CALCULO CALCULO DIFERENCIALDIFERENCIAL

LímitesLímites

S E X T O C U R S OS E X T O C U R S O

LímitesLímites

Comenzamos con el problema de la Tangente a la curva y=2x^2+x-1, sabiendo que pasa por el punto P(1,2).

Q(x, 2x^2+x-1)

P(1,2)

Tangente a Y

LímitesLímites

La variación de la pendiente de la recta secante a medida que el punto Q se aproxima al punto P, es la base fundamental del Cálculo Diferencial.

Q(x, 2x^2+x-1)

P(1,2)

Tangente a Y

mpq 2x2+x-3 x-1=

Winplot

Factorizar: mpq 2x2+x-3 x-1=

Simplificar: y x2-x-12 x+3=

y 3x2-x-2 3x+2=

Límites en Proyecto Descartes

LímitesLímites

Escribimos: Lim f(x) = L xx–›aa

Y decimos “el límite de f(x), cuando xx tiende a aa, es igual a L”, si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L (tanto como deseemos) tomando xx lo bastante cerca de aa, pero no igual a aa.

LímitesLímites

Winplot

aa

LL

aa

LL

aa

LL

LÍMITELÍMITE

ACERCAMIENTO

Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos escribir:

Lf(x)limax

NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓNFUNCIÓN

33

55

-3-3

33

-2-2xx

ff(x)(x)

3.53.5

f(x)d)f(x)c)

f(x)b)f(x)a)

limlim

limlim

2x0x

3x3x

Encuentre:

EJERCICIO 1EJERCICIO 1Dado el gráfico de f(x): Dado el gráfico de f(x):

g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)lim

g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)lim

g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim

axaxax

axaxax

axaxax

existen )(y )( Si xglímxflímaxax

PROPIEDADES DE LOS LÍMITESPROPIEDADES DE LOS LÍMITES

?

n

ax

n

ax

axax

f(x)limf(x)lim

g(x)limKK.g(x)lim

existen )(y )( Si xglímxflímaxax

PROPIEDADES DE LOS LÍMITESPROPIEDADES DE LOS LÍMITES

EvalúeEvalúe los siguientes límites: los siguientes límites:

EJERCICIO 2EJERCICIO 2

3xsi,1x1/

3 xsi2,xf(x)dondef(x);4)

3x4xx2xx

3)

xx1x1

2)

x24x

1)

2

3x

1/3

23

2

1x

0x

0x

lim

lim

lim

lim

EJERCICIO 3EJERCICIO 3

Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:

2)(x

2x3)(xlimb.

1x1)(x2x

lima.

2x

1x

EJERCICIO 4EJERCICIO 4

Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:

c. Lim (x2+2x)sen(5x)X->0 3x

d. Lim Tan(3x)X->0 2x

Continuidad de una FunciónContinuidad de una Función

Dícese de una función Dícese de una función f f es continua en el número es continua en el número a a si:si:

Continuidad en Descartes

f(a)f(x)limax

TEOREMA DE LA TEOREMA DE LA COMPRESIONCOMPRESION

En caso de que se cumpla la siguiente relación (para En caso de que se cumpla la siguiente relación (para toda x perteneciente a algún intervalo abierto que toda x perteneciente a algún intervalo abierto que contenga a contenga a cc):):

y además se cumple:y además se cumple:

Entonces:Entonces:

h(x)f(x)g(x)

Lh(x)limg(x)limcxcx

Lf(x)limcx

h(x)h(x)

g(x)g(x)

f(x)f(x)

cc

LL

x

y

TEOREMA DE LA TEOREMA DE LA COMPRESIONCOMPRESION

11. Si. Si

22. Dada la función g(x)=xsen(1/x). . Dada la función g(x)=xsen(1/x). Estime : Estime :

(trabaje gráficamente)(trabaje gráficamente)

f(x)limHalle

xtodapara2cosx,f(x)x2

0x

2

g(x)lim0x

PROBLEMA 1PROBLEMA 1

LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITOINFINITO

Cuando se habla del Límite de una función cuando Cuando se habla del Límite de una función cuando XX tiende a Infinito:tiende a Infinito:

Quiere decir que para todo Quiere decir que para todo εε > 0 > 0 existe un existe un AA que que pertenece a los pertenece a los RR++, tal que si , tal que si X>AX>A, entonces:, entonces:εε > > ׀׀ f(x)-L f(x)-L ׀׀

Lf(x)limx

LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITOINFINITO

xxx

xx

x

35

lím c.

5lím b.

3

1lím a.

3

x

3

x

23x

2353

lím f.

21

líme.

135

límd.

2

2

x

2x

x

xxx

xx

x

2xsen3x

limc)

xπ)sen(x

limb)

xtanx

lima)

0x

0x

0x

Evalúe los siguientes límites utilizando Evalúe los siguientes límites utilizando propiedades y límites notables:propiedades y límites notables:

LÍMITES TRIGONOMETRICOS LÍMITES TRIGONOMETRICOS

xcosx1

lim0x

“La mayoría de la gente se da por vencida cuando están a punto de alcanzar el éxito”

Napoleón Bonaparte

REFLEXIÓNREFLEXIÓN