LÓGICA PROPOSICIONAL.

ELEMENTOS DE SINTÁXIS.

La lógica proposicional es un lenguaje formal. Como tal se compone de ciertos elementos que caracterizan a cualquier lenguaje de esa especie. Dichos elementos son: a) un conjunto de símbolos y, b) un conjunto de reglas de formación. Los detallamos a continuación:

SÍMBOLOS:A. Símbolos lógicos:

Conectores:a. Negación: b. Conjunción: .c. Disyunción: d. Condicional: e. Bicondicional:

B. Símbolos no lógicos:Letras de enunciado1: p, q, r,..., p1, q2, r3,...

C. Signos de puntuación:1. Paréntesis: ), (.2

LENGUAJE Y METALENGUAJELas reglas de formación determinan cuando una serie de símbolos de nuestro

conjunto es una fórmula bien formada (FBF) o simplemente una fórmula. Para detallar las reglas introduciremos un nuevo tipo de símbolo, que no pertenece a

nuestro lenguaje formal, y por ello se denominan símbolos metalingüísticos. Nos servirán para enunciar propiedades que cumplen algunas secuencias de símbolos dentro del lenguaje. Forman parte de un lenguaje que utilizamos para hablar del lenguaje de la lógica proposicional. Es, en este sentido, un metalenguaje; y sus componentes son símbolos metalingüísticos. Nos interesa fundamentalmente introducir variables metalingüísticas, mediante las cuales hacemos referencia a cualquier fórmula dentro del lenguaje objeto (en este caso el de la lógica proposicional). Utilizaremos letras griegas minúsculas para representarlas; por ejemplo: α, β, γ. Debe quedar claro que las expresiones que con ellas construimos no son fórmulas del lenguaje objeto, sino esquemas que pueden ser reemplazados por ellas.

Ilustraremos lo dicho con un ejemplo. Existe una regla que se aplica a los enunciados condicionales que denominamos afirmación del antecedente. Dicha regla especifica lo siguiente: dado un condicional verdadero de la forma “Si (antecedente) entonces (consecuente)”, donde el antecedente y el consecuente es un enunciado cualquiera, la afirmación independiente del antecedente nos permite deducir el consecuente. Por ejemplo, teniendo en cuenta que “Si se juega un partido en el estadio entonces hay embotellamientos en las calles aledañas”, y además sabemos que “hoy se juega un partido”,

1 Utilizaremos preferentemente “enunciado”, en vez de “proposición” u “oración”.2 En algunos casos será conveniente usar corchetes “[“, “]” o llaves”{“, “}” para mejorar la legibilidad.

podremos inferir: “hoy tendremos embotellamientos en las calles aledañas al estadio”. Puesto en símbolos tendríamos lo siguiente:

p: “Se juega un partido en el estadio”; q: “Hay embotellamientos en las calles aledañas al estadio”.

pq p──── q

Pero podemos pensar ejemplos más complejos: “Si cobro el sueldo y el vehículo está en buenas condiciones, entonces podría ir al ciné o tomar helado. Dado que cobré y el coche está en buenas condiciones, iré al cine o tomaré helado”.

p: “Cobro el sueldo”; q: “El vehículo está en buenas condiciones”; r: “Voy al cine”; s: “tomo helado”.

(p.q)(rs) (p.q)──────── (rs)

En ambos casos la deducción es correcta, dado que son ejemplos distintos de la misma regla de afirmación del antecedente (también conocida como modus ponens). Si quisiéramos dar un esquema simbólico, en el nivel metalingüístico, para esta regla:

Las letras α y β representan cualquier fórmula. Puede verse que los dos razonamientos anteriores son ejemplificaciones del mismo esquema: basta con reemplazar α por p y β por q para obtener el primer ejemplo; y por pq y rs, respectivamente, para obtener el segundo. Estas expresiones del metalenguaje se usan, pues, como esquemas que podemos usar para construir expresiones del lenguaje objeto mediante reemplazos adecuados.

REGLAS DE FORMACIÓNToda fórmula bien formada (FBF) que podamos construir, dentro de la lógica

proposicional, procederá de la aplicación de alguna/s de las siguientes:

Modus Ponens αβ α ──── β

REGLAS DE FORMACIÓN DE FÓRMULAS.(i) Si α es una letra de enunciado, entonces es una FBF(ii) Si α es una FBF, entonces α es una FBF.(iii) Si α y β son FBFs, entonces (α.β), (αβ), (αβ) y (αβ) son FBFs.(iv) Sólo son FBFs las secuencias que satisfacen una o más de las

cláusulas anteriores.

La regla número (iii) en realidad comprime cuatro reglas en una sola: una para cada conectiva. Nuestras fórmulas quedan clasificadas, según esto, en dos grandes clases. Las letras proposicionales son fórmulas atómicas. Son los ladrillos básicos con los que podemos construir expresiones en el lenguaje. Las reglas (ii) y (iii) producen fórmulas moleculares, que son aquellas formadas con conectivas, además de letras de enunciado. La conectiva principal de una fórmula es la que introduce la última regla que aplicamos al construirla.

Supongamos que queremos considerar:

(pq).(qp)

Se puede establecer su carácter de fórmula bien formada mostrando cómo se construye a partir de sus componentes.

1) p y q son letras de enunciado, y de acuerdo con (i) FBFs.2) Dado que p y q son FBFs, (pq) es una FBF, por la regla (iii).3) Dado que p y q son FBFs, (qp) es una FBF (iii).4) Dado que (pq) es FBF, (qp) es una FBF (ii).5) Y de (3) y (4), por (iii), obtenemos: ((pq).(qp)).

Podemos notar, inspeccionando atentamente, que la fórmula que obtuvimos no es exactamente igual a la que se presentó más arriba. En la fórmula desarrollada encontramos un par de paréntesis exteriores de los que carece la primera. Ello se debe a que las reglas de formación exigen su presencia. Pero podemos decir que las fórmulas son idénticas si nos atenemos, como se hará de aquí en adelante, a la siguiente:

CONVENCIÓN: podrá prescindirse en general de los paréntesis más exteriores de una fórmula bien formada (no es necesario escribirlos, aunque se deberá tener presente que están ahí).

La cuestión de los paréntesis no es una sutileza menor. Prescindir de ellos en los lugares adecuados puede hacer, como se verá, que las fórmulas cambien completamente su sentido.

Lo dicho se encuentra en estrecha relación con otra cuestión importante. Dada una fórmula cualquiera del lenguaje, existe una y sólo una forma de construirla a partir de las reglas dadas. Si ello no fuera así las fórmulas serían ambiguas.

LITERALSólo son literales:

1) Las letras de enunciado (fórmulas atómicas).2) Las fórmulas resultantes de aplicar la regla (ii) a letras de enunciado. (Es decir,

las negaciones de fórmulas atómicas)

ARBOLES CONSTRUCTIVOS.Mediante el árbol constructivo analizamos el modo en que una fórmula se compone

partiendo de enunciados simples. En la base del árbol tendremos la fórmula completa y, al final, estarán las letras de enunciado (fórmulas atómicas) que la componen. En cada nodo, del cual se desprenden ramas, se detalla la regla de composición que establece el vínculo entre ellas. Veamos un ejemplo:

(((pq . (rs)) . (qs)) (pr) (iii)

(((pq . (rs)) . (qs)) (iii) (pr) (iii).

((pq . (rs)) (iii) (qs) (iii) p (ii) r (ii).

(pq) (iii) (rs) (iii) q (ii) s (ii) p r (i)

p q r s q s (i)

El alcance de una conectiva está determinado por la cantidad de expresiones que afecta dentro de una fórmula. En este caso la conectiva de mayor alcance (o conectiva principal) es un condicional. Si analizamos el alcance en orden decreciente tenemos:

1) El condicional entre “((pq . (rs)) . (qs))” y “(pr)”.2) la conjunción que vincula “(pq).(rs)” y “(qs)”.3) Otra conjunción para “(pq)” y “(rs)”.4) Las disyunciones “(qs)” y “(pr)”.5) Los condicionales “(pq)” y “(rs)”.6) Las negaciones “p”, “q”, “r”, “s”.

Como puede observarse en el árbol, las conectivas de mayor alcance se encuentran en los nodos superiores, y las de menor alcance en nodos inferiores. Agreguemos:

7) Las letras de enunciado: “p”, “q”, “r”, “s”.

En los ítems 1-7 tenemos desglosadas todas las subfórmulas que componen la fórmula dada. En general, son subfórmulas de una fórmula φ todas aquellas FBFs (distintas de φ) que la componen.3

Un concepto que nos será de utilidad más adelante es el de literal. Se lo define en los términos que detallamos a continuación:

3 La fórmula analizada corresponde a una ley lógica conocida como dilema destructivo.

Son literales: “p”, “p”, “q”, “r”…No son literales: “(p.q)”, “pq”, “(p)”…