2 0 2 0

lineal fundamental

Jesús Sánchez Guevara

ÁLGEBRA

Edición aprobada por la Comisión Editorial de la Universidad de Costa Rica.Primera edición: 2020.

Editorial UCR es miembro del Sistema Editorial Universitario Centroamericano (SEDUCA), perteneciente al Consejo Superior Universitario Centroamericano (CSUCA).

Corrección filológica y revisión de pruebas: Ariana Alpízar L. • Diseño de contenido y diagramación: el autor. Portada: Priscila Coto M. • Ilustración de portada: “Antecedentes de la arquitectura abstracta. Diseño gráfico mínimo. Papel de escritorio geométrico blanco. Representación 3d”, https://www.shutterstock.com, ilustración de Max Krasnov • Control de calidad: Abraham Ugarte S.

© Editorial de la Universidad de Costa Rica, Ciudad Universitaria Rodrigo Facio. San José, Costa Rica. Prohibida la reproducción total o parcial. Todos los derechos reservados. Hecho el depósito de ley.

Impreso bajo demanda en la Sección de Impresión del SIEDIN. Fecha de aparición: octubre, 2020. Universidad de Costa Rica. Ciudad Universitaria Rodrigo Facio. San José, Costa Rica.

Apdo. 11501-2060 • Tel.: 2511 5310 • Fax: 2511 5257 • administracion.siedin@ucr.ac.cr • www.editorial.ucr.ac.cr

512.5S212a Sánchez Guevara, Jesús, 1983-

Álgebra lineal fundamental : teoría y ejercicios / Jesús Sánchez Guevara. – Primera edición. – San José, Costa Rica : Editorial UCR, 2020.

xvi, 265 páginas : ilustraciones en gris.

ISBN 978-9968-46-931-9

1. ÁLGEBRA LINEAL. 2. ÁLGEBRA LINEAL – PROBLEMAS, EJERCICIOS, ETC. 3. ÁLGEBRA LINEAL – ESTUDIO Y ENSEÑANZA. I. Título.

CIP/3611CC.SIBDI.UCR

vii

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TerceraParte

Contenido

Introduccion xi

Recomendaciones para la lectura xv

Primera Parte 1

1. Matrices 3

1.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Algebra de matrices . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Referencias utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Ejercicios matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Soluciones matrices . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Sistemas de ecuaciones lineales 17

2.1. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Metodos de resolucion . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Tipos de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4. Rango y nulidad de una matriz . . . . . . . . 29

2.5. Referencias utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6. Ejercicios sistemas de ecuaciones lineales . . . 32

2.7. Soluciones sistemas de ecuaciones lineales . . 37

vii

Introducción xi

Recomendaciones para la lectura xv

Primera Parte 1

Capítulo 1. Matrices 31.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Álgebra de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Referencias útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Ejercicios matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Soluciones matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Capítulo 2. Sistemas de ecuaciones lineales 172.1. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Métodos de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. Tipos de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4. Rango y nulidad de una matriz . . . . . . . . . . 292.5. Referencias útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6. Ejercicios sistemas de ecuaciones lineales . . . 322.7. Soluciones sistemas de ecuaciones lineales . . . 37

viii

Capítulo 3. Matrices invertibles 473.1. Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3. Idempotencia y nilpotencia . . . . . . . . . . . . . 513.4. Referencias útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5. Ejercicios matrices invertibles . . . . . . . . . . . 533.6. Soluciones matrices invertibles . . . . . . . . . . . 55

Capítulo 4. Determinantes 594.1. La función determinante . . . . . . . . . . . . . . 594.2. Matrices inversas y determinantes . . . . . . . . 624.3. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4. Referencias útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5. Ejercicios determinantes . . . . . . . . . . . . . . . 654.6. Soluciones determinantes . . . . . . . . . . . . . . . 67

Segunda Parte 71

Capítulo 5. Geometría vectorial 735.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2. Geometría de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3. Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.4. Referencias útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.5. Ejercicios geometría vectorial . . . . . . . . . . . . 845.6. Soluciones geometría vectorial . . . . . . . . . . . 87

Capítulo 6. Espacios vectoriales 936.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3. Generadores e independencia lineal . . . . . . . . 986.4. Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.5. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.6. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.7. Referencias útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

ix

6.8. Ejercicios espacios vectoriales . . . . . . . . . . . 1066.9. Soluciones espacios vectoriales . . . . . . . . . . . 109

Capítulo 7. Transformaciones lineales 1137.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . 1137.2. Matriz de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3. Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.4. Inyectividad y sobreyectividad . . . . . . . . . . . 1217.5. Transformaciones invertibles . . . . . . . . . . . . 1227.6. Referencias útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.7. Ejercicios transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.8. Soluciones transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Tercera Parte 133

Capítulo 8. Ortogonalidad 1358.1. Conjuntos ortogonales y ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.2. Subespacios ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . 1378.3. Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . 1388.4. Proceso de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 1398.5. Referencias útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.6. Ejercicios ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . 1428.7. Soluciones ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . 145

Capítulo 9. Diagonalizacíon 1499.1. Vectores y valores propios . . . . . . . . . . . . . . 1499.2. Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.3. Matrices simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1569.4. Referencias útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599.5. Ejercicios diagonalización . . . . . . . . . . . . . . 1609.6. Soluciones diagonalización . . . . . . . . . . . . . 167

x

Capítulo 10. Curvas cuadráticas 17710.1. Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.2. Curvas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.3. Superficies cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . 18510.4. Referencias útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19710.5. Ejercicios curvas cuadráticas . . . . . . . . . . . . 19810.6. Soluciones curvas cuadráticas . . . . . . . . . . . 201

Anexos 207

A. Exámenes del I-semestre 2018 209Examen de suficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Solución del examen de suficiencia . . . . . . . . . . . . 213Primer examen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Solución del primer examen parcial . . . . . . . . . . . 221Segundo examen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Solución del segundo examen parcial . . . . . . . . . . 227Tercer examen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Solución del tercer examen parcial . . . . . . . . . . . . 233Examen de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241Solución del examen de ampliación . . . . . . . . . . . 243

B. Software 249B.1. Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249B.2. Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253B.3. Wolfram Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Bibliografía 257

Índice analítico 259

Acerca del autor 265

PRIMERA PARTE

��

��Primera Parte

CAPITULO 1

Matrices

1.1. Matrices

Definicion 1.1. Una matriz A de numeros reales con n fi-las y m columnas es un arreglo rectangular de n⋅m numerosreales de la forma

A =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 ⋯ a1ma21 a22 ⋯ a2m⋮ ⋮ ⋱ ⋮

an1 an2 ⋯ anm

⎞⎟⎟⎟⎠.

En tal caso, se dice que la matriz A es de tamano n ×m.El conjunto de matrices reales de tamano n ×m se denotaM(n,m;R). Para i ∈ {1, ..., n} y j ∈ {1, ...,m}, el numeroreal de la matriz A que se encuentra en la fila i y columna jse escribe aij y se le llama entrada ij de A. Para referirsea la matriz A es usual usar la notacion A = (aij)n×m, obien, simplemente A = (aij), si el tamano de la matriz noes ambiguo.

3

����

TerceraParte

4 1 MATRICES

Lista 1.2. Los principales tipos de matrices son lossiguientes:

� Matrices columna: Son las matrices que solamente tie-nen una columna, tambien se les conoce como vectores co-lumna. El conjunto de matrices columna de tamano n esM(n,1;R).

� Matrices fila: Estas matrices estan formadas por unasola fila y se les conoce tambien como vectores fila. El con-junto de matrices fila de tamano m es M(1,m;R).

� Matriz nula: A la unica matriz de M(n,m;R) con todassus entradas iguales a 0 se le llama matriz nula y se denota0n×m o simplemente 0.

� Matriz cuadrada: Se dice de la matriz que tiene igualcantidad de filas y columnas. El conjunto de matrices cua-dradas de n filas y n columnas se escribeM(n;R). La diago-nal de una matriz cuadrada esta formada por sus entradasde la forma aii.

� Matrices diagonales: Son aquellas matrices D = (dij) ∈M(n;R) que satisfacen que dij = 0 si i ≠ j.

� Matriz identidad: En el conjunto M(n;R), a la unicamatriz diagonal, con exclusivamente unos en su diagonal,se le llama matriz identidad de tamano n. Es denotada In,o bien, I.

� Matriz triangular superior: Se dice de la matriz P =(pij) ∈ M(n;R) que solo tiene ceros bajo su diagonal, esdecir, que satisface pij = 0 si i > j.

� Matriz triangular inferior: Se dice de la matriz Q =(qij) ∈ M(n;R) que solo tiene ceros sobre su diagonal, esdecir, que satisface qij = 0 si i < j.

1 MATRICES 5

� Matriz simetrica: A = (aij) ∈ M(n;R) se llama sime-trica si aij = aji, para todo i, j ∈ {1, . . . , n}. En otras pala-bras, la entrada en la fila i y columna j de A es igual a laentrada en la fila j y columna i.

� Matriz antisimetrica: B = (bij) ∈M(n;R) se llama an-tisimetrica si bij = −bji, para todo i, j ∈ {1, . . . , n}. La con-dicion implica que los elementos de la diagonal son todos 0.

1.2. Algebra de matrices

Definicion 1.3 (Igualdad de matrices). Sean A y B ∈M(n,m;R). Se dice que A = (aij)n×m y B = (bij)n×m soniguales si y solo si entrada por entrada son iguales, es decir,aij = bij , para todo i ∈ {1, . . . , n} y j ∈ {1, . . . ,m}.Definicion 1.4 (Producto de una matriz por un escalar).Para todo A = (aij)n×m ∈M(n,m;R) y α ∈ R, se define lamatriz αA = (cij)n×m ∈ M(n,m;R) como cij = αaij , paratodo i ∈ {1, . . . , n} y j ∈ {1, . . . ,m}. Si α = −1 la matriz −1Ase escribe −A.Proposicion 1.5. Para A ∈M(n,m;R) y α,β ∈ R, el pro-ducto por un escalar satisface:

(i) 1A = A.

(ii) 0A = 0n×m.

(iii) α(βA) = (αβ)A.

Definicion 1.6 (Suma de matrices). Sean A y B ∈M(n,m;R). La suma de A = (aij)n×m y B = (bij)n×m sedefine como la matriz A + B = (cij)n×m ∈ M(n,m;R), talque cij = aij + bij , para todo i ∈ {1, . . . , n} y j ∈ {1, . . . ,m}.Proposicion 1.7. Si A,B,C ∈ M(n,m;R) y α,β ∈ R,entonces las suma de matrices verifica que:

6 1 MATRICES

(i) A +B = B +A.

(ii) (A +B) +C =A + (B +C).

(iii) A + 0n×m = A.

(iv) A + (−A) = 0n×m.

(v) α(A +B) = αA + αB.

(vi) (α + β)A = αA + βA.

Definicion 1.8. Sean A1, . . . ,Ar ∈ M(n,m;R). Una com-binacion lineal de las matrices A1, . . . ,Ar es cualquier ma-triz de la forma α1A1 +⋯+ αrAr, donde α1, . . . , αr ∈ R.Definicion 1.9. Sea A ∈ M(n,m;R). La matriz trans-puesta de A = (aij)n×m, denotada At = (cij)m×n, es lamatriz de M(m,n;R) que satisface cij = aji, para todoi ∈ {1, . . . , n} y j ∈ {1, . . . ,m}.Observacion 1.10. Note que si v es un vector fila, entoncesvt es un vector columna; y que si w es un vector columna,entonces wt es un vector fila.

Observacion 1.11. Si A es una matriz con cantidades defilas y columnas diferentes, entonces la suma A + At noesta definida, ya que son matrices de diferente tamano. Talimposibilidad desaparece en las matrices cuadradas.

Proposicion 1.12. Para A,B ∈ M(n,m;R) y α ∈ R, latranspuesta cumple con lo siguiente:

(i) (At)t = A. (ii) (A + αB)t = At + αBt.

Definicion 1.13. Considere v = (v11, . . . , v1n) un vector

fila y w = (w11, . . . , wn1)tun vector columna, ambos con la

misma cantidad de entradas. Se define el producto escalarde v y w como el numero real v ⋅ w que se obtiene de lasiguiente forma:

v ⋅w = (v11, . . . , v1n) ⋅⎛⎜⎝

w11

⋮wn1

⎞⎟⎠= v11w11 + v12w21 +⋯+ v1nwn1.

1 MATRICES 7

Proposicion 1.14. Sean v, v1, v2 ∈M(1, n;R) vectores fila,w,w1, w2 ∈M(n,1;R) vectores columna y α ∈ R. El produc-to escalar satisface las siguientes propiedades:

(i) v ⋅w = wt ⋅ vt.

(ii) (αv) ⋅w = v ⋅ (αw) = α(v ⋅w).

(iii) v ⋅ (w1 +w2) = v ⋅w1 + v ⋅w2.

(iv) (v1 + v2) ⋅w = v1 ⋅w + v2 ⋅w.Definicion 1.15 (Producto de matrices). ConsidereA = (aij)n×p ∈M(n, p;R) y B = (bij)p×m ∈ M(p,m;R). Lamatriz AB = (cij)n×m, llamada producto de A y B, es unamatriz en M(n,m;R), tal que cada una de sus entradas cijesta dada por el siguiente producto escalar:

cij = (fila i de A) ⋅ (columna j de B).

Observacion 1.16. Explıcitamente, la formula para la en-trada cij del producto AB es:

cij = (ai1, . . . , aip) ⋅⎛⎜⎝

b1j⋮bpj

⎞⎟⎠= ai1b1j +⋯+ aipbpj .

Comentario 1.17. El producto de matrices no siempre esconmutativo, es decir, en general AB ≠ BA.

Proposicion 1.18. Considere α,β ∈ R y A, B, Cmatrices. El producto de matrices, siempre que este defi-nido, cumple con:

(i) A(BC) = (AB)C.

(ii) A(B +C) = AB +AC.

(iii) (A +B)C = AC +BC.

(iv) InA = A = AIm.

8 1 MATRICES

(v) α(AB) = (αA)B = A(αB).

(vi) (AB)t = BtAt.

(vii) AB + αA = A(B + αI).

(viii)AB + βB = (A + βI)B.

Comentario 1.19. Sean C ∈M(1, n;R) y A ∈M(n,m;R).Si f1, . . . , fn son las filas de A, entonces

CA = (c11, . . . , c1n)⎛⎜⎝

a11 ⋯ a1m⋮ ⋱ ⋮

an1 ⋯ anm

⎞⎟⎠= c11f1 +⋯+ c1nfn.

La igualdad anterior nos indica que el producto CA∈ M(1,m;R) se puede interpretar como el vector filaresultado de la combinacion lineal de las filas de A, con lasentradas de C como coeficientes. Ası, el resultado de unproducto de matrices BA, donde B ∈M(q, n;R), se puedever como el recuento de hacer combinaciones lineales conlas filas de A, una combinacion por cada fila de B.

En la situacion reflejo, cuando D ∈M(m,1;R) y c1, . . . , cmson las columnas de A, se tiene:

AD =⎛⎜⎝

a11 ⋯ a1m⋮ ⋱ ⋮

an1 ⋯ anm

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

d11⋮

dm1

⎞⎟⎠= d11c1 +⋯+ dm1cm.

Esto dice que el resultado es una combinacion lineal decolumnas de A. Cuando se tiene un producto AB, conB ∈ M(m,r;R), el resultado serıa un recuento de combi-naciones lineales de columnas de A, determinadas por lascolumnas de B.

1 MATRICES 9

1.3. Referencias utiles

Para estudiar la materia

� Del libro [Arce et al., 2014], secciones: 2.1, 2.2, 2.3 y 2.4.

� Del libro [Grossman y Flores, 2012], secciones: 2.1 y 2.2.

Ejercicios recomendados

� Del libro [Arce et al., 2014], seccion 2.8, ejercicios: 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 44 y 46.

10 1 MATRICES

1.4. Ejercicios matrices

1.4.1. En cada caso, escriba la matriz especificada e indiquecon cuales tipos de la Lista 1.2 encaja. Las igualdades quedescriben las entradas de las matrices estan definidas paratodo i, j segun el tamano de la matriz.

A = (aij)3×3, tal que aij = (−1)i.(a)

A = (aij)3×4, tal que aij = (−1)i+j .(b)

A = (aij)2×2, tal que aij = (−1)ij .(c)

B = (bij)3×3, tal que bij = 2i + j − 1.(d)

B = (bij)4×4, tal que bij = i − j.(e)

C = (cij)3×3, tal que cij = −(j − 1)(j − 3)i.(f)

D = (dij)4×4, tal que dij = (i−1)(i−2)(i−4)(j−1)(j−4).(g)

D = (dij)2×2, tal que dij = (2− i)(a(2− j)+ b(j −1))+(i − 1)(c(2 − j) + d(j − 1)).

(h)

1.4.2. Escriba una version para matrices 3×3 del punto (h)del ejercicio 1.4.1.

1.4.3. Realice los siguientes calculos para las matrices:

A =⎛⎜⎝

−3 −1 0−5 −4 −21 1 −5

⎞⎟⎠,

B =⎛⎜⎝

2 −1 −2−2 −1 −58 −5 −8

⎞⎟⎠

y

C =⎛⎜⎝

5 3 6−6 −7 −2−8 3 −2

⎞⎟⎠

2A +B − 2C.(a) 2(A −B) + 3C.(b)

At + 2(B +C)t.(c) (A+C +I)t −(B +C +I)t.(d)

1 MATRICES 11

1.4.4. En cada caso, escriba dos ejemplos de matrices quecumplan con la condicion respectiva.

A = (aij)2×3 con aij = 0 si i = j.(a)

C = (cij)3×4 con cij = −ci+1,j .(b)

C = (cij)2×2, tal que c11c22 = c12c21 + 1.(c)

E = (eij)3×3, tal que e1j + e2j + e3j = 1j .(d)

B = (bij)2×4, tal que bij =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2 si i > j3 si i < j

.(e)

D = (dij)3×4, tal que dij =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 si i /= jdi+1,j+1 si i = j

.(f)

1.4.5. Muestre cada una de las siguientes propiedades delalgebra de matrices.

A es simetrica si y solo si At = A.(a)

α(A +B) = αA + αB, donde α ∈ R.(b)

A(B +C) = AB +AC.(c)

(A +B)t = At +Bt.(d)

1.4.6. En cada caso, haga los calculos con la matriz:

A =⎛⎜⎝

6 9 20 −9 79 4 −9

⎞⎟⎠.

A⎛⎜⎝

232

⎞⎟⎠+ 3A

⎛⎜⎝

−101

⎞⎟⎠.(a) A

⎛⎜⎝

xyz

⎞⎟⎠+⎛⎜⎝

111

⎞⎟⎠.(b)

(A − xI)⎛⎜⎝

111

⎞⎟⎠.(c) (x, y, x)A

⎛⎜⎝

xyx

⎞⎟⎠.(d)

12 1 MATRICES

1.4.7. De manera similar al algebra de numeros reales, siuna matriz A es cuadrada, para todo entero n ≥ 1, An seentiende como el producto de A consigo misma n veces ya la matriz An se le llama potencia n-esima de A. Calculelas siguientes potencias de matrices.

(cos(2π3 ) − sin(

2π3 )

sin(2π3 ) cos(2π3 ))6

.(a)⎛⎜⎝

x 0 00 y 00 0 z

⎞⎟⎠

3

.(b)

1.4.8. Realize los siguientes calculos.

AB −BA, donde A = (1 11 1) y B = (1 2

3 4).(a)

A3B4 +A4B5 − 2A5B6, donde

A = ( 3 −6−1 2

) y B = (2 41 2).

(b)

(2A +B)t − (2B −A)t +A2, con A =⎛⎜⎝

0 0 01 a b0 1 0

⎞⎟⎠, B =

⎛⎜⎝

ab 0 00 1 00 0 1

⎞⎟⎠y a, b ∈ R, tal que b /= 0.

(c)

(I +A +A2)(I −A), donde A =⎛⎜⎝

0 0 01 0 00 1 0

⎞⎟⎠.(d)

1.4.9. En cada caso, determine las incognitas.

(1 11 2

)(xy) = (1

8).(a)

⎛⎜⎝

1 0 0−1 0 −1−1 2 3

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

xyz

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

−204

⎞⎟⎠.(b)

(x, y)( 0 1−1 0

) = (9,1).(c)⎛⎜⎝

xyz

⎞⎟⎠

t⎛⎜⎝

1 1 1−1 1 −1−1 1 2

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

61212

⎞⎟⎠

t

.(d)

1 MATRICES 13

1.5. Soluciones matrices

1.5.1. R/

⎛⎜⎝

−1 −1 −11 1 1−1 −1 −1

⎞⎟⎠.(a)

⎛⎜⎝

1 −1 1 −1−1 1 −1 11 −1 1 −1

⎞⎟⎠.(b)

(−1 11 1

).(c)⎛⎜⎝

2 3 44 5 66 7 8

⎞⎟⎠.(d)

⎛⎜⎜⎜⎝

0 −1 −2 −31 0 −1 −22 1 0 −13 2 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠.(e)

⎛⎜⎝

0 1 00 2 00 3 0

⎞⎟⎠.(f)

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 0 00 0 0 00 4 4 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠.(g) (a b

c d).(h)

1.5.2. R/ Si A = (aij) =⎛⎜⎝

a b cd e fg h k

⎞⎟⎠, entonces para todos

los ındices i, j ∈ {1,2,3} se tiene que ai,j =

(2 − i)(3 − i)2

(a(2 − j)(3 − j)2

+ b(j − 1)(3 − j) + c(j − 1)(j − 2)2

)

+ (i − 1)(3 − i) (d(2 − j)(3 − j)2

+ e(j − 1)(3 − j) + f(j − 1)(j − 2)2

)

+ (i − 1)(i − 2)2

(g(2 − j)(3 − j)2

+ h(j − 1)(3 − j) + k(j − 1)(j − 2)2

) .

1.5.3. R/

⎛⎜⎝

−14 −9 −140 5 −526 −9 −14

⎞⎟⎠.(a)

⎛⎜⎝

5 9 22−24 −27 0−38 21 0

⎞⎟⎠.(b)

14 1 MATRICES

⎛⎜⎝

11 −21 13 −20 −38 −16 −25

⎞⎟⎠.(c)

⎛⎜⎝

−5 −3 −70 −3 62 3 3

⎞⎟⎠.(d)

1.5.4. R/

(0 1 11 0 1

) y (0 2 34 0 5

).(a)

⎛⎜⎝

1 1 1 1−1 −1 −1 −11 1 1 1

⎞⎟⎠y⎛⎜⎝

0 −2 3 40 2 −3 −40 −2 3 4

⎞⎟⎠.(b)

(0 −11 0

) y ( 3 2−2 −1).(c)

⎛⎜⎝

1 1/2 1/30 0 00 0 0

⎞⎟⎠y⎛⎜⎝

2 −3/2 2−4 1 −2/33 1 −1

⎞⎟⎠.(d)

(1 3 3 32 1 3 3

) y (−4 3 3 32 6 3 3

).(e)

⎛⎜⎝

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

⎞⎟⎠y⎛⎜⎝

2 0 0 00 2 0 00 0 2 0

⎞⎟⎠.(f)

1.5.5. R/ Se toma A = (aij) y B = (bij).

(a) A = At si y solo si aij = aji, para todo i, j, que es ladefinicion de ser simetrica.

(b) Tome α(A + B) = (cij) y αA + αB = (dij). Ahoracij = α(aij + bij) = αaij + αbij = dij para todo i, j, por lotanto α(A +B) = αA + αB.

1 MATRICES 15

(c) Tome A(B+C) = (lij) y AB+AC = (rij). Entonces:

lij = (ai1, . . . , aim) ⋅ (b1j + c1j , . . . , bmj + cmj)t

= ai1(b1j + c1j) +⋯+ aim(bmj + cmj)= (ai1b1j + ai1c1j) +⋯+ (aimbmj + aimcmj)= (ai1b1j +⋯+ aimbmj) + (ai1c1j +⋯+ aimcmj)

= (ai1, . . . , aim) ⋅ (b1j , . . . , bmj)t

+ (ai1, . . . , aim) ⋅ (c1j , . . . , cmj)t

= rij ,

lo que muestra la igualdad.

(d) La entrada (i, j) de (A+B)t es la entrada (j, i) deA + B, es decir, aji + bji, y esta es justamente la entrada(i, j) de At +Bt.

1.5.6. R/

⎛⎜⎝

318−42

⎞⎟⎠.(a)

⎛⎜⎝

6x + 9y + 2z + 1−9y + 7z + 1

9x + 4y − 9z + 1

⎞⎟⎠.(b)

⎛⎜⎝

17 − x−2 − x4 − x

⎞⎟⎠.(c)

8x2 + 20xy − 9y2.(d)

1.5.7. R/

(1 00 1).(a)

⎛⎜⎝

x3 0 00 y3 00 0 z3

⎞⎟⎠.(b)

16 1 MATRICES

1.5.8. R/

( 1 3−3 −1).(a)

(0 00 0).(b)

⎛⎜⎝

−a/b 3 0a a2 + 3a + b − 1 ab + 31 a + 3b b − 1

⎞⎟⎠.(c)

⎛⎜⎝

1 0 00 1 00 0 1

⎞⎟⎠.(d)

1.5.9. R/

(xy) = (−6

7).(a)

⎛⎜⎝

xyz

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

−2−22

⎞⎟⎠.(b)

(x, y) = (1,−9).(c)

(x, y, z) = (9,1,2).(d)

����

TerceraParte

Acerca del autor

Jesus Sanchez Guevara nace en Puntarenas en 1983,es doctor en matematica pura por la Universidad de laSorbona (Parıs 7). Se desempena como profesor de la Uni-versidad de Costa Rica desde el ano 2007. En el 2016 iniciacomo investigador para el Centro de Investigacion en Ma-tematica Pura y Aplicada(CIMPA-UCR) y durante los anos2018 y 2019 fue coordinador del curso MA1004 Algebra Li-neal de la Escuela de Matematicas de la Universidad deCosta Rica. Sus principales intereses en investigacion son latopologıa algebraica y la logica matematica, en particular:homologıa simplicial, fibrados de Higgs, teorıa de categorıas,operads, topos y modelos. Tambien, es autor del blog dedivulgacion matematica justcategories.wordpress.com, en elcual se pueden encontrar algunos de sus cursos virtualesimpartidos para la Universidad de Costa Rica.

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Acerca del autor

Jesus Sanchez Guevara nace en Puntarenas en 1983,es doctor en matematica pura por la Universidad de laSorbona (Parıs 7). Se desempena como profesor de la Uni-versidad de Costa Rica desde el ano 2007. En el 2016 iniciacomo investigador para el Centro de Investigacion en Ma-tematica Pura y Aplicada(CIMPA-UCR) y durante los anos2018 y 2019 fue coordinador del curso MA1004 Algebra Li-neal de la Escuela de Matematicas de la Universidad deCosta Rica. Sus principales intereses en investigacion son latopologıa algebraica y la logica matematica, en particular:homologıa simplicial, fibrados de Higgs, teorıa de categorıas,operads, topos y modelos. Tambien, es autor del blog dedivulgacion matematica justcategories.wordpress.com, en elcual se pueden encontrar algunos de sus cursos virtualesimpartidos para la Universidad de Costa Rica.

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