LOS GRUPOS DE SIMETRÍA EN LA ENSEÑANZA DEL ÁLGEBRA. Estructuras geométricas en el álgebra

o

Estructuras algebraicas en la geometría

Lic. Alberto SotoEscuela de Ciencias Exactas y NaturalesUNED Costa Rica, 2011

Objetivo

Lograr con los grupos de simetría del rombo y el triángulo un acercamiento más intuitivo y concreto de la solución de ecuaciones y la simplificación de expresiones algebraicas

Problema

El álgebra en secundaria representa uno de los problemas más grandes relacionados con la enseñanza de la matemática tanto en la enseñanza media como  en los primeros cursos universitarios de matemática

Los  procedimientos de simplificación de expresiones algebraicas, la expansión, la  factorización y resolución de ecuaciones, son para los estudiantes una de las mayores dificultades en el estudio.

Grupos de simetría (I)

Con los grupos de simetría se pretende ejemplificar las diferentes propiedades de las estructuras algebraicas, tales como la asociatividad o el elemento neutro, que en secundaria normalmente se hace solo cuando los conjuntos son subconjuntos de los números reales y las operaciones son la suma o el producto.

Grupos de simetría (II)

El objetivo de esta aproximación es notar que la simplificación de expresiones o la resolución de ecuaciones pueden tener un sentido concreto más fácil de interpretar y utilizar.

Definición de grupo

Una estructura algebraica es un grupo si y solo si es una estructura asociativa y toda ecuación de la forma tiene solución única para todo

oax b xa b= =,a b

Tabla de la operación

Cuando el grupo es finito se puede escribir todos los resultados por medio de una tabla, llamada Tabla de la Operación. Hay dos formas frecuentes matricial y cartesiana.

Ejemploforma matricial

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

1 1

i i

i i

i i

i i i

i i i

- -

- -

- - -

- -

- - -

g

RESULTADO IMPORTANTE: En un grupo, un mismo elemento no se repite en la misma fila o columna

Movimientos “Rígidos”

Se llaman Movimientos rígidos a aquellos movimientos que dejan la figura en la misma posición aunque sus vértices pueden haber cambiado. En el caso del rombo son cuatro, cada movimiento se le puede asociar una acción: Rotar o Reflejar

Rotación de 360º o 0º

IIIIIIIIII

IIIIIIIIII

I

Rotación de 180º

IIIIIIIIII

IIIIIII

III

R

Reflexión Vertical

IIIIIIIIII

III

IIIIIII

V

Reflexión Horizontal

IIIIIIIIII

III

IIIIIII

H

Operación

Se realiza dos movimientos simultáneos y siempre se obtiene uno de los indicados

I

II

III

IIII

I

II

III

IIIIH R

I

II

III

IIII

ResultadoI

II

III

IIII

I

II

III

IIIIV

I

II

III

IIII

I

II

III

IIIIH R

I

II

III

IIII

¡H·R=V!

Otros resultados en la Tabla de la operación

I R V H

I I R V H

R R I

V V I

H H V I

Los otros resultados corresponden en un caso a la aplicación de la misma acción dos veces que siempre da I, y en el otro a la aplicación de la rotación de 360º que no modifica el resultado (por lo que se le llama a I el elemento NEUTRO).

H·R=V (Calculado antes)R·R=I

H·H=IV·I=V

Usando la propiedad asociativa para calcular H·V

Dado que H·R = VEntonces H·V=H·(H·R) y por asociatividad es igual a

(H·H)·RY dado que H·H = I y que I·R = R porque la

acción I no modifica la posición de los vértices.

Se concluye H·V = H·(H·R) = (H·H)·R = I·R = R

Rellenando la Tabla de la operación

I R V H

I I R V H

R R I

V V I

H H V R I

W W

W W

El resultado VR=H se deduce porque es el único elemento que falta en la columna.Sucede lo mismo con el resultado RV=H. El resultado RH=V se obtiene luego de calcular RV=H por lo que debe dar el elemento que hace falta, lo mismo para VH=R

R·V=H

H·V=R V·H=R

V·R=HR·H=V

Simplificación de expresiones ¿Qué pasa si se tiene una secuencia de

movimientos rígidos? Por ejemplo

H·R·V·I·R·R·H·V·V·V·H·I·R·V

Lo que se quiere hacer en lugar de realizar cada uno de estos movimientos es obtener una “síntesis” o simplificación

Simplificando (I)

La propiedad asociativa nos dice que no hacen falta los paréntesis para darle significado al esta expresión.

Se sabe que R·R=V·V=H·H= I Podemos eliminar I cada vez que

aparece porque no altera el resultado. Con esto: H·R·V·I·R·R·H·V·V·V·H·I·R·V = H·R·V·H·V·H·R·V

Simplificando (II)

Podemos iniciar de izquierda a derecha colocando los resultados de la tabla:

(H·R)·(V·H·V·H·R·V)= V·(V·H·V·H·R·V) = (V·V) ·(H·V·H·R·V) = (H·V)·(H·R·V) = R·(H·R·V) = (R·H)·(R·V) = V·H

= R

Resolviendo ecuaciones

Determinar el movimiento X tal que R·X·V=H

Como es un conjunto finito hay dos estrategias: Fuerza bruta: Sustituya uno a uno los

elementos del conjunto para encontrar la respuesta al problema.

Usar las propiedades de la estructura y los resultados ya conocidos.

Estrategia algebraica

Consiste en aplicar movimientos a ambos lados de la igualdad con la idea de dejar la letra X sola al lado izquierdo de la ecuación.

Ejecución

R·X·V=HAplicando R a la izquierda en ambos lados

R·(R·X·V)=R·H Simplificando a la derecha y calculando a la

izquierdaX·V=V

Aplicando V a la derecha en ambos lados (X·V)·V=V·V

Simplificando a la derecha y calculando a la izquierda

X= I

Respuesta

La solución de la ecuación R·X·V=H es X=I

Actividad evaluativa

Considere un triángulo equilátero.

I

II

III

Simetrías del Triángulo equilátero

I

II

III

I

II

IIII II

IIII

II

III III

III

I

II

III

Los elementos

Llame I la rotación de 360º Llame R la rotación de 120º Llame RR la rotación de 240º Llame S la reflexión vertical (90º) Llame T la reflexión sobre la mediatriz

que pasa por II (30º) Llame U la reflexión sobre la mediatriz

que pasa por III (150º)

La estructura de grupo

Complete la siguiente tabla calculando RS en forma directa y utilizando la asociatividad para otros que usted debe escoger, no olvide la condición de que no se repiten los elementos en la fila o la columna

I R RR S T U

I I R RR S T U

R R RR I

RR RR I R

S S I

T T I

U U I

Simplifique y resuelva

A cuál de los anteriores elemento equivale los siguientes movimientos

RR R S T U R R T RR U S R T =¿ ? ¿cuál movimiento X se necesita para que

se satisfaga la igualdad?RR S T X U R = S T R U

Resumen

Las estructuras algebraicas presentadas se llama Grupo de isometrías de un rectángulo también llamado Grupo de Klein y de un triángulo equilátero

El método para la simplificación está sustentado en la existencia del elemento neutro y la asociatividad.

La estrategia para resolver ecuaciones utiliza la noción de inverso, estos dos conceptos presentes en la Teoría de Grupos.

Para saber más

Ayres, F. (1991). Álgebra Moderna. Serie Schaum. Mexico: McGraw-Hill.

Fraleigh, J. (1988). Algebra Abstracta. Primer Curso. Mexico: Addison-Wesley Iberoamericana S.A.

Soto, A. (2011). Elementos de Álgebra Moderna. San José, Costa Rica: EUNED.