sen x

Tanx Tan x

x x

Sec x

xCscx

Sen x

x

Sen x

x xCosx Ctgx

Cosx

x Sen x

3

30

2

0

2

0

0

20

0

8

110. lim

111. lim 2

2

1

12. lim 0

13. lim 0

14. lim 1

1 115. lim

1

2416. lim

x

x

x

x

x

x

x

Cos x

x

xCsc x

x Sen x

senx

Senx

x

x Ctgx

Sen x Cosx

LnTan axa

Senbx b

7/17/2019 LIMITES1




LIMITES ELEVADOS AL INFINITO

Ejermplo 1. Calcula

51

lim 1

x

x x

Solución:

Ejemplo 2: Calcula

5 73 5

lim3 4

x

x

x

x

, solución:

7/17/2019 LIMITES1




Ejemplo 3. Calcula

22 55 7

lim5 2

x

x

x

x

Solución: debemos hallar los limites cuando x

7/17/2019 LIMITES1




Ejemplo 4. Calcula2

2

2 3lim

3

x

x

x

x x

Ejemplo 5. Calcula

3

13 1

lim 3

x

x

x

x

x

7/17/2019 LIMITES1




BLOQUE 3.7. Comprueba el resultado proporcionado de los siguientes limites

2

2

5 5

2

8

12

22

8

2

32 2 5

2

1

5

3

2

2 11. lim

2

32. lim 1 2

3 13. lim

3

14. lim 1

1

3 15. lim

2

26. lim

1

27. lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

x x

e

x x

x

x

x

x e

x

e

x

x

x

23 1

2 3

1

1

x

x

x e

BLOQUE 3.8. MISCELANEA DE EJERCICIOS

Calcule los límites indicados

1.- R. 10

2.- R. 168

3.- R. 128

4.- R. 24

5.- R.

6.- R.

7.- √ R.

8.- R.

9.- R.

7/17/2019 LIMITES1




10.- R.

11.- R.

12.- √ R.√

13.- R.

14.- R.

15.- R. 3

16.- R.

17.- √ R.

18.- √ R.

19.- √ R.

20.- √ R.

21.- √ √ R.

1.- R. 10

2.- R. 168

3.- R. 128

4.-

R. 24

5.- R.

6.- R.

7/17/2019 LIMITES1




7.- √ R.

8.- R.

Calcular los siguientes límites con indeterminación infinito menos infinito.

22.- R.

23.-

R.

24.- R.

25.- R.

26.- √ R.

27.- R.

28.-

R.

29.- (√ √ ) R. 1

Límites con indeterminación cero entre cero:

30.- R.

31.-

R. 3

32.- R.

33.- R.

7/17/2019 LIMITES1



É Á Ó

34.- √ R.

35.- √ R.

36.- √ √ R.

Límites con indeterminación uno elevado a infinito:

37.-

R. √ ⁄

38.-

R.

39.-

R.

40.-

R.

41.-

R.

42.-

R.

43.-

R.

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