MA311 - Calculo III

Primeiro semestre de 2020

Turma B – Curso 51

Ricardo M. Martins

rmiranda@unicamp.br

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 22: Series de potencias

Polinomios de Taylor

Vimos no primeiro curso de calculo que se f e uma funcao com

derivadas de ordem n no ponto x = 0, seu polinomio de Taylor de

grau n e dado por

Tn(f , 0) = p(x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2!x2 + . . .+

f (n)(0)

n!xn.

O grafico do polinomio de Taylor de grau 1 e a reta tangente ao

grafico de f no ponto (0, f (0)). O polinomio de Taylor de grau n e

a melhor maneira que temos para aproximar f por um polinomio

de grau n.

Em particular, para funcoes bem comportadas, podemos aproximar

os valores de f (x) pelos de p(x) para valores de x proximos de

zero.

Polinomios de Taylor

Como voce deve imaginar, nao ha nada especial no zero, e se

queremos o polinomio de Taylor de grau n perto de x = a, ele e

dado por

Tn(f , a) = f (a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+. . .+

f (n)(a)

n!(x−a)n.

Exemplo

O polinomio de Taylor de grau 10 de ex em x = 0 e

p(x) = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ . . .+

x10

10!.

Temos que e ≈ p(1) = 2, 718281801146385. Voce acabou de

(re)aprender como sua calculadora faz contas.

Polinomios de Taylor

O polinomio de Taylor de grau n aproxima a funcao, mas nao e

igual a funcao, exceto no caso da funcao ser um polinomio de grau

n.

Se x esta proximo de a mas e diferente de a, a diferenca

|f (x)− p(x)| e positiva e sera denotada por En(f , x) ou somente

En(x).

Podemos quantificar este erro de varias formas, e vamos relembrar

uma delas.

Formula de Taylor (com erro integral)

TeoremaSeja f uma funcao com as n + 1 primeiras derivadas contınuas

num intervalo contendo o ponto x = a. Entao, para todo x neste

intervalo temos

f (x) = Tn(f , a) + En(x),

onde

Tn(f , a) =n∑

k=0

f (k)(a)

k!(x − a)k

e o polinomio de Taylor de grau n e o erro e dado por

En(x) =1

n!

∫ x

a(x − t)nf (n+1)(t) dt.

Series de potencias

O polinomio de Taylor e, como todo polinomio, uma soma finita de

termos. O que iremos fazer agora e representar funcoes por somas

infinitas,

f (x) =∞∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn + . . . .

Mais que isto, iremos definir funcoes por meio de uma serie como

esta.

Na igualdade acima, se truncarmos a serie da direita para obter um

polinomio de grau n, nao teremos mais igualdade, mas o que

sobrara na direita sera exatamente o polinomio de Taylor de f de

grau n.

Series de potencias

Diremos que uma serie de potencias∑∞

n=0 an(x − x0)n e

convergente num ponto x = b se

limm→∞

m∑n=0

an(b − x0)n

existir, ou seja, se a serie infinita

∞∑n=0

an(b − x0)n

for convergente.

Series de potencias

Diremos que∑∞

n=0 an(x − x0)n e absolutamente convergente em

x = b se a serie∞∑n=0

|an||b − x0|n

converge. Como esperado, convergencia absoluta ⇒ convergencia,

mas a recıproca e falsa.

Nao e esperado que uma serie seja convergente para todo valor de

x . Se a serie∞∑n=0

an(x − x0)n

converge para todo x no intervalo (x0 − R, x0 + R) e diverge para

|x − x0| > R, diremos que o raio de convergencia e R. Os testes de

convergencia em geral revelam o raio de convergencia.

Series de potencias

Exercıcio

Mostre que se∑∞

n=0 an(x − x0)n converge para x = x1, entao ela

converge para todo x com |x − x0| < |x1 − x0|.

x0 x1se a série de potênciasconverge quando substituímosx por este valor

x0 x1então ela também convergequando substituímospor qualquer um destesvalores (raio de convergênciaé pelo menos r)

r

r

∞∑n=0

an(x − x0)n

Series de potencias

Exercıcio

Mostre que se∑∞

n=0 an(x − x0)n diverge em x = x1, entao ela

diverge para todo x com |x − x0| > |x1 − x0|.

x0 x1se a série de potênciasdiverge quando substituímosx por este valor

x0 x1então ela também divergequando substituímospor qualquer um destesvalores

r

r

∞∑n=0

an(x − x0)n

Series de potencias

Exemplo

Estude a convergencia da serie

∞∑n=1

(−1)n+1n(x − 1)n.

O termo geral desta serie e an = (−1)n+1n(x − 1)n. Usando o

teste da razao temos∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣(−1)n+2(n + 1)(x − 1)n+1

(−1)n+1n(x − 1)n

∣∣∣∣ =(n + 1)|x − 1|

n→ |x − 1|.

Portanto, se |x − 1| < 1, a serie e convergente, ou seja, se

0 < x < 2 a serie converge e se x < 0 ou x > 2 ela diverge. O que

acontece se x = 0 ou x = 2?

Series de potencias

Exemplo

Estude a convergencia da serie

∞∑n=1

(−1)n+1n(x − 1)n.

O termo geral desta serie e an = (−1)n+1n(x − 1)n. Usando o

teste da razao temos∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣(−1)n+2(n + 1)(x − 1)n+1

(−1)n+1n(x − 1)n

∣∣∣∣ =(n + 1)|x − 1|

n→ |x − 1|.

Portanto, se |x − 1| < 1, a serie e convergente, ou seja, se

0 < x < 2 a serie converge e se x < 0 ou x > 2 ela diverge. O que

acontece se x = 0 ou x = 2?

Series de potencias

Vamos testar:

Se x = 0 teremos

∞∑n=1

(−1)n+1n(−1)n =∞∑n=1

n→ diverge

Se x = 2 teremos

∞∑n=1

(−1)n+1n =∞∑n=1

(−1)n+1n→ diverge

Portanto a serie converge se, e so se, 0 < x < 2, sendo divergente

nos demais pontos.

Series de potencias

Explorando um pouco mais o exemplo anterior, seja

f (x) =∞∑n=1

(−1)n+1n(x − 1)n,

com x ∈ (0, 2). Denotando

fm(x) =m∑

n=1

(−1)n+1n(x − 1)n,

temos o seguinte:

Series de potencias

Grafico de f1(x):

0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Series de potencias

Grafico de f2(x):

0.5 1.0 1.5 2.0

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

Series de potencias

Grafico de f3(x):

0.5 1.0 1.5 2.0

-6

-4

-2

2

Series de potencias

Grafico de f4(x):

0.5 1.0 1.5 2.0

-10

-8

-6

-4

-2

Series de potencias

Grafico de f10(x):

0.5 1.0 1.5 2.0

-12

-10

-8

-6

-4

-2

Series de potencias

Grafico de f11(x):

0.5 1.0 1.5 2.0

-10

-5

5

Series de potencias

Grafico de f100(x):

0.5 1.0 1.5 2.0

-15

-10

-5

Series de potencias

Grafico de f101(x):

0.5 1.0 1.5 2.0

-15

-10

-5

5

Series de potencias

0.5 1.0 1.5 2.0

-15

-10

-5

0.5 1.0 1.5 2.0

-15

-10

-5

5

Ignorando os pontos proximos de 0 e proximos de 2 (erros de

plotagem), esta e uma boa aproximacao para o grafico de

f (x) =∞∑n=1

(−1)n+1n(x − 1)n.

Series de potencias

Usaremos sem demonstracao as propriedades abaixo. Sejam

f (x) =∞∑n=0

an(x − x0)n e g(x) =∞∑n=0

bn(x − x0)n

e suponha que ambas convergem no intervalo |x − x0| < ρ, com

ρ > 0 (ou seja, o raio de convergencia e ρ).

# f (x)± g(x) =∞∑n=0

(an ± bn)(x − x0)n para |x − x0| < ρ.

# f (x) · g(x) converge (Qual e o termo geral desta serie?

Exercıcio!)

# f (x)/g(x) converge, desde que g(x0) 6= 0. Qual o raio de

convergencia? Exercıcio!

Series de potencias

# A funcao f e contınua e tem derivadas de todas as ordens.

Alem disto, a derivada pode ser calculada derivando os termos

da serie, por exemplo

f ′(x) = a1 + 2a2(x − x0) + 3a3(x − x0)2 + . . .+

# Temos que para todo n ∈ N,

an =f (n)(x0)

n!;

a serie∑∞

n=0 an(x − x0)n e chamada de serie de Taylor de f

em x = x0.

Series de potencias

Se f tem expansao em serie

f (x) =∞∑n=0

f (n)(x0)

n!(x − x0)n

em torno de x = x0 com raio de convergencia ρ > 0 e dita ser

analıtica. Quando ρ =∞, a funcao e dita ser inteira.

Para verificar se uma funcao e analıtica, deve-se estudar quando a

serie∞∑n=0

f (n)(x0)

n!(x − x0)n

converge.

Series de potencias

Exemplo

Seja f (x) = ex . Como f (n)(x) = ex para todo n ∈ N, temos que

f (n)(0) = 1, para todo n ∈ N. A serie de Taylor de f e

∞∑n=0

1

n!xn,

que tem raio de convergencia infinito (verifique!), logo

ex =∞∑n=0

1

n!xn.

Series de potencias

ExercıcioCalcule as series de Taylor das funcoes abaixo, e determine os raios

de convergencia.

# p(x) =1

1 + x, ponto x = 0.

# q(x) = sen(x), ponto x = 0.

# f (x) = cos(x), ponto x = 0.

# g(x) = ln(x), ponto x = 1.

# h(x) =

e−1/x , x > 0

0 x ≤ 0, ponto x = 0.