MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE · PDF file• Integrales...

Reforma Académica 2003 85

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica

MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Al finalizar la unidad el resolverá

problemas prácticos usando integrales



Resultados de Aprendizaje

1.1 Calcular la rapidez de cambio de diferentes cantidades para la solución de problemas prácticos. 4 h

1.2 Usar los diferentes tipos de funciones para la solución de problemas prácticos. 8 h

2.1 Calcular la derivada para la solución de problemas prácticos y

para determinar propiedades de las funciones. 15 h

2.2 Graficar una función con la información obtenida de la primera y la segunda derivada. 15 h

3.1 Calcular el cambio acumulado 15 h 3.2 Usar integrales en la solución de problemas. 15 h

Módulo

1. Manejo de las funciones y su cambio para la solución de problemas.

12 h

2. Manejo del Cálculo Diferencial, para la solución de problemas.

30 h

3. Manejo del Cálculo Integral, para la solución de problemas.

30 h

Matemáticas IV: Introducción al

Cálculo Diferencial e Integral



SUMARIO 3.1. Calcular el cambio acumulado

3.1.1. Integral definida • Cambio acumulado • La integral definida • Evaluación de una integral definida a

partir de una tabla o gráfica 3.1.2. La integral definida como área

• La integral definida como el área bajo la curva

• Área entre dos curvas • El teorema fundamental del cálculo

3.2. Usar integrales en la solución de

problemas 3.2.1. Antiderivadas

• Derivación e integración como procesos inversos

• Integrales indefinidas • Integral de una suma • Integrales inmediatas • Uso de las antiderivadas para

encontrar integrales definidas 3.2.2. Cambio de variable

• Integrales reducibles a integrales inmediatas

• Integrales trigonométricas • Integrales por partes • Integrales por sustitución

triginométrica • Integración de fracciones racionales

RESULTADOS DE APRENDIZAJE 3.1 Calcular el cambio acumulado. 3.2 Usar integrales en la solución de problemas.

3.1.1. INTEGRAL DEFINIDA • Cambio acumulado En las secciones anteriores se analizó la forma de calcular la rapidez de cambio de una función, ahora se revisará el proceso inverso, es decir, si conocemos la rapidez de cambio cómo determinar cuáles son los valores de la función, o los cambios en la misma. Ejemplo 3.1 Supongamos que se conoce que la rapidez de cambio de la población de una ciudad es de 20000 por año, y que en los siguiente tres el crecimiento es de 22000 habitantes por año, para calcular el cambio total de la población en esos seis años, se calcularía el cambio en cada periodo y después se suma. Cambio total= Rapidez de cambio por año * Número de años Cambio total= 20,000(3) +22,000(3)= = 126,000 habitantes. El cambio total en la población ascendió a 126,000 habitantes en los seis años. Ejemplo 3.2 Consideremos ahora el ejemplo del capítulo anterior que se refiere a la partícula que recorre cierta distancia en un tiempo dado, la velocidad es la rapidez de



cambio de esa función. Supongamos que su velocidad es 10 metros por segundo, con esta información se puede calcular la distancia recorrida en 8 segundos, despejando la fórmula se obtiene:

Velocidad = Tiempo

Distancia

Distancia = Velocidad * Tiempo

Distancia= 10 segm * 8 seg

=80 m Si se traza la gráfica de la velocidad recorrida contra el tiempo se obtiene un rectángulo cuya área, base por altura, estará representando a la distancia recorrida Gráfica 3.1

Imaginemos que la partícula se mueve a diferentes velocidades, por ejemplo, durante los primeros 4 segundos se mueve a 5 m/seg y enseguida se mueve cuatro segundos más pero ahora a una velocidad de 12 m/seg, para calcular la distancia recorrida se tienen que sumar las distancias en los dos tramos:

Distancia = (5 segm )(4 seg) +(12

segm )(4 seg)

= 68 m Para precisar más, ahora consideremos que se mide la velocidad de la partícula cada dos segundos, a partir del primer segundo:

Tiempo 1 3 5 7 9 Velocidad 2 6 10 14 18

Para estimar la distancia total recorrida se podría pensar que durante los primeros dos segundos la partícula tendría por lo menos una velocidad de 2 m/seg, en los siguientes dos segundos sería por lo menos 6 m/seg, y así sucesivamente. Distancia: (2)(2) + (6)(2)+(10)(2)+(14)(2)= 64 m Entonces se estima que en los 8 segundos la partícula recorre 64 m. El área sombreada en la figura 3.2 representa la distancia recorrida Gráfica 3.2

Sin embargo existe otro enfoque, se puede considerar que durante los dos primeros



segundos la partícula a lo mas tendría una velocidad de 6 m/seg, en los siguientes dos segundos la velocidad sería a lo mas de 10 m/seg, de esta manera la estimación de la distancia es otra cifra. Distancia: (6)(2)+(10)(2)+(14)(2)+ (18)(2)= 96 m Con este enfoque el área sombreada es mayor: Gráfica 3.3

La diferencia entre ambas estimaciones es de 32 metros. Se puede afirmar que la distancia recorrida por la partícula está entre 64 y 96 metros. 64< distancia< 96 Con el fin de ser aún más precisos, se podría considerar que las mediciones se realizan cada segundo, de esta manera las velocidades disponibles son las siguientes: Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Velocidad 2 4 6 8 10 12 14 16 18

La estimación de la distancia con el enfoque ‘al menos’ sería: (2)(1)+(4)(1)+(6)(1) +(8)(1)+(10)(1)+(12)(1)+(14)(1)+(16)(1)=72 Gráfica 3.4

y con el enfoque ‘cuando más’ (4)(1)+(6)(1) +(8)(1)+(10)(1)+(12)(1)+(14)(1)+(16)(1)+(18)(1)=88 Gráfica 3.5

Con estas nuevas estimaciones la distancia se encuentra entre 72 y 88 m.



• La integral definida En el ejemplo 3.2, se estimó la distancia total acumulada con base en la velocidad, se observó que a medida que se disminuyen los periodos de tiempo de medición y se aumentan el número de datos entonces mejora la precisión. Ejemplo 3.3 Supongamos que se conoce la función de rapidez con la que aumenta una población de insectos, f(t) = .5t2 +t +4, durante 12 horas, y deseamos calcular el crecimiento total de la población, se usarán subintervalos de tiempo de 3, 2 y 1 hora, utilizaremos ∆t para identificar la longitud del subintervalo, y n para indicar el número de ellos. El incremento en la población de insectos está dado por: f(t) = .5t2 +t +4 número de insectos por hora en donde t está en horas, y se calculará el cambio total con base en subintervalos ∆t y se utilizará el enfoque de cambio ‘al menos’. Tabla 3.1 T (horas) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(t) insectos por hora 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Si ∆t =3, n=3 Cambio total = (2)(3) + (8)(3) +(14)(3) =72

Haciendo los intervalos más pequeños, con ∆t =1, n= 9 Cambio total = (2)(1) +(4) (2) +(6) (1) +(8)(10)+(12)(1)+(14)(1)+(16)(1)+(18)(1) =90 La estimación del cambio total se puede hacer más precisa si la longitud de los intervalos se hace cada vez más pequeña, y n crece; la estimación será exacta si se calcula la suma de los rectángulos cuando n → ∞ Considere que f(t) es una función continua en el intervalo (a,b), y se definen n subintervalos iguales, cada uno de longitud ∆t, de tal forma que:

∆t = n

ab −

Sean to, t1, t2, t3, .... tn, los puntos que definen los subintervalos, y definimos la suma de los rectángulos considerando los dos enfoques, ‘al menos’ y ‘cuando más’, en el primer caso, suma por la izquierda, la altura del rectángulo se define por el valor izquierdo del intervalo; y para el otro caso, la suma por la derecha se utilizan los valores de la derecha de cada intervalo para calcular la altura del rectángulo Suma por la izquierda= f(to)∆t + f(t1) ∆t +f(t2) ∆t +......f(tn-1) ∆t Suma por la derecha = f(t1)∆t + f(t1) ∆t +f(t2) ∆t +......f(tn) ∆t Podemos abreviar las sumas utilizando el símbolo de ∑ que es la letra griega S, y que representa la suma:



Suma por la derecha = ∑=

Δn

ititf

1)( = f(t1)∆t

+ f(t1) ∆t +f(t2) ∆t +......f(tn) ∆t

Suma por la izquierda= Δt1n

1i)if(t∑

−

== f(to)∆t

+ f(t1) ∆t +f(t2) ∆t +......f(n-1) ∆t Cuando la función es continua y el límite de estas sumas cuando n → ∞ coincide para ambas sumas, entonces se dice que existe el límite y se le conoce como integral definida. La integral definida de f en el intervalo [a,b] se denota como:

∫b

a

dttf )(

es el límite de las sumas por la izquierda o derecha con n subintervalos de [a,b] a medida que n se hace arbitrariamente grande.

∫b

a

dttf )( =∞→n

lim (suma por la izquierda) =

∞→nlim ∑

−

=Δ

1

1)(

n

ititf

∫b

adttf )( =

∞→nlim (suma por la derecha)=

∞→nlim

∑=

Δn

ititf

1)( =

Cada una de estas sumas se le llama suma de Riemann, Los elementos que aparecen en la notación de la integral son:

a es el límite inferior de la integral b es el límite superior de la integral x es la variable de la integral

[a,b] intervalo de integración f es el integrando

• Evaluación de una integral definida

a partir de una tabla o gráfica Para evaluar la integral a partir de una tabla se calculan las sumas por la izquierda y por la derecha, veamos un ejemplo: En la tabla 3.2 se presentan valores de una función de ingreso marginal de un fabricante. Se desea calcular el ingreso total del fabricante cuando la producción aumenta de 10 a 20.

Tabla 3.2

q 10 12 14 16 18 20Ingreso 235 220 202 182 160 135

Para calcular ∫20

10

)( dqqf se utilizarán los

valores de la función en la tabla para determinar la suma por la izquierda y por la derecha: Suma por la izquierda =f(10)*2 +f(12)*2+f(14)*2 +f(16)*2 +f(18)*2 =235*2 +220*2 +202*2 +182*2 +160*2 =1998 y la suma por la derecha sería: Suma por la izquierda = f(12)*2+f(14)*2 +f(16)*2 +f(18)*2 +f(20)*2 =220*2 +202*2 +182*2 +160*2 + 135*2 =1798



entonces:

1998< ∫20

10

)( dqqf <1798

Para efectos prácticos la integral de la función de ingreso marginal la obtenemos promediando ambas sumas:

∫20

10)( dqqf =(1998 +1798)/2 = 1898

Es importante destacar que la unidad de

medida para ∫20

10)( dqqf está dada por las

unidades de medida para f(q) y q, en este ejemplo el resultado de la integral son $1898 pesos, porque el ingreso marginal está dado en $ por unidad vendida y dq son unidades vendidas. Los $1,898 representan el cambio total en el ingreso por el incremento en las ventas de 10 a 20 productos. Veamos otro ejemplo, para calcular el área bajo la curva y=x2 y la línea x=2, podemos utilizar 8 rectángulos, dividimos el intervalo, [0,2], en ocho subintervalos de longitud 1/4, esto es [0,1/4] [1/4,2/4] [2/4,3/4] [4/4,5/4] [6/4,7/4] [7/4,8/4]; en cada intervalo calculamos la altura del rectángulo con y= x2 , la aproximación de la integral será la suma de las áreas de los ocho subintervalos. Intervalo Longitud

de la base Altura y=x2

Área Base*altura

0 1/4 0.125 1/4 2/4 0.125 2/4 3/4 0.125 3/4 4/4 0.125 4/4 5/4 0.125 5/4 6/4 0.125

Intervalo Longitud de la base

Altura y=x2

Área Base*altura

6/4 7/4 0.125 7/4 8/4 0.125

Para facilitar la estimación de la integral podemos utilizar en la computadora una hoja de cálculo, al capturar los datos observamos que las fracciones se transforman en decimales, de una forma muy ágil calculamos las suma por la izquierda y la suma por la derecha.



2.1875< ∫2

0

2dxx <3.1875

Al sumar obtenemos valores que son sólo es una aproximación de la integral, y es razonable pensar que entre mayor sea el número intervalos más precisa será la estimación del área.

Si en lugar de disponer de una tabla se tiene una gráfica entonces el cálculo de la integral se obtiene definiendo el tamaño de los intervalos, trazando los rectángulos, y sumando las áreas de los mismos. También se calculan las sumas por la izquierda (conocidas también sumas por



defecto) y por la derecha (sumas por exceso), para ello, en el primer caso el rectángulo se traza considerando la altura como la ordenada del primer valor del intervalo, en cambio, en el segundo caso, la altura se define con la ordenada del segundo valor del intervalo.. En la gráfica 3.6 se puede apreciar que los rectángulos se trazan considerando la ordenada del primer valor del subintervalo, en cambio en la gráfica 3.7 se observa que los rectángulos se trazan con la segunda ordenada. En la primera los rectángulos quedan por debajo de la función, y en la segunda están por encima de la función, en el primer caso las áreas de los rectángulos ri subestiman el verdadero valor del área bajo la curva, y en el segundo los rectángulos Ri sobreestiman el valor del área. Está claro que entre más pequeños sean los subintervalos y por lo tanto sean más rectángulos, se obtiene mayor precisión en la estimación de la integral. Gráfica 3.6

Gráfica 3.7

3.1.2. LA INTEGRAL DEFINIDA

COMO ÁREA • La integral definida como el área

bajo la curva Con los ejemplos de las secciones anteriores, se puede apreciar que a medida que el ancho ∆t de los rectángulos se aproxima a cero, los rectángulos se aproximan más a la gráfica de la curva, por lo que la suma de sus áreas se acerca más al área bajo la curva. Si f(x) es positiva y a<b: Área bajo la gráfica de f entre a y b

∫b

adxxf )(

Las gráficas 3.6 y 3.7 en donde se calcularon las áreas ri y Ri son aproximaciones de las áreas Ai que en conjunto son:

Área = ∫b

adxxf )(



En otro ejemplo, la gráfica 3.8. , muestra la gráfica de una función, para calcular la integral entre 0 y 5, hay que medir el área bajo la curva en ese intervalo ver gráficas 3.9. Gráfica 3.8

El área se cubre con 1643

cuadros de

dimensiones 5*1, entonces

∫5

0)( dxxf =16.75*5=83.8 unidades

cuadradas Gráfica 3.9

En muchas ocasiones, las gráficas abarcan áreas por debajo del eje de las abscisas, en donde la función toma valores negativos, en esos casos, f(x)∆x es negativo, y el área se contabiliza en forma negativa. Veamos un ejemplo, para calcular

∫−

22.2

22.2)( dxxf , gráfica 3.10.,

se obtiene el área la curva y el eje de las x entre -2.22 y 2.22, el área sombreada es 86.7, por lo tanto

∫−

22.2

22.2

)( dxxf =-86.7

Gráfica 3.10



En general si una curva presenta áreas positivas y negativas el cálculo del área sería de la siguiente manera:

• Área entre dos curvas En esta sección, se verá como calcular el área de una región delimitada por varias curvas. En forma similar a lo antes visto, el procedimiento consiste en trazar rectángulos y utilizar la integral definida, la altura del rectángulo será f(x)–g(x) y el área f(x)–g(x)*∆x. Si f y g son funciones continuas en [a,b] y g(x) ≤ f(x) entonces el área entre las gráficas f(x) y g(x) entre a y b es:

∫ −b

adxxgxf ))()((

Consideremos que f(x)= - x2+ 2x +20 y g(x)= 2x, para obtener el área entre ambas funciones, gráfica 3.11, se sigue el procedimiento de definir rectángulos entre 0 y 4.47, que es el valor de la abscisa en donde se intersectan ambas funciones, utilizando una hoja de cálculo en la computadora se calcula la integral, con el

procedimiento analizado en la sección anterior. Gráfica 3.11

de esta manera podemos calcular la integral

∫ −++−47.4

0

2 ))2()202(( dxxxx = 60.5

Gráfica 3.12

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7

5

10

15

20

25

30

35

y=-x^2+2x+20

y=2x

Area= 60.55



• El teorema fundamental del cálculo En las secciones anteriores se vio como la integral definida es el cambio total en una función calculado con base en la rapidez de cambio de la función. También se estableció que dada una función F(t) su rapidez de cambio es la derivada, F’(t). Recordemos que para estimar el cambio total, en un intervalo [a,b], se definen n subintervalos iguales en to, t1,t2,...tn-1, tn , además se definió ∆t como la longitud de los subintervalos y se calcula como

∆t=n

ab − .

Ahora bien, si en el primer subintervalo, se aproxima la rapidez de cambio con F’(t1) entonces: Cambio en F =Rapidez * Tiempo ≈ F’(t1) ∆t si consideramos en cada subintervalo i la rapidez de cambio se aproxima con F’(ti), entonces: Cambio en F = Rapidez * Tiempo ≈ F’(ti) ∆t y por lo tanto el cambio total estará dado por: Cambio total en F entre a y b:= F’(t1) ∆t +F’(t2) ∆t+....+ F’(tn) ∆t=

∑=

Δn

ittF

1)('

Para mejorar el resultado, se generan más intervalos, tomando el límite cuando n

→∞, de esta manera la suma se convierte en integral: Cambio total en F entre a y b:=

∞→nlim ∑

=Δ

n

ii ttF

1)(' = ∫

b

a

dttF )('

Como el cambio total está dado también por F(b) – F(a) se relaciona con el resultado anterior y se obtiene: Teorema fundamental del Cálculo Si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces

∫b

a

dttF )(' = F(b) - F(a)

Veamos un ejemplo, se conoce que un cuerpo se mueve en una recta con aceleración v’(t)= 6t, también se conoce que la velocidad del cuerpo es v(t)= 3t2 m/seg entre t=0 y t=10 minutos, se estimará el cambio la velocidad total aplicando el Teorema fundamental del Cálculo: Recordemos que la aceleración es la rapidez de cambio de la velocidad, esto es el cambio experimentado por la velocidad por segundo, entonces sus unidades son

seg

segm / = 2segm y además dt=seg

∫10

0

)(' dttv = v(10) – v(0)

∫10

0

)(6 dtt = 3(102) - 3(0)2 =300 m/seg

El cambio total en la velocidad en ese periodo es de 300 m/seg



RESULTADO DE APRENDIZAJE 3.2. Usar integrales en la solución de problemas

3.2.1. ANTIDERIVADAS • Derivación e integración como

procesos inversos La integración tiene, también, otro enfoque, como procedimiento inverso al de la derivación, esto es, si una función es derivada y el resultado se integra entonces se obtiene la función original, para llegar al resultado idéntico se tiene que especificar la constante de integración que se explicará mas adelante. Si la derivada de una función F(x) es f(x), esto es F’(x) = f(x), entonces se dice que F(x) es antiderivada de f(x) La antiderivada de f(x) es una función cuya derivada es f(x). Por ejemplo la derivada de x3 es 3x2 por ello se dice que x3 es la antiderivada de 3x2

Observemos que 3x2 también es la derivada de x3+4, y también es la derivada de x3+C, para cualquier valor de C constante En efecto

)( 3 Cxdxd

+ = 3x2

por tal razón se dice que x3+C es la familia de antiderivadas de 3x2

Generalizando:

)))(( CxFdxd

+ = )(xFdxd + )(C

dxd

= )(xFdxd

= f(x) Así, por la constante, no queda determinada completamente una función cuya derivada se conoce. • Integrales indefinidas La antiderivada de una función f(x) difiere de cualquier otra en una constante, todas las antiderivadas de f(x) son de la forma F(x) + C, la forma más general de denotarlas es con: ∫ dxxf )( y se le

denomina integral indefinida de f(x).

∫ dxxf )( = F(x) + C si y sólo si F(x) = f(x)

Al símbolo ∫ se le denomina símbolo de

integral, f(x) es el integrando, y C es la constante de integración. La integral indefinida de cualquier función f con respecto a x se escribe ∫ dxxf )( , y

denota una antiderivada arbitraria de f. Es importante resaltar la diferencia entre

∫b

a

dxxf )( y ∫ dxxf )( , la primera expresión es

un número, en cambio la segunda denota una familia de funciones. Se usa de manera indistinta la palabra integración ya sea para encontrar la antiderivada como para calcular integrales definidas.



• Integral de una suma Entre las propiedades de la antiderivada se encuentran las siguientes: Una antiderivada de la suma de dos funciones es la suma de sus antiderivadas. Ocurre lo mismo con la diferencia.

∫ + dxxgxf )]()([ = ∫ dxxf )( + ∫ dxxg )(

Una antiderivada de una constante por una función es la constante por una antiderivada de la función:

∫ dxxfc ))(( = c ∫ dxxf )(

En la siguiente sección veremos algunos ejemplos. • Integrales inmediatas Las reglas para la integración que se obtienen directamente al invertir las reglas correspondientes a la diferenciación son las siguientes: a) ∫dx = x + C

b) ∫Kdx = K ∫dx = Kx + C en donde K es

cualquier constante

c) ∫ dxxn = 1

1

+

+

nx n

n≠ -1

d) cxdxx

+=∫ ||ln1

e) cedxe xx +=∫

f) cek

dxe kxkx +=∫1

g) ctea ;ln

=+=∫ ca

adxax

x

h) ∫ +−= cxedxxe xx )1(

i) ∫ xdxln =x(lnx-1) + c

j) ∫ +−= cxxyxdxxy )ln()ln(

Ejemplos:

∫ dx3 4 = 3 4 x +C

∫ − dx53 = -

53 x + C

∫ dt5 = 5t +C

∫ xdx2 = 2 ∫ xdx =2(2

2x + C)= x2 +C

∫ dxx 2 = 3

3x +C

∫ − dxx 4 = 3

3

−

−x +C

∫ dxe x8 =81 e8x + C

∫ − dte t03.0 =03.0.

1−

e-0.03t + C

∫ + dxxx )cos2( = ∫ dxx2 + ∫ dxxcos = x2 +

sen x

=∫ dxx1•5 ∫ dx

x1•5 = 5·Lnx + C



• Uso de las antiderivadas para encontrar integrales definidas

Con base en el Teorema Fundamental del Cálculo y utilizando las reglas de las antiderivadas se pueden calcular, de una manera más eficiente, las integrales definidas, en efecto, el Teorema nos dice si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces

∫b

a

dttF )(' = F(b) - F(a)

Nos permite calcular de una manera exacta las áreas bajo la curva, así como el cambio total acumulado de la funciones. Observemos que al tomar la diferencia F(b) - F(a) se cancela la constante de integración. Ejemplos: Consideremos la función de la velocidad de una partícula en movimiento rectilíneo, que se analizó en alguna sección anterior: Como ∫ xdx2 = x2 +C

entonces

∫9

1

2tdt = F(9) – F(1) =[(9)2 +C] - [(1)2 +C] =

(9) 2 - (1)2 = 83 Recordemos que en nuestra mejor aproximación habíamos estimado, con n =8, que 77<velocidad <88 Ejemplo

La función de costo marginal de un fabricante es

=Cdqd 0.6q +2,

si conocemos que la producción actual es igual a q=80 unidades por semana, para calcular qué tanto más costaría incrementar la producción a100 unidades por semana, se utiliza la integral definida. Como se conoce el costo marginal, al integrar se determina el costo: C(100) – c(80) =

∫100

80 dqdc =

100

80

2

226.0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ qq =

(0.3(1002 + 2(100)) – (0.3(802 + 2(80))= 3200 – 2080. Ejemplo Si co es el consumo anual de un mineral en el tiempo t=0, entonces con un consumo continuo la cantidad total de mineral que

se utiliza en el intervalo [0,t1] es: .1

00 dtec kt

t

∫

Determinemos la integral para una mineral se ha determinado que co = 3000 unidades y k=0.05:

dte tt

05.

0

1

3000∫ =1

0

05.

05.3000 t

te =

(60000 1kte - 60000e0)= 60000( 1kte -1) Veamos otros ejemplos:



∫9

1

tdt =2(9

1

2

2t )

∫ ++−5

0

2 )202( dxxx =

En los análisis anteriores, se ha supuesto que la integral definida

∫b

a

dxxf )(

tiene límites de integración finitos, y el integrando f es continuo. Sin embargo, se presentan casos en los que uno de los límites (o ambos) es infinito o no existe, esta clase de integrales se les conoce como integrales impropias. A pesar de no tener definido un límite, algunas convergen a un número, este es el caso de

y= 21x

, en el que dxx∫

∞

12

1 =1

Gráfica 3.13

Si bien no está definido el límite superior, se observa que el área converge a un número. 3.2.2. CAMBIO DE VARIABLE • Integrales reducibles a integrales

inmediatas En ocasiones, es posible modificar algebraicamente una función, de tal manera que se convierte en una expresión cuya integral es inmediata. Por ejemplo

∫ xdxex 2, se reduce a ∫ dueu

21 simplemente

considerando u=x2 , y du= 2xdx. Ejemplo Obtener ∫ + dxxx 12

Se resuelve considerando u= x+1 entonces x=u-1 dx =du y x2 = (u-1)2 = u2 -2u +1

1+x = 21

u

Así:

∫ + dxxx 12 = ∫ +− duuuu 21

2 )12(

= ∫ +− duuuu 21

23

25

2

= 27

72 u - 2

5

54 u + 2

3

32 u + c

= 27

)1(72

+x - 25

)1(54

+x

+ 23

)1(32

+x + c



• Integrales trigonométricas Las integrales trigonométricas más usuales son:

∫senxdx = -cosx + c

∫ xdxcos = senx + c

cxxdx +=∫ |sec|lntan

cxxdx +=∫ |sin|lncot

cxxxdx +−=∫ |cotcsc|lncsc

cxxxdx ++=∫ |tansec|lnsec

cxxdx +=∫ tansec2

cxxdx +−=∫ cotcsc2

cxxdxx +=∫ sectansec

cxxdxx +−=∫ csccotcsc

∫ =+ a

xaax

dx arctan122

∫ ++−

=−

caxax

aaxdx ln

21

22

∫ +−+

=−

cxaxa

axadx ln

21

22

Es posible resolver otras integrales con base en las anteriores realizando algunas sustituciones algebraicas y trigonomé-tricas. Ejemplo:

∫ dx xsen 3 = ∫ dx senxsen 2

= ∫ − senxdxx)cos1( 2

= ∫ senxdx + ∫ − dxsenxx )(cos2

= -cosx + 31 cos3x + c

• Integrales por partes Existe otro método muy útil de integración, se le denomina integración por partes, éste proviene de la fórmula para la derivada del producto de dos. Si f y g son funciones diferenciables:

∫ ∫−= dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(

A la ecuación anterior se le llama fórmula de integración por partes. Se le puede expresar de otra manera al considerar:

)(y )( xgvxfu == Entonces tenemos

)(y )(' xgvxfdu == con lo que se transforma a:

∫ ∫−= vduuvudv

Está formula expresa la integral ∫udv en

términos de otra integral, ∫ vdu . Por medio

de una elección adecuada de u y dv, puede ser más fácil evaluar la segunda integral que la primera. Cuando se eligen sustituciones para u y dv, por lo general se desea que dv sea el factor más complicado del integrando que se pueda integrar directamente y que u sea una función cuya derivada sea una función más simple. Ejemplo: Encontrar ∫ dxxe x

Consideremos u =x y dv = exdx Entonces du=dx y v= ∫ dxe x =ex + c

Por lo tanto:



∫ dxxe x = uv - ∫vdudx

=x(ex +c1)- ∫ + dxce x ))( 1

= xex +c1x –ex – c1x +c = xex – ex +c = ex( x-1) +c Ejemplo: Determinar ∫ xdxx cos

Sea u=x y dv=cosxdx. Entonces du=dx y v=sinx Por lo tanto, tenemos

∫∫ −= xdxxxxx sinsincos

cxxx ++= cossin Determinar ∫ − xdx1tan

Sea u=tan-1x y dv=dx.

Entonces du= 21 xdx+

y v=x

De esta forma,

Cxxx

xxdxxxxdx

++−=

+−=

−

−− ∫∫

)1ln(21tan

1tantan

21

211

• Integrales por sustitución

trigonométrica Cuando un integrando contiene potencias enteras de x y potencias enteras de alguna de las expresiones

0a ,xbien o ,a , 222222 >−+− axxa

es posible que se pueda evaluar las integrales por medio de una sustitución trigonométrica. Los tres casos considerados a continuación dependen, respectivamente de las identidades:

θθ

θθ

θθ

22

22

22

tan1secsecsin1cossin1

=−

=+

=−

CASO I. Integrandos que contienen

0a ,22 >− xa Consideremos: x=a sinθ , -π/2 ≤ θ ≤ π/2 entonces

θθ

θ

θ

cos cos

)sin1(

sin

22

22

22222

aa

a

aaxa

==

−=

−=−

Cuando 22 xa − aparece en el denominador de un integrando; existe la restricción adicional -π/2 ≤ θ ≤ π/2 CASO II. Integrandos que contienen

0a ,22 >+ xa Supongamos que x=a tanθ, en donde -π/2 ≤ θ ≤ π/2. Entonces

θθ

θ

θ

sec sec

)tan1(

tan

22

22

22222

aa

a

aaxa

==

+=

+=+



Después de la integración puede eliminarse la variable θ empleando un triangulo

rectángulo en donde tan θ=x/a. Veamos la siguiente figura.

Caso III. Integrandos que contienen

0a ,22 >− ax Si en este último caso se utiliza la sustitución x = a sec θ, en donde 0 ≤ θ ≤ π/2, o bien π ≤ θ ≤ 3π /2, entonces

θθ

θ

θ

tan tan

)1(sec

sec

22

22

22222

aa

a

aaax

==

−=

−=−

Evaluar ∫ −dx

xx

2

2

9

La identificación a=3 conduce a las sustituciones x=3sen θ dx=3cosθ dθ en donde -π/2 ≤ θ ≤ π/2. La integral se convierte en

∫ ∫∫ =−

=−

θθθθθ

dddxx

x 2

2

2

2

2

sin9)cos3(sin99

sin99

Recuerda que para evaluar está última integral trigonométrica se hace uso de

2/)2cos1(sin 2 θθ −=

cddxx

x+−=−=

− ∫∫ θθθθ 2sin49

29)2cos1(

29

9 2

2

Para expresar este resultado otra ves en término de la variable x, observamos que

(x/3)sin y ,3/x-9sin1cos ,3/sin -122 ==−== θθθθ x puesto que ,cos22 θθθ sen= resulta que

cxxxdxx

x+−−=

−−∫ 21

2

2

921

3sin

29

9



• Integración de fracciones racionales

Una función algebraica se puede expresar como el cociente de dos polinomios. En teoría toda función racional tiene una integral que puede expresarse en términos de funciones elementales. Si una función racional no se puede integrar directamente, se utiliza el método de fracciones parciales para transformar la fracción racional en una suma de funciones más sencillas que pueden integrarse por medio de las fórmulas normales. Este método se utiliza únicamente para a fracciones propias, esto es aquellas en la que el polinomio del numerador es de

menor grado que el polinomio del denominador. Veamos el procedimiento: a) Se expresa el denominador de la fracción como un producto de factores lineales de la forma ax + by de factores cuadráticos irreductibles de la forma ax2+bx +c. b) Se determina la forma de las fracciones parciales, y dependerá de los factores que se definan en el denominador:

Factor presente en el denominador

Fracción parcial correspondiente

a) Factor lineal único:

ax +b baxA+

siendo A una constante que debe

determinarse b)Factor lineal repetido: (ax-b)n bax

A+1 +

baxA+2 +.....+

baxAn+

en donde A1, A2,... An son constantes que deben determinarse

c)Factor cuadrático único ax2 +bx +c cbxax

BAx++

+2

en donde A y B son constantes que deben determinarse

d) Factor cuadrático repetido: (ax2 +bx +c )n cbxax

BxA++

+2

11

+cbxax

BxA++

+2

22 +...+cbxax

BxA nn

+++

2



c) Determinar las constantes que se presentan en los numeradores de las fracciones parciales. Cuando se descompone una fracción racional en fracciones parciales, la ecuación resultante es una identidad, o sea, que es verdadera para todos los valores significativos de las variables. El método para evaluar las constantes que se presentan en las fracciones parciales está basado en un teorema de álgebra que establece que si dos polinomios de un mismo grado son idénticos, deben ser iguales los coeficientes que corresponden a potencias iguales de la variable, en ambos polinomios Ejemplo

Determinar ∫ +++

23)3(

2 xxdxx

∫ +++

23)3(

2 xxdxx = ∫ ++

+)2)(1(

)3(xxdxx

= dxx

Bx

A∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−+

+ 21

= dxxx

dxxBxA∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+++++)2)(1(

)1()2(

Por lo tanto: X+3 = A(x+2) +B(x+1) =(A+B)x + (2A +B) Igualando los coeficientes de potencias iguales: A+B = 1 2A+B = 3 A=2 B= -1

Y

∫ +++

)2)(1()3(xxdxx = ∫ +1

2x

dx - ∫ + 2xdx

=2 ln(x+1) –ln(x+2) +c

=ln 2)1( 2

+−

xx + c

Realización del ejercicio Competencia analítica.

Calcular integrales usando fórmulas de integración. Determina las integrales que se indican:

1) ∫ dx21

2) ∫ dxx8

3) ∫ − drrr )5( 5

4) ∫ − dxe x

2

5) ∫ dw

6) ∫ + dxx 8)3(

7) ∫ + dxxx 332 )7(3

8) ∫ dxxex 22

9) dtt∫ −−2

1

44

10) dxex xx∫ ++3

1

22)1(

Reforma Académica 2003

107


DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

Unidad de aprendizaje

3

Práctica número 7 Nombre de la práctica

Modelación matemática de problemas de poblaciones.

Propósito de la práctica

Al finalizar la práctica el alumno modelará problemas de poblaciones usando integrales.

Escenario Aula Duración 2h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Papel • Lápiz

.


108



109


Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.

1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de poblaciones de acuerdo a las

instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

a. Se predice que la población mundial t años después del 2000 será de P =

6.1e0.0125t miles de millones. , ¿Qué población se predice que habrá en el 2010?, ¿Cuál es la población promedio quCe se predice que habrá entre el 2000 y el 2010?

b. Un pueblo tiene una población de 1000. Llene la siguiente tabla suponiendo que la población crece a: 50 personas por año y al 5% por año

Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Población 1000

c. El tamaño de una población de bacterias es de 4000. Encuentre una fórmula para el tamaño, P, de la población t horas después si la población está disminuyendo a: 100 bacterias por hora y al 5% por hora. ¿En qué caso la población de bacterias llega primero al 0?

d. Con frecuencia, las tasas de nacimiento y mortalidad se registran como nacimientos o muertes por miles de habitantes de la población. ¿Cuál es la razón de crecimiento relativa de una población con una tasa de nacimientos de 30 nacimientos por 1000 y una tasa de mortalidad de 20 muertes por 1000?

e. Una población tiene 100 habitantes en un tiempo t = 0, con t en años. Si la población tiene una razón de crecimiento absoluta constante de 10 personas por año, encuentre una fórmula para el tamaño de la población en el tiempo t. Si la población tiene una razón de crecimiento relativa constante del 10% por año, encuentre una fórmula para el tamaño de la población en el tiempo t. Grafique ambas funciones en los mismos ejes.

2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando

las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 3. Presentar conclusiones por equipo. 4. Establecer conclusiones grupales 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las

conclusiones de la misma.

Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado


110


Procedimiento para su posterior envió a reciclaje.


111


LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 7: Modelación matemática de problemas de poblaciones

Portafolios de evidencias

Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________

Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño.

Desarrolló Sí No No aplica

Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica

• Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los

documentos de trabajo

1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA

• Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b • Resolvió el ejercicio c • Resolvió el ejercicio d • Resolvió el ejercicio e

2. Elaboró en cartulinas los ejercicios 3. Cada equipo nombró un relator

• El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios • Resolvieron dudas y preguntas

4. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe

incluir las conclusiones de la misma

Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas

Observaciones:


112


PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación:


113


DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje

3


Determinación de áreas usando integrales


Al finalizar la práctica el alumno determinará áreas usando integrales.


Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría


114


Procedimiento


1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de poblaciones de acuerdo a las

instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

a. Use el teorema fundamental del cálculo para encontrar el área bajo la gráfica de f(x) = 1/(x+1) entre x = 0 y x= 2.

b. Use el Teorema Fundamental para calcular el valor de b si el área bajo la gráfica de f(x) = 4x entre x = 1 y x = b es igual a 240. Suponga que b > 1.

c. i) Grafique el área representada por la integral impropia 0

xxe dx∞

−∫ ii) Calcule

0

bxxe dx−∫

para b = 5, 10, 20. La integral impropia (i) converge. iii) Utilice sus respuestas del inciso (ii) para evaluar su valor.




Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.

PT-Bachiller

Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral


115

LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 8: Determinación de áreas usando integrales


Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________







• Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b • Resolvió el ejercicio c



4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe



Observaciones:

PT-Bachiller



116


PT-Bachiller



117


3


Resolución de integrales por partes.


Al finalizar la práctica el alumno realizará integrales usando la fórmula de la integración por partes.

Escenario Aula Duración 3 h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel

PT-Bachiller



118

Procedimiento


En ésta práctica se van a realizar integrales por partes: 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de integrales por partes de

acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

2

. cos

.

. ln

. cos

.

ax

x

a x xdx

b xe dx

c xdx

d e d

e x e dx

θ θ θ

−

∫∫∫

∫∫

2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA, utilizando



Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. Nota: Esta práctica se realizará las veces necesarias, hasta que el alumno alcance la competencia.

PT-Bachiller



119

LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 9: Resolución de integrales por partes.


Fecha: ______________

Nombre del alumno: ______________________________________________________________







• Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b • Resolvió el ejercicio c • Resolvió el ejercicio d • Resolvió el ejercicio e



4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe



Observaciones:

PT-Bachiller



120


PT-Bachiller



121


3


Resolución de integrales de fracciones parciales.


Al finalizar la práctica el alumno realizará integrales de fracciones parciales.

Escenario Aula Duración 3 h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel

PT-Bachiller



122

Procedimiento


En ésta práctica se van a realizar integrales por partes: 1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de integrales por partes, de

acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

3 2

3

3

3

2 3.2

1.( 1)

4.4

xa dxx x x

xb dxx x

dxcx x

++ −

+−

+

∫

∫

∫





PT-Bachiller



123

LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 10: Resolución de integrales de fracciones parciales.


Fecha: ______________

Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno.

De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño.






• Resolvió el ejercicio a • Resolvió el ejercicio b • Resolvió el ejercicio c



4. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales 5. Elaboró conclusiones 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe



Observaciones:

PT-Bachiller



124


PT-Bachiller



125


1,2,3


Determinación del excedente del consumidor


Al finalizar la práctica el alumno determinará el excedente del consumidor utilizando integrales.


Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría

PT-Bachiller



126

Procedimiento


1. Lee con cuidado lo siguiente:

Excedente del Consumidor Una de aplicación de las integrales en Economía, es la determinación del Excedente del Consumidor. En la gráfica 1, se presentan las curvas de oferta y demanda de un producto, en la primera se observa el precio p por unidad al cual el fabricante vende (ofrece) qunidades. En la segunda, demanda, se aprecia el precio p por unidad al cual los consumidores adquieren (o demandan) q unidades. El punto (po, qo)en donde se intersectan las curvas se le denomina punto de equilibrio, sus elementos se interpretan de la siguiente manera: po es el precio por unidad al cual los consumidores adquirirán la misma cantidad qo

que los fabricantes desean vender a ese precio. Si el mercado se encuentra en equilibrio y el precio del producto es po, de acuerdo con la curva de demanda, existen consumidores que estarían dispuestos a pagar más que po , por ejemplo al precio p1 los consumidores comprarían q1 unidades, estos consumidores se benefician del menor precio de equilibrio. El rectángulo sombreado en la figura 1, representa el área p∆q que es la cantidad total de dinero que los consumidores gastarían comprando ∆q unidades si el precio fuera p, como el precio es po los consumidores sólo gastan po ∆q y se benefician con la cantidad p∆q - po∆q, que se puede escribir como (p- po)∆q, ver figura 2.

Figura 1

PT-Bachiller



127

Procedimiento Figura 2

p0 ∆q

Considerando las áreas de todas los rectángulos de q= 0 a q= qo, el área se obtiene mediante la integral:

0

0

( )q

op p dq−∫

La integral representa la ganancia total para los consumidores que están dispuestos a pagar un precio superior al de equilibrio y se le denomina excedente de los consumidores ver figura 3.

Figura 3 EC

p0

qo

PT-Bachiller



128

Procedimiento

2. Analizar en grupo la lectura anterior.

3. Resolver en grupo el siguiente problema:

Las siguientes ecuaciones representan la demanda y la oferta de un producto: P=900 – q2 P=100 + q2 encuentrar el precio y cantidad de equilibrio, graficar y determinar el excedente del consumidor.

4. En grupo elaborarán conclusiones.

5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.


PT-Bachiller



129

Procedimiento

PT-Bachiller



130

LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 11: Determinación del excedente del consumidor


Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No

aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica



1. Leyó con atención la teoría 2. Analizó en grupo el concepto de excedente del consumidor 3. Resolvió en grupo el problema 4. Participó en la elaboración de conclusiones del problema 5. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe



Observaciones:


PT-Bachiller



131

RESUMEN

Conociendo la rapidez de cambio de una función se puede determinar los valores de la función y los cambios totales en la misma, esto es se puede seguir el proceso inverso a lo visto en la sección anterior. La integral definida de f en el intervalo [a,b] se denota como:

∫b

a

dttf )(

es el límite de las sumas por la izquierda o derecha con n subintervalos de [a,b] a medida que n se hace arbitrariamente grande.

=∫b

a

dttf )( ∑−

=∞

Δ1

1

lim )(n

in

ttf i

=∫b

a

dttf )( =∑

=∞→

Δn

in

ttf i1

lim )(

Cada una de estas sumas se le llama suma de Riemann, Los elementos que aparecen en la notación de la integral son:

a es el límite inferior de la integral b es el límite superior de la integral

x es la variable de la integral [a,b] intervalo de integración f es el integrando

Así , si f(x) es positiva y a<b: Área bajo la gráfica de f entre a y b

∫b

adxxf )(

El Teorema fundamental del Cálculo señala Si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces

∫b

a

dttF )(' = F(b) - F(a)

La integración tiene, también, otro enfoque, como procedimiento inverso al de la derivación, esto es, si una función es derivada y el resultado se integra entonces se obtiene la función original Si la derivada de una función F(x) es f(x), esto es F’(x) = f(x), entonces se dice que F(x) es antiderivada de f(x) La antiderivada de f(x) es una función cuya derivada es f(x).

∫ dxxf )( = F(x) + C si y sólo si F(x) = f(x)

PT-Bachiller



132

AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

1. ¿Cuál es el concepto de Límite?

2. ¿Qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado?

3. ¿Qué es el incremento de una variable? 4. ¿Cómo se representa el incremento de una variable? 5. ¿Cómo se le llama a una función que tiene derivada? 6. ¿Cómo se denomina al proceso de encontrar la derivada de una función? 7. ¿Cuáles son las dos aplicaciones principales de la derivada? 8. Hallar la derivada de la función dada en el siguiente ejercicio: f (x) = 7 9. Aplique la definición (°) para hallar la derivada de la función en a: ƒ(X)=2-X3; a=-2 10. ¿Cuáles son los criterios de continuidad en un número? (Expresar el concepto en lenguaje algebraico) 11. ¿Cuáles son los tipos de discontinuidad de una función? 12. Resuelva el siguiente ejercicio: Trace la gráfica de la función; luego, observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua. Muestre cuál criterio no se cumple de la definición de continuidad de una función en un punto.

13. ¿Cuál es la función de los teoremas? 14. Teorema de derivadas: “la derivada de una función multiplicada por una constante es igual al producto de la constante por la derivada de la función” Sea K una constante cualquiera y f y g dos funciones, tales que

f (x) = k g(x), entonces, si g'(x) está definida, f '(x) = k g'(x), ¿Cómo quedaría la conclusión del teorema en lenguaje algebraico?

PT-Bachiller



133

AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 15. ¿Cuál es la definición de diferencial? 16. Un barco sale de un puerto al mediodía y viaje hacia el oeste a 20 nudos. Al mediodía del día siguiente, un segundo barco sale del mismo puerto con dirección noroeste a la velocidad de 15 nudos. ¿Con qué rapidez se alejan entre sí los dos barcos cuando el segundo de ellos ha recorrido 90 millas náuticas? 17. ¿A qué se le llama rapidez de variación de la función? 18. Halle la derivada de la función correspondiente mediante la aplicación de los teoremas de los siguientes ejercicios:

19. Resuelva los siguientes ejercicios: elabore una tabla de valores de x, y, y m en el intervalo [a, b]; incluya todos los puntos donde la gráfica tiene una pendiente horizontal. Trace la gráfica y muestre un segmento de la tangente en cada uno de los puntos localizados.

20. ¿Qué es la operación sumatoria? 21. ¿Qué signo se utiliza para la notación de sumatoria? 22. Evalúe la integral definida del siguiente ejercicio:

PT-Bachiller



134

AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 23. Calcule la derivada del siguiente ejercicio:

24. Menciona los dos teoremas fundamentales del cálculo

PT-Bachiller



135

AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

PT-Bachiller



136

RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

1. El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

2. La función se acerca a un valor constante, cuando la variable independiente se aproxima

también a un valor constante. 3. Es la diferencia entre el valor final y el valor inicial. 4. Se representa por la letra correspondiente de la variable, precedida de la letra griega

delta; y se lee "delta de x", "delta de y" 5. Diferenciable 6. Diferenciación 7. La primera para obtener la pendiente de la recta tangente a la curva de una función en

un punto determinado y la segunda para calcular la velocidad instantánea de un móvil en un instante dado.

8.

9.

PT-Bachiller



137


Con este valor y, aplicando la fórmula, se obtiene:

10. Una función f es continua en un número a de su dominio si se cumplen las tres

condiciones siguientes:

11. La discontinuidad de una función en un punto puede ser una discontinuidad esencial o

una discontinuidad eliminable.

12. (Abajo se observa la gráfica de esta función).

Como f (-3) no existe, la parte (i) de la Definición de continuidad de una función en un número no se cumple y; por lo tanto

f es discontinua en -3.

PT-Bachiller



138

RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 13. Nos facilitan el aspecto operativo de la tarea de derivación. 14.

15. La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencia de la

variable independiente 16.

PT-Bachiller



139


17. A la intensidad de variación respecto al tiempo. 18. 1. Solución

PT-Bachiller



140

RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 2. Solución

3. Solución

19. 1. Solución

m(1) = 0 x y m

-1 -6 8

0 0 4

1 2 0

2 0 -4

2.5 -2.5 -6

3 -6 -8

PT-Bachiller



141


2. Solución

x y m

-2 -7 12

-1 0 3

0 1 0

1 2 3

2 9 12

PT-Bachiller



142

RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 3 Solución

Para ningún valor de x1, m(x1) es cero x f (x) m

-5 3 -0,17

0 2 -0,25

3 1 -0,5

4 0 No existe

20. Es la suma de muchos números.

PT-Bachiller



143

RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 21. Para la notación de sumatoria se utiliza la letra griega sigma mayúscula:

22. Solución:

23. Solución:

24. Primer Teorema fundamental del cálculo:

Segundo Teorema fundamental del cálculo:

PT-Bachiller



144


PT-Bachiller



145

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS

Respuestas de los ejercicios de la unidad de aprendizaje 1

1) Maíz

2) 3

5031

+= qp

3) v = 50000 - 5000t

4) (100,5)

5) 4

6) 3927568

7) a)10 mg b).17 c)5.6

8) a)6 b)-32

9) a) 1)1(

6)1(

42 +

−+

− tt b)

}3(2

2 tt +


1) a) 20 b) -1 c) 0 d) 0 2) f(2) existe y es igual a.

2→xlim f(x)

3). -34 4) -20

PT-Bachiller



146


5) a) 21

23 x b) -2t-1

c) 21

23 x d) t + 3

4t

e) 48x2 +18x f) 2)1(3

−−

x

g) 18(3x+2)5

h)18 e3x

6)

7)

y

-5 0 5

20

40

60

PT-Bachiller



147


8) q=40 costo promedio=23


1) cx +21

2) cx+

9

9

3) crr+−

25

6

26

4)2ex

+c 5) w + c

6) cx+

+9

)3( 9

7) cx+

+4

)7( 43

8)

2xe + c

9)-67

10) )1(2

123

−ee

PT-Bachiller



148


PT-Bachiller



149

GLOSARIO DE TÉRMINOS Antiderivada De una función f es una función F tal que F’(x) = f(x). Contradominio Son los valores de salida de una función Derivada de una función

Para cualquier función f, se define la función derivada , f’

por: f’(a) = 0→hlim h

h f(a) - )f(a +

Derivada de una función

Geométricamente se define como la pendiente de la tangente a la curva en un punto

Dominio De la función, son los valores de entrada de una función

Función Es una regla que asigna a cada número de entrada

exactamente un número de salida.

Función continua Se dice que una función f es continua en un número c si, f(c)

está definida, si cx→lim

f(x) existe y si cx→lim

f(x) = f(c)

Integral definida En f en el intervalo [a,b] se denota como: ∫b

a

dttf )( , y es

∞→nlim ∑

=Δ

n

ititf

1)(

Integral definida En f en el intervalo [a,b], también se le define como área bajo

la gráfica de f entre a y b y se denota como ∫b

adxxf )(

Integral indefinida De una función f con respecto a x se escribe ∫ dxxf )( , y

denota una antiderivada arbitraria de f.

Límite De f(x), se define cuando x tiende a c como el número L, y se denota

cx→lim f(x) = L, si f(x) está arbitrariamente cerca de L

para toda x suficientemente cercana a c, pero sin ser igual a c.

PT-Bachiller



150

GLOSARIO DE TÉRMINOS Pendiente de la curva La pendiente de la tangente a la curva en un punto

Rapidez de cambio Promedio de una variable y entre el tiempo a y b, se define

como: Cambio de la variable y entre el cambio de la variable tiempo.

Teorema fundamental del Cálculo

Si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces

∫b

a

dttF )(' = F(b) - F(a)

PT-Bachiller



151

REFERENCIAS DOCUMENTALES

1. Hughes, Cálculo Aplicado, México, CECSA, 2004.

2. Granville, W. Cálculo diferencial e integral. 15° México, Limusa, 1992.

3. Faires, Douglas J. y James DeFranzo. Precálculo, México, International Thomson

Editores, 2001.

4. Santaló Sors, Marcelo y Vicente Carbonell Chure. Cálculo Diferencial e Integral,

México, Editorial Exodo, 2001

5. Banach, S. Cálculo Diferencial e Integral, México Limusa 1996

• http://cariari.ucr/~cimm/cap_02/cap2:2-1.html [Consulta 3 de septiembre del 004)

• www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaiones_derivada/crec_decrec_1.htm#1

[Consulta 3 de septiembre del 2004]

• http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/cap_07/cap7_7-1.html [Consulta 3 de septiembre del

2004]

• http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/cap_07/cap7_7-2.html [Consulta 3 de septiembre del

2004]

• www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Limite_en_un_punto_continuidad/Continuid

ad_funcion.htm [Consulta 3 de septiembre 2004]

• www.descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Introduccion_derivadas/Derivada_1.htm [Consulta

3 de septiembre 2004]







• www.calc101.com/spanish/chain_rulee.html [Consulta 3 de septiembre 2004]

PT-Bachiller



152

REFERENCIAS DOCUMENTALES

• www.pntic.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/

Derivadas_aplicaciones_optimizacion/derivadasaplicaciones4.htm [Consulta 3 de

septiembre 2004]

• www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaciones_derivada/max_min_1.htm

[Consulta 3 de septiembre 2004]

• www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaciones_derivada/concavidad_1.htm


• www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaciones_derivada/optimiza.htm


PT-Bachiller



MATEMÁTICAS IV. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

e-cbccEducación-Capacitación

Basadas en Competencias Contextualizadas

SECRETARÍA DEEDUCACIÓN

PÚBLICA

conalep

PT-Bachiller



e-cbcc Educación-

Capacitación Basadas en

Competencias Contextualizadas

Matemáticas IV Introducción al Cálculo Diferen-cial e Integral

Man

ual

Teó

rico

-Prá

ctic

o d

el M

ód

ulo

A

uto

con

ten

ido

In

teg

rad

or

Mat

emát

icas

IV

: In

tro

du

cció

n a

l C

álcu

lo

Dif

eren

cial

e I

nte

gra

l

MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE · PDF file• Integrales...

Documents

Transcript of MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE · PDF file• Integrales...