Marshall_Mikenberg_Matematicas_finitas

8/7/2019 Marshall_Mikenberg_Matematicas_finitas

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Edid6n1997

Victoria Marshall R.Irene L.


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1 LENGUAJE1.1 INTRODUCCION . .1.2 LENGUAJE .1.3 LAS LEYES DE LA LOGICA .1.4 .1.5 PROBLEMAS RESUELTOS ..1.6 EJERCICIOS PROPUESTOS ..

2 LOS NUMEROS REALES2.1 SISTEMAS2.2 Producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .2.3 ORDEN DE LOS NUMEROS REALES . .2.4 CON JUNTOS DE NUMEROS REALES .2.5 COMPLETUD DE LOS NUl\1EROS REALES .2.6 E INECUACIONES .2.7 PROBLEMAS RESUELTOS. . . . . . . .2.8 EJERCICIOS PROPUESTOS . . .. . .

3 CONJUNTOS Y RELACIONES3 . 13.23 . 33.4

AXIOMAS Y PROPIEDADES BASICAS DE LOSPARES Y PRODUCTORELACIONES . .. . .

3.5 GRAFICO DE RELACIONES REALES . . . . .3.6 RESUELTOS .3.7 EJERCICIOS PROPUESTOS .

4 FUN ClONES 1034.1 CONCEPTO DE FUN CION Y BASICAS ..... 1034.2 GRAFICOS DE LAS FUN ClONES REALES . . . . . . . . . . . .. 1114.3 ESTUDIO DE UNA FUN CION REAL . .. 1154.4 LAS FUN ClONES . . . . . . . . . . . . . .. 1374.5 SUCESIONES.......... . . . . . . . . . . . . 1424.6 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

1119

1 72 127

5 NUMEROS NATURALES5.1 PROPIEDADES BASICAS DE LOS NUMEROS5.2 INDUCCION MATEMATICA .....5 .3 DEFINICIONES RECURSIVAS .5.4 PRINCIPIO DE BVEN ORDEN Y APLICACIONES.5.5 LA EXPONENCIACION . : : : :5.6 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . .. .

6 APLICACIONES DE INDUCCION6.1 SUMATORIA .6.2 UNA DESIGUALDAD IMPORTANTE .6.3 TEOREMA DEL BINOMIO .. . .6.4 EJERCICIOS PROPVESTOS. .37

37 7 POLINOMIOS Y NUMEROS COMPLEJOS7 . 1 NUMEROS COl\1PLEJOS .. . .7.2 POLINOMIOS .4145

5053545966

8 COMBINATORIA8.1 INTRODUCCION. .. . .8.2 CARDINALIDAD....................8.3 REG LAS BASICAS DE LA COMBINATORIA8.4 LAS r PERMUTACIONES DE n OBJETOS. .8.6 LAS r-PERMUTACIONES DE n OBJETOS CON REPETICION8.7 LAS r-COMBINACIONES DE n OBJETOS . . . .8.8 LAS r-COMBINACIONES CON REPETICION DE n OBJETOS8.9 PROBABILIDAD............8.10 EJERCICIOS PROPUESTOS : : : . : : : : :

9 AXIOMA DEL SUPREMO Y LIMITES DE SUCESIONES9.1 AXIOMA DEL SUPREMO9.2 LIMITES DE SUCESIONES . : : : : : : : : : : .. : : : : : : : :9.3 PROBLEMAS PROPUESTOS ... .................

72727 37678839398

ii


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"Dos es" Ir es e s mayor que s ie te "."Tres m a s cuatro es nueva"."Si dos e s mayor que c inco entonces dos e s"Dos no es

En cambio las frases no son"Es dos mirnerou Dos m a s tres" ."Siimale cinco!" .

Usamos letras o, {3 , f,'" para denotar1

La matematica estudia lasetc.

tales como ope- e sta r c ompue st a a su vez pa r una 0 variasconectadas por una 0 f ra se que se l lama conectiuo.Los conectivos mas usados son:ara expresar estas

HO " , ' " " U U , , , que estes

"dos no esy esta compuesta por laDrODOSICic)n

"no", que el conectivo neoru-um "dos es y par la

EI esta formado por una parte del lenzualeagregan variables y simbolos que unafrase,

1

"dos e s par y t re s e s

'OVOS1:CZ


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"dos e s mayor que s ie te 0 sie te es mayor que dos",esta por las m a s

y " siete e s mayor que dos" , conec tadas por laconectivo a:.. :!lIJ.n.r.?.tJn."dos es mayor que siete""0", que el

Usando simbolos matematicos conocidos y simbolos para losmos expresar las 0.F..U""uv,"V DlrO'pO:S1C10IIes:

Si 0: Y f3 son dos "0: 0 se denota porSi dos es par entonces tres es

(2 es par -+ 3 es" No es verdad que dos es pa r 0

-, (2 es par V 2 esSino esverdad que c inco esmenor que s ie te entonces c inco es may

siete 0 cinco es que siete".(5 < 7) -+ (5 > 7 V 5 = 7

Consideremos Ia"si dos e s par enionces tres es

Usando ademas simbolos:

Como notaci6n usamos para la "si 0: entoncesp : "2 e s par,"r "5 < 7 / 1 ,t "5 = 7" ,

q: "3 ess : "5> 7",

"Bicondicional.Consideremos la

"dos e s mayor que siete si y s 61 0 s i sie te es menor que dos".Si dos e s par entonces t re s e s

esta compuesta por las massiete" y " siete e s menor que dos", conectadas por lasque el conectivo bicondicionol.

es mayor que"si y s6 10 si" ,

(p -+No es verdad que dos es par 0

Denotamos por -, (pVparte de ella es a su vez una " Si no es verdad que c inco esmenor que s ie te entonces c inco es may

siete 0 cinco es que siete"."Dos es un mimero"Tres es mayor que cuatro""Tres m a s cinco es mayor que cuatro" .

r -+ (8 V

1Se usan letras mimisculas p, q, r, para denotar Consideremos Dn)D()SII : lOnespor letras como:

3 4


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"z es "x es mayor que y si y s610 s i no es ve rdad que x e s menor que yes a y.s"x es mayor que

"x e s mayor que y mas z""S i x e s mayor que 5, entonces x es y) +-t-, y)

Estas f ra se s se Haman usadas se I laman variables. Losee].H~,"a,cC1" las var iables por nombres 1se t ransform an en n1',"",""""I"

Como en el caso de las nronosiciones.otros mas entre sf por conectivos.par 0 x es por los

unidos por el conectivo "0".Como notacion usarnos:Letras de las variables corresnoncren

para denotarLetras mimisculas de las variables corresnoncientes

frase Hamadaueurcauo se obtener una

Los cuatificadores mas usados son:es Cuantificador universal.

Consideremos el I.Jn~UH~aUIU...etc., "x es

todo mimero x se tieneObtenemos la1 cr para todo mimero x se t iene que x esUsando simbolos matematicos conocidos y simbolos para los

mos expresar los al de laSi x es par entonces x no es

(x es par -+ -, (x es"x e s mayor que y si y sol o si no es verda d que x e s menor que y 0 que xes a y.

(x > y +- t - , (x < y V x =

"todo mirnero esLa frase " para t odo x" elCuantlflcador existencial.Si al mismo

universal.

"x esle anteponemos la frase

: "s: es par,"v): "z >

t ; "x =" "existe un mimero x

"existe un mimero xSi x es par entonces x no e s "existen niimeros

La frase u existe un z"5 6


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Cuantiflcador "existe un tinico".Si Sea 1' 1 el

"x es 1. "Todo mimero natural esesa frase "Ix E -+ x es

"existe un iinico mimero x 2. "Existen mimeros naturales3x E es

"existe un iinico mimero x 3 . "Existe un unico mimero natura l3!x E esal de la1frase "existe un unico x" II exisie un unico"

En todo cuantif icador se debeUH''''JU y para hacer esto se usan coleciones 0denotan por letras

Como notacion usamos:

involucrados en lade que se

Sea 1' 1 el de los mirneros naturales Usando los simbolos maternusuales y los simbolos expresar las

Dos mas dos e s ocho:2+ 2 = 8.

Todo mimero natura l e s par:"Ix E 1' 1 (x esSi dos es par, todo mimero na tural es par:(2 es par -+ "Ix E 1' 1 (x es

Si uno es par, entonc es 3 no es par:(1 es par -+ -, (3 es

Todo mimero na tural mayor que c inco es pa r:"Ix E > 5 -+ xesmimeros naturales pares mayores que cinco:3x E es par 1\ x >

de dos mimeros natura le s pa re s, e s par :E es par 1\ y es -+ x . y es

"Ix E3x E3!x E

todo x elemento de la coleccion ""existe al menos un elemento x de la coleccion A"existe un iinico elemento x de la coleccion A

alNotemos que si se tiene un con dos variables

dos cuantif icadores para obtener una nroposicronx < y se obtener entre otras: a

'Ix E:Jx E'Ix E


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El c ua drado de la suma de des mimeros naturales esdel m a s el doble del del por el "",;.UIUU m a s elcuadrado del

Vx E

1.3.3Sea N el de los mimeros naturales.

+ +

solamente de su con tenido. Porson verdaderas y

(2 < 3 V 4 = 5) es verdadera porque 2 < 3 es verdadera.(2 < 31\ 4 = 5) es falsa porque 4 5 es falsa,(2 < 3 -t4 = 5) e s f alsa porque 2 < 3 es verdadera y 4 =5 es falsa .(2 < 3 -t3 < 4) es verdadera porque arnbas son verdaderas.(2 > 3 -t4 = 5) es trivialmente verdadera porque 2> 3 es falsa ,(2 < 3 + + 5 > es verdadera porque ambas son verdaderas.

1.31.3.1

es verdadera porque ambas son falsas,Vx E > 2) es falsa porque 1 E N no se que 1 > 2.

UC;iUCIIUC ademas de la ve r-y e sta dada por las

C;ULa~U y A e sun ~A.n;",~t,A:3x E > 2) es verdadera porque 3 E Ny 3 > 2.Vx E > 2 V x :: :; ) es porque si a E N entonces(a> 2 Va: :: ; 2 ) e s ver dade ra y esto ultimo e s c ie rt o porque 0 bien a >bien a : :: ;2 ....,Q es verdadera si solament e si Q es falsa.

V e s verdade ra s i y solamente si a l menos una deverdadera,

1\ es verdadera siy solamente si ambas Q y {3son verdaderas.Qo{3,es 3!x E > 2) es porque 3 4 E N, 3 > 2,4 > 2 y 4 i= 3.

+ + e s verdadera s i y solamente siambas son falsas,

Q Y {3son verdaderas 0

Vx E > 4 -tX + 3 > 7) es verdadera porque si a E N se t iene que(a > 4 -ta + 3 > 7) es y e sto u lt imo es c ie rto porque s i a >sumando t re s se obt iene que a + 3 > 7.VxEN E >ll\y>l)-+xy 1/\3 > 1) -t23 < 1) es falsa y esto ultimo se debe a que 2Y 3 > 1 y no se que 2 . 3 < 1.VxE E


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es verdadera U~~P""~ver a l hace r I aA q ) -+

"ell'"' '' '' ' del valor de verdad dep y de q comotabla Hamada ta bl a d e v er da d de Ja DfC)DOS1Cl.On:

p -'p (p A -,p)V F FF V FConsideremos laEste de se Haman coniradiccioties.Tambien exist en contradicciones en el con variables. Por

p q (p A q ) ((p Aq )-+ p)V V V VV F F VF V FF F F 11

E A : : : I x E pfalsa pues si para todo a EAse p entonces no existe a

Este de se Haman v e rd a d e sPar el contrario si consideramos la proposicion

1v q) -+ H3x E

p q (pv q ) ((pvq)-+p)V V V V-V F V VF V V FF F F V

es verdadera pues ,Vx Epara todo elernento a EAse pelement a a E A quesea verdadera,

e sve rdade ra s iy solos i no es c ie rto1 0 cual a que exist a al menos

a que : : : I x Ehacemos su tabla de verdad:

En este caso se dice que las -,vxuuncametu.e runrctuur.t u:. y como notacion usamos:

: : : I x E A.

vernos que esta e s verdade ra solo pa raorooosicion no es una verdadEl metodo de las tablas de verdad para verif icar una verdad

cuando se trata de sin variables ni cuantificadores.

valores de verdad de p y q. Esta : : : I x Esirve solamentePar la

(p A q ) no son

Vx E v (p A q ) H pes verdadera pues si a es un de la coleccionp y por 10 tanto (p V -, P es verdadera.En este caso no se usar tablas de verdad porque la verdad de esta U:IJt:1Redel universe A y de si pa ra cada a de A se p 0 no.

no es una ve rdad como se deducir de su tabla de verdad:

1

p q -'p -.q (pAq) -,(p A q) (-'p A - .q) ( (pAq) H(,pA,q))V V F F V F F VV F F V F F F FF V F F V F FF F V V F V V V

Es(pvemos que esta es que sea el valor de verdad de p comoI JV' ." ' ' ' "V0 observar al hacer la tabla de verdad de la orooosicion:

(p A q ) : p

11 12


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1La

(p (p-+ -+ q)ver fac ilmente a l hace r su tab la de ve rdad :

p q (p -+ q) (pA{p-+q) ((p A (p -+ q)) -+ q)V V V V VV F F F VF \f FF F \f F v

En este caso se dice que qpn)p()SH:lOnesque forman el


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a fJv vV FF VF FEsta tab la nos ind ica que mcenenmentemente de los va lore s de ve rdad de las p

posiciones que la componen, la es verdadecomo observarse en la ultima columna.Otra forma de demost ra r una verdadtamente e l concepto de ve rdad . Por

es dire

vuna rios , Entonces las son verdades

tenemos que:-+ es verdadera si y solamente si cada vez que sea tambien

es si s610si no es el caso que a sea verdadera y fJ sea ess610sia es falsa 0 fJ es 0 sea, si s610 si -,a es verdadera 0 fJ es vc"uaun10 cual se si y 5610si es verdadera,

Este rnetodo se que contienenriables.

Por para verificar

y) binario, Entonces las son verdadesE E y) + -+E E y) + -+E E y ) -+

tenemos que si 3x E E entonces existe un elernentode A t al que E y) es para to do elemento b de A se tie

b) es verdadera, Pero entonces, para todo elemento b de A se tiene qb) es y por 10tanto, E A3 x E y) es verdadera,

1.3.Demostracion.

La verificacion de todastablas de verdad,Por para dernostrar

que no contienen hacerse usandoconstruimos la tabla de verda d de laA. . . . , como ver se a l hacer su tab la de ve rdad :

1 5 16


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vVFF

"dado dos a y b de A se tiene que a * b = b * a" .Su , que a fi rma que Ia

* y y *E que se por:

E

-+ Vx Ela+ -+ Vx E

"no es cierto que dados dose rdadera pero no sev la eual es a:

Para verif icar que esta: "z es consideremos A ::= I'l, es "exist en a y b de tales que no con a * b ::= b * a"V es verdadera porque si a E I'l, se t iene que V

es verdadera pues a es par 0 Pero v E y Vx E son falsaspues no todo mirnero natural e s pa r ni todo mimero na tura l e s y por 10 tantoBU es falsa,

por 1 0 tanto a"existen a y b de A tales que a* = /= b * a" .

Por otro lado en virtud de la del teorema1 E H 3x E

rnatematico queremos establecer una que no es e viden-acerca de su basado en todas las

~N",.~~.n+~ se llama demostracion. Una demostracidn esuupncacrunes y e n cada paso de ella se obtiene una nueva ya

sea porque es una ve rdad 0 porque es a otra anterior 0 porque esconsecuencia de verdades obtenidas anteriormente,

matematico queremos introducir nuevos debemosp,)[l!)li(~ariiin de estes en terminos de los ya conocidos. Esta t:AIJH


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no tiene supongamos que la tiene y sean xsatisfacen ambas ecuaciones,

Entonces:a + b = 2 y 2a + 2b = 5, de donde a + b = = 2

= a y y = b mimeros q5a + b = -.2Por 1 0 tanto se tiene que a + b = 2 y a + b # 2.

Hemos demostrado que si el sistema tiene solucion entonces 2 /\ a+b #y esto como virnos anteriormente a que el sistema no tenga solucion.y est a ultima satisface las condiciones descritas anteriormente,

una dada es encontrar una DfiDDIDS1Clcmel sfrnbolo de solo ante nrouosicrones porPara demostrar la a -7 (3, demostraremos la

a esta en v irtud de l teorema 1 .3 .9que

Vx E .y =

.Vx E .yobteniendo: Vx E es par -7 x es

3x E N . . . , (x # 0 -7 E .y = = =3x E # 0 /\ ...., E .y=3x E #0/\ E .y #

es mas facil demostrar que:Vx E es

1Efectivamente, si a E lR . y a es entonces a = 2n + 1bien a = 1. a2 = + 4n + 1 0 bien a2 = 1, es decirbien a2 = 1, a2 es

natural+ +

IJVH .GUU" que queremos demostrar la a.de demostrarla demostraremos laa a en vir tud del teorema 1.3.9

cuyo consecuente es una contradiccion,Como la es verdadera y el consecuente es uodemos concluir quee l anteceden te debe ser fa lso y por 1 0 tanto a debe ser verdadera,Esto el metodo de demostraciones por contmdicci6nPor para demostrar que el s istema:

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1.51.5.1

de un se1. EI ase sino de Don Juan es su Pedro 0 su sobrino2. Si Pedro asesino a su entonces e l a rma esta e scondida en la casa.3. Si dice la verdad entonces arma no esta escondida en la casa.4. Si rniente entonces a la del e l se encont raba en la casa.5. no estaba en Ja casa a la hora del c rimen.

es asesino?Solucion,

Usaremos los simbolos:p : El asesino de don Juan es su Pedro.q : EI ase sino de don Juan essu sobrinor : EI arrna esta escondida en Ia casa.s : dice Iaverdad .t : estaba en la casa a la hora del crimen.

(p V(p --'t(s --'t ....,

Como portambien es , ,t es !-,UJt:l.uu" concluir que t es falsa y porde donde s es verdadera,obtenemos que - , r es tambien verdadera y por 1 0 tanto r es falsa.Entonces por p debe ser falsa .Y par q es verdadera,Podemos conc lu ir que e l a se sino de don Juan essu sobrino

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Consideremos el nuevo simbolo -! - e la(p -! - q) por "ni p, ni

Es (p -! - q) es verdadera siy s610si p y q son ambas falsas.Demostrar las1. +p = = (p +2. (p V q )3. ( p l \ q )

-! - q )+ ( p -! -- ! - p H ( q -! -

Solucion.verif icar que los valores

sean los mismos.

1.p ""p ( p + p )V F FF V V

coinciden los valores de verdad de la y tercera columnas .

2.p q (p V q) (p -! - q ) . ( (p -! - q) -l - (p + q ))V V V F VV F V F 11F V 11 F 11F F F V F

coinciden los valores de verdad de la tercera y columnas,

3.p q ( p l \ q ) ( p - !- p) (q -! - q) ( ( p + p ) + ( q - ! - q ) )V 11 V F F VV F F F V FF 11 F F FF F F V V F...,s

coinciden los valores de verdad de la tercera y sexta column as.

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1.5.3Encontrar unciones:Vx E

.4

Solucion.En

nes, que consiste de un esquemaque satisfacen dichaspaso representarnos A como el universo y los

y P, R de A obteniendo:

Este de Venn de lascontruimos un A y !JHu,,~aLV"y que por 10 tanto satisfacen las

.iuostcrones dadque

A= : "x = = a" , = = o" =a"A

1Decidir sl la

Q : mimeros naturales pares que son racionales"

oronosicion afirma que to do de A que esta en esta tambienen Eliminamos por 10 tanto rDO,m""c que estando den tro de P 1 estanfuera de

es 0 no consecuencia/3 : "Todo mimero na tural par e s"(: numeros naturalesEn el Aristotelico este UHUeLa"Todo mimero natura l pa r e s

mimeros naturaleses 0 no valido,

Solucion.Consideremos los"x es

"x es"x es racional" .

Y sea N el de los mimeros naturales.DOIQem()sxpresar en simbolos:

/I./3 :"(:EI

y

2 3 24


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E A 3x E -+ 3x Eq falsa y r falsa

q verdadera y r;nf,nrnrd la

q verdaderaq falsa r f

Para esto que que para todotambien se verifies la conclusion.

Estoy ,r) V pAqAr) V

se reduce a verificar Esta ultima ser reducida

es: pAqAr) VP A q)

pAqA,r)(rV,r)

Y tambien:V pA qA, =

V, p ) AR q A ..

y en el no se verifica necesariamente Ia conclusion puesto que elgrama estar dentro 0 fuera de por 10 que se concluir que la Df lOD,OS lCICI l ldada no es un a verdad

Obteniendose finalmente la

Con 10 anterior seP A q ) V q A,

que Q no es consecuencia de fJ y J. que t iene la tab la de ve rdad1.5.5 1Encuentre un ase a la Determine s i la frase:

p q r QV V V FV V F Fl' F l' FV F F l'F l' l' vF v F l'F F l' FF F F v

"Yo mintiendo",es 0 n o u n a p rI O PI )S II C IO n ,Solucion,

upuugamos qu e 10 es. Entonces es verdadera 0 falsa,es cierto qu e esta mintiendo y po r 10 tanto es falsa,

es false qu e esta mint iendo y po r 1 0 tando d ice l a esto e s,es verdadera.

Solucion.Mirando las l ineas de la tabla de verdad

Q por:

UPOS IC I C I l l s falsa: esta f

las cuales Q esno es una

Esta situacion se conoce como "La


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1 La raiz cuadrada de un mimero real "A,,,a,v,, escuyo cuadrado es el mimero dado. mimero rea1. v las ' ;:UCl",Oi> proposiciones utilizando los simbolos matematicos ycos usuales: Dado '--UU~IUv mirne ro real existe otro mimero real cuyo c ua drado esmirnero inicial.

Si todo numero real e sn",."t,v() entonces dos e so esc ier to que s i e ldoble de cua tro e sd iecise is entonces e l cuadrado decuatro es treinta y dos,EI cuadrado de menos t re s e s nueve y es mayor que s ie te .Dos es 0 menos des es pero de los dos es mayorque diez.Existe un mimero entero mayor que dos.Ex is te un mimero na tural cuyo cuadrado sumado con t re s e s uno.Todo mimero realexcepto cero.El cuadrado de todo numero real e smayor que e l del mimero.

Si existen mimeros reales que seanexisten mimeros na turales que son pares e

2. en el natural lasV x E >V x E EV x E > 3 - -- -+ x2 >V x EV x E EV x E E 2x V x + y >V x E # 0 - - - - + E .y =: lx E jtNA E +y=V x E > 2 - - - - + +1 >+ :lx E > lA x(2)0-73 0) -7 2 es

(2 < 1 -7 (2 es< 1 2 > 0) -7 2 es

(2 > 1 -7 (2 es A 3 >

* es una conrnutativa en A.asociativa en A.es una

a e s neut ro de * por la derecha.a no es neutro de * por la por *

dos elementos de que no conmutan por *.

29 30


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10. Sea A. = 2, Determine el valor de verdad de las3x E ' "x E >l--tx=3x E ' "x E 5--tx>V x E >5 xHV el valor de m en tenemos:y por 1 0 tanto = , es deeir es un mimero par,

de donde se ob tiene que n tambien 1 0 es.Hemos concluido que m y n son mimeros pares, ambos son divisibles por1 0 que contradice la eleccion m y n.Con esto hemos demostrado contradiccion que 10.medida de la del

cuadrado no es un mimeroComo existe una infinidad de de trazos que no ser medidoscon mimeros pero como estos trazosnumerica determinando puntas de ella que no a mimeros

sA = = r s,EI cera corre snonde a la medida del t ra zo y el un a a la rnedi da de l tra

unitario,La relacion r ne no r q ue ent re mirne ros rea le s e sta dado por e l orden de los pun

en la recta numerica en direccion de 10.sernirectaA una coleccion de mimeros reales la llamamos de tulmeros reales.Para formular las basicas de los mimeros reales usamos los simbol

el cero, el uno la relacion "men o rde todos los mimeros reales y PR a la colecc

39 4 0


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de todos los de mimeros reales, EI de mimeros reales esdistributive sobre la suma de mirneros rE lRV z E . (y + z) = = x y + x2.2 P ara e xpre sar ax io mas 0 omitir el cuantificador V x

cuando no se a confusiones.por la conrnutatividad de la suma se expresar

Las basicas de la suma los axiomas de campo,los cuales son verdades que no necesitan demostracion y que son la base

por:x + = = y + x.

2 . 2 . 1Como

tenemos el "H.UHOHCC;.demostrar a de estes axi

lR es cerradoV x E lR E

la suma:+yE 2La sum a de numeros reales es conmutativa:V x E lR E + y = y +

en lR :Cancelaci6n de la surna:

La surna de numeros reales es asociativa:V x E lR E lR 'l iz E . + (y + z) = (x + y) + (x + z = Y + z -t X=EI cera e s un numero real y e s neu tro de la surna de mimeros rea le s:(0 E lR 1\ V x E + 0 = Cancelacion del . z = y . z 1\ z = J 0) -t xTodo mimero real tiene un inverso aditivo real:V xElR E + y = = O ) . El de un numero real por cero e s cera :lR es cerradoV x E lR E xO = O .El de mimeros reales es conmutativo: No existen divisores de cero:

. y = = y. (x y = 0 -t (x = 0 V Y =EI de mimeros reales es asociativo:E lR 'l iz E . (y. z) = (x y). El neu tro adi tivo es un ico:

El uno esun mimero rea l d ife rente de ceroy e sneut ro delreales:(1 E lR 1\ 1 = J 0 Vx E . 1 =

de mimeros E + y = y) -t X =El neutro es unico:

Todo mirnero real diferente de cero tiene un inversoV x E = J -t E y : ; : ;

real: E .y= -tX

41 42


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El inverso aditivo es unico: Division:+y=o x+z= "Ix E R E

x-+ - =xy1

-+y=Es

El inverso es unico:y=l xz=l)-+y

Cuadrado:"Ix E = z;>

Demostracion.Demostraremos

En estas definiciones tamb ien se ornitir los cuantificadorss cuando nopreste a confusion. Par la definicion expresarse "WUI}lJ.ltllce1x#O-+ =y + -+ .y 1)Sean x, y, z E R y supongarnos que x + z = Y + z,

Por existe Z' E R tal que z + Z' = 0,entonces, (x + + z' = (y + z) + Z'Y par x + (z + = y + (z +pero como z + z' = tenemos que

x + 0 = y + 0 y par z = y.

Comotenemos: de que

n base a e stasconceptos:

y los conceptos se definir nuevos Sean x, y E R. Entonces:+ y) = +x = -x.

(i) Inverse aditivo:El inversoda cero:

=o-+x=de un mimero real es mirnero real que surnado con el (x+ + 2x . Y + y2

"Ix ER E =y+-+x+y Demostracion.Dernostrarernos

Sean x, y E R.Par definicionel resto al lector,sta definic ion es correcta dado que hemos establecido la unicidad del inverseaditivo en Teorerna 2.2.2

Resta:"Ix E R E (x + y ) + + =0Es restar es sumar el inverse aditivo,Inverso (x + y) + + =(x+ +(y+ por

= 0 + 0, por definicion 2.2.3= 0, pary

"Ix E R E 1#0-+ =y + -+ xy=Esta definic ion es correct a par Teorema 2.2.2

4 3 4 4


27/166

2 . 3 (x :5 y +-7 (x < Y v x =( x es menor 0 queLas son verdades evidentes que describen lasrelacion "menor los mimeros reales, Toda otrademostrar a de estas, (x es +-7 x>es + -7 x 2 porque > 2.Resolver una inecuacion es encontrar todas sus soluciones rea les , EI detodas las soluc iones de una inecuacion se l lama solucuin de la inecuacion.

Al que en e l caso de las se considera resuelta una inecuacion cuandose expresa por extension 0 como union de interval os

(0

Una inecuacion de la forma + bx + c > 0 con a , b , c E R y a = I< 0 se llama i ne cu ac io n d e y el!-,VOHJ1C" soluciones para ella.

oteorema res

Resolver la inecuacion 1 2 z] + Ix - 7 1 $ 10. 2.6.10Sean a, b, c E /::,=b2 - 4ac y a = I o.Solucion.

Considerando los rnismos casos que en el tenemos: Si /:: , 2 ': 0 y XI, X2 son las soluciones de la ecuacionentonces: + bx + c = 0 Y XlSi x 2 ': 7, entonces, I x - 2 1 + Ix - 7 1 : :; 10 Hx - 2 + x - 7 : :; 10 H2x::; 19 Bx $ Si a > 0,Si a < 0,

+ bx+c > 0 B+ bx + c > 0 B Xl < X < X2Si 2 ::; x < 7, entonces, Si /:; < 0, entonces:

Ix - + - 7 1 $ 10 B X - 2 - x + 7 $10 B 5 $ 10. Si a > 0, Vx E + bx + z '>57 58


34/166

Si a < 0, Vx E + bx + c O H

> 0) VH {x > Xl 1\ X > V {X < Xl 1\ X V (X 2 ++y >+y2_ ~Oy esta ultima

xy~ O .1".,..""" es verdadera por Teorema

59

< 01\ (x- < 0)

Dado que,III

+

Resolver la inecuaeion:

1 1+ > x +-.- x

1 1+ - (x+ x 1+ x=

=

~ 0 par teorema+ 1 > 0 porque > 0, y> 0 porque x > 0,

~ 0, de donde

+3x- + 4) > O.Solucion.

La ecuacion + 4 = 0 no t iene soluc iones reales y 2 > 0Vx E +4 >

6 0


35/166

Ia solucion de la inecuacion dada es1 - 00,xesx no es solucion y

x es solucion.six= Vx= x= V.T=

entonces x no es solucion,el solucion de la inecuacion es

se obtiene que:x es :UI.UC.IUliEntonces: +3x- + 4) > 0 +-t + 3x - 4) > 0

+-t (x + - 1) > 0+-t (x> 1 x .- 7x + 10]- 00, u]- uesolver la inecuacion:

Podemos resumir elSolucion, 2 5

En7x + 10 = I- 0 y- 7x + 10 = 0 +-t

t al que x = I- 2 A x = I 5.

notemos que estasolucion debera

(x = 2 V x = 5) ; es

>0

x-5 0 +x- 0 + + +x-2 0 + + + + +x- 0 + + + + + + +x+ 0 + + + + + + + + +x+ 0 + + + + + + + + + + +E + 0 0 + 0 * + 0 * +

donde E = denota que laest a definida,El solucion es la union de todos intervalos donde E es

8>0

e s deci r e sComo el de esta de cada uno de los

]- 00, u] - u uentonces estudiaremos losx - 5, x- x - 2, x- x+

Si x > 5, entonces todos los factores son Para valores de rElit se tiene que",,,,t,,,,, y el resto

x no esso luc ion en este caso., por 10 t anto la Vx E + 2x + r >

61 6 2


36/166

Solucidn,Resolver la inecuacion

Por TeoremaEn nuestro caso, t:;, = 4 -

la condicion es:, esto se si 6 < 0 y a > O.

< y a = 1 > 0, 2x -1>Solucion.

4-4 - 4r + 40-4r

r

0,

b+ bx + c : : : : : =--4a

y para x=--2a' =063 6 4


37/166

de donde 2que si a < 0, entonces 1. Demuestre las

de campo y lasy que la bcuando x = --.2a

Deterrninar las dimensiones del de mayor area cuyo

a) x + z = y + z -+ x = y.b) . Z = y. Z /\ z f. 0) -+ x = y.c) x y = 0 -+ (x V yd) E +y y)-+x O.e) E - v = v ) =l.f) (x + y 0/\ z + Z = 0) -+ y =g) (x y = 1/\ x . Z = 1) -+ Y = z,h) x 0 O.

Solucion.Sean z e y las dimensiones del "~,""a",I'.C"u.8Entonces x + y = 2 = 4 de don de y 4 - a:EI area del est a dada por + 4x = 4x + 4 - 4) = =

- 4) y este trinomio toma su mayor valor 4 cuando x = 2; es cuando(x 2 A Y = 2. Demuestre las

a) + y) =b) = x.c) y )d) =-x.e) =O-+x O .f) . y) =g) = xy.

+

de los numeros reales usando los

++u

. y =x

+y2i) (x - y) (x + y) = - y2.j) -+ (x = y V x =

3. Demuestre las de los mimeros reales usando lasdades de campo, los axiomas de orden y las definiciones.a) 0 H < O.

65 66


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d) (x > 01 \ Y > 0) -- + x + y > O.e) (x < y 1\ z < - - + x + z < y + u.f) z > y f-1 X - Y > O .g) (x > 0 y > 0) -- + z- > o .h) 1 > O..) 1I X > 0 - -+ - > O.x

e) y > 0 -- +f) u > 0 -- +g) Ix, y l = =h ) y # o - - + I ; i = =

I-xl = =

f-1 >

1 1x-.x y

+) ~ O .k) (x < y 1\ z < 0) -- +

(x = = y V x =x+ yII) x < y - - + < -2- < y.

x - l < x < x + l .n) + y2 ~0) (x> 01\ Y > 0) -- + x + y ~p) (x > y > 01 \ u > z > 0) -- + xu > yz.q) (x > 01\ Y > 0) -- + (x < y f-1 0 -- + x + y > y.s) x < 0 -- + x + y < y.t) x> 1 - - + >u) 0 < x < 1 - - + 0 >

(x < y < z < u) -- + (x 1 b>l)-+ab+ > +d) (a>ll\b>l)-+ + 1) > + +e) a3 + b3 ;::: +f) : : s ; a4 + b4.g) +

I1

17. Demostrar lasa)b) +ca+c) (b +

18. De te rmine cua l de las+ 1) 0 +

19. De todos los20 . De tcdos los

rna.

de los mimeros reales

Para estudiar nuevascoleccion dede que nostambien con otras colecciones,

La nocion de como coleccion arbitraria decontradiccion conocida como la de Russell:

Definamos el A por:

UjJ.,evdve" de los mimeros reales es necesar io agregar a nueintrcducida en e l una nocion mas

de mimeros reales conos l leva a Ia

A= .xt/.Entonces x E A t-+ X t/ . x y tomando x A obtenemos

es mayor: AEA t-+ At/.10cual es una contradiccion.

Esto que es necesario considerar una nocion deLos seran las colecciones de que se obtienen a

agregar otros formando colecciones, coleccioLa nocion de de la col21. Deterrninar los coefieientes a, b , c E lRdel trimonio + bx + c para que el se

anule en x : :::8 y un maximo a 12 en x = 6. cion.Las variables x, y, z representan ahora mimeros 0Usamos letras X para denotar especrncamente

pr()pOSICIOIl "x rvos-r o-nor=oya sea mimero 0

71 72


41/166

3 La coleccion de todos losSi A e s un existe un

de unB tal que:

es un

Las (x E B +-t x < ; ; ; ;los cuales son verdades evidentes que no necesitan demostracion y que sirven de basepara demostrar todas las de estes. Este es de A y se denota por P

entoncesDosSi A B son

con los mismos elementos son

elementos de un que satisfacen una

no tales como personas, GHAWC" 1-'";,".'"0.,,etc. y colecciones de estos,Otros 0 colecciones necesar ios para el desarrollo de la

int roduc idos por medio de axiornas de finiciones ,Definiremos a c ontinuacion las rest antes con

y la diferencia,

sE Vx E E -- + A =B.Este axioma dice que cada esta determinado por sus elementos. la intersec

Si A e s unque y

B tal AnB= EA: x E(x E B +-t EA inierseccion

Este es unico y se denota por: E A:x E A:

lRes unLas

rema:Con y con ta r con e l

reales definidos en el 2.lR con todos los de

Sean c Entonces:La union de dosSi A y B son

es unexiste un C tal que AuA = A.

AnA=A.AnB =BnA.AUB=BuA.Au u u uc.

(x E C +-t E A Vx EEste es se llama union de A y B se denota por A U B.

Diremos que A es ."~Nl 71"1I.nrfl de B si y s610 siVx E E 10que simbolizamos por A < ; ; ; ; B.

73 74


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An nAu n =An uA A = qI .A- uA- nA;A.;B B;;B B;

n n C ou n u uB=n u Para ella supongamos A ; B.Si x E entonces (x E A V x E

Sea ahora x E A u y como A ; Bes decir B ; AU B.

E A Vx En se t iene que x E B ,A u B ; B y por 10 tanto A U B B.u 2 . que:n

-+ A ; C.-+ A = B.

uB=B.

nB

entonces x E A 1\ x E B de donde se obt iene que x E es deA;B + + .4uB=B t+ A B=A.A ; B + + A - B = qI .

Demostracion.Demostraremos solo

Sea ahora x E entonces x E Au B y c omo Au B = B se obtiene que x Ees decir x E A neon 10que A ; .4 n B de ella A n B = A.

y 3. Demostrarernos por ultimo que:nB= cDemostracion dePara que estes dos

mismos elementos.Sea x E A uA. Por definicion de

x E A.

Demostracion deBasta demostrar que:

debemos que tienen los v~.~,.,u"u,.u que A nB = A.entonces x E A n B de donde se obt iene que x E A; B(x E A Vx E Sea x Ede donde se obtiene que

se tiene que (x E A V x E de donde x E A u A.3 s

Para estudiar ",,,"umJ" conceptos muy usuales en tales como el delacion y el de es necesario introducir el concepto de par orden ado deuB= nB=

Denotarnos por y) a l par ordena do dey. Lassus axiomas:

son las

- 75 76


43/166

1 xC= x xDos pares ordenados son

elementos son+ -+ (x = z A Y =

Demostracion.Dernostraremos solo

Noternos que no s610 se formar pares orden a dos de mimeros reales sinotambien de y de otros a

Demostracion deUJ1JH~(1HlJ;que A x B : : j . y sea z E A x B.

Por axioma P2: 3x E A EA: : j . B : : j . .Por 10tanto A x B : : j . -+ : : j . A B : : j . que esEl cartesiano de dos

Si A y B son C tal que: = V B = q ;) -+ A x B = ;.ahora que A : : j . 9 A B : : j . q ;.

Entonces existen x E A eyE de donde z = y) E A x By por 10 tanto A x B : : j . 9.i= ; A B : : j . q ;) -+ A x B : : j . q ;, 10 cual es a

zEC B3xEA E =EsteAx B.

es se llama cartesiano de A y B y se deno ta porTambien se usa la notac ion: { y ) x E AyE B para este AxB=;-+ = B

4, entoncesAxB= Demostraclon deBasta queLas

Y) E A x B y ) E x xY) E A x u

8i By C son entonces:AxB=BxA B =BvA=;vB=AxB=; B =VB=Ax U = x U xU xC= x U ( B x

Ax n x n xn xC= x nAx x x

3.4.1Consideremos el "z < los mimeros reales, Este establece una relacent re pare s de mimeros reales : 1< 2, 2 < 5, 8 < ... ,etc . Podemos identif i

77 78


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la r elacion "ser menor R con elreales que la esto es,

solarnente 0, 1,2 sono a., ..-",ou",,,. elementos 0 elemento

Es to nos l leva a defini r dominic recorr ido de una re lacion :Y ) E R x R: x -1.

Buscamos x E R tal que y.entonces sea-x = +1 Tenemos que x :5 0 y por 1 0 tanto2y como 9 es uno a uno, re sulta

que x = z',a)

-1= y.y como f tambien es uno a uno, se b) que x > 0 y por 10 tanto

4.1. De y concluimos que f es sobre lItLa funcion 9 no es unatomamos Xl = Y X2 = ~ entoncesLa funcion 9 tam poco es sobre R es1. Dadas las funciones reales f y 9 definidas por:

={ 2x - i ! ~ ~ ~ .{ -1 si x>-l2x - 1 si x:5-1.

ve r que si por

Demostrar que J es sobre R pero 9 no 1 0 es y determinar

entonces -, 3x EDado que f es sabemos que existe :R -+ lItPara determinar la funcion inversa de I, como sabemos que y + += x, el realizado al demostrar que f es funcion so

R Y O b t e n , : o { s Q U ; 1 s i y:5-1si y>-l.solo nos resta calcular

Solucion.Veamos que f es h"o"I""r.n sobre lItPara demostr ar que f es dado que esta definida por tramos debernosconsiderar varios cases:

109 no

y como se rnuest ra en la


60/166

= = { - 1 si > -11 si ::;-1.Dado que el valor de

casos porSi x > -1 entonces-1 x.Si x ::;-1 entonces

x+l x+l= -2-> -1 + -+ -2-> -1 + -+ x> -3.

= { + 6x 1.- 1 sl x::;-3 2. Graficar la funcion- 1 si x> -3.Solucion.Comenzaremos utilizando el metodo de de con q

= r si x::; -3V x > -1 +6x 1 = 3 11+2 -2'1 si -3 < x ::; -1.y= + -+

Las funciones reales son tarnbien relaciones y se I


61/166

4. Graficar Ia funcion: ~ {Solucion.Para x ;::0 tenemos que

y + -+ y=+ -+ y ;:: 0 A y2 + = 1

y como x2 + y2 = 1 una circunferencide ella donde x ;::0 A Y ;:: O.Para x < 0 tenemos que

v3. GraficarSolucion. y= + -+ Y=

: : :: : X cuyo es la recta y = x y sie s la r ec ta y = -x, como se ve en la

x2como 9 = 1 represent a unax < 0 A Y ; : : 0, como se ve e n la

x ; : : o

, x < O .

hemos obtenido el cuadr

+-=19seobtiene un cuadrante de esta d

-1 1-3

113 114

---1

El de F es el de la = 1 con 10cua l e


62/166

Par ot ro lado:=0 +-t +-t = 1 +-t x = 1 x = -1 que son

y son los puntas de interseccion del XPara determinar los intervalos en los que f es tenemos:

> 0 +-t > O. Esto es por la definicion del simbolopara todo x EDam t, cuando = 1. Entonces f esintervale 1 - 1, por 1 0 tanto nunca es como se ve en la

Lo s conceptos deterrninan la ubicacion del

Atraves de BUporhacer un estudio ,,,,,'"01r',,,''' concentos que nos IJ".llH,,,aupara termina r c on un "~,'~"n~

1Sea f fun cion real.

i) x es raiz 0 cero de f si y solo si x EDam J y =0.Sea = -3x + l.En e ste caso se tie ne que Dom f = lR= Rec [,

Sea A ~ Dam j, f es 1 1 1 1 . ' ' ' ' ' ' ' ' 1 .neoauua en A si y s610si VxE A si y solo si Vx E< > 0) y f es

Vemos queel Y.Ademas:

= 1, can 1 0 que ese l de interseccion del

de una fun cion con elde interseccion del mismo con el X son los

x esraiz de la funcion. - 3x + 1 = 0 +-t 1x=-3

i) Sea

o sea ~ es raiz de f yX.

es el de interseccion del con e

Por otro

115 116


63/166

>0 + -+ 1- 3x + 1 > 0 + -+ x < 3'yEl

1< 0 + -+ x > 3; es f esde f es la recta de la

e n

Por otro si f es10 con 10 cual ef

entonces -x,simetria;

tamb

respecto de los

-#II

, )

Sea f funcion real:

Vx EDam E Dom ] A =Pa ra que f sea par e == para todo x E = 0 para todo x E Dom j, es

la unica funcion par e simultaneamente es = 0 y se conoce comocero.

Un eiemoro de funeion par es la f.I"L""lIVH definida por

f es par si y s610 si

f es si y s 61 0 s i = - 1, dado qv x E Dom EDam! = -1= -1=y) esta en el entonces p( - x, y) tambien 10 est a con 10

sera simetrico respecto al Y como verse en lade funcion e s l a recta definida por 3Si !e s par ycual el de = pues

= = =Se obse rva que s i!es

de f pasa por e l y 0 EDam f e n t o n c e s = 0, esel

117 118

funciones que no tienen U~6UUo.2x + 1 en la que vemos que 3 y = = por

10 tanto, f es estrictamente creciente enRSea - 1, asi:


64/166

Sobre e l c recimi en to de una funci on def in imos : = < -1 -1y 2 < 0

-y)(x+y) 0, de se obtiene:< t-+ x-y Para x, y E R-, como x + y < se obtiene:

Observernos que s i f es estrictarnente creciente 0 decreciente en suUUHUHH,tonces f es uno a uno; pue s, si x # - y entonces (x < y V z > con 10 que seen de estes cases, ya sea < > es #-

nUI: 111=. si f es estrictamente tambien 10 es, enx < y y que Como f es estrictamente creciente> x 2 :: y 10 cual es si f

es estrictamente decreciente tambien 1 0 es.Notemos que si una funcion f es par y estrictamente creciente en R+ entonces es

estrictamente decreciente en R-:

< t-+ x-y>Ot-+ x ; y.

En resumen, f es estrictamente creciente en R+y estrictamente decreciente eR-.

1Sea =x + xDebido a que f es funcion bastara e stud ia rla en R+

es estrictarnente creciente en

1 1< t-+ x+- 1.1En este caso 1 - - > 0,xyy par

i) Sea = 2x - 5, asf:< t-+ x-y


65/166

1En este caso 1 - - < 0,xyy por Sea ~{ xE 1]< x-y>O 1 , x

+-t x > y.Entonces f es estrictamente decreciente en 1[ y por 10 tanto tarnbien 10es en ]- 1,

'Ienemos entonces que para todo x, y en - 00, 0 en= -x y = -y con 10 eualI[ se tiene: = x y =y, por 10

= { 1, si x 2 : 0si x < O .x


66/166

Sea -, Dam f = R-xf no es acotada1En supongamos que - :5 b para todo x :: f O.x

Entonces para x = 1 se tiene que 1 < b es decir b + 1 < b 1 0 cual es false.+1 - -Se a :;:;::-1.Como x 2 ~ 0 tenernos que por 1 0 tanto f es acotada inferiormente,Es clare que J no es acotada suoeriorm

Tenemos +Dernostraremos que f esUVl)HI~il1JlHJb p < 2:

si 1 < p < 2, 1 =si 0< p < 1, -1 =

pero tambiende 2. + 2) x E

cada cierto =1.en ambos cases-no se que

Se a J f un d o n r ea l.J es si y solo si existe el menor p E JR + tal que:\Ix E + P E 1\ + p ) = EI menor p E JR + que"""'1'",",,,-,, se nama

Para clarificar esta definicion veamos los

\Ix E + p) =Por 10 tanto, si p < 2, p no es elesta Sea = 5.El clare que + 4) = 5 = y tambiencaso no existe e l menor p > 0 t al que + p) =

satisface estaxE En epues todo p re

i) Sea{lsi= -1 s ino 3z E E 2z+

Al que en el caso de las funciones pares efuncion estudiarla en un intervale m a sre su ltados obtenidos a todo e l domin ic de la IU1,IUUH,

Graficar la funcion f de dominio R sabiendo que:{X, si 0: 5 x < 1

= x 2, si 1:5 x :5 2y que adernas funcion es y de 4.

123 124

Solucion, 4, como vemos en que


67/166

El de Ill. funcion en el intervale 2J e s el de Ill.

vsus indicando-1 -

Este ser 1:1UIPlIaUIUcomo se ve en Ill .

2] JaSea =x2

Es c la ro que dam f = R que Rec f = lR+ U Por otro I= 0 +-t = 0 +-t X = 0 con 10 cual el unico punto de seed ade f can los X eYes Ademas;::: 0 todo x, de does no e inferiormente acotada, Como f

y por 1 0 tanto, basta BU estudio enSi x < y, x, Y E entonces < y2 con 10 eual f es estrictamente ere

en 00[.Por otro si x E > can 10 cual j no es acotadaen

y este ultimo de

12 5 12 6

El esta da do par lae f en


68/166

El cual ser extendido a R como se ve en la

-1

SeaEs claro que Dom f = Rec J = RAdemas como , la func ion esPara estudiarla en tenernos que = 0 y queo + + x = 0 con 1 0 cual el tinico de interseccion deles

=0 + +con los X e

Ademas > 0 + + x > 0 f es en y no,,,.,t,,,.,Si x, y E Y x < Y entonces < y3 de donde J e s c recien te entanto es creciente tambien e n - 00,

inversa de la funcionDel inferir que f es estrictamente decreciente en1 - 00,La funcion noes uno a uno en todo a R+ si 10 es. La

se ve en las

1 2 7

El de la funcion es el de la

La funcion es UDO a uno pues si = y3 ten emasdonde x = y 0 bien + xy + y2 = O,

1 2 8

+xy+

00,Par

= 0

Si x = y, obtenemos el resultado deseado. El de f en es e l la


69/166

Si + xy + = 0, entoncesS I y = 0, se obtiene x = 0 y por 10 tanto tambien x =y.S I : j : : consideramos la ecuacion en la variable x, vemos que su discriminante

A = < 0 y po r 1 0 tanto + xy + y2 : j : : O.La f u n c l a n inversa es x E R cuyo verse en la

el cual extender se a R como ve rse en la

Po r otroe Y.con 10 cual f1 1

o fj. Dam f el;;::0 H ->0 Hx>Oy

de f no intersect a los X1 0, -_ > - con 1 0 eual f no es acotadaX- x4 . 3 .x,y ESea 1=

Es c la ro que Dam f = R - que Rec f = J R + .1 2 9 130

Ademas 1 1 con 10 cual f es par.- = = Sea = es el mayor entero p t al que p ~ x.


70/166

Estudiaremos f eno Dom f y 0 Rec f1= > 0de f no intersecta los coordenados.1 1en Si x < y entonces >

Esta funcion se conoce con e lnombre de eniera de x.Por = 2 y = -3. Notemos que en l[ la funcion vale 0, e2[ vale 1 y, en en n+ vale n, para n natural.En O [ vale en vale - 2 y en en + va+ para n natural.Entonces su es e l que se muestra en la

Encon 1 0 que f es estrietamente deereciente.

Ademas f no es acotada supenormente pues si x > 0, y e es tal que x - e > 01 1tenemos > es decirEl de f en es el de la

El cual ser exte ndido a todo lRc omo se ve en la

Obse rvernos que tal funcion es creciente en lR no es acotada. Su re eorrido esy no es invertible.

Atraves de los sobre funclones que tienen " ' ' ' 1 > ' ' ' ' - , ' 0 . ,

1) Sea =2x + 5 y = -2x - 5.

La funcion no esuno a uno.

131 1 3 2

de f y de Podemos ver los de f y de en la


71/166

entoncesX, e sto e s, s i

2)yEl

+ 5 = +5.verse en la

Noternos que el de f + 5 es el de f corrido en 5 unidadesY. Es y ) E f -7 Y + 5) E +

3 ) S ea

133

Notemos que ely) E f -7

Y) E f 4)de f y son los de la

Podemos observar que en este caso, la par te na~Q""Q de f sees si y ) E f entonces

al 5 ) S ea y - 2) = (x - . Los de f y 9

134

ve rse en la I Lo s de f y 9 se-1 l ve r en la


72/166

\\

En este caso el se traslada hacia la derecha en 2 unidades. Es(x - 2 , y ) E f entonces y ) E g.

\Yse acorta en 2 unidades rp~TW~T.n aly) E g.

X. Es

7) Sean = 2x + 5 y = -2x + 5.

135

si En este c aso elY ) E g.

se

8) Sea = 2x - 3 entonces

en el Y. Es y ) E f entonix+32

y los de f y estan dados por la quenotar que cada uno se obt iene del o tro intercambiando los

si

es decirY ) E f + -+ E

3

136

4 pues como 27r a un


73/166

En este Estas son seis: seno,conseno, secante y cosecante.

Para este estudio es necesario aceptar que as! como los reales lasrnedidas de todos los trazos tambien las rnedidas de todos losaU"U1"" y de todas las

Dado x E lRexiste un que mide x radianes desde el X y medidoen sentido contrario de los donde un radian es la rnedida de

subtendido en una circunferencia de radio 1 p or un arco de 1. Elmimero real 7r se definir como Ia medida en radianes de unpor 1 0 tanto la medida de un recto es ; radianes y la de

Adernas si 0 01\ sen 0 = 0Si P = tt: -1

Si P > 7f:

es de 27fradianes.Cada a su vez deterrnina un unico punto

y radio 1, como se ve e n la

Es decir P noes e les 27f. de la funcion seno para P < por 10 t anto suen la circunferencia de nos basta e stud ia r la func ion en= 0 yen=1Yen

crece de 0 a 1,

decrece de 0 a -1 y por7f[ crece de -1 a O.

r

Sea x E e l punto de la c ir cunfe renc ia de cent ro en e l y radio 1,de x radianes, se definen las funciones realesseno y coseno como

=bx=ax

seno.De la de finicion esc lare que su dominic e s R

Por o tro lado Ia func ion seno es de

137 138

Ypor1a extender a lR como se ve en laEl e stud io de la func ion coseno es o..,,",v,_v

':";;;,.>0"", del cual se deducende

v,,,,,,,uau.c,, au""v5'''''' a las de la funcion seno.


74/166

Dela ) Su recorr ido es 1 ]b) Es acotada: -1 :: :; s e n x :: :; 1

Es =d) Sus raices son los mimeros reales donde k E Z.e) Es creeiente en los intervalos de la forma l!!!.+2f) No es uno a uno en lR p ues

1pero

se obtiene una funcion uno a uno con el mismo recorrido.Para esta se define la funcion inversa:arc =x + + =y/\ 1 f 1f


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ER:x= +2b) EI dominic es R - con k Ec ) Noes aco tada ,

Para obtener la

Usando las

x

i) s e n ( x ) +!

a 1 1f 7r2' 2 con 1 0 cualdefinirse arc

1 f 1 fR en J - 2' 2 cuyo-1f= y 1\ "2 < x < 2 funcion def in ida de

ii) 2 s e n ( x )

x

5Obse rve rnos que s ie l dominio de una func ion es

F=

del se obtienen los

iii) sen(2x)

esta se expresar por:

y el reeorrido de F se expresar por:ReeF =

se estudiar en forma similar.Esta notacion de los elementos del recorrido de manera


76/166

a) R=b) R =c) R =d) R =e) R =

y) E N x N: y =y)EZxZ: +y2=y) E Z x Z : z . y >y) E N x N: y =orresponde a la funcion:

F=El n-esisno iermmo de una sucesion F esLa sucesion F se denota tambien por

y se denota por 2 . Determine cua le s de las relaciones reales son funciones:

1. sucesion de mimeros reales definida pora la suces ion: 3 ,5,7,9, . .. y es la funcion:

= 2n+ 1, entonces

a) +-t =b) +-t Y 3x - 3.c) +-t xy = 3.d) +-t + =1.e) +-t x+y = 2.f) +-t y2 = 2x.g) +-t Y = O .

3. De de relaciones R y S tales que:a) R sea funcion pero no.b) R y S sean funciones pero R US no.c) R n S sea funcion pero R y S no.

F

2,4,6,8, . ..Entonees el n-esimo terrnino es = 2n y la funcion es

F= :nENAm4 . Sean A = 2, y B =

Determine todas las funciones de A en B.= n ] 5. Sea A = R- I} y definamos las funciones de A en A:1CO ITCSDO lt 1de a la sucesion: =X, X' = l-x,

=-1 X 1 Xx x-I ySea I= 1,2,3,4,5, Calcular /; 0 Ii para cada iy j E I.

143 144

6. Sean = = x , = _1_ funciones reales.I-x 11. Sean = { x -1 x


77/166

a) CalcularDeterminar dominic y recorrido de f 0

7 . Encuent re los domin iosde lasa) aER

=c) 1

= =+

1 1=--+--.x 1 x+28. Sea I.lR --t lRdefinida por

f)

Determine:a)

Dominio y recorrido de f.9. Dadas las funciones reales definidas por:

y

Demuestre que I=s= go 9.10. Dadas las funciones reales

= +1valores de x E lRse tiene que 0

x ;? : 1(g 0 o1 1 0g, hoI y 9109 y

funciones reales: ={ x+2 0:5x:51x>lVx


78/166

j sea mVp(I. V>18. Sean f : X -+ Y y 9 : Y -+ X

tales que 9 0 j =Demuestre que f es uno a uno y 9 es sabre.

==

g) == 2

26 . Graficar las

+1.

19. Sean h : S -+ T y 9 ; T -+ R.Demuestre que si 9 0 h es sabre entonces 9 es sabre.

20 . Sean J ; A -+ 9 : B -+ C y h : C -+ D.vecciones, entonces [, 9 Y h son bivecciones a) = { x,,

= {x


79/166

de las que 1 0 son:a)b)c)d)e)f)

37 . Demostrar que si f eses. Determinar su

a) = =b) 11+c) x::::d)e)

41. SeaEstudie y

30. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las "'5,,,,.wvQ fun-ciones:

+ 3x + 5.c)d)e)

1=x+-.xx

31 . Dadas las funciones:= { ~+2 , xS;Ox O .

yx-I xS;l4x x> L

Determine 1+3, 5 g .

38 .

32. Sie l dominio de una funeion 1esfunciones: Determinar el dominic de las 39. Estudie ya) /J = 40.

==

33. de:tiselo para obtener los- 2,

34. Dado elfunciones:

de la funcion los de las

la funcion + b ) tambiede a.

f ta l que su dominio es R y= { ~ 2 OS;x


80/166

b)2c) x

d) I . ! . I .x43. Encuen tr e e l te rmino n-e simo en cada una de las ' ' ' ' ' 'U~'OA W"" sucesiones:1 1 1 12' 4 '6 '8 ' '' '

1 2 3 42 '3 ' 4 ' 5 " "1- x2,l - 5 . 11-

" ..v""'''"u,v 2, Definicion se introducen los mime ros na turales c omo el c

E lR . x = 1 + 1 + . .. + es un mirnero natural es un minrereal que se obtiene a del numero 1 reiterando la de Burna, cero0 mveces, Por 10 es claro que 1E N y que s i x E N entonces x + 1 E N. Estas dvjJJ,t;uawo" son las que caracterizan a los mimeros naturales y nos realiz

demostraciones de del 'Ix E

5.1.1Sea I ;; ; Ise dice inductive si y s610si:

i) 1 E I.VxE EI-+(x+l)E

inductivos:lR , ElR:x;:::

1 5 1 1 5 2

li) N es inductive. Vx E > 0)


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finite es pues al ser buscamos el mimero m a sque aparece en 1 0 llamamos r, entonces r+1 ya no esta en el

pues es mayor que el masVx E = 1V E =y +

Demostracion,5 . 1Sea I N~ I. EN: x >h es inductive:Demostracion, a) 1 E II pues 1 > 0 como se

el campob) Sea x E II entonces x E N y x > 0; x + 1E N y como x + 1> 1

se tiene que x + 1 E Es decir h es inductivo.

por medio de la axiornatic a de ordSea x E entonces (x E R 1\ x =1+. .. + Dado que Ies tenemos

que 1 E I, por 1 0 tanto, 1+ 1 E I, 1+ 1+ 1 E I. Reiterando este proceso,obtenemos que x E I.

Por 1 0 tanto N~ I.Vx E >II

E : (x =1 = 1 -+ :ly E =y +Probemos que Ir es inductivo.1 E II pues 1 E N y el antecedente de la UU_UA>CAUH es

por 1 0 tanto, la es t rivialmente verdadera,Sea ahora x E II entonces x E N y =1 = 1 -+ E""l!en~lWJ"demostrar que x + 1 E II. Como x + 1 =1 = 1x E N que x + 1 E entonces solo nos resta ver quey + 1) 1 0 que es obvio.

Nota:Hemos caracterizado el de los mimeros naturales como el menor con-de mimeros rea le s que es induc tive . Por 1 0 tanto, estamos en condiciones de

la definic ion intuitiva utilizada hasta el memento, por laO"I',U"'"'"'

los naturale s son unpropiedades de R se

de t iene caracteri st ic as

de los mimeros

Por 10 tanto 12 esEs Vx Eo sea: Vx E

t,2N.=y += = lR : x E I, para todo inductive

153 154

El teoremat o d o x E

nos dice que si queremos demostrar una proniedadnos basta con demostrar dos cosas: p


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En la demostracion del teoremafundamentalmente el mismo metodo de demostraeion.cases, demostrar que 'Ix E Ndice x > 0 en el caso es (x 1 VUn esquema del metodo usado en ambas demostraciones es el

que +Una

Construimos IIpor

EN :x 1 0 que denotamosEste lHJ\l,",IJIHJ~ realizarlo para cada x natural y por 10 tanto

es verdad.Demostramos que II es1 E II 10 que es

h= EN:es decir:

a demostrar que 1 tiene la ip, es(x E II -+ X + 1 ESi x E N entonces

es decir:-+ + Problema 1.Demostra r que ' In E - 1 es divisible porConclnimos que II 2 N, es decir:

'Ix E N Solucion.Lo que acabamos de es el Primerternatica que nos un metodo para demostrarpara todos los x naturales.

Sea laEntonces queremos dernostrar que 'In

y por 1 0 tanto deberemos1 es divisible par 3.

o sea la tesis del teoremsus en otras

-+ +una formula que contiene a X entonces:

+ -+ 'Ix E Nes verdad porque 41 - 1=3 es divisible por 3.

1 0 que que 4" - 1divisible por 3, suponer verdadero es 1 0 que se llamllH)Ue,,,,!o de inducci6n que denotaremos poremostracion.

Al tomar como 1 1 = EN: se ve que es HHHt::I.HdLU, de las Ul!-.ue''''l> delt.eoreuia. que 11 es Inductive y, por 1 0 tanto, 1 1 2

'Ix E NVeamos entonces que,En efecto:

esta - 1 e s tam bien d ivisible por 3.

- 1 = 4" 4- 1 = 4"(3+ 1) - 1 =III155 1 5 6

tenemos que - 1 es A + B donde A = 3 4n es de 3 y B :::::n 1es de 3 debido a Ill.H.I. Por 1 0 tanto A + B es de 3; con 1 0que demostrado que - 1 es de 3y por 1 0 tanto divisible por3, es decir +

5 . 2 . 5Sea a E y sea una formula que contiene a x, entonces:

?a/\ + -+ Vx E


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V n E 1) es divisible porIII Si a = 1, se obtiene eldemostrado, de induccion del teorerna anteriormen

Problema 2.Pro bar que V n E

Demostracion,EN: (x ? a -+ para a E

Solucion, Veremos queh es inductive.sea: Tenemos que 1 E 11 porque si

1? a entonces a = 1 porverdad 1 E Ir. se tiene que esEntonces

e sverdad porque 1 122 1 la entonces ? a -+false, 1 Ell. es verdadSea n E N y supongarnos que es es decir:Sea ahora x E 11, entonces x E Ny (x? a-+

x+lE y tenernos dOB casos:pero:

+ 2) a) Si x ? a entonces x + 1? a + 1 > a;verdad y por la del teorema (x E I,/\ ? a) entonces+ 1) es por 10 tanto,+ 1) es verdad. (x + I? a-+ +

Por 1 0 tanto, V n E (x + 1) Eb) Si z lase tiene que x < a y por 1 0 tanto x + 1 :::;a;III si x + 1 ::::: entonces, como

(x+l?a-+ +es valida a de un cierto numeropor 1 0 tanto x + 1 E

157 158

si x + 1 < a, entonces, (x + 1 2 : a -t + es trivialmente verdaderoporque su antecedents es por 10 tanto (x + 1) Ehemos demostrado que II es inductive can 1 0 que N


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es decirVx E 2 : a-t

Problema 1.Probar que Vn E 2 : 3 -t 2n + 1 1, y por tanto 2n > 21 = 2.As! = 2n . 2=2n + 2n > 2n+ 2 > 2n + 1 + 2=es verdad, +1)+1; esCon 1 0 que hemos demostrado:

Vn E 2 : 3 -t 2n+ 1) .

Sea B = N-natural no.

entonces por e l del Buen B t iene un menorIYVL I, . Sea entonces no e l menor natura l de B.no : /; 1 pues l'E A dado que:

un mimeroentonces n o > 1y no tiene un fac torSea entonces:

por 1 0 tanto no no es

no = e m con t,mEN y f.:/; 1 Y m -# 1. n,- 'CH' ' ' ' ' . n o : /; 2 pues 2 E A dado que:3+a2=1< = =

e < no y m< n o .e E A y mEA.

Por 10 tanto, no > 2 y comoa"o-l E A y ano-2 Ear 1 0 tanto

Con 10 se obtiene que:f = p . q con p 0 q

Por 1 0 tantono = P : q- m.

Es no t iene un factorcontradiccion. Per 1 0 A = N. (p 0 q ) no E una =

175 1 7 6

, ano E A y esto contradice la eleccion deno. P O I' 1 0 tanto: Demostracion.y E Sea A= EN.


93/166

Con la mismade B = N A. entonces sea no el menor elemy mayor que

Problema 3. no (2 m 1) + 2Sea a E y sea una formula que contiene a z, entonces:

1\ "Ix E + -7 "Ix E para mEN. Como 2m-l estanto .m 1) y la1 0 que contradice la eleecion deno.y es menor que no, debe estar enA.del ten emos que .m -1)

Observacion, EI anterior nos da un de Induccion para dDemostracion, t ra r una

A= EN:Es muy fa cil darse c ue nta c omo

de Induccion para todos los mimeros pares.Orden es el teorem a:

para obte ne r un"jJJHA,LJUH de l Teorema delSea

entonces tenemos que B = f: ,B t iene un menor elemento: no.ne > a pues a E A por del teo rem a y ademas todos los naturales men oresque a t am bien estan en A por ser trivialmente verdadera la que define alA. Por 10 t anto, no = m + 1 para mEN.

m


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/\ E E < n- + -+ "In Ev) a < b -H (1+ + a )

para denotar

-1

l+na+a+1+ +

181

ya que

1+ a> o .

+ 2: 1+ +

3. Demostrar que4. Demostrar que5. Demostrar que

+ 2n es divisible por 3, para n E N- 1 es divisible por 8, para n E N.

es de 7, para n E N .6. Demostrar que 8" - 6" esun de 7 pa ra todos los va lores pares den7. Demostrar que 8"+6" es un de 7pa ra todos los va lo re s pares den8. Demostrar que para n E N.3n - 2 es divisible por9. Demostrar que + 1 es divisible por para n EN.210. Demostrar que 48n - 1 es ivisible por para n E N.11. Demostrar que a - b es factor de an - b", para n E N.12. Demostrar que a + b es factor de13. Demostrar que si n E N es14. Demostrar por induccion las

i) n+m-:j:.n.n2:l.n < m -7 n + p < m + p.n2 > 2n + 1, para n> 3.

v) 0, demostrar que s., e s monotona, Examinarcasos 81 < 3 y 81 > 3.'VnEN - n + 41 es mimeropara n E N.

-1) =~ + para n E N.31 . Sea al = 1, a2 =1, an+! = a,,-l + an, para n E N.

Encontrar a 2, a 3, a 7 Y demostrar que


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18. Dernuestre que 1+2+4+...+19. Demost ra r que la suma de los20. Dernuestre que

1 1 1 11 . +-+-+ ...+35 57

2 l . Demuestre que 13+ 23+33+...+

= 2" - 1, para n E N. , para n E N.32. Sea al = 0, an+! = nx, para n E N.

Demostrar que 'Vn E 1 + nx - (1+n--, para n E N.2n+ 1

x+ para n E N. Demostrar que:

, para n E N. VnE = 123 ... 22. Dernuestre que a + ar + +... + para n E N. 34 . Sea an+! = + 1, para n E N.Demostrar que 'Vn E +1= +

para n E N. 35 . Sea al = 5, u,,+l = 5 an, para n E N. Dernos tr ar que an = 5", para n E N1 1 1 524. Demues tre que - - + +...+ --- < - para n E N.n +1 n +2 2n + 1 - 6

1 1 1 1 125. Demues tre que 4 + ... + 4" 5 para n E N.

36 . Sea al = 1, a2 =1 Y an+! = an-l + an para n 2 : 2.Demostrar que

, para n E N.

3 1 1---+2 n 2 y que5n 2 9 -47 10 ...

26. Dernuestre que sin E N y n > 2, entonces8n = 3813 ... , para n E N.

1 127. Demuestre que 1 - - + - + .. +2 4 para n E N. 38. Si 81 = 1, 82 = 3, 8"+2

29.

1 1 128. Demuestre que + .,-----;:-:-::-... + .,----=-:--=1+n E N.S 12 d1 8"+1 = con 0 < 81 < 3, emostrar que1+ s"SI < 83 < 85 < 87 < . .. y que82 > 84 > S6 > 88 > ...Examinar el caso en que 81 > 3.

1 1 para , para n E N.y que

, para n E N.39. Si 81= 1 82 = 6, - 8n, para n E que:

8n = 68 . 2-n - 99 . 3-n, para n E N.183 18 4

40. Si Un+2 + Un+! + Un = n E N. Pro bar que: 48. Dernostrar que:+ -a+ , para n E N. 345.4+235+3.4.6 + ... +

29con a2 > b yAy B constantes


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ysi a2 ::::: b entonces Un ==+ con A y B constantes, 36

42. Probar que:, para n E N.

para n E N.49. Demostrar que:

1 22."4.6+ 35.7 +41 . Si Un -

Un= + + 4U n-2 = 0, para n E N Y Un = 1, Uj = 4, dernost ra r que, para n E N.

43. P robar que :17 1 1 1 5 596 + 8 n + 2 + n + 3 - n + 4 - n + 5


44. P robar que :para n E N.

45. Demostrar que:para n E N.

51. Dernostrar que:4 1 + ... +

1= -4=


2 . +5 . 8 + 8 . 11 +. . + - 2) = + + n, para n E N. para ti E N.52 . Demuestre que1 I!--+ +x+l

n !=--x53. Si Ul = 8, U2 ::: :: Un ::: ::

Un::::: 17

para n E N.

47. Dernostrar que:2 5 3n-1+ + ... + =3711 1115

17= 672para n. E N.

185

para n E N y n 2 : 3 que:+ para n EN.186

54. Probar que :+3 + +3 + ... + + = +2+3++ ,para n E N.

65. S i los te rminos detrar que: p,q ,r de una P.G. son a , b y e

que: 66. Si a, b, c es una demostrar:


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-3Un = - : -- : -: : -- - .-1 para n E N. +-a1

56 . Sean 67. Probar que el mimero de rectas que pasan por 2de n donde no

de u

= Ul + U2,= Un + Un-I> para n E N.Probar que:

68. Probar que el n iimero deno 3 colineales es

formar con n puntos dond

= + + para n E N. 69. En el se dan 2n + 1 Construir un de 2n + 1 lados parmedios de los Iados, pasa si s5 7. D em os tr ar que si h :2 : entonces (1+ :2:1+ para n E N. el cual los puntos dados sean lo stoman 2n para 2n lados?58. Demos trar que (1+ : 2: 1 + nh + , para n E N. 70. Demos trar que s i A y B son dos

union t iene m + n elementos9. Demostrar que:+ +2) ... + P - 1) es divisible po r Po , para n E N.

60. Si al = ~ =1,relatives para n E N. +Un-ll para n E entonces anY an+! son71. Demos trar que si A y B son dos

tiene m . n elementos.entonces A x B

61. Encontrar tres mimeros que estan simultaneaments en62. S i los t erm inos p , q , r de una P.A. son a , b y e reSPC31;1'ill

P.G. y P.H. tiene 2" elementos.demostrar que: 73 . Sea X = .f es funcion de A en

(q-r)u+(r- b+(p q)c=O. Demost ra r que s i A y B tienen Tn y n elementos " '"uc \. ." " " "eH l e


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1

" nyk=1=1

En esta seccion nos dedicarernos a estudiar propiedades que noslar otras sumatorias

Sean dos sucesiones de mimeros reales y n E N. Entonces:n n n+

k=1 k=1 k=1n nr ak:= r ak) donde r esun mimero rea l

1;;=1 k=1

189 190

y h

a c

" r = n r , donde r es un mimero realk=1 n

" n n:::: = ak -k=1 k=1 1 < = 1n n n

Sea 10 . r = n . r entoncesk=1

es verdad pues r =r = 11'.k=1


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ai =j=1

n

Demostracion, r = n 1'.k=1

k=lHaremos induccion sabre n.

es verdad pues

I;=l k=1

Entoncesn+l n

r = 1'+1'k=1 k=1

n1'+1'= +

"Par 10 tanto, 'In E r nk=1

n n+ =

+ :::: al + b, dek=1

ak + bkI;;=l k=1

como de induccion quen-l-I n+ = + + +k=1 1 < = 1

n n:::: ak + b k + an+! +

k=1 k =ln nak + an+} + b it +

k=1 I e = l

= ak + bk de1e=1 I t = l

191

entonces

n n n n+ = ak +k=1 Ie=! k= 1 k= l

n n= ak - b k

k=1 k=1deLa demostracion se hace par induccion sobre n aunque resulta obvio podefinic ion de sumatoria que la variable infer ior es una variable y potanto do. 10 mismo 10.letra que se utiliza para nombrarla.

d e 1 0 .

1 9 2


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