Lógica y Teoría de Conjuntos.

Capıtulo 1

LOGICA

El amor es ilogico

1.1. Proposiciones y conectivos logicos

Una proposicion logica la entenderemos como una sentencia o frase sujeta aun valor constante que puede ser verdadero (V) o falso (F), denominados valores deverdad. Denotaremos una proposicion mediante letras minusculas p,q,r,s,t, etcetera.Por ejemplo:

p: lavo los platos

q: mi esposa esta feliz

ambas son proposiciones logicas que llamamos proposiciones simples, ya que nocontienen dentro de sı misma otra proposicion. Una proposicion logica simple solopuede adquirir dos valores de verdad, V o F.

p

{VF

A partir de las proposiciones simples se pueden construir otras mas complejas,llamadas compuestas, utilizando operadores denominados conectivos logicos. Estosconectivos corresponden a:

1

2 CAPITULO 1. LOGICA

Conectivos logicos

NegacionDisyuncionConjuncionImplicacionEquivalenciaDisyuncionExcluyente.

A traves de los conectivos logicos se pueden definir proposiciones compuestas. Si setienen dos proposiciones logicas los posibles valores de verdad que puede adquirir esaproposicion corresponde a las combinaciones de cada proposicion simple. Sean p y qdos proposiciones, las combinaciones posibles de sus valores de verdad correspondena la siguiente tabla:

p qV VV FF VF F

Si fuesen tres proposiciones logicas, por ejemplo, p,q y r, sus combinaciones posiblesserıan:

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Luego, si fuesen n proposiciones logicas se puede apreciar que las combinacionesposibles serıan 2n, esto por el principio de multiplicidad1 y lo binario de los valoresde verdad que puede adquirir cada proposicion simple.

Dependiendo de las proposiciones en cuestion y del conectivo logico que seeste utilizando la proposicion compuesta adquirira un determinado valor de verdad,para poder determinarlos definiremos en detalle cada uno de los conectivos logicos.

Negacion: Dada una proposicion p, su negacion, que denotaremos por po equivalentemente p (Estas notaciones seran utilizadas de manera intercambiable a

1para mayor detalle ver glosario

1.1. PROPOSICIONES Y CONECTIVOS LOGICOS 3

traves de este libro). La proposicion p se leera no p y su significado es que le otorgael valor de verdad contrario a la proposicion p. Su tabla de verdad corresponde a:

p pV FF V

A modo de ejemplo, la negacion de la proposicion p: lavo los platos es No lavolos platos.

Disyuncion: Dadas dos proposiciones p y q, definimos la proposicion compues-ta p ∨ q que se lee p o q, denominada disyuncion tambien conocido como o logicoentre p y q como aquella que es falsa solamente si p y q son falsas. Su tabla de verdades la siguiente:

p q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

Lo anterior, se debe a que se nos permite optar entre una proposicion u otra, por loque basta que una sea verdadera para que todo sea verdadero. Dadas las proposi-ciones simples de nuestro ejemplo la disyuncion que se obtiene es: p ∨ q: lavo losplatos o mi esposa esta feliz.

Conjuncion: Dadas las proposiciones p y q, definimos p ∧ q que se lee p y q,denominada la conjuncion tambien conocido como o logico, entre p y q como aquellaque es verdadera solo si p y q lo son. Su tabla de verdad corresponde a:

p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

Esta forma de la tabla de verdad se debe a que no se puede elegir entre las proposi-ciones, se deben cumplir las dos simultaneamente, por ello que la proposicion com-puesta p∧ q es cierta solo cuando ambas proposiciones simples lo son. Considerandolas proposiciones de nuestro ejemplo se tiene p ∧ q: lavo los platos y mi esposaesta feliz.


Implicacion: Dadas las proposiciones p y q, definimos la implicacion p =⇒ q,que se lee si p entonces q o bien, p implica q, como la proposicion condicional quees falsa solo si p es verdadera y q es falsa. Dicho de otra manera, una proposicionverdadera no puede llevar a concluir una proposicion falsa, y si esto es ası, la proposi-cion compuesta que parte con p y termina con q es falsa. Su tabla de verdad es lasiguiente:

p q p =⇒ qV V VV F FF V VF F V

Lo anterior, se explica por la logica del pensamiento mecanicista, esto es que a partirde una Hipotesis se obtiene una conclusion, si la hipotesis es falsa, se puede llegar auna conclusion verdadera. Sin embargo, si la hipotesis es verdadera necesariamentese debe llegar a una conclusion cierta, en caso contrario, el pensamiento deductivofue mal realizado por lo que toda la proposicion es falsa. Para las proposicionesde nuestro ejemplo se tiene que p =⇒ q: Si lavo los platos entonces mi esposaesta feliz. Es valioso mencionar que este tipo de proposicion condicional es amplia-mente utilizado en los lenguajes de programacion como C++, java y otros. Un buenejemplo de esto es el comando if.

Equivalencia o doble implicacion: Dadas las proposiciones p y q, definimosla equivalencia, p⇐⇒ q que se lee p si y solo si q o bien p es equivalente a q, comola proposicion bicondicional y que es verdadera solo si el valor de verdad p es igualal valor de verdad de q. Su tabla de verdad corresponde a:

p q p⇐⇒ qV V VV F FF V FF F V

Considerando las proposiciones simples de nuestro ejemplo se tiene que p ⇐⇒ q:lavo los platos es equivalente a mi esposa esta feliz.

Disyuncion excluyente: Dadas las proposiciones p y q, definimos la proposi-cion compuesta p∨q que se lee p o q, denominada disyuncion u o logico excluyenteentre p y q como aquella que es verdadera solo cuando una de las dos proposicioneses verdadera. Su tabla de verdad es la siguiente:

1.2. CUANTIFICADORES LOGICOS 5

p q p∨qV V FV F VF V VF F F

Lo anterior, se debe a que se nos permite optar entre una y solo una proposi-cion, por lo que basta que una sea verdadera para que todo sea verdadero, perosi ambas son verdaderas, entonces todo es falso. Dadas las proposiciones simplesde nuestro ejemplo la disyuncion excluyente que se obtiene es p∨q: lavo los platoso mi esposa esta feliz, lo que es foneticamente igual a la disyuncion usual, perosemanticamente es muy diferente.

Mediante los operadores o conectivos logicos definidos, se pueden construirotras proposiciones mas complejas y evaluarlas mediante tablas de verdad.

Dependiendo del valor de verdad que tenga la proposicion simple, o bien com-puesta formada por nuestros operadores, estas se pueden clasificar en tres tipos queson los siguientes:

1. Tautologıa, es aquella cuyo valor de verdad es siempre verdadero.

2. Contingencia, es aquella cuyo valor de verdad en ocasiones es verdadero y enotras falso.

3. Contradiccion, es aquella cuyo valor de verdad es siempre falso.

Es conveniente mencionar que los Teoremas corresponden a tautologıas, esdecir, son proposiciones que siempre son verdaderas. Algunos ejemplos de tautologıasson el Teorema de Pitagoras, el de Euclides, de Thales, entre otros. Ademas, unacontradiccion no es un mal resultado, pues basta con negar dicha proposicion y seobtiene una tautologıa.

1.2. Cuantificadores logicos

Los cuantificadores son operadores logicos cuya funcion es indicar como inter-pretar un determinado elemento de un conjunto. En esta seccion introduciremos lanotacion de pertenencia en teorıa de conjuntos, que corresponde a x ∈ A y se leex pertenece al conjunto A. Cuantificador Existencial Se denota ∃ y se lee existealgun. Este operador se suele escribir utilizando elementos en conjuntos, es decir,∃x ∈ A y su significado es Existe algun elemento x en el conjunto A. Es importante


mencionar que cuando se desea enfatizar que el elemento es unico se denota medi-ante el sımbolo ∃! y se lee existe un unico. Cuantificador Universal Se denota ∀y se lee para todo. Al igual que con el cuantificador de existencia, este cuantificadorva acompanado por expresiones de teorıa de conjuntos relacionadas con pertenencia.En terminos matematicos: ∀x ∈ A y se lee Para todo elemento x en el conjunto A.

Negacion de Cuantificadores. Dada una proposicion p con dominio D, las ne-gaciones corresponden a:

∼ [(∀x ∈ D)p(x)]⇐⇒ (∃x ∈ D) ∼ p(x)(1.1)

∼ [(∃x ∈ D)p(x)]⇐⇒ (∀x ∈ D) ∼ p(x)(1.2)

1.3. Algebra de proposiciones

El Algebra Proposicional se basa en Teoremas logicos para desarrollarse, losmas empleados son los que se listan en este seccion. Se deja a modo de ejercicioque el estudiante o autodidacta los demuestre mediante el uso de Tablas de Verdad.Para ver un ejemplo de esta tecnica puede ver la seccion de ejercicios guiados. Seanp, q y r tres proposiciones cualesquiera. Se tienen las siguientes propiedades:

Asociatividadp ∨ (q ∨ r)⇐⇒ (p ∨ q) ∨ rp ∧ (q ∧ r)⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r

Conmutatividadp ∨ q ⇐⇒ q ∨ pp ∧ q ⇐⇒ q ∧ p

Distributividadp ∧ (q ∨ r)⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)p ∨ (q ∧ r)⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Doble Negacion∼ (∼ p)⇐⇒ p

Principio de Contradiccion(p∧ ∼ p)⇐⇒ F

Principio del Tercer Excluido(p∨ ∼ p)⇐⇒ V

1.4. EJERCICIOS GUIADOS 7

Leyes de complementacion de De Morgan∼ (p ∨ q)⇐⇒∼ p∧ ∼ q∼ (p ∧ q)⇐⇒∼ p∨ ∼ q

Contra-recıproca(p =⇒ q)⇐⇒ (∼ q =⇒∼ p)

Equivalencia(p⇐⇒ q)⇐⇒ [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)]

Reduccion de la implicacion y la equivalencia(p =⇒ q)⇐⇒ (∼ p ∨ q)(p⇐⇒ q)⇐⇒ [(∼ p ∧ q) ∨ (p ∧ q)]

Transitividad del implica[(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r)] =⇒ (p =⇒ r)

Ley de Absorcionp ∨ V ⇐⇒ Vp ∧ V ⇐⇒ pp ∨ F ⇐⇒ pp ∧ F ⇐⇒ F

En logica al igual que en aritmetica, los operadores tienen distintas prioridades,en este caso (y al igual que en aritmetica) siempre se deben resolver primero lasnegaciones y los parentesis. Si no se proporcionan los parentesis de manera explıci-ta, entonces se deben resolver primero los conectivos ∨ y ∧ ambos tienen la mismaprioridad, luego se debe continuar con los conectivos =⇒ y ⇐⇒ los cuales poseenla misma prioridad entre ellos.

1.4. Ejercicios Guiados

Ejercicio 1.4.1 Desarrollar la tabla de verdad de la proposicion compuesta presen-tada a continuacion y definir a que tipo de proposicion pertenece.

(p∨ ∼ q)∧ ∼ p

dem.: Primero que todo se deben contar la cantidad de proposiciones simples paradefinir las combinaciones posibles que se tienen. En este caso solo se tienen dos


proposiciones, p y q. Luego, las combinaciones corresponden a:

p qV VV FF VF F

Luego, se desarrolla cada negacion, para continuar con los parentesis y concluir conla expresion completa. Es importante notar que se debe respetar el orden que danlos parentesis para el desarrollo de la tabla de verdad, lo que entrega:

(p ∨ ∼ q) ∧ ∼ pV V F F FV V V F FF F F F VF V V V V

La columna bajo el conectivo ∧ indica el resultado final de la proposicion, de dondese aprecia que se esta en presencia de una contingencia.

Ejercicio 1.4.2 Desarrolle la tabla de verdad para la siguiente proposicion com-puesta e indique a que tipo de proposicion corresponde.

[(p ∧ r) =⇒ (∼ q∨ ∼ p)] ∨ [(∼ r =⇒ p)⇐⇒ (q ∧ p)]

dem.: Se aborda el problema igual que en el caso anterior, es decir, se cuenta lacantidad de proposiciones simples, que en este caso son 3, por lo que se tendra 8combinaciones posibles.

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Luego, se deben desarrollar los parentesis de adentro hacia fuera, es decir, primerolos parentesis redondos, despues los cuadrados y finalmente la expresion completa,con lo que se obtiene la siguiente tabla de verdad.

1.5. EJERCICIOS PROPUESTOS 9

[(p ∧ r) =⇒ (∼ q ∨ ∼ p)] ∨ [(∼ r =⇒ p) ⇐⇒ (q ∧ p)]V V V F F F F V F V V V V V VV F F V F F F V V V V V V V VV V V V V V F V F V V F F F VV F F V V V F V V V V F F F VF F V V F V V V F V F F V F FF F F V F V V V V F F V V F FF F V V V V V V F V F F F F FF F F V V V V V V F F V F F F

La columna central bajo el conectivo ∨ indica el resultado final de la proposicion,de donde se aprecia que se esta en presencia de una tautologıa.

Ejercicio 1.4.3 Demuestre sin usar tablas de verdad que la siguiente proposiciones una tautologıa.

[(p =⇒∼ q) ∧ (∼ r ∨ q) ∧ r] =⇒∼ p

dem.:[(p =⇒∼ q) ∧ (∼ r ∨ q) ∧ r] =⇒∼ p⇐⇒ [(∼ p∨ ∼ q) ∧ (r∧ ∼ r) ∨ (r ∧ q)] =⇒∼ p⇐⇒ [(∼ p∨ ∼ q) ∧ F ∨ (r ∧ q)] =⇒∼ p⇐⇒ [(∼ p∨ ∼ q) ∧ r ∧ q] =⇒∼ p⇐⇒ [{(q∧ ∼ p) ∨ (q∧ ∼ q)} ∧ r] =⇒∼ p⇐⇒ [{(q∧ ∼ p) ∨ F} ∧ r] =⇒∼ p⇐⇒ [q∧ ∼ p ∧ r] =⇒∼ p⇐⇒∼ [q∧ ∼ p ∧ r]∨ ∼ p⇐⇒∼ q ∨ p∨ ∼ r∨ ∼ p⇐⇒ (p∨ ∼ p) ∨ (∼ q∨ ∼ r)⇐⇒ V ∨ (∼ q∨ ∼ r)⇐⇒ Vq.e.d.

1.5. Ejercicios Propuestos

1. Sean p, q, r y s proposiciones. Se sabe que s es verdadera y que

s =⇒ ((∼ p =⇒ q) ∧ (p =⇒ r))

es verdadera. Probar que q ∨ r es verdadera.


2. Sean p y q dos proposiciones cualesquiera. Demuestre utilizando las propiedadesestudiadas que: [(p ∨ q) ∧ (q =⇒ p)]⇐⇒ p

3. Sean p, q y r proposiciones. Pruebe sin usar tablas de verdad que la siguienteproposicion es una tautologıa.

(p =⇒ q) =⇒ [∼ (q ∧ p) =⇒∼ (p ∧ r)]

4. Determine el valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s si se sabe que lasiguiente proposicion es verdadera.

[s =⇒ (∼ r ∨ r)] =⇒ [∼ (p =⇒ q) ∧ s∧ ∼ r]

5. Sea A = 1, 2, 3 entonces determine si es verdadera o falsa la proposicion quese presenta a continuacion. Justifique su respuesta.

(∀x ∈ A)(∃y ∈ A) : x2 + y2 < 12

Capıtulo 2

Teorıa de Conjuntos

Juntos, pero no revueltos

2.1. Conceptos y propiedades

Un conjunto corresponde corresponde a una coleccion de elementos de un mis-mo tipo o de diferente naturaleza. Representaremos un conjunto por letras mayuscu-las del abecedario, tales como: A, B, C, etc. Sus elementos suelen ser representadospor letras minusculas a, b, c, etc.

Un conjunto puede ser expresado por comprension, notacion sintetica y simboli-ca, o por extension, cuando se detalla la lista de los elementos que conforman elconjunto. Por ejemplo: S = {x ∈ R|x ≤ 3,5} corresponde a un conjunto escrito porcompresion; y A = {1, 2, 3, 4} es un conjunto escrito por extension.

La pertenencia es la propiedad mas importante que posee un elemento x deun conjunto A, se denota mediante x ∈ A y se lee x pertenece al conjunto A. Paraespecificar que un elemento no esta en un cierto conjunto se utiliza la misma notacionpero sobre el signo ∈ se traza una lınea \.

Es importante mencionar que cuando un conjunto esta escrito por extensionno es relevante ni el orden ni la cantidad de veces que se repita algun elemento deeste. Por ejemplo, A = {1, 2, 3, 2} es igual al conjunto B = {1, 3, 3, 2, 1} que es iguala C = {1, 2, 3}.

Conjuntos NotablesNumeros NaturalesN = {1, 2, 3, ...}

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12 CAPITULO 2. TEORIA DE CONJUNTOS

Numeros CardinalesN0 = {0, 1, 2, 3, ...}

Numeros EnterosZ = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}

Numeros RacionalesQ = {x|x = a

b, a ∈ Z ∨ b ∈ N}

Numeros IrracionalesI son todos aquellos que no se pueden escribir como fraccion. Algunos ejemplos deeste tipo de numeros son π, e,

√2.

Numeros RealesR = Q ∪ I esto es los numeros reales son la union de los numeros racionales con losirracionales.

Ademas, existen los numeros imaginarios que se definen a partir de la unidad imag-inaria i cuyo valor es igual a

√−1, y los numeros complejos que se denotan C y

corresponden a la union de los numeros reales y los imaginarios.

Conjunto VacıoEl conjunto vacıo se denota mediante la letra griega φ y se lee fi. El conjunto vacıoes aquel conjunto que no contiene ningun elemento, en terminos de logica se puededefinir como x ∈ φ⇐⇒ F

Conjunto UniversoEl conjunto Universo se denota mediante la letra U , y es aquel conjunto que contienetodos los elementos de un cierto contexto o bien aquel para el cual la proposicionlogica x ∈ U es siempre verdadera.

Conjunto SingletonSe denominan conjuntos singleton a aquellos que contienen un solo elemento. Porejemplo, {1}, {φ}, {a}.

Definicion 2.1.1 Igualdad entre ConjuntosDiremos que dos conjuntos A y B son iguales, si y solo si, contienen exactamentelos mismos elementos. Matematicamente esta propiedad se escribe:

(A = B)⇐⇒ (x ∈ A⇐⇒ x ∈ B)

2.1. CONCEPTOS Y PROPIEDADES 13

En caso contrario, diremos que A es distinto de B y lo denotaremos A 6= B. De ladefinicion de igualdad es facil verificar que se cumplen las siguientes propiedades:

1. ReflexividadA = A

2. SimetrıaA = B ⇐⇒ B = A

3. Transitividad(A = B) ∧ (B = C) =⇒ (A = C)

Menos facil, aunque intuitivamente directo es:A 6= B ⇐⇒ ∃x : (x ∈ A ∧ x/ ∈ B) ∨ (x/ ∈ A ∧ x ∈ B)

Inclusion de ConjuntosDados los conjuntos A = {a, z, 1}, B = {a, c, z, 1} y C = {a, c, z, 7} es facil ver queA es una subcoleccion de B, es decir, cada elemento de A esta en B. Sin embargo,C tiene elementos de B pero uno es distinto, por lo cual C no es una subcoleccionde elementos de B. Luego, se puede decir que A esta contenido o incluido en B, oequivalentemente que A es un subconjunto de B.

Definicion 2.1.2 La inclusion de conjuntos matematicamente se define como:

A ⊆ B ⇐⇒ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)

La notacion A ⊆ B se lee A esta en B o equivalentemente A es subconjunto de B.Algunos simples ejemplos usando esta notacion: {0} ⊂ Z, Z ⊆ Q ⊆ R, {

√2} * N

este ultimo ejemplo se lee {√

2} no esta contenido en N.

Propiedades de la Inclusion

1. ReflexividadA ⊆ A

2. Conjunto Vacıo∅ ⊆ A

3. Antisimetrıa(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)⇐⇒ (A = B)

4. Transitividad(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) =⇒ (A ⊆ C)


Demostremos la propiedad antisimetrica utilizando lo que hemos aprendido de logi-ca:

[(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)]⇐⇒ [(x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)]

Ahora denominamos dos proposiciones p y q como:

p⇐⇒ (x ∈ A)

q ⇐⇒ (x ∈ B)

Luego, podemos reescribir nuestra propiedad en terminos de las proposicioneslogicas p y q aquı definidas, obteniendo:

[(x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)]⇐⇒ [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)]

de logica sabemos que [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)]⇐⇒ (p⇐⇒ q)

luego, (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B) y aplicando la definicion de igualdadentre conjuntos se obtiene: (x ∈ A⇐⇒ x ∈ B)⇐⇒ (A = B) q.e.d.

Definicion 2.1.3 CardinalidadLa cardinalidad indica el numero o cantidad de elementos de un conjunto, sea estacantidad finita o infinita. Dado un conjunto A, el cardinal de este se lo simbolizamediante |A| o ](A), y se lee cardinal del conjunto A.

Un sencillo ejemplo es que la cardinalidad de un conjunto X = {q, w, r, 4, 6} es iguala|X| = 5. Notar que si el conjunto fuera presentado como X = {q, w, r, w, 4, 6}la cardinalidad sigue siendo la misma, ya que lo que importa son los elementosdistintos, no si estos se repiten dentro del conjunto.

Definicion 2.1.4 Conjunto PotenciaEl conjunto Potencia es el conjunto de todos los subconjuntos posibles de A. Sedenota por:

P(A) = {X|X ⊆ A}

Es importante notar que P(A) es un conjunto cuyos elementos son conjuntos(una coleccion de colecciones). Por ejemplo, si A = {a, b, c}, su conjunto potenciaserıa P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Notar que |A| = 3 y|P(A)| = 8. Se puede demostrar que si un conjunto A tiene cardinalidad n, entoncessu conjunto potencia tendra 2n elementos (que son subconjuntos de A).

|A| = n =⇒ |P(A)| = 2n

2.2. OPERACIONES DE CONJUNTOS 15

2.2. Operaciones de Conjuntos

Diferencia de conjuntos.

Se define como: A \B = {x ∈ U |x ∈ A ∧ x 3 B}

BA

A\B

U

Figura 2.1: Diferencia de Conjuntos.

Diferencia simetrica.

Se define como:A4B = (A \B) ∪ (B \ A) o equivalentemente: A4B = (A ∪B) \ (A ∩B)

BA

AB

U

Figura 2.2: Diferencia Simetrica.


Complemento de conjuntos.

Se define como:Ac = U \ A⇐⇒ x ∈ U ∧ x 3 A

U

A A'

Figura 2.3: Complemento de un conjunto.

Propiedades:

1. U c = ∅

2. ∅c = U

3. (Ac)c = A

Demostremos la ultima propiedad:x ∈ (Ac)c

⇐⇒ x 3 Ac⇐⇒∼ (x ∈ U ∧ x 3 A)⇐⇒ (x 3 U ∨ x ∈ A)⇐⇒ (F ∨ x ∈ A)⇐⇒ x ∈ A

2.2. OPERACIONES DE CONJUNTOS 17

Union de Conjuntos.

Se define como:

A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}

U

A B

AB

Figura 2.4: Union de Conjuntos.

Interseccion de conjuntos.

Se define como:

A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}

BA

U

Figura 2.5: Interseccion de Conjuntos.


Notar que si A ∩B = ∅ ⇐⇒ A,B son conjuntos disjuntos.

2.3. Diagrama de Venn

El diagrama de Venn es una representacion grafica de un grupo de conjuntosdentro de su Universo.

UA B

C

Figura 2.6: Diagrama de Venn para tres conjuntos.

AGREGAR EL TIPICO EJEMPLO

2.4. Algebra de Conjuntos

Sean A,B,C conjuntos de un mismo Universo.Asociatividad.A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

ConmutatividadA ∪B = B ∪ AA ∩B = B ∩ A

DistributividadA ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

Jorge

Cross-Out

Jorge

Cross-Out

2.5. EJERCICIOS GUIADOS 19

IdempotenciaA ∪ A = AA ∩ A = A

Leyes de De Morgan(A ∪B)c = Ac ∩Bc

(A ∩B)c = Ac ∪Bc

Leyes de InclusionA ⊆ A ∪B , B ⊆ A ∪BA ∩B ⊆ A , A ∩B ⊆ B

Leyes de AbsorcionA ∪ ∅ = A , A ∩ ∅ = ∅A ∪ U = U , A ∩ U = A

2.5. Ejercicios Guiados

Ejercicio 2.5.1 Demostrar que (A ∪B) ∩Bc = A⇐⇒ A ∩B = ∅.

dem.:Resolvamos la implicacion hacia la derecha=⇒(A ∪B) ∩Bc = ABc ∩ (A ∪B) = A(Bc ∩ A) ∪ (Bc ∩B) = A(Bc ∩ A) ∪ ∅ = AA ∩Bc = A =⇒ A ⊆ Bc

=⇒ A * B =⇒ A ∩B = ∅

Resolvamos la implicacion hacia la izquierda⇐=A ∩B = ∅ =⇒ A,B son conjuntos disjuntos.=⇒ (A ∪B) ∩Bc = Aq.e.d.


Ejercicio 2.5.2 Demostrar que (Ac ∪B)c ∪ (Ac ∪Bc)c = A

dem.:(Ac ∪B)c ∪ (Ac ∪Bc)c

⇐⇒ (A ∩Bc) ∪ (A ∩B)⇐⇒ {(A ∩Bc)∪} ∩ {(A ∩Bc) ∪B}⇐⇒ (A ∪ A) ∩ (A ∪Bc) ∩ (B ∪ A) ∩ (B ∪Bc), pero B ∪Bc = U⇐⇒ A ∩ (A ∪Bc) ∩ (A ∪B)Sabemos que A ⊆ (A ∪Bc) y A ⊆ (A ∪B)=⇒ A ∩ (A ∪Bc) ∩ (A ∪B) = A q.e.d.

2.6. Ejercicios Propuestos

1. Sean A,B,C ⊆ U . Pruebe que: A4 C ⊆ (A4B) ∪ (B 4 C)

2. Sean A,B subconjuntos de un mismo universo U. Denotamos C = (A ∪ B)c.Probar que:

(A4B)4 C = A ∪B ∪ C ⇐⇒ A ∩B = ∅

3. Sean A,B,C ⊆ U . Pruebe que:

(A4B) ∪ (B 4 C) = (A ∪B ∪ C) \ (A ∩B ∩ C)

4. Simplificar:a. [C ∩ (Ac ∪Bc)] ∪ [B ∩ (A ∪ C)]b. [(A ∪B ∪ Cc) ∩ (A ∪Bc ∪ Cc)]c

Lógica y Teoría de Conjuntos.

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