MAQUINAS ELECTRICAS

Mg. Amancio R. Rojas Flores (parte 3)

ESTRUCTURA

FERROMAGNÉTICA EXCITADA

CON CORRIENTE ALTERNA

3.1 INTRODUCCIÓN

Los campos magnéticos varían con el tiempo cuando están relacionados

con muchos aparatos magnéticos prácticos, tales como: transformadores,

motores y generadores. En general dicha variación es periódica.

Si la estructura magnética está hecha de un material ferromagnético, es

necesario examinar la pérdida de energía en el núcleo debido al campo

magnético y las formas de onda de flujo y de la corriente de excitación.

Supondremos que la frecuencia de las señales periódicas usadas es

suficientemente baja para no considerar la radiación de energía.

3.2 LEY DE FARADAY DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

En 1831 el inglés Michael Faraday y el norteamericano Joseph Henry, casi

simultáneamente y trabajando de forma independiente, descubrieron la

llamada inducción electromagnética, la generación de corriente eléctrica

inducida por un campo magnético variable, base del desarrollo de toda la

industria eléctrica actual.

Pero además fue el punto de partida del desarrollo de una concepción

unitaria de la electricidad y el magnetismo que llevaría a cambiar

radicalmente nuestra concepción de la naturaleza.

Faraday y Henry observaron a través de numerosas experiencias las

condiciones que deben darse para que en un circuito eléctrico se induzca

corriente eléctrica (figura 1):

¿EN QUÉ CONDICIONES UN CAMPO MAGNÉTICO INDUCE CORRIENTE ELÉCTRICA?

EXPERIENCIAS DE FARADAY Y HENRY. LEY DE FARADAYY Y LEY DE LENZ.

Ley de Faraday

“Una fuerza electromotriz (f.e.m.) es inducida en un medio cuando se cambia

el enlazamiento de flujo magnético asociado con el medio. Si el medio es un

conductor de electricidad y forma una trayectoria cerrada, una corriente fluye

en él debido a la f.e.m. inducida. La magnitud de la f.e.m. inducida es

proporcional a la rapidez de cambio en el tiempo de los enlazamientos del

flujo”.

La Ley de Lenz nos ayuda a determinar el sentido de la f.e.m. inducida y por

lo tanto de la corriente.

“El sentido de la f.e.m. inducida es tal que ocasiona el flujo y una corriente

en una trayectoria cerrada con una dirección tal que la corriente tiende a

contrarrestar el cambio de los enlazamientos de flujo”.

Ejemplo: Si las líneas de flujo están disminuyendo, entonces la corriente

inducida circulará en la dirección de las manecillas del reloj, de tal manera

que el flujo establecido por la corriente, tiende a cancelar la disminución del

flujo original.

Ambas leyes se comprueban y se expresarán por:

Donde:

Si e(t) es negativo, entonces e(t) es considerado como una elevación de

voltaje (fuente) y se opone al voltaje aplicado en cada instante de tiempo.

Si e(t) es positivo, entonces e(t) es considerado como una caída de voltaje.

La ecuación (3-1) puede ser escrita en otras formas diferentes:

En forma diferencial:

dt

d

dt

Nde t

)()(

(3-1

3.3 RELACIÓN ENTRE VOLTAJE APLICADO, VOLTAJE INDUCIDO Y

FLUJO EN UN NÚCLEO MAGNÉTICO EXCITADO POR UNA SOLA

FUENTE

Fig.Una bobina excitada por una sola fuente

Sea una bobina de N espiras arrolladas en un núcleo ferromagnretico, tal como se

muestra en la figura, que se conecta a una fuente de tensión variable v(t) ; como

consecuencia de ello se establecerá una corriente i(t) en la bobina que producirá un

flujo variable (t) en el núcleo.

De acuerdo a la ley de Faraday, el flujo anterior creara una f.e.m inducida en

cada una de las espiras del devanado, dando lugar a una f.e.m total que puede

considerarse bien como una elevación de tensión en el sentido de la corriente

(fig..b) de valor.

dt

dNe

O bien como una caída de tensión en el sentido de la corriente (fig..c)

denominándose entonces fuerza contra electromotriz (f.c.e.m) cuya magnitud

es:

dt

dNe

El balance energético que se produce en el circuito. Si aplicamos la segunda

ley de kirchhof a la red de la figura (..c) resulta

dt

dNRiv

Donde, las expresiones v, i y son funciones del tiempo,

si se multiplican ambos miembros por idt resulta:

(Ecuación de tensión en una bobina de N espiras)

dNidtRidtvi 2

O expresado de otro modo

mRe dWdWdW

Donde:dWe : diferencial de energía eléctrica que entra en el circuito

dWR : diferencial de energía disipada en la resistencia R de la bobina por el efecto joule

dWm: diferencial de energía suministrada al campo magnético (diferencial de energía magnética)

La ecuación anterior representa el balance energético del circuito o

simplemente la ley de conservación de la energía. El termino dWm = se

puede escribir:

ddNidWm

Donde representa la f.m.m de la bobina.

(balance energético en una bobina)

Si suponemos que en el instante inicial (t=0) el flujo en el núcleo es nulo y la

corriente es cero, y si se incrementa estos valores hasta unas magnitudes

finales e i , se tendrá una energía magnética total suministrada al núcleo

magnético por la fuente:

ENERGIA Y COENERGIA

(Energía magnética almacenada)

0

dWm

En la teoría de los circuitos

magnéticos es interesante definir

una magnitud denominada

coenergia y que responde a la

ecuación:

0

' dWm

(Coenergía magnética almacenada)

La coenergia no tiene un significado físico directo pero es de gran utilidad para el

calculo de fuerzas en los dispositivos electromagnéticos.

dHdH

dBSdSB

Las expresiones anteriores pueden también definirse en función de los

campos magnéticos H y B. si se considera la fig ( ) en el que el núcleo

tiene una sección uniforme S y l es la longitud magnética media, si se

suponen uniformes los campos magnéticos, se podrá escribir.

0

0

B

m HdBvoldW

De este modo la expresión de la energía magnética almacenada se

convertirá en :

Donde

representa el volumen del núcleo ferromagnetico.

Svol

La energía almacenada por unidad de volumen, y que se denomina densidad

de energía magnética valdrá entonces

B

mm dBH

vol

WW

0

De un modo análogo, se obtiene la densidad de coenergia magnética

H

m dHBW0

'

Si la curva de imanacion es una recta, entonces coinciden los valores

numéricos de la energía y coenergoia que corresponden a triángulos

rectángulos cuyos catetos son y y de este modo la energía y la coenergia

magnética admiten las versiones siguientes:

22'

2

1

2

1

2

1mm WW (Energía y coenergia en

sistemas magnéticos lineales)

Donde se ha tenido en cuenta la ley de Hopkinson. De un modo análogo

coinciden también las expresiones de las densidades de energía y coenergia

22

'

2

1

2

1

2

1H

BBHWW mm

También dei

NL

Teniendo en cuenta la ley de Hopkinson

La ecuación de inductancia se transforma

222 N

NNi

NL

Por consiguiente la energía y coenergia magnética se puede escribir

2

2

2'

2

1

2

1Li

NLWW mm

(definición de coeficiente de

autoinducción de una bobina)

( coeficiente de autoinducción de una

bobina en función de la reluctancia )

(Energía y coenergia en función del

coeficiente de autoinducción )

PÉRDIDAS EN LOS MATERIALES FERROMAGNÉTICOS

• Cuando la bobina con núcleo de hierro se excita con corriente continua (DC)

la única pérdida que se presenta es la que se produce en la resistencia propia

de la bobina. Se ha de notar que el núcleo no sufre calentamiento alguno.

• Cuando la bobina del núcleo se excita con corriente alterna (AC), ésta (el

núcleo) si sufrirá un calentamiento y por consiguiente se producirá unas

nuevas pérdidas llamadas “Pérdidas en el núcleo” que son debidas a la

variación del campo magnético (y flujo magnético).

Esta son:a) Pérdidas por histéresis (Ph )

b) Pérdidas por corrientes Parásitas (Pf )

Las pérdidas totales en el núcleo de hierro vienen a ser la suma de ambos,

es decir:

fhT PPP

Cuando se reducen los campos magnéticos asociados a los núcleos ferro

magnético, parte de la energía almacenada es devuelta a la fuente. Sin

embargo parte de la energía almacenada se pierde irremediablemente en el

núcleo en forma de calor. Esta perdida de energía es debida a dos causas.

•Características de histéresis del material (perdidas por histéresis)

•Corrientes inducidas en el núcleo (perdidas por corrientes parasitas o

Foucault).

PERDIDAS POR HISTERISIS.

))(()(' ciclodelareavolfdBHvolffWP HH

En la practica, es conveniente hablar de perdida de energía por segundo

en el núcleo, es decir, de potencia perdida por histéresis.

La ecuación anterior es independiente de la forma de onda de la fuente de

alimentación, depende únicamente de la amplitud de la inducción, la

frecuencia de la fuente (red) y la naturaleza del material magnético (área

del ciclo)

Si el numero de ciclos de imanacion es f (donde f representa la frecuencia

de la tensión de alimentación a la bobina) entonces la potencia perdida

será.

Los valores de kH (denominado coeficiente de Steinmetz) y (denominado

exponente de Steinmetz) dependen de la naturaleza del núcleo

ferromagnetico. El exponente varia entre 1.5 y 2.5, siendo un valor

frecuente =1.6, mientras que kH varia en el caso de acero al silicio entre

100 y 200.

Experimentalmente, C. P Steinmetz propuso en 1892 una formula empírica

que viene expresada por la expresión

mHH BvolfkP )(

PERDIDAS POR CORRIENTE DE FOUCAULT

En la figura se muestra una bobina arrollada sobre un núcleo de hierro

macizo. Al alimentar la bobina con corriente alterna se producirá, de

acuerdo con la ley de ampere, un campo magnético alterno de inducción

BZ = Bm cos wt que atravesara toda la masa de hierro en el sentido del eje

Z (eje de la bobina).

(Formula de Steinmetz de

las perdidas por histéresis )

Fig. corrientes de Foucault (eddy currents, o corriente de torbellino)

Se llega a demostrar una potencia disipada

6/2fk

las ecuaciones anteriores son validas solamente para valores de las frecuencias tales

que la distribución del campo magnético no este afectada por las propias corrientes

parasitas.

Las perdidas totales en el hierro son

volaBfkfBkP mfmHT )( 222

)(6

2222

volBfa

P máxf

(perdidas por corrientes de Foucault )

En la practica, el fabricante de material magnético, suministra unas curvas,

donde se muestran estas perdidas totales en función de B, a frecuencia

constante.

Fig. curva de perdidas en el hierro

3.4 CIRCUITOS MAGNETICOS EXCITADOS CON CORRIENTE ALTERNA

Sea la bobina de la figura:

Al aplicar una tensión de alimentación de cc a la bobina se dan los siguientes eventos:

Esta claro que cuando la bobina se alimenta con una excitación de cc , la

corriente es función directa de la tensión aplicada, pero es absolutamente

independiente de la naturaleza y características magnéticas del material que

constituyen el núcleo.

Si, por ejemplo, se aumenta la reluctancia del circuito magnético(un entrehierro en el

núcleo), entonces el flujo magnético se reducirá pero no habrá cambio en la corriente

absorbida por la bobina)

La bobina de la figura se alimenta con una tensión c.a senoidal

wtVvt cos2

En este caso se producirá una corriente de circulación i(t) que provocara un

flujo (t) en el núcleo. Este flujo variable dará lugar a una f.e.m inducida en

la bobina, de tal modo que si se aplica la segunda ley de Kirchhof al circuito

eléctrico de la figura se cumplirá de acuerdo con

dt

dNRiv

(tensión de alimentación )

Suponiendo que la caída de tensión en la resistencia de la bobina es pequeña

en comparación con la f.e.m inducida, la ecuación se puede escribir

dt

dNv

tVsenN

dtvN

t

2

.1

)(

De donde se deduce el valor de flujo (t)

Donde el flujo m vale

N

Vm

2

Teniendo en cuenta que w= 2f , la relación se puede escribir

mm fNfNV

44.42

2

(flujo magnético en el núcleo )

(relación entre la tensión

aplicada y el flujo magnético)

Debe destacarse que en la ecuación anterior la tensión esta expresada en

valor eficaz, mientras que el flujo esta definido por su valor máximo

Cuando la bobina se alimenta con una excitación de c.a, el flujo es función

directa de la magnitud y frecuencia de la tensión aplicada, pero es

absolutamente independiente de la naturaleza y características magnéticas

del material que constituye el núcleo.

Se demuestra que

Donde: formadefactorff :

máxeficaz fNffV )(4

Factores de forma para algunas configuraciones:

3.5 CIRCUITO ELECTRICO EQUIVALENTE DE UNA BOBINA CON NUCLEO

DE HIERRO ALIMENTADO CON C.A

a) Núcleo sin perdidas

si consideramos que el núcleo magnético no tiene perdidas y suponemos

también despreciable la resistencia de la bobina, en esta situación la potencia

activa absorbida (por la bobina) de la red será nula. De acuerdo con la ley de

Hopkinson

SNi

S

Ni excexc

Donde, se ha llamado iexc a la corriente de excitación instantánea que circula

por el devanado

Teniendo en cuentadt

dNv

(relación entre el flujo magnético y la

corriente de excitación de la bobina)

Se puede escribir

dt

diSN

dt

dNv exc

2

Comparando con la tensión en una bobina de coeficiente de inducción L, llevando

una corriente iexc

dt

idLv exc

Indica que L viene expresado por

SNL

2

Lo cual quiere decir que el circuito equivalente de una bobina con núcleo de

hierro puede representarse por una autoinducción

Fig. circuito equivalente de una bobina con núcleo de hierro sin perdidas

(relación entre la tensión y la

corriente de excitación de la bobina)

(coeficiente de

autoinducción de la bobina)

b) Núcleo con perdidas

En el caso de que el núcleo tenga perdidas en el hierro, la corriente de

excitación Iexc no formara 90º con la tensión ya que la potencia activa

absorbida de la red debe vencer esas perdidas, de tal forma que si

denominamos v al ángulo que forman V e Iexc y Pfe a las perdidas en el

hierro, se cumplirá:

vexcFe VIP cos

Fig. Diagrama fasorial de una bobina con núcleo real

(pérdidas en el hierro en función de la

tensión, la corriente de excitación y el fp )

vexcFe II cos

Donde.

De la figura se observa que I se retrasa 90º respecto de la tensión (circuito

inductivo). Los valores RFe y XF será

I

VX

I

VR Fe

Fe

Fe

senII exc

III Feexc

(componente de corriente de perdidas en el hierro)

(componente de corriente de imanacion o magnetización )

(Parámetros del circuito equivalente de

una bobina con núcleo de hierro )

3.6 CIRCUITO EQUIVALENTE APROXIMADO DE UN REACTOR CON

NÚCLEO DE HIERRO

Dada la hipotética descomposición de la corriente de excitación iφ(t) en dos

componentes, esto nos recuerda un circuito eléctrico que es una combinación

en paralelo de un resistor y un inductor real. La resistencia del embobinado RB

es pequeña y puede representarse en serie con la fuente de voltaje.

Se asume que el contenido de armónicas es despreciable y hacemos uso

de fasores:

Donde:

3.7 DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL CIRCUITO

EQUIVALENTE DE UN REACTOR CON NÚCLEO DE HIERRO.

a) Determinación de la Resistencia del Bobinado ( RB)

Se usa una fuente D.C. de bajo voltaje, con disponibilidad para variar la

corriente.

Luego:

Se toman varias lecturas y se calcula el valor promedio. Si una corriente A.C.

fluye por el embobinado, la resistencia será mayor debido al efecto superficial.

La corriente A.C. circula cerca de la superficie del conductor causando de

éste modo una distribución no uniforme de corriente en la sección

transversal del conductor. El área efectiva de la sección transversal utilizada

es entonces menor que el área disponible y como RB es inversamente

proporcional al área, la resistencia a corrientes variables en el tiempo es

más grande que la resistencia en D.C. (Este efecto es una función de la

frecuencia).

Usualmente se toma:

DCAC BB RR 25.11.1

b) Determinación de gp y bm:

Tenemos dos métodos:

b.1) Método analítico: Se usa el circuito mostrado, aplicando el voltaje

senoidal de magnitud y frecuencias conocidas.

Suponiendo que V>>I ef RB

Luego:

b.2) Método Gráfico: Si un material ferromagnético es excitado por C.A.

debemos contar con la curva densidad de flujo máxima vs fuerza de

magnetización (B-H); además debemos conocer la variación de las pérdidas

en el núcleo como una función de la densidad de flujo máximo y de la

frecuencia.

Befpn RIPgVP 22

Befp RIPV

g 2

2

1

efpP IdeperdidasdecomponenteVgV

I 2

1

ionmagnetizacdecomponenteIII pm 22

V

Ib m

m

La curva de pérdidas en el núcleo es trazado como una función de Bmáx,

manteniendo la frecuencia constante. Una familia de estas curvas puede ser

construida sobre un rango de frecuencia.

3.8 REACTORES CON NÚCLEO DE HIERRO

BALASTOS :sirven para estabilizar el funcionamiento de las lámparas de

descarga de gases, ya que estas no pueden funcionar directamente

conectados a la red de tensión. Si no hubiera un balasto entre la línea de

tensión y la lámpara, ésta última explotaría.

Los balastos pueden ser impedancias inductivas, capacitivas ó resistivas

que limitan la corriente (amperios) que circulan por las lámparas a los

valores exigidos para un funcionamiento adecuado. Además, cuando es

necesario, los balastos suministran la tensión y corriente de arranque

requeridas y en el caso de reactancias de arranque rápido, la baja tensión

requerida para calentar los cátodos de las lámparas. Las más utilizadas

son las de tipo inductivo

Cada lámpara de descarga de gases( de diferente tipo y potencia)ha sido

diseñada para operar con una corriente y tensión específica y es el reactor

el que debe darle a la lámpara las condiciones necesarias para operar.

En resumen, las funciones que debe realizar un balasto son :

• Proporcionar la corriente de arranque ó de precalentamiento de cátodos

para conseguir en éstos la emisión inicial de electrones.

• Suministrar la tensión de arranque en vacío( tensión que el balasto envía a

la lámpara) suficiente para hacer saltar el arco en el interior de la lámpara.

• Limitar la corriente en la lámpara a los valores adecuados para su correcto

funcionamiento.

Los reactores están formados por un núcleo de hierro de placas de acero y

de una bobina de alambre de cobre. Algunos reactores producen un

zumbido, esto es a causa de que generalmente éstos trabajan en la zona de

saturación es decir se produce una vibración como consecuencia de las

solicitaciones magnéticas sobre las placas de núcleo.

En una reactancia correctamente construida, la vibración fundamental de

100 Hz, pueden en ocasiones ser oídos.

3.9 IMPORTANCIA DE LA CURVA DE MAGNETIZACIÓN

La curva de magnetización es de fundamental importancia, porque las

características de funcionamiento de la máquina, bien sea generador ó motor,

dependen casi completamente de ella.

Por esta razón, la fase de determinación de la curva de magnetización

constituye un paso esencial en el proyecto, con objeto de tener la seguridad

de que la máquina satisfará las condiciones especificadas.

La curva de magnetización se utiliza para el diseño de simples bobinas,

choques ó balastos, transformadores y máquinas rotativas. También para el

cálculo de las inductancias estática y dinámica utilizadas en el cálculo de la

estabilidad ó el transitorio de un sistema de potencia.

3.10 MODELOS DE REPRESENTACIÓN DE CURVAS DE MAGNETIZACIÓN

a) Representación de la Curva de Magnetización Mediante Polinomios

El presente método tiene como objetivo dar

una expresión analítica de la curva

característica de magnetización, a partir de

valores r.m.s. experimentales.

La curva de magnetización es aproximada

por un ajuste polinomial entregado por la

siguiente ecuación:

Reemplazando:

b) Representación de la curva de magnetización usando Interpolaciones

lineales

La alta utilización de diversas calidades de materiales en la construcción de

variados tipos de transformadores y máquinas eléctricas conduce a

aproximar de la mejor forma posible a la curva característica de

magnetización.

La curva experimental que muestra la relación r.m.s. tensión corriente es

obtenida por medición experimental empleando el aparato de Epstein.

La idea es obtener varias funciones simples lineales en todo el rango de la

curva característica de magnetización a partir de datos experimentales r.m.s.

para ello se subdividirá la curva r.m.s. en “n” secciones iguales, donde el

valor de “n” dependerá de la exactitud, fidelidad que el operador requiera.

Las posiciones individuales estarán representadas por ecuaciones de rectas;

luego, la porción de curva r.m.s. entre los puntos “j” y “j + 1 “ está dada por la

fórmula descrita.

1. Es posible que una simple función, aplicada en muchos tramos

represente el rango total desde el origen hasta la zona de saturación.

2. La aproximación sería una simple función matemática que puede ser

aplicada en un programa de cómputo como una manera de rutina y no

envuelve alguna decisión de parte del operador.

3. Los errores son pequeños, tanto como uno quisiera que lo sean.

4. El tiempo de computación es relativamente corto (segs).

c) Representación de la curva de Magnetización mediante la Ecuación de

Froelich.

La aproximación de la curva de magnetización es de fundamental

importancia, porque las características de funcionamiento de la máquina,

bien sea generador ó motor, dependen casi completamente de ella.

Por ésta razón, la predeterminación de la curva de magnetización

constituye un pase esencial en el proyecto, con objeto de tener la seguridad

de que la máquina satisfará las condiciones especificadas, la evaluación

que representa con mayor sencillez y relativa exactitud la curva de

magnetización es la ecuación de Froelich.

Hb

aHB

Donde a y b son constantes.

Se tienen dos constantes desconocidos por cada ecuación; ellas serán

halladas a partir de los datos experimentales r.m.s.; es decir de dos puntos

seleccionados, uno caería o la zona de remanencia y el oro después del

codo de la zona de saturación.

La ventaja de éste método es que la ecuación utilizada para representar a

la curva experimental de magnetización es muy sencilla.

4.-El núcleo magnético de la figura , se fabrica con laminaciones de acero M-5

de grano orientado. El devanado se excita con un voltaje para producir una

densidad de flujo en el acero de B = 1.5 sen 377tT. El acero ocupa 0.94 veces

el volumen bruto del núcleo. La densidad del acero es 7.65 g/cm3 calcular:a)El voltaje aplicado

b) La corriente máxima

c) El valor rms de la corriente de excitación

d) Las perdidas del núcleo

Ejemplo

a) El voltaje según la ecuación

Solución

Vte )377cos(274

b) La intensidad magnética que corresponde a Bmax =1.5T se obtiene de la curva

de magnetización del acero M-5 y es H= 36 A.vueltas/m.

La corriente máxima es

200

)71.0(36

N

HI c AI 13.0

Volt amperes rms de excitación por kilogramo a 60 hz para acero eléctrico M-5 grano

orientado de 0.012 pulgadas de espesor

c) La corriente promedio rms se obtiene del valor de Pa de la figura para Bmax =1.5T

El volumen y el peso del núcleo

Los volt amperes y corriente rms totales son

d) La densidad de perdidas del núcleo se obtiene en la fig. y Pc =1.2 W/kg. La

pérdida del núcleo es

Fig. perdidas en el

núcleo para el acero

eléctrico M-5