UNIDAD DIDCTICA

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

1. Los nmeros desde la MEDIDA.2. Los nmeros NATURALES.

3. Los nmeros ENTEROS.

4. Los nmeros RACIONALES.5. Los nmeros IRRACIONALES.

6. Los nmeros REALES. http://www.vitutor.com/di/r/b_1.html http://www.vadenumeros.es/tercero/tipos-de-decimales.htm http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1eso/unidad3.pdf0. Los nmeros desde LA MEDIDA.

MEDIR significa comparar una cantidad (p. e. de longitud) con otra de su misma especie que se toma como unidad (p. e. el metro) Se trata de una comparacin por cociente (es decir, una razn) que determina cuntas veces contiene la cantidad en cuestin a la unidad tomada.

Vemoslo en un caso concreto: LAS CANTIDADES DE LONGITUD. Si tomamos una recta, determinamos un origen 0 y una unidad de medida 1vemos que a cada punto le corresponde una cantidad de longitud (su distancia al origen) y viceversa. A esa distancia se le llama coordenada del punto. Ahora, nos preguntamos si podemos asignar un valor numrico a la coordenada de cada uno de los infinitos puntos de la recta (real)LOS NATURALES: nmeros para contar

Los mltiplos de la unidad de medida tendrn como coordenadas los nmeros naturales (la tabla de uno)Constituyen un INFINITO NUMERABLE: el infinito potencial.LOS ENTEROS: nmeros para acotarSi admitimos cotas o alturas negativas (bajo el nivel del mar), podemos prolongar los mltiplos de la unidad de medida a derecha (positivos) y a izquierda (negativos) Tendremos as los nmeros enteros.Estos nmeros aparecen siempre que una magnitud puede tomar cantidades con dos signos opuestos (positivas y negativas) Por ejemplo: la carga elctrica, las cotas, el balance de una contabilidad, la temperatura, etc.Z es otro conjunto infinito numerable: con la misma potencia que N.LAS FRACCIONES: partes alcuotas de la unidad La UNIDAD DE MEDIDA, al contrario que la unidad de contar, lo mismo que tiene mltiplos, TIENE DIVISORES. A los divisores de la unidad de medida se les llama partes alcuotas de la unidad o fracciones unitarias.

El Teorema de Tales nos permite, mediante regla y comps, dibujar las partes alcuotas de la unidad. As:

0 1

un quinto de la unidad

En efecto, representan la misma coordenada (o nmero racional) Se dicen que son fracciones equivalentes (equivalen a la misma cantidad) Existen infinitas fracciones equivalentes a una dada, pero todas son reducibles menos una: aquella en que el m. c. d. de numerador y denominador es uno. LOS IRRACIONALES: cantidades que no se dejan medir.

Esta simple construccin con regla y comps nos descubre coordenadas de puntos (en rojo) que puede demostrarse que no son fracciones. Es decir, no tienen ninguna parte alcuota con la unidad. Estos nmeros irracionales (no son medibles mediante la unidad) se terminan mostrando muy abundantes en la recta real (hay un infinito no numerable de ellos, y slo unos pocos tienen nombre y smbolo: , , e, ,)1. NMEROS NATURALES.

Los nmeros naturales Operaciones con nmeros naturales.

Divisin exacta y divisin entera Descomposicin en factores primos Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo.Algoritmo de Euclides El principio de induccin matemtica Representacin de un nmero natural en una base cualquiera

OPERACIONES CON NMEROS NATURALESUnnmero naturales cualquiera de los nmeros que se usan paracontary ordenar los elementos de unconjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz el ser humano para la enumeracin.Nmero natural es, pues, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.Los nmeros naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {1, 2, 3, 4,, 10, 11, 12,}Adems de cardinales (para contar), los nmeros naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:1 (primero), 2 (segundo),, 16 (decimosexto),

Los nmeros naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las ms elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.Entre los nmeros naturales estn definidas las operaciones adicin y multiplicacin. Adems, el resultado de sumar o de multiplicar dos nmeros naturales es tambin un nmero natural, por lo que se dice que son operaciones internas.La sustraccin, sin embargo, no es una operacin interna en N, pues la diferencia de dos nmeros naturales puede no ser un nmero natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los nmeros enteros, en el que se puede restar un nmero de otro, cualesquiera que sean stos.La divisin tampoco es una operacin interna en N, pues el cociente de dos nmeros naturales puede no ser un nmero natural (no lo es cuando el dividendo no es mltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los nmeros racionales, en el que se puede dividir cualquier nmero por otro (salvo por el cero). La divisin entera es un tipo de divisin peculiar de los nmeros naturales en la que adems de un cociente se obtiene un resto.Propiedades de la adicin de Nmeros NaturalesLa adicin de nmeros naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

1.- Asociativa. Si a, b, c son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)

2.-Conmutativa. Si a, b son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los nmeros 7 y 4, se verifica que: 7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adicin se pueden efectuar largas sumas de nmeros naturales sin utilizar parntesis y sin tener en cuenta el orden.

3.- Elemento neutro. El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el nmero natural a, se cumple que:

a + 0 = aPropiedades de la Multiplicacin de Nmeros NaturalesLa multiplicacin de nmeros naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa. Si a, b, c son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

(a b) c = a (b c)

Por ejemplo: (3 5) 2 = 15 2 = 303 (5 2) = 3 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir, (3 5) 2 = 3 (5 2)

2.- Conmutativa. Si a, b son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

a b = b a

Por ejemplo: 5 8 = 8 5 = 40

3.-Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multiplicacin porque, cualquiera que sea el nmero natural a, se cumple que:

a 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma. Si a, b, c son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

a (b + c) = a b + a cPor ejemplo: 5 (3 + 8) = 5 11 = 55

5 3 + 5 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir, 5 (3 + 8) = 5 3 + 5 8

Propiedades de la Sustraccin de Nmeros NaturalesIgual que la suma la resta es una operacin que se deriva de la operacin de contar. Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas cuantas ovejas tenemos? Una forma de hacerlo sera volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordara el resultado y no necesitara volver a contar las ovejas. Sabra que 6 - 2 = 4.

Los trminos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Propiedades de la Divisin de Nmeros NaturalesLa divisin es la operacin que tenemos que hacer para repartir un nmero de cosas entre un nmero de personas.Los trminos de la divisin se llaman dividendo (el nmero de cosas), divisor (el nmero de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra). Si el resto es cero la divisin se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la divisin

La divisin no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

EJERCICIOS

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1eso/solucionlibronuevo/u-1.pdf DIVISIBILIDADEnmatemticas, se dice que unnmero enterobesdivisibleentre un enteroa(distinto de cero) si existe un enteroctal que:b = a c. Esto es equivalente a decir quebes exactamente divisible pora, o bien, que elrestode ladivisin eucldeaes cero.

Se suele expresar de la formaa|b, que se lee: adivideab, o aesun divisordeb o tambin besmltiplodea. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 32; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un enteroctal que 6 = 4c, es decir que el resto de la divisin eucldea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Todo nmero entero es divisible por 1 y por s mismo. Losnmerosmayores que 1 que no admiten ms que estos dos divisores se denominannmeros primos. Los que admiten ms de dos divisores se llamannmeros compuestos.

Criterios de divisibilidadLos siguientes criterios nos permiten averiguar si un nmero es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una divisin:

NmeroCriterioEjemplo

2El nmero termina en cero o cifra par (el cero se considera par).378: porque la ltima cifra (8) es par.

3La suma de sus cifras es un mltiplo de 3.480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es mltiplo de 3.

4El nmero formado por las dos ltimas cifras es un mltiplo de 4 o cuando termina en doble cero.7324: porque 24 es mltiplo de 4.8200 por que termina en doble 00

5La ltima cifra es 0 5.485: porque acaba en 5.

6El nmero es divisible por 2 y por 3.24: Ver criterios anteriores.

7Un nmero es divisible entre 7 cuando, al separar la ltima cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un mltiplo de 7.34349: separamos el 9 (3434'9) y lo doblamos (18), entonces 3434-18=3416. Repetimos el proceso separando el 6 (341'6) y doblndolo (12), entonces 341-12=329, y de nuevo, 32'9, 9*2=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7 porque 14 es mltiplo de 7.

8El nmero formado por las tres ltimas cifras es un mltiplo de 8.27280: porque 280 es mltiplo de 8.

9La suma de sus cifras es mltiplo de 9.3744: porque 3+7+4+4= 18 es mltiplo de 9.

10La ltima cifra es 0.470: termina en cifra 0.

11Sumando las cifras (del nmero) en posicin impar por un lado y las de posicin par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. Si el resultado es cero (0) o un mltiplo de 11, el nmero es divisible por ste.

Si el nmero tiene dos cifras iguales ser mltiplo de 11.42702: 4+7+2=13 2+0=2 13-2=11 42702 es mltiplo de 11

66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es Mltiplo de 11

12El nmero es divisible por 3 y 4.528: Ver criterios anteriores.

13Un nmero es divisible entre 13 cuando, al separar la ltima cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un mltiplo de 133822: separamos el ltimo dos (382'2) y lo multiplicamos por 9, 2*9=18, entonces 382-18=364. Repetimos el proceso separando el 4 (36'4) y multiplicndolo por 9, 4*9=36, entonces 36-36=0; por lo tanto, 3822 es divisible entre 13

14Un nmero es divisible entre 14 cuando es par y divisible entre 7546: separamos el ltimo seis (54'6) y lo doblamos, 6*2=12, entonces 54-12=42. 42 es mltiplo de 7 y 546 es par; por lo tanto, 546 es divisible entre 14

15Un nmero es divisible entre 15 cuando es divisible entre 3 y 5225: termina en 5 y la suma de sus cifras es mltiplo de 3; por lo tanto, 225 es divisible entre 15

17Un nmero es divisible entre 17 cuando, al separar la ltima cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un mltiplo de 172142: porque 214'2, 2*5=10, entonces 214-10=204, de nuevo, 20'4, 4*5=20, entonces 20-20=0; por lo tanto, 2142 es divisible entre 17.

18Un nmero es divisible por 18 si es par y divisible por 9 (Si es par y adems la suma de sus cifras es mltiplo de 9)9702: Es par y la suma de sus cifras: 9+7+0+2=18 que tambin es divisible entre 9. Y efectivamente, si hacemos la divisin entre 18, obtendremos que el resto es 0 y el cociente 539.

Nota 1: Existen muchas versiones de los criterios de divisibilidad. As por ejemplo, para el 13 resulta equivalente el criterio: al separar la ltima cifra de la derecha, multiplicarla por 4 y sumarla a las cifras restantes la suma es igual a 0 o es un mltiplo de 13.

Nota 2: Resulta curioso que el criterio de divisibilidad por 7 sirva tambin como criterio de divisibilidad por 3, aunque evidentemente el criterio tradicional resulta ms sencillo y ste no se utiliza: al separar la ltima cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un mltiplo de 3.

Nota 3: Aunque existen criterios similares para cualquier nmero primo, con frecuencia resulta ms sencillo dividir que aplicar un criterio complicado (como el del 13). Sin embargo existe un criterio general que funciona siempre y que en muchos casos es suficientemente prctico: restar el nmero primo (o mltiplos de ste) a las cifras de la izquierda sucesivamente hasta obtener cero o ese nmero primo. As el ejemplo del 13 se podra comprobar con el proceso siguiente (usamos el 39 =3*13 para abreviar pasos): 3822 (restamos 13 dos veces a la izquierda) 2522 1222 (restamos 39 tres veces de las tres cifras de la izquierda) 832 442 52 y al restar de nuevo 39 obtenemos 52-39 =13

Nmeros primosDefinicinUn nmero es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1 y que nicamente se puede dividir por s mismo y por 1 para dar una solucin exacta.

En caso contrario diremos que el nmero es compuesto.

El 0 y el 1 son nmeros especiales que no se consideran ni primos ni compuestos.

NotasEl 1 se considera primo en muchos casos, aunque slo tiene un divisor. Depende de las definiciones, del libro o de la "cultura" se considera o no primo. Por ejemplo, los antiguos griegos consideraban que los nmeros empezaban en el 2. Para ellos el 1 no era un nmero, slo la unidad.

El 2 tambin es el nico nmero primo y par.

Los nmeros primos han sido estudiados por muchos matemticos desde los tiempos ms remotos:Pitgorasnatural de Samos (aproximadamente 569 a.C.) y sus alumnos, "los pitagricos" consideraban que los nmeros tenan virtudes mgicas y estudiaron los nmeros perfectos y los nmeros amigos.

Unnmeroesperfectosi es igual a la suma de sus divisores propios (por ejemplo: 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14;...)Dosnmerossonamigos, cuando la suma de los divisores de uno es igual al otro (por ejemplo 220 y 284: 220=1+2+4+7+71+142 y 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110)El matemtico griegoEuclides(vivi alrededor del ao 300 a. C.) demostr la existencia de infinitos nmeros primos.(Aqu tienes los 168 primeros)

Eratstenes de Cirene(276-194 a.C.) ide una forma de determinar los primeros nmeros primos al construir la denominadaCriba de Eratstenes:

Consiste en construir una tabla con todos los nmeros en columnas y a continuacin, empezando por el 2 tachamos todos los nmeros que estn a una distancia de 2 (el 4, 6, 8, etc.) despus seguimos con el 3 tachando todos los nmeros que estn a una distancia de 3 (el 6, 9, 12, etc) y as sucesivamente con 5, con 7, con 11,...As se marcan todos los mltiplos quedando sin marcar los primos. Sin embargo, los nmeros primos parecen surgir al azar, sin guardar una regla concreta. La falta de patrn implica tener que buscar los nmeros primos uno a uno.

Tras un periodo de tiempo en el que poco se sabe del estudio de estos nmeros, en el siglo XVII:

Mersenne(1588-1648) estudi los nmeros de la formaMn=2n- 1.Salvo si n es primo, estos nmeros son compuestos.Estos nmerosMn, son llamadosnmeros primos de Mersenne

No todos los nmeros de la forma 2n- 1 connprimo son primos. Por ejemplo 211- 1 = 2047 = 23 89 es compuesto

Fermat(1601-1665) demostr que los nmeros primos de la forma4n+1se podan expresar como la suma de dos cuadrados:

4.1+1=5=22+ 12; 4.3+1=13=32+ 22;...

En los siglos siguientes Euler(1707-1783), Legrande(1752-1833), Gauss(1777-1855),Riemann (1826-1866)... y en la actualidad, se siguen buscando nmeros primos.

Algunos problemas sin resolver, de momento, sobre nmeros primos:1. Existe un nmero infinito de nmeros primos que se diferencian en 2(tales como 3 y 5; 17 y 19)2. CONJETURA DE GOLDBACH:

Todo nmero par mayor que dos puede escribirse como suma de dos nmeros primos.(Por ejemplo, 6=3+3; 18=11+7 ...)3. Existe un nmero infinito de nmeros primos que responden a la forma de un nmero al cuadrado ms uno.(Por ejemplo, 5=22+1, 17=42+1...)

4. Siempre existe un nmero primo entre dos nmeros cuadrados consecutivos.(Por ejemplo,entre 4 y 9 estn el 5 y el 7; entre 9 y 16, estn el 11 y el 13,...)

Pincha aqu par veralgunas curiosidades sobre los nmeros primosque aparecen en el libroAlucina con las Mates!

Eratstenesnaci en Cyrene (ahoraShahhat, en Libia) alrededor del ao 276 a.C.

Entre otras cosas fue astrnomo, poeta y matemtico. Estudi en Alejandra y Atenas. Alrededor del ao 255 a.C se convirti en el tercer director de la Biblioteca de AlejandraTrabaj con problemas matemticos sobre nmeros primos ideando un mtodo para hallar nmeros primos pequeos conocido como "Criba de Eratstenes".

Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronoma fue la medicin de la circunferencia de la Tierra:

Para ello ide un sistema a partir de la semejanza de tringulos. Erasttenes midi en primer lugar la distancia entre dos ciudades egipcias que se encuentran en el mismo meridiano: Siene (Assun) y Alejandra.

Esto lo hizo a partir del tiempo que tardaban los camellos en ir de una ciudad a otra.

Despus se dio cuenta que el da del solsticio de verano a las 12 del medioda el Sol alumbraba el fondo de un pozo muy profundo en la ciudad de Siene y que a esa misma hora el sol proyectaba una sombra en Alejandra. A raz de esta circunstancia determin, calculando el radio de la Tierra, que la longitud del meridiano deba ser 50 veces mayor que la distancia entre las ciudades. El resultado que obtuvo Erasttenes para el meridiano, en medidas modernas, viene a ser 46.250 km., cifra que excede a la medida real slo en un 16%.

Eratstenes tambin midi la oblicuidad de la eclptica (la inclinacin del eje terrestre) con un error de slo 7' de arco, y cre un catlogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra ms importante fue un tratado de geografa general.

Eratstenes al final de su vida fue afectado por la ceguera y muri de hambre por su propia voluntad en el ao 194 a.C. en Alejandra.

Teorema fundamental de la aritmtica

Enmatemtica, y particularmente en lateora de nmeros, elteorema fundamental de la Aritmticaoteorema de factorizacin nicaafirma que todoentero positivose puede representar de forma nica como producto de defactores primos. Por ejemplo,

No existe ninguna otra factorizacin de 6936 y 1200 en nmeros primos. Como la multiplicacin es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razn, usualmente se enuncia el teorema como factorizacin nicasalvoen el orden de los factores.

AplicacionesEl teorema establece la importancia de los nmeros primos. stos son los "ladrillos bsicos" con los que se "construyen" los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de nmeros primos de una nica manera.

Conocer la factorizacin en primos de un nmero permite encontrar todos sus divisores, primos o compuestos. Por ejemplo, la factorizacin anteriormente dada de 6936 muestra que cualquier divisor positivo 6936 debe tener la forma:, donde 0 a 3 (4 valores posibles), 0 b 1 (2 valores posibles), y 0 c 2 (3 valores posibles). Multiplicando el nmero de opciones independientes se obtiene un total dedivisores positivos

Una vez que se conoce la factorizacin en primos de dos nmeros, se pueden hallar fcilmente sumximo comn divisorymnimo comn mltiplo. Por ejemplo, de las factorizaciones anteriores de 6936 y 1200 se puede deducir que su mximo comn divisor es 2 3 = 24. Sin embargo, si no se conoce la factorizacin en primos, usar elalgoritmo de Euclidesen general requiere muchos menos clculos que factorizar los dos nmeros.

Algoritmo de Euclidescc2c3c4cncn+1

abr1r2r3rn-1rn

br1r2r3r4rn0

Entonces, m.c.d.(a,b)=rn y m.c.m.(a,b)=a.b/m.c.d.(a,b) El infinito de los nmeros naturales se denominainfinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los nmeros naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un nmero, es decir, el conjunto cuandoes distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los nmeros enteros y el de los racionales tambin son infinitos numerables como se ver ms adelante.

Con los nmeros naturalesse puede sumar. De hecho, con la operacin suma, los naturales forman unsemigrupo conmutativo.

Con la operacin producto los naturales tambin tienen estructura de semigrupo conmutativo.

El conjunto de los naturales es un conjuntototalmente ordenado, es decir, existe unarelacin de orden total, lo que significa que existe una relacin de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre s usando dicha relacin. Dicho de otra forma, dados dos naturales,e, o bien, o bien.

Todo subconjuntono vaco del conjunto de los naturales tiene unelemento mnimo, esto es, existe un elementotal que para tododese tiene. Por ejemplo, el subconjunto formado por los nmeros pares tiene como elemento mnimo a 2.

Principio de induccin matemtica: si un subconjuntodeverifica quey, si, resulta que, entonces.

Esto nos permite realizar razonamientos por induccin cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todonatural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de losprimeros nmeros naturales espodemos hacerlo por induccin en la forma siguiente:

Paraes claro que la suma de los 1 primeros nmeros naturales es.Suponiendo cierta la frmula para, es decir,,

veamos que tambin es cierta para,

Luego la frmula es vlida para todo n natural.

Ejercicio: Demostrar, razonando por induccin, las siguientes frmulas:

Representacin de un nmero natural en una base cualquiera:

El mtodo de divisiones enteras sucesivas permite escribir cualquier nmero natural en forma nica en una base cualquiera p, en la forma siguiente:

en base p, donde.

Para lograr dicha expresin basta con realizar sucesivas divisiones enteras de n por p y tomar los restos, es decir,

hasta que en la r-sima divisn,se tenga. Se toma, y hemos terminado.

Ntese que nuestra actual notacin posicional para los nmeros naturales se corresponde con la representacin de los nmeros naturales en base decimal (p=10). Se denomina notacin posicional porque el valor de una cifra depende de la posicin que sta tenga en el nmero: un 5 en el lugar de las unidades vale 5, mientras que en el lugar de las centenas vale 500.

La notacin binaria, tan comn en el mundo de la informtica es el resultado de tomar p=2 y representar los nmeros naturales en dicha base.

Conoces otras representaciones en bases distintas? Hexadecimal, sexagesimal...

2. NMEROS ENTEROS: repaso.

Losnmeros enterosson unconjuntodenmerosque incluye a losnmeros naturalesdistintos decero (1, 2, 3, ...), losnegativosde los nmeros naturales (..., 3, 2, 1) y al 0. Los enteros negativos, como 1 o 3 (se leen menos uno, menos tres, etc.), son menores que todos los enterospositivos(1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces tambin se escribe un signo ms delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al nmero se asume que es positivo.

El conjunto de todos los nmeros enteros se representa por la letra= {..., 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, ...}

que proviene delalemnZahlen(nmeros, pronunciado[tsaln]).

Los nmeros enteros no tienenparte decimal. Por ejemplo:

783 y 154 son nmeros enteros

45,23 y 34/95 no son nmeros enterosAl igual que los nmeros naturales, los nmeros enteros puedensumarse,restarse,multiplicarsey dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular tambin elsignodel resultado.

Los nmeros enteros extienden la utilidad de los nmeros naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar prdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto ao, pero hay 100 alumnos de ltimo curso que pasaron aeducacin secundaria, en total habr 100 80 = 20 alumnos menos; pero tambin puede decirse que dicho nmero ha aumentado en 80 100 = 20 alumnos.

Tambin hay ciertas magnitudes, como latemperaturao laalturatoman valores por debajo del cero. La altura delEverestes 8848metrospor encima delnivel del mar, y por el contrario, la orilla delMar Muertoest 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como 423 m.

Elvalor absolutode un nmero entero es el nmero natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales | |.Ejemplo.|+5| = 5 , |2| = 2 , |0| = 0.

Operaciones con nmeros enterosLos nmeros enteros puedensumarse,restarse,multiplicarseydividirse, igual que puede hacerse con losnmeros naturales.

SumaEn esta figura, elvalor absolutoy elsignode un nmero se representan por el tamao delcrculoy su color.

En la suma de dos nmeros enteros, se determina por separado elsignoy elvalor absolutodel resultado.Parasumardos nmeros enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es tambin el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.

Si ambos sumandos tienen distinto signo:

El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.

El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos. Ejemplo.(+21) + (13) = +8, (+17) + (+26) = +43 , (41) + (+19) = 22 , (33) + (28) = 61

La suma de nmeros enteros se comporta de manera similar a la suma de nmeros naturales:La suma de nmeros enteros cumple las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa.Dados tres nmeros enterosa,byc, las sumas (a+b) +cya+ (b+c) son iguales.

Propiedad conmutativa.Dados dos nmeros enterosayb, las sumasa+byb+ason iguales.

Elemento neutro.Todos los nmeros enterosaquedan inalterados al sumarles 0:a+ 0 =a.

Ejemplo.1. Propiedad asociativa:

[ (13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)

(13) + [ (+25) + (+32) ] = (13) + (+57) = (+44)

2. Propiedad conmutativa:

(+9) + (17) = 8

(17) + (+9) = 8

Adems, la suma de nmeros enteros posee una propiedad adicional que no tienen los nmeros naturales:

Elemento opuestoo simtrico.Para cada nmero enteroa, existe otro entero a, que sumado al primero resulta en cero:a+ (a) = 0.

Resta: Larestade nmeros enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma. Larestade dos nmeros enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo ms el sustraendo cambiado de signo.

Ejemplo.(+10) (5) = (+10) + (+5) = +15 , (7) (+6) = (7) + (6) = 13 , (4) (8) = (4) + (+8) = +4 , (+2) (+9) = (+2) + (9) = 7

MultiplicacinLamultiplicacinde nmeros enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado elsignoyvalor absolutodel resultado.En lamultiplicacinde dos nmeros enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

El signo es + si los signos de los factores son iguales, y si son distintos. Para recordar el signo del resultado, tambin se utiliza laregla de los signos:

Regla de los signos (+) (+)=(+)Ms por ms igual a ms. (+) ()=()Ms por menos igual a menos. () (+)=()Menos por ms igual a menos. () ()=(+)Menos por menos igual a ms.

Ejemplo.(+4) (6) = 24 , (+5) (+3) = +15 , (7) (+8) = 56 , (9) (2) = +18.

La multiplicacin de nmeros enteros tiene tambin propiedades similares a la denmeros naturales:

La multiplicacin de nmeros enteros cumple las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa.Dados tres nmeros enterosa,byc, los productos (ab) cya (bc) son iguales.

Propiedad conmutativa.Dados dos nmeros enterosayb, los productosabybason iguales.

Elemento neutro.Todos los nmeros enterosaquedan inalterados al multiplicarlos por 1:a 1 =a.

Ejemplo.1. Propiedad asociativa:

[ (7) (+4) ] (+5) = (28) (+5) = 140

(7) [ (+4) (+5) ] = (7) (+20) = 140

1. Propiedad conmutativa:

(6) (+9) = 54

(+9) (6) = 54

La suma y multiplicacin de nmeros enteros estn relacionadas, al igual que los nmeros naturales, por la propiedad distributiva:Propiedad distributiva.Dados tres nmeros enterosa,byc, el productoa (b+c) y la suma de productos (ab) + (ac) son idnticos.

Ejemplo. (7) [ (2) + (+5) ] = (7) (+3) = 21

[ (7) (2) ] + [ (7) (+5) ] = (+14) + (35) = 21Por cierto, qu hay ms?, nmeros enteros o nmeros naturales?. Ntese que se puede establecer una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos,, por ejemplo como sta:si n es un entero positivo

Por tanto, el conjunto de los enteros es tambininfinito numerable. Tambin es un conjuntototalmente ordenado, cuando se considera la relacin de orden definida en la forma obvia y que extiende la relacin de orden que se tiene en. Tambin es cierto que en los enteros todo subconjunto acotado inferiormente tieneelemento mnimo, y recprocamente, todo subconjunto acotado superiormente tieneelemento mximo.

3. NMEROS RACIONALES.

Los nmeros racionalesRelacin de orden en el conjunto de los racionalesDensidad del conjunto de los racionales.Propiedad arquimedianaCardinal de los racionalesRepresentacin decimal de los nmeros racionalesLos nmeros racionales

Si se necesita adems dividir, surgen losnmeros racionales(ofraccionarios, oquebrados), ={... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... }

Los racionales se obtienen a partir de los enteros aadiendo los inversos para la multiplicacin.

La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.

El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.

Dos nmeros racionales a/b y c/d son iguales si y slo si ad=bc.

(En todo lo anterior, a, b, c y d denotan nmeros enteros) Un nmero racional se dice que est expresado mediante una fraccin irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.

De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura decuerpo conmutativo. Ense pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aqullas de la forma ax+b=0, con a y b racionales.

Ense puede definir unorden totalcompatible con las operaciones suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente eny en. Para ello basta con definirlo como sigue:

Dados dos nmeros racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un nmero racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice quesi y slo sirespecto del orden existente en el conjunto de los enteros.

Por tantocon dicho orden es un conjuntototalmente ordenado.

Densidad del orden:Dados dos nmeros racionales distintos,, siempre existe otro nmero racionaltal que.

Para ello, si , con b y d positivos, basta con tomar

Ejercicio:probar que efectivamente(por ejemplo, entre 3/5 y 2/3 se encuentra 5/8)

Ahora bien, reiterando el proceso de introducir un racional entre cada dos racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales distintos,Por ejemplo, ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos asi 3/5 < ...... < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3.

por eso se dice que el conjunto de los racionales es unconjunto denso. No tiene sentido hablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no ocurra ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros.

Propiedad arquimediana (o de Arqumedes):Dados dos nmeros racionalesy, siempre existe un n natural tal que. Esto quiere decir que por pequeo que sea, si consideramos la sucesin de racionales, llegar un momento en que sobrepasasaremos a, por muy grande que este sea.

Por ejemplo:Esta es una propiedad que tambin posean los nmeros naturales y los enteros.

El cardinal de los racionales:Cuntos nmeros racionales hay? Qu hay ms, naturales o racionales?

Puede parecer que la respuesta sera, obviamente hay ms racionales, puesto que los naturales son tambin nmeros racionales, y adems hay otros racionales, como 1/2 por ejemplo, que no son naturales, por lo que podemos concluir que el cardinal de los racionales esque el de los naturales.

Pero podemos tambin probar que hay ms naturales que racionales. Una forma de hacerlo sera seguir el siguiente razonamiento grfico. Coloquemos los enteros en un eje horizontal, y tambin en un eje vertical. Cada punto (a,b) del retculo que se forma representar al racional a/b. Comenzamos ahora a trazar un camino en espiral, partiendo del origen que recorra uno a uno todos los puntos del retculo como se ve en la siguiente grfica:Es claro que podemos poner en correspondencia biyectiva los puntos del retculo con los naturales sin ms que irlos numerando a medida que la linea espiral pasa por cada uno de ellos. Ahora bien, no todos los puntos del retculo se corresponden con nmeros racionales, ya que los de la forma (n,0) no se corresponden con ningn racional, y adems muchos puntos del retculo representan al mismo nmero racional, por ejemplo (1,2) y (2,4) representan al mismo nmero racional, ya que 1/2=2/4. De aqu se concluye que podemos dar una correspondencia sobreyectiva deen, y por tanto que el cardinal deesque el cardinal de.

Combinando ambos resultados podemos concluir que el cardinal dees igual que el de, es decir, quees unconjunto infinito numerable.

Ejercicio:encontrar un correspondencia biyectiva entrey.

Representacin decimal de nmeros racionales:

Todo nmero racional admite una representacin decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresin decimal 0.5 , 3405/25=136.2 y 1/3= 0.33333.......

Esto puede dar lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y las peridicas. stas ltimas pueden a su vez dividirse en peridicas puras o peridicas mixtas.

Expresin decimalexacta, es aqulla que tiene un nmero finito de trminos. Por ejemplo: 0.5, 1.348 367.2982345Esta expresiones surgen de nmeros racionales cuyo denominador (en la expresin irreducible) slo contiene los factores 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25, ...

Expresin decimalperidicaes aqulla que tiene un nmero infinito de cifra decimales, pero de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente, de forma peridica, por ejemplo 0.333333....., 125.67777777....... 3.2567256725672567......Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0.33333.....La parte que no se repite se denominaanteperodoy la que se repite,perodo.

Peridica puraes aqulla que no tiene anteperodo.

Peridica mixtaes aqulla que s tiene anteperodo.

Podra considerarse que las expresionas decimales exactas son peridicas mixtas pero con perodo 0.

Recprocamente, dada una expresin decimal exacta o peridica, puede encontrarse una expresin racional para la misma siguiendo la siguiente norma:

Si la expresin es exacta se coloca como numerador el nmero entero que resulta de suprimir el punto decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras se encontraran a la derecha del punto decimal en la expresin decimal original.

Si la expresin es peridica, se coloca como numerador el resultado de restar al nmero entero formado por el anteperodo seguido de la primera repeticin del perodo, el entero formado por el anteperodo, todo ello multiplicado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras significativas se encuentren a la izquierda del punto decimal. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el perodo seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperodo.

Ejemplos:

Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresin irreducible.

4. NMEROS IRRACIONALES.

Los nmeros irracionales

Hay nmeros que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos nmeros enteros. Por ejemplo, piensa en el nmero cuya representacin decimal es

0.1234567891011121314151617181920........

claramente, esta representacin decimal no es exacta ni peridica, por tanto no puede corresponderse con ningn nmero racional.

Veamos otros ejemplos.

Se trata de un ejemplo tpico de nmero no racional con una demostracin muy sencilla de que, en efecto, no puede ser racional

En el siguiente recuadro puedes ver las primeras 100 cifras decimales de. Adems se muestra una manera de construir el nmerosobre la recta real con regla y comps y finalmente se da una serie de nmeros racionales que converge hacia.

Para construir la serie que converge haciahemos usado obviamente la sucesin de cifras decimales indicada ms arriba. Tambin podamos haber definido una sucesin de nmeros racionales que converge haciade la forma siguiente

dondees el mayor nmero entero que verifica.

piOtro de los ejemplos csicos de nmeros irracionales que estamos acostumbrados a manejar es el conocido por la letra griega Pi que representa la relacin entre el permetro y el dimetro de una circunferencia.

A diferencia de lo que ocurre con, no es posible dibujar con regla y comps el nmerosobre la recta real. El problema es conocido comola rectificacin de la circunferenciay hay mtodos algebraicos para demostrar que no tiene solucin, a pesar de que mucha gente la busc durante siglos (y algunos siguen buscndola hoy en da). Otros problemas de parecida ndole son los famosos de la cuadratura del crculo, que consiste en construir con regla y comps un cuadrado que tenga el mismo rea que un crculo dado, y latriseccin del ngulo, que consiste en dividir un ngulo dado en tres partes iguales. Todos ellos son imposibles con regla y comps y puede demostrarse algebraicamente su imposibilidad.

En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales dey adems una serie de nmeros racionales que converge hacia.

La serie indicada es conocida como serie de Leibniz y hemos de advertir que su convergencia es bastante lenta. Cuntos trminos te hace falta sumar para obtener 10 cifras decimales correctas?

Tambin el nmero, base de los llamados logaritmos naturales o neperianos es un nmero irracional. Este nmero surge de forma natural al considerar el inters compuesto.

Supongamos que tenemos un capital unidad a un inters anual(en tanto por uno). Al cabo del ao nuestro capital ser.

Sin embargo, si dividimos el ao en dos semestres e incorporamos el inters al finalizar cada uno dos semestres, al final del primer perodo tendremosy al finalizar el aoSi dividimos el ao en tres cuatrimestres, incorporando los intereses al capital al final del cada perodo, tendremosrespectivamente al final de cada cuatrimestre.

... Si dividimos el ao en n perodos tendremos al final del ao.

Se definecomo el lmite del resultado anterior cuando n se hace infinitamente grande (infinitos perodos infinitamente pequeos), siendo, es decir

En el recuadro siguiente vemos las 100 primeras cifras decimales de, as como dos formas de vercomo lmite de sucesiones de nmeros racionales (en el segundo caso se trata de una serie).

Igual que pasaba con, no es posible dibujar con regla y comps un punto en la recta real a distanciadel origen.

Si consideramos el conjunto de todas las expresiones decimales, solamente aqullas finitas o peridicas se correspondern, como ya se vio, con nmeros racionales; el resto forman el conjunto de losnmeros irracionales.El conjunto de los irracionales, denotado portiene, como, la propiedades de orden total, densidad y propiedad arquimediana. En cambiono es un conjunto numerable. Se te ocurre alguna forma de probar queno es numerable?

(pincha aqu para ver una forma de demostrarlo)

Ya se ha visto para los ejemplos mostrados, pero se puede afirmar en general que todos los nmeros irracionales pueden verse como lmites de sucesiones de nmeros racionales. Para ello basta con considerar la expresin decimal del nmero en cuestin y construir la sucesin obvia que consiste en considerar cada vez un cifra decimal ms, de modo que el trminoes la fraccin que da lugar a la expresin decimalm exacta formada por las n primeras cifras del nmero dado.

Los nmeros reales

La unin de los racionales y los irracionales forma el conjunto de losnmeros reales..

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en, y es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar grficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un nmero.

Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntoseson heredadas por.

Como ya se ha visto,es denso en. Tambines denso en.

Podemos considerarcomo el conjunto de todos los lmites de sucesiones cuyos trminos son nmeros racionales.

A diferencia de lo visto para,y, el conjunto de los reales no es numerable. (una demostracin).

Veamos por ltimo un cuadro resumen de las propiedades que hemos analizado en los distintos conjuntos de nmeros. OrdenadoDensoNumerableEstructura algebraica

+ Semigrupo* Semigrupo

+ Grupo* Semigrupo+,* Anillo conmut. con1

+ Grupo* Grupo+,* Cuerpo conmut.

No tiene estructura algebraica al no ser cerrado para + y *

+ Grupo* Grupo+,* Cuerpo conmut.

RAZONES Y PROPORCIONES Razn o relacin de dos cantidades es el resultado de compararlas. Esta comparacin puede hacerse de dos modos, puede compararse cunto excede una a la otra (razn aritmtica) o cuntas veces contiene una a la otra (razn geomtrica). La primera de estas comparaciones slo puede establecerse entre cantidades de la misma especie, por ejemplo, entre longitudes, pesos, velocidades. Las magnitudes que estn relacionadas por una razn geomtrica se dice que son proporcionales; por ejemplo, la velocidad es la razn entre el espacio recorrido y el tiempo en que se ha recorrido ese espacio; el ritmo cardaco es la razn entre las pulsaciones del corazn y el tiempo.

La proporcin es la igualdad de dos razones geomtricas:

Los trminos representados por a, d son los extremos; los trminos b, c son los medios.

La propiedad fundamental de las proporciones dice: el producto de medios es igual al producto de extremos (ad = bc). Esta propiedad permite que dados tres elementos de la proporcin, se pueda hallar el cuarto.

Esta proporcionalidad nos lleva a la denominada regla de tres. Si falta uno de los trminos de la comparacin, se puede hallar mediante operaciones, con los otros tres. As a=1; b=2; c=3; d=x

PROPORCIONES

1. Qu dice la propiedad fundamental de las proporciones?2. Qu permite la propiedad de las proporciones?

Evidentemente, existen infinitas partes alcuotas de la unidad: las UNIDADES FRACCIONARIAS. Y cada unidad fraccionaria tiene un nmero infinito de MLTIPLOS. Estos mltiplos se llaman FRACCIONES.

Las fracciones son redundantes como coordenadas de puntos en la recta real.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 1

_1410194379.unknown

_1410195551.unknown

_1410193967.unknown