UNIDAD1.FUNDAMENTOSDELGICA.

MAPACONCEPTUAL

LGICAMATEMTICA

Cienciadelarazn

AccinPedaggica

HabilidadesdePensamiento Aprendizaje

Autnomo.AutogestinFormativa

NuevosSaberse

EstrategiasPedaggica

s

Anlisis

Lgica

Induccin

Deduccin

Razonamiento

Inferencia

TeoradeConjuntos

Sntesis

Abstraccin

Induccinydeduccin

Comparacin

Como

AportaEs

DesarrollaGenera

Quedesarrollan

Como

Como

Para

Comprender

UNIDAD1.FUNDAMENTOSDELGICA.

Competencias:

Relacionareinterpretarexpresionesdellenguajesimblicoynatural,enlaformulacinyrepresentacindeestructuraslgicas,entrminosdevariablesyconectoreslgicos,siendoestosloselementosestructuralesdelalgicaproposicional ydeestamanera, articular lasdiferentesformasdecomunicacinendiversoscontextos.

Interpretareidentificar, enformaclara, laestructurayfundamentoconceptualdelosmtodosdeinferencialgicaporinduccinydeduccin,enformulaciones ydemostracionesderazonamientosvlidos, ensituacionesespecficas,derivadasdelestudiodecontextos,dondeespertinentesuaplicabilidad.

PRINCIPIOSDELGICA.

1.1 CONCEPTOYPROPSITODELADELGICA.

Lalgicaeslacienciaqueexponelasleyes,modos,formasyestructurasdelconocimientoinferido.1

Permiteobtenerconclusiones,apartirdeproposicionesadmitidascomoverdaderas, llamadaspremisas2.Encuantoal temadeinters, la lgicaMatemticaesaquellaque operaelconocimiento, utilizandoun lenguajesimblicoartificial3 yhaciendo abstraccindeloscontenidos4.

Lasformasdelpensamientoson:

1.1.1 LaInferencialgica

Eselestudiodelavalidezdelosrazonamientos. Sedice queeslgicaformalporqueseocupadelasformasoestructurasqueadoptaelraciociniostaseclasificaen:

Inferenciadeductiva Inferenciainductiva

Elprincipalobjetivode la lgica formal esevaluar la fiabilidadde las inferencias, investigar esquemasderazonamientoque llevan,desdelaspremisasalaconclusin,enunargumentolgicoparaello, sedeben, demaneraimprescindible,distinguirdostiposdeinferencia,cadaunodeloscualestieneunascaractersticasespecialesyunoscriteriosdecorreccin sedistuinguen las inferenciasdeductivas ylas inferenciasinductivas.

1 DiccionarioRealAcademiaEspaola2 Cadaunadelasdosprimerasproposicionesdelsilogismo,dedondeseinfiereysacalaconclusin.3 Simbologautilizadapararepresentar demaneraartificiallalgicaentrminosmatemticosparasuanlisis4 Separarpormediodeunaoperacinintelectuallascualidadesdeun conocimientoparaconsiderarlasaisladamenteoparaconsiderarelmismoobjetoensupuraesenciaonocin.

Conceptos: PensamientosexpresadosconpalabrasJuicios:Operacindelentendimiento,queconsisteencomparardosideasparaconocerydeterminarsusrelaciones.

Raciocinios: Usarlaraznparaconoceryjuzgar.

1.1.1.1 Inferenciadeductiva

Esenlaque,unargumentoaseguraquelaverdaddesuspremisas,garantiza laverdaddesuconclusin.Elrazonamientodeductivoproporcionacriteriosdecorreccinmuyaltos.

Lainferenciadeductivalograsuobjetivocuandosuspremisasproporcionanunapoyocompletoeindudableparalaconclusinalaquesellega,oseaqueesinconsistenteoabsurdo, suponer que demanerasimultanea, laverdaddeunaspremisasylafalsedaddelaconclusin.

Cualquierargumentoque se analice ocumpleconestecriterio,onolocumplelavalidezdelainferenciasdeductivasesunasuntode todoonadanopudeseramedias.Lainferenciadeductiva,permitedeterminarconclusionesseguras,yendo delogeneralaloparticular.

1.1.1.2 Inferenciainductiva

Se dice que hay inferencia inductiva cuando un argumento nicamente asegura que la verdad de sus premisas hace ms probable que laconclusin sea verdadera. Un argumento inductivo tiene xito cuando las premisas proporcionan alguna evidencia que apoye la verdad de suconclusin.Lainferenciainductiva va delopart icularhacialogeneral.

Parasaber siest anteunargumento deductivo o inductivo, existeunaclavesielargumentoposeeuntipodeinferenciaenlaquesegarantizalaverdaddelaconclusin, apartirdelaverdaddelaspremisas,onose garantiza, steserdeductivo delocontrario, esinductivo.

Unargumentoes inductivo cuandoposeeuntipodeinferencia,lacualsloaseguralaverdaddelaconclusin, apartirdelaverdaddelaspremisas.

1.2.HISTORIAYCLASIFICACIN.

1.2.1.Historia

HistoriayClasificacindelaLgica

1.2.2.Clasificacindelalgica

Periodo1 (LgicaClsica,tradicionaloAristotlica)SigloIVa.C. HastamediadosSigloXIX.SistematizadaporAristteles.Seplantearonlastresleyesdelpensamiento:

PrincipiodelaidentidadLanocontradiccinLaexclusin

Periodo 2 (Lgicasimblica,matemticaomoderna)SigloXIX,1850 hastanuestrosdas.SiendosusrepresentantesmssobresalientesGeorgeBoole,AugustMorgan,G.Frege,BertrandRussell,A.WhitheheadyKartGodel.Ysusprincipalesaportesson:

AlgebradeBooleLeyesdeMorgan Representacinlgicadel

ConocimientoenestructurasSimples

RepresentacindelConocimiento

REPRESENTACINDELALGICA

2.1 LENGUAJESLGICOS.

Unlenguajeesunconjuntodesmbolos,denominadosalfabetos,quesirvenpararepresentaryexpresarunaidea(latin,mandarin,rabe)yreglasconlasqueseadministrayseordenaparaquetengansentido.

.

Existendosclasesdelenguajes,los lenguajesnaturales(elfrancs,ingls,elcastellanoyotros)yloslenguajesformales(eldelasmatemticas,lalgica,laprogramacin)

Lenguajes

Son

Smbolos Reglas

OrdenadosQue

Representan Expresan

Idea

y

y

una

Lgica

Clasificacin Caractersticas

Tradicional FormaloSimblica Claridad GeneralidadPrecisin

Usodesignos

Mediante

Familiarizacindeelementos

Lenguajesimblico

UsFcil

la

Interpretarydistinguirelrazonamiento

Permite

Investiga,desarrollay

establecereglas

Permite

en

.

2.1.1 LENGUAJENATURAL

Unlenguajeesnaturalcuandonoesunlenguajeconstruidooartificialesunlenguajecreadoporlanecesidadhumanadecomunicarse.

Unejemploesellenguajeinglesoelespaol,loscualessonunconjuntodetodaslasoracioneseninglesoenespaoldichasoracionessecreandeformanatural,apartirdelaexperienciayprcticadelhombreytienenconsistenciaycoexistenciaconlsonorganizadasautomticamente,conformealanecesidaddecomunicarsedeste.

2.2.1 Propiedades

Lasprincipalespropiedadesdeloslenguajesnaturalesson:

1. Enriquecerprogresivamentealserhumano,conelobjetodequestesecomuniqueyexpresesusideasyraciocinios.2. Sondecarcterexpresivo,debidoalariquezadelcomponentesemnticoquetienen.Unaevidenciadeesto, sonlosmuchoslenguajes

existentes(espaol,ingles,francs,alemn,etc.)3. Nopuedenserformalizadoscompletamente.

2.1.2 LenguajeFormal

Unlenguajeesformalcuandotienereglasyaxiomasdeformacin,ydanlugarallenguajeartificial.Unlenguajeformalesunconjuntodeoraciones,llamadasfrmulas o expresionesbienformadas(fbfs),lascualessepuedenobtenerdelaaplicacindeleyes.

Unadesuscaractersticaseselpoderserdefinidocompletamente,sinquehayanecesidaddedarleinterpretacinalguna.Sonexactosenloquequierenrepresentarunejemplode stoesellenguajepararepresentarlamatemtica,lalgicaolaprogramacindecomputadores.

Paradefinirunlenguajeformalserequiere:

Establecerelconjuntodesmbolosdellenguaje. Establecerlasreglasdeformacinquedeterminanqusecuenciasdesmboloslenguajesernfrmulasbienformadas(fbfs).

ClasificacinLenguajes

Natur ales Formales

Noconstruidos

SonNoArtificiales Sonartificiales

Utilizadosparacomunicacin,

Nosepuedenformalizar

Sonconstruidos

Sedefinentotalmente

Nodefinidosporsucomplejidad Sonprecisos

Puedenformalizarse

Son

Denominarlosconjuntosdesmbolosydereglas,sinrecurrirainterpretacionesdecualquiertipo.

Luegodedefinirlosedebe:

Establecerlanocindeinterpretacindellenguaje. Especificarparaellenguaje, unmecanismodededuccinodemostracindelmismo.

Propiedades

Unapalabraenunlenguajeformalmantieneentodomomentoelmismosignificado,sinimportarelcontextoosuusoelcuales determinadoporlasintaxis. Lasrelaciones =, , , , ,>,

2.1.3 Teora deModelos

Parainterpretarunlenguajeformal,seasignansignificadosasussmbolosoasusfrmulasyserecurrealateorademodelos,lacualpermiteinterpretarunlenguajeformal,veamos:

2.1.4.Demostracin de unLenguajeFormal

Lademostracineslaformapormediodelacualelautordeunlenguajeformalmuestralavalidezdesulenguajeysucoherencia.Unmecanismodededuccinestacompuestopor:

AxiomasyreglasdeinferenciaPorslodeaxiomasPorslodereglasdeinferencia.

2.1.5.LaSemitica y suImportancia dentro de laLgica

Recuerde queloslenguajesestnconstituidosporunconjuntodesmbolosyotrodereglassuestudiolohacelacienciadela semitica,lacualsedivideentresramas:

LaSintaxis:estudia lasrelacionesdelossmbolosentres,independientementedelosobjetosqueellospuedandesignares,enconsecuencia,lateoradelaconstruccindellenguaje.5

Enelcontextodel trabajosintctico, estasociadoconlenguajesformalesoconsistemasformales, sinunareferenciaesencialasuinterpretacin.

LaSemntica:estudialasrelacionesentrelossignosylosobjetosqueellosdesignan.6 Paraefectosdeesteobjetivo,seasociasemnticaconlainterpretacindeloslenguajesformales,oseaconlateorademodelos.

LaPragmtica: estudialasrelacionesentrelossmbolosylossujetosquelosutilizan.7

5 DiccionarioRealAcademiaEspaola7 7DiccionarioRealAcademiaEspaola

Ejemplo 2

Alinterpretarellenguajeformal X delasiguienteforma:&'significaeldgitodecimal1' y $'significaeldgitodecimal0'.Cadafrmulacorresponder aunacifradecimalcompuestaporunosyceros,

comenzandosiempreenuno.

Sisetiene &&&& interpretadosegnlateorademodelos: 1111, sisetiene &$$ sto,interpretadoser 100

Acontinuacinaparece unejemplodecmofuncionalasemitica:

2.1.6 Metateora de laLgica

En sntesis, es la teora que estudia los lenguajes o sistemas formales y sus interpretaciones. Su objetivo es estudiar los problemas deconsistencia8, completitud9, decidibilidad10 e independencia de conjuntos de frmulas. La teora de modelos y la teora de la demostracinpertenecenalametateora.

2.1.7 Uso y Mencin dentro delLenguaje

Antesdeempezarseriamenteelestudiodelalgica, sedebe tenerclaroladiferenciaentrelaspalabrasuso'ymencin' , ejemplo:

Sehacemencindeunobjetoenunciando,algoacercadel.Hayvariasformasparaindicarquesemencionaunobjeto:encerrandoelobjetoentrecomillasosubrayndolo.Seusaunobjetoo palabra, cuandostese incorporaauna oracin,dandosusignificado o representandounasituacinsobreelobjeto.

Allenguajeutilizadoparadescribirloslenguajesobjeto,seledesigna metalenguaje11

8 Solidezycoherenciaentreloselementosdeunlenguaje,vistoestecomounconjunto.9 Serefieraalocompletoqueesunlenguaje,entrminosdesuestructura10 Caracterstica deunlenguajedepermitir formarjuiciosdefinitivos sobrealgodudosoo contestable

11 Lenguajeutilizadoparadescribirunsistemadelenguajedeprogramacin. ||Lenguajequeseusaparahablardellenguaje.DiccionarioRealAcademiaEspaola

Ejemplo4

1. Bogot esunapalabraaguda.

2. Bogotesunaciudad.

Enelejercicio 1,sedicequelapalabraBogot'hasidomencionada.Yenelejercicio 2,sedicequelapalabraBogot'hasidousada.

Ejemplo 3(TomadodeCursoLgicamatemtica http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic.AlbertoJaramilloAtehorta)

1. En el lenguaje ordinario, una regla de la sintctica del lenguaje castellano, prohbe quecualquierpalabracomienceconrr.

2. Elenunciado (a+b)/c indicaque luegodesumaraybsedebedividiresteresultadoporb.Rta. Estecasocorrespondealapragmtica.

3. Queuna frmuladenotenmeros.Rta.EsunapropiedadSemntica: La expresin que unafrmula denote nmeros' puede sustituirsemediante la expresin quepueda interpretarsequeunafrmuladenotaunnmero.

4. Queuna frmula seaverdadera.Rta.Esunapropiedadsemntica yaquepuede sustituirsemediantelaexpresinquepuedeinterpretarsequeunafrmulaexpresealgoverdadero

2.1.8 Demostracin deLenguajesFormales

Aunacadenadefrmulasdeunlenguajeformalquesatisfacenciertos requisitossintcticosyquenoposeesignificadoalguno,seledenominademostracin.Estaesunaparteofragmentodesmbolos,querepresentanysignificanalgo,yqueseexpresanenmetalenguaje,conelfindejustificarunenunciadoydarlevalidez.

Un teoremadeun lenguaje formalesuna frmulaquesatisfaceciertos requisitossintcticosy queno tienesignificadoalguno,mientrasqueunteoremaacercadeunlenguajeformal (metateorema), esunenunciadoverdadero, acercadelsistema.expresadoenelmetalenguaje.

2.2 SIMBOLIZACIN:PROPOSICIONES.

Elreaqueestudialasproposicionesysusoperacionessedenomina Clculo Proposicional.

La simbolizacin o representacin de la lgica, requiere de un lenguaje preciso, que estructura, de manera dinmica, rigurosa y a prueba deinconsistencias, losprocesosyoperacionesdelalgicamatemtica.

2.2.1 Ellenguaje

Esunconjuntodeelementosdeesencialimportanciaparaelserhumano,ellenguajeeselmedioparaenunciarhechosodescribirsituacionessto lohacecomplejo.

Lasproposicionessonfrasesquesonverdaderasofalsasraznporlacual,laspreguntasnotienensentidosisonverdaderasofalsas.Veamosunosejemplos:

ElLenguaje

Hacerpreguntas

Sirvepara

Expresarideas Darrdenes

HacersolicitudesHacerafirmaciones

Lasproposicionessurgendelasafirmacionesquesehacenydelinterrogantedesisononoverdaderas.Recuerdequelalgicaseocupadelosprocesosquebuscanlaverdadofalsedaddelasafirmacionesque sehacen raznporlacual,lalgicaestudiaenunciados, afindedeterminarsuvalidezy crear, apartirdeestosnuevosenunciados,paraconstruirelconocimiento.

Unaproposicinoenunciado lgico,esuna fraseuoracinhechaenmodo indicativoyquepuedeserverdaderao falsa.A losvaloresquepuedetomar,selesllamavaloresdeverdad (verdadero(V)oelbolanos(1)yfalso(F)o(0))

Elobjetivodelrazonamientoesgenerarunaconclusinapartirdeunaspremisas(proposiciones),utilizandoreglasdeinferenciaylalgicaseocupa de la validez de los razonamientos, no de la verdad o falsedad de stos. Todo razonamiento tiene un contenido, y ste tiene forma,veamos:

Ejemplo6

Lafrase"5=5"esunenunciado, yaque,oesfalsooesverdadero.Alserunenunciadoverdadero, suvalordeverdadesV.

"Llovermaana", esunaproposicin.Esfalsaoverdadera,dependiendodeloquepasemaana. "SisoySimnBolvar,entoncesnosoySimnBolvar".Esteenunciado,comosevermsadelante,equivaleal

enunciado"NosoySimnBolvar".Comoelhablantenoes SimnBolvar,esunenunciadoverdadero. "Haz losejerciciosde lgica", no es un enunciado, puesto queno se lepuedeasignarningnvalor de verdad

(Estenmodoimperativo,esunaorden,ynounafrasedeclarativa) "Hazelamorynolaguerra"tampocoesunenunciado,puestoquenoselepuedeasignarningnvalordeverdad

(Tambinestenmodoimperativo,esunaorden,ynounafrasedeclarativa) Elperro"noesunaproposicin,puestoquenoesnisiquieraunafrasecompleta(almenosenestecontexto).,

Ejemplo 5

Alguien desea apoyarlacausaquebuscapazentreloscolombianos?

Elcolorrojoesmejorqueelcolorazul?

Cuandoserlatutoradelgica?

Las preguntas antesplanteadas nosonniverdaderasnifalsas. Veamosotrosejemplos:

Qudeseahquieto!

Noloquieroverahi!

Sisediligencian losespaciosvacosconletrasmaysculasenelejemploanterior,dichasletras representarnelcontenidodelasproposicionesylaexpresinquedar:

Si P entoncesno Q

La lgica slo analiza la forma de los razonamientos y se le denomina lgica formal o ciencia de las formas vlidas del razonamiento pararepresentarlaytrabajarconella, seutilizaelclculoproposicional.

2.2.2.CalculoProposicional

Sirvepararepresentarlalgicaformalyrealizarlasoperacionesdelasproposiciones,afindevalidarlas.Noolvidequecadaproposicintieneunaformalgicaalacual seledaunnombre.

Lasproposicionesseclasificanen:

Los trminosdeenlace12son:

Veamoselsiguienteejemplo:

12 Sonaquellasletrasosmbolosquepermitenunirdosomsproposicionessinperderelsentidolgico.

Ejemplo7

Si lamaanaesmuyfra,entoncesno entrenar.

Si estudiolalgica,entoncesno tendrproblemasparadesarrollarmisideas.

Estasson2 proposicionesdecontenidosdiferentes.Pero formaeslamisma. Ysuestructuraserepresenta:Si______,entoncesno_____

Simples: cuando en ellas no interviene ningunaconectiva lgica o trmino de enlace (y, o, no, si...entonces...,si yslosi)Compuesta: Si se juntan una o varias proposicionessimplesconuntrminodeenlace

"y""o""si...entonces""siyslosi"

Yse usanparaligardosproposiciones,encambioeltrminodeenlace"no"seagregaaunasolaproposicin.

Ejemplo8

EstamosenelmesdediciembreSevaacelebrarlanavidad

Ambas proposicionessonsimples.Yconestasproposicionessepuedenconstruirproposicionescompuestas:

Estamosenelmesdediciembre y sevaacelebrarlanavidad.Estamosenelmesdediciembre o sevaacelebrarlanavidad.

Siestamosenelmesdediciembre,entonces sevaacelebrarlanavidad.No estamosenelmesdediciembre.

La forma de una proposicin compuesta se determina segn el trmino de enlace utilizado. En una proposicin compuesta las proposicionessimplessepuedensustituirporotrasproposicionessimplesysi seconserva.

Pararepresentarunaproposicin, seutilizan letrasmaysculas (P,Q,R,etc).Veamoselejemplo10:

Tambinseusansmbolospararepresentarlostrminosdeenlace:

ConectivootrminodeEnlace Smboloquelorepresenta

Parala"y" ^ Parala"o" vParael"no" ~ Parael"si...entonces..." Parael"siyslosi"

Seutilizaelsmbolo

Lasproposicionescompuestasbsicasson:

Laconjuncin,lacualsedacuandoeltrminodeenlaceesy.Ladisyuncin dadacuandoeltrminodeenlaceeso.Laimplicacinocondicional dadacuandoeltrminodeenlaceessientonces.Laequivalenciabicondicionaldadacuandoeltermino deenlaceessiysolosi.Ladisyuncinexclusivadadacuandoelconectivoesoperonoambas.

ConectivootrminodeEnlace Smboloquelorepresenta

LecturaProposicinCompuesta

"y" Conjuncin"o" Disyuncin"no" ~ Negacin

"si...entonces..." Condicional"siyslosi" Bicondicional

"operonoambas" Disyuncinexclusiva

Cuandolasproposicionestienenmsdeuntrminodeenlace,hayqueindicarlamaneradeagruparlas,yaquecadaformadeagrupacin,tienesupropiosignificado.Enlgica, laagrupacinsehaceconparntesisocorchetes.Veamos:

Ejemplo 9

P: Estamosenelmesdediciembre.

Q:Sevaacelebrarlanavidad.

Laproposicin: Estamosenelmesdediciembre y sevaacelebrarlanavidad

Se simbolizaas: Py Q

Ladominanciauordendelosdiversosconectivoseslasiguientelacondicionalyelbicondicional(y )dominanalaconjuncindisyuncin,disyuncinexclusiva(^, v, ) locual indicaqueprimerose resuelveyaseaa laderechao izquierdade losconectivos(y)y luegoseresuelven estosconectivoscomotal.

La otra proposicin especial es la negacin dada por el no y representada por P sta se utiliza para negar proposiciones simples ycompuestas, y cambiaelvalordeverdaddelaproposicin. P^ Q sunegacines (P^ Q)

2.2.3.Signosdefinidos

Cuandoyasehanestablecidolasreglasdeformacindelasfrmulassepuedenagregarabreviacionesparasimplificarsuescritura.Unasdelasabreviacionesexistentessonlossignosdefinidos,loscualespordemostracin, sonequivalentesconlafrmulaqueabrevian:

Laconjuncinlgica: lafrmula (RvS)sedenotaabreviadamentecomo R ^ Sysellama conjuncinlgica deRySy selee"RyS".

Elcondicional: lafrmula RvS sedenotacomo R S ysellama condicional deRyS.Lafiguralgicadelcondicional,respondeaconectardosproposicionesmedianteelesquema"si...entonces".Paraleeruna

TrminosdeEnlaceoConectivosLgicosSirvenpara

Unir Relacionar Operacionalizar

Proposiciones

Y SiySoloSi SiEntonces O

las

Yson

Ejemplo10

Sielequipodefootball tienedelanterosregulares,o sielrivaltienebuenadefensa,entonceselequiponomarcaraungol.

Estetextosesimbolizadelasiguienteforma: P:elequipodefootball tienedelanterosregulares

Q:elrivaltienebuenadefensa.

R:elequiponomarcaraungol.

Laproposicincompuestaes: P v (QR) Lacualtieneunsentidodistintodelaproposicin (P v Q)R)

IngresealapginaWebhttp://www.cibernous.com/logica/ Allencontraraunsimuladorquelepermitir ingresaryverel resultadodeestaproposicin(Sutabladeverdadyeltipodefuncinquees)

proposicindelaformaRS,sedice: SiRentoncesS.LafrmulaRsedenominaantecedente,ylaS,consecuente.Cuandoelcondicionaleslgicamenteverdadero, existeimplicacinyselee RimplicaS,lacualsedenota R S

Elbicondicional: lafrmula (RS)^(SR) sedenotapor R S ysellama bicondicional deRyS. Estaexpresinselee R siyslosi S

Cuandoelbicondicionalesverdadero,hay equivalencia. Selee: RequivaleaS. Denota R S

TABLADESIMPLIFICACIN, UTILIZANDOSIGNOSDEFINIDOS

Nombre Estructuradefinida SimplificacinConjuncinlgica (RvS) R^ SCondicional RvS RSBicondicional (RS)^ (SR) RS

Nota:Sedebe tenerpresentequeelnombredesignosdefinidos,seleshadadoporqueatodafrmulaquetengadichaestructura,selepodrdeinmediato,aplicarlasimplificacincorrespondiente.Veamosunpardeejemplos:

Ejemplo11(TomadodeCursoLgicamatemticahttp://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic.AlbertoJaramilloAtehorta)

Analizarlasiguientefrmulafrmulaypormediodesignosdefinidos,simplificarla:

(((XA)v (XB)))v(XAB)

Pararesolveresteejercicio,Identifiquesilaestructuracorrespondeaalguno delossignosdefinidos:

Sianalizalapartealaizquierdadelo, tienelaformadelaconjuncinlgica(R v S) ysepuede simplificar,quedandodelasiguientemanera: (XA)^ (XB). Demaneracompletaquedara:

((XA)^(XB))v(XAB)

Ysianalizaesta frmulafrmula, tienelaformadela condicional:RvS.Aplicandoestasimplificacin setendra:((XA)^ (XB))(XAB)

IngresealapginaWebhttp://www.cibernous.com/logica/ Allencontrarunsimuladorquelepermitiringresaryverelresultadodeestaproposicin(Sutabladeverdadyeltipodefuncinquees)

2.3 TABLASDEVERDAD.

Sonlaformaderepresentarydevalidarlaveracidaddeunaomsproposiciones,segnlos valoresdeverdad posibles.Losvaloresdeverdadsonbinarios,yaqueslopuedenserdetipopositivoonegativo,Verdaderoofalso,SioNo,1o0.

2.3.1 InterpretacinenellenguajeordinariodelastablasdeVerdad

Paraconstruireinterpretarlastablasdeverdad,seanalizanlosconectivosotrminosdeenlaceosignoslgicos(Negacin,Y,O,SiEntoncesySiySloSi (, v,^,,).

Sepuedeestablecercorrespondenciaentrelosresultadosdelastablasdeverdadylosprocesosdela deduccin enlgicamatemtica,. haciendoquelastablasdeverdadseanunmtododedecisinquepermitevalidarsiunaproposicinesonounteorema.Veamoslasequivalenciasdelos dos valoresposibles:

ValordeVerdad EquivalenciaBinaria EquivalencialenguajenaturalVerdadero(V) 1 SiFalso(F) 0 No

2.3.2.Funcioneslgicasysurepresentacinentablasdeverdad

LaNegacin(No):cuyovalorcorrespondenalvalorcontrariodelaproposicinnegada.Seescribe P ~P y se lee:NegacindeP, veamossutabladeverdad:

P Q1 00 1

SignosDefinidos

Usadospara

Abreviar Simplificar

FrmulasdelaLgicaFormal

SusformassonLaConjuncinLgica,quesimplificalaforma (RvS) en R^S

ElCondicional,quesimplificalaformaRvS enR S

Elbicondicional,quesimplificalaforma (R S)^(SR) en R S

Disyuncin(o v):DenominadaOR,suvaloresnegativoo falsoslocuandoel valordelasproposicioneso frmulasvaloradasesFalso.Seescribe: PvQ y se leecomo: PoQ, sutabladeverdadquedadelasiguientemanera:

P Q Pv Q1 1 11 0 10 1 10 0 0

DisyuncinExclusiva(): DenominadaXOR,suvalores negativoofalso, slosilasproposicionesofrmulasvaloradastienenelmismovalordeverdad,obien, ambasfalsasoambasverdaderas.Sutabladeverdadqueda:

P Q P Q1 1 01 0 10 1 10 0 0

Conjuncin(y^ ):DenominadaAND,suvalorespositivooverdaderosolamentecuandoelvalordelasproposicionesofrmulasvaloradasesVerdadero. Seescribe: P^Q y se lee: PyQ. Latabladeverdadquedaas:

P Q P^ Q1 1 11 0 00 1 00 0 0

ImplicacinoCondicional(SiEntonces ): Suvalorsolamentees falso cuandolaprimeraproposicino frmula,denominada antecedenteohiptesis esverdaderaylasegundaproposicino frmula denominada, consecuenteotesis esfalsa. Seescribe: PQ ylaleemos: PimplicaQ SiP,entoncesQ. Sutabladeverdadeslasiguiente:

P Q P Q1 1 11 0 00 1 10 0 1

EquivalenciaoBicondicional(Siysolosi ):Suvaloresverdaderocuandoambasproposicioneso frmulasvaloradastienenelmismovalordeverdadobien, ambasfalsas oambasverdaderas.Seescribe: P Q yselee: PsiyslosiQPesnecesarioysuficienteparaQ.Sutabladeverdadqueda:

P Q PQ1 1 11 0 00 1 00 0 1

AntecedenteoHiptesis

Consecuenteotesis

2.3.3.Funcionesoproposicionescompuestas

Tautologas:Sisonproposicionescuyovalorsiempreesverdaderoparacualquiervalordeverdaddelasproposicionessimplesofrmulas.Portanto,la ltimacolumna delatabladeverdadestarformadanicamenteporunos.Unatautolgicaesuna identidadlgica,oseaquesiempreesverdadera.

Contradicciones:sisonlanegacindelastautologas,luegosonproposicionesfalsas,cualquieraqueseaelvalordeverdaddelasproposicionessimpleso frmulas.Concluyendolaltimacolumnadelatabladeverdad deunacontradiccin, estarformadanicamenteporceros.

Contingencias:sisonproposiciones cuyovalorfinalest compuestoporvaloresdeverdadfalsosyverdaderos,laltimacolumnadesutabladeverdadestarformadaporcerosyunos.

UnaContingenciaes unaecuacin lgicastasadquierensu valordeverdadparadeterminadascombinacionesdevaloresdeverdad de lasproposicionessimpleso frmulas.

TablasdeVerdad

Formasderepresentar

Proposiciones

Yvalidarlaveracidad

Son

Las

Operacionescon

Proposiciones

Disyuncin

DisyuncinExclusiva

Conjuncin

Implicacin

Negacin

Equivalencia

Simples

CompuestaClases

ProposicionesCompuestas

Tautolgicas Contradicciones Contingencias

ValorsiempreVerdadero ValorsiempreFalso ValorVerdaderoyFalso

2.4RAZONAMIENTOS.

Unodelospropsitosmsimportantesdeldesarrollodeestecursoesaprenderypracticarelprocesoderazonamientodeductivoeneldesarrollodelpensamientolgicomatemticodelosparticipantes, debidoaquelavidadehoyexigeseranalticos,investigativosyporende, constructoresdenuevoconocimiento. Acontinuacinaparecen algunosconceptosquepermitencomprenderestetema.

2.4.1.Teoradeductiva

Lateoradeductivaeslaquesefundamentaenlosprincipiosdelasdefiniciones13 ylasdemostraciones14.

Paradesarrollarla sedeben cumplirlassiguientescondiciones:

1. Aprenderaenunciarconclaridadlostrminosiniciales, conloscuales sepretende definirlostrminosdelateora.2. Aprenderaenunciarclaramentelasrelacionesiniciales,conlasquesebuscadefinirlasdemsrelacionesporlogeneral,sonrelaciones

enlasquelossereshumanosfundamentamosnuestroconocimiento.3. Aprenderadetallarconclaridadlasproposicionesiniciales(simples),conlasquenosproponemosdemostrarlasdemsproposicionesde

lateora.Comnmente sw denominan Axiomasysuobjetivoesrelacionarlostrminosinicialesylasrelacionesiniciales.4. Todaslasrelacionesenunciadasentrelostrminosdebenserrelacioneslgicas,ydebenpermanecerindependientesdelsentidoconcreto

olainterpretacinqueseledealostrminos.5. Enlasdemostracionesslodebenintervenirrelacionesenunciadas.

Cuandosedanestascondiciones, lateoradeductivasedagraciasaquepresentacontenidosqueconservansusentidoysuverdadderivadosdelaexperiencia.

2.4.2.Axiomasopostulados

Sonproposicionesprimitivasoiniciales,lascualesseadmitencomociertasdesdeelcomienzo.

Alconstruccinunateoradeaxiomasdebemospartirdeunconjuntodeaxiomas,queseancompatibles,suficientes, eindependientes.Veamosquesignificacadaunadeestascaractersticas:

Compatibilidad: Dosaxiomasnopueden frmularenellos,niproducirensusresultadosderivados,relacionescontradictorias15.

Suficiencia: Todaproposicinverdaderahadeserdeducibledentrodelsistema16.

Independencia: Ningnaxiomahadepodersededucirdeotros 17.

2.4.3.Lademostracin

Consiste en probar algo, a partir de verdades universales y evidentes, las cuales no son ms que proposiciones se denominan premisas ypermitenllegaraotraproposicindenominada conclusin.Paraprobarlas,seaplicanlas reglas lgicas18.Vercapitulo2Leccin3.Lospasospara demostraroprobarunaproposicinenlateoradeductivason:

1. Enunciarconclaridadlosaxiomasdelateora.

13 Proposicinqueexponeconclaridadyexactitudloscaracteresgenricosydiferencialesdealgo.RealAcademiaEspaola14 Pruebadealgo,partiendodeverdadesuniversalesyevidentes.Comprobacin,porhechosciertosoexperimentosrepetidos,deunprincipioodeunateora. Finytrminodelprocedimientodeductivo. RealAcademiaEspaola15 17 18 .DefinicintomadadelLibroMatemticaDigital. Edit.McGrawHill.1999.Pg.53.CarlosBarcoGmezyotros.18 Conjuntodeoperacionesquedebenllevarseacabopararealizarunainferenciaodeduccincorrecta.RealAcademiaEspaola

2. Establecerlasreglasparavalidarelprocesodedemostracinaestasreglasselesdenomina reglasdeval idez bsicamentesontres:

1:Todoaxiomapuedeserutilizadoencualquierpasodelprocesodedemostracin.

2:Si PQ aparecenenunademostracinyPtambinapareceenlamismademostracin,sepuedeconcluirQenlademostracin.Estaesunareglauniversalyseconocecomo ModusPonendoPonens o ModusPonens.Iralcapitulo2leccin3paraprofundizar.

3: Cuando dos proposiciones son equivalentes, es posible sustituir una por la otra, en cualquier parte de la demostracin. Regladenominadasustitucinporequivalencia.

3.Realizarlademostracindeunaproposicinespecfica,esobtenerlaproposicinfinalenelprocesodemostrativoporaplicacinreiteradadelasreglasdevalidez1,2y3.

Ennuestrolenguajetendemosaconfundircierto con verdadero.Enlgica,lacertezaessubjetiva,ydicequelacorrespondenciadeunenunciadoconloquesucedeenlarealidad,deberesultarigualparatodoslossujetosqueinvestiguenlaverdaddedichoenunciado.Deigualforma,adiarioseconfunde verdadero con correctoovlido.Enlgica sedebe distinguirentre conclusionesverdaderas y argumentacionescorrectasovlidas.

Cuandoun razonamientoescorrectoovlidoselellama validezdelrazonamiento.Cuandolaargumentacinseapoyaenargumentosvlidosentodossuspasos, tomaelnombrede deduccin.

2.4.4.Reglasdeinferenciabsicas

Paragarantizarqueunaconclusinesvlidaeneldiseodepruebas,sedeben emplearlasleyesdelalgicaaestasleyesselesconocecomoreglasdeinferencia. Estas sirvenparaprobarque, apartirdepremisas,esposibledemostrarlavalidezdeunaconclusin.Suprincipalobjetivoesabreviarlasdemostraciones,utilizandolasleyesdealgebradeproposicionesysusequivalencias.

2.4.5.LeyesdeAlgebradeproposicionesyEquivalenciasFundamentales

Enelsiguientecuadro seobservan lasleyesdeinferenciabsicas suobjetivoesfacilitarlaidentificacindelasequivalenciasbsicasenelclculoproposicionaly sedeben utilizarlascuando sehacen demostracionesserecomiendatener muypresenteestecuadro.

2.4.6.Mtodosdedemostracin

2.5.6.1.MtododirectooMtododelahiptesisauxiliar

Si se tieneunconjuntodepremisasenunateora, partiendodelsupuestoqueunaproposicinPesverdaderayhaciendousode laspremisasdisponibles, esposibledemostrarqueunaproposicinQesverdadera,dandocomoconclusinque P Qesverdadero.

Procesodedemostracin:

Parademostrarquelaproposicin P Q esteorema sedebe:

1. SuponerqueantecedentePesverdadero.Estaeslahiptesisauxiliar.2. Luego,conesta hiptesis,sedisea laargumentacinlgica,haciendousode axiomasy teoremasdemostrados,afinde obtener,por

mediodelasreglasdevalidezydeinferenciadelavalidezdeQ.3. Finalmente,seconcluye lapruebayseestablecelavalidezde PQ.

Sintetizandolademostracindelaproposicin P Q, utilizandoelmtododirecto,sedesarrollaradelasiguienteforma:

Suponer que P esverdadera(Asto selellama hiptesisauxiliar)

Q Aplicar argumentacinlgica(Demostracinsubordinada)

P Q Conclusin

2.4.6.2.Mtododelcontrarrecproco

Estepartedelteoremaconsumismonombre,elcualdicequelaproposicindelaforma(PQ)(QP),dalugaraunavariantedelmtododirecto.

Parasudesarrollosepartedelsupuestoquesequieredemostrar laproposicin PQ, lacualesunteoremayquenoesposibleobtener laconclusindeseadapormediodelmtododirecto.Debidoa sto,demostrar,conelmtododirecto, lacontrarrecproca de PQ,(QP)allograresteobjetivo,seestablecelavalidezdesiseconsigueesteobjetivo,entoncesquedaestablecidalavalidezdePQ, haciendousosdelasustitucinporequivalencia.

Leyesdedempotencia1. PvPP2. P^P P

LeyesAsociativas1. (PvQ)vR Pv(QvR)2. (P^Q)^R P^(Q^R)

LeyesConmutativas1. PvQ QvP2. P^Q Q^R

LeyesDistributivas1. Pv(Q^R) (PvQ)^(PvR)2. P^(QvR) (P^Q)v(P^R)

LeyesdeIdentidad1. Pv0PP^1 P2. P^1 PP^00

Leyesdelcomplemento1. PvP 1,P^P02. (P)Pi101,01

LeyesDMorgan1. (PvQ) P^Q2. ~(P^Q) PvQ

Procesodedemostracin

Parahacerlademostracinquelaproposicin P Q esunteorema sedebe:

1. Tomarcomohiptesisauxiliar Q.2. Disear laargumentacinlgicaquepermitaconcluir P3. Concluir, utilizandoelmtododirectoque (Q P) esunteorema.4. Aplicarlaregladevalidez3,paraconcluirque PQ esvlida, mediantelaequivalenciadelcontrarrecproco.

Ensntesis, lademostracindelaproposicin P Q porestemtodo, sehacebajolasiguienteforma:

Suponer que Q eslahiptesisauxiliar.Aplicarargumentacinlgica

P

Q P MtodoDirecto

P Q Porcontrareciproco

2.4.6.3.Mtododedemostracinporcontradiccin

Paraentenderestemtodo,esnecesarioaclararlosconceptosde,Contradiccin:esaquellaproposicinquecorrespondealaconjuncinentreunaproposicinysunegacin.

Estemtodosefundamentaenlacondicindenocontradiccinparaunateora,ysupone,demaneraexplcita,lanegacindelaproposicinademostrar.Demaneramssimple,sedicequelateoraconesesupuestoesinconsistentey,enconsecuencia,talhiptesisesfalsa,o loqueesequivalente: quesunegacinesverdadera,quedandovalidadalaproposicininicial.Veamoselsiguienteejemploparaexplicarmejorloanterior:

Ejemplo12(TomadodeCursoLgicamatemtica http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic.AlbertoJaramilloAtehorta)

Demostrarquesi P (Q^ Q)esverdadera,entoncesPesverdadera.

1. P (Q^Q) Premisa

2. (Q^Q) P Regladevalidez3depaso1(Contrareciproco)

3. (QvQ) P Regladevalidezdepaso2)LeyDMorgan.DobleNegacin

4. QvQ Teoremadelmedioexcluido

5. P ModusPonensdepaso4)y3).

Ingreseala pginaWebhttp://www.cibernous.com/logica/ Allencontrarunsimuladorquelepermitiringresaryverelresultadodeestaproposicin(Sutabaldevendadyeltipodefuncinquees)

Las que tienen sentidocompleto y su valor esfalso oVerdadero

Proposiciones

Simples Compuestas

Expresioneslingsticas

Son

Clasifican

Se

en

Son

Unin entre dos o msproposiciones simples atravs de trminos deenlace

Son

Trminosdeenlace

Letras o smbolos quepermiten unirproposiciones sin perderelsentidolgico

Son

Clasifican

Se

O=Disyuncin

Sientonces=Condicional

en

Razonamiento

Procesoquepermiteestablecerconclusionesdeacuerdoaproposiciones

Un

Seclasificaen

Inductivo Deductivo Analgico

Establece unprincipiogeneralbasado enexperiencias

Se Es

El ideal porexcelencia yparte de logeneralhacia loparticular

Es

El que trasladalas propiedadesde un objeto yaconocido a otrosemejante

Y=Conjuncin

No=Negacin

SiysoloSi=Bicondicional

Lenguaje

Sistemadesignosqueexpresanideasafindeestablecercomunicacin

Seclasificaen

Natural Artificial

Un

Capacidadeslingsticas de unacomunidad

Aquel que utilizasignos para obteneruna comunicacinmsprecisayclara

EsNace

Glosariodetrminos

Paradarinicioaestecursodebemosrecordarlossiguientesconceptosyfamiliarizarnosconellosyaqueestaremosutilizndolosmuyamenudo:

Axioma: Proposicintanclarayevidentequeseadmitesinnecesidaddedemostracin.Conocimiento: Averiguarporelejerciciodelasfacultadesintelectualeslanaturaleza,cualidadesyrelacionesdelascosasDeduccin: Sacarconsecuenciasdeunprincipio,proposicinosupuesto.Inferir: SacarunaconsecuenciaodeduciralgodeotracosaPragmtica:Ramadelasemiticaqueestudialasrelacionesentrelossmbolosylossujetosquelosutilizan.Proposicin:Esunenunciadoofrasealacualpuedeasignrseleunodelosdosvaloresdeverdad.Razonar: Discurrir,ordenandoideasenlamenteparallegaraunaconclusin.Razonamiento:SeriedeconceptosencaminadosademostraralgooapersuadiromoveraoyentesolectoresSemitica:Cienciaquesededicaalestudiodel lenguajeoseaelestudiode lossistemasdesignos,compuestapor3 ramas:Sintaxis,SemnticayPragmtica.Sintaxis: estudio de las relaciones entre los smbolos entre s, independientemente de los objetos que ellos puedan designar es, enconsecuencia,lateoradelaconstruccindellenguaje.

Semntica: Ramadelasemiticaque estudialasrelacionesentrelossignosylosobjetosqueellosdesignan.

Teoremas: Proposicindemostrablelgicamentepartiendodeaxiomasyademostrados,mediantereglasdeinferenciaaceptadas.

Valordeverdad:Unidadesparavalidacindelosprocesosdelalgica,puedeserVerdaderoy/oFalsoensudefectoSiy/oNo1y/o0.

BIBLIOGRAFIA

Nota: Losejerciciosdesarrolladoscomoejemplosparailustrarlosconceptos, sontomadosdelassiguientesfuentes:

Libro: MatemticaDigital,GmezCarlos,GmezGerman,BoteroWilliam. EditorialMcGrawHill.Bogot.1998Libro: LgicaMatemtica,GalindoPatioNubiaJaneth.Lgicamatemtica.

EditorialUniversidadAbiertayADistancia.Bogot.2001PaginasWeb: http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/

Fundamentosdelgicayteoradeconjuntos.UniversidaddeAntioquia.CompendiadosporelLic.AlbertoJaramilloAtehortua.(Ejercicios 15,16)