Longitud de Arco
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Longitud de arco En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimen- sión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar es- ta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usa- dos varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener so- luciones cerradas para algunos casos. 1 Cálculo mediante integrales Al considerar una curva definida por una función f (x) y su respectiva derivada f ′ (x) que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación: (1) s = ∫ b a √ 1+[f ′ (x)] 2 dx En el caso de una curva definida paramétricamente me- diante dos funciones dependientes de t como x = f (t) e y = g (t) , la longitud del arco desde el punto (f (a),g(a)) hasta el punto (f (b),g(b)) se calcula me- diante: (2) s = ∫ b a √ [f ′ (t)] 2 +[g ′ (t)] 2 dt Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante r = f (θ) , la longitud del arco comprendido en el intervalo [α, β] , toma la forma: (3) s = ∫ β α √ [f (θ)] 2 +[f ′ (θ)] 2 dθ En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circun- ferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie. Entre las curvas con soluciones cerra- das están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral lo- garítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta. Un caso un poco más general que el último, es el caso de coordenadas curvilíneas generales (e incluso el de espa- cios no euclídeos) caracterizadas por un tensor métrico g ik donde la longitud de una curva C :[a, b] → M viene dada por: (4) s = ∫ b a √ ∑ i,k g ik dx i dt dx k dt dt Por ejemplo el caso de coordenadas polares se obtiene de este haciendo x 1 = r, x 2 = θ; g 11 =1,g 22 = r 2 ,g 12 = g 21 = 0; r = f (θ),t = θ . 2 Deducción de la fórmula para funciones de una variable Aproximación por múltiples segmentos lineales. Δx Δy Δs curve Para un pequeño segmento de curva, Δs se puede aproximar con el teorema de Pitágoras. Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquie- ra, determinada por una función f (x) , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva s que va desde un punto a a uno b . Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipote- nusas concatenadas “cubran” el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método “más funcional” también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a ∆x , de manera que pa- ra cada uno existirá un cateto ∆y asociado, dependien- do del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces 1
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GEOMETRIA
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Longitud de arco
En matemtica, la longitud de arco, tambin llamadarecticacin de una curva, es la medida de la distanciao camino recorrido a lo largo de una curva o dimen-sin lineal. Histricamente, ha sido difcil determinar es-ta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usa-dos varios mtodos para curvas especcas, la llegada delclculo trajo consigo la frmula general para obtener so-luciones cerradas para algunos casos.
1 Clculo mediante integralesAl considerar una curva denida por una funcin f (x)y su respectiva derivada f 0 (x) que son continuas en unintervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a yb es dada por la ecuacin:
(1) s =R ba
q1 + [f 0 (x)]2 dx
En el caso de una curva denida paramtricamente me-diante dos funciones dependientes de t como x = f (t)e y = g (t) , la longitud del arco desde el punto(f(a); g(a)) hasta el punto (f(b); g(b)) se calcula me-diante:
(2) s =R ba
q[f 0 (t)]2 + [g0 (t)]2 dt
Si la funcin est denida por coordenadas polares dondela coordenadas radial y el ngulo polar estn relacionadosmediante r = f() , la longitud del arco comprendidoen el intervalo [; ] , toma la forma:
(3) s =R
q[f()]2 + [f 0()]2 d
En la mayora de los casos, no hay una solucin cerradadisponible y ser necesario usar mtodos de integracinnumrica. Por ejemplo, aplicar esta frmula a la circun-ferencia de una elipse llevar a una integral elptica desegunda especie. Entre las curvas con soluciones cerra-das estn la catenaria, el crculo, la cicloide, la espiral lo-gartmica, la parbola, la parbola semicbica y la lnearecta.Un caso un poco ms general que el ltimo, es el caso decoordenadas curvilneas generales (e incluso el de espa-cios no eucldeos) caracterizadas por un tensor mtricogik donde la longitud de una curva C : [a; b]!M vienedada por:
(4) s =R ba
qPi;k gik
dxi
dtdxk
dt dt
Por ejemplo el caso de coordenadas polares se obtiene deeste haciendo x1 = r; x2 = ; g11 = 1; g22 = r2; g12 =g21 = 0; r = f(); t = .
2 Deduccin de la frmula parafunciones de una variable
Aproximacin por mltiples segmentos lineales.
x
ys
curve
Para un pequeo segmento de curva, s se puede aproximar conel teorema de Pitgoras.
Suponiendo que se tiene una curva recticable cualquie-ra, determinada por una funcin f (x) , y suponiendo quese quiere aproximar la longitud del arco de curva s que vadesde un punto a a uno b . Con este propsito es posibledisear una serie de tringulos rectngulos cuyas hipote-nusas concatenadas cubran el arco de curva elegido talcomo se ve en la gura. Para hacer a este mtodo msfuncional tambin se puede exigir que las bases de todosaquellos tringulos sean iguales ax , de manera que pa-ra cada uno existir un cateto y asociado, dependien-do del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces
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2 5 ENLACES EXTERNOS
cada hipotenusa, s =p
x2 +y2 , al aplicarse elteorema de Pitgoras. As, una aproximacin de s esta-ra dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusasdesplegadas. Por eso se tiene que:
s Pni=1px2i +y2iPasando a operar algebraicamente la forma en la que secalcula cada hipotenusa para llegar a una nueva expresin;
px2 +y2 =q
(x2 +y2)x2
x2
=r
1 +y2
x2
x =
r1 +
yx
2x
Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:
s Pni=1r1 + yixi2xiAhora bien, mientras ms pequeos sean estos n segmen-tos, mejor ser la aproximacin buscada; sern tan pe-queos como se desee, de modo que x tienda a cero.As,x se convierte en dx , y cada cociente incrementalyi/xi se transforma en un dy/dx general, que es pordenicin f 0 (x) . Dados estos cambios, la aproximacinanterior se convierte en una sumatoria ms na y ahoraexacta, una integracin de innitos segmentos innitesi-males;
s = limxi!0
1Xi=1
s1 +
yixi
2xi =
Z ba
s1 +
dy
dx
2dx =
Z ba
q1 + [f 0 (x)]2 dx
3 Mtodos anteriores al clculo
3.1 Antigedad
A travs de la historia de las matemticas, grandes pen-sadores consideraron imposible calcular la longitud deun arco irregular. Aunque Arqumedes haba descubiertouna aproximacin rectangular para calcular el rea bajouna curva con un mtodo de agotamiento, pocos creye-ron que era posible que una curva tuviese una longituddenida, como las lneas rectas. Las primeras medicio-nes se hicieron posibles, como ya es comn en el clculo,a travs de aproximaciones: los matemticos de la pocatrazaban un polgono dentro de la curva, y calculaban lalongitud de los lados de ste para obtener un valor aproxi-mado de la longitud de la curva. Mientras se usaban mssegmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se ob-tena una aproximacin cada vez mejor.
3.2 Siglo XVIIEn esta poca, el mtodo de agotamiento llev a la rec-ticacin por mtodos geomtricos de muchas curvastrascendentales: la Espiral logartmica de Torricelli en1645 (algunos piensan que fue John Wallis en 1650), elCicloide de Christopher Wren en 1658, y la Catenaria deGottfried Leibniz en 1691.
4 Vase tambin Geometra diferencial de curvas en Arco (geometra) Integracin numrica
5 Enlaces externos Math Before Calculus The History of Curvature Weisstein, Eric W. Longitud de arco. En Weiss-tein, Eric W. MathWorld (en ingls). Wolfram Re-search.
Ed Pegg, Jr. Longitud de arco. The Wolfram De-monstrations Project (en ingls). Wolfram Research.
Calculus Study Guide Arc Length (Rectication) Famous Curves IndexTheMacTutor History ofMat-
hematics archive
Chad Pierson, Josh Fritz, Angela Sharp.Aproximacin de la longitud de arco. TheWolfram Demonstrations Project (en ingls).Wolfram Research.
Length of a Curve Experiment Illustrates numericalsolution of nding length of a curve.
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36 Text and image sources, contributors, and licenses6.1 Text
Longitud de arco Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud%20de%20arco?oldid=78181714 Colaboradores: Tano4595, Ramjar, Ai-runp, Magister Mathematicae, Charlitos, RobotQuistnix, Kiroh, Jekter, BOTijo, YurikBot, Gtz, Faelomx, BOTpolicia, CEM-bot, DanielDe Leon Martinez, Damifb, Mister, Davius, Thijs!bot, Kved, Beta15, TXiKiBoT, FANSTARbot, Gustronico, Netito777, VolkovBot,Matdrodes, Muro Bot, SieBot, El bot de la dieta, Tirithel, Diegusjaimes, Pieter Kuiper, Luckas-bot, Ptbotgourou, Jotterbot, ArthurBot,Jkbw, Esceptic0, D'ohBot, FAL56, PatruBOT, GrouchoBot, EmausBot, ZroBot, Vagobot, Acratta, Legobot, Patrick87, Santiagodeolive-ra, Jean70000, Pepe el guapox y Annimos: 49
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Clculo mediante integrales Deduccin de la frmula para funciones de una variable Mtodos anteriores al clculo Antigedad Siglo XVII
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