Logica y Programacion

Calculo de Secuentes

Antonia M. Chavez, Agustın Riscos, Carmen Graciani

Dpto. Ciencias de la Computacion e Inteligencia ArtificialUniversidad de Sevilla

Definiciones

• Objetivo: Resolver problemas de satisfacibilidad para LogicaProposicional

• Descomposicion de objetivo incial en subobjetivos mas simples

• Definicion: Un secuente es un par formado por dos conjuntosde formulas:

F1, . . . ,Fn ⊢ G1, . . . ,Gm

• {F1, . . . ,Fn} se denomina antecedente del secuente

• {G1, . . . ,Gn} se denomina consecuente del secuente

Definiciones

• Objetivo: Resolver problemas de satisfacibilidad para LogicaProposicional

• Descomposicion de objetivo incial en subobjetivos mas simples

• Definicion: Un secuente es un par formado por dos conjuntosde formulas:

F1, . . . ,Fn ⊢ G1, . . . ,Gm

• Idea: Si todas las formulas del antecedente son ciertas,entonces alguna del consecuente lo es tambien

• Equivale a:

F1 ∧ F2 ∧ · · · ∧ Fn → G1 ∨ G2 ∨ · · · ∨ Gm

Reglas de calculo

• Objetivo: Establecer que secuentes (subobjetivos) tienen queser ciertos para que un determinado secuente (objetivo)tambien lo sea

• Representacion de reglas:

Subobjetivos

Objetivo

Reglas de calculo

• Definicion: Un axioma es un secuente en el que aparece unamisma formula en el antecedente y en el consecuente

• Regla del Axioma:

Γ1,F ,Γ2 ⊢ ∆1,F ,∆2

Ax

donde Γ1,Γ2,∆1 y ∆2 son secuencias finitas de formulas

• La Regla del axioma se lee: Cualquier secuente en el que unamisma formula F aparezca tanto en el antecedente como en elconsecuente es cierto y no genera ningun subobjetivo

Reglas de calculo

• El resto de las reglas del calculo de secuentes indican comodescomponer una formula del secuente objetivo (parte inferiorde la regla) obteniendo un conjunto de secuentes subobjetivos(parte superior de la regla).

• Las reglas se clasifican segun el tipo de formula en cuestion ysi esta se encuentra en el antecedente o en el consecuente delobjetivo.

Reglas de la negacion

Γ1,Γ2 ⊢ F ,∆

Γ1,¬F ,Γ2 ⊢ ∆¬I

F ,Γ ⊢ ∆1,∆2

Γ ⊢ ∆1,¬F ,∆2

¬D

donde Γ,Γ1,Γ2,∆,∆1 y ∆2 son secuencias finitas de formulas

Reglas de la disyuncion

Γ1,F ,Γ2 ⊢ ∆ Γ1,G ,Γ2 ⊢ ∆

Γ1,F ∨ G ,Γ2 ⊢ ∆∨ I

Γ ⊢ ∆1,F ,G ,∆2

Γ ⊢ ∆1,F ∨ G ,∆2

∨ D

donde Γ,Γ1,Γ2,∆,∆1 y ∆2 son secuencias finitas de formulas

Reglas de la conjuncion

Γ1,F ,G ,Γ2 ⊢ ∆

Γ1,F ∧ G ,Γ2 ⊢ ∆∧ I

Γ ⊢ ∆1,F ,∆2 Γ ⊢ ∆1,G ,∆2

Γ ⊢ ∆1,F ∧ G ,∆2

∧ D

donde Γ,Γ1,Γ2,∆,∆1 y ∆2 son secuencias finitas de formulas

Reglas de la implicacion

Γ1,G ,Γ2 ⊢ ∆ Γ1,Γ2 ⊢ F ,∆

Γ1,F → G ,Γ2 ⊢ ∆→ I

F ,Γ ⊢ ∆1,G ,∆2

Γ ⊢ ∆1,F → G ,∆2

→ D

donde Γ,Γ1,Γ2,∆,∆1 y ∆2 son secuencias finitas de formulas

Reglas de la equivalencia

Γ1,F → G ,G → F ,Γ2 ⊢ ∆

Γ1,F ↔ G ,Γ2 ⊢ ∆↔ I

Γ ⊢ ∆1,F → G ,∆2 Γ ⊢ ∆1,G → F ,∆2

Γ ⊢ ∆1,F ↔ G ,∆2

↔ D

donde Γ,Γ1,Γ2,∆,∆1 y ∆2 son secuencias finitas de formulas

Procedimiento

Para demostrar la validez de una formula F mediante el calculo desecuentes:

• Considerar F como secuente objetivo inicial

• Se van aplicando las reglas dando lugar a nuevos subobjetivos

• El proceso se repite hasta que todos los subobjetivos han sidoeliminados mediante la Regla del Axioma. En ese caso, laformula F es valida.

• Si se alcanza un subobjetivo al que no puede aplicarseninguna regla, entonces F no es valida

Ejemplo I

Demostrar la validez de la formula F ≡ p → (q ∨ p) mediante elcalculo de secuentes:

Ejemplo I

Demostrar la validez de la formula F ≡ p → (q ∨ p) mediante elcalculo de secuentes:

• Considerar F como secuente objetivo inicial

Ejemplo I

Demostrar la validez de la formula F ≡ p → (q ∨ p) mediante elcalculo de secuentes:

• Considerar F como secuente objetivo inicial

• Aplicamos la regla → D a p: p ⊢ q ∨ p

⊢ p → (q ∨ p)→ D

Ejemplo I

Demostrar la validez de la formula F ≡ p → (q ∨ p) mediante elcalculo de secuentes:

• Considerar F como secuente objetivo inicial

• Aplicamos la regla → D a p: p ⊢ q ∨ p

⊢ p → (q ∨ p)→ D

• Aplicamos la regla ∨D al con-secuente del subobjetivo q ∨ p:

p ⊢ q, p

p ⊢ q ∨ p∨ D

Ejemplo I

Demostrar la validez de la formula F ≡ p → (q ∨ p) mediante elcalculo de secuentes:

• Considerar F como secuente objetivo inicial

• Aplicamos la regla → D a p: p ⊢ q ∨ p

⊢ p → (q ∨ p)→ D

• Aplicamos la regla ∨D al con-secuente del subobjetivo q ∨ p:

p ⊢ q, p

p ⊢ q ∨ p∨ D

• Aplicamos la regla del Axioma:p ⊢ q, p

Ax

Ejemplo I

Demostrar la validez de la formula F ≡ p → (q ∨ p) mediante elcalculo de secuentes:

• Considerar F como secuente objetivo inicial

• Aplicamos la regla → D a p: p ⊢ q ∨ p

⊢ p → (q ∨ p)→ D

• Aplicamos la regla ∨D al con-secuente del subobjetivo q ∨ p:

p ⊢ q, p

p ⊢ q ∨ p∨ D

• Aplicamos la regla del Axioma:p ⊢ q, p

Ax

• No quedan objetivos pendientes, por tanto F es valida

Ejemplo II

Demostrar la validez de la formula F ≡ (p ∧ (p → q)) → q

Ejemplo II

Demostrar la validez de la formula F ≡ (p ∧ (p → q)) → q

• Considerar F como secuente objetivo inicial

Ejemplo II

Demostrar la validez de la formula F ≡ (p ∧ (p → q)) → q

• Considerar F como secuente objetivo inicial

• Aplicamos la regla → D p ∧ (p → q) ⊢ q

⊢ (p ∧ (p → q)) → q→ D

Ejemplo II

Demostrar la validez de la formula F ≡ (p ∧ (p → q)) → q

• Considerar F como secuente objetivo inicial

• Aplicamos la regla → D p ∧ (p → q) ⊢ q

⊢ (p ∧ (p → q)) → q→ D

• Aplicamos la regla ∧I p, p → q ⊢ q

p ∧ (p → q) ⊢ q∧I

Ejemplo II

Demostrar la validez de la formula F ≡ (p ∧ (p → q)) → q

• Considerar F como secuente objetivo inicial

• Aplicamos la regla → D p ∧ (p → q) ⊢ q

⊢ (p ∧ (p → q)) → q→ D

• Aplicamos la regla ∧I p, p → q ⊢ q

p ∧ (p → q) ⊢ q∧I

• Aplicamos la regla → I p ⊢ p, q p, q ⊢ q

p, p → q ⊢ q→ I

Ejemplo II

Demostrar la validez de la formula F ≡ (p ∧ (p → q)) → q

• Considerar F como secuente objetivo inicial

• Aplicamos la regla → D p ∧ (p → q) ⊢ q

⊢ (p ∧ (p → q)) → q→ D

• Aplicamos la regla ∧I p, p → q ⊢ q

p ∧ (p → q) ⊢ q∧I

• Aplicamos la regla → I p ⊢ p, q p, q ⊢ q

p, p → q ⊢ q→ I

• Aplicamos la regla del ax-ioma a los dos subobjetivos: p ⊢ p, q

Axp, q ⊢ q

Ax

Ejemplo II

Demostrar la validez de la formula F ≡ (p ∧ (p → q)) → q

• Considerar F como secuente objetivo inicial

• Aplicamos la regla → D p ∧ (p → q) ⊢ q

⊢ (p ∧ (p → q)) → q→ D

• Aplicamos la regla ∧I p, p → q ⊢ q

p ∧ (p → q) ⊢ q∧I

• Aplicamos la regla → I p ⊢ p, q p, q ⊢ q

p, p → q ⊢ q→ I

• Aplicamos la regla del ax-ioma a los dos subobjetivos: p ⊢ p, q

Axp, q ⊢ q

Ax

• No quedan objetivos pendientes: la formula es valida

Ejercicios

• ¿A que formula corresponde el secuente:p, p → q, q ⊢ ¬q,¬p ∧ r?

• Utilizando el calculo de secuentes, encuentra unademostracion de los siguientes secuentes:

• p, p → q, q ⊢ ¬q,¬p ∧ r

• ¬p ∨ q ⊢ p → q• ⊢ (q → r) → ((¬q → ¬p) → (p → r))• p ↔ q, p ∨ q ⊢ p ∧ q