logica_udec

8/7/2019 logica_udec

1/33

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142

Primer Semestre

CAPITULO ILOGICA Y CONJUNTOS.

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas

Universidad de Concepcin1


2/33

Lgica

La lgica es la herramienta con que

se construye el edificio llamado Matemtica

Conceptos primitivos

Los valores de verdad VERDADERO (V) y FALSO (F) son los conceptos

primitivos de la lgica.

Proposicin

Una proposicin es una sentencia (expresin) sujeta a un valor de verdad.

Usualmente se denotan por letras minsculas p, q, r, s, etc.

2


3/33

Lgica

Ejemplos

Cules de las siguientes afirmaciones son proposiciones ?

Es esto verdadero ?

Hoy es martes

10 es un nmero primo

El sol y el cielo

Todos los alumnos de este curso son estudiosos

La realidad de la vida

3


4/33

Lgica

Conectivos lgicos

Un conectivo lgico es una operacin que nos permite obtener nuevas

proposiciones a partir de otras dadas. Los conectivos bsicos son:

negacin () (no)

conjuncin () (y)

disyuncin () (o)

condicional () (si. . . , entonces)

bicondicional () (si y slo si)

4


5/33

Lgica

Tipos de proposiciones

Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas, vale decir, las

que no incluyen conectivos lgicos, y las que s los incluyen.

Valores posibles de dos proposiciones dadas

p q

V V

V F

F V

F F

5


6/33

Lgica

Negacin ()

Dada una proposicin p, se llama negacin de p, y se escribe p, a la

proposicin no p. Esto significa que p es V si p es F, y p es F si p

es V.

TABLA DE VERDAD

p p

V F

F V

6


7/33

Lgica

Conjuncin ()

Dadas dos proposiciones p y q, la conjuncin de ellas es la proposicin

p y q, la cual se escribe p q. La proposicin p q es V si ambas lo son,

y p q es F si al menos una de ellas lo es.

TABLA DE VERDAD p q p q

V V V

V F FF V F

F F F

7


8/33

Lgica

Disyuncin ()

Dadas dos proposiciones p y q, la disyuncin de ellas es la proposicin p

o q, la cual se escribe p q. La proposicin p q es V si al menos una

de ellas lo es, y p q es F si ambas lo son.


V V V

V F VF V V

F F F

8


9/33

Lgica

Condicional ()

Dadas dos proposiciones p y q, la condicional de ellas es la proposicin

si p entonces q, la cual se escribe p q. Aqu, p se llama antecedentey q consecuente. Tambin, p q se lee p es condicin suficiente para

q, o bien q es condicin necesaria para p. La proposicin p q es F

slo si p es V y q es F.

TABLA DE VERDAD

p q p q

V V VV F F

F V V

F F V

9


10/33

Lgica

Bicondicional ()

Dadas dos proposiciones p y q, la bicondicional de ellas es la proposicin

p si y slo si q, la cual se escribe p q. Tambin, p q se lee p escondicin necesaria y suficiente para q. La proposicin p q es V slo

si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.


V V V

V F FF V F

F F V

10


11/33

Lgica

Definiciones varias

Una proposicin se dice una:

TAUTOLOGIA (o TEOREMA LOGICO), si ella es siempre V,

cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones

simples que la componen, es decir, si su tabla de verdadslo

contiene valores V.

CONTRADICCION, si ella es siempre F.

CONTINGENCIA, si no es tautologa ni contradiccin.

11


12/33

Lgica

Implicacin lgica

Dadas dos proposiciones p y q, se dice que p implica lgicamente q, si la

proposicin p q es siempre verdadera. En tal caso se escribe p q y

se lee p implica q.

Equivalencia lgica

Dadas dos proposiciones p y q, se dice que ellas son lgicamente

equivalentes, si la proposicin p q es siempre verdadera. En tal caso

se escribep q

y se lee p

es equivalente aq

.

12


13/33

Lgica

Algunas tautologas importantes

( p) p (doble negacin)

p q q p (conmutatividad de )

p q q p (conmutatividad de )

p q q p (conmutatividad de )p (q r) (p q) r (asociatividad de )

p (q r) (p q) r (asociatividad de )

p (q r) (p q) r (asociatividad de )

13


14/33

Lgica

Algunas tautologas importantes (continuacin)

p (q r) (p q) (p r)

(distributividad de con respecto a )

p (q r) (p q) (p r)


(p q) p q (Ley de De Morgan para )

(p q) p q (Ley de De Morgan para )

(p q) p q

p q q p (contrarecproca)

p q p q

p q (p q) (q p)

p q ( p q) (p q)

14


15/33

Lgica

Funcin proposicional

Se llama funcin proposicional (o enunciado abierto) a una expresin p

que contiene una o ms variables, y tal que ella se convierte en una

proposicin lgica cuando se le asignan valores especficos a dichas

variables.

Conjunto de validez

Se llama Conjunto de validez de una funcin proposicional p, y se denota

por Vp, al conjunto de valores (o n-uplas de valores) para los cuales dicha

funcin es verdadera.

Ejercicio Analice la siguiente proposicin:

Si un nmero natural es divisible por dos y tres, entonces es divisible por

seis.15


16/33

Lgica

Cuantificadores lgicos

Para indicar que una funcin proposicional es verdadera para

cualquier elemento de un determinado conjuntoA

se usa el

smbolo , el cual se llama cuantificador universal.

se lee: para todo, cualquiera sea, para cada.

Para indicar que una funcin proposicional es verdadera paraalgunos elementos de un determinado conjunto A se usa el

smbolo , el cual se llama cuantificador existencial.

se lee: existe (un), existe al menos un, existe algn.

Para indicar que una funcin proposicional es verdadera para un

nico elemento de un determinado conjunto A se usa el smbolo !.

! se lee: existe un nico.

16


17/33

Lgica

Ms sobre cuantificadores lgicos

Sean A un conjunto y p una funcin proposicional que depende de una

variable x (en tal caso se escribe p(x)).

x A : p(x) se lee para todo x en A, p(x) es verdadera.

x A : p(x) se lee existe x en A tal que p(x) es verdadera.

Negaciones importantes

( x A : p(x) ) ( x A : p(x) )

( x A : p(x) ) ( x A : p(x) )

( ! x A : p(x) )

( x A : p(x) ) ( x A, y A, x = y : p(x) p(y) )

17


18/33

Lgica

Teoremas y demostraciones

Un teorema es una proposicin verdadera de cierta relevancia para una

teora y cuya verdad debe ser demostrada.

Algunas estructuras de teoremas

Implicacin: Si (hiptesis), entonces (tesis) (H T)

Mtodos de demostracin:

Mtodo directo.

Mtodos indirectos:

contra-recproca ( T H).

reduccin al absurdo (H T) (p p) (contradiccin).

18


19/33

Lgica

Equivalencia: (Hiptesis) si y slo si (tesis) (H T)

Mtodo de demostracin: (H T) (T H)

Equivalencia de n proposiciones:

P1 P2 Pn, n > 2

Mtodos de demostracin

Directo: P1 P2 y P2 P3, etc.

Usando transitividad: [(Pi Pj) (Pj Pk)] (Pi Pk).

(e.g., mostrar que Pi Pi+1, i = 1, ...n 1, y Pn P1).

Discreto: n N : p(n)

Mtodo de demostracin: Induccin Matemtica.

La falsedad de una proposicin se puede demostrar usando un contra-

ejemplo.

19


20/33

Lgica

Ejemplos de demostracin:

Proposicin 1: Sea a N. Si a es par entonces a2 es par.

Dem. (directa) Hiptesis: a es par

entonces a = 2n para algn n N,

entonces a2 = (2n)2 = 4n2 = 2(2n2),

entonces a2 es par (pues 2n2 N), (Q.E.D.)

Proposicin 2: Sea a N. Si a2 es par entonces a es par.

Dem. (contradiccin) se supone H T: a2 es par y a es impar.

entonces a = 2n + 1 para algn n N,

entonces a2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1,

entonces a2 es impar (por Prop. 1 y suma de nros. pares es par),

entoncesa

2 par ya

2 impar (p p

), CONTRADICCION (

)

20


21/33

Conjuntos

Llamaremos conjunto a cualquier coleccin de objetos determinados ydistintos. Los objetos los llamaremos elementos del conjunto. Dos

conjuntos importantes son el conjunto vaco, que no contiene elementos,

y el conjunto universo, que contiene todos los elementos.

Notacin

Los conjuntos: A,B, Los elementos: a,b,

a pertenece a A: a A

a no pertenece a A: a / A

Conjunto vaco:

Conjunto universo: U

21


22/33

Conjuntos

Observacin

Dado x U y un conjunto A: x A x / A ?

Si esta pregunta puede responderse siempre, entonces

se dice que A est bien definido .

Maneras de definir un conjunto

Por extensin, vale decir mostrando los elementos de A.

Ejemplo : A = N := { 1, 2, 3, } (Nmeros naturales)

Por comprensin, esto es dando una propiedad (o proposicin) quecaracterice a los elementos del conjunto.

Ejemplo : Q := a

b: a, b Z, b = 0 (Nmeros racionales)

22


23/33

Conjuntos

Inclusin de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto de B, y se

escribe A B, si todos los elementos de A estn tambin en B, esto es:

A B (x U : x A x B)

Propiedades de la inclusin

Dados A, B, C conjuntos, se tiene

A U

A A

(A B B C) A C

23


24/33

Conjuntos

Igualdad de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se dice que A y B son iguales, y se escribe

A = B, si los elementos de A y B coinciden, esto es:

A = B (A B) (B A)

Conjunto de las partes de un conjunto dado

Dado un conjunto A, se define el conjunto de las partes de A, y se denota

P(A), como el conjunto de todos los subconjuntos de A, esto es:

P(A) := { X : X A }

Notar que:

i) los elementosde P(A) son conjuntos;

ii) P(A) = ya que , A P(A).24


25/33

Conjuntos

Operaciones entre conjuntos

Sea U el conjunto universo, y sean A, B subconjuntos de U.

La diferencia de A y B es el conjunto

A B := { x U : x A x B }

(otra notacin: A \ B).El Complemento de A con respecto a U, el cual se denota Ac

(o bien A, A), es el conjunto U A, vale decir:

Ac := U A = { x U : x A }

Algunas propiedades

Para todo x U se tiene: x A x Ac

c = U Uc =

(Ac)c = A 25


26/33

Conjuntos

Otras operaciones entre conjuntos

Sea U el conjunto universo, y sean A, B subconjuntos de U.

La interseccin de A y B, la cual se denota A B, es el conjunto de

todos los elementos comunes a A y B, esto es

A B := { x U : x A x B }

La unin de A y B, la cual se denota A B, es el conjunto de todos

los elementos que estn en A o en B, esto es

A B := { x U : x A x B }

26


27/33

Conjuntos

Propiedades de y

A A = A , A A = A (idempotencia)

A B = B A , A B = B A (conmutatividad de y )A (B C) = (A B) C (asociatividad de )

A (B C) = (A B) C (asociatividad de )

A (B C) = (A B) (A C)(distributividad de con respecto a )

A (B C) = (A B) (A C)


(A B)c = Ac Bc (Ley de De Morgan)

(A B)c = Ac Bc (Ley de De Morgan)

27


28/33

Conjuntos

Ms definiciones

Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si y slo si A B = .

Dados dos conjuntos no vacos A y B, se define el ProductoCartesiano de ellos, el cual se denota por A B, como el conjunto

de todos los pares ordenados (a, b) tales que a pertenece a A y b

pertenece a B, esto es

A B := { (a, b) : a A b B }

Dados n conjuntos no vacos A1, A2,...,An, se define el Producto

Cartesiano de ellos, el cual se denota por A1 A2 An, comoel conjunto de todas las n-uplas ordenadas (a1, a2,...,an) tales que

ai pertenece a Ai para cada i {1,...,n}, esto es

A1 A2 An := { (a1, a2,...,an) : ai Ai , i {1,...,n} }

28


29/33

Conjuntos

Particin de un conjunto

Sean A1, A2,...,An subconjuntos de un conjunto B. Se dice que

{ A1, A2,...,An } es una PARTICION de B si estos conjuntos son no

vacos, disjuntos dos a dos y su unin es el conjunto B, vale decir si

y slo si:

Ai = , para cada i {1,...,n}.

Ai Aj = para cada i = j.

n

i=1Ai = B.

29


30/33

Conjuntos

Cardinalidad

El nmero de elementos de un conjunto finito A se llama cardinalidad de

A y se denota |A|.

Propiedades

Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces |A B| = |A| + |B|.Si A y B son conjuntos arbitrarios, entonces

|A B| = |A| + |B| |A B|.

Si A, B y C son conjuntos arbitrarios, entonces

|AB C| = |A|+ |B|+ |C||AB||AC||B C|+ |AB C| .

30


31/33

Ejemplos

Ejemplo 1

Considere la siguiente proposicin:

p : ( > 0)( m N)

1m

1m

+ 1 <

.

a) Niegue la proposicin p.

b) Determine si la proposicin p es verdadera o falsa.

Solucin

a) p : ( > 0)(N N)

1N

1N

+ 1

.

b) La proposicin es falsa, basta considerar = 1, pues, para todo

N N

1N

1 = 1N

+ 1 1 = .

31


32/33

Ejemplos

Ejemplo 2

Sean A y B subconjuntos del universo U.

a) Pruebe que Ac

Bc

(A B)c

.b) Por qu no es verdadera la igualdad?.

32


33/33

Ejemplos

Solucin

a) Probemos que Ac Bc (A B)c.

Sea (x, y) Ac

Bc

.

(x, y) Ac Bc = x Ac y Bc por def. de producto cartesiano

= x / A y / B por definicin de complemento

= (x, y) / A B por def. de producto cartesiano

= (x, y) (A B)c por definicin de complemento

Ac Bc (A B)c.

b) La igualdad no es vlida, basta considerar por ejemplo

U = {1, 2, 3}, A = {1, 2} = B.

logica_udec

Documents

Transcript of logica_udec