INSTITUTO

NACIONAL

DE SAN RAFAEL…

ALUMNO:

MELVIN JAVIER REINA

MAESTRO:

JOSE RIGOBERT

O GUARDAD

O

Producto cartesiano

• En teoría de conjuntos y en álgebra abstracta, el producto cartesiano de dos conjuntos es una relación de orden que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.

• Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

• A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

• En el caso de una familia de conjuntos arbitraria (posiblemente infinita), la manera de definir el producto cartesiano consiste en cambiar el concepto de tupla por otro más cómodo. Si la familia está indexada, una aplicación que recorra el conjunto índice es el objeto que distingue quién es la "entrada k-ésima":

• Puesto que el producto cartesiano puede representarse como una tabla o un plano cartesiano, es fácil ver que el cardinal del conjunto producto es el producto de los cardinales de cada factor:

• El producto cartesiano de un número finito de conjuntos finitos es finito a su vez. En particular, su cardinal es el producto de los cardinales de cada factor:

• El producto cartesiano de una familia de conjuntos no vacíos que incluya algún conjunto infinito es infinito a su vez.

En teoría de conjuntos, la fórmula anterior de cardinal del producto cartesiano como producto de los cardinales de cada factor, sigue siendo cierta utilizando cardinales infinitos.3.3.1 Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: A x B = {(x, y) / x Î A Ù y Î B}.

• En consecuencia: • (x, y) Î A x B Û x Î A Ù y Î B

(x, y) Ï A x B Û x Ï A Ú y Ï B•

En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:

• R x R = {(x, y) / x ÎR Ù y Î R }.• • R x R es el conjunto de todas las parejas de números

reales. La representación geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.

• La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las n-adas ordenadas (a1, a2,..., an) tales que aiÎ Ai con i = 1, 2,..., n, se llama producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An.

Propiedades del producto cartesiano.

A Ì X Ù B Ì Y Û A x B Ì X x Y.

A x B = 0 Û A = 0 Ú B = 0.

A ¹ B Ù A x B ¹ 0 Þ A x B ¹ B x A.

A x (B · C) = (A x B)( A x C).

A x ( B + C) = (A x B) + ( A x C ).