LPO. Traducción

8/9/2019 LPO. Traduccin

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TRADUCCIN A LOS LENGUAJES DE PRIMER ORDEN.

Para traducir del lenguaje natural al lenguaje formal lo primero que debe establecerse es un diccionario detraduccin1. En l se especificarn los smbolos a utilizar.

Hay smbolos que se repetirn para cualquier lenguaje de primer orden (LPO). Las conectivas, cuantificadores ysmbolo de identidad, pertenecen a esta categora. Pero cada lenguaje en particular tendr su propio repertorio deconstantes, variables, y relatores. Tambin pueden presentarse ligeras variaciones en la notacin, que no afectan alsignificado de las expresiones. Aqu vamos a seguir las indicaciones dadas en los apuntes correspondientes a la sintaxispara LPO.

Cabe aclarar, por ltimo, que no hay reglas mecnicas para llevar a cabo la traduccin. Slo pueden darsealgunas directivas generales y requiere de prctica. Lo que siempre debe guiarnos es la idea de intentar recoger, en ellenguaje simblico, lo que se dice en el enunciado espaol original. En definitiva, de no desvirtuar su significado. Unatraduccin bien lograda es verdadera o falsa en las mismas circunstancias que el enunciado original.

EXPRESIONES QUE NO REQUIEREN VARIABLES.Algunas oraciones del lenguaje natural contienen expresiones que sirven para designar inequvocamente un

objeto particular. En LPO utilizamos constantes para traducirlas. Desde el punto de vista de su estructura lgica lasoraciones:

1) Fido es un perro.2) Hay perros.

si bien tienen alguna similitud, presentan importantes diferencias. En un caso estamos hablando de una entidadparticular bien identificada: el perro Fido. En el segundo de una cierta cantidad (al menos uno) de animales, pero laexpresin no nos dice quines son. Son individuos indeterminados. Veremos ms adelante la manera de traduciroraciones como (2). Introducimos el correspondiente diccionario, y traducimos:

Diccionario:Cx: x es cuadrpedo. Px: x es un perro.Mx: x es mamfero. Gxy: x es ms grande que y.b: Bobby; t: Tom; f: Fido.

Para decir que ciertas entidades tienen una propiedad, o estn en determinadas relaciones, llenamos los lugaresque ocupan las variables con las constantes que nombran a dichas entidades. Por ejemplo: para decir que una entidad esun perro, ponemos el nombre de esa entidad en el lugar que ocupa x en Px. A continuacin ofrecemos una tabla detraducciones:

ORACIN TRADUCCIN A LPO1 Fido es un perro Pf 2 Tom es mamfero Mt3 Bobby es cuadrpedo. Cb4 Fido es ms grande que Bobby. Gfb5 Fido es un perro cuadrpedo. Pf.Cf 6 Bobby es un mamfero cuadrpedo. Mb.Cb

7 Si Bobby es cuadrpedo, es ms grande que Tom CbGbt8 Tom es mamfero o Fido es cuadrpedo. MtCf9 Si Tom es ms grande que Bobby entonces es mamfero. GtbMt10 Bobby es ms grande que Tom, y tambin mamfero. Gbt.Mb11 Si Tom es perro, entonces es cuadrpedo. PtCt12 Tom es un perro cuadrpedo si, y slo si, es un mamfero

ms grande que Fido.(Pt.Ct) (Mt.Gtf)

Hemos introducido, en otros apuntes, las expresiones espaolas que suelen traducirse por las conectivas deLPO.2

EXPRESIONES CUANTIFICADAS.

1 Estas nociones fueron introducidas en la teora de lasintaxis para la lgica de primer orden.2 En los apuntes que llevan por ttulo:Lgica Proposicional. Conectivas veritativo-funcionales.


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Algunas oraciones contienen expresiones de cantidad o existencia como:A) hay, existe, algn, algunos;3

B) Los..., Todos, Cualquier, Ningn, (entre otras).

Necesitaremos ciertos recursos tcnicos para traducirlas. En primera instancia, lo que puede decirse con el

alfabeto LPO es que: al menos un elemento del universo de discurso tiene determinada propiedad, o se encuentra enciertas relaciones con otro/s; o bien, que ello se cumple para todos los elementos del universo de discurso . Para el primercaso, que cubre la serie A, utilizamos el cuantificadorexistencial . Las expresiones del tipo de B ser traducidas con el cuantificadoruniversal.

ORACIN TRADUCCIN A LPO1 Hay cuadrpedos. xCx2 Nada es cuadrpedo. x Cx xCx3 Algo es perro. xPx4 Algo no es perro. x Px5 Todos son mamferos. xMx6 No es cierto que algunos no son cuadrpedos. x Cx

7 Algunos son perros. xPx8 Todos son perros. xPx9 No todos son perros. xPx x Px10 Algunos no son cuadrpedos. x Cx

Los enunciados traducidos en la tabla anterior son bastante sencillos y, de hecho, relativamente inusuales. Lasexpresiones existenciales como Hay mamferos son un poco ms comunes. Pero que tengamos ocasiones de afirmarcosas como Todo es mamfero o Nada es mamfero es raro.NOTA:Debemos recordar que las expresiones espaolas que traducimos son siempre enunciados. Por lo tanto, tendremos quecuidarnos de que sus traducciones tambin lo sean. Si quedan variables libres la traduccin es incorrecta. (En concreto: esnecesario ubicar adecuadamente los parntesis cuando se requieran).

JUICIOS CATEGRICOS.Veremos ahora como traducir ciertos tipos de expresiones que han desempeado un papel muy especial en la

historia de la lgica: losjuicios categricos. Su teorizacin se remite a la obra de Aristteles, quien los clasific y mostrcmo se construyen razonamientos con ellos. Los silogismos categricos son razonamientos en los cuales se relacionantres trminos generales, repartidos en dos premisas, y que permiten inferir una conclusin. Aristteles elabor el primersistema deductivo de forma explcita y exhaustiva4.

Los juicios categricos se dividen en cuatro clases, de acuerdo con la relacin establecida entre los conceptos aque refieren. A continuacin damos un cuadro en el que especificamos el tipo de juicio categrico (A, E, I, O), laexpresin tradicional, y la traduccin a LPO:

Forma Cannica Traduccin en LPOA Todo S es P x (SxPx)

E Ningn S es P x (Sx Px)I Algn S es P x (Sx.Px)O Algn S no es P x (Sx. Px)

Siguiendo el ejemplo del cuadro podemos traducir, utilizando nuestro anterior diccionario:

3

Las expresiones con el y un estn emparentadas con esta serie, pero su traduccin es notoriamente ms engorrosa.4 Hay antecedentes mucho ms remotos, en oriente y occidente. Pero la de Aristteles es la nica obra sistemtica, decarcter puramente lgico, que ha llegado hasta nosotros.


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ORACIN TRADUCCIN A LPO1 Algn perro no es cuadrpedo. x(Px. Cx)2 Todo perro es ms grande que Fido. x(PxGxf)3 Todos los perros son mamferos. x(PxMx)4 Ningn mamfero es ms grande que Bobby. x(Mx Gxb) x(Mx.Gxb)5 Ningn cuadrpedo es mamfero.

x(Cx

Mx)

x(Cx.Mx)6 Todo mamfero es ms grande que Tom. x(MxGxt)

NOTA:Un enunciado que comienza con Ningn... puede parafrasearse cmodamente como No existe.., y entonces parecenatural traducir en smbolos como x.... Pero a veces es conveniente utilizar, como para el caso de los juicioscategricos de tipo E, la traduccin alternativa con (x). La ventaja principal es que la negacin no afecta al cuantificador,sino a la frmula que lo acompaa. En general preferiremos, para juicios categricos de tipo E, la traduccin que hemosdado, en lugar de: x(Sx.Px).

PAUTA PARA ENUNCIADOS UNIVERSALES Y EXISTENCIALES.ENUNCIADOS UNIVERSALES

Llamamos enunciados universales a expresiones del siguiente tipo:

Algunos ejemplos son:a) Todos los perros son cuadrpedos.b) Todos los perros cuadrpedos son mamferos.c) Todas las chicas salteas que juegan al ftbol van a la fiesta.d) Cualquier varn o mujer mayor de edad es un votante.e) Ningn menor de edad no emancipado es un votante.f) Los boxeadores mexicanos son aguerridos.Etc.

En general podemos parafrasear todas estas expresiones de la siguiente forma:

Para todo objeto, si es un ___________ entonces tambin es ____________

Con lo cual la traduccin al lenguaje simblico se hace ms inmediata:

FRASES NOMINALESAlgunas de las expresiones que traduciremos tienen como componentes a expresiones complejas, que establecen

una cierta condicin. Consideremos, por ejemplo:

a) Todos los perros cuadrpedos son mamferos.b) Todo perro ms grande que cualquier mamfero es cuadrpedo.

Podemos parafrasearlas, segn el criterio establecido antes, de la siguiente forma:

a) Para todo objeto x, si x es perro y tambin es cuadrpedo, entonces es mamfero.b) Para todo objeto x, si x es perro y x es ms grande que cualquier mamfero y, entonces es cuadrpedo.

Los enunciados anteriores contienen como partes suyas a las expresiones subrayadas. En ellas se expresa unacondicin. De acuerdo con esto, (a) dice que si algo cumple con la condicin deser tanto un perro como un cuadrpedo,entonces tambin ser mamfero. La condicin que se expresa en (b) es un poco ms compleja: ser perro, y ser msgrande que todo mamfero. Dichas condiciones vienen introducidas por lo que denominamos frases nominales. Loselementos de la condicin se conectan, cuando traducimos al lenguaje simblico, utilizando la conjuncin. En el caso delos enunciados universales la condicin debe preceder al condicional. Traducimos las frases nominales dadas comoejemplo de la siguiente manera:

a) Px.Cx, que se incluye en el enunciado:

x((Px.Cx)

Mx)b) Px.(y)(MyGxy), que se inserta en: x((Px.(y)(MyGxy))Cx)

Todos los ___________ son ____________

x ( ________ _________)


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Otros ejemplos de frases nominales podemos encontrarlos en algunos enunciados dados ms arriba: las chicassalteas que juegan al ftbol..., los varones o mujeres mayores de edad..., los menores de edad no emancipados...,los boxeadores mexicanos....

MS SOBRE ENUNCIADOS UNIVERSALESDespus de nuestro excurso por las frases nominales podemos precisar un poco mejor la pauta de traduccin

para enunciados universales.

Lo que la ltima enmienda significa es sencillo. Dice que la condicin expresada en una frase nominal debecolocarse antes del condicional; y, a la derecha de ste, se completar la traduccin de las expresiones que siguen alverbo principal del enunciado traducido. En el ejemplo que hemos dado, colocamos la traduccin de perro cuadrpedoantes del condicional, y a su derecha la correspondiente a es mamfero (donde es cumple la funcin de verboprincipal del enunciado original).

NOTA:Para algunos principiantes la traduccin correcta de Todo perro es cuadrpedo debera ser x(Px.Cx). Pero esto esincorrecto. Lo que en ese caso estaramos afirmando, si traducimos de nuevo al espaol, sera: Para todo objeto x que

pertenezca al universo de discurso, x es perro y x es cuadrpedo. O, en un espaol menos rebuscado, que todas lascosas son perros cuadrpedos. Cuando en realidad lo que queremos decir es que si algo es perro, entonces tambin sercuadrpedo. De ah que utilicemos el condicional y no la conjuncin.

Para dar un ejemplo intuitivo: supongamos que tenemos un cajn (nuestro universo de discurso) en el que, entreotras cosas, tenemos perros. Cuando usamos x(Px.Cx) estamos pidiendo que, para cualquier objeto dentro del cajn,sea verdadero que es un perro, y tambin sea verdadero que es un cuadrpedo. Osea que cualquier cosa que saquemos delcajn tiene que ser un perro y tiene que ser cuadrpedo (lo que no podr cumplirse puesto que en el cajn hay otras cosasadems de perros). Pero, adems, eso no es lo que queramos decir con el enunciado original. Lo que buscamos expresares lo siguiente: que cada vez que saquemos algo del cajn, si es verdad que es un perro entonces tambin debe ser verdadque es un cuadrpedo. Y eso es lo que dice un condicional: cuando sea verdadera la condicin tambin lo ser suconsecuente. Traduciremos, entonces, x(PxCx).

ENUNCIADOS EXISTENCIALESDenominamos enunciados existenciales a expresiones del siguiente tipo:

a) Algunos perros son cuadrpedos.b) Hay mujeres hermosas.c) Existen perros cuadrpedos que son mamferos.d) Algn perro que no es ms grande que todo cuadrpedo es tambin un mamfero.

La pauta de traduccin para enunciados existenciales es la siguiente.5

EXPRESIONES QUE REQUIEREN MS DE UN CUANTIFICADORHay algunas expresiones que requieren de ms de un cuantificador, y distintas variables. Aunque en estos casos

la complejidad aumenta, las pautas introducidas hasta aqu se mantienen.

Tomemos el ejemplo (d) dado ms arriba:5 Como ejercicio intente traducir a LPO los ejemplos dados.

x ([Condicin] _______ )

x ( [Condicin] . _________ )

RESUMEN- Para traducir ENUNCIADOS UNIVERSALES:

Debemos usar: y - Para traducir ENUNCIADOS EXISTENCIALES:

Debemos usar: .


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Algn perro que no es ms grande que todo cuadrpedo es tambin un mamfero.

Como es un enunciado que comienza con Algn.. sabemos que es existencial, y deber traducirse con . y .En este caso la condicin viene expresada por la frase nominal ...perro que no es ms grande que todo cuadrpedo.... Elverbo principal es va acompaado de la expresin mamfero, lo que deber traducirse a continuacin de la

conjuncin principal de la traduccin a LPO. Por ltimo, debemos reparar en la presencia de dos palabras de cantidad:algn... y todo...; ello indica que necesitaremos introducir dos cuantificadores con sus correspondientes variables, x ey. Podemos proceder por partes:

1) x es ms grande que todo cuadrpedo:y (CyGxy)6.2) perro que no es ms grande que todo cuadrpedo: Px. y(CyGxy). (Condicin)3) es un mamfero: Mx.7

Y ensamblando todas las piezas obtenemos: x( [Condicin] .Mx) que queda, insertando la condicin en su sitio: x ((Px. y(CyGxy)).Mx).8

Damos a continuacin otra serie de ejemplos, omitiendo los pasos intermedios del anlisis, que siempreproceden en acuerdo con las pautas que se han establecido:

ORACIN TRADUCCIN A LPO1 Todo cuadrpedo es ms grande que cualquier mamfero. x (Cx y(Gxy.My))2 Algn cuadrpedo es ms grande que todo perro. x(Cx .y(Gxy.Py))3 Algn cuadrpedo no es ms grande que algn perro

mamfero.x (Cx .y( Gxy.Py.My))

4 Ningn perro es ms grande que todo cuadrpedo. x (Px y(CyGxy))5 Ningn cuadrpedo ms grande que algn perro es

mamfero.x ((Cx .y(Gxy.Py))~Mx)

6 Todo cuadrpedo ms grande que cualquier perro es unmamfero o no es perro.

x ((Cx .y(PyGxy))(MxPx))

NOTA:En las frmulas que requieren el uso tanto de como de , debemos prestar especial atencin al orden en que se loscoloca. Si no se respeta el orden adecuado podramos decir algo distinto de lo que queremos. Tomemos el siguienteejemplo:

Todos los muchachos aman a alguna chica.

Diccionario:Mx: x es un muchacho; Cx: x es una chica; Axy: x ama a y.

1) x y (Mx(Axy.Cy))2) y x (Mx(Axy.Cy))

La primera traduccin dice que todos aman a alguna persona (donde el amado puede ser distinto para cadaamante). Pero la segunda dice que cierta persona (la misma para todos) es amada por ellos (el amado es el mismo paracualquier amante). El enunciado espaol original es ambiguo; no nos permite discriminar cul de las traducciones sera lacorrecta. Por lo general el contexto discursivo en el que se inserta nos indica cmo interpretar la expresin.

(Una ambigedad de este tipo permita la broma periodstica siguiente: Un hombre es asaltado cada cincominutos en la ciudad de Salta. Vamos a entrevistarlo en este momento)

ALGUNOS CASOS ESPECIALES

6 La expresin dice: para todo objeto del universo de discurso: si ese objeto es un cuadrpedo entonces x es ms grandeque l.7 Obsrvese que utilizamos la misma variable x, que utilizamos para representar a es un perro. Ello se debe a que el

objeto que ser perro y tambin mamfero, de cumplirse la condicin, es siempre el mismo.8 Y como la conjuncin es asociativa se puede prescindir de los parntesis que encierran a la condicin:x ( (Px. y(CyGxy)).Mx) = x(Px. y (CyGxy). Mx).


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FORMULAS CUANTIFICADAS CON CONSECUENTES DISYUNTIVOS.Suele inducir cierta confusin cierto tipo de enunciados como:

Todos los alumnos son irresponsables o estudiosos

A veces se interpreta como si se dijera que: todos los estudiantes son irresponsables, o todos ellos sonestudiosos. Si introducimos el siguiente Diccionario: Ax: x es alumno; Rx: x es responsable; Ex: x es estudioso;podramos traducir:

x(Ax Rx) x(AxEx)

Sin embargo la interpretacin dada es incorrecta. Lo que el enunciado original dice es lo siguiente: dentro delconjunto de los alumnos, si consideramos a cada uno, ste ser o bien estudioso o bien responsable. Y traduciremos:

x (Ax ( RxEx))

CONJUNCIONES APARENTESConsideremos el siguiente enunciado:

Los helados y los chocolates son deliciosos

El enunciado es universal, y presenta un aspecto similar a otros que ya hemos traducido. Tenemos unacondicin: todo lo que sea helado y todo lo que sea chocolate; el verbo principal son, y lo que expresamos acerca deaquellos objetos que satisfacen la condicin: x es delicioso.Diccionario: Hx: x es un helado; Cx: x es un chocolate; Dx: x es delicioso.

x ((Hx.Cx)Dx)

Puede parecer la traduccin natural. Pero es incorrecta. La condicin no recoge lo que el enunciado originalquiere expresar; y lo que en realidad estamos diciendo es: Cualquier objeto que sea helado, y tambin chocolate, esdelicioso. Esta interpretacin excluye los helados que no sean chocolate, y los chocolates que no sean helados; pero esoes distinto de lo que la oracin espaola dice. Hemos sido engaados por las ambigedades del lenguaje natural. Lapresencia de y nos hace pensar que se trata de una conjuncin. Pero la condicin debera traducirse ms bien como unadisyuncin: dado cualquier objeto, si es un chocolate o es un helado, entonces es delicioso. Y la traduccincorrespondiente:

x ((HxCx)Dx)

Otros ejemplos:1) Los polticos y los sindicalistas son corruptos.2) Los deportistas y los vegetarianos son saludables.3) Los boxeadores mexicanos y los soldados nepaleses son aguerridos.

ENUNCIADOS DE EXCEPCINUn ejemplo sera:

Todos promocionarn, menos los ingresantes

Diccionario: Px: x promociona; Ix: x es un ingresante.Una traduccin posible es: Si promociona, no es ingresante, y si es ingresante no promociona.

x(Px Ix) . x(Ix Px)

Pero la forma ms conveniente de traducir sera: Todos promocionarn si, y solo si, no son ingresantes:

x (Px Ix)

Maximiliano PAESANI


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Lgica. UNSa

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