Manual de Estadistica

MÓDULO AUTOINSTRUCTIVO DE

APRENDIZAJE

MÉTODOS ESTADÍSTICOS

PROGRAMA DE FORMACIÓN GENERAL

EQUIPO DE MÉTODOS ESTADÍSTICOS

2012I

Métodos estadísticos

UCV – Lima este Página 2

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

INSTRUCCIONES PARA EL USO DEL MANUAL

ESQUEMA GENERAL DE CONTENIDO

PRIMERA UNIDAD: Estadística descriptiva

1. ESTADÍSTICA, VARIABLE Y ESCALA DE MEDICIÓN……………………………06

2. INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA, RECOLECCIÓN DE DATOS Y ORGANIZACIÓN

Y PRESENTACIÓN DE DATOS………................................................................19

3. ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS CUANTITATIVOS…………...24

4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL…………………………............................48

5. MEDIDAS DE DISPERSIÓN………………………………………………………...…61

SEGUNDA UNIDAD: Probabilidades e inferencia

6. PROBABILIDAD BÁSICA………………………………………………….…………..69

7. DISTRIBUCIONES IMPORTANTES……………………………………………..……81

8. TEORÍA DE MUESTREO……………………………………………………………...95

9. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS…………………………………………………..109

TERCERA UNIDAD: Estadística inferencial

10. PRUEBA DE HIPÓTESIS……………………………………………………………. 116

11. ANÁLISIS DE VARIANZA ………………………………………………………….. 147

12. REGRESIÓN LINEAL ………………………………………………………………. 153



INTRODUCCIÓN

El presente módulo ha sido concebido como un material de consulta para el

estudiante de la asignatura de Métodos estadísticos.

El propósito de este producto es la exposición de información acerca de teoría

estadística que le permita calcular indicadores que conlleven a tomar una decisión.

El desarrollo de los temas se realizó en torno a las sesiones comprendidas en el

sílabo del curso, considerando de manera pertinente, un nivel de complejidad

creciente, sobr4e todo en los aspectos prácticos de cada tema.

Además, cada capítulo tiene presenta una introducción, donde se explica, de

manera general, los objetivos del temas; luego abarca el desarrollo del contenido y

finalmente se plantean los ejemplos y problemas de aplicación práctica resueltas.

En cuanto a la organización y presentación del contenido, el módulo se

conforma de la siguiente manera: en la sesión uno se estudian los concepto de

estadística, variable y escala de medición; en la sesión dos, investigación estadística,

recolección de datos y la representación de una variable cualitativa con su respectiva

gráfica; en la sesión tres, la organización y presentación de datos para variable

cuantitativa; en la sesión cuatro, la medida de tendencia central; en la sesión cinco,

la medida de dispersión; en la sesión seis, la probabilidad básica; en la sesión siete,

distribuciones importantes; en la sesión ocho, teoría de muestreo; en la sesión nueve,

estimación de parámetro; en la sesión 10, prueba de hipótesis; en la sesión 11, prueba

chi cuadrado; en la sesión 12, análisis de varianza y en la sesión 13, análisis de

regresión.

Finalmente, los docentes de la experiencia curricular Métodos estadísticos

esperamos que este módulo autoinstructivo de aprendizaje cumpla con su propósito y

sea de gran importancia y beneficio para el estudiante.



INSTRUCCIONES PARA EL USO

DEL TEXTO AUTOINSTRUCTIVO

Estimado estudiante:

El material que le presentamos ha sido elaborado exclusivamente para usted

considerando que es un método alternativo de enseñanza-aprendizaje orientado a

lograr las capacidades de esta experiencia curricular. Por ello, le solicitamos que

tenga en cuenta las siguientes sugerencias para su tratamiento:

1. Evite su reproducción parcial o total del texto como muestra de su respeto a

la propiedad intelectual.

2. Lea con atención y aplique las técnicas de procesamiento de información a

fin de lograr la comprensión del tema.

3. Realice las actividades como se indican.

4. Utilice, de preferencia, lápiz para evitar borrones y trabajar con limpieza.

5. Realice todos los ejercicios propuestos, porque son importantes para su

aprendizaje.



ESQUEMA GENERAL DEL CONTENIDO

ESTADÍSTICA,

VARIABLE Y

ESCALA DE

MEDICIÓN

INVESTIGACIÓN

ESTADÍSTICA,

RECOLECCIÓN

Y

ORGANIZACIÓN

Y

PRESENTACIÓN

DE DATOS

PRESENTACIÓN

DE DATOS

ORGANIZACIÓN

Y

PRESENTACIÓN

DE DATOS

CUANTITATIVOS

MEDIDAS DE

TENDENCIA

CENTRAL

MEDIDAS DE

DISPERSIÓN

MÉTODO ESTADÍSTICO

ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA

PROBABILIDADES

E INFERENCIA

DISTRIBUCIONES

IMPORTANTES

ESTIMACIÓN DE

PARÁMETROS

TEORÍA DE

MUESTREO

PROBABILIDAD

BÁSICA

PRUEBA DE

HIPÓTESIS

ANÁLISIS DE

VARIANZA

ESTADÍSTICA

INFERENCIAL

APLICADA

REGRESIÓN

LINEAL



UNIDAD DIDÁCTICA 1: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Capacidad: Aplica los conceptos básicos de la estadística orientados a la

Investigación.

ESTADÍSTICA, VARIABLE Y ESCALA DE MEDICIÓN

CONSIDERACIONES GENERALES

1. INTRODUCCIÓN

Cuando se habla de estadística, se suele pensar

en una relación de datos numéricos presentada de

forma ordenada y sistemática. Esta idea es la

consecuencia del concepto popular que existe sobre

el término y que cada vez está más extendido debido

a la influencia de nuestro entorno, ya que en estos

días es casi imposible que cualquier medio de

difusión, periódico, radio, televisión, etc. Nos aborde diariamente con cualquier tipo

de información estadística sobre accidentes de tránsito, índices de crecimiento de

población, turismo, tendencias políticas, etc.

Solo cuando entramos en un mundo más específico como es el campo de la

investigación de las Ciencias Sociales (Medicina, Biología, Psicología) empezamos a

percibir que la Estadística se convierte en la única herramienta que permite obtener

resultados, y por tanto, beneficios en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y

relaciones, por su variabilidad, no puedan ser abordadas desde la perspectiva de las

leyes deterministas.

Podríamos, desde un punto de vista más amplio, definir la estadística como la

ciencia que estudia cómo debe emplearse la información y cómo dar una guía de

acción en situaciones prácticas.

2. ORIGEN ETIMOLÓGICO

Palabra griega STATERA Balanza

Palabra latín STATUS Situación

Palabra alemán STAAT Estado



3. HISTORIA

Los orígenes de la estadística aunque son aún desconocidos y no se sabe con

exactitud cuándo se comenzó a utilizar, la historia refleja que su usó es muy antiguo

para el conteo de combatientes, para los impuestos, defunciones, estudio de recursos

naturales, pero fueron los romanos, maestros de la organización política, quienes

mejor supieron ocupar la estadística, cada cinco años realizaban un censo de la

población, cuyos datos de nacimientos, defunciones y matrimonios eran esenciales

para estudiar los avances del imperio y los recuentos de ganancias y las riquezas que

dejaban las tierras. Su uso soportó las funciones tradicionales del gobierno central y

del Estado, como llevar registros sobre la situación de la población: número de

habitantes, número de nacimientos, número de defunciones, producción, impuestos y

otros hechos contables y de control.

Seguidamente los hechos más saltantes:

Egipcios Datos de Administración Estatal

Roma Registros tributarios Empadronamiento (Año 0)

Árabes Censo Estadísticas sistematizadas (Edad Media)

El Clero Recopilación, ordenamiento y estudio de datos demográficos

Reyes Católicos Censo (siglo XVI) Censo del Marqués de la Ensenada 1748

Indias de Sevilla Estadísticas Económicas

Imperio Incaico Registros demográficos y socio económicos mediante los Quipus

Alemania Primera cátedra de Estadística

4. ETAPAS DE LA ESTADÍSTICA

Escuela Alemana. Permitió la primera cátedra de estadística descriptiva con un

enfoque de estado o administración.

Escuela Inglesa. Cuantificó las leyes de los fenómenos sociales o políticos y

aritméticos a la Estadística.

Escuela Francesa. Introduce la teoría de las probabilidades.

5. PERSONAJES NOTABLES EN LA HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA:

Quetelet, estadístico Belga, aplicó estadística a la investigación de problemas

sociales y educativos.

Walker atribuye a Quetelet el desarrollo de la teoría estadística como método de

investigación general en todas las ciencias de la observación.

Francis Flton, ejerció mayor influencia en la introducción y empleo de la

estadística en las ciencias sociales.

Pearson, matemático, colaboró con Galton en el desarrollo de fórmulas de

correlación y regresión.

James Mc Keen Cattel, profundizó la Estadística con Galton y otros estadísticos.

Thorndike, aplicó métodos estadísticos en la psicología y en la educación.

R.A. Fisher, inglés que introdujo nuevas técnicas y métodos en el estudio de

muestras.



Godofredo Achenwall, fue el primer gran teórico de la Estadística en lengua

alemana y dio el nombre de Estadística (status).

Blas Pascal, Escuela Probabilística.

Francisco Galton y Karl Pearson, con la regresión y correlación

6. CULTURA ESTADÍSTICA

Refiere a dos componentes interrelacionados:

a) Capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información estadística, los

argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos

contextos, incluyendo los medios de comunicación, pero no limitándose a ellos.

b) Capacidad para discutir o comunicar sus opiniones respecto a tales

informaciones estadísticas cuando sea relevante”

7. DEFINICIÓN

La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar,

resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e

incertidumbre sea una causa de los mismos; así como de realizar inferencias a partir

de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular

predicciones.

La estadística se clasifica en estadística descriptiva y en estadística inferencial.

Se denomina Estadística Descriptiva al conjunto de métodos estadísticos

que se relacionan con el resumen y descripción de los datos, como tablas,

gráficas y el análisis mediante algunos cálculos.

Se denomina Inferencia Estadística al conjunto de métodos con los que

hacen la generalizaciones o la inferencia sobre una población utilizando una

muestra. La inferencia puede contener conclusiones que pueden no ser ciertas

en forma absoluta, por lo que es necesario que estas sean dadas con una

medida de confiabilidad conocida como probabilidad.

8. ¿POR QUÉ ESTUDIAR ESTADÍSTICA?

La estadística, como la matemática, constituye uno de los idiomas

esenciales para comunicarse en el mundo universal de la ciencia y la

tecnología. La estadística permite comprender con mayor facilidad la

bibliografía especializada. La mayoría de los libros, estudios e investigaciones

especializada en economía, educación, sociología, medicina, psicología, etc.,

contienen resultados basados en el análisis estadístico.

Sin lugar a dudas, aquellos profesionales que no conozcan estadística tendrán

serias dificultades para ser expertos en sus respectivos campo científico.



En las diversas áreas y especialidades de la formación profesional y

científica, la estadística constituye una ciencia auxiliar y complementaria, que

ofrece técnica, métodos, modelos y procedimientos para el análisis cuantitativo

y cualitativo de los fenómenos y hechos que interesa estudiar a los

profesionales.

La estadística es una herramienta auxiliar de utilidad inmediata y practica

en el trabajo profesional. Permite registrar hechos, calcular repeticiones, analizar

datos, observaciones y calcular indicadores, así como también ayuda a

cuantificar o dimensionar el comportamiento de los hechos y variables en una

población determinada, realizar estimaciones y proyecciones.

La estadística ayuda a desarrollar una investigación rigurosa, no es

simplemente un conjunto de fórmulas, procedimientos y modelos. La estadística

por la forma como está estructurada, operacionaliza los datos, ofrece

fundamentos lógicos en lo que se sustenta la investigación básica y aplicada,

de allí que la estadística constituye “la tecnología del método científico”.

En toda investigación una vez formulado el problema, la tarea inmediata

es el diseño del plan de análisis estadístico, antes de obtener los datos en las

unidades de análisis. La estadística participa en la solución del problema,

puesto que permite revelar la información vital para la solución de un

problema práctico. Ayuda a conocer la característica de una población, cuyo

resultado orienta la toma de decisiones. La estadística permite hacer inferencia

acerca de una población a partir de datos obtenido de una muestra

representativa.

9. OBJETIVO DE LA ESTADÍSTICA

En términos generales los objetivos de la estadística pueden ser

clasificados o agrupados en tres grandes grupos: descripción, análisis y

predicción.

Descripción de grandes colecciones de datos empíricos; reduciéndolos a

un pequeño número de características que concentra la parte más

importante y significativa de la información proporcionada por los datos.

Este proceso se conoce con la denominación “Reducción de datos”. La

descripción supone que los datos que viene expresados en su forma natural

deben ser clasificados y presentados sistemáticamente en cuadros o tablas

como una primera reducción de datos; sin embargo, la reducción de datos

propiamente dicha se obtiene cuando el comportamiento y características

de los datos se expresan por un conjunto de indicadores, medidas resumen

o estadígrafos.

El trabajo estadístico se inicia con el estudio del problema, la identificación

de variables y la recolección de datos. Tanto la reducción como la



descripción de la información se estudia en el gran capítulo denominado

“Estadística Descriptiva”. Es importante anotar que la descripción

estadística de los fenómenos o hechos es el primer aspecto al cual se

redujo la ciencia estadística durante mucho tiempo, aplicándose

especialmente a los datos demográficos, sociales, económicos, etc.

Análisis estadístico de datos experimentales y de los fenómenos

observados. Toda investigación estadística incluye un problema de análisis

de datos experimentales, con el objeto de formarse un concepto de una

población o universo y adoptar decisiones. En este caso no es necesario

observar toda la población si no que será suficiente elegir una muestra

representativa. La preocupación del análisis estadístico es inferir propiedades

para una población sobre la base de resultados muéstrales conocidos. Aquí

se presentan varios problema que trata la estadística de hoy, como aquellos

relacionados con el muestreo estadístico, la estimación estadística y el

cálculo de probabilidades, las pruebas estadística, etc. Estos aspectos

corresponden a la inferencia estadística.

Predicciones o comportamiento de los fenómenos en el futuro, lo cual

constituye la máxima aspiración practica de toda ciencia. Este objetivo de

predicción y previsión está implícito tanto en la descripción como en el

análisis estadístico, puesto que en general interesa orientar la toma de

decisiones con vigencia y efecto en el futuro. “El pasado puede ser

evaluado, el presente descrito con cierta exactitud y el futuro puede ser

previsto”, la predicción puede entenderse como la estimación de resultados

en el futuro.

10. NOMENCLATURA ESTADÍSTICA

Población, es el conjunto de elementos que contienen una o más característica

observable de naturaleza cualitativa o cuantitativa que se pueden medir en

ellos.

Unidad estadística, viene hacer cada elemento de la población.

Dato, es el resultado de medir una característica observable de una unidad

estadística.

Información, es el resultado que se obtiene al procesar un conjunto de datos.

Muestra, se denomina muestra a una parte de la población seleccionada de

acuerdo con un plan o regla, con el fin de obtener información acerca de la

población de la cual proviene.

Parámetro, se denomina parámetro a una medida descriptiva que resume una

característica de la población, calculada a partir de los datos observados en

toda la población.



Estadígrafo, se denomina estadígrafo a una medida descriptiva que resume una

característica de la muestra, calculada a partir de los datos observado en una

muestra aleatoria.

11. ELEMENTOS BÁSICOS DE LA ESTADÍSTICA

Después de la conceptualización de estadística y la precisión de sus

objetivos, es fácil advertir que en el trabajo estadístico existen tres elementos

básicos como son: unidad de análisis, las variables y los datos.

Unidades de análisis, que pueden ser personas, instituciones, objetos, familia,

animales y otras unidades más complejas. Estas unidades tienen una

característica en común, en cuanto constituyen el objeto de estudio de una

investigación.

Las variables, dimensiones o características que se desea conocer en

relación a las unidades de análisis, tales como la edad, ingresos, consumo

de carne, lugar de nacimientos, ahorros, etc. las variables se definen e

identifican en función de los objetivos del estudio.

Los datos o valores que alcanzan las unidades en las variables estudiadas,

son las respuestas o resultados que se obtienen cuando las unidades de

análisis son preguntados. Habrá tantos datos como elementos tiene la

población en estudio.

VARIABLE ESTADÍSTICA

1. DEFINICIÓN

Se denomina variable estadística a una característica definida en la

población por la tarea o investigación estadística, que puede tomar dos o más

valores o modalidades.

2. ELEMENTOS DE UNA VARIABLE

La identificación y definición de variables es la tarea más delicada de

toda investigación y del trabajo estadístico. Téngase presente que las variables

se deduce a partir de los objetivos de un estudio o investigación. En

consecuencia, para tener éxito en la selección de variables, es recomendable

distinguir los siguientes cinco elementos:

Nombre o denominación de la variable

Definición o conceptualización de la variable

Un conjunto de categoría o niveles, que es definida por el investigador.

Las categoría no son única, lo mínimo es dos categorías y dependen de

los objetivos de la investigación.

Procedimientos para categorizar o agrupar las unidades de análisis



Algunas medidas de resumen o indicadores

3. CLASIFICACIÓN DE LA VARIABLE

3.1 VARIABLE CUALITATIVA

Cuando expresa una cualidad, característica o atributo, tiene carácter

cualitativo, sus datos se expresan mediante una palabra, es no numérico, y se

clasifican en variables cualitativa nominal y variables cualitativa ordinal.

a. Variable cualitativa nominal: Es aquella variable que permite clasificar a una

unidad elemental en una sola categoría.

Ejemplo 4

Lugar de nacimiento

Color de ojos

Partidos políticos

b. Variable cualitativa ordinal: Es aquella variable que permite clasificar a una

unidad elemental en una sola categoría, y a la vez expresa orden de jerarquía.

Ejemplo 5

Clase social

Grado de estudio

Grado dentro del mando militar

3.2 VARIABLE CUANTITATIVA

Cuando el valor de la variable se expresa por una cantidad, es de

carácter numérico. El dato o valor puede resultar de la operación de contar o

medir. Las variables cuantitativas pueden ser discretas o continuas.

a. Variable cuantitativa discreta: Cuando el valor de la variable resulta de la

operación de contar, su valor está representado solo por números naturales.

Ejemplo 6

Números de hijo por familia

Número de accidentes por días

Número de trabajadores por empresa

Variable cuantitativa continua: Es toda variable cuyo valor se obtiene por

medición o comparación con una unidad o patrón de medida. Las variables

continuas pueden tener cualquier valor dentro de su rango o recorrido, por

tanto se expresa por cualquier número real.



Ejemplo 7

Áreas de parcelas

Ingreso monetario

Producción de maíz

ESCALA DE MEDICIÓN

1. INTRODUCCIÓN

En estadística medir es observar el valor que toma una variable

estadística en un elemento de la población, los valores de las variables, además de

ser cualidad o cantidad, define niveles de medición de las unidades estadísticas, estos

niveles de medición son denominado escalas.

2. DEFINICIÓN

Se denomina escala de medición a los distinto niveles de valores que la

variable estadística asigna a las unidades estadísticas en estudio.

3. ESCALA NOMINAL

Se dice que los valores de una variable estadística están en el nivel de escala

nominal si estos solo clasifican a las unidades estadística en iguales o diferentes.

Los valores cualitativos son como etiquetas que la variables asigna a las unidades

estadística haciéndolas iguales entre sí o diferentes. Si se asigna número a estos

valores cualitativos no es posible realizar operaciones aritméticas.

El método estadístico con datos obtenidos en escala nominal consiste

básicamente en obtener el número de casos en cada modalidad y obtener la

moda.

4. ESCALA ORDINAL

Se dice que los valores de una variable estadística están en el nivel de escala

ordinal si están en escala nominal y si además ordenan a las unidades estadística

por la característica que se observa.

Los valores cualitativos de una variable en escala ordinal son los resultados

de un criterio para ordenar a las unidades estadística. Si se asignara números a tales

valores, no es posible realizar operaciones aritmética, solo son válidas las relaciones

de igualdad, de no igualdad y de orden.



El método estadístico con datos obtenidos en escala ordinal consiste

básicamente en obtener el número de caso en cada categoría, así como, obtener la

moda, la mediana y el coeficiente de correlación de rangos.

5. ESCALA DE INTERVALOS

Una escala de intervalo es una escala ordinal que asigna a las unidades

estadística valores numérico, que son mediciones realizadas con respecto a un cero

arbitrario, este cero no es real o absoluto, pues no mide la ausencia total de la

característica que se observa en la unidad estadística.

Con los valores de una variable en escala de intervalo se puede comparar la

diferencia de las mediciones de dos unidades estadística con otra diferencia.

Con los valores de esta escala son validas pues, las relaciones de igualdad,

de no igualdad y de orden. Además, son validas las operaciones de adición y

sustracción entre valores de escala y la multiplicación y división entre la diferencia

de dos valores de la escala. Pero, no es válida la multiplicación y división entre

los valores mismos de la escala.

Si una variable estadística tiene sus valores en escala de intervalo, entonces

permanece invariante ante la transformación.

6. ESCALA DE RAZÓN

La escala de razón o cociente es una escala de intervalo que asigna a las

unidades estadística valores numéricos, que son mediciones realizadas con respecto

a un cero real. Este cero significa ausencia total de la característica que se observa.

Los valores de esta escala se obtienen en general, por mediciones que son conteos o

mediciones continuas.

Además, con los valores de una variable en escala de razón se puede

comparar cuantas veces la medida de una unidad estadística es igual a la medida

de otra unidad estadística.

Con los valores de la variable en escala de razón son validas las relaciones

de igualdad, de no igualdad, de orden y todas las operaciones matemáticas.

Si una variable estadística tiene sus valores en escala de razón, entonces permanece

invariante ante la transformación.



ACTIVIDADES

1 ¿Qué es la estadística?

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_______________________________________________________

________________________________________________________________________

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2 ¿Qué es la inferencia estadística?

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________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

3 ¿Por qué estudiar estadística?

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________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

1 ¿Cuál es la diferencia entre un dato e información?

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________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

5 ¿Cómo se clasifican las variables?

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________________________________________________________________________

________________________________________________________________________



GLOSARIO

Defina brevemente, con sus propias palabras, cada término de

la lista.

Estadística………………………………………………………………………………….

Estadística descriptiva……………………………………………………………………

Estadística inferencial…………………………………………………………………….

Dato………………………………………………………………………………..……..

Variable……………………………………………………………………………………

Variable cualitativa…………………………………………………………………….…

Variable cuantitativa………………………………………………………………….…..

Información…………………………………………………………………………….….

Población………………………………………………………………………………….

Unidad de análisis…………………………………………………………………….….

Parámetro…………………………………………………………………………….……

Muestra……………………………………………………………………………….……

Estadígrafo…………………………………………………………………………….…..

Escala de razón…………………………………………………………………………...

Escala por intervalo…………………………………………………………….………..



AUTOEVALUACIÓN

1. ¿Qué escuela cuantifico las leyes del fenómeno social o

político y aritmético a la estadística?

a) Alemana

b) Inglesa

c) Francesa

d) Todas

2. ¿Qué matemático colaboro con GALTON al desarrollo de la correlación de

Pesaron?

a) Walker c) Fisher

b) Pesaron d) Todos

3. ¿Cuál es la parte de la estadística que se encarga de representar a un conjunto

de dato mediante gráficos?

a) Inferencia c) La muestra

b) El parámetro d) La descriptiva

4. ¿Cuál es la máxima aspiración de toda ciencia?

a) Sumar c) Restar

b) Multiplicar d) Predecir

5. ¿Qué es una muestra?

a) Es una parte de la población

b) Es toda la población

c) Es un número

d) Es una información

6. ¿Qué es la unidad de análisis?

a) Es dato

b) Es un valor

c) Es una información

d) Es la mínima unida de la población

7. ¿Qué es información?

a) Es un valor que resulta después de un proceso matemático

b) Es una muestra

c) Es una población

d) Es una variable

Solución

1.- c 2.- b 3.- d 4.- d 5. – a 6.- d 7.- a



BIBLIOGRAFÍA

1. ÁVILA, Roberto. Estatística Elemental. 3era. Edición. Lima. Estudios y Ediciones

R.A. 2002. 224 p

2. CÓRDOVA Manuel. Estadística Descriptiva e Inferencial Aplicaciones. Editorial,

Librería Moshera S.R.L. 2008.

3. JHONSON, Robert. Estatística Elemental. 2da. Edición. México DF. Editorial

Trillas. 2002. 180 p.

4. MITACC Meza Máximo. Tópicos de Estadística Descriptiva y Probabilidad.

Editorial San Marcos. 2000

5. MONTGOMERY, M E. y RUNGER, G. Probabilidad y Estadística Aplicada a la

Ingeniería. 1era. Edición. México. DF. Mc Graw Hill. 1999. 200 p.

6. WALPOLE, R. [et al. ]. Probabilidad y Estadística para Ingenieros. 6ta. Edición.

México DF. Pearson Educativo. 2002. 200 p.



INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA. RECOLECCIÓN Y ORGANIZACIÓN Y

PRESENTACIÓN DE DATOS

INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA

1. INTRODUCCIÓN

En esta sesión se estudiara las definiciones

de investigación estadística, así como los

procedimientos para elaborar una tabla de

frecuencia y los gráficos respectivo para una

variable cualitativa sea nominal u ordinal.

2. DEFINICIÓN

La investigación es un proceso de producción de conocimiento científicos;

es un proceso sistemático a través del cual se recogen datos e información de

la realidad objetiva para dar respuesta a las interrogantes que se plantean. No

hay investigación grande o pequeña, simplemente investigar es buscar respuesta

para plantear soluciones.

Cuando se aplica el método científico al estudio de los problemas

económicos se habla de investigación económica, asimismo se tiene investigación

educativa, investigación agropecuaria, etc. Toda investigación requiere de datos,

sin datos no hay investigación, entonces surge la necesidad de definir métodos,

análisis o tratamientos de datos, con el propósito de obtener algunas medidas

o indicadores que expresen la dimensión o niveles de la variable estudiada, es

decir, realizar la operacionalización de las variables. En este contexto la

estadística surge como ciencia auxiliar de la investigación, que por su naturaleza,

estructura y métodos en este proceso, el análisis estadístico también cumple con

los diversos paso de la investigación.

3. OBJETIVO

El objetivo de la investigación estadística es descubrir respuestas a

determinada interrogantes a través de la aplicación de procedimientos científicos.

El punto de partida de la investigación es la existencia de un problema que

habrá que definir, examinar, valorar, y analizar críticamente, para luego formular

y entender su solución.



4. ETAPAS

La investigación estadística por su naturaleza, es fundamental de tipo

descriptiva; se preocupa de la confiabilidad, validez y significación de los datos,

de la muestras así como los métodos y técnica de recolección y análisis

estadístico.

La investigación estadística es un proceso donde se distinguen cinco etapas:

a. Planteamiento o preparación

Fundamento y compresión del estudio e identificación de las variables

Determinación de objetivos

Organización de las variables

Precisión de los datos e información requerida

identificación y evaluación de la fuente de información

Identificación y análisis de estudios similares

Determinación del ámbito de la investigación

Preparación del plan para ejecutar la investigación

Formación y capacitación del equipo de trabajo

Elaboración del calendario de actividades

Formulación del presupuesto y fuente de financiamientos

b. Recopilación de los datos

La recopilación o recolección de datos es el momento en el cual el

investigador se pone en contacto con los objetos o elementos sometidos a

estudio, con el propósito de obtener los datos o respuesta a las variables

analizadas.

El método de recolección está asociado también con el tipo y naturaleza

de la fuente de datos.

c. Organización y presentación de datos

Después de la recopilación de los datos, se procede a su organización,

clasificación y tabulación, de modo que se facilite la presentación en tablas

cuadros o gráficos.

Como tarea previa a la investigación es indispensable realizar una

evaluación, critica, corrección y ajuste de los datos, el propósito es superar las

omisiones, inconsistencia y desechar las respuestas no significativas o erróneas.

Téngase presente que la validez de sus resultados y conclusiones depende

de gran medida de la fidelidad de los datos utilizados. No existen

computadora que por sí, corrija los errores de recopilación.



Realizadas las correcciones o ajustes, se procede a la clasificación o

establecimiento de categorías o intervalos, para la agrupación de los datos.

Finalmente, se procede a la tabulación o procesamiento de los datos, de

acuerdo a un plan de tabulaciones previamente definido.

Los cuadros y tablas estadística como primera fase de la reducción de

datos, facilita el cálculo de los indicadores con los cuales se inicia la

descripción, análisis e interpretación de los datos, variables e información

estadística.

d. Análisis e interpretación de los datos

En esta etapa se aplica los argumentos matemático y teóricos de la

estadística. A través de métodos estadístico se calcula indicadores y medidas de

resumen, se establecen relaciones entre variables, se estiman valores, se ejecuta

pruebas estadísticas, etc., como elementos de referencia para la descripción,

análisis e interpretación del comportamiento de los datos, hacer inferencia

valida y obtener información de los elementos o unidades estudiadas.

e. Formulación de conclusiones y preparación de informe

En toda investigación debe analizarse el cumplimiento de los objetivos,

en función de los resultados fundamentales, esta contrastación permite elaborar

un resumen de los aspecto sustantivos, que luego se expresaran en forma de

conclusiones y sugerencia orientadora en la toma de decisiones.

5. ELECCIÓN DE LAS UNIDADES ESTADÍSTICAS

La elaboración de una buena estadística implica una definición correcta de

las unidades que se van a considerar y una delimitación de la materia a

investigar. Antes de iniciar la observación y las operaciones de recuentos, el

estadístico debe tener una idea clara, tanto del conjunto que quiere estudiar

como de los individuos o unidades que constituye dicho conjunto.

La unidades estadística deben definirse cuidadosamente teniendo en cuenta

los siguientes criterios:

Debe ser sencilla, de modo que se puede caracterizar con facilidad, que los

encargados de la recopilación no tengan duda en su identificación.

Debe ser precisa, de modo que facilite su identificación y saber que

observar.

Fácilmente compresible y adaptada a los objetivos que se persiguen.

Debe ser semejantes, de manera que sean aditivo

Respetar las posibles definiciones oficiales o estatales.



RECOLECCIÓN DE DATOS

1. DEFINICIÓN

La recopilación o colección de datos es el

momento en el cual el investigador se pone en

contacto con los objetos o elementos sometidos a

estudio, con el propósito de obtener los datos o

respuesta de las variables consideradas; a partir de

estos datos se prepara la información estadística, se

calcula medidas de resumen e indicadores para el

análisis estadístico.

Antes de recopilar o recoger datos, es importante analizar los objetivos

del estudios, precisar las variables e identificar las fuentes de datos, a fin de

definir qué datos hay que recopilar y cómo hacer esta tarea.

La formulación del problema y del marco teórico, la definición de las

hipótesis y de los objetivos de la investigación permite especificar los tipos de

información y las variables que son requeridas. Realizada esta tarea, el

investigador debe a continuación seleccionar y elaborar las técnicas e

instrumentos para recolectar los datos.

El trabajo de recolección de datos, en general se puede realizar mediante

dos modalidades:

La técnica de investigación documental o bibliográfica

La técnica de trabajo de campo

La fase de recolección de datos es uno de los puntos principales de la

investigación, en consecuencia, debe dotarse de ciertas garantías para que los

datos científicos puedan ser confiables y comparables, evitar las desviaciones y

la falta de representatividad.

2. INFORMACIÓN ESTADÍSTICA

La información estadística, como datos procesados de acuerdos a ciertos

objetivos, es un medio que permite cuantificar aspecto de una realidad, de un

fenómeno o problema determinado, en un momento o periodo dado y un

ámbito concreto. A partir de la información estadística se puede describir y

explicar esa realidad, así como inferir conclusiones para definir un plan de

acción o desarrollo especifico. La información, en general, sirve para tomar

decisiones.



3. FUENTES DE DATOS

Las fuentes de datos es el lugar, la institución, las personas o elementos

donde están o que poseen los datos que se necesitan para cada una de las

variables o aspecto de la investigación o estudio.

En general se puede disponer de cinco tipos de fuentes de datos:

Las oficinas estadísticas

Registros administrativos

Documentos

Encuesta o censos

Los elementos o sujetos

Las tres primeras fuentes son de tipo administrativos y constituyen fuentes

secundarias; por su parte, las dos últimas corresponde a la investigación

estadística, ya que permiten obtener datos originales, intencionales y de primera

mano, es decir constituye fuentes primarias.

4. TÉCNICA DE RECOLECCIÓN

La técnica de recolección son diversas y depende de: la naturaleza del

objeto de estudio, de las posibilidades de acceso o contacto con los elementos

investigados, del tamaño de la población o muestra, de los recursos y de las

oportunidades de obtener datos. Las técnicas también están asociadas al tipo y

naturaleza de la fuente de datos.

Entre las técnicas más frecuentes se tienen:

a. La observación: La observación en el proceso de investigación es la acción

de mirar con rigor, en forma sistemática y profunda, con los intereses de

descubrir la importancia de aquellos que se observa. La observación es el

método básico que se utiliza para adquirir información acerca del mundo que

nos rodea, y por lo tanto, constituye la técnica primordial de la investigación

científica. La observación puede tener lugar en situaciones autenticas de la vida

ordinarias o también en el laboratorio.

b. Los documentos: La técnica documental es un tipo de observación que

recopila o busca sus datos en documentos, fuentes o graficas de todo tipo.

c. La entrevista: La entrevista es una situación de interrelación o dialogo entre

personas, es una técnica donde una persona llamada entrevistador, solicita al

entrevistado, le proporcione algunos datos o información. El éxito de la

entrevista como técnica de recolección, depende de la eficiencia del trabajo del

entrevistador.

d. La encuesta: La encuesta es una técnica de recolección de datos, donde se

obtiene la información tal como se necesita, preparada con objetivos estadístico.

Permite observar y registrar características en las unidades de análisis de una



determinada población o muestra, delimitada en el tiempo y en el espacio. En

toda encuesta se hace uso de un cuestionario, cuya respuesta se registra en el

formulario o cédula.

Cuando una encuesta está dirigida a la totalidad de elementos de una

población, se llama censo; en tanto; cuando está dirigido a una parte

representativa de la población, se llama encuesta por muestreo.

5. INSTRUMENTO DE MEDICIÓN

a. El cuestionario: Este es un instrumento constituido por un conjunto de

preguntas sistemáticamente elaboradas, que se formula al encuestado o

entrevistado, con el propósito de obtener los datos de las variables

consideradas en el estudio. Cuando las preguntas se organizan y se imprimen, se

obtiene el formulario o cédula, que es el instrumento que se utiliza para

registrar las respuestas.

ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS

(VARIABLE CUALITATIVA)

Cuando se realiza la recopilación de antecedentes

con fines estadísticos, se obtiene una gran cantidad de

datos, algunas veces estos están en su forma natural o

empírica (fuente primarias) y otras ya están organizadas

en tablas, cuadros y gráficos (fuentes secundarias).

Los datos pueden estar incompletos, incorrectos,

desordenados, pero en todos los casos constituye datos

básicos para iniciar un estudio, conocer y analizar el comportamiento y las

características de los elementos de una población.

En el trabajo estadístico, siempre se dispone de muchos datos que,

definitivamente tienen que ser clasificados, ordenados y presentados

adecuadamente, de tal manera que facilite la compresión, descripción y análisis

del fenómeno estudiado y obtener conclusiones válidas para la toma de

decisiones.

La organización y presentación de los datos estadísticos, supone realizar

los siguientes pasos:



a. Evaluación y crítica: Consiste en inspeccionar la validez y confiabilidad de

los datos, para corregir los errores y omisiones de acuerdo a ciertas reglas

fijas. A partir de datos incorrectos no se pueden obtener buenos resultados.

b. Codificación: Es una técnica mediante la cual los datos o respuestas se

convierten en un número, símbolo o lenguaje que permita su procesamiento o

tabulación electrónica. La codificación implica la definición de criterios de

clasificación y de categorización de las variables con miras a formular el plan

de tabulación.

c. Clasificación: Consiste en establecer las categoría de las variables.

d. Procesamiento o tabulación de datos: Es la contabilización o registro del

número de casos en cada una de las categoría de la variables, de acuerdo al

plan de tabulación previamente establecido.

e. Presentación de los datos: Donde los resultados de la tabulación, una vez

evaluados, se presenta en cuadros, tablas y gráficos. La presentación de datos

implica tener la información estadística organizada para proceder al análisis e

interpretación de los resultados y de los aspecto considerados de la población en

estudio.

En el trabajo estadístico, lo que se tiene disponible en un primer

momento es un material numérico, producto de la observación o recopilación

de datos, que son categorizados, ordenados, procesados y presentados en

cuadros o gráficos; hay un proceso de resumen estadístico que se concreta con

el cálculo de indicadores.

Existen dos formas de presentar ordenadamente los datos estadísticos:

En forma tabular, como son los cuadros y tablas estadísticas

Mediante gráficos y diagramas

1. TABLA DE FRECUENCIA

Son tablas de trabajos estadísticos, que presenta la distribución de un

conjunto de elementos de acuerdo a las categorías de las variables, en ellas se

observa la frecuencia o repeticiones de cada uno de los valores de la variables,

que se obtienen después de realizar la operación de tabulación, la tabla

presenta los diversos tipo de frecuencia a la vez se utiliza para organizar los

datos y calcular algunos indicadores, medidas de resumen o estadígrafo.

2. PARTES PRINCIPALES DE UNA TABLA DE FRECUENCIA

a. Número de cuadro, es el código o elemento de identificación que permite

ubicar el cuadro en el interior de un documento. El número se anota junto



con la palabra “cuadro”, por ejemplo “cuadro N 3.3”. Indica que es el tercer

cuadro del capítulo tres.

b. Título, es la descripción resumida del contenido del cuadro, la redacción del

título debe ser breve, claro y completo de modo que se pueden deducir sin

ambigüedad que tipo de información contiene el cuadro.

c. Concepto o encabezamiento, es la descripción de las filas y columnas de

un cuadro estadístico, el encabezamiento se ubica en la parte superior del

cuerpo del cuadro. Índica las variables y sus categorías o intervalos, también

puede indicar un periodo de tiempo.

d. Cuerpo del cuadro, es el contenido numérico de los cuadros. Es la parte

donde se colocan los datos correspondientes a la características o variables

indicados en el encabezamiento o en los conceptos, es decir presenta la

distribución de los elementos según la clasificación en categoría de las

variables.

e. Notas de pie o llamadas, se usa para algunos términos o siglas, y también

para indicar que elementos están o no incluidos en algunos de los conceptos

del cuadro.

f. Fuentes, es la indicación al pie del cuadro, que sirve para nombrar la

publicación, entidad, estudio o fuentes de donde se obtuvieron los datos

utilizados para construir el cuadro. La identificación de la fuente permite, si

fuera el caso, comprobar la información o para obtener información

complementaria.

Hay dos tipos de fuentes: primaria, cuando se obtiene directamente de la

unidad de análisis o cuando se recurre a los propios formularios de una

encuesta; secundaria, cuando se recurre a documentos, boletines o cuadros

estadísticos publicados.

g. Nota de unidad de medida, se escribe debajo del título original, se usa

cuando se abrevia la escritura de las cifras y para expresar en que unidades

están expresada la variables.

h. Elaboración, es una indicación que se coloca debajo de la fuente y sirve para

mencionar el responsable, que utilizando datos originales o de la fuente,

elaboró el cuadro estadístico final; indicando la responsabilidad de la publicación

del cuadro.

3. ELEMENTOS DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS

a. Valor de la variable o intervalo de clases: Resulta de la clasificación o

categorización de variable.



b: Frecuencia absoluta: Es el número de veces que se repite un determinado

valor de la variable; en el caso de los intervalos es el numero de observaciones

comprendido en dicho intervalo; está representado por “fi”

c. Frecuencia relativa: Es el cociente de la frecuencia absoluta entre el total de

datos, está representado por “hi “

n

fh i

i

d. Frecuencia porcentual: Es la multiplicación de la frecuencia relativa por 100

%100*ii hp

e. Frecuencia absoluta acumulada: Es el que resulta de acumular

sucesivamente las frecuencias absoluta, se representa por “ FL”

k

k

i

ik ffffF

......21

1

f. Frecuencia relativa acumulada

Es el que resulta de acumular o sumar sucesivamente las frecuencias relativas, se

representa por “ Hi”

k

k

i

ik hhhhH

......21

1

g. Frecuencia porcentual acumulada

Es el que resulta de acumular o sumar sucesivamente las frecuencias porcentuales,

se representa por “ Pi”

k

k

i

ik ppppP

......21

1

4. PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIAS

Las frecuencias absoluta y las frecuencias absoluta acumuladas son

números enteros no negativos y no mayores que “n”.

Las frecuencias relativa y las frecuencias relativa acumulada son valores que

varían entre 0 a 1.

Las frecuencias porcentuales y porcentuales acumuladas son número que varían

de 0 a 100%.

La suma de todas las frecuencias absoluta es igual al tamaño de la

muestra.

La suma de todas las frecuencias relativa es igual a la unidad.

La suma de todas las frecuencias porcentuales es 100%.

La última frecuencia absoluta acumulada es igual al tamaño de la muestra.

La última frecuencia relativa acumulada es la unidad

La última frecuencia porcentual acumulada es 100%



5. TABLA DE FRECUENCIA Y GRÁFICOS PARA VARIABLE

CUALITATIVAS

La tabla de frecuencia tiene la siguiente forma:

C f h p

C1 f 1 h 1 p1

C2 f 2 h 2 p2

C3 f 3 h 3 p3

C4 f 4 h 4 p4

La representación grafica de la distribución de frecuencia de variables

cualitativa, se hace comúnmente por gráfica de barras y de sectores.

EJEMPLO 1

En una entrevista a una muestra de 30 personas sobre su preferencia de

bebidas gaseosa por los tres colores: negro(N), rojo(R) , blanco(B) se ha

obtenido los siguiente resultados:

B B R B R B

R B R B R N

R B B B R R

N R N N N R

N N B N B B

* Realizar el cuadro de frecuencia y los gráficos.



SOLUCIÓN

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA DEL COLOR DE BEBIDA GASEOSA

El 40% de encuestados tiene preferencia el color blanco como bebida gaseosa.

f h p

BLANCO 12 0,40 40%

ROJO 10 0,33 33%

NEGRO 8 0,27 27%

40%

33%

27%

COLOR DE BEBIDA

BLANCO

ROJO

NEGRO



ACTIVIDADES

1. Al investigar el nivel socioeconómico en las modalidades: bajo (B), medio

(M), alto (A) de 50 familia, se obtuvo los siguientes datos:

M A M A B B M B B A

M A M A B B M B B M

M B B M B A M M B A

B M B M M A B M M B

M M A M M A B A M B

Construir la distribución de frecuencia y trazar su graficas.

2. El siguiente cuadro se tiene la clasificación de un grupo de pacientes que

se le hizo un Depistaje de cáncer, “sí” indica que el paciente tiene

cáncer, “no” indica que el paciente no tiene cáncer. Realizar el análisis

descriptivo del conjunto de datos.

si no si

no no si

si no si

si si no

no si no

no si no

no si no

si si no

no si no

no no no



3. Un estudio de 50 embarazo proporcionó los siguientes datos sobre la

Complicación del embarazo “sí” indica que sí hubo complicaciones, “no”

indica que no hubo complicaciones, realizar la tabla de frecuencia y gráfico.

sí no sí sí no

no no sí sí no

sí no sí sí no

sí sí no no no

no sí no no no

no sí no no sí

no sí no no sí

sí sí no sí sí

no sí no sí sí

no no no sí sí



GLOSARIO

Defina brevemente, con sus propias palabras, cada término de la lista.

Operacionalización: ………………………………………………………………….

Fuente de datos: ………………………………………………………………………

Observación: …………………………………………………………………………..

Documento: ……………………………………………………………………………

Entrevista: ……………………………………………………………………………..

Encuesta: ………………………………………………………………………………

Cuestionario: ………………………………………………………………………….

Codificación: ………………………………………………………………………….

Tabla de frecuencia: …………………………………………………………………..

Frecuencia absoluta: …………………………………………………………………..

Frecuencia relativa: ……………………………………………………………………

Frecuencia porcentual: ………………………………………………………………..

Frecuencia absoluta acumulada: ……………………………………………………

Frecuencia relativa acumulada: ………………………………………………………

Frecuencia porcentual acumulada: ………………………………………………….



AUTOEVALUACIÓN

1. ¿Quién produce el conocimiento científico?

a) El estadístico c) El investigador

b) El matemático d) El encuestador

2. ¿Cuándo el investigador se pone en contacto con los objetos sometido a

estudio se llama?

a) Recopilación de información c) Estadística

b) Población d) Muestra

3. ¿Cómo se llama la etapa donde se aplica los argumentos matemático y

teórico de la estadística?

a) Ciencias

b) Análisis estadístico

c) Frecuencia absoluta

d) Frecuencia relativa

4. La acción de mirar con rigor se llama…

a) Observación

b) Información

c) Diagnóstico

d) Ninguna

5. La técnica que recopila o busca en fuente graficas se llama…

a) Libro

b) Cuestionario

c) Documento

d) Ninguna

6. La técnica que pone en interrelación a dos personas se llama…

a) Entrevista

b) Diálogo

c) Visita

d) Ninguna

7. La técnica mediante el cual la respuesta se convierte en número se llama…

a) Frecuencia

b) Porcentaje

c) Relativa

d) Codificación

Solución

1 .- c 2 .- a 3 .- b 4 .- a 5 .- c 6 .- a 7.- d



BIBLIOGRAFÍA


R.A. 2002. 224 p




Trillas. 2002. 180 p.









ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS CUANTITATIVOS

1. INTRODUCCIÓN

En esta sesión los alumno conocerán los

procedimiento matemático que se debe seguir para

elaborar una tabla de frecuencia y grafico para una

variable cuantitativa.

2. TABLA DE FRECUENCIA Y GRÁFICOS PARA VARIABLE

CUANTITATIVA DISCRETAS


X f h p F H P

x1 f 1 h 1 p 1 F1 H1 P1

x2 f 2 h 2 p 2 F2 H2 P2

x3 f 3 h 3 p 3 F3 H3 P3

x4 f 4 h 4 p 4 F4 H4 P4

La representación grafica más común de una distribución de frecuencias de

variable cuantitativa discreta es del tipo bastón y el de escalera.



EJEMPLO 1

Construir la distribución de frecuencia y gráfico del número de hijos por

familia en una muestra de 30 hogares, si se han observado los siguientes datos:

SOLUCIÓN

X = número de hijo por familia

X = 0, 1, 2, 3, 4

Frecuencia absoluta

31 f 82 f 63 f 44 f 95 f

Frecuencia relativa

10.030

31 ih 27.0

30

82 ih 20.0

30

63 h

13.030

44 ih 30.0

30

95 ih

Frecuencia porcentual

%10%100*10.01 p %27%100*27.02 p

%20%100*20.03 p %13%100*13.04 p

%30%100*30.05 p

4 4 4 1 0 4

0 2 4 1 1 4

1 1 3 2 1 2

1 2 2 3 2 4

3 4 1 4 3 0



Frecuencia absoluta acumulada

311

k

i

ifF

11831

2

k

i

ifF

176831

3

k

i

ifF

2146831

4

k

i

ifF

30946831

5

k

i

ifF

Frecuencia relativa acumulada

10.011

k

i

ihH

37.027.010.01

2

k

i

ihH

57.020.027.010.01

3

k

i

ihh

70.013.020.027.010.01

4

k

i

ihH



130.013.020.027.010.01

5

k

i

ihH

Frecuencia relativa acumulada

%1011

k

i

ipP

%37%27%101

2

k

i

ipP

%57%20%27%101

3

k

i

ipP

%70%13%20%27%101

4

k

i

ipP

%100%30%13%20%27%101

5

k

i

ipP

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA SEGÚN EL NÚMERO DE

HIJO POR FAMILIA

x f h p F H P

0 3 0,10 10% 3 0,10 10%

1 8 0,27 27% 11 0,37 37%

2 6 0,20 20% 17 0,57 57%

3 4 0,13 13% 21 0,70 70%

4 9 0,30 30% 30 1,00 100%



1. TABLA DE FRECUENCIA PARA VARIABLE CUANTITATIVA

CONTINUA


R = RANGO = MAX – MIN

K = NÚMERO DE INTERVALO = 1 + 3.3LOG(n) =

A = AMPLITUD DEL INTERVALO = R/ K

L = LÍMITES

X = MARCA DE CLASE =

2

1 ii LL

La tabla de frecuencia para una variable cuantitativa continua debe tener

intervalos, marca de clases y todas las frecuencia tanto simple como acumulada.

LÍMITES X f h p F H P

L1 - L2 x1 f 1 h 1 p 1 F1 H1 P1

L2 - L3 x2 f 2 h 2 p 2 F2 H2 P2

L3 - L4 x3 f 3 h 3 p 3 F3 H3 P3

L4 - L5 x4 f 4 h 4 p 4 F4 H4 P4

La representación grafica más común de una distribución de frecuencias de

variable cuantitativa continua es histograma de frecuencia, el polígono de

frecuencia y la ojiva.



EJEMPLO 2

Construir la distribución de frecuencia de los ingresos quincenales de 50

personas si los datos recopilados son:

63 23 10 59 53 89 53 72 60 65

64 36 70 52 67 76 49 57 51 61

57 44 56 62 62 67 73 64 43 85

60 61 56 59 68 71 67 62 35 56

62 61 51 63 78 26 55 81 60 99

Realizar la tabla de frecuencia y gráficos.

Solución

R = RANGO = MAX – MIN = 99 – 10 = 89

K = NUMERO DE INTERVALO = 1 + 3.3LOG(n) = 1 +3.33log (50) = 6.67 = 7

A = AMPLITUD DEL INTERVALO = R/ K = 89 / 7 = 12.71 = 13

L = LIMITES

101 MINL 2313102 L 3613233 L

4913364 L 6213495 L 7513626 L

8813757 L 10113888 L



X = MARCA DE CLASE =

2

1 ii LL

5.162

23101

X 5.29

2

36232

X 5.42

2

49363

X

5.552

62494

X 5.68

2

75625

X 5.81

2

88756

X

5.942

101887

X

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA

SEGÚN INGRESO QUINCENAL

X f h p F H P

10 A 23 16,5 1 0,02 2% 1 0,02 1%

23 A 36 29,5 3 0,06 6% 4 0,08 8%

36 A 49 42,5 3 0,06 6% 7 0,14 14%

49 A 62 55,5 20 0,40 40% 27 0,54 54%

62 A 75 68,5 17 0,34 34% 44 0,88 88%

75 A 88 81,5 4 0,08 8% 48 0,96 96%

88 A 101 94,5 2 0,04 4% 50 1,00 100%

0

5

10

15

20

25

1

INGRESO QUINCENAL

10 A 23

23 A 36

36 A 49

49 A 62

62 A 75

75 A 88

88 A 101



ACTIVIDADES

1. Al averiguar el número de hijos de 50 empleados que están registrado en

los archivos de una empresa se obtuvo los siguientes datos:

3 1 3 1 4 2 0 5 3 2

4 1 4 1 5 2 0 5 3 3

4 0 4 4 4 3 2 1 4 3

1 0 3 4 5 1 1 1 4 4

0 1 0 2 3 0 5 3 1 5

Construir la distribución de frecuencia y trazar su gráfica.

2. Se realizó una encuesta a una muestra de padres de familias de una I.E., para

averiguar el número de habitaciones que tienen sus respectivas viviendas y se

obtuvieron los siguientes resultados:


5 8 6 6 8 4 6 8 6

4 7 5 5 7 6 4 7 6

6 3 3 2 1 6 1 4 5

8 5 5 4 3 4 2 3 2



3. La inversión anual, en miles de dólares, de una muestra de 50 fábricas

fueron:

11 15 36 25 17 39 19 75 101 125

27 18 29 33 20 30 37 79 105 129

28 41 33 22 10 26 27 82 109 138

34 12 27 31 25 46 24 85 112 140

14 18 26 35 24 23 31 90 116 142


4. A 50 trabajadores varones se le midió la puntuación de Hamilton.

21,3

17,9 18,4 12,3 11,2 11,2 30,2 21,3 25,1 15,3

26,8 22,7 11,2 15,8 15,1 14,7 12,5 35,2 12,3 25,3

8,3 22,3 12,2 24,6 16,2 15,9 25,2 32,3 26,3 26,3

15,8 26,4 18,2 22,7 22,4 14,3 20,1 33,2 24,3 23,1

20,5 21,9 13,4 15,5 28,9 12,1 20,3 30,1 29,3 34,2




5. El peso de 50 productos en kilogramos son:

35.6 31.1 30.1 30.5 33.5 27.9 31.6 28.7 31.3 30.5

29.3 28.1 33.2 24.9 30.6 31.5 33.7 30.5 26.8 35.1

22.5 32.1 27.9 29.9 28.6 34.2 28.5 31.2 28.7 30.1

34.2 27.5 29.5 30.4 30.3 32.7 29.8 28.7 31.3 29.6

20,5 21,9 13,4 15,5 28,9 12,1 20,3 30,1 29,3 34,2

Elaborar una distribución de frecuencia y su grafico respectivo.

6. A 50 sujetos se les midió la cantidad de alcohol consumido por semana, las

cuales se muestras en el siguiente conjunto de datos.

Elaborar una distribución de frecuencia y su gráfico respectivo.

0,05 3,11 5,64 7,83 8,65 10,45 12,36 12,36 17,89 18,36

1,51 4,23 5,98 7,88 9,54 10,78 12,54 15,56 17,89 18,59

2,53 4,56 6,36 7,99 9,63 11,23 12,89 14,58 18,23 19,56

3,23 4,89 6,54 8,52 9,52 11,45 13,25 15,89 18,25 19,85

3,24 5,23 6,87 8,35 10,12 11,56 13,45 16,63 18,45 19,56



GLOSARIO

Defina brevemente, con sus propias palabras, cada

término de la lista.

Encuesta: ……………………………………………………………………..……………

Cuestionario: ……………………………………………………………………………...

Codificación: ………………………………………………………………………………

Tabla de frecuencia: ……………………………………………………………………...

Frecuencia absoluta: ……………………………………………………………………...

Frecuencia relativa: ……………………………………………………………………….

Frecuencia porcentual: …………………………………………………………………...

Frecuencia absoluta acumulada: ………………………………………………………..

Frecuencia relativa acumulada: ………………………………………………………….

Frecuencia porcentual acumulada: ……………………………………………………..

Gráfico de la escalera: ……………………………………………………………………

Gráfico del bastón: ………………………………………………………………………

Gráfico del histograma: …………………………………………………………………

Polígono de frecuencia: ………………………………………………………………….



AUTOEVALUACIÓN

1. El consumo mensual de agua ( en metros cúbicos) de ochenta fábricas se

tabuló en una distribución de frecuencia simétrica de 7 intervalos de

amplitud iguales a tres. Siendo la marca de clase del cuarto intervalo

igual a 19. si las frecuencias del primer y tercer intervalo son iguales a

5% y 15% del total respectivamente y si la quinta frecuencia acumulada

es de 85% del total. Reconstruir la distribución de frecuencia y los

gráficos respectivos.

2. Los tiempos de vida útil (en días) de un producto se tabularon en una

distribución de frecuencia de 5 intervalos de igual amplitud con

frecuencia relativa acumulada 0.10, 0.25, 0.55, 0.80, 1.00 . Determine la

distribución de frecuencia absolutas si la tercera frecuencia absoluta

acumulada es 11, si la segunda marca de clase es 10 y el límite inferior

del cuarto intervalo es 16.

3. Los tiempo de vida útil de un tipo de batería, se tabuló en una distribución

de frecuencia de 5 intervalos de igual amplitud con frecuencia relativa

acumuladas: 0,10 , 0,25 , 0,55 , 0,80 , 1.00. determine la distribución de

frecuencia absolutas si la tercera frecuencia absoluta acumulada es 11, si la

segunda marca de clase es 6 y si el límite inferior del cuarto intervalo es 12.

4. La nota de un examen aplicado a obreros de una fábrica se tabuló en una

distribución de frecuencia relativa de 3 intervalos de amplitud iguales a 5, la

nota mínima es 5 y el 48% de las notas son menores que 12, y si el 80%

de las notas son inferiores a 16. Reconstruir la distribución de frecuencia.



BIBLIOGRAFÍA


R.A. 2002. 224 p








Trillas. 2002. 180 p.





MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. INTRODUCCIÓN

Son estadígrafos que describen la posición que ocupan una distribución

de frecuencia alrededor de un valor de la variables.

Los estadígrafos son valores que de manera condensada representa en un

solo valor a una serie de datos y además describen resumidamente el conjunto

de observaciones.

Los estadígrafos de posición de uso más frecuente son: la media, la

mediana, la moda, los deciles, cuartiles y percentiles.

2. LA MEDIANA

La mediana o valor mediano de una serie de valores observado es el

numero que separa a la serie de datos ordenados en formas creciente en dos

partes iguales.

La mediana es una medida de posición que depende del número de

datos observado y no de su valores de estos datos.

2.1 MEDIANA PARA DATOS NO TABULADOS

Para calcular la mediana para datos no tabulados se obtiene bajo el siguiente

criterio:

Cuando “n” es impar

2

1 nXME

Ejemplo 1 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13.

84

2

17

2

1 XXXME n

Cuando “n” es par

2

2/22/

nn XXME

Ejemplo 2 1, 4, 5, 7, 13, 15, 16, 19

10

2

137

22

542/22/

XXXXME

nn



2.2 MEDIANA PARA DATOS TABULADOS (sin intervalo)

Si los valores de una variable discreta se tabulan en una distribución de

frecuencia de la forma “dato frecuencia”, entonces la mediana será aquel valor

de la variable que contenga a la primera frecuencia absoluta acumulada que

supere o sea igual a n/2.

Ejemplo 3

El número de hijos por familia se encuentra en la siguiente tabla hallar la

mediana.

El valor de la media es 2 porque es el valor de la variable que tiene a la primera

frecuencia absoluta acumulada que supera a la mitad.

2.3 MEDIANA PARA DATOS TABULADOS (con intervalo)

Si el valor de una variable discreta o continua se tabulan en una

distribución de frecuencia por intervalos, la mediana se determina mediante la

siguiente fórmula:

1

12

ii

i

iFF

Fn

ALME

Ejemplo 4

Los ingresos quincenales de 50 personas están representados en la siguiente tabla

hallar la mediana.

X f F

0 3 3

1 8 11

2 6 17

3 4 21

4 9 30



INTERVALOS f F

10 23 1 1

23 36 3 4

36 49 3 7

49 62 20 27

62 75 17 44

75 88 4 48

88 101 2 50

32.55744

72513492

1

1

ii

i

iFF

Fn

ALME

El 50% de los ingresos quincenales son menores o iguales a 55.32

2.4 VENTAJA DE LA MEDIANA

La suma de la diferencia de los datos respecto a su mediana es menor o

igual que la suma de las diferencias de esos datos respecto a cualquier

otro valor.

La mediana, a diferencia de la media, depende del número de datos y no

del valor de los datos. Por eso no está afectada de valores extremos.

La mediana puede ser calculada para distribuciones de frecuencia con

intervalos de diferente amplitud, siempre que se pueda determinar el límite

inferior del intervalo de la mediana.

3. LA MODA

La moda de una serie de datos es aquel valor que se repite con mayor

frecuencia. Este promedio se usa cuando se requiere señalar el valor más

común de una serie de datos. La moda es una medida menos importante que

la mediana debido a su ambigüedad. La moda no siempre existe y si existe,

no siempre es única.

3.1 MODA PARA DATOS NO TABULADOS

Ejemplo 5

Sería el valor que se repite el mayor número de veces

5, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 11, 15, 15, 15, 15, entonces la moda sería 8 .



3.2 MODA PARA DATOS TABULADO (sin intervalo)

La moda sería aquel valor de la variable que tenga la frecuencia absoluta.

Ejemplo 6

El número de hijos por familia se encuentra en la siguiente tabla hallar la moda.

X f

0 3

1 8

2 6

3 4

4 9

El mayor número de familia tiene 4 hijos.

3.3 MODA PARA DATOS TABULADO (con intervalo)

La moda para datos tabulado en tablas de frecuencia con intervalo se

encuentra mediante la siguiente fórmula:

21

1

dd

dALMO i

Ejemplo 7


hallar la moda.

INTERVALOS f

10 23 1

23 36 3

36 49 3

49 62 20

62 75 17

75 88 4

88 101 2

55.60317

171349

21

1

dd

dALMO i

El ingreso quincenal más frecuente es 60.55 .



4. MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética se denomina simplemente media y comúnmente se le

conoce como promedio, la media es el estadígrafo más importante; se define y

calcula dividiendo la suma de los valores de la variables entre el número de

observaciones o valores.

La media que se obtiene a partir de “n” datos originales se denomina

media aritmética simple.

La media obtenida a partir de los datos agrupados en tabla de frecuencia

se denomina media aritmética ponderada.

4.1 MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS NO TABULADOS

La media aritmética para datos no tabulados se obtiene mediante la

siguiente fórmula:

n

x

x

n

i

i 1

___

Ejemplo 8

Hallar la media de las siguientes edades: 15, 16, 18, 15, 25.

8.175

891___

n

x

x

n

i

i

4.2 MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS TABULADOS (sin intervalos)

La media aritmética para datos tabulados se obtiene mediante la siguiente

fórmula:

n

xf

x

k

i

ii 1

__

Ejemplo 9

Hallar el número promedio de hijos por familia.

X F

0 3

1 8

2 6

3 4

4 9



Solución: 36.230

711__

n

xf

x

k

i

ii

4.3 MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS TABULADOS (con intervalos)

La media aritmética para datos tabulados se obtiene mediante la

siguiente fórmula:

n

xf

x

k

i

ii 1

__

Ejemplo 10


hallar el promedio.

INTERVALOS

f

10 23 1

23 36 3

36 49 3

49 62 20

62 75 17

75 88 4

88 101 2

4.4 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

La suma total de n valores es igual “ nx___

”.

La media de una constante es igual a la misma constante.

La media del producto de una constante por una variable, es igual al producto

de la constante por la media de la variable.

La media de la suma de dos variables, es igual a la suma de las medias de cada

una de dichas variables.

Si cada uno de los “n” valores de XI es trasformado en: YI = aXi + b,

siendo “a” y “b” constante, entonces, la media de los “n” valores es:

bxay ____

La media aritmética de datos tabulados, se calcula también utilizando las

frecuencia relativas.



k

i

iihxx1

__

La media de una muestra es igual a la media ponderada de su sub.

muestras donde los pesos son los tamaños respectivos.

k

i

i

k

i

ii

n

xn

x

1

1

__

__

NOTA

La media aritmética como estadígrafo de posición de una distribución

proporciona una idea de la posición de los valores alrededor de la media.

La media es un valor promedio, por tanto no significa que todos los

valores observados resultan ser iguales.

La media siempre está influenciada por los valores extremos, sean mayores

o menores.

La media aritmética no divide en dos partes iguales a un conjunto de

datos.

5. CUARTILES

Los cuartiles son los estadígrafos que divide a un conjunto de datos en

cuatro partes iguales y en total son tres cuartiles; se calcula utilizando la siguiente

fórmula:

1

14

ii

i

iKFF

Fkn

ALQ k = 1, 2, 3

Ejemplo 11

Los ingresos quincenales de 50 personas están representados en la siguiente tabla.

Hallar el primer cuartil.

INTERVALOS F F

10 23 1 1

23 36 3 4

36 49 3 7

49 62 20 27

62 75 17 44

75 88 4 48

88 101 2 50



58.39727

75.1213364

1

1

ii

i

iKFF

Fkn

ALQ


Ejemplo 12


Hallar el tercer cuartil.

INTERVALOS f F

10 23 1 1

23 36 3 4

36 49 3 7

49 62 20 27

62 75 17 44

75 88 4 48

88 101 2 50

68.65744

275.3713624

3

1

1

3

ii

i

iFF

Fn

ALQ


6. DECILES

Es el estadígrafo que divide a un conjunto de datos en 10 partes iguales; se

calcula mediante la siguiente fórmula:

1

110

ii

i

iKFF

Fkn

ALD

Ejemplo 13


Hallar el decil 8.



INTERVALOS F F

10 23 1 1

23 36 3 4

36 49 3 7

49 62 20 27

62 75 17 44

75 88 4 48

88 101 2 50

94.712744

2740136210

1

1

ii

i

iKFF

Fkn

ALD


7. PERCENTILES

Es el estadígrafo que divide a un conjunto de datos en 100 partes iguales

1

1100

ii

i

iKFF

Fkn

ALP

Ejemplo 14


Hallar el percentil 35.

INTERVALOS F F

10 23 1 1

23 36 3 4

36 49 3 7

49 62 20 27

62 75 17 44

75 88 4 48

88 101 2 50



83.55727

75.171649100

1

1

ii

i

iKFF

Fkn

ALP

El 35% de los ingresos quincenales son menores o iguales a 55.93 soles.

ACTIVIDADES

1. La inversión anual, en miles de dólares, de una muestra de 50 fábrica en

compra de insumo están distribuido en la siguiente tabla de frecuencia. Hallar

las medidas de tendencia central.

INTERVALOS f

20 - 50 12

50 - 80 7

80 - 110 6

110 - 140 15

140 - 170 10

2. A 50 obreros varones se le midió la puntuación de Hamilton y se le

representó en la siguiente tabla de frecuencia. Hallar las medidas de tendencia

central.

INTERVALOS f

21,3 - 24,3 5

24,3 - 27,3 10

27,3 - 32,3 15

32,3 - 37,3 10

37,3 - 42,3 10



3. Los costos de fabricación de 20 productos son los siguientes:

9,35 8,56 9,00 8,63

9,60 9,00 8,56 9,5

9,46 7,52 9,99 8,00

9,53 9,77 9,54 7,56

9,20 8,56 9,36 8,56

Si el precio de venta de cada producto es tres veces su costo de fabricación

menos 5 soles. Calcular la utilidad media por producto.

4. El sueldo promedio de 200 empleados de una empresa es 400. Se

propone dos alternativas de aumento: a) 75 soles a cada uno, b) 15% de

su sueldo más 10 soles a cada uno. Si la clínica dispone a lo más de

94000 soles para pagar sueldos, ¿Cuál alternativa es la más conveniente?

5. De una central telefónica de una empresa salieron 70 llamadas de menos de

tres minutos, promediando 2.3 minutos, 40 llamadas de menos de 10

minutos pero no menos de tres minutos, promediando 6.4 minutos, y 10

llamadas de al menos 10 minutos, promediando 15 minutos. Calcular la

duración promedio de todas las llamadas.



GLOSARIO

Defina brevemente, con sus propias palabras, cada término de la lista.

Mediana: …………………………………………………………………………….

Moda: ……………………………………………………………………………….

Media: ……………………………………………………………………………….

Percentiles: …………………………………………………………………………..

Cuartiles: ……………………………………………………………………………..

Deciles: ……………………………………………………………………………….

Asimetría positiva: …………………………………………………………………..

Asimétrica negativa: ………………………………………………………………..

AUTOEVALUACIÓN

1. Los egresos de una empresa varían de 3000 a 8000 soles distribuido en

forma simétrica en cinco intervalos de igual amplitud, con el 15%, 20%

y 30% de casos en el primer, segundo y tercer intervalo

respectivamente. Calcule el egreso promedio

2. En un examen de estadística participaron tres grupos A, B y C con un total de

180 alumnos; habiendo obtenidos nota promedio general de 72 puntos. Los

puntajes promedio de los grupos A y B fueron 75 y 62, y estaba constituido

por 80 y 60 alumnos respectivamente. ¿Cuál es la nota promedio del grupo

C?

3. En el control de calidad de 120 lotes de determinado producto, se observó

el número de artículos defectuosos por lote, obteniendo los siguientes

resultados: el 5% de los lotes no tiene artículos defectuoso, el 15% tiene un

defectuoso, el 25% tiene 2 defectuosos, el 45% tiene 3 defectuosos y el

resto contiene 4 defectuoso.



4. Cuatro fabricas A, B, C y D, producen un mismo tipo de objeto. La fábrica B

produce el doble d C, la D 10% menos que la C y la A el 60% menos

que la B. si los costos de producción por cada unidad del objeto de esta

fábricas son respectivamente: 0.2, 0.3, 0.2 y 0.5, calcule el precio medio de

venta si se sabe que la fábrica gana 20% por unidad vendida.

5. El sueldo medio de los obreros de una fábrica es de 286 dólares ¿Qué

porcentaje de hombres y mujeres trabajan en la fábrica si su sueldo medio

respectivo son 300 y 260 dólares?

BIBLIOGRAFÍA


R.A. 2002. 224 p




Trillas. 2002. 180 p.









MEDIDA DE DISPERSIÓN

1. INTRODUCCIÓN

Las medidas de tendencia central no son suficientes para describir un conjunto

de valores de alguna variable estadística. Los promedios determinan el centro, pero

nada indica de cómo están situados los datos respecto al centro.

En primer lugar, se necesita una medida de nivel de dispersión o la

variabilidad de los datos con respecto a su centro con la finalidad de ampliar la

descripción de los datos o de comparar dos o más serie de datos.

En segundo lugar , se necesita una medida de grado o nivel de la asimetría o

la deformación en ambos lados del centro de una serie de datos, con el fin de

describir la forma de la distribución de los datos. Esta medida se denomina índice

de asimetría.

En tercer lugar, se necesita una medida que nos permita comparar el

apuntamiento o curtosis de distribución simétrica con respecto a la distribución

simétrica normal. Esta medida se denomina índice de apuntamiento o curtosi.

2. DEFINICIÓN

Las medidas de dispersión o variabilidad son números que miden el

grado de separación de los datos con respecto a un valor central, que

generalmente es la media aritmética.

Las principales medidas de dispersión son:

El rango

El rango intercuartil

La varianza

La desviación estándar

El coeficiente de variación

3. RANGO O RECORRIDO

El rango o recorrido, de una serie de datos, es la diferencia entre sus

valores máximo y mínimo.

R = max – min

El rango es una medida de dispersión muy fácilmente calculable, pero es

muy inestable, ya que depende únicamente de los dos valores extremos. Su

valor puede cambiar grandemente si se añade o elimina un solo dato. Por

tanto su uso es muy limitado.



4. RANGO INTERCUARTIL

El rango intercuartil, es la diferencia entre sus cuartiles tercero y

primero.

RI = Q3 – Q1

El rango intercuartil es una medida que excluye el 25% más alto y el

25% más bajo, dando un rango dentro del cual se encuentra el 50% central

de los datos observados y a diferencia del rango total no se encuentra

afectada por los valores extremos.

5. LA VARIANZA

La varianza, es una medida que cuantifica el grado de dispersión o de

variación de los valores de una variable cuantitativa con respecto a la media

aritmética. Si los valores tienden a concentrarse alrededor de su media, la

varianza será pequeña. Si los valores tiende a distribuirse lejos de la media, la

varianza será grande.

La varianza es la media aritmética de los cuadrados de las diferencia de

los datos con respecto a su media aritmética.

a. La varianza para datos no tabulados

2

1

2

1

2

2

)(

UN

X

N

Uxn

i

i

n

i

i

Ejemplo 1

Hallar la varianza al siguiente conjunto de datos 5, 8, 12, 19, 14.

b. La Varianza para datos tabulados (sin intervalo)

2

1

2

1

2

2

)(

UN

fX

N

UXfn

i

iii

n

i

ii

Ejemplo 2

Hallar la varianza de la tabla siguiente, que representa el número de hijos por

familia.

X f

0 3

1 8

2 6

3 4

4 9



c. La Varianza para datos tabulados (con intervalo)

2

1

2

1

2

2

)(

UN

fX

N

UXfn

i

iii

n

i

ii

Ejemplo 3


hallar la varianza.

INTERVALOS f

10 23 1

23 36 3

36 49 3

49 62 20

62 75 17

75 88 4

88 101 2

Propiedades de la varianza

Para cualquier distribución la varianza es siempre una cantidad no negativa.

Si el valor de las observaciones son todos iguales, entonces la varianza es cero.

La varianza de una constante es cero.

La varianza del producto de una constante por una variable, es igual al

cuadrado de la constate por la varianza de la variable.

La varianza de la suma de una variable mas una constante, es igual a la

varianza de la variable.

6. DESVIACIÓN ESTÁNDAR

La desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza 2

7. COEFICIENTE DE VARIACIÓN

El coeficiente de variación es una medida de dispersión relativa, que se

define como la desviación estándar dividido por la media aritmética.

El coeficiente de variación es una medida muy útil para comparar la

variabilidad de dos o más serie de datos que tenga distinta unidades de

medidas o media aritmética diferente.



%100*.

U

VC

8. USO DE LAS MEDIDAS DE VARIACIÓN

La varianza viene expresada en unidades cuadráticas en las que vienen

expresado los datos. Las desviación estándar viene expresada en la misma

unidades en las que viene expresados los datos. El coeficiente de variación

viene expresada en números abstractos (suprimiendo las unidades en las que

vienen expresado los datos)

Si dos o más serie tienen medias aritméticas iguales y dispersiones

diferentes entonces la serie de mayor variación es aquel que tiene mayor

medida de dispersión. La serie de menor variación es aquella que tiene menor

medida de dispersión.

Si dos o más serie de datos, no tienen medias iguales o no tienen la

misma unidades de medición, entonces la serie de mayor variación es aquella

que tenga mayor coeficiente de variación.

NOTA

Las medidas de dispersión más usuales son:

MUESTRA - POBLACIÓN

Rango R R

Varianza S2 2

Desviación estándar S

DATOS SIN AGRUPAR

N

UXN

i

i

1

2

2

1

1

2

2

n

xx

S

n

i

i

DATOS AGRUPADOS

N

fUXK

i

ii

1

2

2

.

1

.1

2

2

n

fxm

Si

k

i

i



ACTIVIDADES

1. A 50 varones se le midió la puntuación de Hamilton y se le representó en la

siguiente tabla de frecuencia, hallar las medidas de dispersión.

INTERVALOS f

21,3 - 24,3 5

24,3 - 27,3 10

27,3 - 32,3 15

32,3 - 37,3 10

37,3 - 42,3 10

2. En un estudio se obtuvieron estas observaciones sobre el perímetro en

centímetro de 100 mesa el cual está representado en la siguiente tabla, hallar

las medidas de dispersión.

INTERVALOS f

10 - 20 20

20 - 30 30

30 - 40 10

40 - 50 15

50 - 60 25

3. A 50 sujetos se les midió la cantidad de alcohol consumido por semana, la

cual se muestra en la siguiente tabla. Hallar las medidas de dispersión. El coeficiente

intelectual de 40 obreros está distribuido en la siguiente tabla. Hallar las medidas

de posición.

INTERVALOS f

0 - 4 5

4 - 8 10

8 - 12 5

12 - 16 15

16 - 20 15



4. La siguiente tabla corresponde a la distribución de una muestra de empleados del

Ministerio de Educación según su tiempo de servicios (años). Halle e intérprete: la

media aritmética, la mediana y la moda y ubicar estos valores en el Histograma

correspondiente.

5. La inversión anual, en miles de dólares, de una muestra de 50 empresa

están distribuido en la siguiente tabla de frecuencia. Hallar las medidas de

dispersión.

INTERVALOS f

20 - 50 12

50 - 80 7

80 - 110 6

110 - 140 15

140 - 170 10

Tiempo de

servicios

Nº

empleados

[0 – 4>

4 – 8

8 – 12

12 – 16

16 – 20

20 – 24

24 – 28

28 - 32

11

13

20

17

12

6

4

2



GLOSARIO

Defina brevemente, con sus propias palabras, cada término de

la lista.

Rango: …………………………………………………………………………………

Intercuartil: ……………………………………………………………………….……

Varianza: ……………………………………………………………………………….

Desviación estándar: ……………………………………………………………….…

Coeficiente de variación: …………………………………………………………….

Homogéneo: …………………………………………………………………………..

Heterogéneo: ………………………………………………………………………….

AUTOEVALUACIÓN

1. En un test aplicado a 100 personas se obtuvo la siguientes información: los

puntajes se tabularon en una distribución de frecuencia simétrica de 5

intervalos de amplitud iguales, siendo el puntaje mínimo 40 y el máximo

de 90. la frecuencia absoluta del intervalo central fue de 40 y del quinto

de 10. calcular la varianza.

2. Una prueba de conocimiento, A se calificó sobre 20 puntos dando una

media de 12 y una desviación estándar de 2 puntos. Mientras que una

prueba de aptitud ,B se calificó sobre 100 puntos, dando una media de

70 y una desviación estándar de 5 ¿En cuál de las dos pruebas los

puntajes son más homogéneos?

3. Los sueldo de 150 trabajadores de una empresa tiene un coeficiente de

variación del 5% en el mes de agosto. para el mes de septiembre hay un

aumento a cada trabajador el 20% de su sueldo más una bonificación de

60$ y el coeficiente de variación baja a 4%. Calcular la media y la

desviación estándar de los sueldos del mes de agosto.



4. La distribución de los sueldos de los empleados de dos empresa A y B se

tabularon en tres intervalos de igual amplitud en cada caso, siendo las

frecuencias absoluta del primero al tercero de 10, 30, 30 y de 30, 50, 20.

respectivamente en A y B. Si los sueldos mínimo y máximo son de 50 y

200 en A, y de 60 y 240 en B. ¿En qué empresa los sueldo son más

homogéneos?

BIBLIOGRAFÍA


R.A. 2002. 224 p




Trillas. 2002. 180 p.









UNIDAD DIDÁCTICA 2: PROBABILIDADES E INFERENCIA

Capacidad de Unidad: Aplica probabilidades en situaciones reales y

analiza resultados, teniendo en cuenta la teoría de probabilidad

PROBABILIDAD BÁSICA

1. EXPERIMENTO

Es un proceso mediante el cual se obtiene un

resultado de una observación.

1.2 CLASIFICACIÓN DE EXPERIMENTOS

Los experimentos se dividen en dos clases:

1.2.1 Experimento determinístico

Es aquel experimento que está completamente determinado y puede describirse

por una fórmula matemática llamado también modelo determinísticos.

1.2.2 Experimento no determinístico

Es aquel experimento donde no se puede predecir con exactitud los

resultados.

1.2.3 Experimento aleatorio

Es todo proceso que consiste de la ejecución de un acto o prueba una

o más veces, cuyo resultados en cada prueba depende del azar y en

consecuencia no se puede predecir con certeza y cumple ciertas características:

Que sea repetible en igualdad de condiciones.

Que se pueda describir el conjunto de todos los resultados posibles aunque no se

pueda asegurar un resultado en particular.

Si se repite un número grande de veces debe aparecer cierta regularidad

estadística.

Ejemplo

E1: Lanzar un dado

E2: Lanzar una moneda tres veces

E3: Lanzar una moneda tantas veces hasta que aparezca la primera cara

E4: Medir la vida útil en horas de una marca de artefacto eléctrico



1.2.3.1. Clasificación de experimento aleatorio

Los experimentos aleatorios se clasifican en:

a. Experimento simple

Es aquel experimento que está formado por un solo acto o prueba.

Ejemplo

Lanzar un dado

Lanzar una moneda

b. Experimento compuesto

Un experimento se dice que es compuesto, si consiste de dos o más

experimento simples. A la vez se clasifican en:

Experimento unido por la “o” excluyente: Un experimento

compuesto E, se dice que es una combinación de los experimento

simples, E1 , E2 si, solo si el experimento E ocurre, cuando el

experimento E1 o E2 ocurre pero no ambos.

Ejemplo

Lanzar un dado o una moneda.

Extraer una ficha de la urna 1 o de la urna 2.

Experimento unido por la “y”: Un experimento compuesto E, se dice

que es una combinación de los experimento simples, E1 , E2 si, solo si el

experimento E ocurre, cuando el experimento E1 y E2 ocurre en forma

simultáneas o consecutivas.

Ejemplo

Lanzar un dado y una moneda simultáneamente.

Extraer dos fichas de una urna.

2. ESPACIO MUESTRAL:

Se denomina espacio muestral al conjunto que contiene todos los

resultados posible de un experimento aleatorio.

Cada resultado posible de un experimento aleatorio es un elemento del

espacio muestral. A cada elemento del espacio muestral se denomina también

punto muestral. Esto es, el espacio muestral se describe por:

= / es un punto muestral

Si el espacio muestral tiene un numero finitos de elementos es posible

en listar a todos estos, y si el número de elementos es grande o infinito el

espacio muestral se describirá mediante un enunciado o regla de

correspondencia.



2.1 CLASIFICACIÓN DE LOS ESPACIOS MUESTRALES

Por el número de elementos o puntos muéstrales, los espacios muéstrales

se clasifican en:

Discreto finitos, consisten de un numero finito de elementos.

Discreto infinito, consiste de un número infinito numerable de elementos.

Continuos, consiste de un número infinito no numerable de elementos.

Ejemplo

Observar el lanzamiento de una moneda

1 , ,S cara sello c s

Observar el lanzamiento de un dado

6,5,4,3,2,12 S

Medir la duración de un equipo electrónico

0:3 ttS

Contar el número de vehículos que pasan por un cruce en lapsos de un minuto

El lanzamiento de dos dados

Lanzamiento de un dado y una moneda

3. EVENTOS: A, B, C……..Z

Se denomina evento a cualquier subconjunto de un espacio muestral.

3.1 CLASE DE EVENTOS

Los eventos se clasifican en:

Eventos imposible, Ø es aquel que no tiene puntos muestrales, en

consecuencia no ocurre nunca.

Eventos unitarios o elementales, w es aquel que contiene un solo

punto muestral.

Eventos compuestos, es el que consiste de dos o más eventos.

Evento seguro o cierto, es el mismo espacio muestral, ya que es el

subconjunto que contiene a todos los eventos elementales.

1) E1 : Lanzamiento de una moneda.

1 , ,S cara sello c s

Podremos plantear los siguientes eventos:

A1: que salga cara A1 = { c }

A2 : que salga sello A2 = ______



2) E2 :Lanzamiento de un dado

6,5,4,3,2,12 S

B1 : que salga número par B1 = _______________________

B2 : que salga número impar B2 = _______________________

B3 : que salga número 4 ò 5 B3 = _______________________

3.2 OPERACIONES CON EVENTOS

a. Unión de eventos

Se denomina unión de los eventos A y B, al evento A B que consiste

de todos los puntos muéstrales que pertenecen al evento A o al evento

B, o ambos.

BA = {w / w A w B}

b. Intersección de eventos

Se denomina intersección de los eventos A y B al eventos AB que

consiste de todos los puntos muéstrales que son comunes al evento A y al

evento B.

BA = {w / w A w B}

c. Diferencia de evento

La diferencia del evento A menos B es el evento A – B, que consiste

de todos los puntos muéstrales que pertenecen al evento A y no pertenecen

al evento B.

BA = {w / w A w B}

d. Complemento de un evento

Si A está incluido en B entonces el complemento está formado por

aquellos elementos que están fuera del conjunto A.

AC = {w B / w A}

e. Eventos disjuntos

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no tiene

elementos en común, esto es si, BA = .

3.3 PROBABILIDAD DE UN EVENTO

3.3.1 Definición de probabilidad

La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos

favorables y el número total de casos posibles.



n

AnAP

3.3.2 Axioma de probabilidad

0 ≤ P(A) ≤ 1 Para cada evento “A” en Ω

0 0.5 1

Sin probabilidad Tan probable Certeza

De ocurrir como improbable de ocurrir

P(Ω) = 1

Para cualquier numero finito k de eventos mutuamente excluyentes en Ω,

entonces

K

i

i

K

i

i APAP11

3.4 TEOREMA

Si Ǿ es el evento imposible, entonces P(Ǿ) = 0

Para cada evento A, se cumple que P(AC) = 1 – P(A)

A y B son eventos tales que A esta dentro de B, entonces P(A) ≤ P(B)

Si A y B son dos eventos cualquiera en Ω entonces

)()()( BAPBPAPBAP

Si A, B y C son tres eventos cualquiera en Ω, entonces

)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP

Ejemplo

Consideremos el lanzamiento de un dado dos veces. Calcular la

probabilidad de Obtener suma 7

Ejemplo

Se tiene el siguiente experimento aleatorio

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

CLÁSICA

Probabilidad de un evento =# de resultados favorables

# de resultados posiblesDEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

CLÁSICA

Probabilidad de un evento =# de resultados favorables

# de resultados posibles



E: Lanzamiento de dos monedas al aire.

a) Calcule el espacio maestral

b) Sea el evento A: salga solo una cara. Plantee el evento A, utilizando conjunto

c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1 cara?

Ejemplo

Hallar la probabilidad de sacar un “Rey” al extraer una carta de una baraja de 52

cartas

Ejemplo

Hallar la probabilidad de que en el lanzamiento de 3 monedas se obtenga resultados

iguales

Ejemplo

Si se tira 4 monedas, una después de la otra.

Halle el espacio muestral.

Halle la probabilidad de que salgan 2 caras.

Halle la probabilidad de que al menos salgan 2 caras.

Halle la probabilidad de que a lo más salgan 2 caras.

Ejemplo

Si se extraen dos cartas de un mazo. Hallar la probabilidad de que salgan 2…

a) Con reemplazamiento

b) Sin reemplazamiento

4. PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad condicional es una parte de las probabilidades que se ocupa del

análisis de aquellos experimentos aleatorios que se ejecutan en más de una etapa. Es

decir, la probabilidad condicional estudia la relación de dos o más eventos, de tal

manera que la probabilidad de ocurrencia de un evento depende de la ocurrencia o

no del otro.

4.1 Definición de Probabilidad Condicional: Para dos eventos cualesquiera A y B

en un espacio muestra S, tales que P(A) > 0 con 0, P(A) la probabilidad del evento

B dado el evento A, se define por:

La definición de probabilidad condicional satisface los siguientes axiomas:

a)

b)

c)

d) P ( A



EJEMPLO

Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de

los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos:

A= "la suma de los puntos es siete"

B = "en alguno de los dados ha salido un tres"

El suceso B /A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7.

Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3 , 4) y (4 , 3) . Por tanto,

P (B / A) = 1 / 3

EJEMPLO

Se tiene la siguiente información:

Especialidad /

Sexo Varones Mujeres Total

Ciencias 42% 28% 70%

Letras 12% 18% 30%

Total 54% 46% 100%

Se definen los siguientes eventos:

A : El estudiante elegido es de ciencias.

B : El estudiante elegido es varón.

Hallar:

a)

b)

Solución:

a)

b)

5. PROBABILIDAD TOTAL

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un

suceso a partir de probabilidades condicionadas.

Antes de introducir la fórmula pasaremos a explicar el concepto de Partición de un

conjunto.

Se llama partición a conjunto de sucesos Ai (A 1 , A 2 , . . . , A n ) tales que

A1 U A2 U... U An = S y Ai Aj =



Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno

de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las

probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada

por la expresión:

Ejemplo

Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de

forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre

la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad

de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para

cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

Solución:

El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según

el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del

diagrama de árbol adjunto, tenemos:

P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) =

= 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 =

= 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

Ejemplo 22

Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías:

F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del

40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado

incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la

empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente

envasado?



Solución:

Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este

producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el

teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama

de árbol adjunto, tenemos:

P(M) = P(F1) · P(M/F1) + P(F2) · P(M/F2) + P(F3) · P(M/F3) + P(F4) · P(M/F4) =

= 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 =

= 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028

6. TEOREMA DE BAYES

El Teorema de Bayes, dentro de la teoría probabilística, proporciona la

distribución de probabilidad condicional de un evento "A" dado otro evento "B"

(probabilidad posteriori), en función de la distribución de probabilidad condicional

del evento "B" dado "A" y de la distribución de probabilidad marginal del evento "A"

(probabilidad simple o apriori).

Teorema:

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de

cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen

las probabilidades condicionales P(B/Ai). Entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada

por la expresión:

Ejemplo

Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de

las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de

estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de

haber sido producida por la máquina B.

¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza

defectuosa?

Solución:

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del

problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la

propiedad de la probabilidad total,

P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =

= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038



b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado.

Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A.

6. EVENTOS INDEPENDIENTES

El concepto de independencia es importante porque facilita el análisis de los

datos estadísticos. Si no se tuviese este concepto, el análisis sería muy complejo y en

algunos casos imposible de llevarse a cabo.

Decimos que el par de eventos A,B son independientes sí y solo sí cualquiera

de las siguientes expresiones son verdaderas.

P(A\B) = P(A)

P(B\A) = P(B)

P(A B) = P(A) . P(B)



EJERCICIOS PROPUESTOS

1- ¿Cuál es la probabilidad de obtener una “cara” o más si lanzamos al aire una

moneda tres veces consecutivas? ¿Cuál la de obtener dos o más “caras”?

2. Un experimento consiste en lanzar 4 monedas. Describa el espacio muestral

del experimento. Luego describa el rango de valores del numero de caras y

las veces que cada valor ocurre.

3. Una caja contiene 8 dulce de piña, 6 de naranjas y 4 de fresa. ¿Cuántos

elementos tiene el espacio muestral que resulta de extraer al azar un dulce de

cada sabor?

4. De 8 hombres y 7 mujeres ¿Cuántos comité de 10 miembros se puede formar

si cada uno de ellos debe contener cuando menos 5 mujeres?

5. En una universidad se realiza un estudio para determinar qué relación existe, en

cado de haberla, entre la habilidad matemática y el interés por las matemáticas. Se

determinar la habilidad y el interés de 150 estudiantes, con los resultados

siguientes:

Habilidad

Interés

TOTAL Escaso Promedio Mucho

Escasa 40 8 12 60

Promedio 15 17 18 50

Mucho 5 10 25 40

TOTAL 60 35 55 150

Si se escoge uno de los participantes en el estudio:

¿Cuál es la probabilidad de escoger a una persona que tenga escaso

interés en las matemáticas?

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a una persona con habilidad

promedio?

¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga mucha habilidad para

las matemáticas dado que manifieste mucho interés por esa disciplina?

¿De que la persona tenga mucho interés en las matemáticas dado que

posee una habilidad promedio?



6. Un grupo de personas están distribuido de acuerdo a su género y lugar de

procedencia de la siguiente manera: 130 son hombres, 110 son de la capital y

30 son mujeres y de provincia. Si se eligen dos personas al azar de este grupo

calcule la probabilidad de que ambos sean hombres y de provincia.

7. Una urna contiene 20 fichas similares de las cuales 10 son rojas, 6 azules y

4 son verdes. Si se extraen 10 fichas al azar y a la vez calcule la probabilidad

de que ocurran cinco rojas y 3 azules.

8. Una caja contiene 16 pernos de los cuales 8 no tienen defecto, 5 tiene

defecto leves y 3 tiene defecto graves. Si se eligen 3 pernos al azar y de una

sola vez, calcule la probabilidad de que los tres pernos no tengan defecto leve.

9. Si en el control de calidad de la producción de un articulo, la probabilidad de

que se encuentre por lo menos ocho artículos defectuoso es 0.15 y de que se

encuentren a lo más 4 artículos defectuoso es 0.50, ¿Cuál es la probabilidad de

que se encuentre 5, 6, 7 artículos defectuoso en el control?

10. En una encuesta de opinión se encontró que el 25% de los electores votarían

por el candidato E. de lo que no votarían por E el 20% son mujeres. Además,

7 de cada 10 electores son hombre. Si se elige un elector al azar y resulta

mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que no vote por E?

11. De los 80 objetos que tienen un lote recibido por un comerciante, 2 de cada 5

son del proveedor A y el resto del proveedor B. además, el 12.5% de

objetos de cada proveedor tiene fallas. Si se inspecciona cuatro objetos del lote

escogidos al azar a la vez, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno tenga

falla si tres son del lote B?



DISTRIBUCIONES IMPORTANTES

1. DISTRIBUCIÓN NORMAL

Esta distribución es frecuentemente utilizada

en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre

indica su extendida utilización, justificada por la

frecuencia o normalidad con la que ciertos

fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya

gráfica tiene forma de campana.

Se dice que la variable aleatoria X es continua cuando toma valores reales

desde el -∞ < x< ∞ y se dice que se distribuye normalmente con media µ y

variancia σ2 .

X ~ N (µ, σ2)

La distribución normal se utiliza como modelo para variables como el peso, la

altura, la calificación en un examen, etc., es decir, en variables cuya distribución es

simétrica respecto a un valor central (alrededor del cual toma valores con gran

probabilidad) y apenas aparecen valores extremos.

Si una variable aleatoria x tiene distribución normal suele representarse como

N(µ,σ2

) donde µ, es la media o valor esperado de la variable y σ= σx es la desviación

típica de la variable, que son los dos parámetros que caracterizan la distribución

normal.

En la distribución normal, la mayoría de la probabilidad se concentra en la

zona central.



1.1 Propiedades de la distribución normal:

La distribución normal posee ciertas propiedades importantes que conviene

destacar:

Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor

entre y es teóricamente posible. El área total bajo la curva es,

por tanto, igual a 1.

Es simétrica con respecto a su media.

La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de

la curva es igual a una desviación típica.

El área bajo la curva comprendida entre los valores situados

aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a

0.95.

La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros .

1.2 Distribución normal estándar

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene

por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado

en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue

una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

Cálculo de probabilidades en distribuciones normales

La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable

tipificada. Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).

Φ(k) = P(z ≤ k)



Búsqueda en la tabla de valor de k: Unidades y décimas en la columna de

la izquierda. Céntesimas en la fila de arriba.

P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)



P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )

Ejemplos.

1) Determinar la probabilidad de cada una de las siguientes expresiones:

a) P ( Z < 1.25 ) b) P ( Z< -2.28)

c) P (Z < 0 ) d) P ( 0 < Z < 2.5 )

e) P ( -2.38 < Z < 0 ) f) P ( - 2.25 < Z < 2.25 )

g) P (1.55 < Z < 2.35) h ) P ( Z > 2.43 )

2) En una población normalmente distribuida con media µ = 30 y variancia igual a

25 se pregunta: ¿Qué porcentaje del total de las observaciones estarán entre 20 y

35?

3) Se sabe que el peso medio de la población de un grupo de estudiantes es igual a 60

Kg., y su desviación estándar es igual a 3 kg. Halle la probabilidad de que el peso

de un alumno este entre 55 y 65 kilogramos.

4) El peso de los atletas de pruebas de medio fondo sigue una distribución normal

con media 64,3 kilos y desviación típica 2,3 kilos. Hallar un intervalo centrado

alrededor de la media que contenga:

a) l 68,3% de la población

Solución.-

b) El 95,5% de la población

Solución.-

c) El 99,7% de la población

Solución.-



Ejemplo

La longitud a que se puede estirar sin rotura un filamento de Nylon es una

variable aleatoria con media 5000 pies y desviación estándar 5000. ¿Cuál es la

probabilidad que la longitud promedio de 100 filamento este comprendido entre

4750 y 5500?



2. DISTRIBUCIÓN T STUDENT

Sea Z una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 1 sea, sea Y

una variable aleatoria que tiene una distribución Chi - cuadrado con r grado de

libertad, y si Y e Z son independiente, entonces la variable aleatoria.

rY

ZT

/

Se dice que tiene una distribución t – student, r grados de libertad.

paTP r

r = grado de libertad

a = cuantil

p = probabilidad

Ejemplo a.

Hallar la probabilidad P (T5< 2,571) = p

Ejemplo b.

Hallar el grado de libertad P (Tr< 1,812) = 0,95

Ejemplo c.

Hallar el cuantil P (T8< a) = 0,95

2.1 TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN t- Student

La tabla da áreas 1 y valores , donde, , y donde T

tiene distribución t-Student con r grados de libertad.

rtc ,1 1][ cTP



1

r 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657

2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925

3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841

4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604

5 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707

7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106

12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055

13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012

14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977

15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947

16 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921

17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898

18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878

19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861

20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831

22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819

23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807

24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797

25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787

26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779

27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771

28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763

29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756

30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750

40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704

60 0.679 0.848 1.046 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660

120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617

0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576



2.1.1 DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO

Sean Z1, Z2, ……Zr, variables aleatorias independientes distribuidas

normalmente, cada una con media 0 y varianza 1, la variable aleatoria

22

2

2

1

2 ...... rZZZX

Se dice que e una variable aleatoria Chi - cuadrado con r grado de libertad

paXP 2

r = grado de libertad

a = cuantil

p = probabilidad

Ejemplo

Hallar la probabilidad P (x2

4< 2,19) = p

Ejemplo

Hallar el grado de libertad P (x2

r< 18,3) = 0,95

Ejemplo

Hallar el cuantil P (x2

6< a) = 095



2.1.2 DISTRIBUCIÓN F DE FISHER

Considerando dos muestras aleatorias independientes, de tamaño n1 y n2,

extraídas de una población normal, el estadístico F será

DEFINICIÓN

Una variable F se define como el cociente entre dos variables ji-cuadrado

divididas por sus correspondientes grados de libertad.

CARACTERÍSTICAS

Una variable con distribución F es siempre positiva.

La distribución de la variable es asimétrica, pero su asimetría disminuye cuando

aumentan los grados de libertad del numerador y denominador.

Hay una distribución F por cada par de grados de libertad.

Parámetros: Grados de libertad asociados al numerador y denominador



PROBLEMAS PROPUESTOS

1) El ingreso monetario mensual por hogar en una región se distribuye según

el modelo de la probabilidad normal con media 600 y desviación estándar

100 dólares. ¿Qué porcentaje de hogares de la región tienen ingreso

menores de 400?

2) La demanda diaria, en kilogramos, de un producto se distribuye según el

modelo de la probabilidad normal con una media de 50 y una desviación

estándar de 10. ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de un día

cualquiera este entre los 46 y 54 kilogramos?

3) Los resultados de un examen de comportamiento agresivo aplicado a 400

adolescentes se distribuye según el modelo de la probabilidad normal con

una media igual a 35 puntos. Obtenga la desviación estándar de la

distribución si el 84.13% de los adolescentes obtiene al menos 30 puntos.

4) El ingreso monetario mensual por hogar en una comunidad se distribuye

según el modelo de la probabilidad normal con una media de 400 y una

desviación estándar de 50. todos los hogares que están en el décimo superior

de los ingreso mensuales pagan una contribución de solidaridad, ¿a partir de

que ingreso lo hacen?

5) Una pieza es considerada defectuosa y por lo tanto rechazada si su

diámetro es mayor que 2.02 cm. O es menor que 1.98 cm. Suponga que

los diámetros tienen distribución normal con media de 2 cm. Y desviación

estándar de 0.01 cm. ¿Cuántas piezas de 10000 se espera que sean

rechazadas?

6) Los pesos de los posible usuarios de un ascensor constituye una población

cuya distribución normal con una media de 70 Kg. y una desviación estándar

de 10 Kg. si el ascensor admite como peso máximo 585 kg. ¿Cuál es la

probabilidad que el peso total de 10 usuarios supere ese peso máximo?

7) El tiempo, en minuto que demora un operario en ensamblar un objetos es

una variable aleatoria X cuya distribución tiene una media de 30 y una

desviación estándar de 2. el objeto totalmente terminado requiere un

tiempo de x + 5 minutos. Si el operario tiene que entregar 36 objetos

totalmente terminado, calcule la probabilidad de que emplee un tiempo total

de al menos 20.5 horas.

8) Las llamadas que realiza un alumno por su teléfono celular duran en

promedio tres minutos con una desviación estándar de 0.05 minutos. Si el

costo por llamada tiene un valor fijo de 0.8 dólares más un costo variable



de 0.5 dólares por minuto, calcule la probabilidad de que el costo total de

36 llamadas sea mayor de 85 dólares.

9) Un supermercado produce pan especial cuyo peso X debe tener una media

de 100 gramos y una desviación estándar de 5 gramos. Si el pan tiene más

de 100 gramos, la diferencia del peso por cada pan tiene un costo en soles

dados por: c = 0.0125x -1.00. Si se produce 200 panes por turno ¿Cuál es

la probabilidad de que el costo total por la diferencia supere los 48

dólares?

10) La duración en meses de los focos que produce una compañía se distribuye

según el modelo de la probabilidad normal. Si el 18.41% de estos focos

duran menos de 8.2 meses y el 6.68% duran al menos 13 meses. Calcule

la media y la varianza de la duración de los focos.



TEORÍA DE MUESTREO

1. ESTADÍSTICA

Es la ciencia que se ocupa

de los métodos y procedimientos

para recoger, clasificar, resumir, y

analizar datos, siempre y cuando

la variabilidad e incertidumbre sea

una causa de los mismos; así como

de realizar inferencias a partir de

ellos, con la finalidad de ayudar a

la toma de decisiones y en su caso

formular predicciones.

1.1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Es el conjunto de métodos estadísticos que se relacionan con el resumen

y descripción de los datos, como tablas, graficas y el análisis mediante algunos

cálculos.

1.2 INFERENCIA ESTADÍSTICA

Es el conjunto de métodos con lo cual se hace la generalización sobre

una población utilizando una muestra. La inferencia puede contener conclusiones

que pueden no ser ciertas en forma absoluta, por lo que es necesario que

estas sean dadas con una medida de confiabilidad, el cual se le conoce como

probabilidad.

1.3 POBLACIÓN

Es el conjunto de elementos que contienen una o más característica

observable de naturaleza cualitativa o cuantitativa que se pueden medir en

ellos.

a. UNIDAD ELEMENTAL

Viene a ser cada elemento de la población.

b. UNIDAD DE ANÁLISIS

Elemento del que hay que obtener la información.



1.4 VARIABLE

Se denomina variable estadística a una característica definida en la

población por la tarea o investigación estadística, que puede tomar dos o más

valores o modalidades.

1.5 DATO

Es el resultado de medir una característica observable de una unidad de

análisis.

1.6 INFORMACIÓN

Es el resultado que se obtiene al procesar un conjunto de datos.

1.7 PARÁMETRO

Se denomina parámetro a una medida descriptiva que resume una

característica, calculada a partir de los datos observados en toda la población.

1.8 MUESTRA

Se denomina muestra a una parte de la población seleccionada de acuerdo

con un plan o regla, con el fin de obtener información acerca de la población

de la cual proviene.

1.9 ESTADÍGRAFO

Se denomina estadígrafo a una medida descriptiva que resume una

característica, calculada a partir de los datos observados en una muestra

aleatoria.

1.10 ERROR DE ESTIMACIÓN

Es la diferencia entre un estadístico y su parámetro correspondiente. Es una

medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en torno al valor

de la población, nos da una noción clara hasta dónde y con qué probabilidad una

estimación basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por

medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero la naturaleza de la

investigación nos indicará hasta qué medida podemos cometerlo.

1.11 MUESTREO

Evaluar el comportamiento de una o varias características o variables de una

población sería muy costoso, por lo que la estadística nos brinda procedimientos para

seleccionar a una parte de esa población y analizarla de tal forma que sus

características coincidan con la población. El muestreo es la selección de una parte

representativa de la población que permita estimar los parámetros de la población.

http://www.monografias.com/trabajos14/frenos/frenos.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml

http://www.monografias.com/trabajos36/naturaleza/naturaleza.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/norma/norma.shtml



1.11.1 VENTAJAS DEL EMPLEO DE MUESTRAS

Hay muchas razones por las cuales el estudio de una muestra es preferible al de

la totalidad de la población. Ante todo, es evidente que el estudio de muestras es el

único practicable cuando se trata de poblaciones infinitas o de poblaciones limitadas

pero muy extensas, pues ningún investigador sería capaz de estudiarlo en su totalidad.

Lo mismo es valedero para aquellas investigaciones en las cuales el proceso de

investigación destruye al individuo que se estudia, como en el caso en que se prueba la

acción de ciertos venenos en animales de experimentación.

Pero aún en el caso en que se quiera estudiar una poblaci6n perfectamente

limitada, debemos decidirnos por la muestra, pues su utilizaci6n tiene las siguientes

ventajas:

Ahorra tiempo, dinero y trabajo.

Permite una mayor exactitud en el estudio, pues los errores debidos al

observador, al objeto observado y al método de observación, pueden

disminuir y controlarse más efectivamente.

En efecto, como será menor el número de personas que intervengan en el

estudio, será mucho más fácil conseguir buenos especialistas y entrenarlos

uniformemente; como se necesitarán menos instrumentos de investigación, éstos

podrán vigilarse y calibrarse más cuidadosamente.

1.11.2 DESVENTAJAS DEL EMPLEO DE MUESTRAS

La única desventaja del uso de muestras es el llamado error de muestreo, el cual

sumado a los tres tipos de error antes mencionado, podría invalidar nuestro estudio.

Este error de muestreo es una consecuencia de la variabilidad de las poblaciones.

Como los individuos de una población son muy variables, los diferentes grupos

o muestras que podemos formar con ellas diferirán también unas de otras y como

nosotros estudiamos una muestra para generalizar luego a toda la población, los

resultados serán algo distintos según la muestra que hayamos escogido. Esta diferencia

entre el valor dado por la muestra y el verdadero valor de la población, constituye el

error por muestreo.

Ejemplo:

Supongamos que una población de 4 personas tienen un capital de S/. 5 000, S/.

7 000, S/. 6 000 y S/. 10 000 soles respectivamente.

El capital promedio de esta población es

4

000,10000,6000,7000,5 = S/. 7 000

Si no se conociera dicho promedio y para averiguarlo se tomara una muestra

de dos personas, digamos los 2 primeros (5 000, 7 000), concluiríamos que el capital

promedio de cada persona de la población es S/. 6,000, cuando en realidad vemos



que fue S/. 7 000, esta diferencia de S/. 1 000 entre el valor de la muestra y el valor

de la población constituye el error por muestreo.

La presencia del error por muestreo parecería indicar que el estudiar una

muestra en vez de la población, es desfavorable y no ventajosa como hemos indicado.

Sin embargo, conviene tener presente:

- En primer lugar, que el error por muestreo suele ser mucho menos importante que

los errores debidos al observador, al método de observación y a los individuos

estudiados, y -en segundo lugar, que el error por muestreo puede medirse

estadísticamente y en cierto modo, puede disminuirse a voluntad, tan solo con

aumentar el tamaño de la muestra.

1.11.3 USOS DEL MUESTREO

El Muestreo es utilizado en diversos campos:

a. Política: Las muestras de las opiniones de los votantes se usan para que los

candidatos midan la opinión pública y el apoyo en las elecciones.

b. Educación: Las muestras de las calificaciones de los exámenes de estudiantes se

usan para determinar la eficiencia de una técnica o programa de enseñanza.

c. Industria: La muestras de los productos de una línea de ensamble sirve para

controlar la calidad.

d. Medicina: Las muestras de medidas de azúcar en la sangre de pacientes diabéticos

prueban la eficacia de una técnica o de un fármaco nuevo.

e. Agricultura: Las muestras del maíz cosechado en una parcela proyectan en la

producción los efectos de un fertilizante nuevo.

f. Gobierno: Una muestra de opiniones de los votantes se usaría para determinar los

criterios del público sobre cuestiones relacionadas con el bienestar y la seguridad

nacional.

1.11.4 TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS

Las Tablas de Números Aleatorios contienen los dígitos 0, 1, 2,..., 7, 8, 9. Tales

dígitos se pueden leer individualmente o en grupos y en cualquier orden, en columnas

hacia abajo, columnas hacia arriba, en fila, diagonalmente, etc., y es posible

considerarlos como aleatorios.

Las tablas se caracterizan por dos cosas que las hacen particularmente útiles para

el muestreo al azar. Una característica es que los dígitos están ordenados de tal manera

que la probabilidad de que aparezca cualquiera en un punto dado de una secuencia es

igual a la probabilidad de que ocurra cualquier otro. La otra es que las combinaciones

de dígitos tienen la misma probabilidad de ocurrir que las otras combinaciones de un

http://www.monografias.com/trabajos15/comunicacion-politica/comunicacion-politica.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/veref/veref.shtml

http://www.monografias.com/Computacion/Programacion/

http://www.monografias.com/trabajos15/metodos-ensenanza/metodos-ensenanza.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/conge/conge.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/cana-azucar/cana-azucar.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/veref/veref.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/elmaiz/elmaiz.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/estrategia-produccion/estrategia-produccion.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/seguinfo/seguinfo.shtml



número igual de dígitos. Estas dos condiciones satisfacen los requisitos necesarios para

el muestreo aleatorio, establecidos anteriormente

Existen métodos más eficaces para generar números aleatorios, en muchos de

los cuales se utilizan calculadoras u otra clase de aparatos electrónicos. Las tablas

elaboradas mediante estos métodos son verificadas completamente para asegurarse de

que en realidad sean aleatorias. Sin embargo, el interés no radica en elaborar estas

tablas, sino utilizarlas.

Para utilizar una Tabla de Números Aleatorios:

Hacer una lista de los elementos de la población.

Numerar consecutivamente los elementos de la lista, empezando con el cero

Tomar los números de una Tabla de Números Aleatorios, de manera que la cantidad

de dígitos de cada uno sea igual a la del último elemento numerado de su lista. De

ese modo, si el último número fue 18, 56 ó 72, se deberá tomar un número de dos

dígitos.

Omitir cualquier número que no corresponda con los números de la lista o que

repita cifras seleccionadas anteriormente de la tabla. Continuar hasta obtener el

número de observaciones deseado.

Utilizar dichos números aleatorios para identificar los elementos de la lista que se

habrán de incluir en la muestra.

Donald B. Owen, Handbook of Statistical Tables, Reading

Mass:Addisson-Wesley, 1.962

3690 2492 7171 7720 6509 7549 2330 5733 4730

0813 6790 6858 1489 2669 3743 1901 4971 8280

6477 5289 4092 4223 6454 7632 7577 2816 9002

0772 2160 7236 0812 4195 5589 0830 8261 9232

5692 9870 3583 8997 1533 6466 8830 7271 3809

2080 3828 7880 0586 8482 7811 6807 3309 2729

1039 3382 7600 1077 4455 8806 1822 1669 7501

7227 0104 4141 1521 9104 5563 1392 8238 4882

8506 6348 4612 8252 1062 1757 0964 2983 2244

5086 0303 7423 3298 3979 2831 2257 1508 7642

0092 1629 0377 3590 2209 4839 6332 1490 3092

0935 5565 2315 8030 7651 5189 0075 9353 1921

http://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtml



2605 3973 8204 4143 2677 0034 8601 3340 8383

7277 9889 0390 5579 4620 5650 0210 2082 4664

5484 3900 3485 0741 9069 5920 4326 7704 6525

6905 7127 5933 1137 7583 6450 5658 7678 3444

8387 5323 3753 1859 6043 0294 5110 6340 9137

4094 4957 0163 9717 4118 4276 9465 8820 4127

4951 3781 5101 1815 7068 6379 7252 1086 8919

9047 0199 5068 7447 1664 9278 1708 3625 2864

7274 9512 0074 6677 8676 0222 3335 1976 1645

9192 4011 0255 5458 6942 8043 6201 1587 0972

0554 1690 6333 1931 9433 2661 8690 2313 6999

9231 5627 1815 7171 8036 1832 2031 6298 6073

3995 9677 7765 3194 3222 4191 2734 4469 8617

2402 6250 9362 7373 4757 1716 1942 0417 5921

5295 7385 5474 2123 7035 9983 5192 1840 6176

5177 1191 2106 3351 5057 0967 4538 1246 3374

7315 3365 7203 1231 0546 6612 1038 1425 2709

5775 7517 8974 3961 2183 5295 3096 8536 9442

5500 2276 6307 2346 1285 7000 5306 0414 3383

3251 8902 8843 2112 8567 8131 8116 5270 5994

4675 5 2192 0874 2897 0262 5092 5541 4014

1.11.5 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA

)1()1(

)1(22

2

PPZEN

PPNZn

PARA LA PROPORCIÓN

22

2

)1( ZEN

NZn

PARA LA MEDIA



a. Métodos de muestreo probabilísticos:

a.1 Muestreo aleatorio simple: Es la forma más común de obtener una muestra en

la selección al azar, es decir, cada uno de los individuos de una población tiene la

misma posibilidad de ser elegido. Si no se cumple este requisito, se dice que la muestra

es viciada. Para tener la seguridad de que la muestra aleatoria no es viciada, debe

emplearse para su constitución una tabla de números aleatorios.

Ejemplo

Se tiene una población de 200 personas, determinar si se trabaja con toda la

población o muestra; y si se trabaja con una muestra determinar el tamaño y

escoger la muestra.

a.2 Muestreo aleatorio sistemático: Es una técnica de muestreo que requiere de

una selección aleatoria inicial de observaciones seguida de otra selección de

observaciones obtenida usando algún sistema o regla.

Ejemplo

Se tiene una población de 400 personas, determinar si se trabaja con toda la

población o muestra; y si se trabaja con una muestra determinar el tamaño

escoger la muestra por muestro aleatorio sistemático.

a.3 Muestreo aleatorio estratificado: Una muestra es estratificada cuando los

elementos de la muestra son proporcionales a su presencia en la población. La

presencia de un elemento en un estrato excluye su presencia en otro. Para este tipo de

muestreo, se divide a la población en varios grupos o estratos con el fin de dar

representatividad a los distintos factores que integran el universo de estudio. Para la

selección de los elementos o unidades representantes, se utiliza el método de muestreo

aleatorio.

En síntesis, requiere de separar a la población según grupos llamados estratos,

y de elegir después una muestra aleatoria simple en cada estrato. La información de las

muestras aleatorias simples de cada estrato constituiría entonces una muestra global.

Ejemplo

Para realizar un control de calidad para determinar en qué estado viene la caña se

realiza un muestreo aleatorio simple, puesto que la caña puede provenir de tres tipos

de proveedores.

Proveedor tipo A (estrato 1) la caña proviene de lotes de la misma finca.

Proveedor tipo B (estrato 2) la caña proviene de fincas de particulares en donde el

ingenio ha prestado servicios

Proveedor tipo C (estrato 3) la caña proviene de fincas de particulares en donde el

ingenio no ha tenido ningún servicio.



DATOS:

ESTRATO Ni

1 560

2 190

3 250

a.4 Muestreo aleatorio por área o conglomerado: Requiere de elegir una muestra

aleatoria simple de unidades heterogéneas entre sí de la población llamadas

conglomerados. Cada elemento de la población pertenece exactamente a un

conglomerado, y los elementos dentro de cada conglomerado son usualmente

heterogéneos o disímiles. Ejemplo:

En el muestreo por conglomerados, éstos se forman para representar, tan

fielmente como sea posible, a toda la población; entonces se usa una muestra aleatoria

simple de conglomerados para estudiarla. Los estudios de instituciones sociales como

iglesias, hospitales, escuelas y prisiones se realizan, generalmente, con base en el

muestreo por conglomerados.

Ejemplo

Para un estudio que se realiza en un AA.HH el cual está formado por 20 manzanas

escoger una muestra mediante muestreo aleatorio simple.

NÚMERO

MANZANA

NÚMERO

DE LOTE

NÚMERO

MANZANA

NÚMERO

DE LOTE

NÚMERO

MANZANA

NÚMERO

DE LOTE

NÚMERO

MANZANA

NÚMERO

DE LOTE

1 20 6 10 11 25 16 20

2 25 7 25 12 20 17 20

3 30 8 20 13 30 18 25

4 10 9 30 14 10 19 30

5 15 10 40 15 15 20 10

b. Métodos de muestreo no probabilísticos:

b.1 Muestreo accidental.- Es un muestreo no probabilística donde el investigador

elige a aquellos individuos que están a mano. Por ejemplo, un periodista que va por la

calle preguntando a las personas que salen a su paso, sin atender ningún criterio

especial de elección. No es probabilística porque aquellas personas que no pasan por

ese sitio no tienen la posibilidad de entrar en la muestra.



b.2 Muestreo por cuotas.- Se aplica en la última fase del muestreo, y consiste en

facilitar al entrevistador el perfil de las personas que tiene que entrevistar dejando su

criterio, la elección de las mismas, siempre y cuando cumplan con el perfil.

b.3 Muestreo intencionado.- Se basa en una buena estrategia y el buen juicio del

investigador. Se puede elegir las unidades del muestreo. Un caso frecuente es tomar

elementos que se juzgan típicos o representativos de la población, y suponer que los

errores en la selección se compensarán unos con otros. El problema que plantea es que

sin una comprobación de otro tipo, no es posible saber si los casos típicos lo son en

realidad, y tampoco se conoce como afecta a esos casos típicos los posibles cambios

que se producen.




1. Una cantidad, con frecuencia, de interés para una clínica es el porcentaje de

pacientes retrasados para su vacunación. Algunas clínicas examinan cada registro

para determinar el porcentaje; Sin embargo, en una clínica grande, la realización

de un censo de los registros puede llevar mucho tiempo. Cullen (1994) realizó una

muestra de los 580 niños a los que da servicio una clínica familiar, en Auckland

para estimar la proporción de interés. Qué tamaño de muestra sería necesario con

una muestra aleatoria simple (sin reemplazo) para estimar la proporción con el

95% de confianza y un margen de error de 0.10.

2. En un estudio, se desea determinar en qué proporción los niños de una región

toman incaparina en el desayuno. Si se sabe que existen 1,500 niños y deseamos

tener una precisión del 10 por ciento, con un nivel de significancia del 5%. ¿De

qué tamaño debe de ser la muestra?

3. En un lote de frascos para medicina, con una población de 8000 unidades, se

desea estimar la media de la capacidad en centímetros cúbicos de los mismos. A

través de un pre muestreo de tamaño 35 se ha estimado que la desviación

estándar es de 2 centímetros cúbicos. Si queremos tener una precisión 0.25 cms3,

y un nivel de significancia del 5%. ¿De qué tamaño debe de ser la muestra?

4. Existe tres colegios de los cuales se quiere extraer una muestra, los colegio

estas categorizado según estrato socio económico; del colegia A tiene 520

alumnos, el colegio B tiene 450 alumnos y el colegio C tiene 950 alumnos;

determinar cuántos alumnos de cada colegio se tiene que escoger

5. La captura de eglefino de un barco de arrastre se desembarca en Aberdeen

dividida en cuatro categorías de tamaños, que serán los cuatro estratos (datos

tomados de Pope, 1956). Se hicieron muestras de cada categoría, y los resultados

se pueden resumir del modo siguiente:

Categoría Ni

Pequeño 2 432

Pequeño-Mediano 1 656

Mediano 2 268

Grande 665

TOTAL 7 021



6. El presidente de una fraternidad en el campus universitario desea tomar una

muestra de las opiniones de 112 miembros respecto a las actividades urgentes para

el otoño.

a. ¿cuál es la población?

_________________________________________________________

b. ¿Cuál es la mejor forma en qué debe tomarse la muestra?

_________________________________________________________

7. Se desea realizar una evaluación de los principales problemas detectados en el

campus universitario:

i. congestionamiento en los ascensores

ii. pérdida de objetos personales

iii. rendimiento de los alumnos.

iv. Vocación profesional.

Identifique la población y el tipo de muestreo que aplicaría. ¿Por qué? Responda en

cada caso.

i) Población: ___________________________________________________

Tipo de muestreo: _____________________________________________

Porque: ____________________________________________________

____________________________________________________________

ii) Población: ___________________________________________________

Tipo de muestreo: _____________________________________________

Porque: ____________________________________________________

___________________________________________________________

iii) Población: ___________________________________________________

Tipo de muestreo: _____________________________________________

Porque: ____________________________________________________

___________________________________________________________

iv) Población: ___________________________________________________

Tipo de muestreo: _____________________________________________

Porque: ____________________________________________________

___________________________________________________________

8. El censo del 2007 se muestra que en Jauja el 11.5% de los residentes tienen más de

60 años. Para verificar un sistema de muestreo por teléfono se llaman a 200

residencias elegidas al azar. De los residentes contactados, 10.2% tenían más de 60

años.

a) ¿11.5% es un parámetro o una estadística?

b) ¿10.2% es un parámetro o una estadística?



9. En el año 2006 la Universidad Cesar Vallejo tiene 5 453 estudiantes, en la tabla se

muestra un detalle de la composición. Necesitamos una muestra de tamaño n=20

de la población de estudiantes.

Mujeres Hombres Total

Pregrado 2461 2848 5309

Postgrado 67 77 144

Total 2528 2925 5453

Elija muestras de tamaño 20 para 2 tipos de muestreo:

a) Muestreo aleatorio simple

b) Muestreo estratificado

10. Supongamos que necesitamos seleccionar a 4 integrantes del programa de

televisión "Gana con la Estadística" de Abril del 2008. Calcule muestras de tamaño

n=4 usando los distintos diseños muestrales (muestreo aleatorio simple y

muestreo estratificado). En cada alternativa, use la tabla de números aleatorios,

empiece en la fila 3 columna 3.

Mujeres Hombres

Giovanna Santos Carolina Soto Jorge Molina

Gianina Ramos Maura Rivera Nelson Pachas

Bárbara Ascue María Sobarzo Leandro Martínez

Pam Lozano Rosa Díaz Joel Mauri

Jimena Pereira Darío Juárez

Lía Gutiérrez Dany Bellido

11. Suponga que nuestra población de interés es el comité de estudiantes de la UCV

para efectos de colaboración con la universidad en agosto del 2008. Juan Pérez,

Miguel Cornejo, Juana Olivares, Lucia Galán, Edwin Manrique, Angélica Mariño,

Carlos Enciso, Julia Salinas, Manuela Enrico, Sonia Oquendo, Ángel Bravo, Luis

Alba, Abel Vivar, Carla Espinosa, Marcelo Oyarte, Elba Aguilar, Ernesto Aguirre,

Francisco Alama.

a) Si nos interesa estudiar la proporción de mujeres en esta población. Elija una

muestra aleatoria simple de tamaño n=4 de esta población.

b) Indique cuál es el parámetro y el estadístico en (a)

c) Elija una muestra estratificada por sexo de tamaño n=4 de esta población



12. La Facultad de Administración de la Universidad Cesar Vallejo, quiere saber acerca

del ingreso promedio de sus estudiantes y para esto envía cartas a todos los

Estudiantes desde su ingreso a la Universidad en el año 2006. En la Encuesta había

sólo una pregunta: ¿Cuál es el ingreso promedio en su hogar? Aproximadamente

30% de los alumnos respondieron.

Comente los posibles sesgos acerca del salario promedio de los estudiantes de

Administración. ¿Cómo debe ser el ingreso promedio entre los que respondieron y

los que no respondieron?

13. El titular de un diario dice: “Encuesta señala que aumentó el porcentaje de gente

que chatea en el trabajo”. El artículo dio la siguiente información: “Se encuestaron

al azar 227 personas que llamaron a la línea abierta 800-CHAT durante 6 semanas

entre Febrero y Marzo. 92% de los que llamaron dijeron haber chateado alguna

vez mientras trabajaban”.

a) ¿Qué clase de muestreo se usó?

b) ¿Cuál piensa usted que fue la población de la cual fue elegida esta muestra?

c) ¿Piensa usted que el titular es correcto?

14. Una organización estudiantil quiere saber si a los estudiantes le interesa cambiar el

horario de atención de la biblioteca. Selecciona al azar 100 estudiantes de primer

año, 100 de segundo, y 100 estudiantes que egresarán este año. ¿Qué tipo de

diseño muestral es éste?

15. Un profesor quiere investigar sobre el tiempo diario de estudio de 20 estudiantes

de una clase.

Nombre Número de

horas Nombre

Número de

horas

Juan 2,3 María 2,9

Alicia 1,9 Fernanda 0,7

Pedro 2,0 Julio 0,8

Marcos 1,5 Rosa 1,0

Alberto 1,7 Fabián 1,3

Jorge 2,2 Ana 2,8

José 1,8 Laura 0,8

Carlos 1,9 Enrique 0,9

Miguel 1,9 Carmen 1,1

Victoria 1,6 Marcelo 1,2



En cada alternativa, use la tabla de números aleatorios, empiece en la fila 1 columna

1 y continúe seleccionando hacia la derecha.

a) Elija una muestra aleatoria simple de tamaño n=4 de esta población.

b) Calcule el Parámetro y el Estadístico en (a).

c) Elija una muestra estratificada de tamaño n=4 de esta población

d) Calcule el estadístico en (c)

16. Una compañía de marketing saca una muestra de la guía de teléfonos tomando

10 personas cuyos apellidos comiencen con letra A, 10 personas cuyos apellidos

comiencen con la letra B, y así sucesivamente con cada letra del alfabeto, para una

muestra total de 260 personas.

a) ¿Qué clase de diseño muestral se usó aquí?

b) ¿Tienen todos los que están en la guía de teléfonos igual probabilidad de ser

elegidos en la muestra?

c) No todos los residentes de la ciudad tiene teléfono, ¿qué clase de sesgo va a

provocar este hecho?

d) Se sabe que la distribución de la primera letra del apellido varía por etnicidad

¿Qué clase de sesgo va a provocar este hecho?



ESTIMACIÓN DE PARÁMETRO

1. INTRODUCCIÓN

Al realizar una investigación estadística a

menudo se sabe o se supone que la población

definida por una variable aleatoria x, de la cual se

selecciona una muestra aleatoria, tiene una forma

funcional especifica cuyo parámetro se intenta

determinar.

Los método de inferencia estadística,

básicamente, consisten en seleccionar una muestra

aleatoria de la población en estudio y con la información que se obtenga de esta

llegar a estimar el o los valores del parámetro desconocido.

El método de estimación de parámetro puede ser puntual o por intervalos, en el

primer caso, la estimación del parámetro es un numero. Mientras que en el

segundo caso la estimaron del parámetro es un intervalo de los posible valores

que puede tener.

2. ESTIMACIÓN PUNTUAL

La estimación puntual es el valor numérico de un estimador, un buen

estimador es aquel que se acerca al verdadero valor del parámetro.

Ejemplo: De una población de 120 sueldos de Profesores de la Universidad X, se toma

una muestra de 40 sueldos, y se calcula el sueldo promedio. Supongamos que el

sueldo promedio es: S/. 690.00 soles, y al momento de concluir el trabajo podemos

decir, que el sueldo promedio de los profesores de la universidad X, tienen un sueldo

promedio de S/. 690.00. Quiere decir que el promedio poblacional µ, se ha estimado

puntualmente por x = S/. 690.00 soles.

3. INTERVALO DE CONFIANZA

La estimación por intervalo es la estimación del parámetro Ф dentro de un

intervalo de extremo cerrado [a, b], donde los números a y b se obtiene a partir

de la distribución de la estadística que estima puntualmente el parámetro y a

partir de los valores de la muestra.

Sea X1, X2…..Xn una muestra aleatoria de tamaño n escogida de una población f(x,

Ф), cuyo valores experimentales respectivos son x1, x2…..xn , sea además, la

expresión ),...,( 21

__

nXXXH es una estadística para estimar el parámetro Ф cuya

distribución de probabilidad sea conocida y sea __

el valor del parámetro, dado el



número 1 , y si a partir de la distribución de probabilidad del estimador se

puede encontrar el estimador A y B tales que:

1BAP

se dice entonces que el intervalo BA, es el intervalo del estimador de parámetro

Ф con el grado de confianza de 1 *100%, o que tal intervalo contiene al

parámetro Ф con probabilidad 1

Un nivel de confianza del 95%, implica que 95% de todas las muestras incluye al

parámetro y solo un 5% de las muestras producirá un intervalo erróneo. Cuanto

mayor es el nivel de confianza se estima que el valor del parámetro este dentro del

intervalo.

Ejemplo. El sueldo promedio de los profesores en la Universidad X, se encuentran

entre S/. 650.00 y S./ 720.00 soles

4. INTERVALO PARA LA MEDIA POBLACIONAL

Sabemos que:

XZ

Pero también,

n

σ

µ-XΖ

Como no conocemos el parámetro µ y lo queremos estimar por medio de la

media de la muestra, sólo se despejará µ de la formula anterior, quedando lo

siguiente:

n

σΖXµ /2α-1

De esta fórmula se puede observar que tanto el tamaño de la muestra como el

valor de Z se conocerán. Z se puede obtener de la tabla de la distribución normal a

partir del nivel de confianza establecido. Pero en ocasiones la muestra es menor de 30

o se desconoce por lo que en esos casos lo correcto es utilizar otra distribución

llamada "t" de Student si la población de donde provienen los datos es normal.

n

stXµ /2)α-1;1-(n

Donde S la desviación estándar de la muestra y t es la distribución de la t de

Student con n – 1 grados de libertad y nivel de confianza igual a /2-1 .

Para el caso de tamaños de muestra grande se puede utilizar una estimación puntual

de la desviación estándar, es decir igualar la desviación estándar de la muestra a la de

la población (s= ).



El error de estimación de µ será la diferencia absoluta entre x y µ, es decir

despejando:

Error de estimación de µ=

n

σΖX-µ /2α-1

Ejemplo:

Se encuentra que en una dieta la concentración promedio de vitaminas a partir de una

muestra de 36 mediciones en sitios diferentes del hospital es de 2.6 gramos por

mililitro. Suponga que la desviación estándar de la concentración de vitaminas es 0.3.

a) Señale la estimación puntual para µ.

b) Encuentre el intervalo de confianza al 95% para la concentración

media de vitaminas en las dietas de dicho hospital.

c) Halle el error de estimación de µ para la pregunta b.

d) Encuentre el intervalo de confianza al 99% para la concentración media

de vitaminas en las dietas de dicho hospital.

e) Halle el error de estimación de µ para la pregunta d.

Solución:

a) La estimación puntual para µ es:

X µ, es decir µ= 2.6 gr/ml

b) IC para la media poblacional se calcula:

n

σΖXµ /2α-1

Reemplazando valores:

c) El error de estimación de µ para la pregunta b.

d) Calculando el Intervalo de confianza para la media µ a un nivel de confianza

del 99%

e) Calcule el error de estimación de µ

Ejemplo:

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente

distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra

de 32 focos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de

confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta

empresa así también halle el error de estimación.

Solución:

n

σΖXµ /2α-1



Ejemplo

Una muestra aleatoria de 100 hogares de una ciudad, revela que el promedio de los

ingresos mensuales es de 500 dólares. Obtenga un intervalo de confianza del 95%

para la media de la población de los ingresos de todos los hogares de esa ciudad.

Asuma que la desviación estándar poblacional es 100.

Ejemplo

Para confirmar el peso neto promedio de los frascos de conserva de palmito de la

empresa agroindustrial “LA PALMA “ de Iquitos, cuya especificación es de 250

gramos, un estudiante de estadística aplicada selecciono una muestra de tamaño 10

de tales frascos y observo los siguiente peso netos en gramos: 250 251 249

248 256 252 248 256 256 254

Construya un intervalo de confianza del 96%

Ejemplo

Una muestra de 60 niñas de diez años de edad proporciono un peso medio

de 40 Kg. y una desviación estándar de 4 Kg., respectivamente. Suponiendo

que existe normalidad, encuentre los intervalos de confianza del 95% para la

media poblacional

5. INTERVALO PARA LA PROPORCIÓN: P

Una proporción es una razón de una parte con respecto a un todo y que

generalmente pertenecen a un experimento aleatorio de tipo binomial, es decir con

solo dos posibles respuestas.

Sabemos que:

P p

pq

n

Como no conocemos el parámetro p y lo queremos estimar por medio de la

proporción de la muestra, sólo se despejará P de la formula anterior, quedando lo

siguiente:

1 / 2

pqP p

n

Error de estimación de P

P – p= 1 / 2

pq

n

Ejemplo

Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas

amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de

discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra

aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más



pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los

reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas.

Solución:

n=500

p = 15/500 = 0.03

z(0.90) = 1.645

Se sabe con un nivel de confianza del 90% que la proporción de discos defectuosos

que no pasan la prueba en esa población está entre:

En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron

consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de

confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que

en esa ciudad tienen consecuencias fatales.

Solución:

P= 60/300 = 0.20

Z(0.90) = 1.645

Ejemplo

En instituto de opinión publica utilizo una muestra aleatoria de 600 lectores que

acaban de emitir su voto, para realizar un proyección estadística de los resultados.

Si el sondeo indica que 240 electores votaron a favor del candidato A, obtenga el

intervalo de estimación del porcentaje de electores a favor A en toda la población

con el nivel de confianza del 95%.

6. INTERVALO PARA LA VARIANZA

LI =

x n

sn2

1;2

1

2)1(

LS =

x n

sn2

1;2

2)1(

Ejemplo

Para estimar la variabilidad de los contenidos de un producto que una empresa

comercializa en bolsa de 150 gramos. Un analista de métodos cuantitativos

escogió una muestra aleatoria de 10 unidades del producto resultando los

siguiente pesos en gramos:

150,5 150.7 148.1 150.4 149.3 151.2 150.9 149.2 150.3 149.3

Obtenga el intervalo de confianza del 95% para la varianza de los contenidos de

todas las unidades del producto en mención. Supóngase que la población de estos

contenidos se distribuye según el modelo de la probabilidad normal.




1) El tiempo en minuto que utiliza los clientes en sus distintas operaciones en

un banco local es una variable aleatoria cuya distribución se supone normal

con una desviación estándar de 3 minuto. Se han registrado los tiempos de

las operaciones de 9 clientes del banco resultando una media igual a 9

minuto, ¿Cuánto es el nivel de confianza si la media poblacional se estima de

7 a 11?

2) Se asigna una tarea estadística a un grupo de estudiantes para hacer un

estudio del contenido promedio de las latas de frutas en conserva de la

agroindustria que afirma que los contenidos tiene distribución normal con

media de 19 onzas y una desviación estándar de 2 onzas. ¿Qué tamaño

mínimo de muestra debería escoger si quiere que la estimación tenga un

error de 0.98 onzas con un nivel de confianza del 95%?

3) El ingreso mensual de cada una de las 500 microempresario de servicio

constituye una población asimétrica cuya media se quiere determinar. Si una

muestra al azar de 50 microempresario se obtuvo un ingreso mensual

promedio de 1000 dólares con una desviación estándar de 80 dólares,

obtenga un intervalo de confianza del 95%.

4) Para estimar la vida útil de un producto se escogió una muestra aleatoria de

9 unidades del producto resultando las siguientes vidas:

775 780 800 795 790 785 795 780 810

Estime la media de la población utilizando un intervalo de confianza del 95%

6) Un auditor escoge una muestra aleatoria de 10 cuentas por cobrar de una

compañía las cuales fueron: 730 759 725 740 754 745 75.

756 780 810 Estime la media de la población utilizando un intervalo de

confianza del 95%

7) En un estudio socioeconómico se tomo una muestra aleatoria de 100

comerciantes informales y se encontró entre otros datos que solo el 30%

de ellos tienen ingresos superiores a 800 dólares por mes, obtenga el

intervalo de confianza de la proporción de todos los comerciantes con

ingresos superiores a 800 dólares al 95% de nivel de confianza.

8) Un productor afirma que es el 5% el porcentaje de unidades defectuosa

que resulta del total de su producción. Si una muestra aleatoria de 100

unidades de la producción se encontraron 10 unidades defectuosas. Es

aceptable la afirmación del productor con un 95% de nivel de confianza.



9) La oficina de planificación familiar de cierta región del país quiere estimar el

porcentaje de familia con más de 4 hijos en las zonas rurales. Si se escogió

una muestra de 385 familias y en ellas se encontró que 320 tiene más de 4

hijos, estime el porcentaje de familias con más de 4 hijos en toda la región

aplicando un intervalo de confianza del 98%.

10) Una empresa cambiara su proceso actual de producción, cuya desviación

estándar de los tiempos empleados para procesar cada pieza es de 9

segundo, si solo hay prueba que el nuevo proceso es más estable en cuanto

a variabilidad. Si una muestra aleatoria de los tiempos empleados para

producir 13 piezas con el nuevo proceso ha dado una desviación estándar de

6 segundos, con un nivel de confianza del 95% ¿debería la empresa

cambiarse al nuevo proceso de producción?



UNIDAD DIDÁCTICA 3: ESTADÍSTICA INFERENCIAL APLICADA

Capacidades:

Aplica los conceptos básicos de la estadística orientados a la

Investigación.

Aplica el modelo de regresión lineal y técnicas de muestreo en su

trabajo de investigación.

Determina si dos variables son independientes a través de la prueba de

Chi Cuadrado y realiza el análisis de varianza.

PRUEBA DE HIPÓTESIS

1. INTRODUCCIÓN

El objetivo de este tema es exponer los

métodos estadístico básicos que se aplican para

tomar decisiones sobre la conjetura que se hace

acerca del valor numérico del parámetro de una

población en estudio y que es sometida a

comprobación experimental con el propósito de

determinar si los resultados de una muestra

aleatoria extraída de esa población contradicen o

no en forma significativa tal afirmación.

2. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA

Se denomina hipótesis estadística a cualquier afirmación o conjetura que

se hace acerca de la distribución de una o más poblaciones.

La afirmación o conjetura se puede referirse bien a la forma o tipo de

distribución de probabilidad de la población o bien referirse al valor o valores

de uno o más parámetro de la distribución conocida su forma.

La hipótesis estadística consiste en suponer que los parámetros, que define

a la población, toma determinado valores numéricos.

3. HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA

Se denomina hipótesis nula y se representa por H0 a la hipótesis que es

aceptada provisionalmente como verdadera y cuya validez será sometida a

comprobación experimental. Toda hipótesis nula va acompañada de una



hipótesis alterna que es lo contrario de la hipótesis nula. La hipótesis alterna se

representa por H1.

4. PRUEBA DE UNA HIPÓTESIS ESTADÍSTICA

La prueba de una hipótesis estadística es un proceso que nos conduce a

tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula, en contraposición a

la alterna y en base a los resultados de una muestra aleatoria seleccionada de

la población en estudio.

5. TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS

El tipo de prueba depende básicamente de la hipótesis alterna, se puede

encontrar pruebas de una cola donde la hipótesis alterna es unilateral y pruebas de

dos colas donde la alterna es bilateral.

6. REGIÓN RECHAZO

Es la región que contiene los valores para los cuales se rechaza la hipótesis

nula.

7. REGIÓN DE ACEPTACIÓN

Es la región que contiene los valores para los cuales no se rechaza la hipótesis

nula.

8. DECISIÓN

Si el valor del estadígrafo cae dentro de la región de rechazo entonces

se rechaza la hipótesis nula.

9. PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS

El procedimiento que se recomienda utilizar para pruebas de hipótesis con

parámetro se resume en los siguientes pasos:

Paso 1: Formular la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1 apropiada

Prueba de una Cola Prueba de dos Colas

H0: = 0 H0: = 0 H0: = 0

H1: 0

H1: > 0

H1: < 0



Paso 2: Seleccionar = Nivel de significación

Paso 3: Establecer el estadígrafo apropiado a usar en la prueba y hallar D = valor

del estadígrafo

Paso 4: Establecer la región crítica y de aceptación para el estadígrafo. Recuerde que

la región crítica debe ser construida en base al valor significante fijada en el paso 2


R.C = < - , - D / 2 > U < D

/ 2 , >

R.C = < D ,

>

R.C = < - , -

D >

Paso 5: Si D pertenece a la región crítica, entonces se rechaza la hipótesis nula.

10. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA


Fijar , donde Fijar , donde

1

Fijar , donde 1

Ejemplo 1

Un proceso automático llena latas de palmito. Si el peso medio de las latas llenas es

400 gramos se afirma que el proceso está controlado, en caso contrario, el proceso no

está controlado. En el proceso de enlatado se ha determinado que los pesos de las

latas llenas tienen una desviación estándar de 20 gramos. Si una muestra aleatoria de

100 latas llenas de palmito ha dado el peso medio de 395 gramos, ¿se podría concluir

que el proceso está fuera de control al nivel de significación 5%?



Solución:

Sea : peso de las latas llenas de palmito

1. Hipótesis:

(El proceso está controlado)

(El proceso está fuera de control)

2. Nivel del significación:

3. Estadígrafo:

4. Región Crítica: Primero se encuentra el valor crítico que es:

y luego la región crítica es:

5. Decisión: El valor -2.5 pertenece a la región crítica, por lo que se debe

rechazar Finalmente, con un riesgo de 5% se concluye que el proceso

de enlatado de palmito no está controlado.

Ejemplo 2

Al estudiar si conviene o no una sucursal en la ciudad de Ucayali, la gerencia de una

tienda comercial de Lima, establece el siguiente criterio para tomar una decisión: abrir

la sucursal sólo si el ingreso promedio familiar mensual en dicha ciudad es no menos

de $500 y no abrirla en caso contrario. Si una muestra aleatoria de 100 ingresos

familiares de esa ciudad ha dado una media de $480. ¿Cuál es la decisión a tomar al

nivel de significación del 5%?

Solución:

Sea : ingresos familiares mensuales de los pobladores de Tarapoto.

1. Hipótesis:

(Se abre la sucursal)

(No se abre la sucursal)




3. Estadígrafo:



.


rechazar Finalmente, con un riesgo de 5% se concluye no debe abrirse la

sucursal en Ucayali.

Ejemplo 3

Ante un reclamo sobre el tiempo de realización de una tarea, los empleados de una

compañía sostienen que en promedio ellos completan la tarea en a lo más 13 minutos.

Si usted es el gerente de la compañía, ¿qué conclusión obtiene si para una muestra de

400 tareas se obtiene un promedio de tiempo de finalización de 14 minutos? Se sabe,

por información de trabajos similares, que los tiempos de ejecución de la tarea tiene

una distribución normal con desviación estándar de 10 minutos. Usar el nivel de

significancia .

Solución:

Sea : tiempo de realización de una tarea

1. Hipótesis:

(El tiempo de realización de la tarea no amerita un reclamo de la

compañía)

(El tiempo de realización de la tarea amerita un reclamo de la

compañía)




3. Estadígrafo:


y luego la región crítica es: .

5. Decisión: El valor 2 pertenece a la región crítica, por lo que se debe rechazar

Finalmente, con un riesgo de 5% se concluye que el reclamo realizado

por la compañía sobre el tiempo de realización de una tarea es justificado.

11. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA CON VARIANZA DESCONOCIDA


Fijar , donde Fijar , donde Fijar , donde <

si

si

Ejemplo 1

En una muestra de 19 adolescentes que sirvieron de sujetos en estudio

inmunológico, una variable de interés fue el diámetro de reacción de la piel a

una prueba con un antígeno. La media muestral y la desviación estándar fue

respectivamente, 21 y 11 mm de eritema. ¿Puede concluirse a partir de estos

datos que la media de la población es 30?



Solución:

Sea : diámetro de reacción de la piel a una prueba

1. Hipótesis:

(El diámetro de la reacción de la piel es igual a 30 mm)

(El diámetro de la reacción de la piel es diferente a 30 mm)


3. Estadígrafo:




rechazar Finalmente, con un riesgo de 5% se concluye que el diámetro

de reacción de la piel a una prueba es diferente a 30 mm.

Ejemplo 2

Una muestra de 35 estudiantes de primer año tuvo una calificación media de

77 en una prueba efectuada para medir su actitud . La desviación estándar

de la muestra fue de 10. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como

para indicar, a un nivel de significación 0.01 que la media de la población es

menor que 80?

Solución:

Sea : Puntaje obtenidos en la prueba de actitud

1. Hipótesis:

(Puntaje obtenido en la prueba igual a 80)

(Puntaje obtenido en la prueba menor a 80)




3. Estadígrafo



.

5. Decisión: El valor -1.77 no pertenece a la región crítica, por lo que no se debe

rechazar Finalmente, con un riesgo de 1% se concluye que el puntaje

obtenido no es menor a 80.

Ejemplo 3

Un distribuidor de cosméticos ha conseguido cobrar sus cuentas pendientes en un

plazo medio de 22 días, durante el año pasado. Este promedio se considera un

estándar para medir la eficiencia del departamento de crédito y cobranzas. Sin

embargo, durante el mes en curso, un chequeo aleatorio de 81 cuentas dio como

resultado un promedio de 24 días, con una desviación estándar de 9 días. ¿Es este

resultado significativamente diferente del estándar al nivel del 3%?

Solución:

Sea : Cobro de cuentas

1. Hipótesis:

(El cobro de cuentas se realiza en tiempo estándar)

(El cobro de cuentas no se realiza en tiempo estándar)


3. Estadígrafo:





5. Decisión: El valor 2 no pertenece a la región crítica, por lo que no se debe

rechazar Finalmente, con un riesgo de 3% se concluye de que no existe

razón parar creer que el cobro de cuentas se realiza en tiempo diferente al

estándar.

12. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN



1

Fijar , donde 1

Ejemplo 1

Un médico afirma que cierto medicamento que se prescribe para aliviar determinada

enfermedad es efectivo al 78%. Con el fin de evaluar esta afirmación se tomó una

muestra aleatoria de 400 pacientes y se encontró que 300 de ellos han experimentado

alivio. ¿Es ésta, suficiente evidencia para concluir que realmente el medicamento no es

efectivo al 78%? Utilice el nivel de significación del 1%.

Solución:

Sea : Efectividad del medicamento

1. Hipótesis:

(El medicamento es efectivo)

(El medicamento no es efectivo)


3. Estadígrafo:





5. Decisión: El valor -1.44 no pertenece a la región crítica, por lo que no se debe

rechazar Finalmente, con un riesgo de 1% se concluye que el

medicamento es efectivo y el médico tenía razón.

Ejemplo 2

Se afirma que cierto programa de mejoramiento genético en alpacas de raza Huacaya

es efectivo en más del 60%. Al parecer esta afirmación es exagerada por lo que decide

evaluar esta afirmación, tomando una muestra aleatoria de 200 alpacas resultando

que 173 alpacas mejoraron genéticamente. ¿Es ésta suficiente evidencia para concluir

que realmente el programa de mejoramiento genético es efectivo en más del 60% de

los casos al nivel de significancia del 5%?

Solución:

Sea : Efectividad de mejoramiento genético en alpacas

1. Hipótesis:


3. Estadígrafo:

4. Región Crítica:

Primero se encuentra el valor crítico que es:




5. Decisión: El valor 7.65 pertenece a la región crítica, por lo que se debe

rechazar Finalmente, con un riesgo de 5% se concluye que que el

programa de mejoramiento genético es efectivo en más del 60% de los casos.

Ejemplo 3

El consumidor de un cierto tipo de producto acusó al fabricante diciendo que más del

20% de las unidades que fabrica son defectuosas. Para confirmar su acusación, el

consumidor usó una muestra aleatoria de tamaño 50, donde el 27% de las unidades

eran defectuosas. ¿Qué conclusión puede extraer usted? Use

Solución:

1. Hipótesis:

(La afirmación del consumidor no es verdadera) (La afirmación del consumidor es verdadera)


3. Estadígrafo:


Primero se encuentra el valor crítico que es:


5. Decisión: El valor 1.24 no pertenece a la región crítica, por lo que no se debe

rechazar Finalmente, con un riesgo de 1% se concluye que la muestra no

da evidencia para apoyar al consumidor.



13. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA



1

Fijar , donde

Ejemplo 1

En un proceso de fabricación, se plantea la hipótesis que la desviación estándar de las

longitudes de cierto tipo de tornillo es 2 mm. En una muestra de de diez tornillo

elegidos al azar del proceso de producción se obtuvo una desviación estándar de 2.60

mm. Con estos datos ¿se justifica la suposición que la desviación estándar verdadera es

2 mm? Use y suponga que la distribución de las longitudes es normal.

Solución:

1. Hipótesis:

σ (La afirmación del consumidor no es verdadera)

σ (La afirmación del consumidor es verdadera)


3. Estadígrafo:


Primero se encuentra los valores críticos que son:

, y

.

Finalmente, la región crítica es:



5. Decisión: El valor 15.21 no pertenece a la región crítica, por lo que no se debe

rechazar Finalmente, se concluye que la varianza de la población es igual

a 4.

Ejemplo 2

Un biólogo cree que la varianza de vida de cierto organismo al ser expuesto a cierto

agente mortal, es a lo más 625 minutos al cuadrado. Una muestra aleatoria de 15

organismos dio una varianza de 1225. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente

como para concluir la investigación del biólogo acerca de que la variabilidad es

incorrecta?

Solución:

1. Hipótesis:

(La investigación del biólogo es correcta)

(La investigación del biólogo no es correcta)


3. Estadígrafo:

4. Región Crítica: El valor crítico es:

.

Entonces, la región crítica es:

5. Decisión: El valor 27.44 pertenece a la región crítica, por lo que se debe

rechazar Finalmente, los datos proporcionados por el biólogo acerca de

la variabilidad es incorrecta con un riesgo del 5%.



Ejemplo 3

Una de las maneras de mantener bajo control la calidad de un producto es controlar

su varianza. Una máquina para enlatar conservas de durazno está regulada para llenar

con una desviación estándar de 10 gr. y con una media de 500 gr ¿Diría usted que la

máquina ha sido adecuadamente regulada en relación a la varianza, si una muestra de

16 latas de conserva dio una varianza de 169 gr2? Use un y el peso de cada

lata de conserva presenta una distribución norma

Solución:

1. Hipótesis:


3. Estadígrafo:


Primero se encuentra los valores críticos que son:

, y

.

Finalmente, la región crítica es:

5. Decisión: El valor 25.35 no pertenece a la región crítica, por lo que no se

debe rechazar Finalmente, se concluye que la máquina está bajo control

en cuanto a la varianza.




1. La concentración media de dióxido de carbono en el aire en una cierta zona no es

habitualmente mayor que 355 p.p.m.v (partes por millón en volumen). Se

sospecha que esta concentración es mayor en la capa de aire más próxima a la

superficie. Para contrastar esta hipótesis se analiza el aire en 60 puntos elegidos

aleatoriamente a una misma altura cerca del suelo con una media muestral de 580

p.p.m.v. Suponiendo normalidad para las mediciones, ¿proporciona estos datos

suficiente evidencia estadística para afirmar que la concentración media es mayor

cerca del suelo? Use y

a. , se rechaza

b. , no se rechaza

c. , se rechaza

d. , no se rechaza

Respuesta: Clave a

2. El promedio de nicotina que tienen los cigarros de cierta marca es igual a 11mg. Se

sabe que la distribución de la cantidad de nicotina es normal con desviación

estándar igual a 0.5mg. El creador de un nuevo procedimiento de fabricación

asegura que su procedimiento disminuye el promedio de 11mg. Al nivel de

significación , ¿se puede decir que el nuevo procedimiento disminuye el

promedio de nicotina?

a. , no se rechaza

b. , se rechaza

c. , no se rechaza

d. , se rechaza

Respuesta: Clave c

3. Antes de la aplicación de un nuevo plan vital en la ciudad el promedio de

accidentes de tránsito por día era de 15.6. para determinar si el nuevo plan ha sido

efectivo en la reducción del promedio de accidentes, se observaron al azar 81 días

posteriores a la aplicación del nuevo plan obteniéndose un promedio de 12

accidentes por día con una desviación estándar igual a 3. Al nivel de significación

, ¿se podría decir que existe evidencia de que el promedio de accidentes

por día ha disminuido?

a. , no se rechaza

b. , se rechaza

c. , no se rechaza

d. , se rechaza

Respuesta: Clave d



4. En diez mediciones sobre la resistencia de un alambre se obtuvieron los siguientes

resultados: y . Suponiendo que la variable X que representa a

las mediciones sigue una distribución normal, probar la siguiente hipótesis:

al nivel de significación .

a. No se rechaza , No se puede indicar que la media no es igual o menor que

10

b. Se rechaza , Se puede indicar que la media no es igual o menor que 10

Respuesta: Clave a

5. Un gobernante afirma que en su país existe el 40% de analfabetos. Con el fin de

evaluar está afirmación se tomó una muestra de 500 personas resultando que 300

son analfabetos. Sobre la base de la información obtenida ¿qué se puede decir

acerca de la afirmación del gobernante? Usar

a. , no se rechaza

b. , se rechaza

c. , no se rechaza

d. , se rechaza

Respuesta: Clave b

6. Una empresa afirma que su producto tiene una participación del 50% del

mercado. Para tomar una decisión respecto de lo afirmado por dicha empresa se

encuesta a 48 personas consumidoras del producto y se encuentra que 18

consumen el producto fabricado por la empresa en cuestión. ¿Cuál es la decisión

que se toma con un nivel de significancia de 2.5%?

a. , no se rechaza

b. , se rechaza

c. , no se rechaza

d. , se rechaza

Respuesta: Clave c

7. El fabricante de una patente médica sostiene que la misma tiene un 90% de

efectividad en el alivio de una alergia, por un periodo de 8 horas. En una muestra

de 200 individuos que tenían la alergia se les suministro el medicamento y 160

personas mostraron alivio. Determinar si la aseveración del fabricante es cierta.

a. , no se rechaza

b. , se rechaza

c. , no se rechaza

d. , se rechaza

Respuesta: Clave d



8. La variabilidad de los pesos en un determinado proceso de producción está

controlado si la desviación estándar de los pesos de los contenidos de los

envases es 0.25 onzas pero, una muestra al azar de pesos de los contenidos de

20 envases ha dado una desviación estándar de 0.30 onzas. Al nivel de

significancia del 5% ¿proporciona estos datos indicio suficiente que indique un

aumento significativo de tal variabilidad?

a. no se rechaza

b. , se rechaza

c. , no se rechaza

d. , se rechaza

Respuesta: Clave a

9. Con el fin de poder diferenciar a las personas con una aptitud baja y personas con

una aptitud alta para desempeñar determinada actividad, es necesario que la

variabilidad de los resultados de una prueba que se aplica a los postulantes a dicha

actividad sea alta. La recomendación es que la variabilidad de la prueba, medida

por la varianza, sea . Cuando la prueba se aplico a 12 postulantes la

varianza de los resultados fue . ¿Se podría decir que la prueba satisface los

requerimientos? Usar y suponer normalidad.

a. , no se rechaza

b. , se rechaza

c. , no se rechaza

d. , se rechaza

Respuesta: Clave c

10. Un fabricante de máquinas de llenado de leche en bolsas, asegura que cada una de

éstas deposita en las bolsas un promedio de un litro con varianza igual a 0.01. En

una muestra de 10 bolsas se halló la varianza muestra . Al nivel de

significación , probar la hipótesis

, si

además se supone que la cantidad vertida tiene distribución normal.

a. No se rechaza , Se puede indicar que el llenado de bolsas tiene una varianza

menor o igual a 0.01

b. Se rechaza , Se puede indicar que el llenado de bolsas tiene una varianza

mayor a 0.01

Respuesta: Clave b



BIBLIOGRAFÍA


R.A. 2002. 224 p




Trillas. 2002. 180 p.









ANÁLISIS DE DATOS CATEGÓRICOS

1. INTRODUCCIÓN

Las pruebas de hipótesis de proporciones de

categoría de variables cualitativas en tablas de

contingencia son las siguientes:

Prueba de independencia de variable

cualitativa

Prueba de homogeneidad de muestra

Prueba de igualdad de más de dos proporciones de poblaciones

independiente.

Pruebe la bondad de ajuste entre las frecuencia observada en los intervalos y

las correspondiente frecuencia esperada de una distribución normal, con un nivel de

significación del 5%.

2. PRUEBA DE INDEPENDENCIA

La prueba de hipótesis de independencia implica dos variables categóricas y

lo que se prueba es la suposición de que las dos variables son estadísticamente

independiente.

Para cada frecuencia observada en una celda hay una frecuencia esperada

que se calcula a partir de la hipótesis especificada y que se supone que es verdadera.

H0: Las dos variables cualitativas son independientes.

3. PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LA PRUEBA DE INDEPENDENCIA

1. Formular las hipótesis

2. Seleccionar el nivel de significación

3. Calcular los valores esperados: Se realiza utilizando la fórmula

4. Calcular el valor del estadígrafo:

5. Región Crítica: Para el nivel de significancia dado, el valor crítico es :



6. Decisión: Si

, se debe rechazar

EJEMPLO 1

500 artículos se escogieron al azar de artículos producidos. Esto es independiente

según la calidad y según la línea de producción, como se indica en la tabla que sigue:

Calidad Línea de producción

1 2 3

c1 40 90 70

c2 50 60 60

c3 60 50 20

A nivel de significación del 5% ¿se puede inferir que la calidad del producto es

independiente de la línea de producción?

Solución

1. Hipótesis:

í ó

í ó


3. Calculo de valores esperados: Se realiza utilizando la fórmula

Calidad

Línea de producción

Total 1 2 3

c1

c2

c3

Total

4. Estadígrafo:

5. Región Crítica: Para el nivel de significancia el valor crítico es :

6. Decisión: Dado que , por lo tanto se debe rechazar



Finalmente, se concluye que la calidad del producto no es independiente de la línea

de producción.

EJEMPLO 2

En un proceso de producción se registró el número de objetos defectuosos

clasificándolos por turnos de producción y por máquina de producción. Verificar al

nivel de significación si el número de objetos defectuosos producidos por las

máquinas es independiente de los turnos de producción. Los datos se muestran en la

siguiente tabla:

Turnos

Máquinas

Total

A B C

Mañana 75 90 85 250

Tarde 70 85 70 225

Noche 95 85 75 255

Total 240 260 230 730

Solución

1. Hipótesis:


3. Calculo de valores esperados: Se realiza utilizando la fórmula



Turnos

Máquinas

Total

A B C

Mañana

Tarde

Noche

Total

4. Estadígrafo:

5. Región Crítica: Para el nivel de significancia el valor crítico es:

6. Decisión: Dado que , por lo tanto no se debe rechazar Finalmente,

se concluye que el número de objetos defectuosos producidos por las máquinas no

depende de los turnos.

4. PRUEBA DE HOMOGENEIDAD

Con la prueba de homogeneidad de muestra se busca determinar si dos o más

muestra independiente proviene de una misma población. Como en el método

anterior, para esta prueba los datos muestrales se registran en celda de tabla de

contingencia de orden k * c.

H0: La muestra aleatoria proviene de una misma población.



5. PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LA PRUEBA DE INDEPENDENCIA

1. Formular las hipótesis

2. Seleccionar el nivel de significación

3. Calcular los valores esperados: Se realiza utilizando la fórmula

4. Calcular el valor del estadígrafo:

5. Región Crítica: Para el nivel de significancia dado, el valor crítico es :

6. Decisión: Si

, se debe rechazar

EJEMPLO 3

Se efectuó un estudio en tres colegios de Lima para determinar las preferencias de los

alumnos por tres tipos de deportes. Una muestra de 500 alumnos ha hado los

resultados de la tabla que sigue. A partir de estos datos, determine si los tres son

homogéneos con respecto a sus preferencias en los tres deportes. Utilice .

Deportes

Colegios

Total

A B C

Futbol 80 70 100 250

90 90 60 30 180

20 30 20 20 70

Total 200 150 150 500

Solución

1. Hipótesis:


3. Cálculo de valores esperados: Se realiza utilizando la fórmula



Turnos

Máquinas Total

A B C

Mañana

Tarde

Noche

Total

4. Estadígrafo:


6. Decisión: Dado que , por lo tanto se debe rechazar Finalmente, se

concluye que para cuando menos un deporte, las preferencias en los tres colegios

no son las mismas.

EJEMPLO 4

Un investigador estudia el nivel de efectividad de tres remedios para aliviar cierta

enfermedad. Para esto escogió tres muestra aleatoria de tamaño 50, 70 y 60 de

paciente de cierta enfermedad suministrando a la primera el remedio uno, al

segundo el remedio dos y al tercero el remedio tres y midiendo la efectividad de

los remedios en tres niveles: sin alivio, cierto alivio y alivio total. Los resultados del

experimento se dan en la tabla que sigue:

Efectividad

Remedios para la alegría

1 2 3

sin alivio 10 20 15

cierto alivio

30

20

20

alivio total 10 30 25

¿Puede usted inferir con probabilidad igual a 0.01 que los tres remedios son

igualmente efectivos?



Solución

1. Hipótesis:


3. Cálculo de valores esperados: Se realiza utilizando la fórmula

Efectividad

Remedios para la alegría

Total

1 2 3

Sin alivio

0

Cierto alivio

4

Alivio total

Total

4. Estadígrafo:


6. Decisión: Dado que , por lo tanto se debe rechazar Finalmente, se concluye que para cuando menos un remedio, la efectividad

no es la misma.



PRACTICA DIRIGIDA

1. Una muestra de empleados de la universidad clasificada como docentes, no

docentes y de servicio, se les pidió que escogiera entre planes de seguro

familiar particular, en el cuadro que sigue se dan los resultados:

Clase

Plan de seguro

A B C

Docente 100 150 60

No

docente 40 70 20

Servicios 20 40 10

Se puede afirmar que el plan de seguro depende de la clase de trabajo.

a. , no se rechaza H0

b. , se rechaza H0

c. , no se rechaza H0

d. , se rechaza H0

Respuesta: Clave a

2. Un estudio de mercado de una empresa proporciona la tabla de datos que

sigue, donde la muestra de 800 consumidores de un producto específico opina

acerca de las tres formas presentación y de la tres marcas que aparecen en el

mercado:

Presentación

Marca del producto

M1 M2 M3

P1 200 130 70

P2 60 60 80

P3 40 60 100

Existe relación entre la marca y la presentación del producto.


b. , se rechaza H0


d. , se rechaza H0

Respuesta: Clave b



3. En una empresa se desea estudiar si existe una dependencia entre el nivel de

remuneraciones y los años de experiencia del personal. Con este objeto, se

clasifican las remuneraciones en tres categorías: bajo, medio y alto y los años de

experiencia en cuatro categorías: A, B, C y D. Al nivel del 10% ¿Hay alguna

relación entre los años de experiencia y las remuneraciones que perciben los 100

empleados?

Remuneración

Años de experiencia

Total

A B C D

Bajo 4 11 9 14 38

Medio 12 9 8 4 33

Alto 10 6 7 6 29

Total 26 26 24 24 100


b. , se rechaza H0


d. , se rechaza H0

Respuesta: Clave d

4. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos por 435 estudiantes en

los cursos de Estadística y Cálculo I. Contraste la hipótesis de que las notas

obtenidas en Estadística I son independientes de las notas obtenidas en Cálculo I,

al nivel de 2.5%

Notas

Matemática

I

Notas Estadística I

Total

0 – 10 11 – 14 15 – 20

0 – 10 70 40 15 125

11 – 14 30 130 25 185

15 – 20 15 60 50 125

Total 115 230 90 435


b. , se rechaza H0


d. , se rechaza H0

Respuesta: Clave d



5. Un grupo de investigadores desean determinar si existe asociación entre el nivel

educativos de los individuos y la preferencia por un determinado medio de

comunicación. A continuación se presentan los resultados obtenidos aplicado por

los investigadores a 290 individuos.

Nivel

educativo

Medio de Comunicación

Total

Prensa Radio TV

Primaria 15 10 25 50

Secundaria 40 25 45 110

Superior 45 30 55 130

Total 100 65 125

290

Teniendo en cuenta la información presentada, ¿qué le diría usted al grupo de

investigadores con un nivel de significancia de 2.5%?


b. , se rechaza H0


d. , se rechaza H0

Respuesta: Clave a

6. Dos investigadores toman muestras de una misma ciudad con el objeto de estimar

el número de personas que corresponden a los grupos de renta de clase pobre,

media y alta (los límites de los grupos se expresan en cantidad de dinero y son los

mismos para los dos investigadores). Los resultados que se obtuvieron fueron:

Investigador

Rentas

Total

Pobre Media Alta

A 150 100 20 270

B 150 80 30 260

Total 300 180 50 530

¿Presentan estos datos suficiente evidencia para decir que las muestras de uno de

los investigadores es sospechosa? Use nivel de significancia al 5%?


b. , se rechaza H0


d. , se rechaza H0

Respuesta: Clave c



7. Se realizó una encuesta entre los votantes de 4 distritos de Lima para comparar las

proporciones de votantes a favor del candidato A para la alcaldía de Lima. Se

tomó una muestra de 300 votantes cada uno de los 4 distritos, obteniéndose los

siguientes resultados:

Votos Distritos

Total

Lince Breña Cercado Comas

A favor de A 126 103 109 98 436

En contra de A 174 197 191 202 764

Total 300 300 300 300 1200

¿Presentan los datos suficiente evidencia que indique que las proporciones de

votantes que estén a favor del candidato A en los 4 distritos, son diferentes? Use

nivel de significancia al 5%

a. , se rechaza H0

b. , no se rechaza H0


d. , se rechaza H0

Respuesta: Clave b

8. Una hacienda que siembra manzanas está interesada en determinar si dos tipos de

fertilizantes producen los mismos efectos en la producción de manzanas. Con tal

fin las manzanas son abonadas con dos marcas distintas de fertilizantes F1 y F2. El

resultado fue que unas manzanas aumentaron su producción, otras las

disminuyeron y otras no variaron, estos resultados se presentan en la siguiente

tabla:

F1 F2 Total

Producción

+ 200 350 550

= 200 150 350

- 100 100 200

Total 500 600 1100

¿Presentan los datos suficiente evidencia que indique que los dos tipos de

fertilizantes producen los mismos efectos? Use nivel de significancia al 5%

a. , se rechaza H0



d. , se rechaza H0

Respuesta: Clave a



9. El gerente de venta de una empresa afirma que las ventas de cuatros de sus

principales producto es homogénea entre sus clientes clasificados por tipos de

ocupación. Si su afirmación está sustentada entre otras cosas en la muestra

aleatoria de las ventas a mil clientes tabulada como sigue:

Ocupación Producto

1 2 3 4

Profesionales 30 35 55 40

Comerciantes 155 50 125 80

Obreros 130 30 105 50

Ama de casa 35 15 20 45

Al nivel de significación del 5% ¿Qué opina usted de la afirmación del gerente?

a. , se rechaza H0



d. , se rechaza H0

Respuesta: Clave a

10. Una muestra de televidentes clasificados por clase social y por la sintonía

diaria de cuatro programa TV del mediodía se da en la siguiente tabla:

Programa

Clase social

Pobre Media baja Media Alta

1 190 280 500 280

2 250 300 350 150

3 160 250 180 120

4 100 150 80 80

Al nivel de significancia del 5% ¿Es homogéneo el ranking de los 4 programas

en las cuatro clases sociales?

a. , se rechaza H0



d. , se rechaza H0

Respuesta: Clave d



BIBLIOGRAFÍA


R.A. 2002. 224 p

2. CORDÓVA Manuel. Estadística Descriptiva e Inferencial Aplicaciones. Editorial,



Trillas. 2002. 180 p.









ANÁLISIS DE VARIANZA

1. INTRODUCCIÓN

El análisis de varianza para experimentos diseñado, es una técnica estadística

que se aplica para comprobar si son iguales las medias de más de dos poblaciones

independiente mediante la comparación de varianza insesgadas de muestra de

diversas fuentes, utilizando para el efecto la prueba F.

El anova trabaja con muestras pequeñas; por esta razón, se planifican

adecuadamente la recolección de datos.

La técnica estadística del análisis de varianza ha encontrado aplicación en casi

toda las disciplinas científicas y han llegado a convertirse en un tema muy amplio.

El término factor (cualitativo) se da a cada una de las variables independiente

que involucra el problema de anova, relacionada con una variable dependiente o

variable respuesta (cuantitativa); los valores de un factor son denominado niveles o

tratamientos en el diseño anova.

La variable dependiente x podría estar asociada a dos factores, cada elemento

de muestra contenida en todas las combinaciones de los niveles de los dos

factores es una unidad experimental. Los modelos se clasifican según el número de

factores o variable independiente.

2. ANÁLISIS DE VARIANZA DE UN SOLO FACTOR DISEÑO

COMPLETAMENTE ALEATORIZADO

En un diseño de experimento completamente aleatorio que se aplica para

comparar k tratamiento de un factor, los tratamientos se asignan al azar a las

unidades experimentales de la muestra, de manera que un tratamiento escogido al

azar es aplicado a una muestra, el siguiente tratamiento escogido al azar de lo que

restan es aplicado a otra muestra y así sucesivamente.

TRATAMIENTO DEL FACTOR A TOTAL

1 2 3 4 5

TOTAL T

MUESTRA n

MEDIA

VARIANZA



Suma de los datos de la muestra i

Suma total de los datos

Numero de datos de la muestra i

Número total de datos

Media de la muestra i

Media general

MODELO DE CLASIFICACIÓN SIMPLE

Modelo de efectos fijos: Este modelo es aplicable cuando se desea comparar las

características dependiente x bajo k tratamientos prefijado de interés. Las

conclusiones serán validas solo para esto k tratamientos.

Modelo de efecto aleatorio: Se emplea cuando se tiene una gran población de

tratamiento y por lo tanto resulta poco práctico compáralos a todos. En este caso

se elige al azar solo k tratamientos de la población y luego se infiere las

conclusiones a toda la población de tratamientos.

HIPÓTESIS DEL MODELO DE CLASIFICACIÓN

Planteamiento de Hipótesis:

Ho:

Ha: No todas las son iguales

ESTADÍSTICA DE PRUEBA

Sumas cuadradas

SCT = suma del cuadrado total n

XXSCT ij

2

..2

SCTR = suma de cuadrado de tratamiento

n

X

n

XSCTR

i

i2

..

.

2

.

SCE = suma de cuadrado del error SCE = SCT - SCTR

Medias cuadráticas

1

n

SCTMCT

1

k

SCTRMCTR

kn

SCEMCE



La estadística de prueba

MCE

MCTRF F (K – 1; n – k)

CUADRO DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA

Fuente de

Variación

Suma de

Cuadrados

Grados de

Libertad

Cuadrados

Medios

Razón F

calculada

Tratamientos SCTR k - 1

CMTR

Residual SCE

n - k CME

Global SCT

n - 1

EJEMPLO 1

Un ingeniero va a decidir la compras de una de 4 máquinas de marcas diferentes

para su uso en una producción especifica. Por esto, utilizo cada máquina al azar

para procesar cinco unidades del producto registrando los tiempo por unidad, en

segundos, resultando así el experimento completamente aleatorio. Los datos

observados son los siguientes:

M1: 55 46 45 73 50

M2: 60 58 68 58 63

M3: 64 62 51 57 65

M4: 42 45 52 44 42

Con un nivel de significancia del 5% pruebe la hipótesis que las máquinas utilizan

la misma velocidad media para procesar los productos.

EJEMPLO 2

Cuatro profesores cada uno con un grupo de alumnos, enseñan el mismo curso de

estadística, para evaluar las calificaciones por profesor de examen final se extrajeron

al azar una muestra de calificaciones de cada grupo, resultando los siguientes datos:

P1: 12 11 09 17 12

P2: 14 16 13 18 17

P3: 13 12 08 11 12

P4: 10 14 17 14 15

Al nivel de significancia del 5% ¿se puede concluir que existe diferencia significativas

en las calificaciones promedios obtenidas con los cuatros profesores?




1. El proyecto académico de un ingeniero es el diseño de un experimento a fin de

determinar el rendimiento de cuatro variedades de papa si tener en cuenta la

influencia de la fertilidad de la tierra de cultivo. Las 20 parcelas de igual

fertilidad que le fueron asignados los divido en 4 grupos de 5 parcelas cada

una. A cada grupo de parcelas le asigno una variedad distinta de papas

escogida al azar, resultando un diseño completamente aleatorizado. los

rendimientos medido en kilogramos de la cinco variedades por parcelas son la

siguientes:

V1 55 53 60 52 53

V2 52 58 50 60 52

V3 53 55 57 51 54

V4 52 50 51 49 53

Al nivel de significancia del 5% ¿se puede inferir que existe diferencia

significativa entre las producciones media de las 4 variedades.

2. Para comparar el tiempo empleado en realizar una tarea específica bajo tres

procedimientos un investigador diseño un experimento seleccionando al azar

tres muestra independiente de 10 operarios cada una y asigno al azar un

procedimiento a cada muestra. Los tiempos registrado en segundo son los

siguientes:

P1 13.45 19.10 20.73 23.60 13.45 23.29 14.93 17.07 13.65 18.79

P2 22.81 20.69 24.40 26.86 22.37 19.98 20.98 24.08 18.35 17.22

P2 18.92 21.32 25.93 19.07 20.98 26.40 28.04 23.44 18.47 25.42

¿Existe diferencia significativa entre los promedios de tiempo?

3. Una empresa de transporte terrestre va a adquirir una de 4 marcas de

neumático que hay en el mercado. El ingeniero de pruebas de la empresa diseñó

un experimento escogiendo al azar seis neumáticos de cada marca de

característica similares. En el laboratorio de prueba, con una carga específica

simulada, observo la duración de cada neumático hasta que se deteriore. Los

datos son los siguiente:

N1 55 53 50 60 55 65

N2 63 67 55 62 70 75

N3 48 50 59 50 47 61

N4 59 68 57 66 71 73

¿Indica estos datos que las marcas de los neumáticos producen efectos

significativo en el rendimiento?



4. Un promotor inmobiliario considera invertir en un centro comercial a

construir en el sector medio de una capital del interior del país. Se evalúa cuatro

ciudades: Arequipa, Iquitos, Piura y Trujillo, en donde es muy importante el

nivel de los ingresos mensuales de familia. Los ingresos mensuales en dólares son

los siguientes:

Arequipa: 710 560 490 550 568

Iquitos: 610 560 490 550 610

Piura: 560 610 470 510 580

Trujillo: 500 400 500 550 520

¿Producen efectos significativos en la variabilidad de los ingresos los niveles de

factor ciudad?

5. El decano de FACI desea estudiar el número de horas que los alumnos de los

ciclo 5, 6, 7 y 8 utilizan los terminales de cómputos de la universidad. Una

muestra de usos por ciclo ha dado los siguientes tiempos en horas mensuales:

C5: 35 33 30 40

C6: 43 47 35 45

C7: 28 30 39 30

C8: 39 48 37 46

¿Existe diferencia significativa en el tiempo según el ciclo de estudio?



BIBLIOGRAFÍA


R.A. 2002. 224 p




Trillas. 2002. 180 p.









REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

1. INTRODUCCIÓN

En muchas aplicaciones estadística se debe resolver problemas que contiene

un conjunto de variables y que se sabe existe alguna asociación entre ellas. En

este conjunto de variables muy a menudo se tiene una sola variable dependiente,

que depende de una o más variable independiente.

La primera forma del estudio de la asociación entre las variables X e Y

es la regresión, que consiste en determinar una relación funcional entre ellas,

con el fin de que se pueda predecir el valor de una variable en base a la

otra. La variable que se va predecir se denomina variable dependiente y la

variable que es la base de la predicción se denomina variable independiente.

La segunda forma del estudio de la asociación entre las variables X e Y,

es denominada correlación, que consiste en determinar la variación conjunta de

las dos variables, su grado de relación y su sentido. La medida del grado de

la relación se denomina coeficiente de correlación. El cuadrado del índice de

correlación se denomina coeficiente de determinación.

Se realizará un estudio de la regresión lineal en el sentido que, la ecuación

de regresión que se calcula será válida, solo si hay la seguridad de que existe un alto

nivel de correlación entre las variable medido por el coeficiente de

determinación.

Los métodos de regresión y de correlación se clasifican por el numero de

variable independiente en simple o múltiple. El análisis de asociación se denomina

simple, si hay una sola variable independiente. Si hay dos o más variable

independiente se denomina análisis de asociación múltiple.

2. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

Se denomina diagrama de dispersión o nube de puntos, a la gráfica de

los valores (x,y) de las variables X e Y en el sistema cartesiano.

Es frecuente visualizar el tipo de relación existente entre dos variables a partir

del diagrama de dispersión.



3. LA COVARIANZA

La covarianza de los datos observado en una muestra es la estadística que

mide el nivel de la variabilidad conjunta de los datos de las variables en pareja

con respecto a sus medias respectivas.

4. EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

El coeficiente de correlación lineal de Pearson de los n pares de valores de

una variable bidimensional (x,y) es el numero abstracto o relativo r que se calcula

por:

Otra expresión que se suele usar es:

SS yx

yxr

),cov(

Donde:

Cov(x,y) es la covarianza de x e y.

es la desviación estándar de x.

es la desviación estándar de y.

El coeficiente de correlación de la muestra es un número real comprendido

entre -1 y 1. El grado o nivel de ajuste de la ecuación a los datos se analiza en

forma descriptiva aplicando el coeficiente de determinación que se define como

el cuadrado del coeficiente de correlación.

Interpretación:

Si r = 1, hay una correlación perfecta positiva.

Si r = -1, hay una correlación perfecta negativa.

Si r = 0, no hay correlación entre las dos variables.

5. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Dados n pares de valores de una variable bidimensional, la regresión

lineal simple Y con respecto a X, consiste en determinar la ecuación de la

recta:

Y= a+bx



Que mejor se ajusta a los valores de la muestra, con el fin de poder predecir

o estimar Y a partir de X.

El proceso de predecir o estimar Y a partir de la variables X , es la regresión.

Hallar la función lineal, consiste en determinar las constante “a” y “b” a

partir de los datos de la muestra, para lo cual se usara el método de mínimos

cuadrados.

Otra expresión para b es: 2

),cov(

x

yxb

____

xbya

Interpretación de coeficiente de regresión b

Si b > 0, entonces la tendencia lineal es creciente, es decir a mayores

valores de X corresponde mayores valores de Y. También a menores

valores de X menores valores de Y.

Si b < 0, entonces, la tendencia lineal es decreciente, es decir, a mayores

valores de X corresponde menores valores de Y. También, a menores

valores de X corresponde mayores valores de Y.

Si b = 0, entonces Y permanece estacionario para cualquier valor de X es

decir no hay regresión.

6. COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN

El coeficiente de determinación es una medida de la proximidad del ajuste

de la recta de regresión. Cuanto mayor sea el valor, mejor será el ajuste y más útil

la recta de regresión como instrumento de predicción; para calcular el coeficiente

de determinación se eleva al cuadrado el coeficiente de correlación. El número r2 es

denominado coeficiente de determinación.



7. VARIANZA ESTIMADA DE REGRESIÓN

El segundo método para medir el ajuste de la estimación del modelo de

regresión a los datos de la muestra, es aplicar el error estándar de la estimación,

que desarrollaremos a continuación:

22

2

2

n

xybyay

n

SCEs

La raíz cuadrada positiva de la varianza de regresión es la desviación

estándar de la regresión, y se le denomina error estándar de estimación.

El error estándar de la estimación al igual que la varianza, es una medida de

la dispersión o concentración de los valores observados alrededor del modelo de

regresión.

Mientras más pequeño sea el valor del error estándar de estimación, más

cercano a la línea de regresión estarán los valores estimados.

8. INFERENCIA ACERCA DE LOS COEFICIENTE DE REGRESIÓN

No trataremos las inferencia acerca del parámetro “a” porque a menudo

carece de importancia, pues “a” es la ordenada en el origen y representa la

intersección de los ejes cuando x = 0.

Nos referimos a la inferencia acerca del parámetro “b” la pendiente de la línea

de regresión en la población.

Antes de aplicar el modelo estimado de la regresión lineal para realizar

predicciones de Y en función de X, se debe analizar si el valor de la pendiente B es

o no es significativo.

Entonces para evaluar el parámetro se puede utilizar cualquiera de los tres métodos:

Intervalo de confianza b

Prueba de hipótesis b

Análisis de varianza para b

INTERVALO DE CONFIANZA

Para poder calcular el intervalo de confianza se debe realizar los siguientes pasos:

Diferencia cuadrada de x con respecto a la media:

2___2 XnXS XX

Varianza estimada de “b”:

xx

bs

sS 2

Intervalo de confianza para “b”:



Si el valor cero pertenece al intervalo entonces decimos que la b es igual a cero

que no es significativo en el modelo.

PRUEBA DE HIPÓTESIS

Si se plantea la hipótesis que b es igual a cero; esta hipótesis se rechazará

si el valor encontrado en la tabla es menor que el valor del estadístico. Esta

prueba es bilateral.

Hipótesis 1:

Ho: a = 0

Ha: a 0

Hipótesis 2:

Ho: b = 0

Ha: b 0

Valor de la tabla: )2;2

1( nt

Valor del estadístico de prueba:

bs

bt

ANÁLISIS DE VARIANZA

El método del ANOVA de la regresión lineal simple plantea la hipótesis nula

si b es igual a cero:

Suma cuadrado total

2___2 ynySCT

Suma cuadrado de regresión )(_____

yxnxybSCR

Suma cuadrado del error SCRSCTSCE

Cuadrado medio de regresión SCRCMR

Cuadrado medio del error

2

n

SCECME

Valor del estadístico

CME

CMRF

Valor de la tabla )1,2,1( nF

Si el valor del estadístico es mayor que el valor de la tabla entonces se rechaza la

hipótesis nula.



9 APLICACIÓN DEL MODELO

Después de haber analizado la validez del modelo de regresión lineal

calculado de la muestra y comprobado la existencia de regresión lineal en la

población de la cual se ha obtenido la muestra o más específicamente después de

haber concluido que el modelo lineal estimado es adecuado para describir la

relación lineal entre X e Y se puede aplicar esta estimación del modelo de

regresión, para pronosticar o predecir el valor y para un valor especifico de x.

El primero es estimar el valor medio de todo los valores de y que

corresponde al valor x en un intervalo de confianza.

El segundo es predecir un solo valor y de todo los valores de y que

corresponde a x y calcular los extremo de esta predicción.

EJEMPLO APLICATIVO DE ANÁLISIS DE REGRESIÓN

Los siguientes datos corresponden a las notas obtenidas en un examen parcial y

final del curso de métodos estadísticos:

X:PARCIAL Y:FINAL

12 14

10 08

11 11

04 06

09 12

11 15

18 19

15 10

13 12

14 15

Hallar el grafico de dispersión

Tendencia: lineal positiva



Hallar el coeficiente de correlación

= 0.7555

Hallar el modelo de regresión lineal (modelo ajustado)

Y = 3.38 + 0.75 X

2222 )()(

))((

XXnYYn

YXXYnr

22 )(

))((

XXn

YXXYnB XbYA



TABLA DE LOS COEFICIENTES DEL MODELO

Modelo

Coeficientes no

estandarizados

Coeficientes

tipificados

t P_VALOR B Error típ. Beta

(Constante) 3,377 2,828 1,194 0,267

X_PARCIAL ,754 ,231 ,756 3,262 0,011

El coeficiente del examen parcial es significativo

CUADRO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

Modelo r

R

cuadrado

R cuadrado

corregida

Error típ. de la

estimación

1 ,756 ,571 ,517 2,616

Dado que el r = 0.756 se dice que existe relación lineal positiva entre las notas

del examen parcial y el examen final.

CUADRO DE BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO

Modelo Suma de

cuadrados gl

Media

cuadrática F

P_VAL

OR

1 Regresión 72,846 1 72,846 10,643 ,011

Residual 54,754 8 6,844

Total 127,600 9

Ho: el modelo es no significativo.

Ha: el modelo es significativo.

Decisión: entonces se rechaza Ho.

Conclusión: con un 5% de significancia el modelo resulta ser significativo.




1) En un estudio del efecto de un componente de la dieta sobre la

composición de los lípidos del plasma, se obtuvieron los siguientes datos en

una muestra de 8 animales experimentales

X = Medida del componente de la dieta

Y = Medida de la concentración de lípidos en el plasma

x y

18 38

21 40

28 47

35 54

47 66

33 52

40 59

19 38

Hallar la covarianza

Halar la correlación

Estimar el modelo

Hallar el coeficiente de determinación

Hallar la varianza de regresión

Realizar la inferencia del modelo

Aplicación del modelo.

2) Los datos siguientes muestran la densidad óptica de cierta sustancia a

diferente niveles de concentración.

X = Nivel de concentración

Y = Densidad óptica



x y x y

80 0,08 280 0,38

120 0,12 320 0,41

160 0,18 360 0,42

200 0,21 400 0,51



Estimar el modelo





3) El administrador de un hospital reunió los siguientes datos sobre el costo

por comida estándar a diferentes volúmenes de preparación.

X = Números de comidas servidas

Y = Costo por comidas

x

y

30 1,15

35 1,11

40 0,98

45 1,01

50 0,97



Estimar el modelo




Aplicación del modelo



4) Se llevo a cabo un experimento para estudiar la relación entre una

medición objetiva de la ansiedad y la frecuencia cardiaca en adulto. Se

obtuvieron los siguientes resultados en los 10 adultos normales.

X = Frecuencia cardiaca por minutos

Y = Medición objetiva de la ansiedad

x y x y

50 48 75 36

55 41 80 38

60 45 85 36

65 41 90 30

70 42 95 32


Hallar la correlación

Estimar el modelo





5) Se reunieron los siguientes datos en un estudio de la relación entre la

inteligencia y el tamaño de la familia.

X = Tamaño de la familia

Y = Puntuación de inteligencia

x y x y

1 105 6 101

2 102 7 95

3 104 8 93

4 100 9 97

5 97 10 88





Estimar el modelo





6) Un banco estudia la relación entre las variables, ingreso y ahorros mensuales

de sus clientes. Una muestra aleatoria de sus clientes revelo los siguientes datos

en dólares:

X: 350 400 450 500 950 850 700 900 600

Y: 100 1105 130 160 350 350 250 320 130



Estimar el modelo





7) El gerente de personal de una empresa quiere estudiar la relación entre el

ausentismo y la edad de sus trabajadores. Si una muestra aleatoria de 10

trabajadores de registro de la empresa reveló lo siguientes datos:

Edad:

25 46 58 37 55 32 41 50 23 60

Ausentismo:

18 12 8 15 10 13 7 9 16 6



Estimar el modelo





8) Un grupo que vende al menudeo, encargó un estudio para determinar la

relación entre los gastos de publicad semanal por radio y el monto de las

ventas de sus productos. En el estudio se obtuvieron los siguientes resultados:



Gastos:

30 20 40 50 70 60 80 70 80 90

Ventas:

300 250 400 380 550 750 630 930 700 750



Estimar el modelo





9) Una empresa agroindustrial quiere determinar la relación entre cantidad de

fertilizante y producción de papa por hectárea que produce. Si la muestra del

experimento proporcionó los siguientes datos:

Sacos:

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Rendimiento:

45 48 52 55 60 65 68 70 74 76



Estimar el modelo





10) Para estudiar la relación entre el número de horas de estudio y las

calificaciones finales en una prueba de conocimientos se recopilaron los

siguientes datos de una muestra aleatoria de 10 alumnos.

Horas: 14 16 22 20 18 16 18 16 18 22

Calificaciones: 12 13 15 15 17 11 14 16 08 05



Estimar el modelo







BIBLIOGRAFÍA


R.A. 2002. 224 p




Trillas. 2002. 180 p.







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