Luento 7users.jyu.fi/~majkir/numen/luento7_flat.pdfLuento 7 Numeeriset menetelm at 10.4.2013 15 / 43...

Numeeriset menetelmat TIEA381

Luento 7

Kirsi Valjus

Jyvaskylan yliopisto

Luento 7 () Numeeriset menetelmat 10.4.2013 1 / 43

Luennon 7 sisalto

Interpolointi ja approksimointi

Interpolaatiovirheesta

Paloittainen interpolointi


Luku5: Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheesta

Interpolaatiovirheesta

Tasavalisella pisteistolla interpolaatiovirhetta voidaan arvioidaseuraavasti:

Lause 5.4 Olkoon a = x0 < x1 < · · · < xn = b tasavalinen pisteisto,h = xi+1 − xi ja f ∈ C (n+1)([a, b]). Silloin

|f (t)− pn(t)| ≤ Mn

4(n + 1)hn+1, t ∈ [a, b],

missaMn = max

x∈[x0,xn]|f (n+1)(x)|.



Esimerkki 5.5

Lause 5.4.:

|f (t)− pn(t)| ≤ Mn

4(n + 1)hn+1, Mn = max

x∈[x0,xn]|f (n+1)(x)|.

Olkoon f (x) = sin x , x0 = 0 ja xn = π. Talloin

maxt∈[x0,xn]

|f (t)− pn(t)| ≤ 1 · hn+1,

joten polynomi pn suppenee tasaisesti kohti funktiota f valilla [0, π],kun interpolaatiopisteiden lukumaaraa n kasvatetaan rajatta.



Interpolaatiovirheesta jatkuu

Lauseen 5.4. epayhtaloa on kaytettava varoen, silla vakio Mn

yleensa riippuu myos interp.polynomin asteesta n.

Lisaksi vakion Mn laskeminen mielivaltaiselle funktiolle f onkaytannossa aivan liian tyolasta.

Funktion f sileys ja datapisteiden paljous ei takaa pientainterpolaatiovirhetta, kuten seuraava klassinen Rungen esimerkkiosoittaa.



Esimerkki 5.6

Olkoon interpoloitava funktio f (x) = (1 + x2)−1.

Olkoon pn interpolaatiopolynomi, joka interpoloi funktiota ftasavalisissa pisteissa valilla [−5, 5].

Silloin voidaan osoittaa, etta

limn→∞

maxx∈[−5,5]

|f (x)− pn(x)| =∞.

Siis datapisteiden lisaaminen lisaa maksimi interpolaatiovirhetta.



Esimerkki 5.6 jatkuu

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-4 -2 0 2 4

’f.dat’’p10.dat’

Rungen funktiota interpoloiva oskilloiva interpolaatiopolynomi p10.



Esimerkki 5.7

Mikali interpolaatiopisteiden paikat voidaan itse valita, niintasavalinen pisteisto ei yleensa ole optimaalinen.Kuvassa on esitetty Rungen funktiota valilla [−5, 5] interpoloivatpolynomit p10 ja p20, kun interp.pisteina on kaytetty Tsebysevininterpolaatiopisteita. Tassa tapauksessa pn → f tasaisesti, kuninterp.pisteiden lukumaara n→∞.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -2 0 2 4

’cheby10.dat’’cheby20.dat’



Tsebysevin interpolaatiopisteet

Mikali interpolaatiopisteiden paikat voidaan itse valita, eitasavalinen pisteisto yleensa ole optimaalinen.

Pyritaan seuraavassa valitsemaan interp.pisteeterikoistapauksessa [a, b] = [−1, 1] siten, etta interpolaatiovirheminimoituu.

Eras ns. ortogonalisten polynomien luokka on Tsebysevin polynomit,jotka voidaan maaritella rekursiivisesti

T0(x) = 1, T1(x) = x , Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x), n ≥ 1.



Tsebysevin interpolaatiopisteet jatkuu

Valilla [−1, 1] polynomit Tn voidaan lausua myos trigonometristenfunktioiden avulla

Tn(x) = cos(n arccos x), n ≥ 0.

Yo. esityksesta nahdaan, etta

|Tn(x)| ≤ 1, |x | ≤ 1,

Tn

(cos

(2i + 1

2nπ

))= 0, i = 0, ..., n − 1.




Nyt voidaan osoittaa, etta jos interpolaatiopisteiksi valitaanTsebysevin polynomin Tn+1 juuret

xi = cos

(2i + 1

2n + 2π

), i = 0, ..., n,

niin

|f (x)− pn(x)| ≤ 1

2n(n + 1)!max|t|≤1|f (n+1)(t)|, |x | ≤ 1.




Yleiseen valiin [a, b] liittyvat Tsebysevin interpolaatiopisteet {xi}saadaan valin [−1, 1] interpolaatiopisteista {xi} affiinimuunnoksella

xi =1

2(a + b) +

1

2(b − a)xi .


Luku5: Interpolointi ja approksimointi 5.3. Paloittainen interpolointi

5.3. Paloittainen interpolointi

Jono interpolaatiopolynomeja ei valttamatta lahesty interpoloitavaasileaa funktiota kun interp.pisteita lisataan.

Tasavalinen pisteisto ja korkea-asteinen interpolaatiopolynomiaiheuttavat usein voimakasta oskillointia, sita voimakkaammin mitakorkeamman asteen polynomia kaytetaan.

Ratkaisu: Jaetaan havaintovali osavaleihin havaintopisteiden avulla jakaytetaan osavaleilla paloittaisia, matala-asteisia polynomeja.

Edelleen vaaditaan, etta osavaleilta yhdistetty funktio on silea.



Maaritelma 5.2.

Olkoon vali I = [a, b] jaettu n:aan osavaliin pisteilla

a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b.

Funktio s : I → R on k-asteinen splini, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:

1 Jokaisella osavalilla Ii = [ti−1, ti ], i = 1, . . . n, funktio s onkorkeintaan k-asteinen polynomi.

2 Funktiolla s on valilla I jatkuvat derivaatat kertalukuun k − 1 asti.



Splinit

Pisteita ti sanotaan splinin solmuiksi.

Yksinkertaisin, ensimmaisen asteen splini on paloittain lineaarinenfunktio.

Toisen asteen splini on paloittain kvadraattinen funktio; lisaksi senderivaatta on jatkuva koko valilla I .

Yleisimmin kaytetty splini on kolmannen asteen splini eli kuutiosplini,koska se on kaytannossa riittavan silea, mutta samalla helpohkostikonstruoitava.

Matala-asteiset splinit sopivat erinomaisesti interpolaatiotehtaviin,koska niilla ei ole taipumusta oskillointiin.



Splinit

Splinien kayttomahdollisuudet eivat rajoitu vain interpolaatioon.

Yleisempi funktion approksimointi, numeerinen integrointi jadifferentiaaliyhtaloiden ratkaiseminen voidaan tehda splinien avulla.

Myos tietokonegrafiikassa kaytetaan usein splineja sileiden kayrien japintojen muodostamiseen.



Kuutiosplinin kaytto interpoloinnissa

Olkoon vali I = [a, b] jaettu n:aan osavaliin pisteillaa = t0 < t1 < · · · < tn = b ja olkoon annettu datapisteisto

(ti , yi ), i = 0, ..., n. Merkitaan

hi := ti − ti−1, i = 1, 2, . . . , n.

Splinin tulee nyt toteuttaa interpolointiehto

s(ti ) = yi , i = 0, ..., n.

Kuutiosplinin maar. perusteella s, s ′ ja s ′′ ovat jatkuvia valilla I .

s on paloittain kuutiollinen polynomi ⇒ s ′ paloittain kvadraattinenpolynomi ja s ′′ paloittain lineaarinen polynomi.



Kuutiosplinin kaytto interpoloinnissa jatkuu

Nyt jokaisella osavalilla Ii s ′′ on lineaarinen, ts. s ′′ on suora, jokayhdistaa pisteet (x0, y0) = (ti−1,Mi−1) ja (x1, y1) = (ti ,Mi ), missas ′′(ti ) = Mi .

Ko. suoran yhtalo on

y =Mi −Mi−1

ti − ti−1(x − ti−1) + Mi−1

=Mi

hi(x − ti−1)− Mi−1

hi(x − ti−1) + Mi−1

=Mi

hi(x − ti−1) +

Mi−1

hi(ti−1 − x) + Mi−1 ·

hi

hi

=Mi

hi(x − ti−1) +

Mi−1

hi(ti − ti−1︸︷︷︸

hi

+ti−1 − x)




Nyt siis jokaisella osavalilla Ii patee (Mi ,Mi−1 tuntemattomia)

s ′′(x) = Mi−1ti − x

hi+ Mi

x − ti−1

hi, x ∈ Ii .

Integroimalla yo. saadaan:

s ′(x) = −Mi−1(ti − x)2

2hi+ Mi

(x − ti−1)2

2hi− ci + di .

Integroidaan viela kerran, saadaan osavalilla Ii :

s(x) = Mi−1(ti − x)3

6hi+ Mi

(x − ti−1)3

6hi+ ci (ti − x) + di (x − ti−1).



Kuutiosplini: interpolointiehdot

Maarataan vakiot ci , di asettamalla interpolointiehtos(ti−1) = yi−1 ja s(ti ) = yi :

s(ti−1) = Mi−1(ti − ti−1)3

6hi+ Mi

(ti−1 − ti−1)3

6hi

+ci (ti − ti−1) + di (ti−1 − ti−1)

= Mi−1(ti − ti−1)3

6hi+ ci (ti − ti−1)

= Mi−1h2i

6+ cihi = yi−1

⇒ ci =1

hi

(yi−1 −Mi−1

h2i

6

)



Kuutiosplini: interpolointiehdot

Samoin asetetaan interpolointiehto s(ti ) = yi ja saadaan:

s(ti ) = Mi(ti − ti−1)3

6hi+ di (ti − ti−1) = Mi

h2i

6+ dihi = yi

⇒ di =1

hi

(yi −Mi

h2i

6

)Nain saadaan (taas valilla Ii , i = 1, . . . , n)

s(x) = Mi−1(ti − x)3

6hi+ Mi

(x − ti−1)3

6hi

+1

hi

(yi−1 −

Mi−1h2i

6

)(ti − x) +

1

hi

(yi −

Mih2i

6

)(x − ti−1).




Derivoimalla edellinen saadaan (taas valilla Ii , i = 1, . . . , n)

s ′(x) = −Mi−1(ti − x)2

2hi+ Mi

(x − ti−1)2

2hi

− 1

hi

(yi−1 −

Mi−1h2i

6

)+

1

hi

(yi −

Mih2i

6

)

= −Mi−1(ti − x)2

2hi+ Mi

(x − ti−1)2

2hi+

yi − yi−1

hi− Mi

6hi +

Mi−1

6hi .



Kuutiosplini: toispuoleiset derivaatat

Erityisesti valin Ii paatepisteessa ti saadaan toispuoleiseksi derivaataksi

s ′(t−i ) = limx→t−i

−Mi−1(ti − x)2

2hi+ Mi

(x − ti−1)2

2hi

+yi − yi−1

hi− Mi

6hi +

Mi−1

6hi

= Mih2i

2hi+

yi − yi−1

hi− Mi

6hi +

Mi−1

6hi

=

(hi

2− hi

6

)Mi +

hi

6Mi−1 +

yi − yi−1

hi

=hi

6Mi−1 +

hi

3Mi +

yi − yi−1

hi




Samoin

s ′(t+i ) = lim

x→t+i

−Mi(ti+1 − x)2

2hi+1+ Mi+1

(x − ti )2

2hi+1

+yi+1 − yi

hi+1− Mi+1

6hi+1 +

Mi

6hi+1

= −Mih2i+1

2hi+1+

yi+1 − yi

hi+1− Mi+1

6hi+1 +

Mi

6hi+1

= −(

hi+1

2− hi+1

6

)Mi −

hi+1

6Mi+1 +

yi+1 − yi

hi+1

= −hi+1

3Mi −

hi+1

6Mi+1 +

yi+1 − yi

hi+1.




Koska s ′ on jatkuva valilla I , on oltava

s ′(t−i ) = s ′(t+i ), i = 1, ..., n − 1,

joten saadaan yhtalot (i = 1, ..., n − 1)

hi

6Mi−1 +

hi

3Mi +

yi − yi−1

hi= −hi+1

3Mi −

hi+1

6Mi+1 +

yi+1 − yi

hi+1

josta saadaan (i = 1, ..., n − 1)

hi

6Mi−1 +

hi + hi+1

3Mi +

hi+1

6Mi+1 =

yi+1 − yi

hi+1− yi − yi−1

hi.




Sievennetaan edella saatua lauseketta

hi

6Mi−1 +

hi + hi+1

3Mi +

hi+1

6Mi+1 =

yi+1 − yi

hi+1︸︷︷︸σi+1

− yi − yi−1

hi︸︷︷︸σi

.

Kertomalla yo. 6hi+hi+1

:lla saadaan (i = 1, ..., n − 1)

hi

hi + hi+1︸︷︷︸µi

Mi−1 + 2Mi +hi+1

hi + hi+1︸︷︷︸λi

Mi+1 =6

hi + hi+1(σi+1 − σi )︸︷︷︸di

⇒ Yhtalot saadaan yksinkertaisempaan muotoon

µiMi−1 + 2Mi + λiMi+1 = di , i = 1, ..., n − 1.




Edella siis maariteltiin merkintojen yksinkertaistamiseksi luvut

σi :=yi − yi−1

hi, i = 1, ..., n,

λi :=hi+1

hi + hi+1, i = 1, ..., n − 1,

µi := 1− λi , i = 1, ..., n − 1,

di :=6(σi+1 − σi )

hi + hi+1, i = 1, ..., n − 1.




Yhtalot kertoimien M0, . . . ,Mn ratkaisemiseksi saatiin edella muotoon

µiMi−1 + 2Mi + λiMi+1 = di , i = 1, ..., n − 1.

n − 1 yhtaloa, n + 1 kerrointa M0, . . . ,Mn

⇒ Yksikasitteiseen ratkeavuuteen tarvitaan viela kaksi lisaehtoa.

⇒ Esitetaan tarvittavat kaksi lisaehtoa muodossa

2M0 + λ0M1 = d0, µnMn−1 + 2Mn = dn,

missa λ0, d0, µn, dn ovat myohemmin maarattavia vakioita.



Kuutiosplini: yhtaloryhma

Nyt splinin kertoimien maaraaminen on siis palautunut tridiagonaalisenyhtaloryhman

26666666664

2 λ0

µ1 2 λ1

µ2 2 λ2

. . .

µn−2 2 λn−2

µn−1 2 λn−1

µn 2

37777777775

26666666664

M0

M1

M2

...Mn−2

Mn−1

Mn

37777777775=

26666666664

d0

d1

d2

...dn−2

dn−1

dn

37777777775(1)

ratkaisemiseen.



Kuutiosplini: lauseke

Kun yhtaloryhman ratkaisemisen jalkeen kertoimet Mi tunnetaan, niinsplinin arvo s(x) voidaan laskea lausekkeesta

s(x) = Mi−1(ti − x)3

6hi+ Mi

(x − ti−1)3

6hi

+

(yi−1 −

Mi−1h2i

6

)ti − x

hi+

(yi −

Mih2i

6

)x − ti−1

hi.



Kuutiosplini: lisaehdot

Yhtaloryhmalle (1) saadaan yksikasitteinen ratkaisu, jos asetetaan jokinseuraavista ehdoista:

Luonnollinen kuutiosplini, s.o. s ′′(a) = s ′′(b) = 0, saadaan kun yllavalitaan λ0 = d0 = µn = dn = 0.

Talloin siis M0 = Mn = 0.

Derivaattaehto s ′(a) = y ′0, s ′(b) = y ′n, saadaan kun

λ0 = µn = 1, d0 =6

h1

(y1 − y0

h1− y ′0

),

dn =6

hn

(y ′n −

yn − yn−1

hn

).



Kuutiosplini: lisaehdot

”Not a knot” -ehto saadaan asettamalla vain

valin I sisasolmut ti , i = 1, ..., n − 1 splinin maaritteleviksi solmuiksija vaatimalla s(a) = y0, s(b) = yn.

Talloin tulee yhtaloita kaksi kappaletta vahemman ja vakiotλ1, d1, µn−1, dn−1 saadaan sijoittamalla x = t0 ja x = tn splininlausekkeeseen. Tassa vaihtoehdossa lisaehtoja ei tarvita.




Nyt selvasti

0 < λi < 1, i = 1, . . . , n − 1

(λi =

hi+1

hi + hi+1

)ja

0 < µi < 1, i = 1, . . . , n − 1 (µi = 1− λi ) .

Jos nyt lisaksi |λ0| < 2, |µn| < 2, niin yhtaloryhman kerroinmatriisi ondiagonaalisti dominantti, ja yhtaloryhmalla (1) on 1-kas. ratkaisuvektori,joka sisaltaa splinin tuntemattomien M0, . . . ,Mn arvot.




26666666664

2 λ0

µ1 2 λ1

µ2 2 λ2

. . .

µn−2 2 λn−2

µn−1 2 λn−1

µn 2

37777777775

26666666664

M0

M1

M2

...Mn−2

Mn−1

Mn

37777777775=

26666666664

d0

d1

d2

...dn−2

dn−1

dn

37777777775



Esimerkki 5.9.

Olkoon annettu datapisteisto (1, 1), (2, 12), (3, 1

3), (4, 14).

Muodostetaan pisteistoon liittyva luonnollinen kuutiosplini. KoskaM0 = M3 = 0, splinin maaraava yhtaloryhma2664

2 λ0

µ1 2 λ1

µ2 2 λ2

µ3 2

37752664

M0

M1

M2

M3

3775 =

2664d0

d1

d2

d3

3775saa muodon »

2 λ1

µ2 2

– »M1

M2

–=

»d1

d2

–.



Esimerkki 5.9. jatkuu

Nyt hi = ti − ti−1 = 1, i = 1, . . . , 3.

λi :=hi+1

hi + hi+1→ λ1 =

h2

h1 + h2=

1

2, λ2 =

h3

h2 + h3=

1

2

µi := 1− λi → µ2 = 1− λ2 =1

2

σi :=yi − yi−1

hi→ σ1 =

12 − 1

1= −1

2, σ2 =

13 −

12

1= −1

6,

σ3 =14 −

13

1= − 1

12




di :=6(σi+1 − σi )

hi + hi+1→ d1 =

6(−16 − (−1

2))

h1 + h2= 1,

d2 =6(− 1

12 − (−16))

h2 + h3=

1

4,

Siten yhtaloryhmaksi saadaan»2 1/2

1/2 2

– »M1

M2

–=

»1

1/4

–

josta M1 = 1/2 ja M2 = 0.




Splinin lauseke kullakin valilla Ii saadaan kaavasta

s(x) = Mi−1(ti − x)3

6hi+ Mi

(x − ti−1)3

6hi

+

(yi−1 −

Mi−1h2i

6

)ti − x

hi+

(yi −

Mih2i

6

)x − ti−1

hi

sijoittamalla M0 = 0,M1 = 12 ,M2 = 0,M3 = 0, hi = 1 ja

(t0, y0) = (1, 1), (t1, y1) = (2, 12), (t2, y2) = (3, 1

3), (t3, y3) = (4, 14).




Esimerkiksi valilla I1 = [1, 2] ts. (i = 1) ...

s(x) = M0(t1 − x)3

6h1+ M1

(x − t0)3

6h1

+

(y0 −

M0h21

6

)t1 − x

h1+

(y1 −

M1h21

6

)x − t0

h1

=1

2

(x − 1)3

6+ (1− 0)(2− x) +

(1

2− 1

2

1

6

)(x − 1)

=1

12x3 − 1

4x2 − 1

3x +

3

2




Splinin koko lausekkeeksi saadaan

s(x) =

1

12x3 − 1

4x2 − 1

3x +

3

2, 1 ≤ x ≤ 2

− 1

12x3 +

3

4x2 − 7

3x +

17

6, 2 ≤ x ≤ 3

− 1

12x +

7

12, 3 ≤ x ≤ 4.

Huomaa, etta s ′ ja s ′′ ovat jatkuvia valilla [1, 4].




Kuutiosplinin voidaan ajatella syntyvan kun suora, hoikka ja taipuisametallitanko pakotetaan kulkemaan datapisteiden kautta. Tangontaivutusenergia on 1

2

∫ ba [s ′′(x)]2 dx , missa s(x) on tangon poikkeama

lepotilasta pisteessa x . Seuraava lause sanoo, etta luonnollinenkuutiosplini minimoi taivutusenergian lausekkeen.

Lause 5.6.Jos luonnollinen kuutiosplini s interpoloi funktiota f ∈ C (2)([a, b])pisteissa a = t0 < t1 < . . . < tn = b, niin∫ b

a[s ′′(x)]2 dx ≤

∫ b

a[f ′′(x)]2 dx .



Lause 5.7.

Olkoon f ∈ C (2)([a, b]), yi := f (ti ) ja h = max hi . Jos luonnollinenkuutiosplini s on interpolaatiotehtavan s(ti ) = yi , i = 0, ..., n ratkaisu,niin interpolaatiovirheelle saadaan arviot

maxa≤x≤b

|f (x)− s(x)| ≤ h32E(f )

maxa≤x≤b

|f ′(x)− s ′(x)| ≤ h12E(f ),

missa

E(f ) =

√∫ b

a[f ′′(x)]2 dx .



Huomautus 5.2.

Vaikka splini-interpolantti kayttaytyykin hyvin valilla I , ei sitakannata kayttaa extrapolaatioon.

Esimerkiksi tekija (x − tn−1)3 splinin lausekkeessa kasvaavoimakkaasti valin I ulkopuolelle, jolloin interpolaatiovirhe kasvaamyos hyvin voimakkaasti.

Tasta syysta ekstrapolaatiota on syyta valttaa tai ainakin rajoituttavaekstrapoloimaan mahdollisimman lahella annettua datapisteistoa.


Luento 7users.jyu.fi/~majkir/numen/luento7_flat.pdfLuento 7 Numeeriset menetelm at 10.4.2013 15 / 43...

Documents

Transcript of Luento 7users.jyu.fi/~majkir/numen/luento7_flat.pdfLuento 7 Numeeriset menetelm at 10.4.2013 15 / 43...