Marco Aurelio Alzate Monroy Grupo de Investigación en DSP de la Universidad Distrital Grupo de...

Marco Aurelio Alzate MonroyMarco Aurelio Alzate Monroy

Grupo de Investigación enDSP de la Universidad Distrital


Capítulo de Procesamiento de Señalesde la Rama Estudiantil IEEE de la Universidad Distrital


Grupo de Investigación en Telecomunicacionesde la Universidad Distrital


Maestría en Ciencias de la Información y las ComunicacionesUniversidad Distrital


1. Modelos de Tráfico1. Modelos de Tráfico2. Fractales2. Fractales3. Tráfico Autosemejante en Redes de Comunicaciones3. Tráfico Autosemejante en Redes de Comunicaciones4. Caos en la dinámica de TCP/IP4. Caos en la dinámica de TCP/IP5. Complejidad en Redes5. Complejidad en Redes

8. Análisis Wavelet8. Análisis Wavelet 9. Transformada Wavelet de Procesos Autosemejantes9. Transformada Wavelet de Procesos Autosemejantes10. Detección y Estimación: El Diagrama LogEscala10. Detección y Estimación: El Diagrama LogEscala11. Síntesis Wavelet de Procesos Autosemejantes11. Síntesis Wavelet de Procesos Autosemejantes12. Conclusiones12. Conclusiones

Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate Plan

6. Enrutamiento de Tráfico Fractal mediante Paquetes-Hormiga6. Enrutamiento de Tráfico Fractal mediante Paquetes-Hormiga7. Predecibilidad del Tráfico Fractal7. Predecibilidad del Tráfico Fractal

1. Modelos de Tráfico (10)1. Modelos de Tráfico (10)2. Fractales (9)2. Fractales (9)3. Tráfico Autosemejante en Redes de Comunicaciones (17)3. Tráfico Autosemejante en Redes de Comunicaciones (17)4. Caos en la dinámica TCP/IP (17)4. Caos en la dinámica TCP/IP (17)5. Complejidad en Redes (15)5. Complejidad en Redes (15)









Los objetivos de la ingeniería deredes eran simples:

Voz: Maximice la eficiencia parauna tasa de bloqueo dada

Datos: Maximice la eficiencia paraun retardo promedio dado

Pero ahora….

Diferentes Calidades de Servicio:

ATM: CBR, rt-VBR, nrt-VBR, UBR, ABRIP: Carga Controlada, Calidad garantizada, Servicios diferenciados

Diferentes parámetros de Calidad:Retardo de tansferencia, variación en el retardo, tasa de pérdidas, tasa de errores…

Estrategia: CONTROL DE TRAFICOEstrategia: CONTROL DE TRAFICO

Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 1. Modelos de Tráfico (1/10)

1001011


Recursos deComunicación,

Información y CómputoDemanda

Es necesario cuantificar la demanda para poder dimensionar los recursos:

- Secuencia de instantes de llegada, {Tn, nZ}

- Número de llegadas hasta el instante t, {N(t), t R}- Secuencia de tiempo entre llegadas, {An, n Z}

n

kkn

nnn

n

AT

TTA

tTntN

1

1

] | max[)(

} + Carga impuesta porcada llegada, {Ln, nZ}

Un Modelo de Tráfico:

Discretizamos el tiempo en intervalos de longitudt

Dado i( ) 1 floor rnd 6( )( ) Lanzamos un dado en el instante it

N 300 i 0 N 1 Número de dados lanzados, índice de tiempo

xi

1 Dado i( ) 6if

0 otherwise

Generamos un paquete si sacamos seis

xi

i0 50 100 150 200 250 300

0

1

En 1920’s, Erlang usó exitosamente este modelo, haciendo t0 y ajustando el númerode caras en cada dado para mantener una tasa fija de “paquetes” por segundo:

PROCESO DE POISSON :

nknn

kk

mn

ppnNP

ppmAP

)1(][

)1(][PROCESO DE BERNOULLI : {

tn

tn

en

tntNP

etAP

!

)(])([

1][{Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 1. Modelos de Tráfico (4/10)

1. Procesos de Renovación: {An} es una secuencia de variables aleatorias independientese idénticamente distribuidas.Ejemplos: Procesos Determinísticos, de Poisson y de Bernoulli

2. Procesos Markovianamente Modulados: Procesos de renovación en los que la tasa dellegadas depende del estado de una cadena de Markov.Ejemplos: MMPP, MMDP

0

p 01

p 10

1 p 11

p00

0 11/ 1/

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Presencia de tráfico de Tx de ArchivosInstantes de Llegada de Tramas


n

p

kknkn NaN

1

3. Modelos de flujo continuo: Las unidades individuales son infinitesimales y se modela latasa de flujo como una función aleatoria del tiempo.Ejemplo: Procesos de Difusión

0 20 40 60 80 1000

10

Número de celdas por segundo en función del tiempo

4. Modelos Autoregresivos: El número de llegadas en el siguiente intervalo de tiempo sepodría predecir del número de llegadas en los anteriores pintervalos, con un residuo de predicción iid.

5. Etc.LA AUTOCORRELACIÓN DECAE MUY RAPIDAMENTE (EXPONENCIALMENTE):

(k) = A exp(-|k|)


0 500 1000 1500 2000 2500 30000

2000

4000

6000Número de llegadas en períodos de 10 s

700 750 800 850 900 950 10000

500


800 805 810 815 820 825 8300

50

100

150Número de llegadas en períodos de 100 ms

816 816.5 817 817.5 818 818.5 8190

10


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5

10


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

Número de llegadas en períodos de 50 ms

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100


0 50 100 150 200 2500

200

400

Número de llegadas en períodos de 1.25 s


- M. Arlitt and C.Williamson “Internet Web Servers: Workload Characterization” IEEE/ACMTransactions on Networking, Vol.5 No. 5, 1997. pp. 631-645

- J. Beran, R. Sherman, M.S.Taqqu and W.Willinger “Long-range Dependence on VariableBit Rate Video Traffic” IEEE Transactions on Communications, Vol. 43, 1995. pp. 1566-1579

- M.Crovella and A.Betsavros “Self-similarity in WWW Traffic: Evidence and Possible Causes”Proceedings of the 1996 ACM Sigmetrics, May 1996

- A.Feldman, A.Gilbert, P.Huang and W.Willinger “Dynamics of IP traffic” Proceedings ofthe 1999 ACM Sigcom, 1999. pp. 301-313

- W.Leland, M.Taqqu, W.Willinger and D.Wilson, "On the Self-similar Nature of EthernetTraffic” Proceedings of the ACM SIGCOMM'93 (extended version in IEEE/ACM Transactions on Networking, February 1994)


0 500 1000 1500 2000 2500 30000

1

2

3

4

5

x 106 Queue length (in bytes) under the Ethernet traffic

Num

ber

of b

ytes

in q

ueue

Time in seconds

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

5000

10000

15000

Queue length (in bytes) under the Poisson traffic

Num

ber

of b

ytes

in q

ueue

Time in seconds


Necesitamos un nuevo modelo de tráfico capaz de• Capturar el hecho de que la

variabilidad en la demanda no cambia con la escala

• Predecir el desempeño de las actuales redes de comunicaciones

Necesitamos un nuevo modelo de tráfico capaz de• Capturar el hecho de que la

variabilidad en la demanda no cambia con la escala

• Predecir el desempeño de las actuales redes de comunicaciones


Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 2. Fractales (1/9)

r=1/2, N=2, D=1 r=1/3, N=3, D=1

r=1/2, N=4, D=2 r=1/3, N=9, D=2

r=1/2, N=8, D=3 r=1/3, N=27, D=3

La forma exacta de estos objetos es“invariante a la escala” o Autosemejante N = r -D D = log(N) / log(1/r)N = r -D D = log(N) / log(1/r)

N = 4,r = 1/3,D = log(4)/log(3) = 1.26

N = 8,r = 1/4,D = log(8)/log(4) = 1.5


FRACTional dimensionAL : FRACTALFRACTional dimensionAL : FRACTAL

N = 3,r = 1/2,D = log(3)/log(2) = 1.58

La dinámica de la naturaleza parece obedecer ciertas leyes sencillas: • Ecuación Logística (MAP): xn+1 = Axn(1-xn)• Segunda Ley de Newton (ODE): md2x/dt2 = F(x,dx/dt,t)• Ecuación de Onda (PDE): 2x/t2 = c22x/r2

• etc.

Por ejemplo, el sistema dinámicoxn+1 = xn

2 - 1, donde xi , tiende a para todo valor inicial x0 que no esté contenido en el siguiente conjunto de Julia, el cual tiene dimensión fractal ~1.24


c=0 c=0.15 c=0.25 c=0.26 c=0.3 c=0.5 c=1

c=-0.5 c=-0.75 c=-1 c=0.5i c=-0.125+0.65i c=-1.25 c=-1.4012

xn+1 = xn2 + cxn+1 = xn2 + c


Todos los parámetros c para los cuales el correspondiente conjunto de Julia es conectado

Todos los parámetros c para los cuales el correspondiente conjunto de Julia es conectado


Puntos x que no escapan a infinito bajo la iteración

x=x+x2


function Helecho(N)% Este programa dibuja el helecho de Barnsley mediante% la transformación T(x,y) = (a*x+b*y+e, c*x+d*y+f).% N es el número de iteraciones

% Marco A. Alzate, Universidad Distrital, 2002

X=zeros(N,2); % Secuencia de puntosX(1,:)=[0.5,0.5]; % Punto inicial

for k=1:N-1 % Para cada iteración r=rand; % Selecciona aleatoriamente el paso if r<.01 % T1(x,y) con probabilidad 0.01 X(k+1,:)=T(X(k,:),0,0,0,.16,0,0); elseif r<.86 % T2(x,y) con probabilidad 0.85 X(k+1,:)=T(X(k,:),.85,.04,-.04,.85,0,1.6); elseif r<.93 % T3(x,y) con probabilidad 0.07 X(k+1,:)=T(X(k,:),.2,-.26,.23,.22,0,1.6); else % T4(x,y) con probabilidad 0.07 X(k+1,:)=T(X(k,:),-.15,.28,.26,.24,0,.44); endendplot(X(:,1),X(:,2),'.')

function U=T(X,a,b,c,d,e,f)U(1)=a*X(1)+b*X(2)+e;U(2)=c*X(1)+d*X(2)+f;

Iterated Function SystemsIterated Function Systems

f

e

y

x

dc

ba

y

x

n

n

n

n

1

1


1. Series de tiempo geofísicas: Variaciones de temperatura, caída de lluvias, flujos oceánicos, niveles de inundación en ríos, frecuencia de rotación de la tierra, manchas solares…

2. Series de tiempo en economía: Variaciones en el promedio industrial Dow Jones, ...

3. Series de tiempo fisiológicas: Variaciones en el pulso, EEG bajo estímulos placenteros, tasa de adquisición de insulina en pacientes diabéticos,…

4. Series de tiempo biológicas: Variaciones voltaícas en los nervios, transferencia de energía en canales sinápticos,…

5. Fluctuaciones electromagnéticas: ruido galáctico, intensidad de fuentes de luz, flujo magnético en superconductores,…

6. Ruido en dispositivos electrónicos: transistores BJT y FET, tubos al vacío, diodos Zener, túnel y Schottky, …

7. Variaciones de frecuencia en relojes atómicos, osciladores de cuarzo, resonadores superconductores, …

8. Fenómenos inducidos por el hombre: Tráfico en redes, variaciones de amplitud y frecuencia en música moderna y tradicional, …

9. Patrones de error en canales de comunicaciones

10. Generación de estímulos fisiológicamente placenteros como música o brisa, etc.


The unifying concept underlying fractals, chaos and power laws is selfsimilarity. Self-similarity, or invariance against changes in scale or size, is an attribute of many laws of nature and innumerable phenomena in the world around us. Self-similarity is, in fact, one of the decisive symmetries that shapes our universe and our efforts to comprehend it.

Manfred Schroeder, 1991

Otro objeto fractal: El Conjunto de Cantor

Otro modelo de tráfico: El “Tráfico de Cantor”

(Número de llegadas en el intervalo [t,t+))Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (1/17)

Proceso de incrementos, {X(t)} Proceso acumulativo, {Y(t)}

Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 3. Tráfico Autosemejante (2/17)

Autosimilitud Estocástica: Alguna característica estadística del proceso es invariantea la escala Distintas definiciones.

- Si TODAS las estadísticas son invariantes a la escala,

{Y(t)} es autosemejante con parámetro H, H-ss, si

A nosotros nos interesan tres definiciones:

)()( atYatY Hd

(La distribución de probabilidad es invariante a la escala!)

- Si las estadísticas de segundo orden se comportan como si Y(t) fuera H-ss

{X(t)} es estrictamente autosemejante de segundo orden, con parámetro H, si la función de autocorrelación obedece a

HHH kkkk 2222

)1(2)1(2

)(

- Al menos asintóticamente

{X(t)} es asintóticamente autosemejante de segundo orden, con parámetroH, si la autocorrelación <m> del proceso agregadosatisface

im

imt

m tXm

iX)1(1

)(1

)(

HHHm

m

kkkk 2222

)1(2)1(2

)(lim



122

12 ,0N tttYtY 122

12 ,0N tttYtY

)()( 21

atYatYd

)()( 21

atYatYd

El proceso acumulativo es autosemejante con parámetro H=1/2

),0()1()()( 2NtYtYtX ),0()1()()( 2NtYtYtX

Pero el proceso de incrementos es simplemente ruido blanco gausiano:

Ruido Blanco Gaussiano

Movimiento BrownianoN 1024 n 0 N 1

x rnorm N 0 1( )

y0

x0

yn

if n 0 y0

yn 1

xn

Suponiendo Y(0)=0,

Para sintetizar movimiento browniano, basta con integrar ruido blanco gaussiano:

121 H 121 H

X(t) = Y(t) - Y(t-1) : Ruido Gaussiano FraccionalX(t) = Y(t) - Y(t-1) : Ruido Gaussiano Fraccional

ttHHtttt HHHHH

X 12 2112

2222222

HtttYtY

2

122

12 ,0N HtttYtY

2

122

12 ,0N

)()( atYatY Hd

)()( atYatY Hd

El proceso acumulativo es autosemejante con parámetro HSuponiendo Y(0)=0,

22221

22221

222

)()()()()()(

)()()()()()(

)()()(2)()()(

sYtYEsYEtYEsYtYE

sYtYsYtYsYtY

sYsYtYtYsYtY

HHHY ststst

2222

2

, HHHY ststst

2222

2

,

)1()1()()1()1()()()()()( tsYsYEtsYsYEtsYsYEtsYsYEtsxsxE

HHHHHH

HHHHHH

ttssttss

ttssttss222222

222222

2)1()1()1()()1(

)1()1()(2


N 1024 n 0 N 1 Número de muestras

wn rnorm N 0 1( ) Ruido blanco

mxLln N( )

ln 2( )L 1 mxL Niveles

h 0 2 Hh

0.55 0.1 h Parámetros H

Arreglo de desviacionesestándar para cada nively cada parámetro H

0 h 1

L h 2L H

h

1 22 H

h1

Puntomedio X i0 i2 L h( ) i1 0.5 i0 i2( )

Xi1

0.5 Xi0

Xi2

L h wn

i1 1

X Puntomedio X i0 i1 L 1 h( )

X Puntomedio X i1 i2 L 1 h( )

L mxLif

X

Cálculo recursivomediante eldesplazamientodel punto medio

fbm0 h 0 fbm

N h wnN 1

fbm h Puntomedio fbm h 0 N 1 h Construcción Recursiva

Movimiento Browniano FraccionalH=0.95

H=0.75

H=0.55


r H k( ) H 2 H 1( ) k2 H 2 k 1 99

r 0.5 k( )

r 0.8 k( )

r 0.9 k( )

r 1 k( )

k1 10 100

0

0.5

1

H=0.5H=0.8H=0.9H=1

¿Porqué 1/2 < H < 1?

Con H=1/2, la autocorrelación es cero (ruido blanco)

Con H=1, la autocorrelación es idénticamente 1 (Al observar una muestra se pierde toda la aleatoriedad)

Con H>1, {X(t)} ya no es estacionario

Con H<1/2, la autocorrelación de X suma cero

Con 1/2<H<1, el procesomuestra Dependencia deRango Largo.


{X(t)} tiene dependencia de rango largo si su autocorrelación r(k)=(k)/2, se comportaasintóticamente como r(k) = c k- cuando k, con 0 < < 1 y c>0, de manera que r(k)no es sumable, esto es,

k

kr )(

Si {X(t)} es LRD, su densidad espectral de potencia diverge alrededor del origen,indicando mayores contribuciones de los componentes de baja frecuencia:

{X(t)} es un ruido 1/f si su densidad espectral de potenciasatisface la siguiente propiedad, donde c>0 y 0<<1:

k

jkkr )exp()(2

1)(

||)( c

{X(t)} es asintóticamente autosemejante de segundo orden con 1/2 < H < 1

{X(t)} es dependiente de largo rango con 0 < = 2-2H < 1

{X(t)} es ruido 1/f con 0 < = 1- = 2H-1 < 1


v

.

1 10 1000.01

0.1

1

SRDLRD

Funciones de Autocorrelación

Diferencia de tiempo

Aut

ocor

rela

ción

Dependencia de Rango Largo

N 80 n 0 N 1 k 0 N 1

W k rnorm N 0 1( ) dft W( )

Vn k n 10( ) k 10( ) 1

n 1( )2 k 1( )2

0 V( ) v idft 0( )

Ruido 1/f


function H=Varianza Tiempo(NP,N)% function H=VarianzaTiempo( NP,Nm)% Este fun ciOn calcula el di agrama varianza-tie mpo de los tiempos entre llegadas% de los p rimeros NP paquete s de los datos de B ellcore usando Nm niveles de agregaci On.% Retorna el estimado de H, calculado mediante regresiOn de mInim os cuadrados%% Marco A. Alzate, Universid ad Distrital, 2002

load Bc_pa ug0 % Los dato s originales traen el tiempo de llega dax=Bc_paug0 (2:NP+1,1)-Bc_paug 0(1:NP,1); % Calcula los tiempos entre llegadasv(1)=var(x ); % Varianza de la secuencia t otalfor m=2:N % NUmero d e niveles de agreg aciOn Ns=floo r(NP/m); % NUmero d e muestras en esta escala de agregaci On y=zeros (Ns,1); % SeNal ag regada for i=1:Ns % Calcula las sumas acumulad as y(i) =sum(x(1+m*(i-1):m *i))/m; end v(m)=va r(y); % y calcul a la varianza a es te nivel de agragac iOnendp=polyfit( log(1:N),log(v),1) ; % RegresiO n de mInimos cuadr adosplot(log(1 :N),log(v), 'r-' ,[0 log(N) ],[p(2) p(2)+log(N )*p(1)], 'b-' ) % Grafica los resultadosH=p(1)/2 + 1; % Estimaci on de H

0 1 2 3 4 5 6 7-15

-14.5

-14

-13.5

-13

-12.5

-12

-11.5

-11

-10.5Diagrama Varianza-Tiempo

Log(m)

Log(

Var[x

<m> ])


im

imt

m tXm

iX)1(1

)(1

)(

][][ )1(2 XVarmXVar Hm

mH

XVarXVar m

log)1(2

loglog

Una variable aleatoria Z tiene una distribución de cola pesada sicuando x, donde 0 < < 2.

cxxZPr

Var[Z] = Variabilidad extrema

La autosimilitud del tráfico en redes se puede explicar a partir de las distribucionesde colas pesadas en variables relacionadas como longitud de archivos, tiempos depermanencia de las conexiones, etc.

Ejemplo: Distribución de Pareto xbxZ /1Pr

0 2 4 6 8 100

0.5

1

ExponencialPareto

Funciones de distribución


S3(t)

X3(t)

X2(t)

X1(t)N fuentes on/off independientes, Xi(t)Períodos on iid (tren de paquetes)Períodos off iid

N

iiN tXtS

1

)()( Tráfico agregado

at

NN dSatY0

)()( ProcesoAcumulativo

Si los períodos de actividad y/o de inactividad tienen una distribución de cola pesada,

YN(at) se comporta como un movimiento browniano fraccional para N y a grandes

)(][][

][)( tBaNcNat

EE

EatY H

H

offon

ond

N


El fbm es uno de los más usados modelos de tráfico. Pero hay más... El fbm es uno de los más usados modelos de tráfico. Pero hay más...

Modelo MA(q) (Moving Average):

)()()()1()1()( tptxpatxatx Modelo AR(p) (AutoRegressive):

)()()1()1()()( qtqbtbttx Modelo ARMA(p,q):

)()()1()1()()()()1()1()( qtqbtbtptxpatxatx

+ (n) x(n)+++

z -1z -1z -1z -1z -1

z -1 z -1 z -1 z -1 z -1

a1a2ap-1ap

bq-1 bqb2b1

Modelo ARIMA(p,d,q) (AR Integrated MA):

ARMA(p,q) con X(z) = (1 - z -1) d Y(z) d=1 x(t) = y(t) - y(t-1) y(t) = ix(i)

d=2 x(t) = y(t) - 2y(t-1)+y(t-2) y(t) = id(i)x(i)

Modelo FARIMA(p,d,q) (Fractional ARIMA):

ARIMA(p,d,q) con d(-0.5, 0.5)

t

i

dnnciitctY 1)( donde ,)()()(


11

22

33

44

LlagadasPoisson conintensidad

Infinitos servidores en los que la distribución de los tiempos de servicio tienecola pesada con parámetro

N(t) = Número de servidores ocupados en el instante t

N(t) es un proceso M/G/

• Es una generalización del multiplexaje de procesos on/off• Si 1 < < 2, N(t) es asintóticamente autosemejante con H = (3 - )/2


La transformada wavelet es ideal para detección, estimación y síntesis de fenómenos de escala:Los coeficientes wavelets son i.i.d. y la energía a cada escala conserva la autosemejanza.


Uj,k

Uj+1,2k Uj+1,2k+1

Uj+2,4k Uj+2,4k+1 Uj+2,4k+2 Uj+2,4k+3

Wj,k

Wj+1,2k Wj+1,2k+1

Wj+2,4k Wj+2,4k+1 Wj+2,4k+2 Wj+2,4k+3

0(t) : Función de escala de Haar

Fila Fila jj: Aproximación a la escala : Aproximación a la escala jj Fila Fila jj: Detalle a la escala : Detalle a la escala jj+1+1

1,0(t) = 2 0(2t-0)

(t) : Función wavelet de Haar

1,1(t) = 2 0(2t-1)

1,0(t) = 2 0(2t-0)

1,1(t) = 2 0(2t-1)

j,k(t) = 2j/20(2jt-k)j,k(t) = 2j/20(2jt-k) j,k(t) = 2j/20(2jt-k)j,k(t) = 2j/20(2jt-k)

0

12

0,,0,0 )()(

j kkjkj

j

tWUtx 1 , ,,,, kjkjkjkj AUAW

kj

kj

kj

kj

W

U

U

U

,

,2/1

12,1

2.1

11

112

CascadaMultiplicativa

CascadaMultiplicativa

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

• El tráfico Ethernet parece tener muchas propiedades determinísticas• Caos es un fenómeno mediante el cual algunos sistemas dinámicos no lineales exhiben un comportamiento complejo que, aunque determinístico, aparenta ser aleatorio.• Las trayectorias de sistemas caóticos suelen ser de naturaleza fractal y pueden usarse como generadores de estructuras fractales.• Sería interesante poder capturar la complejidad del tráfico actual mediante sistemas de bajo orden que requieran sólo unos pocos parámetros.

1 ),(

0 ),(

2

11

nn

nnn xdxf

dxxfx

donde f1(·) y/o f2(·) son “sensibles a las condicionesiniciales”, esto es,

)(0

)(0

)( oxnnn exfxf xn

xn+1


- Detección, estimación y síntesis de autosemejanzaInferencia estadísticaWavelets y multifractalidad

- Modelamiento de tráfico basado en medicionesAplicación de las técnicas anteriores alestudio del inmenso volumen de medidasde tráfico de altísima calidad y diversidad

- Modelamiento físicoRelación entre los mecanismos de generacióny procesamiento de tráfico y sus característicasde autosemejanza

- Análisis de colas con entrada autosemejanteCotas superiores e inferiores de las medidas dedesempeño y comparación con modelos SRD

- Control de tráfico y asignación de recursosAncho de banda efectivo, control de congestión amúltiples escalas, predicibilidad de la duraciónde las conexiones.

Teoría de Control en Redes de Comunicaciones: Caos y ComplejidadTeoría de Control en Redes de Comunicaciones: Caos y Complejidad


Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 4. Caos en TCP/IP (1/17)

• Abstracción:– Confiable– Ordenado– Punto-a-punto– Flujo de Bytes

• El protocolo se implementa exclusivamente entre extremos– Supone que la entrega se hace fuera de secuencia y sin

confiabilidad

RTT

data0

ack0

data1

data2ack0

data1ack2

data1ack2

data3

Tout

Tx Rx

Mecanismo de Confiabilidad


Enviados pero noreconocidos

No enviados

Ventana

Números desecuencia

Siguiente por enviar

Transmisor:Transmisor:

Receptor:Receptor:

Reconocidos, peroaún no entregados

al usuario

Aún noreconocidos

Buffer de recepción

Gap

Números desecuencia

Ventana


10 Mbps

100 Mbps

1.5 Mbps

Si ambas fuentes transmiten sus ventanas completas, puede ocurrir un colapso

Carga

Caudal

Carga

Retardo

Los transmisores deben ajustar su tasa de datos de acuerdocon la cantidad de congestión detectada


• Diferentes mecanismos interrelacionados:– Inicio lento (Slow start)

– Evitación de la congestión (Congestion avoidance)

– Retransmisión rápida (Fast retransmit)

– Recuperación rápida (Fast recovery)

– Estimación correcta del temporizador de retransmisión

cwnd: Ventana de congestión que indica cuántos bytes puede absorver la red


cwnd=1

cwnd=2

cwnd=4

cwnd=8

Tx Rx

cwnd=1

cwnd=2

cwnd=3

cwnd=4

Tx Rx

cwnd

tiempo


Utilizan reconocimientos duplicados para:

• Retransmitir menos segmentos (fast retransmit)• Incrementar cwnd más agresivamente (fast recovery)

cwnd

tiempo

TCP Tahoe (1988) : SS, CA, FrtTCP Reno (1990) : SS, CA, Frt, FrcTCP Vegas (1994) : Considera RTT otra medida de congestiónTCP Sack (1996) : El Rx envía una lista de los segmentos perdidosTCP New Reno (1999), TCP D-SACK (2000), TCP LTE (2001), ...


Drop-Tail : Descarte al final de la colaDrop-Tail : Descarte al final de la colaFácil de implementar por el proveedorFácil de entender por el cliente

Como sólo descarta paquetes cuando ya no hay recursos disponibles, no puede absorber ráfagas adicionales Como las fuentes no reconocen la congestión hasta que los recursos están completamente agotados, la congestión dura largos períodos de tiempo Como todas las conexiones TCP reducen la tasa de transmisión simultáneamente, se produce sincronización global (oscilaciones drásticas en el tráfico)Como TCP tarda más en recuperarse de múltiples pérdidas que de una sola pérdida, el caudal total se reduce significativamente

123

2

3

4

5

6

7

4

3

7

7

7

7

7

7

6

6

6

6

6

5

5

5

5

4

4 1

1

1

2

2

2

3

2

2

3

3

3

4

3

4

4

4

5

5

57

3457

3457

4570

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

9

9

9

9

9

9

9

9

9 8

8

8

8

8

8

8

8

1

1

1

1

1

1

12

2

2

2

3

El nodo debe responder proactivamente a la congestión de acuerdo con la longitud promedio de sus colas


RED : Detección Temprana AleatoriaRED : Detección Temprana Aleatoria

minthmaxth

maxthminth

p

1

00

Ocupaciónde la cola

Probabilidadde descarte Identifica las primeras etapas de la

congestión, descartando paquetes más agresivamente a medida que la congestión aumentaEvita la sincronización globalPermite mantener una longitud de cola establePermite un descarte justo

Difícil de configurarUna configuración inadecuada puede ser peor que tail drop

TCPTCP Red(A)QM

Red(A)QM

Retardo (ECN)Retardo (ECN)

Tasa de Datosde la AplicaciónTasa de Datosde la Aplicación

Tasa dela FuenteTasa dela Fuente

Medidas deCongestiónMedidas deCongestión


• Reduzca la ventana cuando se perciba congestión

• En otro caso, incremente la ventana


10 Mbps, 2ms

10 Mbps, 3ms1.5 Mbps, 20ms

10 Mbps, 4ms

10 Mbps, 5ms

RED

cwnd1

cwnd2

MaxQ=25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25cwnd vs tiempo

Tiempo en s

cwnd

en

segm

ento

s

cwnd1

cwnd2

0 5 10 15 20 250

5

10

15

20

25trayectoria de las ventanas

cwnd1

cwnd

2

set ns [new Simulator]set node_(s1) [$ns node]...set node_(s4) [$ns node]$ns duplex-link $node_(s1) $node_(r1) 10Mb 2ms DropTail...$ns duplex-link $node_(s4) $node_(r2) 10Mb 5ms DropTailset redq [[$ns link $node_(r1) $node_(r2)] queue]$redq set setbit_ trueset tcp1 [$ns create-connection TCP/Reno $node_(s1) TCPSink $node_(s3) 0]set tcp2 [$ns create-connection TCP/Reno $node_(s2) TCPSink $node_(s3) 1]set ftp1 [$tcp1 attach-app FTP] set ftp2 [$tcp2 attach-app FTP]set f1 [open cwnd1.tr w]$tcp1 trace cwnd_$tcp1 attach $f1set f2 [open cwnd2.tr w]$tcp2 trace cwnd_$tcp2 attach $f2$ns at 0.0 "$ftp1 start"$ns at 0.0 "$ftp2 start"$ns at 20.0 "finish"proc finish {} { global ns f1 f2 $ns flush-trace close $f1 close $f2 exit 0}$ns run

tttt

ttttdt

d

),(),()(

)0( ,),(),()( 0

uxgy

xxuxfx

ftft

u(t) x(t) x(t)y(t)

x0

.

gt


)()()(

)0( ),()()( 0

ttt

tttdt

d

DuCxy

xxBuAxx

Eigenvalores reales positivos

Eigenvalores reales negativos

Eigenvalores puramente imaginarios

Eigenvalores complejos con parte real positiva

Eigenvalores complejos con parte real negativa


))(sin()()(2

2

tzrtutzdt

dh


- Más de un punto de equilibrio

- Ciclos límite (variaciones periódicas en las variables de estado)

- Bifurcaciones

- Sincronización

- Sensibilidad a condiciones iniciales

- etc.

- Más de un punto de equilibrio

- Ciclos límite (variaciones periódicas en las variables de estado)

- Bifurcaciones

- Sincronización

- Sensibilidad a condiciones iniciales

- etc.

xn+1 = xn (1 - xn) : Si 4 y x0 [0, 1], entonces la trayectoria se mantiene en el intervalo [0, 1].

Con <1, la trayectoria tiende a cero

0 0.5 10

0.15

0.3

Con 1 3, la trayectoria tiende a 1-1/

0 0.5 10

0.5

1

0 0.5 10

0.5

1

Con 3 < 1+6, la trayectoria tiendea un ciclo de período 2

0 0.5 10

0.5

1

0 0.5 10

0.5

1

Con 3.449 < < 3.544, la trayectoriatiende a un ciclo de período 4

Con 3.544 < < 3.564, la trayectoriatiende a un ciclo de período 8

Bifurcación por duplicación del período

3 13.449 23.544 43.564 83.568 163.569 32…3.570


Con 3.57 < < 3.829, la trayectoria es muy complicada. Puede ser aperiódica, pero también hay trayectorias periódicas con todos los períodos 2n.

En =3.829 aparece porprimera vez una órbita deperíodo 3 que se bifurca a 6,12, 24,… De 3.829 a 4.0aparecen órbitas periódicas detodos los posibles períodos yórbitas aperiódicas: Caos!


TCPTCPREDRED

Retardo = RTTRetardo = RTT

FuenteFuenterk pk

pk-1

qk , qk

TCP:TCP:1

k

kp

K

RTT

Mr RED:RED:

0,,0 BR

M

CRTT

M

nrq k

k

kkk wqqwq 1)1(

Bq

qpq

q

p

kth

thkththth

thk

thk

k

max1

maxminminmax

min

min00

max


M: Tamaño del paqueteRTT: Round Trip Timepk : Probabilidad de pérdidaB: Tamaño del buffern : Número de flujos TCPR0 : Mínimo RTT (propagación y transmisión)C : Capacidad de los enlaces


Duplicación de período

Colisión de borde

Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (1/16)

INTERNET:Subredes,

Nodos y Enlaces

Internet es una mezcla heterogénea de enlaces,nodos y fuentes de tráfico:

Un Concepto Popular: Muchos elementos interactuando con muchas reglas de interacción de difícil formulación. En realidad la complejidad se da cuando un sistema (tal vez sencillo) presenta un comportamiento impredecible

El problema de tres cuerpos:

Tierra( ) Jupiter ( ) Sol ( )

Complejidad Sustantivo femenino. Calidad de ComplejoComplejo Adjetivo (latín complexus, que abarca la totalidad). Se dice de lo que se compone de elementos diversos, con lo quese dificulta su comprensión



La complejidad de la red es completamentetransparente para los usuarios:

hola!

Excepto en presencia de errores!

El planeta tierra está desarrollando un sistema nervioso electrónico: Una red con nodos y enlaces.

-computadores-enrutadores-satélites

-líneas telefónicas-cables de televisión-ondas electromagnéticas



Sociedad

Nodos: individuos

Enlaces: Relaciones sociales

(familia/trabajo/amistad/etc.)

Genoma

Nodos: Genes

Enlaces: Interacciones químicas

entre ellos

World Wide Web

Nodos: Páginas WWW

Enlaces: Enlaces URL

El color de cada nodo representa el efecto fenotípico al retirar la correspondiente proteína (rojo: letal, verde: no letal, amarillo: desconocido). Hawoong Jeong, Universidad de Notre Dame.


Algunos ISP backbones se han coloreado por separado. K. C. Claffy , proyecto Caida.


El mismo mapa, coloreado según el grado de cada ISPFractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)

Bradley Huffaker, Proyecto Caida.


The architecture of The architecture of complexitycomplexity

Albert László BarabásiAlbert László Barabási(Univ. of Notre Dame)(Univ. of Notre Dame)

www.nd.edu/~networks

From the diameter of the From the diameter of the www to the www to the structure of the cellstructure of the cell


A Few Good Man

Robert Wagner

Austin Powers: The spy who shagged me

Wild Things

Let’s make it legal

Barry Norton

What Price Glory

Monsieur Verdoux

Kevin BaconCharles Chaplin


Marilyn MonroeMike Myers

Tom Cruise

- Democráticas

- Aleatorias

Conectar cada par de nodos con probabilidad p

p=1/6 N=10 k ~ 1.5

Distribución de Poisson

P(k) = Probabilidad de que un nodocualquiera tenga k enlaces


Clustering: Es muy probable que mis amigos se conozcan entre ellos

C =# de enlaces entre mis n vecinos

n(n-1)/2

Las redes reales están agrupadas (C(p) es grande),

pero tienen una ruta característica (L(p)) pequeña.

Red C Caleatoria L N

WWW 0.1078 0.00023 3.1 153127

Internet 0.18-0.3 0.001 3.7-3.763015-6209

Actores 0.79 0.00027 3.65 225226

Coautores 0.43 0.00018 5.9 52909

Metabólicas 0.32 0.026 2.9 282

Alimentación 0.22 0.06 2.43 134

C. elegance 0.28 0.05 2.65 282


(Watts and Strogatz, Nature 393, 440 (1998))



ROBOT: Sigue todos los URLs que encuentra en un documento Web y los sigue recursivamente.

800 millones de documentos

(S. Lawrence, 1999)

Lo que se esperaba:

NWWW ~ 109

P(k=500) ~ 10-99

Lo que se encontró:

P(k=500) ~ 10-6

Seleccionar N nodos con la misma Pin(k) y Pout(k)

< l > = 0.35 + 2.06 log(N)

< l

>

l15=2 [125]

l17=4 [1346 7]

… < l > = ??

1

2

3

4

5

6

7


Distribución Poisson

Red Exponencial

Distribución con Ley de Potencia

Red Libre de EscalaFractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Complejidad en Redes (6/16)

(Faloutsos, Faloutsos and Faloutsos, 1999)


N = 212,250 actores

P(k) ~k-

=2.3


N = 1,736 artículos de Física

P(k) ~k-

=3

Estructura Interna de la Mayoría de Redes Reales

(1) El número de nodos no es fijoLas redes se expanden continuamente añadiendo nuevos nodos

Ejemplos: Adición de nuevos documentos en la Web

Publicación de nuevos artículos científicos

Producción de nuevas películas

(2) Las conexiones no son uniformesLos nuevos nodos prefieren conectarse con nodos que ya tengan un gran número de enlaces

Ejemplos: CNN, Yahoo!, Google, NY Times

Los artículos más citados son los más consultados

Todos quieren actuar con Tom Cruise


WWW(in)

Internet ActoresCitación

deartículos

Sociossexuales

RedCelular

LlamadasTelefónicas

lingüística

= 2.1 = 2. 5 = 2.3 = 3 = 3.5 = 2.1 = 2.1 = 2.8


Densidad de Enrutadores IP

Densidad Poblacional


Sistemas Complejos:Constituidos por muchos elementos no idénticos,

conectados mediantedistintas interacciones

Colaboración Científica WWW

Internet CélulasCitación de artículos

Cadenas alimenticias

Relaciones Sexuales Teoría deSistemas

Complejos

• Complejidad Computacional. P-NP, Kolmogorov,...

• Teoría de la información Codificación de Fuente y de Canal,...

• Teoría de Control Realimentación, Optimización, Teoría de juegos,...

• Sistemas Dinámicos Bifurcacióm Caos,...

• Física Estadística Transiciones de Fase, Fenómenos Críticos,...


N

Frecuencia deapagones en losque el número declientes afectadosexcede N

104

105

106

10710

0

101

102

103

US Power outages1984-1997

1x1


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 20

1

2

3

4

5

6

Tamaño de los eventos, log10(S)

Incendios Forestales (1000 km2)

Archivos WWW (Mbytes)

Frecuencia deeventos detamañomayor que S


-1/2

-1


Los árboles se ubican aleatoriamente en un área NxNLos árboles se ubican aleatoriamente en un área NxN

Una chispa cae en un sitio vacío y no tiene ningún efecto

Una chispa cae en un “cluster” y quema todo el cluster

Y = Densidad promedio después de una chispa

Y = Densidad promedio después de una chispa

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Y

(densidad antes de la chispa)

“Punto crítico”

N=100

Sin chispas

Con chispas


Cuando N tiende a infinito, el punto crítico corresponde con la aparición del primer cluster de tamaño infinito. En ese punto, los clusters tienen una apriencia fractal y la distribución del tamaño de los incendios sigue una ley de potencia.

Cuando N tiende a infinito, el punto crítico corresponde con la aparición del primer cluster de tamaño infinito. En ese punto, los clusters tienen una apriencia fractal y la distribución del tamaño de los incendios sigue una ley de potencia.

Y


Fuegos sinmayoresconsecuencias

Fuegos sinmayoresconsecuencias Todo se quemaTodo se quema

Máximo YMáximo Y


Comportamiento emergente: Creación de un patrón inesperado debido a las interacciones delos componentes de un sistema.

Auto-Organización: Surgimiento de un orden dentro de un sistema sin la intervenciónde un control central.

Criticalidad Auto-Organizada: Transición repentina de fase en un sistema auto-organizado.

Borde del Caos: Estado de un sistema en el que una variación mínima lo puedeconducir al caos o al orden.

Complejidad en la Mecánica EstadísticaComplejidad en la Mecánica Estadística

Ley de Potencia: Variación hiperbólica de la cola de la distribución de los eventosen un sistema dinámico

Complejidad en los Sistemas Biológicos y de IngenieríaComplejidad en los Sistemas Biológicos y de Ingeniería

Tolerancia Altamente Organizada: Mecanismo de obtención de fenómenos emergentesmediante diseño deliberado o mediante evolución, caracterizadopor la obtención de estados de alto desempeño en medio de unambiente incierto.


Mediante diseño, se puede incrementar Y por encima del punto críticoMediante diseño, se puede incrementar Y por encima del punto crítico

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

aleatorio

“optimizado”

SOC/EOC

HOT

- Alta densidad de salida- Alta robustez

- Leyes de potencia en todaslas densidades

- Baja densidad de salida- Mediana robustez

- Leyes de potencia sólo enel estado crítico


Los sistemas complejos en biología y en tecnología se caracterizan por estados de alto desempeño (mediante diseño o evolución), los cuales son tolerantes a la incertidumbre en el ambiente y en los componentes.

Estos procesos de diseño o evolución conducen a estructuras jerárquicas basadas en modularidad y especialización, las cuales “esconden” una enorme complejidad.

6. Enrutamiento de Tráfico Fractal mediante Paquetes-Hormiga (7)6. Enrutamiento de Tráfico Fractal mediante Paquetes-Hormiga (7)7. Predecibilidad del Tráfico Fractal (8)7. Predecibilidad del Tráfico Fractal (8)







Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. Enrutamiento por hormigas (1/7)

Vida Artificialó

Modelos Basados en Agentes

Vida Artificialó

Modelos Basados en Agentes

- Redes Neuronales- Computación evolutiva- Inteligencia de enjambre- Algoritmos genéticos- Optimización por hormigas- etc.

- Redes Neuronales- Computación evolutiva- Inteligencia de enjambre- Algoritmos genéticos- Optimización por hormigas- etc.

{Principales características de un agente:Principales características de un agente:

Autonomía: Sensa el ambiente y toma decisiones correspondientemente

Abaptabilidad: Cambia su comportamiento de aucerdo con la historia reciente y con cambios en el ambiente.

Autonomía: Sensa el ambiente y toma decisiones correspondientemente

Abaptabilidad: Cambia su comportamiento de aucerdo con la historia reciente y con cambios en el ambiente.

• Algoritmos de Hormigas– Inspirados en la observación de hormigas reales

• Ant Colony Optimization (ACO)– Inspirado en el comportamiento de la colonia durante la

búsqueda de alimento:

– Colonia de individuos que cooperan– Rastros de Feromona para comunicación por “estigmergia”– Búsqueda de las rutas más cortas– Decisiones aleatorias usando información local


• Sistema colectivo capaz de realizar tareas complejas en ambientes inciertos, sin control externo ni coordinación central, El desempeño colectivo no podría ser alcanzado por un individuo actuando independientemente. (Comportamiento emergente y autoorganizado)

• Modelo natural particularmente adecuado para resolver problemas distribuidos.


Estigmergia: Comunicación indirecta y asíncrona. entre agentes (realimentación

positiva) .

Evaporación: La ruta creada se puede “olvidar” si. no se refuerza constantemente

(realimentación negativa) .

Aleatoriedad: Las hormigas pueden escoger otro. . camino aleatoriamente para no estancarse

. en soluciones no óptimas

0

1

2

3

4

5

6E0: 4p/ms

E1: 6p/ms

E2: 3p/ms

E3: 6p/ms

E4: 5p/ms

E5: 2p/ms

E6: 6p/ms

E7: 6p/ms

E8: 6p/ms

E9: 4p/ms


}{

,,

,,,, kj

nki

jiji nn

nnt

nntnntP

k

disponemos de una red {N,E}, donde N es un conjunto de nodos y E es un conjunto de enlaces entre algunos deellos, y queremos encontrar la mejor ruta desde un nodo fuente fN hasta un nodo destino dN.

Si el tiempo que tomó el paquete-hormiga en llegar de f a d en la ruta Ruta es TR, la cantidad de feromonas que lahormiga deposita en cada enlace de Ruta será Dmin/TR, donde el factor Dmin es un parámetro igual al mínimotiempo de transmisión entre todos los enlaces.

Procedimiento Hormiga

i=1

Rutai=f

Mientras Rutaid

A=Posibles_Saltos(Rutai)

P=Probabilidades_de_Transición(A)

i=i+1

Rutai=Siguiente_Nodo(P)

Fin

Deposite_Feromonas(Ruta)

Fin


0 5 10 15 20 25 301

2

3

4

5

6

7

8

9

10Caudal en la red de prueba

Demanda (p/ms)

Cau

dal (

p/m

s)

Optimo Hormigas Dos RutasUna Ruta

Demanda (p/ms)

Cau

dal (

p/m

s)

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

2000

4000


700 750 800 850 900 950 10000

500


800 805 810 815 820 825 8300

50

100


816 816.5 817 817.5 818 818.5 8190

10


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5

10


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

50

100


0 50 100 150 200 2500

200

400

Número de llegadas en períodos de 1.25 s

Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Predecibilidad del Tráfico (1/10)

¿Cuántos bytes llegarán en los próximos T segundos, X0, dado el número de bytesque han llegado en los anteriores períodos de T segundos, X-1, X-2, X-3, … ?

¿Cuántos bytes llegarán en los próximos T segundos, X0, dado el número de bytesque han llegado en los anteriores períodos de T segundos, X-1, X-2, X-3, … ?


Principio de Ortogonalidad: Si X0 es el número de bytes que llegarán en los próximos T segundos y hemos de escoger el mejor predictor de X0 entre los elementos de un espacio vectorial lineal de posibles predictores, S, obtendremos el Mínimo Error Cuadrado Medio (MMSE) si proyectamos X0 perpendicularmente sobre dicho espacio, de manera que el error resulte ortogonal a cualquier vector del espacio de predictores.

Proyección de A sobre B = Producto Interno E[AB] Y será un predictor óptimo de X0 si

E[(X0 - Y) Z] = 0 Z S

Espacio S de posibles estimadores

error


Predecir el número de bytes que llegarán en los próximos T segundos, X0, basados en la medida obtenida de los últimos T segundos, X-1

S = {g(X-1), g:RR}

Y=h(X-1) E[X0|X-1] S

Z=u(X-1) S

E[(X0 - Y)Z] = E[X0Z] - E[YZ]= E[X0 u(X-1)] - E[ E[X0|X-1] u(X-1)]= E[X0 u(X-1)] - E[ E[X0 u(X-1) | X-1] ] = E[X0 u(X-1)] - E[X0 u(X-1)] = 0

El estimador óptimo de X0 dado X-1 es

donde pi,j es la probabilidad condicional de que lleguen j bytes en los próximos T segundos dado que llegaron i bytes en los anteriores T segundos

0,10

jjipjiXXEY


)[ )[ )[ )[ )[ )[ )[ )[Intervalo 1 Int.2 Int.3 Int.4 Int.5 Int.6 Int.7 Intervalo 8

Xmin Xmin+2x Xmin+4x Xmin+6x Xmin+8x=Xmax

Xmin+x Xmin+3x Xmin+5x Xmin+7x 0

# de bytes que lleganen un período de T s

pi,j = Prob[X-n Intervalo j | X-n-1 Intervalo i] (independiente de n)

nin

ninjn

ji IX

IXIXp

1

1

, 1

,1

Dada una secuencia de medidas consecutivas { …, X-2, X-1}, pij se puede estimar así:

L

jjipjxY

1,)( donde x(l) E[X | X Il] es el centroide del intervalo l.


Tráfico Poisson Tráfico Fractal

8

1,2,

8

1

log donde ,j

jijiii

ii PPEEpE


¿Porqué no Y=E[X0 | X-1, X-2, … X-p+1, X-p]? Porque es imposible estimar las probabilidades condicionales de orden superior

Reducir nuestro espacio de estimadores de S = {g(X-1, X-2, … X-p+1, X-p), g:RpR} a S = { a1X-1+a2X-2+ … +ap-1X-p+1+apX-p, aiR, i=1,2,…,p}

El mejor estimador Y= aTX satisface el principio de ortogonalidad:

E[(X0 - aTX)bTX] = 0 b Rp

Expandiendo y teniendo en cuenta que (aTX)(bTX)=bTXXTa,

bTE[X0X] - bTE[XXT]a = 0 b Rp

lo cual no puede ser una identidad para cualquier b a menos que

E[X0X] = E[XXT]a

Sistemas no-lineales Caos Fractales

8. Análisis Wavelet (16)8. Análisis Wavelet (16) 9. Transformada Wavelet de Procesos Autosemejantes (4)9. Transformada Wavelet de Procesos Autosemejantes (4)10. Detección y Estimación: El Diagrama LogEscala (7)10. Detección y Estimación: El Diagrama LogEscala (7)11. Síntesis Wavelet de Procesos Autosemejantes (7)11. Síntesis Wavelet de Procesos Autosemejantes (7)12. Conclusiones (2)12. Conclusiones (2)







Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 5. Análisis Wavelet (1/16)

dtftjtxfX )2exp()()(

- La señal se debe conocer desde - hasta - No se pueden localizar los componentes frecuenciales en el tiempo

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-1

-0.5

0

0.5

1

Tiempo en ms

Am

plitu

d en

Vol

tios

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

10

20

30

40

50

60

70

80

Frecuencia en Hz

Am

plitu

d en

Vol

tios


dtftjtgtxfX ST )2exp()()(),( *

g(t) es una ‘ventana’ que selecciona un segmento alrededor de


dtftjtgtxfX ST )2exp()()(),( *

Para un fijo: )]()([, 0*

0 tgtxfX STf

t0 1 2 3

g(t-0) g(t-1) g(t-2) g(t-3)

Para una f0 fija:

x(t)

exp(-j2f0t)

g(t) XST(f0,t)

t

f

f0

f1

f2

G(f-f0)

G(f-f1)

G(f-f2)


t

f

Transformada de Fourieren Tiempo Corto

f

tDivisión Ideal


RtRaxtaT taX ,,,, ,

Los filtros de análisis deben ser de Q constante, su respuesta al impulso debe seruna “ondita”

aaa

1)(

dtxtaT aX )()(),( *

La CWT consiste en el conjunto de coeficientes

que compara la señal a analizar x(t) con el conjunto de funciones deanálisis

RtRaa

tu

auta ,,

1)( 0,

construidas mediante desplazamiento y escalización de la funciónde referencia 0(u) o “wavelet madre”


|TX(a,t)|2


- La CWT contiene toda la información sobre {x(t),t R}, pero es redundante- La teoría matemática del Análisis Multiresolución (MRA) demuestra que es posible hacer un muestreo crítico del plano tiempo-escala para escoger entre {TX(a,t), aR+, tR}, un subconjunto discreto de coeficientes que retenga la información total contenida en {x(t), tR}- Dicho muestreo crítico define la Transformada Wavelet Discreta, DWT.

2,0 )(),()( entonces 0)( Si

a

dadutuaTCtxduu uaX


Un MRA es un conjunto de subespacios vectoriales anidados{Vj, jZ}, que satisface las siguientes propiedades:

00

00

0

1

2

para Riesz base una es ),(

que talescala) de(función )( 4.

2)( 3.

2.

)(en denso es },0{ 1.

VZkkt

Vt

VtxVtx

VV

RLVV

jj

jj

Zjj

Zjj

1. y 2. Los Vj son subespacios de aproximación sucesiva para las funciones de cuadrado integrable, L2(R).

3. y 4. Una base Riesz para Vj es el conjunto de funciones

Zkktt jjkj

),2(2)( 02/

,


k

kjxVj tkjatxoyeccióntaproxj

)(),()(Pr)( ,Como Vj Vj-1, aproxj es más burda que aproxj-1, el MRA consiste en estudiarx(t) considerando aproximaciones cada vez más burdas. La información sobre x(t)que se pierde cuando se va de una aproximación a otra más burda es el detalle:

detallej(t) = aproxj-1(t) - aproxj(t)

Estos detalles se pueden obtener directamente mediante la proyección de x(t) sobre el conjunto de subespacios Wj = Vj-1-Vj (o “subespacios wavelet”),generados mediante la base Riesz

Zkktt jjkj

),2(2)( 02/

, generada mediante escalización y desplazamiento de la “wavelet madre” 0(t),que se obtiene a partir de 0(t).

kkjxWj tkjdtxoyeccióntalle

j)(),()(Pr)(det ,


x 0 t( )

x 1 t( )

x 2 t( )

t15 10 5 0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 0 t( ) x 1 t( )

x 1 t( ) x 2 t( )

t15 10 5 0 5 10 15

0.1

0

0.1

aproxj(t)

detallej(t)

0(t)

1,0(t)

2,0(t)

-1 0 1 2 3 4

Wavelet de Haar


J

jjJ talletaproxtaproxtx

10 )(det)()()(

Teóricamente, j puede ir de - a +. Pero en la práctica nos limitamos aj{0,1,2,…,J}

J

j kkjX

kkJX tkjdtkJa

1,, )(,)(,

Dadas la función de escala 0 y la wavelet madre 0, la DWT de x(t) consiste enlos coeficientes ZkJjkjdZkkJatx XX ,,...,1),,(,),,()(obtenidos mediante el producto interno de x(t) con las funciones base j,k y j,k.

Los coeficientes DWT son muestras de los coeficientes CWT, tomadas en la rejilladiádica dX(j,k) = TX(2j,2jk)

Haar Wavelet: Haar Scaling Function:

0 t( ) t 0( ) t 1( ) j k t( ) 20.5 j 0 2j t k Haar scaling function

0 t( ) t 0( ) 2 t 0.5( ) t 1( ) j k t( ) 20.5 j 0 2j t k Haar wavelet function

Wj k

k 2 j

k 1( ) 2 j

xfbm ( ) j k ( ) d Wavelet coefficients

Uk

k

k 1xfbm ( ) 0 k ( ) d Scaling Coefficients

X t( )

k

Uk 0 k t( )

j k

Wj k j k t( )

Signal reconstruction

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.1

0.1

0.2



g 2

h 2

g 2

h 2

g 2

h 2

g 2

h 2

ax(0,k)

ax(1,k)

ax(2,k)

ax(3,k)

ax(4,k)

dx(4,k)

dx(1,k)

dx(2,k)

dx(3,k)

g y h son filtros digitales obtenidosa partir de 0 y 0.


F1. Como las bases wavelet se forman a partir del cambio de escala de la wavelet madre, la familia de funciones de análisis es Invariante a la Escala.

F2. 0 tiene un número N1 de momentos desvanecientes

1,...,1,0 ,0)(0 Nkdttt k

3,0(t)

2,0(t)

1,0(t)

0(t)

Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 6. WT de Procesos Autosemejantes (1/4)

- La teoría Wavelet fue establecida originalmente para señales determinísticas de energía finita.

- Si 0 y 0 satisfacen ciertas condiciones muy generales relacionadas con la estructura de covarianza del proceso analizado, la DWT de un proceso estocástico de segundo orden es un campo estocástico de segundo orden.

- En particular, para nuestro caso, supondremos que las funciones de escala y las wavelets decaen por lo menos exponencialmente rápido en el dominio del tiempo de manera que las estadísticas de segundo orden de la transformada existan para los procesos H-ss, H-sssi y LRD que discutimos aquí.


Si X(t) es H-ss, los coeficientes dX(j,k) reproducen exactamente laautosimilitud:

)1,0(),...,1,0(),0,0(2)1,(),...,1,(),0,( )( 21

jXXX

Hjd

jXXX NdddNjdjdjd

(Este es un resultado (no trivial) de F1).

Para procesos de segundo orden, una consecuencia inmediata es

2)12(2 ),0(2),( kdEkjdE XHj

X

for i=0:1023 %1024 trazas muestrales y=cumsum(randn(1,256)); %BM : 0.5-sssi for j=0:4 %Coeficientes DWT para 5 [y,d]=dwt(y,'db2'); % escalas consecutivas D(i+1,j+1)=d(4); %Preserva el coeficiente 4 endendfor j=0:4 %Compara los histogramas [h,x]=histo(D(:,j+1),50);%para cada escala, debi- stairs(2^(-j)*x,h); %damente corregidosend


Si X(t) es H-sssi, los coeficientes {dX(j,k),kZ} para una escala fija j forman unproceso estacionario

(Este resultado (no trivial, pues X(t) es no-estacionario) surge de F2).

Dada la estructura de covarianza del proceso H-sssi, la correlación entre loscoeficientes wavelet es casi cero si N>H+1/2. Más aún, la velocidad con quedecae se puede controlar con N:

mkmkmldkjdE ljNHljXX 22,22),(),(

22

for k=0:199 % 200 trazas muestrales y=fbm(0.78,12); % FBM 0.78-sssi for i=1:4 % Coeficientes dwt a [y,d(i,:)]=dwt(y,'db2');% escalas 0,1,2 y 3 R(i,:)=R(i,:)+... % Promedia las respec- xcorr(d(0,:),d(i,:))/200; % tivas correlaciones endend


P1. {dX(j,k), kZ} es un proceso estacionario si N (-1)/2 cuya varianza reproduce el comportamiento de escala dentro de cierto rango de octavas j1 j j2

P2. {dX(j,k), kZ} no presenta dependencias estadísticas de largo rango si N /2. Entre mayor N, menor el rango de dependencia, tanto que la siguiente idealización es casi siempre válida:

caso otrocualquier en 0

y si ),(),(

2 mkljmldkjdE XX

j

Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 7. Detección y Estimación (1/7)

El proceso original tiene dependencia de rango largo y no es estacionario Difíciltratamiento estadístico (lenta convergencia y, aún después de convergir, alta variabilidad).

Para cada escala j, el proceso dX(j,) tiene dependencia de rango corto (casi rango 0) y esestacionario, con media 0 Fácil tratamiento estadístico (rápida convergencia con bajavariabilidad).

Ejemplo:

jn

kX

jj kjd

n 1

2,

1

La v.a. j es un estimador no polarizado y asintóticamente eficiente capazde representar el comportamiento de segundo orden de X(t) a la escala j.

P2

La varianza del proceso original a cada escala j tiene una ley de potencia quedepende de j y, para esta ley, j es un excelente estimador: Basta con considerarla pendiente de la gráfica de log2(j) contra j.

P1


jn

kX

jj kjd

n 1

2,

1 Energía de la Señal a la Escala j

jvsy jj )log( Diagrama LogEscala

Como j = 2j0, yj = j + log(0) La presencia de alineación permite

detectar el comportamiento de escala

Entre las octavas 4 y 10 se observaAlineación con = 0.56 (H = 0.78)

El comportamiento de escala se puede identificar como LRD ya que 0 < < 1 y la alineación incluye las escalas mayores


Aquí se observa alineación en todo elrango de escalas, con = 2.57 (H=0.79),consistente con la autosimilitud del fbm0.8-sssi que se utilizó.

Aquí, a bajas escalas parece haber uncomportamiento de escala con =0.16(H=0.58), pero lo que importa es elcomportamiento asintótico en el que=0.025 (H=0.51): ruido blanco.


Detección : Presencia de alineación (intervalos de confianza!) Evitar (1) la no detección por variaciones bruscas ni (2) la falsa inclusión the escalas a la izquierda donde el ojo sugiere que la tendencia lineal continúa (pruebas de ajuste chi-cuadrado)

Estimación : Regresión lineal en el rango de escalas de alineación Identificación: ¿LRD o H-ss? Interpretación del valor estimado (0,1), [j1,] LRD > 1 H-ss Usar toda la información adicional posible


Suponiendo que el intervalo [j1, j2] ya ha sido correctamente identificado:

Estimar = Determinar la pendiente del diagrama log escala enla región de alineación

1. Regresión lineal (MSE)

Estimador no polarizado de , pero ineficiente porqueE[log(X)]log(E[X]) yj j + b

2. Regresión lineal ponderadaCalcular la regresión basados en yj = log(j)-g(j), donde

2/log)2/( )2ln(

)2/(')( 2 j

j

j nn

njg

MVUE (estimador no polarizado de mínima varianza)


•Estimador computacionalmente óptimo, O(n) –adecuado para estimación en tiempo real-

•No es sensitivo a fenómenos que aparentan ser de escala como tendencias superimpuestas (N momentos desvanecientes eliminan tendencias polinomiales de grado N-1)

•Capaz de medir formas estacionarias y no estacionarias de fenómenos de escala (fenómenos multifractales)


)()()( tTtXtY Completamente descritopor un modelo de escala(LRD, H-ss, o fractal)

Tendenciadeterminística

0)(0 dtt Ortogonal a valores promediodistintos de cero, T(t)=a

0)(0 dttt Ortogonal a funciones linealesT(t) = at + b

0)(02 dttt Ortogonal a funciones cuadráticas

T(t) = at2 + bt + c

Con N momentos desvanecientes se garantizala eliminación de tendencias polinómicas de

orden hasta N-1.

Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 8. Síntesis (1/7)

- Cholesky, Durbin-LevinsonGeneran fbm exacto, pero exageradamente costosos en lo computacional

- Síntesis espectral, superposición de procesos on/off, desplazamiento del punto medio, ...Ligeramente más eficientes, pero sólo aproximados.

S3(t)X3(t)X2(t)X1(t)

at

NN dSatY0

)()( v

.

N 80 n 0 N 1 k 0 N 1

W k rnorm N 0 1( ) dft W( )

Vn k n 10( ) k 10( ) 1

n 1( )2 k 1( )2

0 V( ) v idft 0( )

N 1024 n 0 N 1 Número de muestras

wn rnorm N 0 1( ) Ruido blanco

mxL ln N( )ln 2( )

L 1 mxL Niveles

h 0 2 Hh 0.55 0.1 h Parámetros HArreglo de desviacionesestándar para cada nively cada parámetro H

0 h 1 L h 2L Hh

1 22 Hh 1

Puntomedio X i0 i2 L h( ) i1 0.5 i0 i2( )Xi1 0.5 Xi0 Xi2

L h wni1 1

X Puntomedio X i0 i1 L 1 h( )X Puntomedio X i1 i2 L 1 h( )

L mxLif

X

Cálculo recursivomediante eldesplazamientodel punto medio

fbm0 h 0 fbmN h wnN 1 fbm h Puntomedio fbm h 0 N 1 h Construcción Recursiva

Movimiento Browniano FraccionalH=0.95

H=0.75

H=0.55


Aproximado, pero reproduce la autosimilitud, la estacionariedad delos incrementos y la distribución gaussiana de una manera MUYeficiente.

g2

h2

g2

h2

g2

h2

g2

h2

ax(0,k)

ax(1,k)

ax(2,k)

ax(3,k)

ax(4,k)

dx(4,k)

dx(1,k)

dx(2,k)

dx(3,k)

dX(j,k) son vectores aleatorios independientes con componentes iid ~ N(0,022j(2H+1))

Los filtros g y h se obtienen de una función de escala 0 y una wavelet madre 0

adecuadamente seleccionadas.


2,

)(),()(

a

ddataTtB aXH

j Zk

kjX tkjd )(),( ,

J

j kkjX

kkJX tkjdtkJa

1,, )(),()(),(

Si las bases wavelets son ortonormales (los coeficientes son muestras de BH(t))Si la transformada de Fourier de 0 tiende rápidamente a 0 cuando f tiende a 0 (para contrarrestar la divergencia de la densidad espectral de los incrementos de BH(t))Si 0 tiene suficientes momentos desvanecientes (para evitar incluir correlaciones entre los coeficientes wavelet) Los coeficientes {aX(0,k), kZ} son muestras de un fbm

function y=waveletfbm(L,H)

% Genera 2^L muestras de H-fbm mediante la dwt

y=0; % Máx. aproximación

for j=0:L-1 % Escalas

s=2^(-j*(H+0.5)); % Varianza a esta escala

d=s*randn(size(y)); % Coeficientes wavelet

y=idwt(y,d,'db4'); % Un nivel de detalle más

end


Los coeficientes wavelet a la escala jse escojen como ruido blanco Gaussiano con

varianza 2j(2H+1) de manera que la transformada inversacorresponda a un fbm con parámetro H:

Cascada Aditiva

Los coeficientes wavelet a la escala jse escojen como ruido blanco Gaussiano con

varianza 2j(2H+1) de manera que la transformada inversacorresponda a un fbm con parámetro H:

Cascada Aditiva


Función de escala de Haar:

Wavelet de Haar:

La wavelet de Haar a la escala J no es más que unacombinación lineal de las funciones de escala a laescala J+1 CASCADA MULTIPLICATIVA

La wavelet de Haar a la escala J no es más que unacombinación lineal de las funciones de escala a laescala J+1 CASCADA MULTIPLICATIVA

Uj,k

Uj+1,2k Uj+1,2k+1

Uj+2,4k Uj+2,4k+1 Uj+2,4k+2 Uj+2,4k+3

Wj,k

Wj+1,2k Wj+1,2k+1

Wj+2,4k Wj+2,4k+1 Wj+2,4k+2 Wj+2,4k+3

Fila Fila jj: Aproximación a la escala : Aproximación a la escala jj

Fila Fila jj: Detalle a la escala : Detalle a la escala jj+1+1

Uj k 2 0.5 U

j 1 2 k Uj 1 2 k 1

Wj k 2 0.5 U

j 1 2 k Uj 1 2 k 1


Con la wavelet de Haar, X(t) es positiva si y sólo si |Wj,k| Uj,kCon la wavelet de Haar, X(t) es positiva si y sólo si |Wj,k| Uj,k

Entonces, dada la aproximación de X(t) a la resolución 2-j (Uj,k), encuentre

kjkjkj UAW ,,, Obtenga Uj+1,k a partir de Uj,k y Wj,k e itere hasta tener la resolución deseada(o la longitud deseada de la señal)

data N( ) U0 0 "Sample from pdf U"

Aj k "Sample from pdf A(j)"

Wj k A

j k Uj k

Uj 1 2 k 2 0.5 U

j k Wj k

Uj 1 2 k 1 2 0.5 U

j k Wj k

k 0 2j 1for

j 0 N 1for

UT N

Al igual que FGN, consigue un perfecto ajuste del espectro depotencia (LRD) pero, a diferencia de FGN, también se ajustaa estadísticas de orden superior y, sobre todo, a la positividadde las muestras.


Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 12. Conclusiones (1/2)

1. Las wavelets ofrecen muchas ventajas al tratar los fenómenos de escala2. Ofrecen un método unificado para todos los fenómenos de escala

(LRD, Autosimilitud exacta o asintótica, etc.)3. Transforma un proceso LRD en una serie de procesos iid, permitiendo el

diseño de estimadores sencillos y eficientes.4. Ofrecen la libertad de seleccionar el número de momentos desvanecientes5. Permiten una eficiente técnica de análisis y síntesis (banco de filtros)6. La propiedad matemática de la multiresolución se adecúa de manera

natural a la propiedad física de la escala7. Por estudiar, entre muchas otras áreas,

- ¿Cómo determinar automática y objetivamente el rango de escalas del fenómeno que se estudia?- ¿Cómo determinar si los exponentes de escala son constantes o no en el tiempo?- ¿Cómo generar otras clases más flexibles de procesos de escala?- ¿Cómo extender el análisis wavelet para resolver sistemas de colas con tráfico autosemejante? ... etc.

Como el fenómeno de la autosemejanza en el tráfico de redes estáimpactando cada vez más el desempeño de las mismas, seconvierte en un tema de estudio obligado para todos nosotros.

La autosemejanza es apenas uno de muchos fenómenos emergentesque se están evidenciando en redes de comunicaciones, lo quesugiere un cambio de paradigma en la administración de redes

Tratándose de un tema relativamente nuevo, podemos hacerimportantes aportes investigativos para conocer, interpretar ycontrolar estos fenómenos.

Como en cualquier actividad de investigación en ingeniería,necesitamos un sólido fundamento matemático para poderhacer aportes en esta área. Y ya no es simplemente la Teoría deColas, sino la matemática de toda una nueva ciencia.

Fractales, Caos y Complejidad en Redes. Marco A. Alzate 12. Conclusiones (2/2)

Marco Aurelio Alzate Monroy Grupo de Investigación en DSP de la Universidad Distrital Grupo de...

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