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Divisores e multiplosMaximo divisor comum (MDC)

Simplificacao de fracoesExercıcios e atividade

MA091 – Matematica basicaAula 4 – Divisores e multiplos. MDC. Simplificacao de fracoes

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Marco de 2020

Francisco A. M. Gomes MA091 – Matematica basica



Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar como trabalhar com

1 Divisores e multiplos.

2 Maximo divisor comum.

3 Simplificacao de fracoes.




Divisores

Divisor

Um numero natural c e divisor de um numero natural a se o restoda divisao de a por c e zero (ou seja, se a e divisıvel por c).

Divisores de 6: 1, 2, 3 e 6.

6

1= 6

6

2= 3

6

3= 2

6

6= 1

Divisores de 165: 1, 3, 5, 11, 15, 33, 55 e 165.




Multiplos

Multiplo

Um numero natural c e multiplo de outro numero natural a seexiste um numero natural b tal que

c = a× b.

(Ou seja, c e multiplo de a se c = a× b, com b ∈ N.)

Multiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, . . .

Multiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, . . .

Multiplos de 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, . . .




Numeros primos

Numero primo

Um numero natural maior que 1 e dito primo se so tem comodivisores naturais ele mesmo e o numero 1.

Primeiros numeros primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, . . .




Verificando se um numero e primo

Sera que e primo?

Para descobrir se um numero natural a e primo:

Divida a pelos primos menores que a metade de a.

Se alguma dessas divisoes tiver resto zero, a nao e primo.

Caso contrario, o numero e primo.

1 13 e primo.

13

2= 6, 5

13

3= 4, 333 . . .

13

5= 2, 6 (Ok!)

2 35 nao primo.

35

2= 17, 5

35

3= 11, 666 . . .

35

5= 7 (Opa!)




Maximo divisor comum

MDC

O maximo divisor comum (MDC) entre dois numeros naturais ae b e o maior numero natural c que e divisor de a e de b.

MDC entre 45 e 60:

Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15 e 45.

Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.

O maximo divisor comum entre 45 e 60 e 15.




Fatoracao

Fatoracao

A fatoracao de um numero natural e a decomposicao dessenumero no produto de numeros primos, chamados fatores.

Fatoracao de 90:

90 2 2 e o menor divisor primo de 90. 90/2 = 45.




1 Chegamos a 1. Nao ha como prosseguir.

A forma fatorada de 90 e 2 · 3 · 3 · 5.




MDC por fatoracao

Definicao pratica do MDC

O MDC entre dois numeros naturais a e b e o produto dos fatorescomuns de a e b.

MDC entre 945 e 693:

945 3 693 3315 3 231 3105 3 77 7

35 5 11 117 7 11

945 = 3 · 3 · 3 · 5 · 7 693 = 3 · 3 · 7 · 11

mdc(945, 693) = 3 · 3 · 7 = 63.




Fatoracao simultanea

Calculo pratico do MDC

Podemos determinar o mdc entre dois numeros decompondo-ossimultaneamente. Nesse caso,

1 a cada passo, dividimos os dois numeros pelo menor numeroprimo que e divisor de ambos;

2 paramos quando nao existirem divisores comuns.

MDC entre 945 e 693.

945, 693 3 3 e o menor primo que divide, ao mesmo tempo, 945 e 693.

315, 231 3 3 e o menor divisor de 315 e 231.

105, 77 7 7 e o menor divisor de 105 e 77.

15, 11 15 e 11 sao primos entre si. Nao ha como prosseguir.

mdc(945, 693) = 3 · 3 · 7 = 63.




Simplificacao por divisoes sucessivas

Simplificacao de fracoes

Podemos dividir o numerador e o denominador de uma fracao porum divisor comum para obter uma fracao equivalente comdenominador menor.

840

1560=

840/10

1560/10=

84

156

=84/2

156/2=

42

78

=42/2

78/2=

21

39

=21/3

39/3=

7

13




Simplificacao de fracoes usando o MDC

Simplificacao pelo MDC

Podemos encontrar a forma irredutıvel de uma fracao dividindo onumerador e o denominador pelo mdc dos dois numeros.

Simplificando945

693:

Como o mdc entre 945 e 693 e 63, temos

945

693=

945/63

693/63=

15

11.




Simplificacao de fracoes durante o calculo do produto

Simplificando

(11

−8

)·(

21

11

):

(11

−8

)·(

21

11

)=

11 · 21

(−8) · 11Aplicando a regra do produto.

=11

11· 21

(−8)Isolando o termo 11

11.

= −21

8. Eliminando o termo que vale 1.




Simplificacao de fracoes durante o calculo do produto

(6

5

)·(

20

9

)=

6 · 20

5 · 96 e 9 sao divisıveis por 3.

=(6/3) · 20

5 · (9/3)Divisao por 3.

=2 · 20

5 · 320 e 5 sao divisıveis por 5.

=2 · (20/5)

(5/5) · 3Divisao por 5.

=2 · 41 · 3

Nao ha mais como simplificar.

=8

3Fracao final.




Simplificacao do quociente de fracoes

a)847

= 8 · 7

4=

8 · 74

=8/4 · 7

4/4= 2 · 7 = 14.

b) −3

11

3= − 3

11· 1

3= − 3

11 · 3= − 1

11.

c)136

6=

13

6· 1

6=

13

6 · 6=

13

36. (Aqui nao ha simplificacao)

d)58

118

=5

8· 8

11=

5 · 88 · 11

=5

11.

e)1253

25

=12

5· 25

3=

12 · 25/5

5/5 · 3=

12/3 · 53/3

= 4 · 5 = 20.




Simplificacao de expressoes

Simplificando10x + 35

15:

10x + 35

15=

5 · 2x + 5 · 75 · 3

Separando o fator 5.

=5 · (2x + 7)

5 · 3Pondo o fator 5 em evidencia no numerador.

=5

5· 2x + 7

3Isolando o termo 5

5.

=2x + 7





Simplificacao de expressoes

Simplificando12x + 16y + 32

8:

12x + 16y + 32

8=

4 · 3x + 4 · 4y + 4 · 84 · 2

Separando o fator 4.

=4 · (3x + 4y + 8)

4 · 2Pondo o fator 4 em evidencia.

=4

4· 3x + 4y + 8

2Isolando o termo 4

4.

=3x + 4y + 8





Erros relacionados a simplificacao

Expressao Errado Correto

2x − 6

2�2x − 6

�2= x − 6

2(x − 3)

2= x − 3

3x − x

3�3x −

x

�3= x − x = 0

9x − x

3=

8x

3

5x + 12

10y − 6�51x +ZZ122

��102 y − A61=

x + 2

2y − 1

5x + 12

10y − 6




Exercıcio 1

Divisores e multiplos

Suponha que x seja um numero natural. Com base nas definicoesde divisor e multiplo, pode-se dizer que, excluindo o proprio x , ...

A) Os divisores e multiplos de x sao menores que x .

B) Os divisores de x sao maiores que x e os multiplos de x saomenores que x .

C) Os multiplos de x sao maiores que x e os divisores de x saomenores que x .

D) Os multiplos de x podem ser maiores ou menores que x , masos divisores de x sao menores que x .

E) Os multiplos de x podem ser maiores ou menores que x , masos divisores de x sao maiores que x .




Exercıcio 2

Multiplos de 3

Para saber se um numero e divisıvel por 3, basta verificar se asoma de seus algarismos e divisıvel por 3. Dos numeros abaixo,quais sao divisıveis por 3?

A) 342

B) 8304

C) 49318

D) 967908




Exercıcio 3

Multiplos de 5

Dos numeros abaixo, quais sao divisıveis por 5?

A) 5329

B) 3297465

C) 10340

D) 555553

E) 5050501




Exercıcio 4

Simplificacao de expressoes com fracoes

Indique quais alternativas abaixo estao corretas.

A)3x − 4

3= x − 4

B) 2x − 1

2= x − 1

C) 4x − 3

4=

13x

4

D)8x − 3

2x= 1

E)4x − 3

2x − 3= 2x − 1

F)4x − 6

2x=

2x − 3

x




Exercıcio 5

Simplificacao por divisoes sucessivas

Usando o metodo das divisoes sucessivas, simplifique a fracao18

42

3/7




Exercıcio 6

Simplificacao com o MDC

Usando o mdc, simplifique a fracao512

192.

8/3




Exercıcio 7

Simplificacao com o MDC

Simplifique a fracao(−40)

(−24).

5/3




Exercıcio 8

Simplificacao do produto e do quociente

Simplifique as expressoes:

1 −3

7· 14

92

2234

15

1 −2/3 2 55/2




Exercıcio 9

MDC

Calcule o maximo divisor comum entre 18, 30 e 54 e simplifique aexpressao

18x + 30

54.

MDC: 6 Expressao:3x + 5

9




Exercıcio 10

Propriedade distributiva

Aplique a propriedade distributiva e simplifique a expressao abaixo.

4

9

(3x +

y

2− 15

4

)

4x

3+

2y

9− 5

3




Exercıcio 11

Problema

Tres quartos dos moradores de Chopoto da Serra bebem cafe.

Desses, dois quintos preferem o cafe ”Serrano”.

Que fracao dos moradores da cidade prefere o cafe ”Serrano”?

Que fracao dos moradores bebe regularmente cafe de algumaoutra marca?




Atividade

Vıdeo sobre a simplificacao de expressoes com fracoes

Crie um vıdeo com um exemplo de erro comum cometido nasimplificacao de expressoes com fracoes e que mostre como efetuarcorretamente a simplificacao.

Etapas da elaboracao do vıdeo, em grupos de ate 4 pessoas:

1 Crie um exemplo com erro na simplificacao (ex:(3x − 6)/3 = x − 6).

2 Resolva o mesmo problema com a simplificacao correta.

3 Grave o vıdeo (com duracao maxima de 3 min).

4 Submeta o vıdeo usando o moodle.


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