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UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

ESCUELA UNIVERSITARIA DE POST GRADO

ECONOMIA GERENCIAL

MAG. JOSE ANTONIO AREVALO TUESTA

LOS PRODUCTORES

ASIGNACION DE RECURSOS EN LA EMPRESA

1. FUNCION DE PRODUCCIÓN

Es la relación que existe entre los insumos o factores productores y el producto total sujeto a una tecnología. Matemáticamente es representado por variables dependientes (productos) e independientes (insumos).

A=∫(a1 , a2 , a3 . .. . .. ..an )Donde: A = producto total

A1, a2, a3…….an = Insumos o Factores o Productivos.

Las funciones de producción homogénea corresponde a función de producción especiales en la teoría económica (función de Cobb Douglas).

Estas funciones representan aumentos mayores, menor o iguales en volumen de producción, como consecuencia de aumentos proporcionales en los insumos, permitiendo establecer grados ve variación en los funciones de producción. Ejemplo por decir algo, aumentando la calidad de uso de todos los insumos en un 12% generaría un aumento en el volumen de producción del 10%.

La función es HOMOGÉNEA (por que al aumentar los insumos aumenta la producción), pero es de grao menor a la unidad (por que la variable dependiente, producción, OUTPUTS; aumenta en menor proporción que el aumento en la variable independiente; insumos outputs).

Pero si frente a la tasa de aumento en la cantidad de uso de los insumos o INPUTS el volumen de producción o OUTPUTS aumenta en un 13% estaríamos frente a una función homogénea de grado mayor a la unidad.

Si el aumento en el volumen de producción o OUTPUTS fuera del 12%, entonces la función es homogénea en grado uno, denominado también “LINEALMENTE

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HOMOGENEA”, Ejemplo > q = AB aumentado el uso de “A” y “B” en L entonces se tiene que la LB = L2 LB = L2q

La función es de grado dos:

q= ABA+B

aumen tan do el usodeA y B en L se tiene que :

K =

CTPX

− LPLPK

K=CTPK

−PL¿PK ¿

¿(L )⋯⋯(−PL/PK ) , la relacion entre los ¿

Precio de los inputs, muestra la inclinación de la respectiva recta y es decreciente por el signo negativo que lo precede.

El desarrollo de la función de producción está representada por un conjunto de curvas de Isocuantas, a la que se denomina: “el mapa de Isocuantas” indica las posibilidades técnicas de la empresa.

M

Q

D

B

q5= 5000 unid.

q4= 4000 unid.

q3= 3000 unid.

q2= 2000 unid.

q1= 1000 unid.

Z = F (LM)

A

D E

L

M

A B M

KD EB D EM

E

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De acuerdo al siguiente diagrama, económicamente no es posible llevar a cabo el proceso de producción en los siguientes niveles de outputs,

q5 = 5000 unidades, utilizando inputs E, E

q4 =4000 unidades, utilizando inputs D, D

q3 = 3000 unidades, utilizando inputs A, A

q2 =2000 unidades, utilizando inputs B, B

q1 = 1000 unidades, utilizando inputs M, M

De las tres alternativas económicamente posible; q3= 3000 unidades, es la que mas se adecua a la maximización de la producción.

Por otro lado, el problema de equilibrio implica un costo mínimo para un volumen outputs dado, de acuerdo a nuestra figura el equilibrio de la firma se origina cuando las curvas de posibilidades técnico y económico se interceptan y esto se da en

q3 = 3000 unidades.

De esto se deduce que los costos mínimos requieren la condición de tangencia entre las curvas de posibilidad técnica-económica.

El punto de tangencia M, debe encontrarse en la zona de sustitucionalidad, y muestra la combinación cuantitativa de inputs, “L” e “K”, que deben emplearse para alcanzar las 3000 unidades. Esta combinación y no otra deberán elegir la firma.

Es necesario una nota de advertencia, el punto “M” (punto de tangencia), indica combinaciones de diferentes cantidades de inputs “L” o “K”, para obtener el nivel de producción q3 = 3000 unidades; el cual es un punto en la curva de Isoproducto , se encuentra ubicado en la zona de sustitucionalidad.

Al punto “M” le corresponde una relación técnica de sustitución o taza marginal de sustitución…dk/dl (inclinación de la tangente). Esta relación técnica de sustitución debe coincidir con la recta de Isocoste, que también es tangente a la curva q3 = 3000 Unid. Por el mismo punto “M” , en consecuencia, si las dos tangentes coinciden, sus inclinaciones deben ser iguales entre sí. En otro términos dk/dL=PL/PK.

De acuerdo con esta igualdad podemos expresar. “La relación técnica de sustitución del inputs “k”, por el inputs “L” es igual a la relación de precios dichos inputs. De esto se deduce, que para determinar el equilibrio de la firma se debe considerar el carácter técnico económico.

Por otro lado el equilibrio de la firma implica alcanzar el nivel de outputs optimo y se alcanza minimizando recursos o maximizando producción.

L

Z

0

Pendiente = 0

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EQUILIBRIO ANALITICO DE LA FIRMA MAXIMIZACION DE LA PRODUCCION

a) En el supuesto de conocer el volumen de outputs, la función correspondiente será Z = F (L,K). de esta función se deriva la curva de Isoproducto:

b) El problema que se plantea es determinar los costos mínimos con los cuales se producirá aquel nivel de outputs. Establecemos nuestra función de costo, bajo el siguiente supuesto:

CT= Costo total

PL = Precio de Inputs “L”

PK = Precio del Inputs “K”

CT = Lpl + Kpk

Hay que minimizar el costo de producción sujeta a la condición respectiva de la función de producción. Se trata de un problema de mínimo condicionado. Para ello a la función de producción, añadimos un término LAMBDA:

(A = 0 a 0; Numero arbitrios, método del multiplicador indeterminado de LAGRANGE)

Luego transformamos términos en la función de costos lo que a su vez será multiplicado por Lambda, obteniendo la siguiente función general:

CT = Lpl ¼ Kpk

CT = Lpl – Kpk = 0

Z = F (L, K) + A (CT – Lpl –Kpk)

c) Luego para maximizar producción minimizar costos, hay que aplicar derivadas parciales al a función de producción y de costos. La condición necesaria para un mínimo costo o para un máximo producción que:

DZ/DL = 0

DZ/DK = 0

K

Z

0

Productividad Marginal = 0

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d) Derivando “L” dejando “K” constante:

DZ/DL = D = DF (D, K) / DL… cambio de “Z” ante cambio infinitesimal de “L”.

DZ/DL = L = Pmgl

Z = F(L, K) +A (CT – LPL – KPK)

Z = F( L, K) + A CT – A LPL – A KPK

Derivada parcial con respecto a “L”

DZDL

=DE (L, K ) +

DLD A CTDL

− D A LPLDL

−D A LPK )=

DL

DZ/DL = PmgL + 0 – l A PL – 0 = 0

DZ/DL = PmgL - A PL = 0

Realizando pasaje de termino

PmgL – A PL =0…………..A = PmgL/PL Condición de equilibrio con respecto a “L”

e) Derivando “K” dejando “L” constante:

DZDK

=DL (L , K )DK

= 0⋯⋯Cambio de “z” ante cambio infinitesimal de “K”

DZDK

=K=PmgK

Z = F (L, K) + / (CT – LPL – KPK)

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Z= F (L, K) + / CT - / LPL - / KPK

Derivado con respecto a “K”

DZDK

=DF (L , K )DK

+ D / CTDK

− D / LPLDK

D / KPKDK

= 0

DZ/DK = PmgK + 0 – l/ PK – 0 = 0

DZ/DK = PmgK - / PK =0

Realizando pasaje de término

PmgK – PK = 0……… / = PmgK/PK condición de equilibrio con respecto a “K”

CONDICION GENERAL DE EQUILIBRIO

Estando la función de costos sujeta a la función de producción es necesario relacionarlos. Dando como resultado la expresión representada por LAMBD.

/ 0 PmgL/PL = PmgK/PK

Las productividades marginales de los factores deben ser proporcionales a sus respectivos precios. Generalizando tenemos:

/ = PmgL/PL = PmgK/PK =…….. PmgN/PN

EQUILIBRIO DE LA PRODUCCION O EQUILIBRIO DE LA FIRMA

EJERCICIOS

La función de producción y la función de costo está representada por las siguientes igualdades.

Z = F (L, K)

CT = Lpl + KpK

Donde L y K son las respectivas cantidades que se adquieren de insumos para el proceso de producción. “pL” y “PK” representan los precios de L y K.

a) Deducir analíticamente el equilibrio de la firma, sujeto a la restricción respectiva (método del multiplicador indeterminado de Lagrange).

DESARROLLO

Para representar de Lgrange estudiaremos en primer lugar la condición necesaria para que ………….Z =F (F, K) sea un valor extremo, sujeto a una restricción . CT =Lpl + KpK.

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a) Para que la función Z = F (L, K) tenga un valor máximo o mínimo sujeta la restricción CT = Lpl + Kpk; es necesario que:

DZ = 0 (Condición necesaria para un valor extremo)

DZ = DZ DLDL

+ DZ DKDK

= 0 (DZ es igual a cero por ser “Z” constante.

DZ = PmgL DL + PmgK DK………… PmgL + PmgK DK =O

PmgK DK = - PmgL DL

DK/DL = - PmgL/Pmgk

b) DCT=0 ( DCT debe ser igual a cero a fin de que sean mínimos los costos)

Dct = pldl + pk dk =0…………..pldl + pk dk =0

dkdl

= − plpk

c) Para relacionar la función de producción con la funcion de costos iguales las expresiones encontradas en : “a” y “b”.

plpk

= − PMgLpk

d) Transponiendo términos tendremos la siguiente igualdad:

PMgKpk

= − PMgLpl (PMgK/pk = productividad marginal ponderando el factor “K”).

De esta expresión se deduce el teorema de la igualdad de las productividades Marginales Ponderadas; que dice “que los costos mínimos corresponden a aquella combinación de factores para la cual las productividades marginales ponderadas de cada factor son iguales entre sí.

Inclinación de la curva de Isonancia.

Inclinación de la curva de Isonancia

Los costos son mínimos cuando el cociente entre los precios de los factores, son iguales al cociente, entre las productividades marginales físicas de los factores).

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e)

PMgKpk

=PMgLpl

……condición necesaria para que los costos sean mínimos.

(PMgK) (PMgL) (PK) = 0

f) Además de la condición necesaria debe haber otra condición suficiente la cual requiere que la segunda derivada sea mayor que cero (0). La condición suficiente significa que hay que derivar nuevamente la función de costos.

d2 CT = pk d2 K/dL2 > 0

para que la segunda derivada de la función de costos sea mayor que cero (0), dependerá de las siguientes condiciones:

a. Que las productividades marginales ponderadas sean iguales entre sí.

b. Que la curva de Isocuanta sea convexa hacia el origen del sistema de coordenadas.

g) Para determinar la cantidad de uso de cada factor, que minimice producción y que minimice costos, re solvemos el siguiente sistema de ecuaciones.

PMgK. pl – PMgK. pk = 0

L. pl + K. pk = CT

EEJERCICIOS

1. Una firma utiliza Inputs (mano de obra, materia prima), para Producer el bien “Z”, la cantidad de outputs está en relación a la cantidad de uso de cada Inputs. esta relación se muestra por medio de la siguiente igualdad.

Z = F (M.O., M.Pn,…., m.o, m.p.).

El precio de los Inputs en el mercado de factores es:

Pmo = precio de la mano de obra.

Pmp = precio de la Materia Prima.

a. Hallar la ecuación que representa la máxima producción, en función a la cantidad de uso de cada factor productivo, con sus respectivos precios .

b. Interpreta cada paso elaborado

2. La combinación de dos inputs. “m” y “n”, da como resultado la siguiente ecuación:

P =F(9nn + 3m

3).

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Llevar a cabo el proceso de la producción significa un desembolso de 54.00.

La retribución del factor “n” es de 6.00.

La retribución del factor “m” es de 9.00.

a. Calcular la producción máxima, que implique el equilibrio de la firma.

b. Qué cantidad de ambos inputs se está utilizando en la obtención de la máxima producción.

c. Calcular la taza marginal de sustitución de los respectivos inputs.

3. La función de producción está representada por la siguiente igualdad:

Z = F(a1, a2,…….an).

La función de costos.

CT=∑i=1

n

w1 a1

En donde a1, a2,…., an.

W1, w2,…., wn; son los costos respectivos de los factores

W1, W2,…., Wn (salarios, rentas, intereses).

Se supone que el costo de producción es constante y de acuerdo a este desembolso (restricción), existe un máximo restringido en el nivel de producción.

a. ¿Qué condición deberá satisfacerse para deducir las cantidades de equilibrio de los insumos de factores para obtener una satisfacción máxima?

4. Si la función de producción de una determinada empresa está representada por la siguiente igualdad:

P = F(81 + 22q2 - q12 - q2

2)

Y la respectiva restricción presupuestal, está representada por la siguiente ecuación: 12 = q1 + 2q2

a. Determinar los valores de q1 y q2 que maximiza la producción.

b. Calcular la producción máxima (equilibrio de la firma).

5. Teniendo en cuenta la siguiente función de producción y la respectiva función de gasto.

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Z = 201 +402 + 212 - 32

2

28 = 41 + 52

a. Calcular las cantidades de insumos de X1, X2 que se están aplicando para obtener mayor producción.

b. Compare los valores de las productividades marginales ponderadas.

c. Calcular la máxima producción aplicando el multiplicador de Lagrange.

6. La función de producción está representada por la siguiente igualdad:

Z= 18 − 12X2 − y2

Donde “” e “y”, son respectivas cantidades que se adquieren de factores productivos e Y.

En el supuesto hipotético que el gasto de producción de la firma es de S/.24.00; y que los precios de “” e “Y”, de S/.4.00 y S/.6.00 respectivamente.

a. Determinar las cantidades de “X” e “y”, para la obtención de una máxima producción, sujeta a la restricción respectiva.

b. Compare los valores de las productividades ponderadas de ambos factores.

7. La función de producción de la empresa “LARK” está representado por la siguiente ecuación:

Z = 15X + 26Y + 2XY - X2 - 2Y2

En donde “x” e “y” son insumos de diversas clases de trabajo (trabajo calificado, trabajo no calificado). Supóngase que los salarios para “x2 e “y” son S/. 12.00 y S/. 8.00 respectivamente; y que la compañía puede gastar únicamente S/. 200.00 en insumos.

a. Encontrar la producción máxima (se utiliza la unidad de medida para Z, que para el costo de producción).

b. Calcular el valor de las productividades marginales ponderadas.

8. La función de producción de una fábrica de camisas está dada por la siguiente ecuación:

P =. x2 el precio de x1 en el mercado de los factores es de S/. 3.00, el precio de x2 es de S/.6.00. Si la compañía estima tener un costo de producción por periodo de S/. 50.00, se desea saber:

¿Qué cantidad se compraría de x1 y x2 , para producir con el mínimo costo.

Ejercicios

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Razonar cuidadosamente lo siguiente. Contestar verdadero (V) o falso (F). Sustente su respuesta.

1) La cantidad de bienes que genera un costo unitario variable (CVMe) se denomina “mínima explotación” y la empresa está operando a largo plazo.

2) Aun siendo los precios de venta y = 0 habrá desembolsos por concepto de depreciación alquileres, impuestos y otros rubros considerados como gasto fijos.

3) La empresa esta en condiciones de iniciar su proceso de producción, cuando el precio en el mercado del bien sea igual al costo variable medio mínimo; ya que la política de la empresa debe garantizar a lo menos la cobertura de los costos variables.

4) Siendo el precio de venta al menos igual al costo medio mínimo la empresa está en condiciones de cubrir la totalidad de sus gastos asegurándose la estabilización. Sin embargo, si tal precio de venta fuera inferior a ese costo mínimo la empresa dejara de cubrir parte sus costos variables y dejara de funcionar.

5) El precio de -2fuga amoroso” es crítico por que coloca a la empresa en una situación de inestabilidad, cuando el precio de venta en el mercado es inferior a dicho precio de fuga.

6) El óptimo de explotación implica un costo medio mínimo que debe ser igual al precio de venta del mercado e igual al precio.

7) El volumen de producción de mínimo explotación implica recuperar únicamente los costos variables y a partir de este nivel la curva de costo marginal se convierte en curva de oferta a corto plazo.

8) Considerando que los recursos tienen diversos usos o empleos alternos y siendo propiedad de empresa bien podrían constituir “los impuestos implícitos”.

9) El costo de oportunidad considera los costos invisibles.

10) La producción a corto plazo está referida al tiempo en que la empresa no puede modificar la escala de planta o escala de producción. A largo plazo puede modificarla y hace suya los costos que dependen únicamente del volumen de producción.

11) El Sr. Gonzales es analista de costo en la Cía. Importadora y obtiene un remuneración mensual de S/. 801.000 mensual, tiene la oportunidad de ser aceptado en la empresa de llave S.A. con una remuneración S/. 1`200.000,000; S/. 1`200,000 es el costo de oportunidad.

12) Un hostal se adquiere en S/. 100`000,000 pero si el precio en el mercado al cabo de 30 días aumenta en un 50%. El valor económico es de S/. 150`000,000.

13) Los bonos de reconstrucción serie A.1. tiene un valor nominal de S/.10`000 actualmente se está negociando en la bolsa de Valores a un 158% de su valor nominal.

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14) La primera práctica calificada es el 25 – 11 – 09 , el alumno x va a la playa el 24 – 11- 09. Costo alternativo esta dado por el hecho de no estudiar o no leer el capitulo de costos o producción de Grayar Pacheco.

15) Dos estudiantes; uno de contabilidad y el otro de economía, tienen un ahorro de un millón de soles. Se ponen de acuerdo en invertir en compra de dólares adquiriéndolos a S/. 6,500 cada dólar. Pero al día siguiente aumenta el valor del dólar en S/.20 más. Uno de ellos piensa que más importancia tiene el haber comprado el dólar el día anterior y el otro piensa que mayor valor tiene el dólar comprado a S/. 6.520 o es decir el precio en la que podría obtener el presente día. ¿Cuál de ellos es el estudiante de economía y cuál es el de contabilidad? Explique.

16) Una función de producción representa retornos a escala constante, entonces es imposible que se cumple la ley de rendimiento Decrecientes de cada factor.

17) La función de producción

o=ALa K1−a

Donde

a+(1−a)=1Implica rendimientos crecientes.

18) La producción en el caso de los factores, efectuara cuando el producto marginal de un factor sea decreciente y del otro creciente.

19) La curva envolvente del CMe a largo plazo es tangente en el mínimo de las curvas CMe en el corto plazo; ya que a largo plazo la empresa opera con el mínimo costo posible.

20) Una empresa fija el precio de distribución de un producto X, precio que representa un 10% sobre el CMe de producción, en consecuencia maximiza beneficio.

21) La posición de equilibrio a largo plazo se caracteriza por ausencia de beneficios, las empresas no tienen beneficios ni perdidas sino beneficios contables.

22) El precio de K es la tasa del interés del mercado (tasa activa) .

23) La Cía. Revilla tiene 3 maquinarias como factor sustitucional, desembolsa S/.12 por operador cada máquina, realiza a su vez la contratación de 0 – 10 trabajadores, cada quien percibe una remuneración de S/.10, el volumen de producción está representado por los siguientes datos:

Así mismo mediante un estudio del mercado se sabe que el precio de cada unidad producida es de S/. 20.

La gerencia desea saber:

A. Producción que genera la máxima utilidad.

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B. Combinación maquina – trabajadores que genera un mínimo costo.

C. Combinación que genera una máxima utilidad.

Lunes, de 30 junio de 2014