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1
AO DE LA INVERSIN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD
ALIMENTARIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA
FACULTAD DE INGENIERA MECNICA
Ecuaciones Lineales y Resolucin de Sistemas de ecuaciones Lineales
Integrantes:
Jamanca Durand Diego Andrs..20130192A
Justiniano Morn lvaro...20130077H
Lau Shigyo Luis..20132154J
Medrano Chipana Andr...20121390I
Matos de la Pea Jess....20132076I
Huerta Mamani Joel Samir...20130378H
Huayta Rivera Oki Antonio........20122619J
Curso: lgebra Lineal
Encargado del Curso: Ing. JEXY ARTURO Reyna Medina
CICLO 2013-II
-
2
ndice
Resumen.. 3
Ecuaciones lineales y resolucin de ecuaciones lineales. 5
Resolucion de Problemas....7
Sistema de Ecuaciones Lineales e interpretacin Geomtrica.10
Resolucin de Problemas....11
Reconocimiento de formas y tipos de solucin
de un sistema de dos ecuaciones lineales....15
Resolucin de Problemas...16
Interpretacin geomtrica de un plano en el espacio..20
Resolucin de Problemas....23
Sistema de tres ecuaciones
lineales e interpretacin Geomtrica28
Resolucin de Problemas..29
Ecuaciones Lineales, mtodo de eliminacin de Gauss.37
Resolucin de Problemas....40
Determinantes..44
Resolucin de
Problemas...46
Discusin. 54
CONCLUSIONES 56
-
3
Resumen
El presente trabajo est basado en el libro lgebra Lineal del autor
Fernando Hitt, principalmente se ha tratado de realizar un resumen
conciso del trabajo desarrollado en el libro mencionado.
Los autores del presente trabajo realizamos comentarios que
creemos ayudarn a entender los tpicos tratados, asimismo
desarrollamos problemas propuestos en el libro en cuestin, los cuales
han sido elegidos a criterio, tambin, de los autores para el mismo fin.
Esperando que los resmenes, comentarios y resoluciones de
problemas sean de ayuda para el lector pasamos a desarrollar los temas
del segundo captulo del libro lgebra Lineal Fernando Hitt, Ecuaciones
lineales y resolucin de sistemas de ecuaciones lineales.
Los Autores.
Abstract
This work is based on the author's book Linear Algebra Fernando
Hitt, mainly has tried to make a concise summary of the work done in the
book mentioned.
The authors of this paper we comment that we believe will help to
understand the topics covered also develop problems proposed in the
book in question, which have been chosen to test also the authors for the
same purpose.
Hoping summaries, reviews and problem solving are helpful to the
reader the issues we need to discuss the second chapter Fernando Hitt
Linear Algebra, Linear equations and solving systems of linear equations.
The Authors.
-
4
DEDICATORIA
Dedicamos este trabajo a nuestro profesor
Jexy Arturo Reyna Medina por su gran
apoyo y motivacin para la realizacin de
nuestras investigaciones, por habernos
transmitido sus conocimientos y por
habernos guiado, paso a paso, en el
aprendizaje del curso; adems dedicamos el
presente, tambin, a nuestra querida
Universidad Nacional de Ingeniera, que nos
brinda lo necesario para continuar con fuerza
el camino del ingeniero.
-
5
Ecuaciones lineales
Reconocimiento de una ecuacin
lineal (Vase ejemplo 1.1)
Posee variables y constantes
Las variables tienen cada
una, grado uno (lineal)
Los coeficientes de las variables
son reales
Las variables estn libres de operaciones
como logaritmos
Forma
De dos variables
+ =
De tres variables
+ + =
Solucin de una ecuacin lineal
Pareja o tercia de nmeros1, 2 , 3
Satisface la sustituir en la
ecuacin
Es llamado conjunto solucin
Aplicaciones
Obtencin de incgnitas en
las reas
Fsica
Economa
Ecuaciones lineales y resolucin de ecuaciones lineales
Ecuaciones lineales
Qu es una ecuacin?
Es una igualdad de dos miembros en la que se relacionan variables
desconocidas y datos conocidos mediante operaciones matemticas, que
tiene como objetivo hallar estas variables.
Qu se desarrollar en ste tema?
Se vern las ecuaciones lineales de dos y tres variables y sus respectivos
mtodos para resolverlos.
-
6
Ejemplos
1.1. Reconozca si las siguientes igualdades son ecuaciones lineales:
a. 3 + 5 = 2
b. 3 + 2 + 5 = 0
c. + 23 = 1
d.sin() + 5 1 = 0
e. + = 0
Solucin:
a. Es una ecuacin lineal. Tiene dos variables, ambas lineales y sus
coeficientes reales (enteros).
b. Es una ecuacin lineal. Tiene tres variables, todas lineales y sus
coeficientes reales (racionales).
c. No es una ecuacin lineal. Tiene dos variables, pero una de ellas (y) es
de tercer grado, no es lineal.
d. No es una ecuacin lineal. Tiene dos variables, pero una de ellas (x)
est dentro de una expresin trigonomtrica. Tampoco cumple si la
variable est dentro de un logaritmo o cumple la labor de exponente.
e. No es una ecuacin lineal. Para que sea lineal, los polinomios deben
ser lineales tambin y la expresin xy es de grado dos.
Luis Lau
-
7
Resolucin de Problemas
2.8. Ejercicio 3 (pg. 65)
4 3 6 = 0
2 + 5 3 = 0
3 + 2 + 4 = 0
Solucin:
Introducimos una nueva definicin:
- Sistema de ecuaciones lineales homogneo: Cuando en el primer
miembro de la igualdad se encuentran las variables y sus respectivos
coeficientes y el segundo miembro solo est la constante que para este
caso es cero.
Aplicamos un primer mtodo de resolucin. Dado que son ecuaciones de
tres variables, estas representarn un plano grficamente. Este mtodo se
ver con ms profundidad en los siguientes subcaptulos.
La interseccin de tres planos en el espacio da como resultado un punto,
siendo esta la nica solucin del sistema de ecuaciones.
-
8
Este punto al ser reemplazado en las tres ecuaciones, tiene que satisfacer
con xito cada una de estas.
Este punto geomtricamente es: (0,0,0)
Esto adems se debe a que un sistema de ecuaciones lineales
homogneo tiene como caracterstica la solucin trivial. Significa que
todas las variables pueden ser iguales a cero y cumplira con las tres
ecuaciones satisfactoriamente.
Luis Lau
2.8. Ejercicio 4 (pg. 56)
+ = 3
2 + = 4
+ 2 = 5
Solucin:
En este ejercicio se comprobar si existe solucin nica, ya que es un sistema
de tres ecuaciones y dos variables y lo que se quiere evitar es la
incompatibilidad del sistema.
Graficamos de dos en dos las ecuaciones:
+ = 3
2 + = 4
Punto solucin: (1,2)
-
9
+ = 3
+ 2 = 5
Punto solucin: (1,2)
2 + = 4
+ 2 = 5
Punto solucin: (1,2)
Llegamos a la conclusin que todas las rectas coinciden en el punto (1,2),
satisfaciendo las tres ecuaciones.
Grficamente las tres ecuaciones:
Conjunto solucin:
= ; =
Luis Lau
-
10
Sistema de Ecuaciones Lineales e interpretacin Geomtrica
-
11
SOLUCIN DE PROBLEMAS
Problema 10
Para qu valor de K el sistema de ecuaciones no tiene solucin?
(1+2k)x+5y=7
(2+k)x+4y=7
Solucin
Sabemos para que un sistema de dos ecuaciones lineales no tenga soluciones
debemos garantizar que las rectas resultantes sean paralelas.
Entonces:
+
=
+
+ = +
=
=
Diego Jamanca
Problema 11
Para qu valor del parmetro k el sistema de ecuaciones, tiene solucin nica?
3x+ky=5+k
2x+5y=8
-
12
Solucin
Sabemos que para que un sistema de dos ecuaciones lineales tenga solucin
nica, las rectas resultantes deben cortarse.
Entonces:
a) = + ( + )
=
+
+
(1)
b) = +
=
+
(2)
Observamos:
i)
{
}
Diego Jamanca
Problema 12
Para qu valores del parmetro K, el sistema tiene infinitas soluciones?
(2k-1)x+ky=6
7.5x+4y=3
Solucin
Para que nuestro sistema tenga infinitas soluciones, garantizamos que las rectas resultantes
tengan la misma pendiente y punto de paso. As:
-
13
i) = 21
+
6
ii) = 7.5
4 +
3
4
Entonces, podemos afirmar: 21
=
7.5
4
8 4 = 7.5
0.5 = 4
= 8
Diego Jamanca
Problema 13:
Determine para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales si son consistentes o inconsistentes. En el caso de ser
consistentes diga si su solucin es nica o tiene infinidad de soluciones e
interprete geomtricamente el resultado.
( + )
+ =
( )
=
Solucin:
i) Simplificando tenemos:
a) + 3 = 5 + 6
3y = 4x
=
= +
=
=
-
14
Notamos que las pendientes de las rectas generadas son diferentes, por lo
cual, analizando geomtricamente el problema, afirmamos que tiene solucin
nica. Es compatible determinado.
Diego Jamanca
14) 3x+y=6
6x+2y=20
Solucin
Damos formas a las ecuaciones:
a) Y=-3x+6
b) Y=-3X+10
Realizamos el anlisis geomtrico, y notamos que las pendientes son iguales;
pero no los puntos de paso, por lo que afirmamos que este sistema no posee
solucin. Es incompatible.
Diego Jamanca
15) 4x-2y=10
-6x+3y=15
Solucin
Dando forma a las ecuaciones:
a) Y=2x-5
b) Y=2x+5
Tambin en este caso observamos que las pendientes de las recatas
generadas son iguales; mas sus puntos de paso son diferentes, representando
a lneas paralelas. Sistema incompatible.
Diego Jamanca
-
15
NO HAY SOLUCIN
Misma pendiente
Son paralelas
UNA SOLUCIN
Rectas que se cruzan en un punto
INFINIDAD DE
SOLUCIONES
Rectas coincidentes
Existen tres
casos
generales
Reconocimiento de formas y tipos de solucin de un sistema de dos
ecuaciones lineales
Reconocimiento de formas y tipos de
solucin de un sistema de dos
ecuaciones lineales
Saber interpretar las grficas llevara a
una solucin inmediata del problema.
-
16
SOLUCIN DE PROBLEMAS
PROBLEMA 1. Resolver
3 + = 6 (1)
6 + 2 = 20 (2)
Solucin:
Hallando pendientes
1 = 3
1= 3 , Cuando x = 0 = 6 (verde)
2 = 6
2= 3 , de forma anloga al anterior
Las grficas de las ecuaciones son paralelas, entonces no tiene solucin.
Alvaro Justiniano
Notamos que la forma ms fcil de
resolver un sistema de dos ecuaciones
lineales es ayudndonos de sus graficas
correspondientes.
-
17
PROBLEMA 2. Para qu valor del parmetro k el siguiente sistema de
ecuaciones no tiene solucin?
(1 + 2) + 5 = 7 (1)
(2 + ) + 4 = 7 (2)
Solucin:
Para que no tenga solucin las pendientes de las ecuaciones deben ser la
misma:
1 = (1 + 2)
5
2 =(2 + )
4
1 = 2 = 2
Alvaro Justiniano
PROBLEMA 3. Para qu valor del parmetro k el sistema de ecuaciones
lineales tiene solucin nica?
3 + = 5 + (1)
2 + 5 = 8 (2)
Solucin:
Para que tenga solucin nica las pendientes de las ecuaciones deben ser
diferentes:
1 = 3
2 =2
5
-
18
1 2 7.5 {7.5}
Alvaro Justiniano
Problema 4. Para qu valor del parmetro k el sistema de ecuaciones lineales
tiene infinitas soluciones?
(2 1) + = 6 (1)
7.5 + 4 = 3 (2)
Solucin:
Para que tenga infinitas soluciones debe cumplir lo siguiente:
(2 1)
7.5=
4=
6
3
= 8
Alvaro Justiniano
PROBLEMA 5. Resolver
4 2 = 10 (1)
6 + 3 = 15 (2)
Solucin:
Hallando pendientes
1 = 4
2= 2 , Cuando x = 0 = 5 (verde)
2 = 6
3= 2 , de forma anloga al anterior
Las grficas de las ecuaciones son paralelas, entonces no tiene solucin.
-
19
Alvaro Justiniano
-
20
INTERPRETACIN GEMTRICA DE UN PLANO EN EL ESPACIO
En un espacio euclidiano tridimensional R3, podemos hallar los siguientes
hechos, (los cuales no son necesariamente vlidos para dimensiones
mayores).
Dos planos o son paralelos o se intersecan en una lnea.
Una lnea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es
contenida por el plano mismo.
Dos lneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente
paralelas entre s.
Dos planos perpendiculares a una misma lnea son necesariamente
paralelos entre s.
Entre un plano cualquiera y una lnea no perpendicular al mismo existe
solo un plano tal que contiene a la lnea y es perpendicular al plano .
-
21
Entre un plano cualquiera y una lnea perpendicular al mismo existe un
nmero infinito de planos tal que contienen a la lnea y son
perpendiculares al plano .
Sea P0 un punto de R3 y sea un vector de R3 . Un Plano se define como el
conjunto de puntos P de R3 tales que es perpendicular al vector que se
define entre P0 y P.
Es decir:
= {(, , )/ . = 0 = . 0 3}
Sean:
= (, , ) 0 = (0, 0, 0, )
-
22
Entonces:
. = 0
(, , ). ( 0, 0, 0) = 0
( 0) + (0) + ( 0) = 0 (1)
+ + 0 0 0 = 0
Sea: K = 0 + 0 + 0
Por lo tanto la Ecuacin General del plano es + + =
Un plano queda definido por los siguientes elementos geomtricos: un punto y
dos vectores
1 = (, 0,0), 1 = (, 0, ) y 2 = (, , 0)
= 1 2 = + +
-
23
*Si tomamos 0(0, 0, 0) = 1(, 0,0)
*Reemplazando en la ecuacin (1)
( ) + ( 0) + ( 0) = 0
+ + =
+
+
=
Por lo tanto se demuestra de
+
+
= que intercepta en los
puntos A, B y C.
Resolucin de Problemas
Ejemplo 1
V 1 =(2 1,1 2,0 3) = (1,3,3) V 2 =(11,0 2,1 3) = ( 2,2,2)
n = V 1xV 2
n = 8j 8k
-
24
P0 = (x0, y0, z0) = P1(1,2,3)
Remplazando en la ecuacin
a(x x0) + b(yy0) + c(z z0) = 0
0(x 1) + 8(y 2) 8(z 3) = 0
y z + 1 = 0 Ecuacin del plano
Oki Huayta
EJEMPLO 2
Sea P1 un plano de ecuacin: 2x + 3y + 5z + 1 = 0
Sea P2 un plano de ecuacin: 3x + 2y + 4z + 5 = 0
Determine la ecuacin del plano que contiene el punto (1, 2, 1) y es
perpendicular a los planos P1 y P2.
SOLUCION
Llmese N el plano, cuya ecuacin se busca y sea ax + by + cz + d = 0 la
ecuacin cartesiana de N. Como N es perpendicular a P1 y P2, entonces se
tiene que (a, b, c) es perpendicular tanto a (2, -3, 5) -vector normal de P1-,
como a (3, 2, 4) -vector normal de P2-, por lo que se puede tomar (a, b, c) como
el producto vectorial de (2, -3, 5) y (3, 2, 4).
= (,, ). (, , ) = + +
Donde -22x + 7y + 13z + d = 0. Sustituyendo el punto dado (1, 2, 1) en esta
ecuacin, se tiene
que: -22(1) + 7(2) + 13(1) + d =0 d = -5
Por lo que la ecuacin buscada es: -22x + 7y + 13z -5 = 0
-
25
Oki Huayta
EJEMPLO 3
Encuentre la ecuacin del plano que contienen al punto (-5,7,-2) y que es
paralelo al plano
"xz"
SOLUCION
Como es paralelo al plano xz tomamos los vectores = (, , ) = (, , )
= (, , )(, , )=
(, , ) = (, , )
Reemplazando en :
( ) + () + ( ) =
( + ) + ( ) + ( ) =
= Ecuacin del plano
Oki Huayta
EJEMPLO 4
Encuentre la ecuacin del plano que contienen al punto (-5,7,-2) y que es
paralelo al plano
3x 4y + z = 7
SOLUCION
Del plano 3x 4y + z = 7 sus puntos de intercepcin son
(7
3, 0,0) (0,
7
4, 0) (0,0,7)
-
26
Entonces los vectores V 1 = (7
3,
7
4, 0) V 2 = (
7
3, 0,7).
V 1xV 2 = (7
3,
7
4, 0) (
7
3, 0,7) =
49
4i +
49
3j
49
12k
P0(x0, y0, z0) = P(5,7,2)
Reemplazando en:
a(x x0) + b(yy0) + c(z z0) = 0
49
4(x + 5) +
49
3(y 7)
49
12(z + 2) = 0
3x 4y + z = 45 Ecuacin del plano
Oki Huayta
Ejemplo 5
Sean los puntos A(2, 3, 0) y B(2, 1, 4).
Determina la Ecuacin del plano mediatriz del segmento AB.
Solucin:
a) El plano pedido pasa por el punto medio de A y B y tiene como vector normal
el vector
AB.
Punto medio: M =(22
2,3+1
2,0+4
2)= (0, 2, 2).
Vector AB: AB = (2, 1, 4) (2, 3, 0) = (4, 2, 4).
Reemplazando en:
a(x x0) + b(yy0) + c(z z0) = 0
4(x 0) 2(y 2) + 4(z 2) = 0
2x + y 2z = 2 Ecuacin del plano
-
27
Oki Huayta
Ejemplo 6
Sea un plano que pasa por (1,2,1) y corta a los semiejes positivos coordenados
en los puntos A,B y C . Sabiendo que el ABC es equiltero. Hallar la ecuacin
de plano.
Solucin:
A(a,0,0) B(0,b,0) C(0,0,c)
x
a+
y
b+
z
c= 1 se sabe que a=b=c
*Para el punto (1,2,1)
1+2+1=a
Entonces: x
a+
y
a+
z
a= 1
x + y + z = 4 Ecuacin del Plano
Oki Huayta.
-
28
SISTEMA DE TRES ECUACIONES LINEALES E
INTERPRETACIN GEOMTRICA
Toda ecuacin de la forma ax+by+cz = k en un plano 3D,
posee como grfico, un plano.
Siempre y cuando
Los coeficientes a, b y c sean
diferentes de cero.
As al tener los planos P1, P2 y P3
Sucede uno de los siguientes casos
Inconsistencia
No hay solucin
del sistema
debido a que no
existe punto que
satisfaga el
sistema.
Consistencia
Solucin nica Ms de una solucin
Existe un punto
que satisface el
sistema y es la
interseccin de
los tres planos.
Hay ms de una
solucin (infinitas), se
debe a la interseccin
de los tres planos lo
cual dara lugar a una
recta o a un plano.
-
29
Resolucin de Problemas.
1) Resolver el sistema
2x y + 3z = 2 (a)
x + 2y + z = 1 (b)
3x 4y + 5z = 3 (c)
Y dar una interpretacin geomtrica del resultado
De (a) y (b)
-5y + z = 0
De (b) y (c)
-5y + z = 0
Llego a la conclusin: (b) + (c) = 2(a). El sistema tiene infinitas soluciones.
Interpretacin Geomtrica (Usamos el Software 3D grafico dela T inspire).
-
30
Joel Huerta
2) Resolver el sistema
2x y + 2z = 6 (a)
3x +2y z = 4 (b)
4x + 3y -3z = 1 (c)
Y dar una interpretacin geomtrica del resultado
De (a) y (c)
5y 7z = -11
De (b) y (a)
-7y + 8z = 10
Llego a la conclusin: y = 2, z = 3, x = 1 (Solucin nica).
Interpretacin Geomtrica (Usamos el Software 3D grafico dela T inspire).
Los coeficientes a, b y c sean diferentes de cero.
-
31
Joel Huerta
3) Resolver el sistema
6x + 4y - 2z = 2
5x + 3y + 4z =2
3x + 3y 3z = 3
Simplificamos
3x +2y + z = 1 (a)
5x + 3y +4z = 2 (b)
x + y z = 1 (c)
As al tener los planos P1, P2 y P3
-
32
De (a) y (c)
-y + 4z = -2
De (b) y (c)
9z 2y = -3
Llego a la conclusin: z = 1, y = 6, x = -4 (Solucin nica).
Interpretacin Geomtrica (Usamos el Software 3D grafico dela T inspire).
-
33
Joel Huerta
4) x + 2y + 3z = 9 (a)
4x + 5y + 6z = 24 (b)
2x + 4y + 6z = 4 (c)
De (a) y (c)
9 = 2 (incompatible)
Llego a la conclusin: el sistema no tiene solucin.
Interpretacin Geomtrica (Usamos el Software 3D grafico dela T inspire).
Sucede uno de los siguientes casos
-
34
Joel Huerta
5) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de S/.156 por 24 l de
leche, 6 kg de jamn serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio
de cada artculo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de
leche y que 1 kg de jamn cuesta igual que 4 l de aceite ms 4 l de
leche.
Solucin
Leche = x
Jamn = y
Aceite = z
24x + 6y + 12z = 156 (a)
z = 3x (b)
y = 4z + 4x (c)
De (a) y (c)
4x + 3z = 13 y evaluando con (b)
Llego a la conclusin: x = 1, z = 3, y = 16 (solucin nica).
Interpretacin Geomtrica (Usamos el Software 3D grafico dela T inspire).
Inconsistencia
-
35
Joel Huerta
6) Un videoclub est especializado en pelculas de tres tipos: infantiles,
oeste americano y terror. Se sabe que: El 60% de las pelculas infantiles
ms el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las
pelculas. El 20% de las infantiles ms el 60% de las del oeste ms del
60% de las de terror al representan la mitad del total de las pelculas.
Hay 100 pelculas ms del oeste que de infantiles.
Halla el nmero de pelculas de cada tipo.
Solucin
60x/100 + 50y/100 = 30(x + y + z)/100
20x/100 + 60y/100 + 60y/100
y = x + 10
3x + 2y 3z = 0 (a)
-3x + y + z = 0 (b)
Ms de una solucin
-
36
y = x + 100 (c)
Despejando (a) y (b) en funcin de z, obtenemos 3y = 2z y
reemplazando en (c)
2z/3 = x + 100
De (a) y (c)
5y 3z = 300
De (b) y (c)
4y + z = 300
Llego a la conclusin: x = 500, y = 600 , z = 900
Interpretacin Geomtrica (Usamos el Software 3D grafico dela T inspire).
-
37
Joel Huerta
.
-
38
Resolucin de un Sistema de Ecuaciones
Lineales, mtodo de eliminacin de
Gauss.
Que consiste en
Segn los criterios de equivalencia de sistemas de
Ecuaciones, tenemos
Transformar un sistema de ecuaciones en
otro equivalente de forma que ste sea
escalonado.
Si a ambos miembros de una
ecuacin de un s is tema se les
suma o se les resta una
misma expresin , e l sistema
resul tante es equivalente .
Si multiplicamos o dividimos
ambos miembros de las
ecuaciones de un sistema
por un nmero distinto de
cero, el sistema resultante
es equivalente.
,
resul ta otro s istema
equivalente al pr imero.
-
39
El mtodo de Gauss consiste en ut i l izar e l mtodo de
reduccin de manera que en cada ecuacin tengamos una
incgnita menos que en la ecuacin precedente .
1 Ponemos como primera ecuacin la que tenga el
cmo coeficiente de x: 1 -1 , en caso de que no fuera
posib le lo haremos con y o z, cambiando el orden de las
incgnitas.
2 Hacemos reduccin con la 1 y 2 ecuacin , para
eliminar e l trmino en x de la 2 ecuacin . Despus
ponemos como segunda ecuacin el resul tado de la
operacin:
E'2 = E2 3E1
3 Hacemos lo mismo con la ecuacin 1 y 3 ecuacin ,
para eliminar e l trmino en x .
-
40
E'3 = E3 5E1
4 Tomamos las ecuaciones 2 y 3 , t rasformadas, para
hacer reduccin y eliminar e l trmino en y.
E''3 = E'3 2E'2
5 Obtenemos el s istema equivalente escalonado .
6 Encontrar las soluciones.
z = 1
y + 4 1 = 2 y = 6
x + 6 1 = 1 x = 4
Resolucin de Problemas
-
41
Ejercicio N 1:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el mtodo de Gauss.
{3 + 2 + = 10 + 2 + 3 = 14
+ = 4
1
E'2 = E1 E2
{3 + 2 + = 10
2 3 = 14
= 2
2
E'3 = E'2 E3
{ = 2 + = 4
= 3
3 Obtenemos el siguiente sistema equivalente escalonado y encontramos las
soluciones.
{3 + 2 + = 10
= 2 = 3
= 3, = 5, = 6
Jess Matos
Ejercicio N 2:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el mtodo de Gauss.
{4 3 6 = 03 + 2 + 4 = 02 + 5 3 = 0
-
42
1
E'3 = E1 2E2
{4 3 6 = 0
2 5 + 3 = 0
= 0
2
E'2 = E2 2E'3
{3 + 2 + 4 = 0
= 0
3 + 4 = 0
3 Obtenemos el siguiente sistema equivalente escalonado y encontramos las
soluciones.
{4 3 6 = 0 3 + 4 = 0 = 0
= 0, = 0, = 0
Jess Matos
Ejercicio N 3:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el mtodo de Gauss.
{2 + 2 = 63 + 2 = 44 + 3 3 = 1
+ 3 + 2 = 42 + 2 = 6
3 + 4 + 3 = 1
1
E'2 = E2+2E1
{2 + 2 = 6
2 + 6 + 4 = 8
8 + 3 = 14
-
43
2
E'3 = E3 3E1
{3 + 4 + 3 = 1 3 9 6 = 12
5 3 = 11
3
E''3 = E'3 + E'2
{5 3 = 11
8 + 3 = 14
3 = 3 , = 1
4 Obtenemos el siguiente sistema equivalente escalonado y encontramos las
soluciones.
{ + 3 + 2 = 4
8 + 3 = 14 = 1
= 1, = 2, = 3
Jess Matos
Ejercicio N 4:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el mtodo de Gauss.
{5 3 = 1
+ 4 6 = 12 + 3 + 4 = 9
+ 4 6 = 15 3 = 12 + 3 + 4 = 9
1
E'2 = E2 5E1
{5 3 = 1
5 20 + 30 = 5
23 + 29 = 6
-
44
2
E'3 = E3 2E1
{2 + 3 + 4 = 9
2 8 + 12 = 2
5 + 16 = 11
3
E''3 =23 E'3 5E'2
{115 + 368 = 253115 145 = 30
223 = 223 , = 1
4 Obtenemos el siguiente sistema equivalente escalonado y encontramos las
soluciones.
{ + 4 6 = 1
23 + 29 = 6 = 1
= 1, = 1, = 1
Jess Matos
-
45
Definicin
Denotacin
Determinacin
Aplicacin
Definicin
n
Mtodo de Cramer
DETERMINANTES
Es una funcin que asigna a una matriz
cuadrada un nico nmero real.
Sea A una matriz de orden n su
determinante ser
det(A) o |A|
Para matriz de orden 2
a b = ad - cb
c d
Para matriz de orden 3 Buscar la mayor cantidad de ceros en una fila o columna
A la resolucin de sistemas de
ecuaciones lineales.
Sistema de ecuaciones
lineales de 3x3
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
S = a1 b1 Y= a1 c1
a2 b2 a2 c2
X = c1 b1
c2 b2
S = a1 b1 c1 Y= a1 d1 c1
a2 b2 c2 a2 d2 c2
a3 b3 c3 a3 d3 c3
X = d1 b1 c1 Z= a1 b1 d1
d2 b2 c2 a2 b2 d2
d3 b3 c3 a3 b3 d3
Sistema de
ecuaciones lineales
de 2x2
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
-
46
Variable x = X/S Variable y = Y/S Variable z = Z/S
Discusiones
El mtodo de Cramer es recomendado para soluciones nicas y hay q tener
presente que solo va ser vlido cuando en el sistema de ecuaciones lineales el
nmero de ecuaciones es igual que el nmero de incgnitas.
RESOLUCIN DE PROBLEMAS
11.- Para qu valor del parmetro k el sistema de ecuaciones lineales tiene
solucin nica?
3x + ky = 5+k
2x + 5y = 8
Planteamiento:
Se presentan 2 variables y 2 ecuaciones, por lo cual es viable el mtodo de
Cramer. Para que el sistema tenga solucion nica el S 0 , entonces se
procede de la siguiente manera:
S = 3 k = 15 - 2k 0 k 7,5
2 5
Respuesta: K R {7,5}
ANDR MEDRANO
S 0 S.E.L es compatible y
tiene solucin nica.
S = 0 y (X=Y=Z=0) S.E.L
es compatible indeterminado; es
decir, infinitas soluciones.
S = 0 y algn 0 S.E.L es
incompatible; es decir, no tiene
solucin.
-
47
23.- Un nmero de tres dgitos es igual a 25 veces la suma de sus dgitos. Si
los tres dgitos se invierten, el nmero que resulta excede al nmero dado por
198. El dgito de las decenas es uno menos que la suma de los dgitos de las
centenas y de las unidades. Encuntrese el nmero.
Planteamiento: Se tiene abc que es el nmero pedido cuya descomposicin
polinmica seria igual a 100a+ 10b + c y si el mismo nmero se invierte
estaramos tendramos a cba cuya descomposicin polinmica sera
100c+10b+a, ello nos facilita para poder efectuar nuestro sistema de
ecuaciones mencionadas implcitamente en el problema los cuales son:
100a + 10b + c = 25 (a+b+c)
100c + 10b + a (100a+10b+c) = 198
a + c - b = 1
75a - 15b - 24c = 0 25a - 5b 8c = 0
-99a + 99c = 198 -a + c = 2
a - b + c = 1 a - b + c = 1
Dado que el nmero descrito con tales caractersticas es nico la solucin debe
ser nica y por lo tanto podemos proceder por el mtodo Cramer:
S= 25 -5 -8 = 20 0 -13 = - (-1) 20 -13 = 7
-1 0 1 -1 0 1 -1 1
1 -1 1 1 -1 1
a= 0 -5 -8 = 0 -5 -8 = (1) -5 -8 = 21
2 0 1 0 2 -1 2 -1
1 -1 1 1 -1 1
b= 25 0 -8 = 25 0 -8 = (-1) 25 -8 = 49
-1 2 1 -3 0 -1 -3 -1
1 1 1 1 1 1
Simplificando
-
48
c= 25 -5 0 = 25 -5 0 = (1) 25 -5 = 35
-1 0 2 -3 2 0 -3 2
1 -1 1 1 -1 1
a= 21/7 = 3
b= 49/7 = 7
c=35/7 = 5
Respuesta: El nmero pedido es 375.
ANDR MEDRANO
25.- Un inversionista tiene colocado parte de su capital al 3 % y el resto al 5%
de inters simple, percibiendo anualmente 11 600 pesos de inters. Si aumenta
en 25% el dinero que tiene al 3%, y en 40% el que tiene al 5%, sus intereses
anuales aumentan en 4100 pesos. Hallar la cantidad de dinero que tiene
invertido en cada uno de los tipos de inters.
Planteamiento:
C* es el capital destinado al 3% y C-C* es el resto del capital destinado al 5%.
Como se trata de un inters simple entonces I = c. r% .t y se procede de la
siguiente manera:
I1 = C*. 3%. 1
I2 = (C-C*).5%.1
Del dato: I1 + I2 = 11600
11600= 0.05C 0.02C*.(1)
Despus del aumento se tendra:
I1 = 1.25C*. 3%. 1
-
49
I2 = 1.4(C-C*) 5%.1
Del dato: I1+ I2 = 15700
15700= 0.07C 0.0325C*.(2)
Luego con (1) y (2) se tendra un sistema de ecuaciones de 2x2 que puede ser
resuelta por el mtodo de Cramer.
S = 0.05 -0.02 = - 0.000225
0.07 -0.0325
C = 11600 -0.02 = -63
15700 -0.0325
C* = 0.05 11600 = -27
0.07 15700
Respuesta: C = -63/ -0.000225 = 280000 C*= -27/ -0.000225 = 120000
ANDR MEDRANO
27.- Si se mezclan 3 litros de aceite de tipo A con 7 de tipo B el precio de la
mezcla es 43 pesos el litro. Sin embargo, si se mezclan 3 litros del aceite A con
2 de B el precio de la mezcla es de 46 pesos el litro. Hallar el precio del litro de
cada uno de los tipos de aceite.
Planteamiento: Elaboramos una tabla con los datos mencionados teniendo
presente que el precio de la mezcla1 por los 10 litros seria de 430 pesos, de la
misma manera en la mezcla2 el precio seria de 230 pesos.
-
50
Sea PA: precio del aceite A / litro
PB: precio del aceite B / litro
Se procede a formar el sistema de ecuaciones lineales de 2x2
3 PA + 7 PB = 430
3 PA + 2 PB = 230
Dado que la solucin es nica (S0) resolvemos el sistema por el mtodo de
Cramer:
S= 3 7 = -15
3 2
PA = 430 7 = -750
230 2
PB = 3 430 = -600
3 230
Respuesta:
PA = -750/ -15 = 50
PB = -600/ -15 = 40
ANDR MEDRANO
-
51
31.- La temperatura en un nodo (vase la figura siguiente) es igual al
promedio de los cuatro nodos ms cercanos. Escribe expresiones algebraicas
para T2 y T3 y determinarlos.
Planteamiento: Del grfico formamos nuestro sistema de ecuaciones en los
nodos T1, T2 Y T3 de la siguiente manera:
T1 = (T2+65)/ 4 4 T1 - T2 = 65
T2 = (50 + T1 + T3) / 4 - T1 + 4T2 - T3 = 50
T3 = (95 + T2)/ 4 - T2 +4T3 = 95
Por Cramer:
S = 4 -1 0 = 0 15 -4 = (1) 15 -4 = 56
-1 4 -1 -1 4 -1 -1 4
0 -1 4 0 -1 4
T1 = 65 -1 0 = 65 -1 0 = (1) 65 -1 = 1270
50 4 -1 50 4 -1 295 15
95 -1 4 295 15 0
4 65 0 0 265 -4
T2 = -1 50 -1 = -1 50 -1 = (1) 265 -4 = 1440
-
52
0 95 4 0 95 4 95 4
4 -1 65 0 15 265
T3 = -1 4 50 = -1 4 50 = (1) 15 265 = 1690
0 -1 95 0 -1 95 -1 95
Respuesta:
El sistema tiene solucin nica (S 0)
T1 = 1270/56 = 22,68 T2 = 1440/56 = 25,71 T3 = 1690/56 = 30,18
ANDR MEDRANO
33.- Determina el polinomio de interpolacin p(x) = a0 + a1x + a2x2 para los
datos (x, p(x)), (1,12) , (2,15) y (3,16). Determine a0, a1 y a2.
Planteamiento:
Para calcular los valores de a0, a1 y a2 reemplazamos los puntos en la funcin
polinmica formndose un sistema de ecuaciones lineales de 3x3 y por el
mtodo de Cramer podemos determinar esos valores que ajustan aquella
grfica de la siguiente manera:
a0 + a11 + a212 = 12 a0 + a1 + a2 = 12
a0 + a12 + a222 = 15 a0 + 2a1 + 4 a2 = 15
a0 + a13 + a232 = 16 a0 + 3a1 + 9 a2 = 16
S = 1 1 1 = 1 1 1 = 1 1 3 = 2
1 2 4 0 1 3 1 5
1 3 9 0 1 5
a0 = 12 1 1 = 12 1 1 = (-1) -9 2 = 14
15 2 4 -9 0 2 -20 6
-
53
16 3 9 -20 0 6
a1 = 1 12 1 = 1 12 1 = (1) 3 3 = 12
1 15 4 0 3 3 4 8
1 16 9 0 4 8
1 1 12 1 1 12
a2 = 1 2 15 = 0 1 3 = (1) 1 3 = -2
1 3 16 0 2 4 2 4
Vemos que el S0 entonces la solucin es nica siendo el conjunto solucin
{(a0, a1, a2)}
Respuesta: a0 = 14/2 = 7 a1= 12/2 = 6 a2 = -2/2 = -1
ANDR MEDRANO
-
54
Discusin
La importancia de este tipo de trabajos est bsicamente en hacer llegar
informacin valiosa, experimental, terica o investigacin, con el fin de aclarar
dudas o iniciar una discusin que nos permita llegar a conclusiones ms
nutritivas. si nos ponemos a un nivel ms elemental, nos daremos cuenta que
hasta en l
Ecuaciones lineales es un tema bsico para muchas materias, dado que
siempre vamos a encontrarnos con sistemas de variables y constantes en la
vida como ingeniero. Aunque a vida cotidiana usamos las ecuaciones lineales.
Este tema admite muchos mtodos de resolucin y eso lo hace interesante y
dinmico. Se han resuelto los problemas con ayuda del libro de lgebra Lineal
de Fernando Hitt y con la teora dada en las clases del Ing. Jexy Reyna.
Adems durante la resolucin de los problemas se ha tratado de ir paso a paso
para que sea ms sencillo de procesar para el lector.
Se recomienda no depender de un solo mtodo, sino aprender la
representacin geomtrica, el uso de determinantes, lgebra clsica y el uso de
matrices. As ampliaremos nuestros horizontes, dndonos diferentes puntos de
vista a la hora de ver un problema.
Argumentation:
The importance of this type of work is basically getting valuable information,
experimental or theoretical, in order to clarify doubts or initiate a discussion that
allows us to reach richer conclusions.
Linear equations is a basic issue for many subjects, since we will always meet
system of multiple variables and constants in our life as an engineer. But if we
get to a basic level, we will realize that even in the everyday life we use systems
of linear equations.
This theme supports many methods of resolution and that makes it interesting
and dynamic. Problems have been solved using the book Linear Algebra
(Fernando Hitt) and with the theory given in class by the engineer Jexy Reyna
-
55
Medina. Also during the resolution of the problems we have tried to go step by
step to make it easier to process for the reader.
It is recommended not to rely on a single method but also learn the geometric
representation, use of determinants, classical algebra and matrices. Then we
will expand our horizons, giving us different points of view when see a problem.
-
56
CONCLUSIONES
Los sistemas de dos ecuaciones es un caso particular de un sistema de tres
ecuaciones donde al coeficiente de la variable z se hace cero, su grfica
tambin es un plano solo que siempre es paralelo al eje "z, se puede graficar
en un plano 2D usando su proyeccin respecto a x e y la cual resultara una
recta.
El conjunto solucin de un sistema de tres ecuaciones analizando su
interpretacin geomtrica a partir de la interseccin de los tres planos, se
puede obtener como un punto (solucin nica), una recta (infinitas soluciones),
un plano (infinitas soluciones cuando dos o ms ecuaciones son directamente
proporcionales) o simplemente nada (sistema incompatible sin soluciones).
El mtodo de eliminacin de Gauss es una manera simplificada para hallar el
conjunto solucin de un sistema de ecuaciones, pues hallando la primera
variable, es ms fcil hallar la siguiente variable (despejando), sea para un
sistema de dos o tres ecuaciones, en cambio otros mtodos como con matrices
(como el de Cramer) son igual de trabajosos para hallar todas las variables, sin
importar el orden.
El mtodo de Cramer para hallar el conjunto solucin de un sistema de
ecuaciones es muy efectivo cuando existen varias ecuaciones (cuatro, cinco,
etc.) aunque posea ciertas limitaciones (nmero de ecuaciones igual al nmero
de incgnitas).