Magnetismo y óptica -...
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Magnetismo y Óptica Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano E-mail: [email protected] Webpage: http://rpduarte.fisica.uson.mx © 2016 Departamento de Física Universidad de Sonora
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Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
TemarioA Magnetismo
1 Campo magneacutetico [Ene11-Ene29] (75 horas)
2 Leyes del Magnetismo [Feb01-Feb19] (75 horas)
3 Propiedades magneacuteticas de la materia [Feb22-Feb26](3horas)
B Oacuteptica
1 Naturaleza y propagacioacuten de la luz [Feb29-Mar04] (3horas)
2 Leyes de la reflexioacuten y refraccioacuten [Mar07-Mar15] (45horas)
3 Oacuteptica geomeacutetrica [Mar16-Abr15] (9horas)
4 Difraccioacuten [Abr18-Abr22] (3horas)
5 Polarizacioacuten oacuteptica [Abr25-Abr29] (3horas)
6 Propiedades oacutepticas de la materia [May02-May06] (3horas)
Magnetismo y oacuteptica
Parte A Magnetismo (Tiempo aproximado 18 horas)
1 Campo magneacutetico [Ene11-Ene29] (75 horas)
a El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
b Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
c Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo magneacutetico uniformeSelector o filtro de velocidades El espectroacutemetro de masas
d Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corrienteeleacutectrica
e Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motor eleacutectrico
f El efecto Hall
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones deAsia Menor ya que fue en una regioacuten de Asia Menor conocida comomagnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean entre siacute Aestas rocas se les llamoacute ldquomagnetosrdquo en alusioacuten al lugar de sudescubrimiento
Estos materiales que conocemos como imanes tienen lapropiedad de atraer pequentildeos trozos de metal Esta propiedadatractiva se llamoacute Magnetismo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
NS
Imaacuten de barra
N
S
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 el fiacutesico daneacutes Hans ChristianOslashrsted descubrioacute la relacioacuten entre laelectricidad y el magnetismo en unexperimento que hoy se nos presenta comomuy sencillo y que llevoacute a cabo ante susalumnos
En su experimento demostroacute empiacutericamente que un hilo conductor decorriente podiacutea mover la agujaimantada de una bruacutejula de tal formaque esta se orientaba perpendicularmente al alambre
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno
El magnetismo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante unaserie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de James Clerk Maxwell que postuloacutelas leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones deMaxwell
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usado elsiacutembolo B para representar el campomagneacutetico el cual es una cantidadvectorial cuya direccioacuten en unpunto dado estaacute en la que apunta laaguja de una bruacutejula en dichaubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos llamados
ldquopolosrdquo norte y sur del imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
respectivamente
S
N
Limaduras de hierro
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
Polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como mencionamos antes experimentalmente se encuentra quelas sustancias magneacuteticas presentan dos polos que se denominanpolo norte y polo sur
Lo anterior se puede visualizar mediante pequentildeas limaduras dehierro tal como se muestra en la siguiente imagen de un imaacuten enforma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden describir
al imaginar una pequentildea
bruacutejula colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier punto
es la misma que la direccioacuten que
indica esta bruacutejula El campo B es fuerte donde las liacuteneas
son densas y deacutebil donde las liacuteneas
estaacuten esparcidas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
TemarioA Magnetismo
1 Campo magneacutetico [Ene11-Ene29] (75 horas)
2 Leyes del Magnetismo [Feb01-Feb19] (75 horas)
3 Propiedades magneacuteticas de la materia [Feb22-Feb26](3horas)
B Oacuteptica
1 Naturaleza y propagacioacuten de la luz [Feb29-Mar04] (3horas)
2 Leyes de la reflexioacuten y refraccioacuten [Mar07-Mar15] (45horas)
3 Oacuteptica geomeacutetrica [Mar16-Abr15] (9horas)
4 Difraccioacuten [Abr18-Abr22] (3horas)
5 Polarizacioacuten oacuteptica [Abr25-Abr29] (3horas)
6 Propiedades oacutepticas de la materia [May02-May06] (3horas)
Magnetismo y oacuteptica
Parte A Magnetismo (Tiempo aproximado 18 horas)
1 Campo magneacutetico [Ene11-Ene29] (75 horas)
a El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
b Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
c Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo magneacutetico uniformeSelector o filtro de velocidades El espectroacutemetro de masas
d Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corrienteeleacutectrica
e Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motor eleacutectrico
f El efecto Hall
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones deAsia Menor ya que fue en una regioacuten de Asia Menor conocida comomagnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean entre siacute Aestas rocas se les llamoacute ldquomagnetosrdquo en alusioacuten al lugar de sudescubrimiento
Estos materiales que conocemos como imanes tienen lapropiedad de atraer pequentildeos trozos de metal Esta propiedadatractiva se llamoacute Magnetismo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
NS
Imaacuten de barra
N
S
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 el fiacutesico daneacutes Hans ChristianOslashrsted descubrioacute la relacioacuten entre laelectricidad y el magnetismo en unexperimento que hoy se nos presenta comomuy sencillo y que llevoacute a cabo ante susalumnos
En su experimento demostroacute empiacutericamente que un hilo conductor decorriente podiacutea mover la agujaimantada de una bruacutejula de tal formaque esta se orientaba perpendicularmente al alambre
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno
El magnetismo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante unaserie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de James Clerk Maxwell que postuloacutelas leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones deMaxwell
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usado elsiacutembolo B para representar el campomagneacutetico el cual es una cantidadvectorial cuya direccioacuten en unpunto dado estaacute en la que apunta laaguja de una bruacutejula en dichaubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos llamados
ldquopolosrdquo norte y sur del imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
respectivamente
S
N
Limaduras de hierro
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
Polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como mencionamos antes experimentalmente se encuentra quelas sustancias magneacuteticas presentan dos polos que se denominanpolo norte y polo sur
Lo anterior se puede visualizar mediante pequentildeas limaduras dehierro tal como se muestra en la siguiente imagen de un imaacuten enforma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden describir
al imaginar una pequentildea
bruacutejula colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier punto
es la misma que la direccioacuten que
indica esta bruacutejula El campo B es fuerte donde las liacuteneas
son densas y deacutebil donde las liacuteneas
estaacuten esparcidas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Magnetismo y oacuteptica
Parte A Magnetismo (Tiempo aproximado 18 horas)
1 Campo magneacutetico [Ene11-Ene29] (75 horas)
a El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico
b Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
c Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo magneacutetico uniformeSelector o filtro de velocidades El espectroacutemetro de masas
d Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corrienteeleacutectrica
e Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motor eleacutectrico
f El efecto Hall
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones deAsia Menor ya que fue en una regioacuten de Asia Menor conocida comomagnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean entre siacute Aestas rocas se les llamoacute ldquomagnetosrdquo en alusioacuten al lugar de sudescubrimiento
Estos materiales que conocemos como imanes tienen lapropiedad de atraer pequentildeos trozos de metal Esta propiedadatractiva se llamoacute Magnetismo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
NS
Imaacuten de barra
N
S
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 el fiacutesico daneacutes Hans ChristianOslashrsted descubrioacute la relacioacuten entre laelectricidad y el magnetismo en unexperimento que hoy se nos presenta comomuy sencillo y que llevoacute a cabo ante susalumnos
En su experimento demostroacute empiacutericamente que un hilo conductor decorriente podiacutea mover la agujaimantada de una bruacutejula de tal formaque esta se orientaba perpendicularmente al alambre
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno
El magnetismo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante unaserie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de James Clerk Maxwell que postuloacutelas leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones deMaxwell
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usado elsiacutembolo B para representar el campomagneacutetico el cual es una cantidadvectorial cuya direccioacuten en unpunto dado estaacute en la que apunta laaguja de una bruacutejula en dichaubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos llamados
ldquopolosrdquo norte y sur del imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
respectivamente
S
N
Limaduras de hierro
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
Polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como mencionamos antes experimentalmente se encuentra quelas sustancias magneacuteticas presentan dos polos que se denominanpolo norte y polo sur
Lo anterior se puede visualizar mediante pequentildeas limaduras dehierro tal como se muestra en la siguiente imagen de un imaacuten enforma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden describir
al imaginar una pequentildea
bruacutejula colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier punto
es la misma que la direccioacuten que
indica esta bruacutejula El campo B es fuerte donde las liacuteneas
son densas y deacutebil donde las liacuteneas
estaacuten esparcidas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones deAsia Menor ya que fue en una regioacuten de Asia Menor conocida comomagnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean entre siacute Aestas rocas se les llamoacute ldquomagnetosrdquo en alusioacuten al lugar de sudescubrimiento
Estos materiales que conocemos como imanes tienen lapropiedad de atraer pequentildeos trozos de metal Esta propiedadatractiva se llamoacute Magnetismo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
NS
Imaacuten de barra
N
S
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 el fiacutesico daneacutes Hans ChristianOslashrsted descubrioacute la relacioacuten entre laelectricidad y el magnetismo en unexperimento que hoy se nos presenta comomuy sencillo y que llevoacute a cabo ante susalumnos
En su experimento demostroacute empiacutericamente que un hilo conductor decorriente podiacutea mover la agujaimantada de una bruacutejula de tal formaque esta se orientaba perpendicularmente al alambre
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno
El magnetismo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante unaserie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de James Clerk Maxwell que postuloacutelas leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones deMaxwell
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usado elsiacutembolo B para representar el campomagneacutetico el cual es una cantidadvectorial cuya direccioacuten en unpunto dado estaacute en la que apunta laaguja de una bruacutejula en dichaubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos llamados
ldquopolosrdquo norte y sur del imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
respectivamente
S
N
Limaduras de hierro
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
Polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como mencionamos antes experimentalmente se encuentra quelas sustancias magneacuteticas presentan dos polos que se denominanpolo norte y polo sur
Lo anterior se puede visualizar mediante pequentildeas limaduras dehierro tal como se muestra en la siguiente imagen de un imaacuten enforma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden describir
al imaginar una pequentildea
bruacutejula colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier punto
es la misma que la direccioacuten que
indica esta bruacutejula El campo B es fuerte donde las liacuteneas
son densas y deacutebil donde las liacuteneas
estaacuten esparcidas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones deAsia Menor ya que fue en una regioacuten de Asia Menor conocida comomagnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean entre siacute Aestas rocas se les llamoacute ldquomagnetosrdquo en alusioacuten al lugar de sudescubrimiento
Estos materiales que conocemos como imanes tienen lapropiedad de atraer pequentildeos trozos de metal Esta propiedadatractiva se llamoacute Magnetismo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
NS
Imaacuten de barra
N
S
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 el fiacutesico daneacutes Hans ChristianOslashrsted descubrioacute la relacioacuten entre laelectricidad y el magnetismo en unexperimento que hoy se nos presenta comomuy sencillo y que llevoacute a cabo ante susalumnos
En su experimento demostroacute empiacutericamente que un hilo conductor decorriente podiacutea mover la agujaimantada de una bruacutejula de tal formaque esta se orientaba perpendicularmente al alambre
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno
El magnetismo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante unaserie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de James Clerk Maxwell que postuloacutelas leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones deMaxwell
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usado elsiacutembolo B para representar el campomagneacutetico el cual es una cantidadvectorial cuya direccioacuten en unpunto dado estaacute en la que apunta laaguja de una bruacutejula en dichaubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos llamados
ldquopolosrdquo norte y sur del imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
respectivamente
S
N
Limaduras de hierro
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
Polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como mencionamos antes experimentalmente se encuentra quelas sustancias magneacuteticas presentan dos polos que se denominanpolo norte y polo sur
Lo anterior se puede visualizar mediante pequentildeas limaduras dehierro tal como se muestra en la siguiente imagen de un imaacuten enforma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden describir
al imaginar una pequentildea
bruacutejula colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier punto
es la misma que la direccioacuten que
indica esta bruacutejula El campo B es fuerte donde las liacuteneas
son densas y deacutebil donde las liacuteneas
estaacuten esparcidas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El experimento de Oersted
En 1820 el fiacutesico daneacutes Hans ChristianOslashrsted descubrioacute la relacioacuten entre laelectricidad y el magnetismo en unexperimento que hoy se nos presenta comomuy sencillo y que llevoacute a cabo ante susalumnos
En su experimento demostroacute empiacutericamente que un hilo conductor decorriente podiacutea mover la agujaimantada de una bruacutejula de tal formaque esta se orientaba perpendicularmente al alambre
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno
El magnetismo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante unaserie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de James Clerk Maxwell que postuloacutelas leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones deMaxwell
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usado elsiacutembolo B para representar el campomagneacutetico el cual es una cantidadvectorial cuya direccioacuten en unpunto dado estaacute en la que apunta laaguja de una bruacutejula en dichaubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos llamados
ldquopolosrdquo norte y sur del imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
respectivamente
S
N
Limaduras de hierro
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
Polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como mencionamos antes experimentalmente se encuentra quelas sustancias magneacuteticas presentan dos polos que se denominanpolo norte y polo sur
Lo anterior se puede visualizar mediante pequentildeas limaduras dehierro tal como se muestra en la siguiente imagen de un imaacuten enforma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden describir
al imaginar una pequentildea
bruacutejula colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier punto
es la misma que la direccioacuten que
indica esta bruacutejula El campo B es fuerte donde las liacuteneas
son densas y deacutebil donde las liacuteneas
estaacuten esparcidas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad serelacionan estrechamente al producirse como consecuencia de laexistencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento danlugar a uno o a otro fenoacutemeno
El magnetismo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Sin embargo esta relacioacuten fuedescubierta hasta el siglo XIX mediante unaserie de experimentos realizados por diversoscientiacuteficos que culminan hacia 1873 con eltrabajo de James Clerk Maxwell que postuloacutelas leyes del electromagnetismo queactualmente se conocen como Ecuaciones deMaxwell
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usado elsiacutembolo B para representar el campomagneacutetico el cual es una cantidadvectorial cuya direccioacuten en unpunto dado estaacute en la que apunta laaguja de una bruacutejula en dichaubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos llamados
ldquopolosrdquo norte y sur del imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
respectivamente
S
N
Limaduras de hierro
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
Polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como mencionamos antes experimentalmente se encuentra quelas sustancias magneacuteticas presentan dos polos que se denominanpolo norte y polo sur
Lo anterior se puede visualizar mediante pequentildeas limaduras dehierro tal como se muestra en la siguiente imagen de un imaacuten enforma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden describir
al imaginar una pequentildea
bruacutejula colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier punto
es la misma que la direccioacuten que
indica esta bruacutejula El campo B es fuerte donde las liacuteneas
son densas y deacutebil donde las liacuteneas
estaacuten esparcidas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sidodescrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquiercarga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento
Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una cargaeleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hechotodas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas porun campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Histoacutericamente se ha usado elsiacutembolo B para representar el campomagneacutetico el cual es una cantidadvectorial cuya direccioacuten en unpunto dado estaacute en la que apunta laaguja de una bruacutejula en dichaubicacioacuten
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos llamados
ldquopolosrdquo norte y sur del imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
respectivamente
S
N
Limaduras de hierro
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
Polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como mencionamos antes experimentalmente se encuentra quelas sustancias magneacuteticas presentan dos polos que se denominanpolo norte y polo sur
Lo anterior se puede visualizar mediante pequentildeas limaduras dehierro tal como se muestra en la siguiente imagen de un imaacuten enforma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden describir
al imaginar una pequentildea
bruacutejula colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier punto
es la misma que la direccioacuten que
indica esta bruacutejula El campo B es fuerte donde las liacuteneas
son densas y deacutebil donde las liacuteneas
estaacuten esparcidas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Polos magneacuteticos
La intensidad de un imaacuten se
concentra en los extremos llamados
ldquopolosrdquo norte y sur del imaacuten
Imaacuten suspendido el
extremo que busca el N y
el extremo que busca el S
son los polos N y S
respectivamente
S
N
Limaduras de hierro
NS
N
E
W
SN
BruacutejulaImaacuten de barra
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
Polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como mencionamos antes experimentalmente se encuentra quelas sustancias magneacuteticas presentan dos polos que se denominanpolo norte y polo sur
Lo anterior se puede visualizar mediante pequentildeas limaduras dehierro tal como se muestra en la siguiente imagen de un imaacuten enforma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden describir
al imaginar una pequentildea
bruacutejula colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier punto
es la misma que la direccioacuten que
indica esta bruacutejula El campo B es fuerte donde las liacuteneas
son densas y deacutebil donde las liacuteneas
estaacuten esparcidas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Atraccioacuten-repulsioacuten magneacutetica
N
SN
N
S
S
NSNS
Fuerzas magneacuteticas
Polos iguales se repelen Polos distintos se atraen
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como mencionamos antes experimentalmente se encuentra quelas sustancias magneacuteticas presentan dos polos que se denominanpolo norte y polo sur
Lo anterior se puede visualizar mediante pequentildeas limaduras dehierro tal como se muestra en la siguiente imagen de un imaacuten enforma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden describir
al imaginar una pequentildea
bruacutejula colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier punto
es la misma que la direccioacuten que
indica esta bruacutejula El campo B es fuerte donde las liacuteneas
son densas y deacutebil donde las liacuteneas
estaacuten esparcidas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Como mencionamos antes experimentalmente se encuentra quelas sustancias magneacuteticas presentan dos polos que se denominanpolo norte y polo sur
Lo anterior se puede visualizar mediante pequentildeas limaduras dehierro tal como se muestra en la siguiente imagen de un imaacuten enforma de barra
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden describir
al imaginar una pequentildea
bruacutejula colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier punto
es la misma que la direccioacuten que
indica esta bruacutejula El campo B es fuerte donde las liacuteneas
son densas y deacutebil donde las liacuteneas
estaacuten esparcidas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
N S
Las liacuteneas de campo
magneacutetico se pueden describir
al imaginar una pequentildea
bruacutejula colocada en puntos
cercanos
La direccioacuten del campo
magneacutetico B en cualquier punto
es la misma que la direccioacuten que
indica esta bruacutejula El campo B es fuerte donde las liacuteneas
son densas y deacutebil donde las liacuteneas
estaacuten esparcidas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Liacuteneas de campo magneacutetico
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
N S
N N
Polos distintos
Polos iguales
Salen de N y
entran a S
Atraccioacuten
Repulsioacuten
Liacuteneas de campo magneacutetico entre imanes
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia depolos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambospolos en todas las sustancia magneacuteticas
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Los cuerpos que presentan estapropiedad poseen dos polos polo Ny polo S
La unidad del SI en que se mideel campo magneacutetico es la Tesla (T)
1 T = 1 NAmiddotm = 1 kgAmiddots2
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
El campo magneacutetico B es una cantidad vectorial que puederepresentarse por liacuteneas de campo que coinciden en cada punto conla direccioacuten del campo en dicho punto y que la densidad de lasmismas estaacute relacionada directamente con la intensidad de B endicho punto
Resumiendo
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
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copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Las liacuteneas de campo B penetran unasuperficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que elnuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitudde B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas queatraviesan la superficie es proporcional alproducto BA
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede serdescrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sinembargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente paraello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (fB)
Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujoconsideremos la figura siguiente
Flujo magneacutetico
En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
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En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se definecomo weber (1 Wb = 1Tmiddotm2 = 1 NmiddotmA = 1 kgmiddotm2Amiddots2)
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficieperpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (FB) es decir
B BAF
El flujo magneacutetico es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo magneacutetico que penetran una superficie arbitraria perpendicular al
propio campo B
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
En este caso el flujo magneacutetico atraveacutes de un elemento diferencial de aacutereadA es
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
iquestQueacute sucede si la superficie es irregular
Para responder esta pregunta consideremos en vez de unasuperficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saberdA tal como se muestra en la figura siguiente
donde dA es un vector perpendicular a lasuperficie y con magnitud dA
De tal forma que el flujo magneacuteticototal a traveacutes de la superficie estaacute dadopor
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campomagneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujomagneacutetico a traveacutes de dicha superficie como
Bd BCos dAF
A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos
1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie(con lo que = 900) En este caso dado que Cos 900 = 0 se tieneque el flujo magneacutetico es nulo
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y
flujo magneacutetico
2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con loque el aacutengulo = 00) En este caso dado que Cos 00 = 1 tenemosun flujo magneacutetico maacuteximo (FB max=BdA)
Con lo anterior podemos afirmar que la expresioacuten119889120567119861 = 119861119862119900119904120579119889119860 implica que el flujo magneacutetico tomaraacute valoresentre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos se ubica entre -1 y 1
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en
el magnetismo
Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujoeleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga netaencerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley deGauss
Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectricoalrededor de un dipolo eleacutectrico inician en lacarga positiva y terminan en la carga negativa
En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de unasuperficie que encierre a una de las cargas NO escero iquestPorqueacute
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo
En este caso la ley de Gauss establece queel flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquiersuperficie cerrada siempre es cero es decir
Las liacuteneas de campo magneacutetico de unabarra imanada forman trazos cerrados
Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutesde una superficie cerrada alrededor de uno delos polos (o cualquier otra superficie cerrada)es cero lo cual es evidente al notar que elnuacutemero de liacuteneas que entran es igual al deliacuteneas que salen
En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley deGauss a una superficie cerrada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto delespacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimentauna carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarseen dicho punto
Los experimentos realizados considerando el movimiento departiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan lossiguientes resultados
La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula esproporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacutecula
La magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidadv de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campomagneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Tambieacuten se tiene que
Cuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector decampo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica
Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto decero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en unadireccioacuten perpendicular tanto a v como a B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargadapositivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre unapartiacutecula cargada negativamente
La magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno delaacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y ladireccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguienteexpresioacuten
donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q espositiva
BF qv B
Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la
fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v
y B
Se puede considerar a la expresioacuten anterior 119865119861 = 119902 119907 times 119861 comouna definicioacuten operacional del campo magneacutetico
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Regla de la mano derecha
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica ymagneacuteticaLa fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que
la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada
independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o nomientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelocuando esta se encuentra en movimiento
La fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada entanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estableno realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula
Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puedealterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero nopuede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica nocambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad va traveacutes de un campo magneacutetico B
Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento
Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar elmovimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campomagneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetramovieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B
B
v
FBv
FB
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla unmovimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton adicho movimiento tendremos
2
r
B
F ma
vF qvB m
r
mvr
qB
es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentumlineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitudde la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B
B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular dela partiacutecula w a saber v qB
r mw
Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periododel movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial nidel radio de la oacuterbita
y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tardala partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por
2 2 2r mT
v qB
w
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
De la expresioacuten para el periodo T encontrada anteriormente
A esta frecuencia se leconoce como frecuencia deciclotroacuten por ser la frecuenciadel movimiento de los ionesen un acelerador de partiacuteculasconocido como ciclotroacuten
podemos calcular la frecuencia f (medida en Hz) considerando queesta corresponde al inverso del periodo es decir
1
2
qBf
T m
2 mT
qB
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Ejemplo Un electroacuten en el punto A de lafigura tiene una rapidez v0 de 141x106 msCalcule a) la magnitud y la direccioacuten delcampo magneacutetico que haraacute que el electroacutensiga la trayectoria semicircular entre A y Bb) el tiempo requerido para que el electroacutense mueva de A a B y c) iquestcoacutemo cambia elresultado si fuese un protoacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Movimiento de una partiacutecula en un campo
electromagneacutetico
En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga qmovieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campoeleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerzaeleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal formaque la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre lapartiacutecula estaacute dada por
Un par de aplicaciones de los resultados anteriores son
El selector (o filtro) de velocidades
El espectroacutemetro de masas
E B
EM
F F F qE qv B
F q E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde esfundamental que estas se muevan esencialmente a la mismavelocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacutencon la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionarsoacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada
Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de camposeleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que lasfuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre lapartiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Conello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en talcaso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no semodifica su trayectoria inicial
0E BF F F q E v B
E v B
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacenla relacioacuten E = vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en laregioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada aaquellas partiacuteculas con rapidez v = EB
En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de
velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separarpartiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellascon una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en sutrayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan enla direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lohacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se tratede partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativala deflectacioacuten es a la inversa
Funcionamiento del selector o
filtro de velocidades
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Ejemplo Un ion de litio (Li+) cuya carga es q = +16x10-19C seproyecta hacia un selector de velocidad donde el campo magneacuteticoes B = 20 mT El campo eleacutectrico E se ajusta para seleccionar unavelocidad de 15 x 106 ms iquestCuaacutel es el campo eleacutectrico E
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Selector o filtro de velocidades
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permiteseparar iones con base en su relacioacuten carga-masa
En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de unespectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0
rmv
qB
iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas
En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas deBrainbridge un haz de iones pasa primero por un selector develocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacuteticouniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacuteticoen el selector
Si se enviacutean iones cargadospositivamente es faacutecildemostrar que la trayectoriaseguida es la mostrada en elesquema donde el radio de latrayectoria circular estaacute dadopor
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
De la ecuacioacuten anterior podemosconcluir que las partiacuteculas con mayorrelacioacuten masa-carga tendraacuten un radio decurvatura mayor para la trayectoriaseguida de tal forma que si colocamos undetector a una distancia 2r de la salida deiones podremos detectar a los iones conuna relacioacuten masa-carga dada por
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
0m
q
B r
v
y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector develocidades podemos escribir
0
m
q
BB r
E
Relacioacuten masa-carga en un
espectroacutemetro de masas
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Ejemplo Un ion de neoacuten cuya carga esq = 16x10-19C sigue una trayectoria de728 cm de radio tal como se muestra Silos campos magneacutetico y eleacutectrico sonB = 05T y E = 1000Vm respectivamente iquestCuaacutel es su masa
Solucioacuten
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico El espectroacutemetro de masas
En la praacutectica suelen medirse lasmasas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los ionesteniendo la misma carga q enconsecuencia es posible encontrar lasproporciones de masa incluso si sedesconoce q
Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada porJJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir larelacioacuten carga-masa de los electrones a sabereme
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Bobina de campo magneacutetico
Haz de electrones desviados
Haz de electronesno desviados
Recubrimiento fluorescente
Placas de desviacioacuten
RejillasCaacutetodo
Movimiento de una partiacutecula en un campo
magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)
En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde elcaacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre doscampos eleacutectrico y magneacutetico
Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados paraobtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campomagneacutetico y se mide la desviacioacuten
Con base en las magnitudes de
ambos campos y en la desviacioacuten
medida se calcula la relacioacuten eme
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Al realizar experimentos con un alambre conduciendo unacorriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa eslo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo unalambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) elalambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en(d) fluye hacia abajo
Como puede advertirse existe un efecto sobre el
alambre producto de una interaccioacuten entre la
corriente que circula por el alambre y el
campo magneacutetico la fuerza magneacutetica
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
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copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos aconsiderar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea deseccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campomagneacutetico B
La fuerza magneacutetica ejercida sobre unacarga q que se mueve a una velocidad vd estaacutedada por
asiacute que para determinar la fuerza total queactuacutea sobre el alambre basta con multiplicarla fuerza sobre una carga por el nuacutemero decargas en el segmento
q vd x B
Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en elsegmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad devolumen
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre delongitud L es
Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes convenientesi recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que
B dF qv B nAL
BF IL B
donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I ytiene una magnitud igual a la longitud L del segmento
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
Una forma alterna para derivar la expresioacuten anterior es lasiguiente
Considerando una corriente continua podemos escribir lavelocidad de la carga como
Que al sustituir en la expresioacuten para la fuerza
nos lleva sucesivamente a
BF qv B
B
LF q B
t
Es decir recuperamos la expresioacuten
Lv
t
qL B
t
BF IL B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectricaSi ahora consideramos un segmento de
alambre de forma arbitraria y de seccioacutentransversal uniforme en un campo magneacuteticocomo el que se muestra podemos calcular lafuerza sobre eacutel
De la ecuacioacuten anterior se deduce que lafuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento devector de longitud ds en presencia de un campoB es
Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo elalambre de tal forma que
donde a y b representan los extremos del alambre
BdF Ids B
b
B
a
F I ds B
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran elresultado anterior
1 Un alambre curvo conduce una corriente I yestaacute ubicado en un campo magneacuteticouniforme B
b
B
a
F I ds B
En ese caso la integral que resulta representa el vector suma detodos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que laecuacioacuten anterior se reduce a
BF IL B
Como el campo es uniforme puede sacarsede la integral es decir
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
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copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta
una corriente eleacutectrica
2 Una espira cerrada de forma arbitraria queconduce una corriente I se coloca en uncampo magneacutetico uniforme B
BF I ds B Como el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado
la suma vectorial debe ser cero (que se obtiene al aplicar el meacutetododel poliacutegono para la suma vectorial) Lo anterior permite concluirque
La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero
En este caso se procede de manera similarsoacutelo que al tomar la suma vectorial de loselementos ds sobre la espira nos lleva a
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobreuna espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme escero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira
Para ello consideremos una espirarectangular (como se muestra en la figuraanexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobrecada uno de los segmentos rectos
Sobre los segmentos 1 y 3 NO hayfuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I
como el campo magneacutetico B son paralelos
Mientras que para los segmentos 2 y 4SI hay una fuerza magneacutetica por lo queprocederemos a calcularla para cada uno delos dos segmentos mencionados
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Considerando la figura (a) encontramosque para el segmento 2 usando la regla de lamano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo delplano de la figura mientras que para elsegmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de lafigura
En la figura (b) se muestra una vistainferior de la espira El ldquopuntordquo indica que lacorriente ldquosalerdquo en el segmento 2 mientras quela ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en elsegmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4son perpendiculares al plano de la espira (eneste caso la horizontal) y opuestas entre siacute
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Como puede observarse en la figura lasfuerzas F2 y F4 apuntan en direccionesopuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largode la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que siconsideramos al punto O como un pivotevemos que las dos fuerzas producen unmomento de torsioacuten que hace girar a laespira alrededor del punto O
La magnitud de este momento de torsioacuten tmax estaacute dada por
max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2
b b b bF F IaB IaB IabBt
donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O esb2
Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momentode torsioacuten tmax puede expresarse como
max IABt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
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copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Si ahora consideramos la mismaespira pero con un aacutengulo entre elcampo B y la perpendicular a su planorepresentada por el vector A podemosdemostrar que la torca o momento detorsioacuten estaacute dado por
donde A=ab es el aacuterea I es la corrienteque conduce la espira y B es lamagnitud del campo magneacutetico
IABSent
De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torcapuede ser reescrita como
IA Bt
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
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copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de lamano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corrienteI hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
Bt
Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espiratenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar dela bobina es igual al producto N de tal forma que
espira bobinaN B Bt
Si a continuacioacuten definimos elmomento dipolar magneacutetico (osimplemente ldquomomento magneacuteticordquo) dela espira como
IA
donde tiene como unidades al ampere-
metro2 podemos escribir la torca sobre unaespira como
Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
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Ejemplo Una bobina de alambre de200 vueltas tiene una radio de 20cm yla normal al aacuterea forma un aacutengulo de300 con un campo B de 3mT iquestCuaacutel esel momento de torsioacuten en la espira siesta conduce una corriente de 3A
Solucioacuten
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Momento magneacutetico
SN
n
B
N = 200 vueltas
B = 3 mT = 300
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
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Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
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Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
Al establecer una corriente sobrela espira (colocada en un campo B)aparece un par de fuerzas (mostradascomo F) que dan lugar a un momentode torsioacuten sobre la espira responsablede que gire en la direccioacuten mostrada
Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente semantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espirainvierta su direccioacuten de giro
Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquo que tienencomo funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espirapara cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girandoen una misma direccioacuten
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
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Oacuteptica
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Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente
Motor eleacutectrico
El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar haceuso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina
Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
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Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
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Efecto Hall
Esta fuerza originaraacute una acumulacioacuten de cargas positivas en ellado a y un deacuteficit de cargas en el lado b que produciraacute unadiferencia de potencial entre los lados a y b del conductor
Cuando un alambre que conduce unacorriente se coloca en un campomagneacutetico tal como se muestra en lafigura el campo ejerce una fuerza quedesviacutea a las cargas en movimiento
Si consideramos las condicionesmostradas en la figura los portadores decarga positivos seraacuten desviados a laizquierda debido a la fuerza magneacuteticaproducida por el campo B la cual tieneuna magnitud dada por
B dF ev B
Efecto Hall
Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
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Esta diferencia de potencial aumentaraacutehasta que el campo eleacutectrico EH queproduce ejerza una fuerza FE sobre lacarga dada por
sea igual en magnitud pero opuesta a lafuerza magneacutetica
Lo anterior lleva a la relacioacuten
E HF eE
d Hv B E
B dF ev B
Si consideramos que la separacioacuten entre los puntos a y b es dpodemos escribir el campo eleacutectrico EH en teacuterminos del voltajemedido VH y de la separacioacuten d
Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
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Efecto Hall
Con lo anteriormente mencionadopodemos escribir
de donde
H
d
Vv B
d
H dV v Bd
Este fenoacutemeno se conoce como Efecto
Hall Claacutesico en honor al fiacutesico Edwin Herbert Hall (1855-1938) quien lo descubrioacute en 1879
Este voltaje VH se llama Voltaje Hall
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
Efecto Hall
Magnetismo y
Oacuteptica
Dr Roberto Pedro Duarte ZamoranoE-mail robertoduartedidacticafisicausonmx
Webpage httprpduartefisicausonmx
copy 2016 Departamento de Fiacutesica Universidad de Sonora
Solucioacuten
Ejemplo Una tira de cobre de 2mm de ancho y 005mm de espesorlleva una corriente de 100mA (a) iquestQueacute velocidad de deriva vd tienenlos portadores de carga (b) iquestQueacute magnitud tiene el campomagneacutetico B que la rodea si el voltaje Hall medido es de 108nV
Efecto Hall
Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
Solucioacuten
Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
Solucioacuten
(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
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Ejemplo Un sensor de efecto Hall se puede usar para medir lamagnitud de un campo magneacutetico Un investigador ha perdido elmanual de instrucciones y olvidoacute el procedimiento para calibrar elsensor Sin embargo cuando pone el sensor de Hall dentro de uncampo magneacutetico conocido de 750mT mide un voltaje Hall de165mV iquestCuaacutel es la intensidad del campo de un imaacuten si el voltaje deHall es de 390mV
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Efecto Hall
Ejercicio Un sensor de Hall opera con una corriente de 120mACuando se coloca en un campo magneacutetico uniforme de 0080Tproduce un voltaje de Hall de 0700V (a) Cuando se usa para medirun campo magneacutetico desconocido el voltaje de Hall es de 0330Viquestcuaacutel es la magnitud del campo magneacutetico desconocido (b) Si elespesor del sensor en la direccioacuten del campo B es 200mm iquestCuaacutel es ladensidad de portadores de carga (n) si consideramos que tienen cargae
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(a) B = 00377T
(b) n = 42804x1025m-3
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(b) n = 42804x1025m-3
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![Magnetismo y óptica - Página personal de Roberto …rpduarte.fisica.uson.mx/archivos/curso6/05-magyopt.pdf · 2. LeyesdelMagnetismo [Feb01-Feb19] ... corpuscular que dice que la](https://static.fdocuments.es/doc/165x107/5ba109cb09d3f26b6b8b87d3/magnetismo-y-optica-pagina-personal-de-roberto-2-leyesdelmagnetismo-feb01-feb19.jpg)
